В.К. Петросян. Общий кризис  теоретико-множественной математики и пути его преодоления. Версия 1.0

Фонд философской инициативы «Апейрон»

Институт истории естествознания и техники РАН

                   Петросян В.К. Общий кризис теоретико-множественной математики   и пути его преодоления. Версия 1.0.- М: Янус — К, 1997. — 144 с.     

                      

 © В.К. Петросян © Lag.ru [Large Apeironic Gateway, Большой Апейронический Портал (Шлюз), Суперпортал в Бесконечность].

При копировании данного материала и размещении его на другом сайте, ссылка на портал Lag.ru обязательна

      Аннотация    

                 В книге в историческом, философском, логическом и собственно математическом аспектах рассматривается ряд тесно взаимосвязанных фундаментальных противоречий в основаниях теории множеств, метаматематики, арифметики бесконечного, геометрии  и математического анализа, способных породить  новый, более глубокий, чем в начале ХХ столетия, общий кризис математики.

       Излагается нестандартная концепция преодоления кризиса названных логико-математических дисциплин путем глубокой реконструкции формальной логики, создания синтетической теории формальных объектов, обобщающей формальную логику и теорию множеств, перепроектирования арифметики, геометрии и других математических дисциплин на основе последовательного проведения принципов актуальности, гармонии и универсальности применительно к бесконечным объектам.

        Содержание работы предлагается рассматривать как «эскизный проект», предшествующий полномасштабной презентации результатов исследований по долгосрочной программе «Метаапейрон» (определенная бесконечность), осуществлявшейся автором в 1985-1997 гг.

        Книга предназначена для философов, философов математики, логиков, специалистов в области оснований математики и метаматематики, всех, интересующихся проблематикой бесконечного.

 

             

                                   

              

Содержание:

     
Введение

1.Общий кризис теоретико-множественной математики

1.1. Кризис понятия истины в формальных гносеологических системах

1.2. Основные причины общего кризиса теоретико-множественной математики     1.2.1. Ошибки неразличимости предикатов и метапредикатов в логико-математических теориях     1.2.2. Ошибка неразличимости свойств потенциальной и актуальной бесконечностей в теоретико-множественной математике     1.2.3. Противоречивость понятия «потенциальная бесконечность»

1.3. Противоречия теоретико-множественной арифметики     1.3.1. Противоречивость канторовского принципа взаимно однозначного соответствия     1.3.2. Противоречивость канторовского понятия несчетности множеств     1.3.3. Противоречивость канторовской теории трансфинитных чисел

1.4. Взаимная противоречивость арифметики и геометрии. 1.4.1. Противоречивость классического математического анализа 1.4.2. Противоречивость классической геометрии

2. Общая концепция оснований гармонической математики

2.1. Основные понятия и законы теории формальных объектов

2.2. Основные понятия и аксиомы  гармонической арифметики

2.3. Основные понятия и аксиомы «юниметрии»

Заключение

Литература


Введение

История любой научной дисциплины — это летопись ее побед в моделировании, экспликации и прогнозировании того вида реальности, который составляет ее предмет, но, одновременно, и летопись заблуждений, ошибок, противоречий  и поисков путей их преодоления.

Каждая наука проходит путь от абсолютной неопределенности и неформальности представлений о своей предметной области — до более или менее ясного понимания законов связи и развития всех  моделируемых объектов, но проходит его отнюдь не безболезненно — через обязательное самоотрицание, через периодическое обновление наиболее фундаментальных своих оснований. Самопротиворечивое движение к максимизации уровня  гармоничности (непротиворечивости, соразмерности), точности и определенности знания в рамках  каждой научной дисциплины —  необратимый процесс, остановка которого может означать лишь гибель данной науки как мегаединицы знания.

Не составляет исключения и математика, хотя она и претендует на статус «особой» науки, изначально превышающей все прочие по уровню точности,  истинности и непротиворечивости своих фундаментальных положений.

На наш взгляд, претензии математики на абсолютную точность и необратимую непротиворечивость своих оснований сыграли в ее истории двоякую роль. С одной стороны, будучи доминирующей аксиологической нормой, они способствовали реальному повышению уровня точности и строгости математических исследований, но, с другой стороны, будучи предметом априорной немотивированной веры, они стимулировали некорректное отождествление желаемого с действительностью и в критических ситуациях (в случаях обнаружения очевидных противоречий) заставляли математическое сообщество предпринимать бесплодные попытки обеспечения непротиворечивости математики «любой ценой».

«Цена», заплаченная  математикой за право считаться  непротиворечивой наукой в условиях  реального перманентного многовекового накопления противоречий, впечатляет: современная математика вообще перестала быть наукой, превратившись в разновидность культа, центральным божеством которого стала идея абсолютной, ничем неразрушимой непротиворечивости.

Единственное, что сегодня поддерживает  мнение людей о точности и непротиворечивости математики — это тот факт, что в сфере конечных величин она действительно относительно точна и непротиворечива и что этого достаточно для более или менее адекватного количественного моделирования самых различных конечных по размерности предметных областей. 

       Что же касается истинной предметной области математической науки, сферы бесконечного, то здесь современная математика  способна лишь наращивать уровень собственной паралогичности, вырабатывая все новые приемы создания логических иллюзий и доказывая недоказуемое — непротиворечивость противоречивого.

Процесс паралогизации математики бесконечного, начавшись еще в античности, стал необратимым в конце ХIХ  века, когда Г. Кантор объявил полученные им в теории множеств противоречия вполне субъективной природы имманентными противоречиями самой бесконечности, перенеся, тем самым, акцент с собственных логических и теоретических ошибок  на  «ошибки природы», онтологизировав противоречивость. С тех пор началась цепная реакция экспоненциального роста паралогичности и противоречивости математики бесконечного, продолжающаяся по сей день и непреодолимая в рамках классической  математики.

Другими словами, именно неадекватные претензии математической науки на  всестороннюю обоснованность и нетленную непротиворечивость своих оснований, априори блокирующие любую справедливую критику, и сыграли с ней  дурную шутку, приведя, в конечном счете, к сегодняшней нижеэксплицируемой ситуации абсолютной противоречивости  математического знания в части, касающейся проблемы бесконечности.

Уже в античности в осмыслении, определении и интерпретации понятия бесконечности  на философском, логическом и математическом уровнях были  допущены многочисленные ошибки, которые, не найдя своевременного и адекватного разрешения, лишь воспроизводились в дальнейшем и привели к современной ситуации перенакопления противоречий, квалифицируемой в настоящей работе как  общий кризис математики.     

Хотя развитие математических представлений о природе и сущности бесконечного на протяжении истории математики и проходило, в основном, в правильном направлении — в сторону  роста уровня определенности данного понятия,  сами принципы и способы определения и интерпретации бесконечности, традиционно используемые  математиками, оставляли и оставляют желать много лучшего. Поэтому даже рост уровня определенности понятия бесконечности, реально наблюдавшийся в истории математики, способствовал, в конечном счете, выявлению все новых противоречий в традиционных воззрениях и, соответственно, изобретению все новых способов их «заметания под ковер».

Ситуация зашла настолько далеко, что какое-либо паллиативное рефор-мирование классической математики бесконечного сегодня просто невоз-можно. Нужна осознанная и целенаправленная научная революция, полностью реконструирующая  основания математики бесконечного на основе использования принципиально новых идей.

Предлагаемая вниманию читателя книга посвящена рассмотрению фун-даментальных противоречий канторовской теории множеств, метаматематики, арифметики и геометрии, обусловленных латентным влиянием  формальных и содержательных неточностей аристотелизма и собственными логическими ошибками Г. Кантора и его последователей (I раздел), а также изложению на концептуальном уровне оснований новой логико-математической теории («гармонической математики»), во всех основных идеях альтерна-тивной традиционной теоретико-множественной математике и способной, по мнению автора, обеспечить необходимый скачок качества и точности формального мышления (II раздел).

В первой и второй главах настоящей работы  рассматриваются понятие и причины общего кризиса теоретико-множественной математики:

— неэффективность и внутренняя противоречивость принятых в матема-тике концепций истины;

— неадекватная трактовка соотношения предикатов и метапредикатов в рассуждениях, неточность формулировок законов исключенного третьего, тождества и противоречия;

— ошибки смешения свойств потенциальной и актуальной бесконечностей в математических исследованиях и доказательствах;

—  общая противоречивость понятия «потенциальная бесконечность».

В третьей главе приводятся многочисленные конкретные математические аргументы в пользу тезиса о противоречивости канторовской теоретико-множественной арифметики в части, касающейся «несчетных множеств», «принципа взаимно однозначного соответствия», иерархии «трансфинитных чисел».

В четвертой и пятой главах выявляется связь между противоречивостью канторовской теории множеств и геометрией, показывается взаимная противоречивость названных дисциплин и обусловленная этим обстоятельством внутренняя противоречивость математического анализа. Выявляются внутренние противоречия «классической геометрии», сохранившиеся в ней еще со времен Евклида.  

Второй раздел книги представляет собой сокращенное изложение результатов НИОКР, выполненных автором в рамках общенаучной программы  «Метаапейрон» (определенная бесконечность), начатой  в 1985 году и продолженной, начиная с 1988 года в  ФФИ «Апейрон».

Излагаемые во втором разделе концепции новых логико-математических дисциплин: «теории формальных объектов», «гармонической арифметики» и «юниметрии» автор предлагает рассматривать как стратегический нормативный прогноз развития математики в будущем и, одновременно, как содержательный «эскизный проект», предназначенный для обсуждения «в главных чертах» и предваряющий «рабочий проект» (строго формальное представление новой математической парадигмы и оснований вытекающих из нее конкретных дисциплин). 

Некоторые из идей и предложений, представленных в данной работе, докладывались и обсуждались на двух Общероссийских конференциях по проблеме бесконечности в математике (сентябрь 1995 г., сентябрь 1996 г.).

Автор благодарит всех ученых, высказавших  критические замечания по настоящей работе в ходе названных конференций, на научных семинарах и в частном порядке, а также надеется  на конструктивную критику в будущем, что позволит существенно сблизить предлагаемые парадигмальные инновации  с мнением математического сообщества в планируемой к изданию второй версии «Общего кризиса …» или, по крайней мере, четко выявить точки  непримиримых концептуальных разногласий.  

1. Общий кризис теоретико-множественной математики

Общий кризис теоретико-множественной математики, о котором пойдет речь в настоящей работе, можно рассматривать и эксплицировать с различных позиций.

Так, с эволюционной точки зрения общий кризис теоретико-множественной математики представляет собой необходимую фазу процесса математического познания, в ходе которой проявляются и преодолеваются многочисленные противоречия фундаментального характера, накопленные математической наукой в процессе ее становления, фазу, непосредственно предшествующую скачкообразному переходу математики в новое качественное состояние.

С функциональной точки зрения общий кризис теоретико-множественной математики может быть определен как составная часть общего кризиса гносеологии, нараставшего, несмотря на успехи человечества в частных научно-технических дисциплинах, на протяжении всей человеческой истории.

Со структурной точки зрения общий кризис теоретико-множественной математики представляет собой ситуацию взаимной и внутренней противоречивости основных математических дисциплин, базирующихся  на теоретико-множественной парадигме, выступающей сегодня в качестве доминирующей формы интеграции математического знания. При этом противоречивость частных математических дисциплин рассматривается и эксплицируется как следствие противоречивости основного средства их объединения и обоснования — общей теории множеств.

С содержательной точки зрения общий кризис теоретико-множествен-ной математики представляет собой совокупность конкретных логико-мате-матических противоречий, выявляемых при  анализе базовых понятий, аксиом и способов доказательства, лежащих в основаниях исследуемой предметной области. 

Сделав эти предварительные замечания о понятии общего кризиса теоретико-множественной математики, попытаемся сформулировать его сущность и установить наиболее характерные черты.

Мы рассматриваем эволюцию теоретической математики, начиная с античности, как  органическое единство трех основных фаз — понятий, представляющих собой различные ступени познания, определения и формализации бесконечного и связанных между собой механизмом отрицания отрицания.

Названные фазы — понятия суть следующие:

а) конечное (актуальное) и неопределенное бесконечное («апейрон»);

б)  частично определенное,  потенциальное бесконечное;

в)  вполне определенное, актуальное бесконечное ( «метаапейрон»).

На первой стадии развития теоретической математики, на фоне устойчивых общефилософских взглядов на бесконечность как на неопределенность, как на некое первичное творческое начало, порождающее весь умопостигаемый универсум («апейрон» Анаксимандра), доминировали конечные актуалистские представления о вселенной,  ее частях и элементах  (Пифагор, Демокрит и др.) и эмпирические методы познания конктретных пространственных объектов (геометрия Фалеса).

Под воздействием потребности к росту уровня абстрактности математического мышления,  степени точности отражения количественной определенности множественных объектов все большей размерности и качества идеализации математического инструментария античная математика постепенно эволюционировала в сторону потенциалистских представлений о математической структуре мира. Бесконечность постепенно становилась все более значимым  и точным понятием, постепенно утрачивая черты абсолютной неопределенности и внематематичности, приписываемые ей еще со времен Анаксимандра.

Переход от конечного и абсолютно неопределенного бесконечного к частично определенному потенциально бесконечному в качестве идейной доминанты формальных систем мышления проходил, однако,  отнюдь не безболезненно, сопровождаясь непримиримой борьбой различных философских и математических школ и, главное, паралогичным смешением свойств актуального и потенциального в определениях ключевых математических понятий и логических законов.

Свидетельством этой борьбы и итоговой паралогичности представлений древнегреческих ученых о бесконечности являются многочисленные логико-математические парадоксы, дошедшие до нас из античности. Тем не менее, уже в античности были выявлены и достаточно точно сформулированы все системообразующие идейные коллизии, «точки бифуркации» самопротиворечивой теоретической мысли, которые и поныне составляют существо общего кризиса математики.

В средние века усилиями теологов, философов и математиков христианской ориентации (Августин Блаженный, Фома Аквинский) в системах мышления был осуществлен резкий сдвиг в пользу признания и углубленного изучения актуально бесконечного, что объясняется, по-видимому, в большей мере теологическими причинами, чем причинами естественно-научными или собственно математическими. В этот период идея актуальной бесконечности активно разрабатывалась также арабскими математиками (Сабит Ибн Корра), что положительно отразилось впоследствии и на европейской математике.

Разумеется, в  период средневековья и в более позднее время речь не идет о каком-либо доминировании актуальной бесконечности над бесконечностью потенциальной. Напротив, большинство успехов математической науки в средние века, в новое и в новейшее время связаны с понятием потенциальной бесконечности (прежде всего — в математическом анализе), но актуальная бесконечность постепенно становится фактором, фоном, постоянно присутствующим в математических изысканиях, что периодически признавалось наиболее авторитетными членами математического сообщества.

Перелом в идейных и целевых ориентациях математического сообщества наступил лишь с созданием Г. Кантором теории множеств, которая, как ему казалось (ошибочно), была построена всецело на понятии актуальной бесконечности. Уже эта первая попытка квазиактуализации потенциальной бесконечности была, по мнению многих, настолько успешной, что в относительно короткие сроки большая часть математического сообщества включилась в процесс перестройки математики на платформе канторовской теории множеств. 

Выявленные в конце XIX — начале XX веков теоретико-множественные парадоксы несколько пошатнули авторитет канторовской теории множеств и привели к реанимации откровенно потенциалистских направлений в математике (интуиционизм, конструктивизм), однако проблема была временно решена путем объявления выявленных противоречий имманентными особенностями самой предметной области (бесконечных множеств), а не субъективными ошибками в теоретико-множественных основаниях математики.

В настоящее время в математике наблюдается некоторое динамическое равновесие между квазиактуалистской и потенциалистской рефлексиями бесконечности, объясняемое, по-видимому, недостаточной для изменения баланса сил готовностью сторон, позиции каждой из которых весьма и весьма уязвимы в логическом отношении.

Подобная ситуация могла бы длиться бесконечно долго, если бы не объективная потребность в познании таких предметных областей, которые являлись «табу» как для средневековой, так и для традиционной современной науки. Речь идет о различного рода пограничных, паранормальных явлениях в психологии, физике, биологии, человеческой истории и т.д., для изучения и адекватной экспликации которых необходим принципиально новый механизм мышления, основанный на в высокой степени определенной и иерархизированной идее актуальной бесконечности.

Это заставляет резко ускорять исследования в области оснований логики и математики и форсировать переход к идее определенной и иерархизированной актуальной бесконечности как основе будущих систем мышления.

По нашему мнению, математика сегодня находится в последней точке своего потенциалистского периода развития, непосредственно предшествующей наступлению фазы полного доминирования  теоретических формальных систем, основанных исключительно на понятии актуальной бесконечности (при полном устранении всяких следов ее былой потенциализации).

Говоря о сущности общего кризиса теоретико-множественной математики в контексте вышесказанного, необходимо отметить, что она может быть определена в эволюционном смысле двояким образом.

Во-первых, в широком смысле кризисной можно считать всю осознанную историю математики, поскольку последняя в течение последних почти двух с половиной тысяч лет существовала в условиях нерешенности  проблем достаточного обоснования ключевых понятий  и множественной самопротиворечивости, а также оказалась не в состоянии своевременно перейти к идее количественно определенной актуальной бесконечности в качестве своего теоретического и методологического фундамента (что было возможно, вообще говоря, еще в античности).

Во-вторых, общим кризисом математики можно считать последнюю стадию потенциалистского периода ее развития — от Г. Кантора —  до наших дней, поскольку именно в этот период со всей очевидностью проявилась противоречивость всех наличных базовых теоретических конструкций и крайне обострилась борьба между потенциалистской и актуалистской рефлексиями, могущая завершиться только полной победой одной из них.

Если же говорить о сущности общего кризиса теоретико-множествен-ной математики в сугубо содержательном смысле, то она состоит в выявлении и эспликации факта неадекватности и противоречивости трактовки базовых понятий и отношений, связанных с бесконечностью вообще и с актуальной бесконечностью — в особенности, на протяжении всей истории теоретической математики.

Достаточно сказать, что такой всемирно известный поборник и защитник актуальной бесконечности, как Г. Кантор, на самом  деле отстаивал лишь слегка модернизированный вариант потенциальной бесконечности — иерархизированную потенциальную бесконечность, паралогичным образом приписывая ей свойства бесконечности актуальной (этот тезис будет всесторонне аргументирован ниже).

В настоящей работе в той или иной степени найдут свое отражение и обоснование все перечисленные позиции и подходы к экспликации общего кризиса теоретико-множественной математики, однако, учитывая обширность проблематики, целесообразно выделить некоторые ключевые содержательные моменты анализа, через призму которых можно максимально компактно и, вместе с тем, системно изложить весьма разнородный  материал, относящийся к делу.     

К таковым следует, на наш взгляд, отнести следующие:

— кризис используемых в гносеологии и  теоретико-множественной математике концепций истины;

— логико-методологические причины общего кризиса теоретико-множественной математики;

— противоречия теоретико-множественной математики в целом и ее основных частей: арифметики, геометрии, математического анализа.

Рассмотрение противоречий теоретико-множественной математики  мы будем вести, главным образом, на материале канторовской (содержательной или «наивной») теории множеств.

Это не означает, однако, что ее современные формальные интерпретации свободны от тех противоречий, о которых пойдет речь. Дело в том, что главным мотивом создания современных формальных теоретико-множественных систем было устранение «парадоксов» содержательной теории множеств, которые, по общему мнению, лежали на ее границах, «периферии» и не затрагивали  основного содержательного ядра.

Мы же утверждаем, что канторовская теория множеств противоречива в самом ее существе, в наиболее общих понятиях и принципах, которые в  инвариантном виде были перенесены в современные формальные логико-математические системы. Поэтому приводимые ниже возражения вполне общезначимы и не нуждаются в переводе «с языка — на язык». При необходимости мы будем обращаться и к современным версиям теории множеств.

       

1.1. Кризис понятия истины в формальных гносеологических системах

Любая серьезная попытка критики оснований какой-либо устойчивой теоретической конструкции  и ее последующей реконструкции по необходимости должна вестись с методологических и теоретических позиций, выходящих по уровню общности и глубине далеко за рамки  исследуемой предметной области.

Когда же речь идет о такой предельно общей синтетической научной дисциплине, как теоретико-множественная математика, то необходимым расширением предметной области (по крайней мере, на первых шагах исследования) может быть лишь теория познания в целом.          

В этой связи первой и, по-видимому, главной в ряду проблем, подлежащих  анализу при рассмотрении причин общего кризиса математики, является проблема обоснования истинности логико-математического знания.

Общая гносеология знает множество подходов к решению данной проблемы применительно к произвольной предметной области, однако два из них в истории науки являются доминирующими по своему значению.

Речь идет о «классической» или «корреспондентской» (истина — это мера соответствия знаний действительности) и «когерентной» (истина — это мера самосогласованности, непротиворечивости системы знаний) концепциях истины.

Гносеологическая дискуссия по проблеме сущности и критериев истины, длившаяся более двух тысяч лет, показала как сильные, так и слабые стороны каждого из названных подходов, но и не привела по сей день к сколь-нибудь удовлетворительному решению проблемы. Более того, проблема выбора и обоснования базовой парадигмы истины сегодня остра, как никогда ранее.    

Так, классическая (корреспондентская) концепция истины, доминировавшая в теории познания со времен античности — и до начала ХХ века, отстаивая очевидную необходимость согласования знаний с фактами объективного мира, оказалась бессильной перед проблемой зависимости итогового знания от свойств субъекта познания и интеллектуального инструментария, с которым он подходит к процессу познания. 

Когерентная концепция истины, выдвигая в качестве высшего критерия истины не менее очевидное требование о необходимости самосогласованности и непротиворечивости научной теории, не смогла до сегодняшнего дня представить достаточно убедительных доказательств как фактической непротиворечивости существующих систем знания (или, хотя бы, одной из них), так и теоретической возможности построения саморазвивающейся системы знаний, обладающей, одновременно, свойством перманентной непротиворечивости.

Напротив, гегелевской диалектикой были представлены достаточно весомые, хотя и далеко не всеми членами логико-математического сообщества разделяемые, аргументы, свидетельствующие, что прогрессивное развитие процесса познания возможно только через выявление до времени скрытых фундаментальных противоречий в существующих системах знания и их  преодоление («снятие») путем отыскания действительных причин противоречивости и их устранения.

На наш взгляд, ни одна из упомянутых концепций истины не обладает гносеологическим потенциалом, достаточным для «поглощения» или полного дезавуирования противоположного подхода, не говоря уже о реальном решении проблемы.

Более того, именно периодические попытки выдвижения одного из названных подходов в качестве доминирующего в теории познания можно рассматривать как серьезный фактор дестабилизации всеобщего гносеологического процесса и порождения в нем кризисных явлений, в наиболее острой форме проявляющихся сегодня в логике и математике.

Применительно к наукам логико-математического комплекса сказанное можно эксплицировать следующими соображениями.

Классическая (корреспондентская) теория истины, разделяемая в античности почти всеми противоборствующими философскими школами, в сфере логики и математики изначально  столкнулась с двумя фундаментальными проблемами.

Первая из них была связана с необходимостью идеализации философских, логических и математических понятий в целях повышения общности, устойчивости и точности мышления. Особенно ярко это проявилось в геометрии (в частности при переходе от сугубо эмпирической геометрии Фалеса  к в высокой степени идеализированной геометрии Евклида). Мотивы такой идеализации были вполне понятны и правомерны, однако сам факт перехода к использованию идеализированных понятий в качестве инструмента познания был в некотором роде диссонансом базовой идее классической теории истины, поскольку немедленно возникал вопрос о правомерности  идеализации действительности вообще и избранных способов идеализации — в частности.

Действительно, переход от непосредственно чувственно постигаемых и  очевидных понятий (эмпирически «сущего») — к искусственным,  заведомо отличным от имеющих место в реальной действительности, понятиям (эмпирически «не-сущему»), прямо противоречил, например, эмпирически понимаемому тезису Аристотеля о том, что «… говорить о сущем, что его нет, или о не-сущем, что оно есть, — значит говорить ложное; а говорить, что сущее есть и не-сущее не есть, — значит говорить истинное» (4, т.1, с. 417).  

Уход от немедленного противоречия корреспондентской концепции истины в этой ситуации был возможен только на пути установления жесткого априорного приоритета общих, абстрактных истин (сущности) над истинами частными, эмпирическими (явлением), что и было сделано в общих чертах в аристотелевской логике (теория сущности и явления) и в геометрии (изобретение аксиоматического метода). 

Однако, это привело, во-первых, к резкому фактическому росту значения субъекта и его интеллектуального инструментария в процессе познания (в противоречие корреспондентской установке), во-вторых,  к проблеме невозможности доказательства истинности избранных (из множества возможных) способов идеализации действительности и, в-третьих, к явной недооценке античной наукой эмпирического (экспериментального) метода познания. Именно этим, на наш взгляд, объясняется тот факт, что если аристотелевская «Метафизика» и поныне сохраняет свое гносеологическое значение, то его «Физика» воспринимается сегодня лишь как литературный артефакт, имеющий ценность только для историков науки.

Вторая проблема корреспондентской концепции связана с невозможностью установления конечного критерия истины.     

Данная проблема имеет два аспекта. 

Один из них известен со времен стоиков как  парадокс бесконечного регресса. Суть названного парадокса сводится к следующему рассуждению: для  установления истинности некоторого тезиса нужен надежный критерий истины; последний, в свою очередь, нуждается в верификации каким-либо другим, еще более надежным  критерием и т.д., что, очевидно, невозможно.

Второй аспект рассматриваемой проблемы связан с невозможностью удовлетворительной верификации универсальных утверждений по поводу понятий с большим или бесконечным  объемом.

Очевидно, что к современной ситуации в математике оба аспекта проблемы критерия истины имеют самое непосредственное отношение.

Другими словами, в классической концепции истины на протяжении всей осмысленной истории познания был ощутим некий скрытый логический круг, противоречие, которое сегодня выявляется с пугающей очевидностью.

Хотя неблагополучие в логике и математике, порождаемое (не в последнюю очередь) доминированием корреспондентской концепции истины, начало ощущаться  еще в античности («парадокс Лжеца», «парадокс бесконечного регресса»), она продержалась в качестве базовой логико-методологической парадигмы  вплоть до конца ХIХ века и всерьез была поставлена под сомнение только жесткой методологической установкой основателя теории множеств Г. Кантора, считавшего, что лишь непротиворечивость математического объекта может считаться необходимым и достаточным условием его существования, и, как ни странно, выявленными к началу ХХ века теоретико-множественными парадоксами и противоречиями, стимулировавшими самим фактом своего существования интенсивные исследования в области метаматематики, призванные полностью перестроить математическую науку с позиций когерентной концепции истины.              

Так или иначе, начало ХХ века было ознаменовано резкой сменой методологических ориентаций в теории логико-математической истины и усилением позиций когерентной концепции, отстаивавшей непротиворечивость как верховный критерий логической и математической истинности формальной теории.

При этом в философии математики со времен Г. Кантора считалось хорошим тоном всячески поносить Г.В.Ф. Гегеля, еще в первой трети ХIХ века абсолютно правомерно утверждавшего невозможность перманентной непротиворечивости любых развивающихся гносеологических систем, и игнорировать тот факт, что когерентная установка в канторовской трактовке противоречива в самой сути.

Действительно, возможно ли говорить о самонепротиворечивости как о верховном критерии истинности какой-либо формальной теории, если единственным способом доказательства  непротиворечивости по сей день является интерпретация данной формальной теории,  сведение ее к некоторой другой формальной теории, непротиворечивость которой считается устойчивым эмпирическим фактом (то есть к теории, в которой в течение длительного времени  не проявлялись серьезные противоречия)? 

Даже если принять существующие процедуры интерпретации произвольной формальной теории в качестве логически и методологически полно-ценных, то есть не искажающих  суть исходной теории при переводе ее «с языка — на язык» (что само по себе — избыточно сильное предположение с учетом факта наличия в каждой формальной теории множества латентных допущений и разветвленного аксиологического подтекста), то остается открытым вопрос о вторичности, производности когерентной концепции истины, ее безусловной зависимости от внешних (в конечном счете — эмпирических, корреспондентских) источников верификации.

А это — логический круг, тупик, возврат к классической концепции истины. При этом никто не гарантирует, что «конечная», самая непротиворечивая, надежная  и наиболее эмпирически состоятельная на какой-то момент времени формальная система, относительно которой верифицированы и интерпретированы все остальные формальные системы (например, арифметика) через какое-то время не окажется противоречивой.

Обратимся к канторовской версии обоснования когерентной концепции истины. Г. Кантор, в частности, писал: «Математика в своем развитии совершенно свободна и связана лишь тем само собой разумеющимся условием, что ее понятия должны быть непротиворечивы, а также должны находиться в неизменных, установленных определениями отношениях к образованным раньше и уже имеющимся налицо испытанным понятиям» (45, с. 80).

На наш взгляд, данная установка (при условии доминирования принципа когерентности) противоречива. Дело в том, что «имеющиеся налицо испытанные понятия» и включающие их математические системы создавались в рамках корреспондентской теории истины и высшим критерием своего существования изначально имели максимально возможную степень соответствия действительности, универсуму. При этом корреспондентская концепция истины никогда не претендовала на абсолютное соответствие порождаемых под ее методологическим «протекторатом» моделей реальности — самой действительности. Это означало бы заявку на владение абсолютной истиной, что, очевидно, невозможно. Следовательно, в рамках корреспондентской концепции истины была вполне допустима ситуация неполного, непрерывно уточняемого, динамического соответствия условно принятых в качестве истинных понятий и представлений об универсуме — самому универсуму, переход от одной системы идеализации действительности — к другой, более высокой и адекватной.

Отказ от корреспондентской концепции истины, манифестированный уже Кантором и усиленный его последователями, фактически абсолютизировал те онтологически несовершенные модели универсума, которые к концу ХIХ века были наработаны логикой и математикой, априори конвенционально гарантировал их непротиворечивость, поскольку новые логические и математические понятия, как это следует из вышеприведенного канторовского высказывания,  лишь надстраивались на уже готовый базис, наработанный наукой прошлого, оставляя его практически без изменений.

Это означает, что сама установка на обеспечение непротиворечивости конкретной математической теории, о которой вел речь Г. Кантор, изначально противоречива, поскольку если не новые, то старые (априори по определению несовершенные) понятия математики могли содержать (и содержали) скрытые, латентные противоречия чисто содержательной, онтологической природы, которые, успешно пройдя в инкубированной форме один цикл «испытаний»,  могли проявиться (и проявились) во втором и т.д.

Следовательно, тезис о «свободе математики» (во всяком случае, свободе от корреспондентской концепции истины, которая не содержала в себе принцип самонепротиворечивости в качестве абсолютного) — явное преувеличение и, притом, преувеличение, дорого обошедшееся самой математике, которая, будучи насквозь противоречивой, по сей день тратит огромные усилия в целях  доказательства собственной непротиворечивости.

Но проблема  не в потенциальной противоречивости «старых» понятий, хотя ниже мы покажем, что они противоречивы вполне актуально. В рамках когерентной установки Г. Кантору  не удалось корректно (непротиворечиво) ввести и определить даже «новые» понятия (прежде всего — базовое понятие своей теории — понятие множества).

Сказанное подтверждается признаниями «позднего Кантора», сделанными им в переписке с Дедекиндом, в которых он, фактически, полностью дезавуирует собственную программу доказательства непротиворечивости всех видов введенных им в математику множественных объектов, требуя принять  непротиворечивость некоторых из них в качестве аксиомы арифметики.

Но самое главное, пожалуй, в том, что само требование непротиворечивости множественных объектов, как и любых других объектов — не — суждений, является, как это будет показано ниже,  не более, чем ошибкой нарушения закона тождества.

Таким образом, и в рамках когерентной концепции истины математике не удалось преодолеть ростки кризиса, проявившиеся еще в античности. Напротив, именно в рамках когерентной концепции общий кризис математики приобрел поистине катастрофические формы, угрожающие самому ее существованию в качестве науки.

На наш взгляд, выход состоит в разработке интегральной концепции истины, включающей в себя лучшие содержательные элементы и принципы классической и когерентной парадигм, а также разветвленную аксиологическую подсистему. 

Именно такая концепция истины, названная нами гармонической, и лежит в основании новой математической парадигмы, о которой речь пойдет во второй (позитивной) части настоящей работы.

1.2. Основные причины противоречивости теоретико-множественной математики

Специфика рассматриваемого общего кризиса (перманентной  противоречивости) теоретико-множественной математики  состоит в том, что он имеет многоуровневый характер.

Первый «слой» противоречий (или, как их принято называть, «парадоксов»), был обнаружен еще в конце ХIХ — начале ХХ Г. Кантором, Б. Расселом и  другими учеными. Новые противоречия, о которых речь пойдет ниже, — второй уровень противоречивости. Нет никакой гарантии, что в современной  математике не будет найдено третьего и последующих уровней противоречивости, если останется латентной истинная причина их появления.

На наш взгляд, главная причина многоуровневой противоречивости теоретико-множественной математики кроется в несовершенстве принятой в ней теории определения  и в связанных с этим обстоятельством систематических ошибках нарушения  закона тождества.

Чтобы показать истинность данного утверждения, нам необходимо рассмотреть ряд теоретических вопросов, оставшихся вне поля зрения как классической, так и современной формальных логик. Хотя при этом нам и придется вводить некоторые новые понятия и определения, мы не считаем нижеследующую критику теории определений и формальной логики в целом «внешней», апеллирующей к чуждым им представлениям, поскольку  выдвигаемые тезисы не противоречат ни одному из принятых в логике  фундаментальных положений и лишь уточняют то, что было в ней до сей поры неопределенным.

1.2.1. Ошибки неразличимости предикатов и метапредикатов в логико-математических теориях

И в классической,  и в современной логиках до сего дня остается латентным тот в общем-то очевидный и легко мотивируемый факт, что главный инструмент познания,  основная форма фиксации и воспроизводства знания, — понятие — может рассматриваться с двух совершенно различных, не сводимых одна — к другой,  точек зрения.

Согласно первой из них, восходящей к Аристотелю (назовем ее логической, формальной), понятие — это целостная субординированная совокупность суждений, удовлетворяющая принятым в той или иной системе знания канонам логической правильности определения и утверждающая (или отрицающая) наличие у рассматриваемого объекта какой-либо совокупности признаков (предикатов).

Согласно второй точке зрения (назовем ее онтологической, экзистенциальной), понятие — это идеализированный объект (модель, аппроксимированная копия какого-либо объекта некоторой реальности — материальной или ментальной — не имеет значения), состоящий (если он внутренне дифференцирован) из других объектов (моделей), рассматриваемых как части или элементы первого. Или, иначе, понятие — это объект, экзистенциализированный в мышлении формальный образ некоторого объекта (референта, денотата, десигната), существующего в отображаемой мышлением реальности.

Различие между двумя этими определениями термина «понятие» достаточно тонко и сводится к тому, что в первом случае одно и то же понятие рассматривается как  совокупность суждений, как целостное мегасуждение, то есть в логическом контексте, а во втором — как самостоятельный квазионтологический объект, с которым в некоторой системе знания можно мысленно оперировать, как с реальным (онтологическим или ментальным) объектом, являющимся его прототипом, то есть в онтологическом, экзистенциальном контексте.

Соответственно, необходимо различать и способы оперирования с понятием, рассматриваемым с двух названных существенно отличных друг от друга точек зрения: логической (формальной) и онтологической (экзистенциальной). 

Более того, выясняется, что названные точки зрения (формы, способы существования понятия в системе мышления) не только качественно различны, но и логически, операционно несовместимы (с понятием,  рассматриваемым с формальной, логической точки зрения, нельзя обращаться также, как с тем же понятием, рассматриваемым с экзистенциальной точки зрения, — и наоборот).

В целях экспликации указанной несовместимости остановимся, вначале, на анализе логических особенностей дихотомической связки: понятие-объект (модель) — единичное суждение. 

Напомним значение некоторых понятий формальной логики, которые понадобятся нам в последующем рассмотрении.

В стандартных  курсах  логики под  «суждением»  понимается форма мысли, в которой утверждается или отрицается нечто относительно предметов  и  явлений (их свойств,  связей и отношений) и которая обладает (в частности) некоторым истинностным значением,  то есть свойством выражать либо истину, либо ложь.

«Субъект суждения»  обычно трактуется как часть суждения, которая отображает предмет мысли (логическое подлежащее).

«Предикат суждения» — логическое сказуемое, то, что высказывается в суждении о субъекте.

«Референт» (денотат,  десигнат) — предмет мысли, с которым соотнесено данное языковое выражение (в нашем случае — онтологический или ментальный прообраз понятия-объекта).

«Истинностное значение»  — основное качество суждений,  с которыми оперирует мышление, «быть истиной» (положительное истинностное значение) или «быть ложью» (отрицательное истинностное значение).

За исключением некоторых,  не относящихся к делу, нововведений типа понятия «предикат от предикатов»,  сказанное — все,  что классическая  и современная логики могут предложить для осмысления проблемы.

Поэтому введем также некоторые новые, но вполне корректные с позиций стандартной формальной логики дополнительные определения.                

Метасуждение — это суждение, субъектом которого является некоторое самостоятельное суждение (комплекс суждений) или его  логический представитель (символ),  а предикатом — некоторое свойство суждения — субъекта. В случае, если место суждения — субъекта в метасуждении занимает его логический представитель, должна быть гарантирована возможность верификации логических свойств термина — представителя.  Референтом метасуждения всегда является суждение.

Примечание. Понятие «метасуждение» нельзя путать с понятием «метавысказывание», часто употребляемым  в  некоторых  формальных системах (в частности в исчислении высказываний), поскольку термин «высказывание» употребляется в названных системах как  неделимый объект, в то время как весь смысл нашего рассуждения состоит в упорядочении и уточнении внутренней структуры   особого  рода суждений  —  метасуждений и экспликации на этой основе ошибки нарушения закона тождества, повсеместно встречающейся в теоретико-множестенной математике и в метаматематике.

Метасубъект — это часть метасуждения, представляющая (обозначающая) собой самостоятельное суждение и выполняющая роль логического подлежащего.

Метапредикат — это часть метасуждения, характеризующая некоторые свойства суждения — субъекта,  то, что высказывается о суждении — субъекте (логическое сказуемое).

К метапредикатам относится, например, истинностное значение (любому суждению можно приписать метапредикат  «истинно» или «ложно»). Следует отметить,  что  истинностное  значение  не  является единственным метапредикатом. В роли метапредиката может также выступать, например,  значение верифицируемости (доказано — недоказано), семантическое значение  (логически правильно — логически неправильно) и т.д. 

Метареферент (метаденотат, метадесигнат) —  предмет метасуждения,  некоторое независимое   суждение или комплекс суждений (понятие в его логической форме).

Сказанного достаточно, чтобы продемонстрировать различие между понятием-объектом и суждением  в смысле правомерности приписывания им тех или иных свойств.  

Мы утверждаем, что понятия-объекты (понятия-модели) не могут обладать свойствами суждений (метапредикатами) и наоборот, суждения не могут обладать свойствами понятий-объектов (обычными, онтологическими предикатами).

Действительно,  некоторый флаг, например, может быть красным (предикат), но не может быть истинным (метапредикат). Флаг названного вида (красный) существует или не существует, а не «соответствует действительности»; он сам — действительность (или ее отсутствие), ее фрагмент, также, как и его представитель в мышлении — понятие-объект, понятие-модель — «флаг». 

Обратно, суждение «Этот флаг красный» может быть истинным или ложным — в зависимости от реального цвета рассматриваемого флага, однако данное суждение само не может быть «красным» и, вообще, обладать каким-либо «цветом» (предикатом).

В реальной логической практике, однако, это очевидное различие по сей день не осознается, что приводит к множественным ошибкам нарушения закона тождества (взаимной неправомерной подмены, паралогичного отождествления предикатов и метапредикатов) в конкретных логико-математических рассуждениях.

В рамках дихотомической связки «понятие-объект» — «единичное суждение» примером паралогического смешения предикатов и метапредикатов может служить всемирно известный еще со времен античности «парадокс Лжеца».

Попытаемся эксплицировать содержащуюся в «парадоксе Лжеца» логическую ошибку с вышеизложенных позиций различения логических свойств предикатов и метапредикатов.                         

Несмотря на то, что в настоящее время известны десятки семантических, логических  и  математических  парадоксов  и апорий, «парадокс лжеца» занимает особое место. Во-первых, он является наиболее доступным из множества парадоксов и, в силу этого, наиболее известным из них. Во-вторых, он первичен по отношению ко многим другим парадоксам и, следовательно, последние неустранимы, пока не разрешен «парадокс лжеца». В-третьих, его логическая форма (как мы убедимся ниже) является краеугольным камнем для  выявления наиболее общих ошибок общей теории множеств  и метаматематики.

Напомним вначале,  что «парадокс  лжеца» имеет целый ряд похожих друг на друга формулировок.

Приведем некоторые из них:

— «Все критяне — лжецы» (тезис, высказанный критянином);

— «Я лгу»;

— «Я высказываю сейчас ложное предложение»;

— «Все, что Х утверждает в промежуток времени Р — ложь»;

— «Это утверждение ложно»;

— «Это утверждение не принадлежит к классу истинных высказываний».

Хотя приведенный  список далеко не полон, он дает некоторое представление о сути проблемы. Логическая проблема состоит в том, что предположение о ложности приведенных высказываний ведет к их истинности и наоборот.

История логики знает множество попыток и подходов к разрешению данного парадокса.

Одна из первых — попытка представления «парадокса лжеца» в качестве софизма. Суть такого представления в том, что в реальной жизни ни один лгун не говорит только ложь. Следовательно, парадокс — софизм, основанный  на ложной посылке. Такое объяснение приемлемо для ранних формулировок  парадокса, но не «снимает» парадокс в его более точных современных формулировках.

В настоящее  время  одной  из приемлемых экспликаций данного парадокса,  достаточной для его элиминации из корректных логических рассуждений, считается следующая: некто должен специфицировать (выделить) не-который язык Х и сделать утверждение: «Каждое утверждение, которое Я делаю в данное время,  является ложным утверждением в Х». Но «ложное утверждение в Х» не может быть выражено в Х. Следовательно, рассматриваемое утверждение было сделано в некотором другом языке, и парадокс исчезает.

Данная экспликация,  по нашему мнению, довольно искусственна и  свидетельствует,  скорее,  о затруднениях современной логики в разрешении «парадокса лжеца», о непонимании существенных различий между предикатами и метапредикатами,  чем об устранении данного парадокса.

Рассмотрим, вначале, один частный случай парадокса Лжеца, который, хотя и не имеет непосредственного отношения к эксплицируемой проблеме, тем не менее, оставшись без внимания, может создавать фон некоторой семантической неопределенности вокруг парадокса.

Когда мы говорим,  что какой-то человек лжет, мы полагаем, что он совершает сознательное действие, направленное на искажение действительности и дезинформирование собеседника.

То есть употребляем понятия «ложь», «лжет», «лгать» в качестве предикатов некоторого суждения, субъектом которого является некоторый человек, характеризуемый как «лжец». Когда же мы говорим, что некоторое утверждение ложно, мы подразумеваем, что оно не соответствует действительности. В этом случае ни о каком осознанном действии по искажению информации речь не идет. Мы лишь констатируем характер истинностного значения суждения. Это означает, что понятие «ложь» правомерно используется в двух различных смыслах, которые, однако, нельзя смешивать и отождествлять в рамках одного рассуждения.

Данное соображение позволяет сразу устранить  из рассмотрения часть формулировок «парадокса лжеца», в которых фигурирует некоторое лицо,  утверждающее, что оно лжет (осознанно искажает действительность) или лживо (обладает склонностью ко лжи). В частности, тот факт, что критяне обладают свойством (предикатом) лживости, никакого отношения не имеет к  истинностному значению данного высказывания, которое вполне может быть истинным, даже если оно сделано критянином (лжецом).

Действительно, если сделавший данное двусмысленное заявление критянин — лжец, как и прочие критяне (в соответствии с упомянутым заявлением), то это не означает,  что ложно само утверждение. Отсюда следует только, что наш герой не только лжив (как и все критяне), но и самокритичен.

Более сложным образом дело обстоит, когда речь идет о самореферентных  высказываниях.

Выше уже говорилось о том, что «ложь» как одно из двух возможных истинностных значений суждения,  является предикатом суждения в целом, метапредикатом, а не какой-либо его отдельной части. Истинностным значением (в частности значением ложности) обладает лишь факт приписывания субъекту суждения некоторого свойства (предиката), факт соответствия сказанного — действительности, то есть суждение в целом.

Иное употребление  истинностного значения ведет не к ложности, а к бессмысленности генерируемых суждений (даже если они корректны с грамматической точки зрения).

Почему же в таком случае утверждения типа «Данное утверждение ложно» не кажутся бессмысленными и в течении более двух тысяч  лет рассматриваются как «парадоксы»?

Дело в том, что в некоторых случаях референтом (а, следовательно,  субъектом) некоторого суждения могут выступать другие суждения. В таких случаях истинностное значение ставится  на  место обычного предиката и создается логическая иллюзия, что истинностное значение (метапредикат) корректно употребимо в статусе предиката субъекта суждения. 

Рассмотрим, например, комплекс из двух суждений:

«Все люди смертны. Данное утверждение истинно.»

В этом случае первое суждение  является  обычной логической формой,  в которой есть субъект (все люди), предикат (смертность) и отношение приписывания второго — первому. Что же касается второго суждения, то его субъект является лишь сокращенной формой (символом) первого суждения и не может рассматриваться иначе, чем  как метасубъект.

Об этом  свидетельствует  возможность объединения двух рассматриваемых суждений в одно без потери смысла: «Утверждение: «все люди смертны» — истинно» или «Истинно,  что  «все  люди  смертны»». Здесь субъектом суждения с очевидностью является самостоятельное суждение, а истинностное значение «истинно» выступает в свойственном ему статусе мета-предиката.

Что же касается самореферентных псевдосуждений типа: «Данное утверждение ложно», то словосочетание «данное утверждение» не является здесь представителем (символом) какого-то  другого  суждения  (как  в только что рассмотренном случае), точнее, является «лжепредставителем» несуществующего суждения, а, следовательно, истинностное значение «ложно» здесь употреблено в статусе обычного предиката, что, как мы выяснили выше, недопустимо (бессмысленно).

Исходя из сказанного, утверждения, аналогичные «парадоксу лжеца» вообще не являются осмысленными суждениями и их следует считать паралогичными (лишенными логического смысла, логически некорректными) в силу нарушения закона тождества, выражающегося в логически неправомерном отождествлении областей значения предикатов и метапредикатов.

Рассмотрев в главных чертах дихотомическую связку: понятие-объект —  единичное суждение, перейдем к анализу особенностей более общей связки: понятие-объект —  понятие-мегасуждение (понятие-комплекс суждений).

Именно это противопоставление содержит в себе потенциал объяснения наиболее фундаментальных логических ошибок общей теории  множеств: ошибок, связанных с проблемой противоречивости теоретико-множественных объектов и понятий.

Очевидно, что для получения логического противоречия нужно, как минимум, два суждения, противоречащих друг другу (А и не-А). Поэтому в рамках дихотомической связки: понятие-объект —  единичное суждение логические ошибки этого вида просто не могут проявиться (единичное суждение не может быть самопротиворечивым, как было показано на примере «парадокса Лжеца»). Другое дело, когда понятию-объекту сопоставлено некоторое понятие-мегасуждение. В структуре последнего вполне могут содержаться два взаимно противоречащих суждения, являющихся предпосылкой  возникновения особой логической ошибки, о которой пойдет речь ниже.

Суть этой фундаментальной ошибки, пронизывающей сегодня всю математическую логику,  математику и метаматематику, состоит в непонимании того факта, что термин «противоречивость (непротиворечивость)» — это метапредикат, предикат комплекса (как минимум — пары) суждений, который не может быть использован в качестве характеристики понятия-объекта, то есть в качестве обычного предиката.

Другими словами, понятия, теории, формальные системы, множества и т.п. могут быть противоречивыми в качестве понятий — комплексов суждений, мегасуждений, но не могут быть противоречивыми в качестве понятий-объектов.

В частности, не может быть противоречивых онтологических объектов (яблок, самолетов и т.д.) и квазионтологических ментальных объектов (множеств, систем, чисел и т.п.). Понятия-объекты этого рода могут только существовать или не существовать в некоторой формальной системе. Существовать в некоторой формальной системе и, при этом, «быть противоречивыми», то есть существовать и не существовать одновременно они не могут.  Противоречивость понятия-мегасуждения о каком-либо понятии-объекте — нормальное логическое основание для несуществования данного понятия-объекта в формальной теории.

Если же в некоторой формальной теории допускается в качестве нормального явления противоречивость  какого-либо правомерно существующего в ней понятия-объекта, то это — основание для несуществования той формальной теории, в которой допускаются подобные логические ошибки.

Между тем, подобное смешение свойств понятий-объектов (предикатов) и понятий-мегасуждений (метапредикатов) и, что страшнее всего, допущение справедливости тезиса о логически корректной самопротиворечивости понятий-объектов встречаются в теории множеств и в метаматематике повсеместно. 

Рассмотрим некоторые наиболее важные примеры.

В конце жизни, оказавшись не в состоянии эксплицировать логические ошибки, содержащиеся в разработанной им теории множеств, Г. Кантор пришел к выводу, что противоречивость — имманентное свойство фактически всех видов множеств. Приведем несколько  наиболее красноречивых высказываний на эту тему, содержащихся в его переписке  с Дедекиндом.

Так, Г. Кантор писал: «Если мы  исходим  из  понятия  определенной множественности (системы, совокупности) вещей,  то мне представляется необходимым  различать множественности  двоякого рода (речь всегда идет об определенных множественностях). А именно множественность может обладать тем свойством, что допущение «совместного бытия» всех ее элементов приводит к противоречию, так что эту множественность нельзя рассматривать как «единство», как «некую  завершенную вещь». Такие множественности я называю абсолютно бесконечными или неконсистентными множественностями.

Как легко убедиться,  «совокупность всего мыслимого», например, является подобной множественностью;  далее появятся и другие примеры.

Напротив, если совокупность элементов некоторой множественности можно без противоречия мыслить как совокупность «совместно существующих элементов», так что возможно их объединение в «единую вещь», то я называю ее консистентной совокупностью или «множеством» … Две эквивалентные  совокупности  или  обе являются «множествами», или обе неконсистентны» (45, с.363 — 364).

Далее: «…Приходится спросить: откуда же я знаю, что вполне упорядоченные множественности или последовательности, которым я приписываю кардинальные числа … действительно являются «множествами» в объясненном смысле этого слова,  т.е.  «консистентными множественностями»? Нельзя ли вообразить,  что «неконсистентными» окажутся уже  эти множественности и что противоречивость предположения о «совместном бытии всех их эле-ментов» осталась  еще  незамеченной? Мой ответ на это состоит в том, что указанный вопрос относится и к конечным множественностям и что точное размышление приводит к  такому  результату:  даже  для конечных множественностей нельзя осуществить «доказательство» их «консистентности». Другими словами, факт «консистентности» конечных  множественностей является простой недоказуемой недоказуемой истиной — это «аксиома» арифметики (в старом  смысле  слова). Равным образом «консистентность» множественностей, которым я приписываю алефы в качестве кардинальных чисел,  является  «аксиомой»   обобщенной трансфинитной арифметики» (45, с.367-368).

Наконец: » … существуют определенные множественности, одновременно не являющиеся единствами, т.е. такие множественности, для которых  невозможно реальное  «совместное  бытие  всех их элементов». Это суть те,  которые я называю «неконсистентными системами»; остальные же я называю «множествами»» (45, с.369).

Нетрудно убедиться, что в приведенных высказываниях Г. Кантора в явном виде содержится логическая ошибка рассматриваемого типа. Действительно, будучи  не в состоянии обнаружить собственные логические ошибки, являющиеся основными причинами противоречивости его теории, Г. Кантор пытается объективизировать противоречие, представить дело таким образом, что противоречива не теория (мегасуждение), а понятия-объекты (множества), входящие в нее,  и что эта «имманентная противоречивость объекта (множества)» логически неустранима.  На самом  деле все обстоит совершенно иным образом.

Что касается «множества всего мыслимого» и ему подобных объектов, то их «неконсистентность (самопротиворечивость)» иллюзорна и объясняется  тем, что понятия-объекты с неопределенным объемом и составом вообще не могут быть полноправными объектами математизированной формальной теории, рассматривающей в качестве полноценных только объекты с определенным объемом и составом. То есть объекты типа «множества всего мыслимого» однозначно не имеют права на существование в математике ни в каком качестве, являются не существующими, а не противоречивыми. 

Рассмотрим этот вопрос более подробно на примере  «парадокса Кантора», полученного последним в 1899 году и до сих пор являющегося одним из основных доказательств внутренней противоречивости («неконсистентности») бесконечных множеств большой размерности.

Напомним, что суть данного парадокса состоит в следующем. Известно, что множество всех подмножеств некоторого множества М имеет кардинальное число, большее кардинального числа множества М. Если в качестве М взять множество всех множеств, это приводит к противоречию, поскольку по определению множество всех множеств — максимально большое (наиболее мощное) множество.

Для разрешения данного парадокса достаточно рассмотреть следующие два факта.

Первый факт состоит  в том, что в рамках формальной логики по признаку уровня квантитативной (количественной) определенности объема и состава понятия можно выделить понятия-объекты двух видов: понятия-объекты с квантитативно определенным объемом и составом и понятия-объекты с квантитативно неопределенным объемом и составом.

К виду квантитативно определенных понятий-объектов относятся, например, множества, определенные как «конечные» (включая все множества, объем которых специфицирован числительными) или «актуально бесконечные». Понятия-объекты этого вида наиболее распространены в теории множеств,  математике,  экономике и  инженерных дисциплинах. Основным условием их существования является либо единовременное предъявление всех, входящих в состав данного понятия, элементарных объектов, либо указание точной процедуры генерации элементов множества.

Квантитативно определенные понятия — основные понятия формальных систем (прежде всего — математических).

К виду квантитативно неопределенных понятий-объектов относятся такие понятия-объекты как, например, «множество людей». Понятия этого типа, определяемые через «ближайший род и видовое отличие», не нуждаются для своего существования в системе мышления в полном квантитативном определении своего объема. Достаточно того, что на основании указания ближайшего рода и видового отличия для каждого объекта универсума можно точно установить факт его принадлежности или не принадлежности к тому или иному множеству (объекту). Это гарантирует, что все объекты, имеющие общие свойства, входят в объем одного понятия.

Но факт вхождения всех однородных объектов в одно понятие, достаточный для общих (качественных) рассуждений, не делает объем данного понятия квантитативно определенным, поскольку все элементы данного множества не могут быть предъявлены одновременно или перечислены с помощью какой-либо логически корректной процедуры. Понятия-объекты данного вида — наиболее распространенные объекты логики Аристотеля и плохо формализованных (нематематизированных) сфер человеческой деятельности. Для использования подобных понятий (определенных через ближайший род и видовое отличие) в количественно точных рассуждениях всегда необходимо их доопределение, выражающееся в количественном анализе и оценке объема и состава рассматриваемого понятия.

Исходя из сказанного, очевидно, что понятие «множество множеств», например, — это понятие-объект с квантитативно неопределенным объемом, хотя все  множества — элементы объема данного понятия.

Второй факт состоит в том, что квантор общности «все», «для всех» — это логический оператор, выполняющий в суждениях функцию дополнительного условия, определяющего область значения  того или иного предиката. Квантор «все» никогда не употреблялся и не употребляется  в функции определителя количественного значения объема понятия-объекта, поскольку не может служить ни средством одновременного предъявления всех элементов множества, ни алгоритмом их перечисления.

Отсюда вытекает, что, вставляя в имя логически правомерного понятия-объекта «множество множеств» квантор «всех», инициаторы подобного лингвистического нововведения, по всей видимости, хотели квазикорректно перевести данное понятие из разряда понятий-объектов с квантитативно неопределенным объемом и составом в разряд понятий-объектов с квантитативно определенным объемом и составом (в целях его легитимизации в математической теории).

Но проблема в том, что полученное таким нехитрым образом  понятие-объект «множество всех множеств» не стало от этого более квантитативно определенным. Его элементы по-прежнему невозможно предъявить в явном виде, не появился и алгоритм перечисления элементов.

Следовательно, добавление квантора «все» в имя некоторого квантитативно неопределенного множества — не более, чем логически некорректная уловка, призванная создать иллюзию правомерности рассмотрения  данного множества в статусе квантитативно определенного, то есть математически корректного. Естественно, что подобная незаконная подмена свойств понятия ведет к логическому противоречию.

Соответственно, если уже «множество всех множеств» — паралогичный объект, не имеющий статуса существования в формальной логике (как в классической, так и в современной) и в математике или, в лучшем случае, лингвистически избыточно украшенный объект «множество множеств» с квантитативно неопределенным объемом, то и «множество всех подмножеств множества всех множеств» либо паралогично, либо (в виде «множества подмножеств множества множеств») представляет собой объект с квантитативно неопределенным объемом и составом.

В обоих случаях названные квантитативно неопределенные множества количественно несоизмеримы, что устраняет «парадокс Кантора», превращая его в легко объяснимый паралогизм.          

Что же касается проблемы «завершенности множества», «одновременного бытия его элементов» как критерия «консистентности», то это — проблема неправомерного одновременного присвоения одному и тому же объекту взаимно противоречащих свойств потенциальности и актуальности или  конечности и бесконечности, или других взаимно противоречащих предикатов. Логическая ошибка этого вида будет всесторонне рассмотрена ниже. Пока же скажем лишь, что ее природа — в неявном постулировании и попеременном неправомерном использовании противоречащих свойств (завершенности и незавершенности, конечности и бесконечности) объекта, а не в имманентной противоречивости предметной области.

То есть противоречивость, о которой идет речь у Кантора, имеет вполне субъективную природу (является противоречивостью теории, мегасуждения, а не объекта) и «зеркало» (реальные множества, понятия-объекты) здесь не при чем.

Таким образом, говоря о противоречивости понятий-объектов своей теории, Г. Кантор совершает логические ошибки двух видов.

Логические ошибки первого вида  — это ошибки подмены предикатов на метапредикаты или неправомерного единовременного присвоения одному объекту, рассматриваемому в одном и том же смысле,  противоречащих предикатов.

Логические ошибки другого вида (назовем их метаошибками) — это ошибки «субстантивации», канонизации логического противоречия, порожденного ошибками первого вида, ошибки ухода от противоречивости теории путем объявления   этой противоречивости неотъемлемым металогическим свойством самих объектов теории и предметной области в целом.

Таким образом, налицо факт попытки использования метапредиката «противоречивость (непротиворечивость)», правомерного лишь по отношению к парам и комплексам суждений (к теориям, например), в качестве обычного предиката понятия-объекта, множества, что логически неправомерно, поскольку  это — очевидное нарушение закона тождества в вышерассмотренном смысле.

Другими словами, самая главная ошибка Г. Кантора в вопросах решения проблемы противоречивости — непротиворечивости  его теории состоит в непонимании того очевидного, на наш взгляд, факта, что любые понятия — не-суждения (понятия-объекты,  модели, в частности, — множества и числа), в отличие от суждений, вообще не могут характеризоваться  в терминах противоречивости — непротиворечивости (равно как и истинности, осмысленности, доказуемости  и т.п.).

Другой фундаментальный пример ошибки этого вида — метаматематика в целом и теоремы Геделя  о неполноте — в частности.

Метаматематика в том виде, в котором она была задумана и реализована Д. Гильбертом в качестве формальной теории, на наш взгляд, — изначально паралогичная наука, базирующаяся на совершенно неадекватных и ошибочных логических основаниях.

Главная логическая ошибка метаматематики — это неправомерно узаконенная множественная замена предикатов на метапредикаты и наоборот, осуществляемая путем паралогичного превращения  математических формул (суждений) в понятия-объекты метаматематики (символы, числа), и, наоборот, понятий-объектов (символов, чисел) — в формулы (суждения). 

Подобные множественные паралогичные замены приводят к тому, что о понятиях-объектах (символах и числах) в метаматематике позволительно говорить в терминах «истинности», «непротиворечивости», «доказуемости» и т.д., что совершенно неправомерно в свете вышеприведенной критики.             

Наиболее показательным примером в этом смысле являются теоремы К. Геделя о неполноте. Общая паралогичная ситуация в метаматематике позволила К. Геделю на вполне «легитимных» основаниях превратить некоторое (само по себе неправомерное в вышерассмотренном смысле) высказывание: «Данное утверждение недоказуемо»  в математический объект, число, номер (путем «геделевской арифметизации») и приписать ему (уже в качестве номера) свойство быть истинным, но недоказуемым.

При этом К. Геделем была совершена двойная логическая ошибка одного и того же рода: незаконное превращение суждения в объект, число («геделизация») и обратно-объекта, числа — в суждение (приписывание объекту, числу, номеру свойств суждения), то есть  двойное нарушение закона тождества в смысле неправомерного отождествления свойств объектов (предикатов) и суждений (метапредикатов).

«Теорема» Геделя о неполноте содержит и еще одну, сугубо теоретико-множественную ошибку, превращающую рассматриваемое рассуждение в нечто поистине трудно квалифицируемое в смысле количества логических ошибок и их взаимовлияния.

Дело в том, что, кроме прочего,  сама по себе процедура «геделизации» логически и математически незаконна в силу  того, что множество суждений о математических объектах имеет мощность, существенно превышающую мощность множества натуральных чисел. Следовательно, взаимно однозначное соответствие этих множеств, на  предположение о правомерности которого опирается  К. Гедель в своем построении, просто невозможно.          

Действительно, о каждом из множества подмножеств множества натуральных чисел, например, можно сказать, по крайней мере, что оно существует. Это дает нам множество отличных друг от друга  суждений существования, эквивалентное по мощности множеству подмножеств множества натуральных чисел. Но это множество суждений, очевидно, превосходит по мощности множество натуральных чисел, которыми Гедель пытается его занумеровать. Следовательно, «геделевская арифметизация» не способна перечислить (снабдить натуральными номерами) не только все возможные математические и метаматематические высказывания, но и их весьма скромную часть, трактующую о существовании каждого из множества  подмножеств натурального множества.

Таким образом, ошибка нарушения закона тождества, связанная с неразличимостью и неправомерной взаимной заменимостью предикатов и метапредикатов в теории множеств и метаматематике, действительно является одной из основных причин противоречивости теоретико-множественной математики.

Но ошибка этого вида — не единственная причина противоречивости теории множеств. Другой ошибкой нарушения закона тождества, пронизывающей всю современную математику, является упоминавшаяся выше ошибка неправомерного присвоения одному объекту противоречащих признаков вследствие их актуальной неразличимости в теории множеств.

1.2.2. Ошибка неразличимости свойств потенциальной и актуальной бесконечностей в теоретико-множественной математике

В настоящем параграфе речь пойдет о том, что канторовские бесконечные множества  (в нарушение закона тождества) являются в теоретико-множественной математике одновременно и актуальными, и потенциальными.

Ниже мы будем подробно рассматривать эту проблему на содержательном уровне и выявлять указанное паралогическое смешение противоречащих свойств при анализе «диагональной процедуры» и других конкретных механизмов канторовской теории множеств.

Здесь же важно показать несовместимость свойств потенциальности и актуальности множеств и неправомерность их смешения в общем случае, на уровне определений.

Любопытно, что и сам Кантор утверждал нечто подобное. Однако проблема в том, что, настаивая на приоритете и особых свойствах актуальной бесконечности, он допускал параллельное сосуществование потенциальной и актуальной бесконечностей даже на уровне общих воззрений и периодически по-отечески похваливал потенциальную бесконечность, а на уровне конкретных математических рассуждений (де-факто) просто на выбор (по собственному усмотрению) пользовался противоречащими свойствами этих понятий (в основном — в смысле наделения актуальной бесконечности некоторыми свойствами потенциальной).

Определения актуальной и потенциальной бесконечностей и их взаимоотношений у Г. Кантора настолько перепутаны и взаимно противоречивы, что экспликация вышеназванной ошибки паралогичного смешения свойств этих понятий в теории множеств невозможна без серьезного контент-анализа достаточно большого объема канторовских дефиниций и рассуждений.

Напомним наиболее важные канторовские определения и суждения по этому вопросу. (Нумерация цитат ниже использована в целях обеспечения возможности упрощенной отсылки к источнику идеи или высказывания при контент-анализе).

  1. Канторовские определения  актуальной и потенциальной бесконечностей.

           1.1. «I. П.б. имеют в виду преимущественно тогда, когда речь  идет о неопределенной переменной конечной величине, которая или  растет сверх всяких конечных границ (в таком виде мы можем представить себе, например, так называемое время, отсчитываемое с некоторого начального момента) или убывает ниже всякой конечной границы малости (что,  например, является законным представлением так называемого дифференциала).  Более общим образом я говорю о  п.б.  всюду там,  где рассматривается неопределенная величина, которая может принимать бесконечно много значений.

           II. Под а.б. следует, наоборот, понимать такое количество, которое с одной стороны не изменчиво, а, скорее, фиксированно и определенно во  всех своих частях,  является подлинной константой, а с другой — в то же время превосходит по величине всякую величину того же рода. В качестве примера приведу комплекс, совокупность всех конечных целых положительных чисел. Это множество есть некоторая вещь для себя и оно образует, если полностью отвлечься от естественного следования принадлежащих ему чисел, — некоторое неизменное во всех частях и определенное количество …,  которое, очевидно, приходится назвать большим, чем всякое конечное количество » (45, с.288-289).

1. 2. «Для понимания дальнейшего мы будем тщательно  отличать  друг  от друга оба эти проявления, в которых выступала математическая бесконечность, причем в обеих этих формах она содействовала величайшим успехам в геометрии, в анализе и в математической физике.

В первой форме в качестве несобственно бесконечного она представляется как переменное конечное. В другой форме, в которой я называю ее собственно бесконечным, она выступает как вполне определенное бесконечное. Бесконечные реальные целые числа, которые я хочу определить в дальнейшем и к которым я приплел уже много лет тому назад, не осознавая ясно того, что в них мы имеем конкретные числа с реальным значением, не имеют ничего общего с первой из двух названных выше форм, с несобственно бесконечным …»  (45, с.65).

  1. 1.3. Актуально бесконечные множества — это «… множества, которые определены в себе и все элементы которых следует представлять себе поэтому, как уже существующие вместе. Потенциальная бесконечность непригодна для этого, так как она согласно своему понятию может относиться лишь к неопределенным, соответственно изменяющимся вещам» (45, с. 308).

1.4. «Существенное различие  между  конечными и бесконечными множествами обнаруживается в том, что конечное множество представляет одно и то же количество для любой последовательности,  которую можно придать его элементам. Наоборот, множеству, состоящему из бесконечно многих элементов, соответствуют вообще различные количества в зависимости от последовательности,  придаваемой  элементам» (45, с.68).

1.5. « …конечные множества обладают тем свойством, что результат счета — количество — не зависит от порядка элементов. Между тем в случае бесконечных множеств, как мы видели, такая независимость вообще не существует; количество бесконечного множества представляет собой бесконечное число, определяемое между прочими обстоятельствами и законом счета. В этом и только в этом заключается лежащее в самой основе вещей, а потому  никогда не устранимое существенное различие между конечным и бесконечным» (45, с.73).

  • Г. Кантор о приоритете актуальной бесконечности по отношению к потенциальной и логической неполноценности последней.
  • «… потенциально бесконечное есть лишь вспомогательное понятие, понятие отношения, и оно всегда указывает на некоторое лежащее в  основе  трансфинитное,  без которого оно не может ни существовать, ни быть мыслимым»(45,с.280).

2.2. «Неопределенному, переменному, несобственно бесконечному, — в какой бы форме они ни проявились, — я не могу приписать никакого бытия,  ибо они не что иное,  как или понятия  отношения,  или чисто субъективные представления,  воззрения (imaginationes),  но ни в коем случае не адекватные идеи» (45, с.102).

2.3. «Если не подлежит никакому сомнению то, что мы не можем обойтись без переменной величины в смысле потенциальной бесконечности, то из этого можно следующим образом доказать и необходимость актуальной бесконечности. Для того, чтобы подобную переменную величину можно было использовать в каком-либо математическом исследовании, «область» ее изменения должна, строго говоря, быть известной наперед благодаря некоторому определению. Но сама эта «область» не может быть опять-таки  чем-то переменным, ибо в противном случае наше исследование не имело бы под собой никакой прочной основы. Следовательно, эта «область» представляет собой некоторое определенное актуально бесконечное множество значений.

 Таким  образом, всякая потенциальная бесконечность, которую желают использовать строго математически, предполагает наличие актуальной бесконечности» (45, с. 297).

3. Г. Кантор об ошибочности смешения актуальной и потенциальной бесконечностей.              

«Если мы желаем дать себе отчет в источнике широко распространенного предубеждения против актуальной бесконечности и horror infiniti в математике, то следует прежде всего обратить внимание на противоположность между актуально и потенциально бесконечным. В то время как потенциально бесконечное означает не что иное, как неопределенную и остающуюся всегда конечной переменную величину, способную принимать значения, которые или становятся меньше, чем любая сколь угодно малая, или больше, чем любая сколь угодно большая конечная величина, актуально бесконечное относится к неизменному в себе постоянному количеству, которое больше, чем любая конечная величина того же рода. Так, например, переменная величина х, которая может принимать одно за другим конечные числовые значения 1, 2, 3, …, представляет собой потенциально бесконечное; напротив, понятийно вполне определенное при помощи некоторого закона множества (n ) всех конечных чисел n дает простейший пример  актуально бесконечного количества.

Это существенное  различие  между понятиями потенциальной и актуальной бесконечности удивительным образом не помешало тому, что в  развитии новейшей математики неоднократно совершалось смешение обеих идей таким образом, что в случаях, где мы имеем перед собой лишь потенциально бесконечное,  ошибочно принималось актуально бесконечное или же, наоборот, понятие, имеющее смысл только с точки зрения актуально бесконечного,  относилось к потенциально бесконечному. Оба вида смешения надо  рассматривать  как  ошибки» (45, с.296).

3.2. «Соединение или смешение этих совершенно различных понятий            (а.б. и п.б. — В.П.), имевшее место так часто во все времена, является, по моему  глубокому  убеждению,  источником  бесчисленных заблуждений» (45, с.283).

4. Г. Кантор о допустимости потенциальной бесконечности в математике.

4.1. «Новейшие философы  нередко называли несобственно бесконечное  «дурной» бесконечностью,  на мой взгляд,  несправедливо, так как в математике и естествознании оно оказалось весьма хорошим и в высшей степени ценным инструментом. Насколько я знаю, бесконечно  малые величины разрабатывались до сих пор вообще лишь в форме несобственно бесконечного.  Как таковые,  они доступны  всем  тем  различиям,  видоизменениям и соотношениям,  которыми пользуются в исчислении бесконечно малых и в теории функций и с помощью  которых там собирают богатую жатву аналитических истин.  Наоборот, от  всех попыток превратить эти бесконечно малые насильственно в  некоторые собственно бесконечные,  следует, наконец, отказаться как бесцельных.  Если только вообще существуют, т.е. доступны определению, собственно бесконечно малые величины, то они, наверное, не     стоят ни в какой непосредственной связи с обычными, становящимися  бесконечно малыми величинами» (45, с.71).

4.2. » … так как своими работами мы проложили широкую дорогу            трансфинитного, она достаточно прочна и заботливо вымощена, то мы и предлагаем ее для движения как прочную основу, необходимую всем            друзьям  потенциальной бесконечности» (45, с.282).

4.3. «Конечно, п.б. не есть собственно бесконечное, поэтому в своих «Основах» я и назвал его несобственно бесконечным. Но трудно отказаться от установившегося обычая, и тем более трудно, что п.б. представляет собой более приятное и несамостоятельное понятие и с ним чаще всего связана обманчивая иллюзия, будто здесь мы имеем нечто поистине бесконечное. В действительности же п.б. имеет лишь отраженную реальность, всегда указывая на а.б., благодаря которому оно лишь и возможно.» (45, с. 292).

Итак, суммируем, вначале, свойства, которыми Г. Кантор наделяет актуальную и потенциальную бесконечности.

Актуальная бесконечность («собственно бесконечное»):

— определенная бесконечность (1.2.);

— постоянное, неизменчивое количество, константа (1.1.);

— неизменное в себе, постоянное количество (3.1.)

— величина, большая, чем любое конечное количество (1.2.);

  • — имеющая бытие (2.2.);
  • — все элементы а.б. множества существуют вместе (1.3.);
  • — имеет различное количество элементов в зависимости от последовательности, придаваемой элементам (1.4., 1.5.).

Потенциальная бесконечность («несобственно бесконечное»):

— неопределенная (1.1.);

  • — непостоянное, переменное конечное (1.1.);

— не имеющая бытия (2.2.);

  • — все элементы п.б. не могут существовать вместе (1.3.);
  • — имеет бесконечно много значений (1.1.).

Суммируем также высказывания Г. Кантора о взаимоотношениях А.Б. и П.Б.

                    А.Б.  и  П.Б.:

— не имеют ничего общего (1.2.);

— А.Б., трансфинитное — основа П.Б (2.2.);        

— П.Б. не существует и немыслимо без А.Б. (2.1.);

— смешение свойств А.Б. и П.Б. ошибочно (3.1.);

— П.Б. не имеет никакого бытия (2.2.);

— без П.Б. нельзя обойтись (2.3.);

— П.Б. — ценный инструмент, пригодный для осмысления бесконечно малых (4.1.);

—  попытки представить бесконечно малые актуальными бесцельны (4.1.);

— канторовская теория множеств предлагается в качестве основы «для движения … друзьям потенциальной бесконечности» (4.2).

Даже самый поверхностный просмотр полученных в результате проведенного контент-анализа свойств и взаимоотношений, приписываемых Г. Кантором А.Б. и П.Б., позволяет заметить серьезные логические несоответствия.                   

Эти несоответствия  суть следующие:

1. Если  А.Б. — это определенная бесконечность, постоянное, неизменное в себе постоянное количество, константа, если все элементы а.б. множества существуют вместе и единовременно, то почему Г. Кантор одновременно и в том же отношении считает, что количество элементов а.б. множества — переменная величина,  зависящая от порядка (закона) задания элементов?

2. Если П.Б. — это «несобственно бесконечное»,  неопределенное, непостоянное, переменное конечное, не имеющее бытия, если все элементы п.б. не могут существовать вместе, то почему Г. Кантор не выступает однозначно за устранение П.Б. из математики?

3. Если А.Б. и П.Б. не имеют ничего общего, то почему Г. Кантор считает А.Б. базой, основой, предпосылкой  существования  П.Б.?

4. Если П.Б. невозможно без А.Б., то почему Г. Кантор резко отрицательно относится к актуально бесконечно малым и, наоборот, всячески превозносит роль П.Б. в этой сфере? Ведь по логике, если А.Б. — основа и необходимое условие существования П.Б., то потенциально бесконечно малые должны были бы существовать только на базе актуально бесконечно малых.

5. Если, наконец, смешение свойств А.Б. и П.Б. — ошибка, то почему  многие свойства А.Б. и П.Б. (особенно — в части нестабильности количества элементов, его зависимости от способа задания множества) оказываются у Кантора тождественными?

Немного забегая вперед, скажем, что единственным логически корректным выводом, объясняющим все перечисленные несоответствия, является тезис о том, что канторовская актуальная бесконечность — это просто особый вид потенциальной бесконечности, а именно — иерархизированная потенциальная бесконечность.

Действительно,  устанавливая первое трансфинитное число, Г. Кантор не завершает множество натуральных чисел, оставляя его по существу, потенциальным в чистом виде, а осуществляет, так сказать, перерыв потенциальности, открывает потенциальный процесс второго порядка; за ним — третий и т.д. 

Это объясняет, например, почему Г. Кантор всеми силами противился идее завершения натурального ряда, трактовке первого трансфинитного числа в качестве последнего натурального. Это объясняет и то, почему Г. Кантора не смущал факт появления «разрывов» в ряду чисел (например, между натуральными и трансфинитными числами): если стандартная потенциальная последовательность «разорвана сверху», не завершена и это нормально, то почему нельзя «разорвать» бесконечную числовую последовательность «в середине» или в какой-либо другой части, чтобы сформировать произвольно иерархизированную бесконечную потенциальную последовательность бесконечных потенциальных последовательностей? 

Объясняет это и невозможность одновременного существования элементов в канторовских «неконсистентных множествах», определенных им как актуально бесконечные. Действительно, с  какой стати  элементы «неконсистентных множеств» будут существовать одновременно, если способы их задания исключительно потенциальны и если ни у одного из них не предусмотрен «последний элемент», то есть процесс их порождения никогда не может закончиться?           

Легко объясняется и зависимость  количества элементов канторовских актуально бесконечных множеств от способа их пересчета. Если бы число элементов названных множеств действительно было  константой, как (бездоказательно и противоречиво) постулирует Г. Кантор, то порядок их перечисления не имел бы никакого значения. Подобные сюжеты возможны лишь в случае потенциальных последовательностей (более подробно на конкретных примерах сказанное будет рассмотрено ниже).

Становится очевидным, почему Г. Кантор, критикуя на словах П.Б., отнюдь не был склонен полностью изгонять ее из математики. Дело не в том, что Кантор пожалел «друзей потенциальной бесконечности», а в том, что, действительно, будучи правдоподобной только на основе истинной актуальной бесконечности (не-канторовской), П.Б., в свою очередь, является основой «канторовской актуальной бесконечности», паралогично соединяющей в себе свойства П.Б. и А.Б.

Неприязнь Г. Кантора к актуально бесконечно малым также легко объяснима, если учесть факт непрерывности и точечной организации отрезка прямой, с которым он отождествил числовую ось. Псевдоактуализация бесконечно малых на манер канторовских трансфинитов и связанная с этим симметризация отношения бесконечно большое — бесконечно малое быстро выявили бы противоречивость канторовской теории актуально (де-юре) — потенциальных (де-факто) множеств и чисел (как бесконечно больших, так и бесконечно малых). Не случайно Г. Кантор не решился искать прообраз иерархии своих потенциализированных трансфинитов в геометрии.

Единственное, что остается необъяснимым, так это вопрос: был ли Кантор искренним, когда утверждал, что смешение П.Б. и А.Б. — ошибка или лукавил?  Может он действительно не представлял себе А.Б. иначе, чем в том паралогичном актуально-потенциальном образе, который оставил потомкам  и который  до сих пор не позволяет миллионам математиков полноценно и логически корректно мыслить о бесконечном?

Разумеется, выявление некоторых неопределенностей, несоответствий и странностей в канторовских определениях А.Б. и П.Б. и  их взаимоотношениях — еще не доказательство противоречивости понятия актуальной бесконечности в канторовской интерпретации для математического сообщества. Все эти моменты должны быть рассмотрены намного подробнее и в контексте конкретных математических рассуждений (что и будет сделано ниже).

Но и задача данного параграфа была иной: показать, что избранное нами направление критики канторовской теории множеств действительно имеет право на существование и что, если факты подтвердятся не только на уровне упущений в определениях, но и в конкретных математических рассуждениях, мы имеем дело с ошибкой нарушения закона тождества, характеризуемой как смешение, неразличимость противоречащих свойств понятия в процессе рассуждения, ошибкой, приводящей к попеременному произвольному использованию противоречащих свойств (завершенности и незавершенности, устойчивости и изменчивости, однозначности и многозначности, прерывности и непрерывности и т.д.) при рассмотрении одного объекта в одно и то же время и в том же отношении.

1.2.3. Противоречивость понятия «потенциальная бесконечность»

Как было показано выше, понятие потенциальной бесконечности отнюдь не было устранено Г. Кантором из его математики и, более того, есть все основания утверждать, что данное понятие (в несколько модифицированном виде) является ключевой идейной конструкцией теории множеств.

Поэтому мы вправе рассматривать общую противоречивость понятия «потенциальная бесконечность», о которой пойдет речь в настоящем параграфе, как одну из фундаментальных причин противоречивости теории множеств Г. Кантора в целом.

Идея потенциальной бесконечности была реализована в конкретных математических конструкциях еще в античности и настолько «вросла» в основания и в саму ткань математики, что любая попытка ее опровержения с необходимостью должна быть по преимуществу метаматематической, логической, апеллирующей к мыслительным структурам и ценностям, предшествующим математическому знанию.

Такой структурой, на наш взгляд, является теория определений, поддерживаемая классическими законами формальной логики, а ценностью — строгость и точность мышления.

Как это ни парадоксально, первым  критиком потенциальной бесконечности был, по существу, Аристотель, хотя он по сей день и не без оснований считается  ее активным поклонником. Еще более парадоксально, что латентная аристотелевская критика потенциальной бесконечности была непосредственно связана с интерпретацией области значения закона исключенного третьего (ЗИТ), вызывающего наиболее резкие нападки потенциалистов всех направлений.

ЗИТ был впервые сформулирован Аристотелем в «Метафизике» и сводится к следующему тезису: «… если относительно чего бы то ни было [одного]  необходимо либо утверждение, либо отрицание, то невозможно, чтобы и отрицание и утверждение были ложными, ибо ложным может быть лишь один из обоих членов противоречия» (4, т.1, с.143-144).

В трактате «Об истолковании» Аристотель впервые подверг сомнению общезначимость ЗИТ  и показал невозможность  его применения  к будущим событиям. В частности, он утверждал, что  рассмотрение вопроса о том, будет ли, например, завтра морская битва или не будет, нельзя вести с позиций истинности или ложности, поскольку ни одно из этих событий еще не относится к категории сущего, существующего (см.4, т.2, с.101-102). 

Это крайне важный момент нашего рассмотрения, поскольку  здесь содержится одна из главных идей критики понятия потенциальной бесконечности.

Применительно к анализируемой предметной области эту аристотелевскую идею можно интерпретировать следующим образом: если существует последовательность некоторых объектов (множеств, элементов, чисел), воспринимаемая как целое и включающая в себя как существующие (уже порожденные) объекты, так и объекты еще не существующие (еще не порожденные), то о такой последовательности нельзя говорить в терминах истинности или ложности (даже в случае наличия  корректного закона задания последовательности), поскольку вторая часть рассматриваемой последовательности еще не относится к категории сущего, существующего (относится к будущим событиям).

Сказанное означает, что потенциальную последовательность нельзя представлять как целостность, как единый объект, поскольку объединение сущего (настоящего) и не-сущего (будущего) в рамках одного объекта не только блокирует применение ЗИТ, но и вообще не позволяет интерпретировать данный объект в терминах истинности и рассматривать его как полноценный элемент формальной системы любого рода.

Другими словами, если бы современные логики и математики четко различали  логическое настоящее и логическое будущее, это сняло бы многие разногласия относительно соотношения потенциальных и актуальных объектов в логике и в математике, поскольку, при последовательном применении  вышеизложенной точки зрения, потенциальные объекты,  содержащие в себе, по определению, одновременно как сущие (существующие в текущий момент), так и не-сущие (не существующие в настоящем, но возможные в будущем) составные части, не могут трактоваться в аспекте истинности, то есть (шире) не имеют права существования в формальных системах, нацеленных на поиск истины. Таким образом, на самом деле существование потенциальной бесконечности противоречит не ЗИТ (и наоборот), как это считали Л. Брауэр и его последователи, а, шире, самому принципу истинности математического знания.

Этого-то важнейшего момента и не понял  голландский математик Л.Э. Брауэр, который в 1908 году  выставил требование наличия процедуры установления истинности произвольного высказывания в качестве условия применимости ЗИТ, то есть требование независимой (от ЗИТ) верифицируемости любого утверждения.

В действительности основная проблема не в том, что то или иное высказывание о бесконечности нельзя адекватно верифицировать с помощью ЗИТ (это, кстати, и неверно), а в том, что высказывания о потенциальной бесконечности, как высказывания о настоящем и возможном будущем — одновременно, вообще не подлежат верификации и интерпретации в терминах истинности.

Поэтому, хотя сомнение Брауэра относительно возможности неограниченной применимости ЗИТ в его классическом виде и было справедливым (хотя и по совершенно другой причине), выводы, которые он сделал, основывая интуиционистское движение в логике и математике, нам представляются абсолютно неадекватными.

Гораздо плодотворнее было бы избавить математику от паралогичной потенциальной бесконечности, а не от правомерно запрещающего ее использование ЗИТ. Другими словами, ЗИТ оказался для интуиционистов не недостаточно адекватным математической реальности законом, как они это пытались и пытаются представить, а, наоборот, законом чрезмерно адекватным, слишком откровенно вскрывающим паралогизм потенциальной бесконечности.

К сожалению, Аристотель не развил в дальнейшем эту собственную идею и, более того, во всех  других случаях (в противоречие с собой) оставался жестким сторонником потенциальной бесконечности, допускающей паралогичное смешение сущего (настоящего) и еще не-сущего (возможного будущего) в рамках одного понятия.       

Рассмотрим теперь причины паралогичной приверженности Аристотеля понятию потенциальной бесконечности. Обратимся для этого к закону тождества и к теории определения.

Закон тождества (ЗТ), гласящий в аристотелевской формулировке, что «…невозможно что-либо мыслить, если не мыслят что-то одно…» (4, т.1, с.127), представляет собой единственный инструмент формальной логики, гарантирующий устойчивость и определенность мысли в процессе рассуждения.

Его значение в поиске дедуктивных истин и в гармонизации мышления вообще трудно переоценить. Что же касается его роли в упорядочении формальных систем, то она просто фундаментальна. Достаточно сказать, что все выявленные нами противоречия теоретико-множественной математики, приводимые ниже, суть ошибки нарушения закона тождества.

Это говорит, с одной стороны, об эвристической силе данного закона, а, с другой стороны, — о сложности его соблюдения в математике, поскольку вряд ли можно обвинять Г. Кантора или Д. Гильберта, например, в целенаправленной софистике.

На наш взгляд, основная причина трудности последовательного соблюдения ЗТ в математике состоит в неточности (возможно — предумышленной) формулировки данного закона и критериев его применения на практике.             

Речь идет, главным образом, о допустимости, по Аристотелю, неопределенности (при определении) и изменчивости (в ходе рассуждения) некоторых второстепенных, на его взгляд, характеристик понятия и  о недооценке (или прямом отрицании) важности (или даже возможности) точного определения объема и состава понятия.

Аристотель считал, что если определено и устойчиво основное содержание понятия (сущность), то этого вполне достаточно для правильного мышления.

Так, он говорил: « … укажем, что изменение в количестве и изменение в качестве не одно и то же. Пусть по количеству вещи не будут постоянными, однако мы познаем их все по их форме» (4, т.1, с.137).

По существу, это прямое манифестирование принципа потенциальной бесконечности в гносеологических системах, включая формальную логику и математику. 

Другими словами, если говорить в аспекте применения ЗТ, Аристотель настаивал лишь на инвариантности основного содержания понятия в процессе рассуждения, но никак не на постоянстве его объема и состава. Постоянство (самотождественность) последних его вообще не интересовало, поскольку, чем ближе к элементной базе понятия, к индивидам, тем выше роль «чувственного познания», которое он считал низшим, изменчивым и неопределенным, то есть неосмысляемым в терминах постоянства и определенности (или недостойным подобного осмысления).

В частности, Аристотель говорил: «Причина, почему они (Демокрит, Эмпедокл, Парменид, Анаксагор  — В.П.) пришли к такому мнению (вещи таковы, какими их принимают — В.П.) заключается в том, что, выясняя истину относительно сущего, они сущим признавали только чувственно воспринимаемое; между тем по природе своей чувственно воспринимаемое в значительной мере неопределенно…» (4, т.1, с.136).

Это исчерпывающим образом объясняет вполне сочувственное отношение Аристотеля к потенциальной бесконечности (изменчивой, незавершенной, неопределенной) и активную неприязнь к бесконечности актуальной (постоянной, завершенной, определенной). Действительно, если в процессе рассуждения можно (по Аристотелю) безболезненно отождествлять понятия с одним содержанием, но разными объемами и составами, мотивируя это имманентной неопределенностью и изменчивостью чувственного познания и не усматривая при этом нарушения ЗТ, то в актуальной (постоянной, завершенной) бесконечности просто нет никакой необходимости. Более того, она даже невозможна в силу неосмысляемости неопределенности в терминах постоянства и завершенности.

Действительно, по Аристотелю, «законченным, или совершенным (teleion), называется то, вне чего нельзя найти хотя бы одну его часть» (4, т.1, с.169).

Если же объем и состав понятия (особенно с бесконечной предметной областью) априорно объявляются Аристотелем неопределенными и изменчивыми, то есть допускающими количественные изменения элементной базы в ходе рассуждения, и, вдобавок, постулируется, что подобное состояние логически корректно, то понятно, что ни о каком совершенстве, «телейоне», применительно не только к бесконечным, но и к недостижимо большим конечным предметным областям окружающего мира,  речь просто не идет. 

Позиция Аристотеля оказывается предельно понятной, но от этого она не становится более логически правильной. Дело в том, что уже  в сфере чувственного познания подобные рассуждения не проходят, как это будет показано ниже, а в арифметике, например, они абсолютно несостоятельны. Арифметика по сути своей — наука о количествах и их свойствах. Следовательно, постулировать количественную неопределенность и изменчивость натурального ряда или каких-либо его отрезков в качестве принципа математического мышления и на этом основании отождествлять одинаковые по содержанию (по определяющему признаку: «быть натуральным числом»), но различные по объему и составу числовые множества совершенно неправомерно (хотя это и постоянно делается, вслед за Аристотелем, современными  сторонниками потенциалистской математики).

Логическая противоречивость позиции Аристотеля вытекает из следующих соображений. Если в процессе рассуждения правомерно (по Аристотелю) отождествлять два множественных объекта (неважно, конечных или бесконечных) с одинаковым содержанием, но разными объемами и составами, то необходимо признать, что допускается и различие в содержании сравниваемых объектов, поскольку (в соответствии с законом обратного отношения содержания и объема понятия) любое изменение объема и состава понятия влечет изменение его содержания (хотя бы и на нижних уровнях дифференциации). В особенности это верно, если речь идет о «содержании объема и состава понятия», то есть о качествах, специфических математических свойствах различных количеств.

Но тогда ЗТ либо вообще перестает работать, поскольку подвергается сомнению основной аристотелевский критерий самотождественности понятий — постоянство и эквивалентность содержания, либо требование постоянства содержания должно быть усечено до требования постоянства лишь какого-то общего признака или небольшой их совокупности (при игнорировании прочих элементов содержания). Но в такой «чрезмерно гибкой логике» можно считать, например, «компьютер» и «велосипед» тождественными на том основании, что оба названных предмета — «продукты человеческого труда», что, очевидно, абсурдно.

Из сказанного следует, что именно неточность аристотелевской формулировки ЗТ является основной причиной того трудно осмысляемого факта, что абсолютно противоречивое понятие потенциально бесконечного множества, представляющее собой  паралогическое единство устойчивого (постоянного) содержания и изменчивого (переменного) объема и состава,  до сих пор является одним из наиболее легитимных и распространенных понятий современной математики.

Разрешением данного противоречия было бы принятие ЗТ в следующей формулировке: некоторое понятие логически правомерно (может быть элементом содержательной или формальной теории), если (и только если) оно на протяжении сколь угодно длинного рассуждения сохраняет в неизменном виде свои содержание, объем и состав.

Или иначе: на протяжении сколь угодно длинного рассуждения необходимо сохранять в неизменном виде содержание, объем и состав рассматриваемого понятия.

Очевидно, что данная формулировка  запрещает существование таких объектов, как «потенциальные множества» (неважно, конечные или бесконечные).

Если же потенциальность какого-либо процесса или объекта онтологична, соответствует реальности, например, в случае анализа динамики финансового состояния предприятия или при рассмотрении фаз эволюции какого-то объекта, то эти фазы (состояния) объекта должны рассматриваться в корректном формально логическом смысле как разные видовые объекты (понятия). При этом исходный объект (целостность, не дифференцированная по фазам или состояниям своего существования) рассматривается как ближайший род для всех возможных своих состояний (самостоятельных элементов объема и состава понятия).

Подобное понимание ЗТ позволяет с абсолютной точностью и, притом, логически корректно отобразить любой процесс изменения и развития, не прибегая к  паралогизмам вроде отождествления понятий с одинаковым содержанием, но разными объемами и составами.

Именно  такая трактовка ЗТ и лежит в основе гармонической математики, рассматриваемой ниже.

К сожалению, во времена Г. Кантора истинные причины внутренней противоречивости и паралогичной неточности логики Аристотеля осознавались в гораздо меньшей степени и не могли быть устранены в рамках самой формальной логики.

Поэтому, хотя Г. Кантор всегда публично дистанцировался от классической формальной логики, настаивая на полной идейной независимости от нее теории множеств, он на деле был зависим от первой в гораздо большей степени, чем ему, возможно, казалось.

Эта амбивалентность подхода Г. Кантора, невозможность для него ни полной реконструкции аристотелевской логики и классической математики с позиций последовательного актуализма и гармонизма, ни окончательного разрыва с ними и явилась, на наш взгляд, основной причиной общей противоречивости канторовской теории множеств, ее внутренней потенциализированности.

1.3. Противоречия теоретико-множественной арифметики

  1. Противоречивость канторовского принципа взаимно однозначного соответствия

Одним из наиболее фундаментальных оснований канторовской теории множеств является принцип взаимно  однозначного соответствия.

Он является математическим выражением  идеи, существующей, по-видимому, еще со времен античности, реанимированной Г. Галилеем и всесторонне поддержанной Г. Кантором, что различные бесконечные множества (в том числе множество и его бесконечное подмножество) могут быть поэлементно взаимно однозначно (одно-однозначно) сопоставлены друг с другом по какому-либо закону.

При этом считается, что различные бесконечные множества, сопоставленные таким образом, являются эквивалентными, имеющими одинаковую мощность (вообще говоря — одинаковое количество элементов).

Тот факт, что принцип взаимно однозначного соответствия в канторовской трактовке, рассматриваемый в аспекте применимости к бесконечным множествам, относительно противоречив (противоречит, как минимум, известной аксиоме математики о том, что целое больше своей части), был известен всегда.

Проблема, однако, состояла в том, что принцип взаимно однозначного соответствия объявлялся Г. Кантором правомерным лишь в бесконечной предметной области и что не удавалось доказать непосредственную связь между использованием данного принципа в качестве логически корректного и противоречивостью теории множеств в целом.

Мы считаем, что принцип взаимно однозначного соответствия в канторовской трактовке абсолютно противоречив и не имеет права на существование в математике. Задача данного параграфа — изложение оснований для подобного мнения.

Первое наше возражение против принципа взаимно однозначного соответствия в канторовской трактовке состоит в том, что подобное соответствие имеет хотя бы видимость правомерности лишь при использовании исключительно потенциалистских методов и определений.

Действительно, стандартное для канторовской математической традиции выстраивание сдвоенного взаимно субординированного ряда:

                  1   2   3   4  5      …

               2   4  6   8  10    …

или ему подобных последовательностей может трактоваться как «доказательство» существования взаимно  однозначного соответствия между сравниваемыми множествами только в условиях, когда множества натуральных и четных, натуральных и рациональных и т.д.  чисел  фактически потенциальны, то есть не имеют постоянного числа членов и последних элементов.

Если бы канторовский натуральный ряд был действительно, а не декларативно, актуальным, то есть был представлен всеми членами одновременно и, соответственно, заканчивался каким-либо максимальным числом (N), то вышеприведенная последовательность выглядела бы иначе:

                  1   2   3   4  5      …   N/ 2

              2   4  6   8  10    …    N.

При такой постановке вопроса можно утверждать, что к тому времени, когда последовательность четных чисел достигнет границы натурального класса, последовательность натуральных чисел будет находиться еще на половине пути к максимальному числу и, соответственно, может быть продолжена, не имея уже «оппонентов» из числа четных чисел.

Констатация потенциальности методов постановки актуально (по определению) бесконечных множеств во взаимно однозначное соответствие, на наш  взгляд, — само по себе достаточное основание для дезавуирования принципа взаимно однозначного соответствия в канторовской трактовке.

В самом деле, непонятно, на каком основании по отношению к актуальным по определению множествам  применяются потенциалистские методы? Насколько нам известно, никто и никогда не обосновывал логическую корректность подобного методологического подхода и не опровергал логическую правомерность возможных (актуалистских) альтернатив.

Приведем пример с большими конечными множествами. Если мы начнем сравнивать, например, количество атомов в теле человека и в галактике, то, устав на первой тысяче сопоставлений, мы, очевидно, не будем делать вывод, что их количество эквивалентно, поскольку знаем, что рассматриваемые множества конечны.

А если бы мы не знали этого? Как быть, если мы начнем сравнивать, например, множество простых чисел-близнецов в целом с множеством первых простых чисел в парах простых чисел-близнецов? Ведь сегодня неизвестно: конечно или бесконечно множество чисел данного вида. Предположение о конечности множества простых чисел-близнецов требует считать, что мощность этого множества выше, чем мощность множества первых простых чисел в парах простых чисел-близнецов, а предположение о его бесконечности — что рассматриваемые множества эквивалентны, равномощны.

Так на каком основании мы делаем вывод об эквивалентности различных актуально бесконечных множеств, все элементы которых по определению существуют одновременно, если используются только потенциальные методы постановки множеств этого рода во взаимно однозначное соответствие? Может быть мы просто не до конца понимаем природу актуальных множеств? Может быть они лишь искусственно и неправомерно потенциализированы?

Далее. Любое проявление потенциальности в математике неминуемо ведет не только к нарушению аксиомы о количественной неэквивалентности целого и его части (Г. Кантор обошел эту аксиому оказавшейся правдоподобной для математического сообщества ссылкой на качественное различие конечных и бесконечных объектов, что само по себе спорно), но и к нарушению закона тождества, а это — намного серьезнее, поскольку закон тождества имеет универсальный характер.

В частности, в рассматриваемом случае (соотношение натуральных и четных чисел) мы сталкиваемся с паралогичными понятиями, имеющими различное и, притом, субординированное содержание (четные числа — вид натуральных чисел), и тождественные в количественном отношении («эквивалентные») объемы и составы. Если в канторовской математике закон тождества и закон обратного отношения содержания и объема понятия утрачивают универсальность, то почему об этом никого не проинформировали?

Даже если абстрагироваться от всех допускаемых при этом  нарушениях формальной логики, факт неравенства количеств и неэквивалентоности мощностей рассматриваемых множеств можно  доказать и с чисто потенциалистских позиций.

Рассмотрим взаимно однозначно сопоставленные друг с другом потенциальные последовательности натуральных и четных чисел при  следующем условии: множество натуральных чисел  сгруппировано попарно таким образом, что в одну пару попадают одно нечетное и одно следующее за ним четное числа:

               (1,2)   (3,4)    (5,6)   (7,8)   …  (2n-1, 2n)  …

                  2       4         6        8       …      2n         …  .    

Очевидно, что подобная группировка ничем не нарушает естественного порядка следования ни натуральных, ни четных чисел. Более того, каждое четное число оказывается сопоставленным с парой натуральных чисел, в которую данное четное число входит как элемент, что усиливает жесткость и точность взаимно однозначного соответствия рассматриваемых объектов.

Убедившись, что подобная группировка ничем не противоречит канторовской идее взаимно однозначного соответствия (пары натуральных чисел, понимаемые как элементы, самостоятельные единицы ряда, однозначно противопоставляются отдельным четным числам в потенциально бесконечных последовательностях), констатируем, что множество четных чисел равномощно множеству пар натуральных чисел, содержащих — каждая — одно нечетное и следующее за ним четное число.

Но тогда мы в праве сделать вывод, что: а) независимо от длины и характера последовательности на каждую двойку натуральных чисел, входящую в пару, приходится только одно четное число, то есть (1+1): 1 = 2 на каждом шаге последовательности; б) никакой поэлементной «эквивалентности» и «равномощности» рассматриваемых множеств не наблюдается (даже при потенциалистском характере их соотнесения). 

Таким образом, в том, что касается «счетных» бесконечных множеств,  канторовский потенциалистский принцип взаимно однозначного соответствия  вполне противоречив. 

Рассмотрим теперь вопрос о правомерности принципа взаимно однозначного соответствия в «несчетной» предметной области.

В стандартных курсах теории множеств для иллюстрации этого случая взаимно однозначного соответствия обычно приводится пример с отрезками прямой различной длины.

При этом осуществляется следующая последовательность действий: 1) проводятся две параллельные прямые; 2) над «верхней» из них выбирается точка, из которой на «нижнюю» прямую опускаются два луча таким образом, чтобы образовался равнобедренный треугольник; 3) на основание образовавшегося треугольника опускаются еще несколько лучей.           

После того как читатель убедится, что количество образовавшихся таким образом точек в обоих отрезках рассматриваемых параллельных прямых, ограниченных первыми двумя лучами, равно, предлагается сделать вывод, что множества точек в «нижнем» и в «верхнем» отрезках параллельных прямых «равномощны» («эквивалентны»). 

На наш взгляд, все это далеко не очевидно. Полагая длину «верхнего» отрезка прямой равной «а», а «нижнего» — равной «са» (с>1, действительное число), будем последовательно, стандартными геометрическими методами  делить рассматриваемые исходные отрезки, все время вдвое уменьшая длину вновь образующихся отрезков.

Получим следующую (вполне «взаимно однозначную») последовательность уменьшающихся длин минимальных отрезков:

Последовательность минимальных единиц «верхнего отрезка прямой»а        а/2       a/4       …   a/s     …     a/m  
Последовательность минимальных единиц «нижнего отрезка прямой»са      ca/2      ca/4    …    ca/s   …      ca/m  

где  s — произвольно большое натуральное число, а  m — натуральное или трансфинитное число, такое, что a/m —  точка.

Из приведенной последовательности видно, что после любого конечного числа делений полученная таким образом конвенциально минимальная единица измерения исходного «нижнего» отрезка будет инвариантно в «с» раз больше по величине, чем минимальная единица измерения исходного «верхнего» отрезка.

В терминах взаимно однозначного соответствия множеств различных по мощности минимальных единиц это можно представить следующим образом: 

номера единиц последовательности          1           2         3            …       K
«верхний отрезок»а   =  a/s    +  a/s    +  a/s    +   …  + a/s
«нижний отрезок»са =  сa/s   +  сa/s  +  сa/s  +   …  + сa/s

Число полученных минимальных отрезков, в сумме образующих исходный (как «верхний», так и «нижний»), оказывается эквивалентным и равным «К». Но если учесть то обстоятельство, что минимальный отрезок (единица измерения) «нижнего» отрезка («сa/s») в «с» раз больше (длиннее), чем минимальный отрезок «верхнего» отрезка («a/s»), то длину «нижнего» отрезка можно представить как сумму единиц «верхнего» отрезка  следующим образом:

               1             2                    К           1           2          3                    сК

      са = сa/s   +  сa/s  +    …  + сa/s  =  a/s    +  a/s    +  a/s    +  …  +   a/s.

То есть отсюда непосредственно следует, что количество минимальных  единиц измерения «верхнего» отрезка, умещающихся в «нижнем», равно «сК», что безусловно противоречит тезису о взаимно однозначном соответствии последовательностей общих минимальных элементов «верхнего» и «нижнего» отрезков.

Убедившись в невозможности установления факта взаимно однозначного соответствия на уровне мощностей множеств минимальных отрезков рассматриваемых прямых, попытаемся выяснить вопрос на уровне точек.

Предположим, что — путем бесконечного последовательного или одновременного деления — мы дошли «до точки» в качестве минимального значимого (различимого) объекта в «верхнем» отрезке. Но тогда в «нижнем» отрезке мы будем иметь в качестве минимального объекта (элемента) некое множество точек, равное действительному числу «с». Поскольку «с», по построению, больше 1, имеем соотношение с: 1 = с по количеству элементов (точек) в каждом шаге противопоставления. Тогда, если мощность множества точек «верхнего» отрезка равна  некоторому  числу «Р», мощность множества точек «нижнего» отрезка будет равна числу «сР».

Следовательно, и на уровне мощностей множеств точек взаимно однозначного соответствия не наблюдается.

Другими словами, на какое бы количество частей (конечное или бесконечное) мы ни поделили рассматриваемые исходные отрезки параллельных прямых, минимальный объект «нижней» прямой (отрезок прямой или конечное множество точек) всегда будет инвариантно в «с» раз больше, чем минимальный объект (отрезок прямой или точка) «верхней» прямой (что бы ни понималось под понятием «минимальный объект»).

Если предположить обратное, мы должны указать некий диапазон минимальности единицы измерения (меньше отрезка прямой, но больше точки), в котором происходит монотонный  переход, обеспечивающий итоговое канторовское равенство: с = 1 (с>1), и более или менее вразумительно обосновать этот переход. Ничего подобного в современной математике, очевидно, нет.

Таким образом, суммарная мощность множества минимальных объектов «нижнего» отрезка, измеренная в общей для обоих отрезков единице измерения (отрезок прямой или точка), будет в «с» раз больше, чем мощность множества минимальных объектов «верхнего» отрезка.               

При этом никого не должно смущать то очевидное обстоятельство, что действительное число «с» может быть дробным, хотя это влечет делимость точки, если мощность отрезка рассматривается как суммарное количество точек (единиц измерения), его составляющих. Ниже будет показано, что традиционная геометрическая идея (аксиома) о неделимости точки сама по себе противоречива по независящим от данного рассуждения причинам.  

Обобщим сказанное. Мы исходим из того, что любой актуально бесконечный объект (множество действительных чисел от 0 — до 1, множество точек отрезка прямой и т.д.) может быть последовательно (или одновременно) разделен как на конечное, так и на актуально бесконечное количество частей. Если при этом изменяется количественное соотношение целого и части, справедливое для конечных множеств различной величины (а мы можем проводить деление сколь угодно долго), то должен существовать диапазон такого изменения при переходе к актуально бесконечным множествам (какой-то особый вид конечно-бесконечных чисел) и его причина, более основательная, чем ничем не мотивированное предположение о различии свойств конечных и бесконечных множеств. Если учесть, что понятие конечно-бесконечного числа паралогично по самому названию, корректное обоснование наличия подобного диапазона представляется  маловероятным. Но тогда еще менее правдоподобным выглядит постулируемый Г. Кантором качественный скачок, якобы имеющий место при переходе от конечных множеств — к бесконечным, приводящий (в итоге) к паралогичному соотношению:    с = 1 (с>1, действительное число).

Мы рассмотрели вопрос о взаимно однозначном соответствии однородных и равномощных (по Кантору) множеств: «счетных» (натуральные и четные числа) и «несчетных» (разновеликие отрезки прямой). В обоих случаях мы убедились, что существует, как минимум, иная трактовка проблемы взаимно однозначного соответствия актуально бесконечных множеств, проводимая, притом, с последовательно актуалистских позиций. 

Данное обстоятельство позволяет говорить, что Г. Кантор стал произвольно употреблять потенциалистские методы постановки актуально бесконечных множеств во взаимно однозначное соответствие друг с другом без какой  бы то ни было мотивировки и без предварительного опровержения возможных альтернативных актуалистских.

В этих условиях, с учетом общей логической противоречивости потенциалистской идеологии, показанной выше,  можно сказать, что канторовская трактовка взаимно однозначного соответствия применительно к «счетным» и «несчетным» бесконечным множествам, взятым по отдельности, логически несостоятельна.

Для окончательного доказательства данного тезиса нам необходимо показать и противоречивость  канторовской трактовки соотношения мощностей «счетных» и «несчетных» множеств. Хотя эта проблема является основным предметом следующего параграфа, приведем здесь доказательство счетности множества всех подмножеств множества натуральных чисел, чтобы поставить точку в вопросе о взаимно однозначном соответствии.      

Обычно в целях доказательства несчетности  множества  всех подмножеств  множества натуральных чисел осуществляется следующая последовательность рассуждений:

Предполагается, что  существует  счетная  бесконечная последовательность  подмножеств  множества  натуральных  чисел  (S(1),  S(2),    … S(n)).

Предлагается определить некоторое множество натуральных чисел вида D(L) следующим образом: произвольное натуральное число i входит в множество D(L) тогда и только тогда,  когда i не  содержится в S(i).

Тогда для каждого натурального числа можно установить: принадлежит оно множеству D(L) или нет.

Например, если множество S(3) представляет собой множество всех четных чисел, то число 3 не входит в S(3), а потому входит в   D(L).

Далее делается предположение, что S(m)=D(L) для некоторого натурального m. Получается,  что m входит в D(L) тогда и только тогда,  когда m не входит в S(m)=D(L).

Это обстоятельство трактуется как противоречие,  из которого вытекает, что множество  D(L)  =  S(m)  не  содержится  в  списке   S(1)… S(n).  Откуда  делается  вывод  о «несчетности» множества   всех подмножеств множества натуральных чисел.

На самом деле все обстоит несколько иначе.                             

У нас есть две логические  альтернативы:

а) Мы  понимаем  множество  всех подмножеств множества натуральных чисел,  как множество потенциальное  (незавершенное).

Тогда мы  не имеем искомого отождествления S(m)=D(L) и m  никогда не может войти (или не войти) в D(L), так как формирование последовательностей S(1,2,..,k)  и D(L) никогда не будет завершено, а число (номер) m может быть оценено с точки зрения его статуса в D(L) только после завершения  формирования данного подмножества и множества подмножеств множества натуральных чисел в целом. То есть о  «несчетности» потенциального  (незавершенного)  множества  нельзя  говорить в принципе.

b) Мы понимаем  множество всех подмножеств множества натуральных чисел,  как множество актуальное (завершенное).

Тогда к моменту начала формирования множества D(L) множество всех подмножеств множества натуральных чисел уже должно было быть сформировано в актуальном (завершенном) виде (иначе неосуществима процедура выбора элементов для D(L)) и все натуральные  числа  к  этому моменту (до момента определения статуса числа m) уже должны быть поставлены во взаимно однозначное соответствие  с подмножествами множества  натуральных чисел.  Но тогда число m не  может быть натуральным числом.

Мы имеем  дело либо с неполным множеством натуральных чисел, либо с ненатуральным числом.

Если первое предположение корректно, но ничего не доказывает в смысле «несчетности», переводя исходное натуральное множество в разряд потенциальных множеств, то второе также корректно, но доказывает нечто противоположное тому, что хотел доказать Г. Кантор.

Действительно, если число m существует, но не является натуральным,  оно может быть только трансфинитным, то есть может существовать лишь в более «мощном числовом классе», чем класс натуральных чисел.

В этом  случае  оно  однозначно не   входит в  множество D(L), которое по определению включает в себя только натуральные числа (а не трансфинитные) и это не является логическим противоречием.

Наоборот, изначально противоречиво было пытаться имплантировать в ряд натуральных чисел число, явно ему не принадлежащее (неоднородное с натуральными числами), и пытаться получить на этом противоречие, якобы доказывающее «несчетность» множества всех подмножеств натуральных чисел.

Может возникнуть вопрос: каково же истинное соотношение «мощностей» натурального множества и множества его подмножеств?

Для ответа на этот вопрос мы должны уточнить, что  понимается под «мощностью», «счетностью» и «несчетностью» в свете вышеприведенной критики.

Если говорить о суммарном количестве элементов того или иного множества, понятие «мощность» вполне применимо и в дальнейшем. Но если под «мощностью» (вслед за Кантором) понимать некоторый неопределенный инвариант, метаколичественный статус множеств, позволяющий паралогично приравнивать друг к другу совершенно различные по количеству элементов бесконечные множества (например, множества натуральных и четных чисел или множества точек, составляющих различные по длине отрезки прямой), то такая трактовка абсолютно логически ошибочна.

То же касается и фундаментальных канторовских понятий «счетности» и «несчетности». Если под «счетностью» множества понимать  наличие процедуры перечисления  (задания) его элементов, то это понятие вполне корректно. Если же под «счетностью» подразумевается общая для огромного класса бесконечных множеств «мощность», некий неопределенный метаколичественный инвариант, устанавливаемый путем постановки этих множеств во «взаимно — однозначное соответствие» в канторовской трактовке, то это понятие совершенно неправомерно. Что же касается понятия «несчетности», то оно паралогично во всех редакциях.

Сделав эти предварительные замечания, можно ответить на вопрос о количественном соотношении натурального множества и множества его подмножеств. По нашему мнению, которое будет подробно мотивировано ниже, «мощность» (или в новой терминологии — «вес») множества натуральных чисел безусловно меньше, чем «мощность» («вес») множества подмножеств множества натуральных чисел. Но это не означает, что при этом теряется «счетность» (возможность пересчета на основе некоторого закона) большего  из этих множеств. Просто множество подмножеств множества натуральных чисел может быть адекватно отображено (пересчитано) лишь классом трансфинитных чисел, включающим в себя (и существенно превышающим по количеству элементов) класс натуральных чисел.

Существенно изменяются и представления о соотношении «мощностей» («весов»), например, натурального множества и его конкретных подмножеств. В частности, в новой трактовке вес множества натуральных чисел в два раза превышает вес множества четных чисел и  в s раз — вес множества натуральных  чисел, кратных  числу s. Возможны и дробные соотношения. Например, — в случае отношения веса натурального множества к весу множества простых чисел. Все эти вопросы   рассматриваются в позитивной части настоящей работы.

  1.3.2. Противоречивость канторовского понятия  несчетности множеств

Понятие «несчетности» является  наиболее значимым и «многовалентным» идейным фундаментом канторовской теории множеств. Идея «несчетности» пронизывает все без исключения разделы теоретико-множественной математики и тесно увязана со всеми ключевыми понятиями формальных систем, разработанных на базе теории множеств.

Не случайно, поэтому, что в теории множеств существует несколько «доказательств» «несчетности» множеств различных типов. Одно из них мы проанализировали в предыдущем параграфе.                      

В настоящем параграфе рассматриваются два других канторовских «доказательства», в наибольшей мере влияющих на современное состояние арифметики, геометрии и математического анализа.

Множественность «доказательств» «несчетности» необходимым образом предполагает множественность опровержений данного понятия (при условии, что оно паралогично, естественно). При этом, поскольку понятие «несчетности» связано практически со всеми ключевыми понятиями арифметики, геометрии и других математических дисциплин, «ключи и спусковые механизмы» такого опровержения могут быть совершенно различными. Ниже приводятся два варианта опровержения канторовской «диагональной процедуры»;  критически рассматривается также теорема Г. Кантора о  сближающихся рациональных интервалах.

Ошибка подмены тезиса в канторовском доказательстве “несчетности” множества действительных чисел

Напомним вкратце основной канторовский способ доказательства тезиса о несчетности множества действительных чисел, использующий так называемую «диагональную процедуру».

Вначале Г. Кантор предполагает существование некоторой счетной (перечислимой) последовательности  действительных чисел А. 

Далее он начинает строить некоторое новое число К (назовем его «канторовским»), заменяя по диагонали десятичные значения чисел, входящих в А, на любые значения, отличные от тех, которые свойственны соответствующим числам из А.

Получаемое подобным образом число К квалифицируется  им  как отличное от всех других чисел, входящих в А.

Отсюда делается вывод, что получено противоречие с предположением о счетности последовательности А и, далее, делается заключение о ее «несчетности».

На наш взгляд, данное рассуждение ошибочно.

1. Начнем с того,  что из канторовского  рассуждения  нельзя  точно понять о какой счетной последовательности идет речь: о потенциальной (незавершенной) или актуальной (завершенной), хотя Г. Кантор неоднократно (как это было показано выше) призывал своих последователей к их четкому различению.

2. Не  пытаясь  доподлинно  установить,  какую из названных двух видов счетных бесконечных последовательностей  имел  в виду Г. Кантор в своем доказательстве (это, по-видимому, невозможно), рассмотрим поочередно обе логические возможности.

2.1. Предположим вначале, что речь  идет о потенциальной счетной бесконечной последовательности.

Тогда канторовское рассуждение неверно, поскольку потенциально бесконечная последовательность всегда пополнима и, следовательно, любое  новое число рассматриваемой потенциальной последовательности может быть «канторовским».

То есть в этом случае отсутствует отличный от множества потенциально возможных элемент (новое число),  который  бы нарушал «счетность» потенциальной последовательности.

2.2. Предположим, далее, что речь идет об актуальной счетной бесконечной последовательности.

Тогда канторовское рассуждение также неверно,  поскольку актуальная бесконечная последовательность (неважно, конструктивно перечислимая или нет) всегда  завершена  по определению и элемент, принадлежащий по своим свойствам  данной  последовательности, не может существовать вне ее, не нарушая свойства завершенности (актуальности) исходной последовательности.

Следовательно, из факта наличия элемента, не входящего в исходную актуальную (по предположению) последовательность, необходимо делать вывод, что данная последовательность к моменту своего формирования была не актуальна (не завершена  в полном объеме, потенциальна), а не «несчетна».

То есть мы приходим к тому, что либо  процедура  канторовского доказательства логически некорректна (факт «неполноты элементной базы», «незавершенности» некоторой последовательности есть доказательство не ее «не-счетности», а ее потенциальности), либо исходная последовательность изначально была потенциальна, а не актуальна.

Причем вывод Г. Кантора о «несчетности» рассматриваемой последовательности оказывается  неправомерным в обоих случаях, поскольку обнаружение логической ошибки (случай актуальной последовательности) есть недостаток доказательства, достаточный для его опровержения, а сведение последовательности А к потенциальной ничего  не  доказывает.

2.3. Предположим, наконец, что Г. Кантор, вопреки собственному определению, неявно ввел некоторый новый математический объект (назовем его  «незавершенное  актуально  бесконечное множество«).

Тогда возражения по пп. 2.1. и 2.2. снимаются, но появляется новое:  насколько правомерно существование объекта, обладающего некоторым свойством и,  одновременно и в том же отношении,  его  отрицанием?                         

Ведь «незавершенное актуально бесконечное множество» есть ничто иное, как «незавершенное завершенное бесконечное множество» (мы просто подставили вместо предиката «актуальный» его смысловой заменитель — предикат «завершенный»).

Таким образом, ни в одном из трех рассмотренных случаев канторовское рассуждение не может быть признано логически корректным.

При обсуждении приведенного опровержения канторовского доказательства несчетности множества действительных чисел в качестве  возражения может прозвучать примерно следующий тезис: «Данное рассуждение, возможно, и было бы убедительным для самого Г. Кантора, с большой строгостью относившегося к  различению актуальной и потенциальной бесконечностей,  но  для  современной  постканторовской  теории множеств (как «наивной», так и формальной), оно не правомерно, поскольку названные дисциплины не различают  этих двух видов бесконечностей и работают со всеми бесконечными объектами, как если бы они были исключительно актуальными».

Рассмотрим данное возражение, довольно часто в разных модификациях  выдвигаемое оппонентами, подробнее. 

Обсудим, вначале, вопрос: откуда берется тезис о том, что актуальная неразличимость каких-либо понятий в той или иной конкретной математической теории — достаточное основание для непринятия доказательства, основанного на корректном (в логическом и в математическом смыслах) различении этих понятий?

По нашему убеждению, корни подобных воззрений лежат в неадекватной трактовке “принципа тождества неразличимых”.

Принцип тождества неразличимых, введенный в логико-математический оборот Г. Лейбницем, предназначался исключительно для отождествления понятий (объектов), различение которых либо невозможно (ввиду отсутствия точных критериев различения), либо несущественно для какой-либо предметной области. Это давало возможность осуществлять необходимую в науке абстрагирующую деятельность, единообразно оперировать с различными объектами, однородными в каком-либо отношении.

Однако принцип тождества неразличимых никогда не предназначался для обоснования блокировки правомерного различения объектов по существенным признакам. Если бы это было так, то древние греки могли бы, например, просто признать тождественными и не подлежащими различению такие понятия, как “рациональные числа” и “иррациональные числа” на том основании,  что такое различение (хотя оно и возможно, и необходимо) “не вписывается” в современную им математику, “не принято” в ней изначально.

Подобное использование принципа тождества неразличимых в качестве «принципа цензуры различений» является, на наш взгляд, прямой подменой понятий и совершенно недопустимо. Дело в том, что систематическое употребление “принципа цензуры различений” означает конец науки в широком смысле, поскольку сама суть научных исследований — в непрерывном уточнении используемых понятий,  в определении ранее неопределенного, в  поисках существенных различий между ранее неразличимыми объектами.

Более того, как уже говорилось выше, в логике существует альтернативный принцип, совершенно самостоятельный и не менее приоритетный, чем принцип тождества неразличимых, — принцип индивидуации. Его сущность состоит в признании и постулировании того факта, что каждый объект универсума — единственный объект, то есть в отрицании существования двух неразличимых объектов.                                                                                      

Принцип индивидуации был сформулирован еще в античности,  специально разрабатывался Фомой Аквинским и признавался большинством логиков и математиков, включая Г. Кантора и его последователей, о чем речь пойдет ниже.

Из принципа индивидуации непосредственно следует правомерность различения любых логических и математических объектов всякий раз, когда таковое корректно, необходимо и существенно для рассматриваемой предметной области.

Именно многочисленные (скорее всего — неумышленные со стороны Г. Кантора) нарушения принципа индивидуации  и явились, на наш взгляд, основной причиной общей противоречивости канторовской теории множеств. Тем более нет оснований делать подобную же ошибку (уже умышленно) по отношению к современной математике.

Возвращаясь к вопросу о принципе тождества неразличимых, спросим теперь: действительно ли мы неправомерно различаем то, что объективно неразличимо в математике?

Все вышеизложенное опровержение строится на двух вполне правомерных в логическом смысле различениях: а) на различении завершенного (актуального, имеющего в наличии все элементы) множества и множества незавершенного (потенциального, имеющего в наличии не все элементы) и б) на различении незавершенного (потенциального) и неперечислимого («несчетного») множеств.

В чем же исходная логическая ошибка  Г. Кантора? На наш взгляд, она состоит в том, что он попытался обосновать несчетность (неперечислимость) некоторого объекта, доказав лишь его незавершенность к моменту начала рассмотрения, а незавершенность, в свою очередь, неправомерно отождествил с завершенностью. 

То есть налицо факт двойного неправомерного отождествления разных понятий (“незавершенности” и “неперечислимости” множества — с одной стороны и “незавершенности” и “завершенности” множества — с другой).

Скажем также, что множественная подмена тезисов и признаков — не единственная логическая ошибка, содержащаяся в канторовской «диагональной процедуре».

Последняя противоречит, например, принятому в теории множеств «принципу свертывания», гласящему, что для каждого свойства существует множество, состоящее из всех предметов, обладающих этим свойством. Противоречие состоит в том, что предполагая множество действительных чисел в диапазоне (0,1) существующим (определенным признаком «быть действительным числом в диапазоне (0,1)» и, соответственно, состоящим из всех элементов), Г. Кантор строит число, которое ранее не входило в данное множество. Это доказывает не «несчетность» исходного множества, а лишь то, что понятие «несчетности» противоречит еще и принципу свертывания. Представим себе, что кто-то вначале допускает существование «множества яблок», а потом достает из кармана еще одно «яблоко» и утверждает, что данное «яблоко» не входило в исходное множество. Такого человека, очевидно,  быстро бы уличили в нарушении принципа свертывания. Почему же логика не работает по отношению к числовым множествам?

Есть в канторовской «диагональной процедуре» и третья логическая ошибка, связанная с проблемой  идентификации действительных чисел. Она настолько серьезна в смысле возможных последствий для всего фундамента математического здания, что требует специального рассмотрения.

Неидентифицируемость  элементов канторовских “несчетных множеств”

Обратимся теперь к аргументам совершенно иной природы, доказывающим неправомерность канторовских представлений о “несчетности” множества действительных чисел с другой стороны.

Рассмотрим, вначале, понятия: «определенное множество» и «неопределенное множество».

В работе «О бесконечных линейных точечных многообразиях» Г. Кантор писал: «Многообразие (совокупность, множество) элементов, принадлежащих любой сфере понятий, я называю вполне определенным,  если  на основе его определения и вследствие логического принципа исключенного третьего становится возможным рассматривать внутренне определенным как то,  является или не является его элементом любой объект из этой сферы понятий, так и то, равны или нет друг другу два принадлежащих множеству объекта,  несмотря на формальные различия в способах их задания» (45, с.50-51).

Иными словами, множество М является определенным (правомерно заданным), если тем или иным способом гарантировано существование всех  его  элементов  и существует математически точная процедура (система процедур), позволяющая в каждом случае однозначно решать вопросы принадлежности к М произвольного элемента и различимости между собой любых двух элементов из М.

Соответственно, «неопределенным множеством» мы (вслед за Г. Кантором) будем считать множество, неправомерно (противоречиво) заданное, то есть множество, в котором отсутствует (или противоречиво определен) хотя бы  один из следующих критериев определенности множества как математического объекта:

— гарантированность существования множества и его элементов;

— родственность, однородность элементов (правомерность принадлежности всех элементов — множеству);

— выборочная  попарная  различимость, идентифицируемость элементов (отсутствие хотя бы одой  пары  неразличимых  между  собой   элементов).

Данная дефиниция критериев определенности (правомерной, непротиворечивой заданности) — неопределенности (неправомерной, противоречивой заданности)  произвольного множества действительна не  только для канторовской,  но и для современной  арифметики,  поскольку множества  с  негарантированным существованием,  с неродственными (неоднородными) и/или  выборочно  попарно  неразличимыми элементами не являются числовыми множествами.

Понятие «неопределенность (неправильная определенность) множества» тесно связано в одном из своих вышерассмотренных частных смыслов (речь идет о неразличимости элементов множества) с понятием «неопределенность (неправильная определенность) элемента».                                   

Мы будем считать некоторый  произвольный  элемент множества «определенным (правильно заданным)», если имеется в наличии явный закон (процедура) его построения или  закон  (процедура) его полной идентификации (отличения от любого другого элемента данного множества).

Обратно, мы  будем  считать некоторый произвольный элемент множества «неопределенным (неправильно определенным)», если отсутствует явный закон его построения или закон его полной идентификации.

В целях обеспечения попарной различимости  произвольно взятых элементов множества действительных чисел Г. Кантор разработал два новых механизма: процедуру выбора и метод “стеснения” произвольного иррационального числа  сходящимися интервалами рациональных чисел.

Как будет показано ниже, оба названных механизма не обеспечивают однозначной идентификации произвольного иррационального числа, что  противоречит тезису об определенности множества действительных чисел .

Приведем теперь вышеаннотированные опровержения канторовских воззрений о “несчетности” множества действительных чисел, связанные с проблемой  “неидентифицируемости” элементов рассматриваемого множества.

Неопределенность и противоречивость канторовской “процедуры выбора”

Процедура одновременного бесконечного выбора, введенная Г. Кантором в математику и ставшая краеугольным камнем многих последующих формальных интерпретаций,  используется в канторовской теории множеств повсеместно, а в современных формальных арифметических системах она просто задана  аксиоматически.

Для нас важно,  прежде всего,  то  обстоятельство,  что  без «процедуры выбора» невозможна канторовская «диагональная процедура», которая, собственно, и является процедурой неограниченного   одновременного  выбора  бесконечного множества десятичных  значений при построении подтверждающего «несчетность» множества действительных чисел иррационального числа.

Однако дело не только в этом.

Установление факта неопределенности и противоречивости использования «процедуры (аксиомы) выбора» устраняет один из  краеугольных  камней канторовского определения множества действительных чисел (основной инструмент идентификации действительных чисел) и делает его «неопределенным» со всеми вытекающими последствиями, то есть не имеющим права на существование в какой-либо математической системе, претендующей хотя бы на минимальную строгость своих оснований.

Что же нас не устраивает в «процедуре (аксиоме) выбора» применительно к канторовской арифметике действительных чисел?

Прежде всего —  неопределенность условий ее применения.

Из существующих определений, описаний и прецедентов применения процедуры (аксиомы) выбора совершенно неясно, в частности, о каком выборе идет речь: о последовательном (потенциальном, незавершенном) или одновременном (актуальном, завершенном)?

Оговоримся. Разумеется, во всех основных определениях и описаниях процедуры (аксиомы) выбора, имеющихся в канторовской и в постканторовских аксиоматических теориях множеств, речь идет об одновременном (актуальном) выборе. Однако в большинстве классических рассуждений процедура (аксиома) выбора де-факто применяется потенциально. Это и позволяет нам говорить о неопределенности условий ее применения.

Между тем, от способа применения данной процедуры многое зависит.  Не имея возможности установить, какой из двух названных «типов выбора» предпочитал Г. Кантор, рассмотрим обе возможности.

Пусть в “диагональной процедуре” выбор значений “канторовского числа” в последовательности десятичных разрядов осуществляется последовательно, потенциально.

Тогда, не будучи полностью определенной во всех  десятичных разрядах одновременно, рассматриваемая в качестве «канторовского числа» незавершенная последовательность цифр определяет не одно число, а целый  класс  действительных чисел и, следовательно, не может без нарушения закона тождества и принципа индивидуации рассматриваться как одно, отдельно взятое действительное число.

Дело в том, что “канторовское число” задается не арифметически (извлечением корня, например) и не алгебраически (с помощью уравнения), а  исключительно с помощью произвольного  выбора. Это значит, что последующие десятичные значения “канторовского числа” никак не связаны с предыдущими и ничем не детерминированы, кроме канторовского свободного выбора. А потому либо процесс должен быть в каком-то смысле завершенным (то есть определять все десятичные значения «канторовского числа», включая последнее), либо рассматриваемый объект — не число, а класс чисел.

Если же  процесс конструирования «канторовского числа» с помощью «процедуры выбора» доводится до «последнего» (в каком-то, пусть и неопределенном в канторовской арифметике, смысле) десятичного разряда и мы имеем в итоге «завершенное канторовское число» (уникальное и, вместе с тем, однородное с другими действительными числами), то никто не имеет права запрещать совершенно идентичные в логическом смысле операции  актуального (завершенного) выбора по отношению к другим действительным числам.

Тогда мы  можем  без логического противоречия провести нижеследующее рассуждение, доказывающее, что существование «процедуры (аксиомы)  выбора» несовместимо с одновременным отрицанием существования  «актуально бесконечно малых».

Действительно, если мы вправе (одновременно  или  последовательно, но за приемлемое конечное время, — неважно) сделать счетно бесконечное число выборов из известных десяти цифр, используемых в  одноименном  счислении, и получить таким образом все десятичные значения “канторовского числа” (включая последнее), то мы можем строго в соответствии с вышеизложенными посылками и фактами «конструировать» по своему желанию  любое  действительное число.

В самом деле,  в этом случае нам ничто в канторовской арифметике не запрещает вначале в каждом из счетно бесконечного числа десятичных разрядов после запятой «выбрать»  нуль и  построить, таким образом, число 0,(0).

Затем снова выбрать нули во всех разрядах,  кроме «последнего«, в котором мы выберем цифру 1,  и,  следовательно,  построить  число  0,(0]1 и так далее.

В этом случае мы действительно  имеем  сверхнадежный  способ идентификации действительных чисел,  но,  одновременно, мы уже не можем отрицать существование актуально бесконечно малых  чисел  — прежде всего  числа 0,(0]1,  как универсального бесконечно малого числа, как величины,  на которую отличаются друг от друга два рядом стоящих действительных числа.

Более того,  мы легко можем построить  следующую  последовательность действительных чисел в интервале (0,1):

                     0,(0)    0,(0]1     0,(0]2    …..    0,(9)    1,(0).

 Это уже будет явным  образом  означать счетность  множества действительных чисел.

 В итоге можно констатировать, что Г. Кантор (как и многие его последователи) стал употреблять некоторое новое достаточно сильное логико-математическое  средство  без его надлежащего обоснования и определения.

 Если бы он попытался это сделать, выяснилось бы, что, не доводя конструируемого им в рамках «диагональной процедуры» особого «канторовского»  числа  до некоторого в определенном смысле (который ему, Г. Кантору, необходимо было корректно определить) «последнего» десятичного разряда, он не имеет права говорить об определенности и,  в частности, уникальности данного числа (в изначальной «счетной» последовательности могут остаться числа с «диагонально неисправленными» десятичными значениями) и, тем самым, оставляет его неопределенным (лишает права на существование в качестве числа).

То есть «незавершенное» канторовское число попросту не существует в  силу своей неопределенности,  поскольку единственное основание его существования — канторовский свободный выбор (вообще говоря — произвол). Совершенно непонятно, какой точке числовой оси данное число соответствует, если не определены все его  десятичные значения, включая «последнее».

 С другой стороны, признание “завершенности” канторовского числа влечет одновременное признание существования актуально бесконечно малых и, соответственно, счетности множества действительных чисел, что как раз и отрицает Г. Кантор.

 В обоих  случаях возникает противоречие с канторовским утверждением о «несчетности» множества действительных чисел.

Так, если процедура выбора потенциальна (не завершаема), мы имеем  не «канторовское действительное число», а «канторовский класс действительных чисел» и, соответственно, отсутствие доказательства «несчетности».

Если процедура выбора актуальна (завершаема), то мы обязаны признать существование актуально  бесконечно  малых действительных  чисел и существование процедуры перечисления множества действительных чисел, то есть его «счетность».

Отсюда следует один из двух выводов:

либо множество действительных чисел счетно (то есть существует  процедура  его перечисления,  основанная на признании и использовании актуально бесконечно  малых  чисел),  либо  процедура  (аксиома) выбора противоречива в силу своей неопределенности или,  наоборот, неопределенна в силу своей противоречивости, что в любом случае лишает ее права на существование в рамках канторовской теории множеств и современной математики.

Поскольку для современных аксиоматических теорий более важно понятие «несчетности» действительных чисел и отрицание  бесконечно малых чисел, будем условно считать, что в рамках канторовской и постканторовской арифметики неправомерна процедура (аксиома) выбора как средство конструирования и идентификации действительных чисел.

Невозможность однозначной идентификации действительных чисел с помощью сходящихся рациональных интервалов

Другим способом идентификации действительных чисел, разработанным Г. Кантором, был метод “стеснения” иррациональных чисел сходящимися рациональными интервалами.

Этот метод явился основой теоремы, считающейся семантическим эквивалентом канторовской “диагональной процедуры”. Речь идет о следующей теореме:

«Если имеется просто бесконечная последовательность …  неравных действительных чисел,  заданная по какому-либо закону,  то    во всяком данном интервале (a…b)  можно указать число h (а значит   и  бесконечно  много  таких чисел),  которое не содержится в этой   последовательности (как ее член)» (45, с.43).

Это, возможно, прозвучит несколько странно в контексте вышесказанного, но мы полностью признаем справедливость данной теоремы. Более того, мы считаем данное утверждение ключом к доказательству счетности множества действительных чисел.

Дело в том, что вышеприведенная теорема отчетливо показывает, что в канторовской  и  в современной арифметике попросту отсутствуют какие бы то ни было средства идентификации элементов множества иррациональных чисел.

Действительно, говоря, что «во всяком данном интервале (рациональном — В.П.) (a…b) можно указать число h (а значит и бесконечно много таких чисел), которое не содержится в этой последовательности (как ее член)» ( 45, с.43),  Г. Кантор утверждает, что никакая пара из бесконечного количества действительных чисел, лежащих в названном интервале, неразличима между собой.

Следовательно, в предположении «несчетности» множества действительных чисел произвольное иррациональное число нельзя однозначно идентифицировать с помощью сходящихся рациональных интервалов.

 Аналогично, в предположении “несчетности” множества действительных чисел  произвольное  иррациональное  число  нельзя  также идентифицировать  с помощью сходящихся иррациональных интервалов,  так как  это  означало бы наличие того самого закона перечисления иррациональных чисел, существование которого,  как раз,  отрицается Г. Кантором.

 Иначе говоря, в предположении “несчетности” множества действительных чисел с помощью самых мощных математических средств и во  времена Кантора, и сегодня можно, в лучшем случае, идентифицировать некоторый класс иррациональных чисел, но ни в коем случае — одно, отдельно взятое иррациональное число.

Действительно, вряд ли кто из современных математиков возьмется отыскать средство идентификации, например, “ближайшего к “пи” иррационального числа с левой стороны числовой оси”(точку числовой оси или тождественную данному числу последовательность десятичных значений), если не постулировать существование актуально бесконечно малых чисел.

Этот вывод полностью совпадает с тем, который был сделан выше при опровержении “процедуры выбора”.  

Поскольку же  в  распоряжении Г. Кантора (как и любого современного математика) иных средств идентификации иррациональных чисел нет (кроме уже рассмотренных процедуры выбора и сходящихся рациональных интервалов),  мы вынуждены констатировать, что канторовское (и постканторовское) множество действительных чисел счетно.

Это означает, что дело не в “процедуре выбора”, точнее, не только в ней, а в общей неопределенности (в изложенном выше смысле) множества действительных чисел в канторовской и в современной трактовках.

То есть мы должны констатировать,  что  канторовская  и постканторовская арифметики, не имея эффективных средств идентификации, взаимного различения произвольных действительных чисел, лишаются одного  из необходимых условий своего логически корректного определения и обретают статус «неопределенных» (или «некорректно  определенных»).

Подведем предварительный итог. Канторовская теория множеств  и его  арифметика действительных чисел неверны в самой сути. Противоречивым оказывается ключевое понятие, на котором держится вся теоретическая конструкция — понятие «несчетности». Отсюда следует, что противоречивыми являются и все современные аксиоматические системы типа «Principia Mathe-matica», содержащие в своем теоретическом арсенале понятие «несчетности».

Устранение понятия “несчетности” влечет множество фундаментальных следствий, которые совершенно деформируют современную теорию множеств и арифметику.   Действительно, совершенно не имеющей корректных логических  оснований для постановки оказывается такая фундаментальная проблема, как «континуум — гипотеза», рассматриваемая всеми аксиоматическими теориями, как логически правомерная. Рушится вся канторовская  иерархия «кардинальных чисел», построенная исключительно на противопоставлении «счетных» и «несчетных»  множеств и полностью продублированная всеми аксиоматическими теориями.

Другими словами, с устранением из теории множеств и арифметики понятия «несчетности», на месте канторовской теории множеств и современных аксиоматических теорий в части, касающейся актуально бесконечных множеств, не остается ничего из классического теоретико-множественного идейного арсенала.

  1. Противоречивость канторовской теории трансфинитных чисел

Демонстрация противоречивости канторовской арифметики бесконечных чисел и множеств была бы не полной, если бы мы не показали противоречивость ее главной конструкции, ради обоснования которой, собственно, и   разрабатывался весь содержательный и формальный арсенал теории множеств, — иерархии трансфинитных чисел.

На наш взгляд, проблема противоречивости канторовской теории  трансфинитных чисел связана не только с паралогизмом понятия «несчетность», но и (в немалой степени)  с логической некорректностью канторовских способов порождения числовых классов.

Поэтому попытаемся продемострировать противоречивость канторовской теории трансфинитных чисел, не апеллируя к противоречивости понятия «несчетности».

Рассмотрим  основное канторовское рассуждение на эту тему: «Ряд (I) положительных реальных целых  чисел  1,2,3,  …, n, …  имеет источником  своего возникновения повторное введение и объединение единиц, положенных в основу и  рассматриваемых  как   равные. Число n есть выражение как определенного конечного количества подобных следующих друг за другом введений, так и соединения рассматриваемых единиц в одно целое. Таким образом, образование конечных реальных чисел основывается на принципе  присоединения единицы к некоему имеющемуся уже образованному числу. Я называю этот момент, который, как мы вскоре увидим, играет существенную  роль  и при порождении высших целых чисел,  первым принципом  порождения. Количество чисел n  класса (I),  которое можно образовать таким образом, бесконечно, и между ними нет вовсе наибольшего числа.  Поэтому,  как ни противоречиво было бы говорить о наибольшем числе класса (I), с другой стороны, нет ничего нелепого в  том, чтобы вообразить себе некоторое новое число — обозначим его w, —  которое должно быть выражением того,  что нам дана согласно своему закону в своей естественной последовательности  вся  совокупность (I) … Можно даже вообразить себе новосозданное число w пределом,  к которому  стремятся числа n,  если понимать под этим лишь то,  что w должно   быть первым  целым  числом,  которое  следует за всеми числами n,  т.е. которое можно назвать большим,  чем любое из чисел n. Допуская за введением числа w следование дальнейших присоединений единицы, мы получаем с помощью первого принципа порождения  дальнейшие числа…                  

Логическая функция, которая дала нам оба числа w и 2w, очевидно,  отлична от первого принципа порождения. Я называю ее вторым принципом порождения реальных целых чисел и определяю его точнее следующим образом: если  задана  какая-нибудь определенная последовательность введенных. целых реальных чисел,  среди которых нет наибольшего  числа,  то  на основе этого второго принципа порождения создается новое число, которое мыслится как предел  этих  чисел,  т.е. определяется как первое большее всех их число» (45, с.92).

Г. Кантор ввел также третий «принцип порождения», представляющий собой комбинацию двух первых. Мы его рассматривать не будем, поскольку противоречивыми оказываются уже первые два.

Начнем с первого канторовского «принципа порождения».

Первый принцип порождения, назовем его «аддитивным», испокон веков был принят в арифметике и имел непосредственной причиной своего возникновения общечеловеческую потребность в счете и в различении различных количеств конкретных предметов. 

Поскольку названная потребность на ранних стадиях развития человеческого сообщества  была более чем скромной и, во всяком случае, не простиралась за пределы конечного, никакой эмпирической необходимости пересматривать и модифицировать аддитивный принцип порождения не было в течение тысячелетий.

Между тем, уже с самого своего возникновения аддитивный принцип порождения чисел был весьма уязвим в логическом отношении. Речь идет, разумеется, о его имманентной потенциальности. Спрашивается, на чем основана общая вера в то, что всегда существует сумма или произведение двух натуральных чисел?  Очевидно, на представлении, что натуральный ряд всегда можно продолжить до необходимого значения.  Проблема, однако, в том, что, не имея четкой границы ряда, мы всегда рискуем получить число, которое еще не существует в ряду актуально, до того момента, когда его существование будет подтверждено с помощью аддитивного принципа порождения. То есть, вопреки определению натурального числа как реального (актуального) элемента аддитивной последовательности, имеющего непосредственно предшествующее и последующее числа, не дождавшись экспериментального подтверждения членства какой-либо суммы натуральных чисел в качестве полноправного элемента натурального ряда, мы заранее рассматриваем некоторую сумму двух натуральных чисел как натуральное число.

На наш взгляд, такая последовательность действий влечет очевидное противоречие постулирования существования и свойств некоторого объекта (числа) до его определения и идентификации, состоящих (согласно аддитивному принципу порождения) в указании точного места данного объекта (числа)  в ряду других объектов (чисел). На эмпирическом уровне человечество это всегда понимало и, по мере надобности, все более актуализировало ряд натуральных чисел, последовательно повышая размерность множества актуально существующих натуральных чисел до тысяч, миллионов, миллиардов, … — и до «гугола». В рамках названных актуально существующих числовых разрядов можно было оперировать достаточно большими натуральными числами, не опасаясь логических противоречий. Но в общем случае проблема не снята и по сей день, что и порождает многочисленные потенциалистские спекуляции на факте незавершенности натурального ряда, одной из которых и является канторовская теория трансфинитных чисел.

Другими словами, в традиционно потенциалистской трактовке натурального ряда  имеется неустранимая средствами классической математики проблема одновременного существования  актуальных (уже существующих) и потенциальных (еще не существующих) натуральных чисел, что противоречит законам исключенного третьего (в смысле неправомерности истинностных суждений о будущих событиях), тождества и непротиворечия единовременно.

До момента актуализации проблемы бесконечности в математике в середине ХIХ века данное положение было терпимым, однако нараставшая общая полулатентная противоречивость математических конструкций и  кричащая противоречивость канторовской теории множеств сделали задачу детального анализа данной логической ситуации неотложной.

Хотя принцип аддитивного порождения натуральных чисел является латентно противоречивым в силу своей потенциальности сам по себе, его противоречивость проявилась в явном виде  только после введения Г. Кантором в математический оборот его «второго принципа порождения», предусматривающего своего рода «перерыв потенциальности» натурального ряда путем введения первого трансфинитного числа «омега».

Единственным существующим по сей день в математике «обоснованием» этого шага является канторовское заверение, что «нет ничего нелепого в том, чтобы вообразить себе некоторое новое число» («w»), обладающее свойствами «быть больше всех натуральных чисел» и «быть минимальным трансфинитным числом» — одновременно (45, с.92).

На наш взгляд, архинелеп сам подобный эмоционально-аксиологический подход к обоснованию существования какого-либо математического объекта. Не случайно многие выдающиеся математики (в частности — Кронекер) резко воспротивились подобному нововведению. Проблема, однако, состояла в том, что они не смогли опровергнуть это предложение как логически несостоятельное и, тем более, предложить что-то более совершенное.

Попытаемся поддержать традицию критики канторовской иерархии трансфинитных чисел.

Введя первое трансфинитное число без предварительного завершения (полной актуализации) натурального ряда в соответствии со своим «вторым принципом порождения», Г. Кантор резко усилил противоречивость первого («аддитивного») способа порождения.

Дело в том, что если ранее всегда можно было последовательно актуализировать все большую и большую часть множества натуральных чисел и в этих рамках непротиворечиво оперировать с ними (то есть всегда существовала логическая перспектива полной актуализации вынужденно потенциального натурального ряда), то с введением канторовского «первого трансфинитного числа» возникла принципиально новая ситуация. 

Натуральный ряд потерял даже количественно неопределенную логическую перспективу полной актуализации. Между произвольно большим натуральным числом и канторовской «омегой» возникла непреодолимая логическая пропасть. Натуральный ряд оказался уже не только фактически (вследствие своей имманентной потенциальности), но и логически прерванным (незавершенным). Между натуральными числами и «омегой» возникла логическая пустота, не заполненная ничем.

Действительно, поскольку ни одно натуральное число не способно достичь «w», а сама «омега» не способна уменьшаться, между классом натуральных чисел и «первым трансфинитным числом» существует некоторая, ничем (никакими, пусть особыми, объектами — числами) не заполненная,   «логически мертвая зона», свидетельствующая о паралогичном разрыве, дискретизации той хотя и потенциальной (незавершенной), но непрерывной внутри себя числовой последовательности, которой до Кантора был ряд натуральных чисел.

Если учесть, что математическое отношение порядка базируется на понятии непрерывного (без логических разрывов) следования друг за другом логически однородных (пусть и разновеликих) единиц, то канторовская иерархия трансфинитов является логически неупорядоченной дискретно-потенциальной структурой, хотя Г. Кантор и настаивает на ее актуальности и упорядоченности. 

Кроме того, становится вообще непонятным, какой класс чисел представляет «w» в канторовской трансфинитной иерархии. «Омега» не может представлять класс натуральных чисел ни как «порядковый тип», ни как «количественное число», поскольку между ней и натуральным множеством лежит логически неопределенная зона, которая либо пуста, либо заполнена какими-то особыми числами, представляющими собой нечто среднее между натуральным числом и «омегой».

Если упомянутая «мертвая зона» пуста, то «w» лежит на числовой оси намного «дальше» класса натуральных чисел и не может его представлять в числовой иерархии, как число 100, например, не может представлять множество натуральных чисел в диапазоне (1-10) вообще и, тем более, при условии, что множество натуральных чисел в диапазоне (11-99) не определено.

Если же «мертвая зона» заполнена какими-либо особыми числами (назовем их «маргинальными», конечно-бесконечными), то «омега» должна представлять не класс натуральных чисел, а некий объединенный класс натуральных и «маргинальных» чисел.

В обоих случаях «омега» не является  представителем класса натуральных чисел в числовой иерархии, хотя  Г. Кантор и отождествляет мощность натурального множества с первым трансфинитным числом.

Другое возражение против канторовского «первого трансфинитного числа», тесно связанное с первым, состоит в том, что оно вообще не является целым числом, хотя на этом настаивает Г. Кантор.

Дело в том, что в арифметике необходимым условием существования какого-либо объекта в качестве целого числа является его определенность как однозначно понимаемой в количественном отношении суммы единиц числового ряда. В случае «омеги» данный признак отсутствует из-за упоминавшейся выше логической прерванности натурального ряда.

Хотя Г. Кантор и утверждает, что «омега» имеет строго определенную мощность и «не содержит ничего шаткого, ничего неопределенного, ничего изменчивого, ничего потенциального…» (45, с.279), что его определения чисел «…одинаковы независимо от того, относятся ли они к конечным или бесконечным множествам» (45,с.279) и что «каждое трансфинитное число второго числового класса обладает согласно своему определению той же самой определенностью, той же законченностью в себе, что и каждое конечное число» (45,с.279) это опровергается его собственными рассуждениями о зависимости количества элементов актуально бесконечного множества от способа задания  последовательности (см.45,с.73) и о невозможности достижения «омеги» последовательностью натуральных чисел (45,с.92).

Итак, вследствие логической прерванности потенциального числового ряда, показанной выше, число «омега» не может быть представлено в виде суммы натуральных единиц (натуральная последовательность «не доходит» до «омеги» по определению).

Но тогда о какой же количественной определенности и, тем более, законченности, актуальности данного числа можно говорить?

Можно паралогичным образом постулировать существование «первого трансфинитного числа», большего, чем все натуральные, как это делает Г. Кантор, но гарантировать его количественную определенность нельзя. Для этого нужно продемонстрировать некоторую непрерывную последовательность чисел, порядковым элементом (или завершением) которой было бы число «омега». Но как раз существование такой последовательности и отрицает Г. Кантор, поскольку, если бы «омега» имела какой-либо статус в непрерывной числовой последовательности или была бы ее завершением, она имела бы и предшествующие числа. Но, имея предшествующие числа, «омега» («первое трансфинитное число») могло бы интерпретироваться как сумма или произведение конечных чисел, что, очевидно, противоречиво.

Другими словами, «w» — либо количественно неопределенное целое число (что лишает его статуса числа вообще), либо сумма конечных чисел (что лишает его статуса бесконечного числа). В обоих случаях приходим к противоречию с канторовской позицией.

Если «w» — количественно неопределенное бесконечное число, не сводимое к сумме своих элементов и имеющее, соответственно, неопределенную мощность (вопреки ничем не подкрепленным канторовским заверениям в обратном), то оно не имеет права на существование в арифметике и, во всяком случае, не может выступать в качестве «кирпичика» актуальной трансфинитной числовой иерархии, поскольку прибавление каких-либо единиц к количественно неопределенному числу просто бессмысленно.

Если «w» — конечное число (сумма или произведение натуральных чисел), то ни о какой трансфинитной иерархии актуально бесконечных чисел говорить вообще не приходится.

Именно в этом узле противоречий и содержится, на наш взгляд, причина того, что Г. Кантор считал уже множество натуральных чисел «неконсистентным», то есть содержащим, по его мнению, внутреннее противоречие и требовал постулировать его «консистентность» на аксиоматическом уровне.

Противоречие действительно существует, однако это не противоречие, имманентное множеству натуральных чисел как таковому, не онтологическое противоречие (оно вообще невозможно в свете вышеприведенной критики метаматематики), а противоречие паралогичного немотивированного приписывания одному и тому же целому числу («w») свойств количественной неопределенности (нетождественность сумме натуральных единиц) и количественной определенности (инвариантная определенная мощность, допускающая присоединение новых единиц) — одновременно и в том же отношении.

Сказанное можно очень точно показать на геометрическом примере. Это крайне важно, поскольку Г. Кантор впервые в истории математики отождествил множество действительных чисел с множеством точек отрезка прямой и, соответственно, поставил определение действительного числа в полную зависимость от определения точки. Следовательно, коль скоро Г. Кантор настаивает на логической однородности натуральных, действительных и трансфинитных чисел, он должен был сделать нечто подобное и с трансфинитной иерархией.

Из истории математики известно, однако, что  этого  не произошло. Канторовская иерархия трансфинитных чисел так и не получила геометрической интерпретации (даже сегодня). Это обстоятельство само по себе можно рассматривать как одно из противоречий канторовской теории множеств, но нам в данном случае важнее не просто констатировать очередное противоречие этой теории, а выяснить его природу и связь с другими противоречиями, то есть узнать, почему именно канторовская иерархия трансфинитов не удостоилась геометрической интерпретации.        

По Кантору, множество действительных чисел в диапазоне (0,1) равномощно множеству точек произвольного отрезка прямой и имеет большую мощность, чем актуально бесконечное множество натуральных чисел. Хотя последнее само по себе далеко не очевидно в свете вышеизложенного, допустим справедливость этого тезиса, чтобы показать противоречие другого рода.

Из совокупности наличных посылок следует, что множество натуральных чисел,  как и множество действительных чисел в диапазоне (0,1), вполне можно представить геометрически и, притом, актуально, в виде множества следующих друг за другом неких актуально бесконечно малых  отрезков — частей исходного отрезка прямой. При этом, очевидно, эти актуально бесконечно малые  отрезки должны быть большими, чем точка, но меньшими, чем любая часть исходного отрезка, полученная конечным делением.  Тогда было бы логично предположить, что канторовская «омега», как и 1 — для множества действительных чисел в диапазоне (0,1) — последний элемент данной последовательности.

Если бы множество натуральных чисел, по Кантору, было действительно актуально, в такой геометрической интерпретации не было бы ничего противоречащего канторовским арифметическим посылкам. Но мы видим, что данная геометрическая интерпретация натурального ряда существенно им противоречит.

Во-первых, Г. Кантор полностью отрицает существование актуально бесконечно малых объектов (и, в частности, — актуально бесконечно малых отрезков прямой), что само по себе — непонятно, поскольку как можно отрицать существование какого бы то ни было актуального геометрического объекта, состоящего из точек, если признается сама точка?

Во-вторых, в данной интерпретации между натуральными числами и числом «омега» нет никаких логических разрывов; последний актуально бесконечно малый отрезок непосредственно следует за своими предшественниками и, соответственно, существуют такие отрезки — числа, как «w-с», «w/с» (с-натуральное число), что, по Кантору, невозможно.

Наконец, в-третьих, если, по Кантору, к «w» можно прибавлять новые единицы и «дойти» до мощностей, соответствующих множеству действительных чисел и выше, то это влечет (в рамках нашей геометрической интерпретации) неравномощность разновеликих отрезков прямой, что отрицается Кантором.

Чтобы избежать противоречия с Кантором относительно актуально бесконечно малых в качестве элементной базы геометрической модели натурального ряда, можно было бы представить себе окружность бесконечного радиуса, составленную из некоторых соединенных друг с другом единичных отрезков прямой (не актуально бесконечно малых), интерпретируемых как натуральные числа, но все равно оставались бы противоречия по пунктам 2 и 3.

Но тогда мы были совершенно правы, говоря, что постулированный Г. Кантором логический разрыв («мертвая зона») между натуральными числами и «омегой» и количественная неопределенность последней — не случайность, не недосмотр, а жесткая закономерность и, притом, закономерность, паралогично влияющая на все прочие отношения между числовыми множествами в рамках канторовской трансфинитной иерархии. 

Следовательно,  геометрическая интерпретация паралогично дискретизированной, количественно неопределенной, изначально потенциалистской канторовской иерархии трансфинитов попросту невозможна, поскольку геометрические объекты (в частности — континуум) по определению непрерывны и актуальны.

Таким образом,  противоречивость канторовской теории  трансфинитов состоит в том, что некоторой всюду «разорванной», дискретной (логически неупорядоченной), количественно неопределенной  потенциальной последовательности, состоящей из неопределенных же объектов, не имеющих никакого отношения к понятию «число», каковой на деле является канторовская иерархия трансфинитов, произвольным образом, паралогично присваиваются некоторые свойства актуальных множеств и чисел.

Длительный период отсутствия точной фиксации этого очевидного уже Кронекеру факта можно объяснить тем, что часть очевидных логических противоречий, возникающих в теории трансфинитных множеств, была объявлена Г. Кантором имманентной особенностью бесконечных множеств и паралогично онтологизирована (как в случае с «неконсистентными множествами», «парадоксом Кантора», «парадоксом Бурали — Форти» и т.п.), а часть — просто скрыта от научного сообщества путем уклонения от построения  актуализированных геометрических  интерпретаций, которые могли бы пролить свет на проблему.

Усилиями же Д. Гильберта и его единомышленников, фактически постулировавших возможность существования внутренне противоречивых объектов в математике путем устранения интуитивно ощущаемых математиками различий между понятиями-объектами и понятиями-мегасуждениями, о чем говорилось выше, эта проблема была отодвинута «в долгий ящик».

Более того, появилась целая армия математиков, готовых приписать ни в чем не повинным актуально бесконечным математическим объектам любые мыслимые и немыслимые внутренние (онтологические, металогические) противоречия лишь бы доказать непротиворечивость изощренно, многобразно и многоуровнево противоречивых канторовской теории множеств и ее формальных интерпретаций.

Естественно в этих условиях, что если кто-то из математиков на студенческой скамье и задумывался о «странностях» теории трансфинитных множеств и канторовской теории множеств в целом, эти «еретические мысли» быстро «вымывались» из его головы под страхом стать изгоем в математическом сообществе.

Мы считаем сказанное достаточным для констатации факта противоречивости канторовской иерархии трансфинитных чисел. 

Тем не менее, в целях иллюстрации и дальнейшей содержательной экспликации сказанного, кратко рассмотрим вопрос о том, как решается названная проблема в разрабатываемой нами «гармонической арифметике».

Также как и в канторовской теории множеств,  в “гармонической арифметике” строится иерархия целых трансфинитных чисел, однако строится она на совершенно иных принципах.

Имеются два основных отличия.

Первое. «Гармоническая» иерархия актуальных целых трансфинитных чисел (в отличие от канторовской) жестко сопряжена с соответствующей ей иерархией актуально бесконечно малых дробных чисел, меньших 1.

Второе. Вводя максимальное число первого числового класса «А» (далекий семантический аналог канторовского числа «омега») мы не постулируем, что это — первое трансфинитное число. Напротив, мы утверждаем, что числу «А» предшествует целая иерархия трансфинитных чисел, входящих в первый числовой класс. 

Если первое отличие несущественно для предмета обсуждения (ввиду отсутствия у Г. Кантора иерархии актуально бесконечно малых чисел), то второе имеет к нему непосредственное отношение.

Действительно, мы (в отличие от Г. Кантора) можем производить над максимальным числом первого числового класса («А») любые арифметические операции. В частности, в “гармонической арифметике” вполне уже в рамках первого числового класса определены такие числа (трансфинитные), как «А-с» и «А/с» (с — натуральное число), что делает любой числовой класс и каждое число «гармонической арифметики» определенным и существующим независимо от числовой оси (континуума), хотя (в отличие от Кантора) мы вносим в «юниметрию» (геометрию универсума) необходимые аксиоматические изменения, позволяющие непротиворечиво рассматривать трансфинитные юниметрические (геометрические) объекты как объекты, непосредственно сопряженные с соответствующими трансфинитными числами. 

Кроме того, используемый нами принцип ограничения первого числового класса (принцип существования универсальной меры трансфинитности) позволяет четко различать, например, мощности (веса) таких бесконечных множеств, как множества целых чисел первого числового класса и множества четных целых чисел первого числового класса, что невозможно в канторовской арифметике.

На наш взгляд, канторовская теория множеств и трансфинитная арифметика вообще создавались в режиме «логического цугцванга». Действительно, нет ничего хуже для арифметики, науки о точном соотношении количеств, чем ощущать свое бессилие в адекватном различении весов (мощностей) таких, например, очевидно неэквивалентных множеств как множество натуральных и множество простых чисел.

Нам кажется, что это прекрасно понимал и сам Кантор. Но если бы он попытался рассмотреть вышеназванные множества как неэквивалентные (неравномощные), не в соответствии с пресловутым принципом взаимно однозначного соответствия, то  сразу получил бы противоречие, состоящее в том, что множество простых чисел, например, надо было бы признать конечным, поскольку  «w» -первое трансфинитное число.

Принцип максимального числа числового класса (универсальной транс-финитной единицы) полностью устраняет подобные проблемы. В “гармони-ческой  арифметике” нет паралогичной проблемы границыконечных и бесконечных чисел, которая попортила столько крови Г. Кантору и всему математическому сообществу в течение целого столетия, так и не получив своего  непротиворечивого разрешения. Причем данной проблемы нет не потому, что нет ее разрешения, а потому, что эта проблема абсурдна и неправомерна в самой постановке и что существуют гораздо более гармоничные и эффективные (чем канторовские и постканторовские) способы построения иерархии актуальных трансфинитных чисел.

1.4. Взаимная противоречивость арифметики и геометрии. Противоречивость классического математического анализа

  1. 4.1. Взаимная противоречивостьрифметики и геометрии

Одной из важнейших  (если не важнейшей) проблем существования математики как единой системы знания — с момента ее зарождения в античности и до наших дней — является проблема взаимной непротиворечивости и качества интеграции (степени взаимного соответствия) арифметики и геометрии.

Появление канторовской теории множеств, казалось, полностью решило вопрос о взаимной непротиворечивости арифметики и геометрии и о надежном обосновании анализа.

Действительное число было представлено Г. Кантором как счетно бесконечная последовательность десятичных значений и отождествлено с точкой произвольного отрезка прямой. Это давало фактически неограниченные новые содержательные возможности прикладного использования математического анализа и, одновременно, создавало иллюзию полной формальной корректности.

Между тем, реальная ситуация в создании взаимно непротиворечивых арифметических и геометрических систем сегодня ни на йоту лучше, чем была в античности. Более того, она резко обострилась, поскольку современные арифметика и геометрия гораздо более содержательно интегрированы между собой, чем их античные прототипы, и, следовательно, существенно возросло количество понятий и объектов, требующих взаимного согласования (гармонизации).

Рассмотрим проблему взаимной непротиворечивости арифметики и геометрии в контексте вышеприведенных доказательств счетности множества действительных чисел.

В математике существует тщательно (возможно — вынужденно) культивируемый миф о том, что прогресс математики на протяжении столетий был связан с арифметизацией геометрии. На самом деле на протяжении всей истории математики происходил прямо противоположный процесс — процесс геометризации арифметики.

Объяснимся. Понятия “число” и “множество чисел”, безусловно, являются более общими, чем понятия “точка” и “прямая”.

Это вытекает хотя бы из того факта, что с помощью первых понятий можно описывать объекты всех видов: материальные, ментальные, темпоральные (временные, ритмизованные), пространственные, а с помощью вторых — лишь пространственные.

В этой связи вполне естественно стремление математиков арифметизировать все прочие отрасли математики, включая геометрию.

Однако на этом пути существует одно (доселе непреодолимое) препятствие — проблема существования тех или иных разновидностей (классов) чисел.

Существование множества натуральных чисел гарантировано системой аксиом Пеано (если не считать откровенно потенциалистского характера данной аксиоматики, то есть отсутствия гарантии одновременного существования всех натуральных чисел, включая последнее). Существование рациональных чисел гарантировано (с той же оговоркой) существованием натуральных.

Но вот существование иррациональных чисел не гарантировано в современной арифметике ничем. То есть можно, конечно, доказать существование некоторых  бесконечных классов иррациональных чисел (корни из натуральных и рациональных чисел, алгебраические числа, например), но нельзя гарантировать существования всех иррациональных  чисел хотя бы с той же степенью надежности, что и в случае натуральных чисел, поскольку современная математика отрицает существование способа пересчета иррациональных чисел.

Это означает, что современная арифметика действительных чисел (не говоря уже о древних арифметических системах, включающих иррациональные числа), не может существовать самостоятельно, не апеллируя к  менее абстрактным объектам мышления, чье существование гарантировано как бы онтологически.

Такими менее абстрактными объектами, выполняющими функцию гарантов существования множества действительных чисел как целого, включающего все возможные разновидности действительных чисел, стали для арифметики геометрические понятия “точка” и “прямая (ее произвольный отрезок)”.

Одновременное существование бесконечного множества точек на произвольном отрезке прямой гарантировано в геометрии и аксиоматически, и онтологически.

Это обстоятельство и было использовано Г. Кантором для обоснования идеи одновременного существования всех действительных чисел.

Рассуждения при этом могли быть примерно следующие. Если некоторое множество существует как бы онтологически, то  есть «задано объективно», без использования процедуры порождения элементов (независимо от субъекта мысли), то для придания ему статуса «определенного» (существующего в некоторой формальной системе мысли) достаточно иметь общий критерий  выделения  (не порождения) элементов данного множества (и его самого, как их единства) из универсума и процедуру  идентификации  произвольного элемента рассматриваемого множества (процедуру его отличения от   прочих однородных элементов).

Другими словами, множество в формальной системе может считаться определенным (существующим) не только тогда, когда все элементы одновременно предъявлены субъекту мысли с помощью актуально или потенциально бесконечной процедуры их порождения, но и когда заданы: объективно существующий «ближайший род», прототип и «процедура установления индивидуального отличия (идентификации) элементов «.

Этим и воспользовался  Г. Кантор.

Он стал рассматривать множество действительных чисел (M), как существующее онтологически (в виде «линейного точечного многообразия», числовой оси,  континуума),  то есть полностью отождествил свойства М со свойствами произвольного отрезка числовой оси.

Это означало, что процедура (закон) генерации (перечисления) элементов  переставала  быть в этом случае необходимым условием существования множества действительных чисел и позволяло без немедленного противоречия анализировать вопрос о его «несчетности», то есть о невозможности перечисления М с помощью некоторого  искусственно созданного закона.

Очевидная геометризация арифметики, осуществляемая при данном подходе, безусловно, являлась ограничением общности арифметики действительных чисел, но давала последней право на существование. Так или иначе, объективно (менее абстрактно) существующий прототип множества действительных чисел был найден — геометрическое линейное точечное многообразие (произвольный отрезок прямой). Основное общее свойство всех действительных чисел было также задано —  принадлежность отрезку числовой оси в качестве точки.

Уязвимость позиции Г. Кантора следует лишь из отсутствия надежных средств идентификации элементов,  необходимых для окончательного  определения  множества действительных чисел.

Но если, вопреки Г. Кантору, множество действительных чисел счетно, что было показано выше,  то возникает целый комплекс вопросов о совместимости арифметики и геометрии, который был «закрыт» в канторовской теории чисел.

Рассмотрим важнейший из возникающих вопросов.

Счетность множества действительных чисел в новой арифметике можно обеспечить, лишь указав закон генерации (порождения) элементов данного множества. Это, в свою очередь, возможно только при условии гарантированного аксиоматикой существования некоего (минимального для класса действительных чисел)актуально бесконечно малого числа, служащего в качестве “строительного кирпичика” для формирования всей (счетной) последовательности действительных чисел.

Но если при этом сохраняется отождествление множества действительных чисел с произвольным отрезком прямой, а самих действительных чисел — с точками числовой оси, то имеется противоречие, состоящее в том, что любое действительное число, как сумма актуально бесконечно малых единиц, обладает величиной и отличимо от предшествующего и последующего действительных чисел на величину актуально бесконечно малой единицы данного счисления, а точка числовой оси  — нет.

Это означает, что в предположении истинности канторовской теории множеств отсутствует фундаментальное для современной математики тождество действительного числа и точки числовой оси, а также множества действительных чисел в целом и произвольного отрезка прямой.

  1. 4.2. Противоречивость математического анализа

Взаимная несовместимость арифметики и геометрии означает внутреннюю противоречивость всех современных разновидностей математического анализа, поскольку последний представляет собой производное и нерасчленяемое единство названных первичных дисциплин.

Действительно, если арифметика вынужена будет постулировать существование актуально бесконечно малых чисел, обладающих величиной, как способа “задания” действительных чисел, а геометрия при этом сохранит свои представления о точке, как об  объекте, величиной не обладающем, и, при этом, сохранится отождествление действительного числа с точкой числовой оси, то математический анализ либо перестанет существовать как целое (в целях сохранения арифметики и геометрии хотя бы как отдельных, несовместимых друг с другом дисциплин), либо становится обладателем паралогичного понятия (действительное число-точка), и имеющего, и не имеющего величину одновременно и в том же отношении, что, очевидно, равно недопустимо.

Особо подчеркнем, что, говоря о противоречивости современного математического анализа, мы имеем в виду не только его актуалистские постканторовские версии, но и потенциалистские (в частности — интуиционистские и конструктивистские).

Можно, конечно, возразить, что в потенциалистских версиях анализа эта проблема обходится, поскольку “до точки” дело вообще не доходит и все сводится к соотношению между конечными величинами и их последовательностями, но проблема состоит в том, что, может быть, этого суждения и достаточно для инженерного математического анализа, работающего с конечными числами, но в теоретическом математическом анализе, даже интуиционистском и конструктивистском, все равно остается (в свете вышеизложенной критики) проблема определения множества  действительных чисел и идентификации произвольного действительного числа. 

В этом смысле потенциалистские разновидности арифметики и математического анализа еще более уязвимы для критики, чем актуалистские, поскольку в них  имеется совершенно очевидное противоречие, связанное с несогласованностью определений понятия действительного числа и понятия множества действительных чисел.

В самом деле, если потенциалистские математические доктрины разделяют с актуалистскими точку зрения, что множество действительных чисел существует актуально (в завершенном виде) в качестве множества точек произвольного отрезка числовой оси (а они ее разделяют, иначе вообще не существовало бы потенциалистских версий анализа), то совершенно непонятно, что такое одно, отдельно взятое действительное число, поскольку интуиционистско-конструктивистские конечные и потенциально бесконечные средства еще менее в состоянии идентифицировать произвольную точку числовой оси, чем канторовские счетно бесконечные рациональные интервалы.

Следовательно, потенциалистская математика столь же противоречива в конкретном математическом смысле, сколь канторовская и постканторовская актуалистские, не говоря уже о ее общей паралогичности, показанной выше.

Бесплодны, на наш взгляд, и попытки искать выход в существующих версиях нестандартного анализа, использующего понятие актуально бесконечно малого числа и, одновременно, сохраняющего, по мнению их авторов, преемственность со старой математикой. Дело в том, что нестандартный анализ противоречив в еще большей степени, чем стандартная математика.   

Начнем с того, что вообще непонятно, что такое “гипердействительные числа”, являющиеся, по мнению разработчиков “нестандартного анализа”, “расширением действительных чисел”.  Что в “нестандартном анализе” гарантирует существование “гипердействительных чисел” (кроме понятия «иррациональный интервал», которое оказалось недостаточно точным уже у Г. Кантора)? Как задается их последовательность, как осуществляется их идентификация, если неидентифицируем сам иррациональный интервал из двух точек, в рамках которого они существуют?

Если множество действительных чисел перестает в нестандартном анализе быть тождественным континууму, то как можно говорить о сохранении преемственности между нестандартным анализом и анализом стандартным, поскольку множество действительных чисел оказывается просто дискретным — в то время, как в стандартной математике оно непрерывно? Если множество действительных чисел сохраняет тождественность континууму, то как можно рассматривать “гипердействительные числа” в качестве точек оси?

Если  “гипердействительные числа” все-таки  рассматриваются в качестве  точек оси,  то как понимать принятые в “нестандартном анализе” соотношения:

а+а+а+ …. +а < 1      и  1+1+1+…+1   < 1/а ?

Не означает ли это на сей раз дискретность (незавершенность, пополнимость, потенциальность) самой числовой оси, континуума? 

Какова мощность множества “гипердействительных чисел”, которое располагается между двумя близлежащими иррациональными числами ?

Как факт существования “гипердействительных чисел” может помочь в идентификации действительных чисел, не говоря уже об идентификации собственно “гипердействительных чисел”? Чем обусловлено данное расширение действительных чисел  кроме декларированного его авторами желания “по-лучше узнать действительные числа”? Если данное расширение необходимо и целесообразно, а не является просто досужим развлечением, то почему в нестандартном анализе не предусмотрено расширение самих “гипердействи-тельных чисел”? Если такое расширение в перспективе предусматривается, то как этот процесс завершается, какова иерархия новых числовых классов?

На все эти вопросы в нестандартном анализе ответов нет, поскольку он изначально строился без учета вышеприведенной критики теории множеств и арифметики действительных чисел.

Другими словами, “нестандартному анализу” еще очень далеко до уровня определенности, стандартного для нормальной постканторовской математики, а что касается непротиворечивости, то при наличных основаниях она вообще не может быть достигнута.

Таким образом, действительно,  в современной математике  существуют  серьезные (до сегодняшнего дня латентные) проблемы, преодолеть которые вряд ли удастся с помощью «косметических средств» и в рамках ныне существующих логико-математических систем.

Противоречивость классической геометрии

Учитывая факт тесной связи общей теории множеств и теоретико-множественной арифметики с геометрическими теоретическими конструкциями и объектами, а также  невозможности построения непротиворечивого математического анализа  без предварительной взаимной гармонизации арифметики и геометрии, рассмотрим вопрос о непротиворечивости самой геометрии как «онтологического ядра» современной математики.     

Под «классической геометрией» мы будем понимать комплекс традиционных геометрических теорий, связанных с именами Евклида, Лобачевского, Гильберта и других ученых, базирующийся на основных положениях так называемой «абсолютной геометрии» и принятый  современной наукой в качестве основы геометрического знания.

Мы намерены показать, что нерешенность поставленных еще в античности вопросов оптимального соотношения контрадикторных понятий: актуальность — потенциальность, дискретность — непрерывность  и т.п. применительно к геометрическим объектам  приводит сегодня, в контексте новых требований к строгости математического знания, к общей внутренней противоречивости «классической геометрии».  

Как и в случае арифметики, основным противоречием «классической геометрии» является несовместимость актуалистских и потенциалистских свойств, одновременно и в том же отношении приписываемых ее базовым объектам.

Особенностью «классической геометрии» является тот факт, что ее противоречивость имеет как бы двухуровневый характер.

Первый уровень противоречивости — смешение свойств актуальности и потенциальности при определении геометрического пространства в целом.

Второй уровень противоречивости — смешение свойств актуальности и потенциальности, дискретности и континуальности при определении отдельных геометрических объектов (прежде всего — точки и прямой).

Оба уровня противоречивости взаимообусловлены и связаны с проблемой конструктивности и выбора геометрических объектов.

Рассмотрим последовательно проблематику обоих уровней противоречивости «классической геометрии», по мере необходимости фиксируя взаимосвязи между ними.  

Известно, что геометрия Евклида изначально была математической системой последовательно потенциалистского типа, рассматривающей пространство и его объекты как следствие конструктивной деятельности субъекта геометрического знания, а не как ее объективную основу.

Потенциальность евклидовской геометрии являлась не только теоретико-методологической  интенцией, но и ее  жестко детерминированной реальностью. Она была обусловлена, прежде всего, вторым постулатом Евклида, разрешающим (и даже предписывающим) неограниченное продление прямой, а, соответственно, плоскости и подобных им n-мерных  объектов сверх любой, заранее данной, актуальной величины. Как следствие,  в евклидовской геометрии  не было строго определенного понятия актуального пространства.

  • У Евклида пространство неявно рассматривается как некое аморфное следствие аксиоматики, на которое, по мере необходимости, накладываются какие-то более или менее обоснованные ограничения. Фактически, всякий раз, когда, в соответствии с евклидовой аксиоматикой, строится какой-либо геометрический объект (система объектов),  одновременно строится (определяется) и пространство,  в котором он находится.
  • Возможно, это объясняется тем обстоятельством, что геометрия, будучи первой дедуктивной системой, созданной человечеством, сама рождалась индуктивно, от частных землемерных и архитектурных задач — к задачам более общим и абстрактным, а, следовательно, изначально не нуждалась в каких-либо обобщенных представлениях об актуальном пространстве. Другими словами,  потенциальность античной геометрии логично рассматривать как ее «родимое пятно».
  • Если учесть факт доминирования в античности корреспондентсткой концепции истины, очевидный диссонанс между актуальностью реального пространства и потенциалистским  характером евклидовской геометрии делал последнюю изначально онтологически ложной теорией, по существу не имеющей права на существование в качестве идеальной модели, описывающей пространственное устройство и закономерности универсума.
  • Кроме того, потенциальность евклидовской геометрии была объективным препятствием на пути к объединению арифметики и геометрии в единую систему математического знания. 
  • Поэтому в средние века (в ходе укрепления христианской теологической и естественно-научной интуиции актуального пространства) и в новое время, в процессе активного формирования математического анализа, были предприняты серьезные попытки актуализации пространства в рамках геометрии Евклида.
  • Видный исследователь «пограничных проблем» логики и математики А. Койре, в частности, считает, что актуализация евклидовского пространства произошла уже в ходе научной революции ХVII века (см.53, с.16).
  • Поверхностная актуализация евклидовского пространства, не затрагивающая наиболее существенные понятия и отношения «классической геометрии», однако, не только не устранила объективные логические трудности, лежащие на пути арифметизации и гармонизации геометрии, но и усугубила их, сделав имманентные противоречия евклидовской геометрии особенно наглядными.
  • Противоречивость «классической геометрии можно показать в различных аспектах рассмотрения, однако наиболее адекватный и удобный из них —  проблема конструктивности и выбора объектов в геометрии.
  • Для повышения уровня точности понимания  проблемы, введем, вначале, понятия конструктивной определенности и конструктивной неопределенности произвольных объектов.
  • Конструктивно определенным будем считать такой объект какой-либо формальной теории, для которого существует алгоритм (хорошо формализованная  процедура) его построения средствами данной теории. Соответственно, конструктивно неопределенным будем считать такой объект какой-либо формальной теории, для которого не существует алгоритма его построения средствами данной теории. Конструктивная определенность  — важнейший критерий  существования объекта в любой формальной теории.
  • Вместе с тем,  требование конструктивной определенности как критерия существования какого-либо объекта некоторой формальной системы, существенно важнее для потенциалистских теорий, чем для теорий актуалистских. Это объясняется тем, что в актуалистских теориях для существования некоторого входящего в них частного объекта (независимо от уровня его конструктивной определенности) достаточно факта конструктивной определенности объемлющего актуального объекта.
  • Например, в арифметике для существования простых чисел достаточно наличия процедуры индуктивного порождения натуральных чисел. Совершенно необязательно (хотя и желательно) предъявление закона порождения простых чисел. Необходимо только уметь в каждом конкретном случае отличать простые числа от составных. То есть частный объект (множество однородных частных объектов) достаточно только выделить (выбрать) и идентифицировать в некотором более широком множестве уже гарантированно существующих объектов. Совершенно не обязательно его строить.
  • В потенциалистких же формальных теориях, ввиду отсутствия объемлющих конструктивно определенных актуальных объектов, каждый  рассматриваемый объект, претендующий на существование в данной теории, должен быть индивидуально конструктивно определенным; ни один объект не может быть просто выбранным или идентифицированным на основе применения специальных логических средств типа закона исключенного третьего.
  • Именно данное обстоятельство и запрещает применение закона исключенного третьего и принципа неограниченного выбора в потенциалистских теориях.
  • Так вот, если бы пространство в евклидовской геометрии было действительно (а не квази-) актуальным, существующим до акта построения какого-либо изучаемого частного геометрического объекта, мы могли бы просто выбирать в таком пространстве  бесконечное количество интересующих нас и гарантированно существующих в нем объектов (например, точек и прямых); совершенно не было бы никакой необходимости их строить. Процесс оперирования с геометрическими объектами упростился бы до крайности. Большинство теорем геометрии стало бы теоремами о существовании и об отношениях между актуальными объектами.
  • Было бы логичным ожидать, что с декларированной актуализацией евклидовского пространства изменятся и критерии существования геометрических объектов и усилится функция выбора последних в противовес функции их построения. Ведь в актуальном пространстве все возможные геометрические объекты уже существуют изначально и одновременно и задача исследователя — лишь выбрать те (тот) из них, которые его интересуют, зафиксировав (если это нужно) акт своего выбора построением соответствующего объекта с помощью геометрических инструментов.
  • В реальной же евклидовской геометрии (даже квазиактуализированной) дело и сегодня обстоит совсем иначе. Мы, фактически, имеем право произвольно выбрать лишь две удаленные друг от друга точки (иначе нельзя было бы провести прямую или описать окружность); уже третью точку, не говоря о большем, мы всегда обязаны строить.
  • Другими словами, несмотря на постулирование актуальности евклидовского пространства, все объекты «классической геометрии» остались по-прежнему исключительно индивидуально конструктивными, то есть не существующими до акта их построения с помощью разрешенных в геометрической системе инструментов.
  • Данное обстоятельство (запрет свободного выбора геометрических объектов в актуальном пространстве) и является противоречием смешения свойств актуальности и потенциальности первого уровня, о котором говорилось выше. Хотя само по себе данное противоречие и не запрещает, по-видимому, существования «классической геометрии» в ее современном виде в глазах математического сообщества, оно позволяет перейти к рассмотрению более серьезного противоречия,  которое безусловно имеет для геометрии экзистенциальный характер.
  • Выясняется, что, блокировка свободного выбора объектов в актуальном пространстве «классической геометрии» непосредственно связана  с внутренней противоречивостью и неопределенностью свойств, приписываемых  геометрическим объектам независимо от свойств пространства, то есть с потенциальностью самих базовых объектов  геометрии.
  • Это и есть второй уровень противоречивости «классической геометрии».
  • Противоречие рассматриваемого типа  можно показать на примере соотношения точки и  прямой как основных объектов геометрии.
  • В целях адекватной экспликации исследуемого противоречия обратимся, вначале, к античной философии математики.

В античности можно выделить три основных методологических подхода к конструированию геометрических систем, различающихся между собой в трактовке отношения линии (прямой) и точки.

Первый их них, постулирующий в качестве базового принципа организации геометрической системы актуальность и дискретность геометрических объектов, связан, прежде всего, с именами Пифагора и Демокрита. Его особенность состоит в том, что в рамках данного подхода линия считается составленной из точек (является цепочкой точек), следующих одна — за одной, а точка представляется объектом, имеющим величину. 

Второй подход,  утверждающий в качестве идейной доминанты геометрической теории принцип непрерывности геометрических объектов, связан, главным образом, с именем Аристотеля. Особенность данного подхода — в представлении линии в качестве непрерывной бесконечно делимой величины, не сводимой к множеству неделимых объектов-точек. Аристотель вообще был против точки как неделимого объекта, поскольку считал, что факт существования подобного объекта противоречит принципу бесконечной делимости отрезка прямой.

Аристотель, в частности, писал: «Если существует непрерывное, касающееся и следующее друг за другом в том смысле, как это определено выше, а именно непрерывны те [предметы], края которых сливаются в одно, касаются те, у которых они вместе, а следуют друг за другом те, между которыми нет ничего, принадлежащего к их роду, то невозможно, чтобы что-либо непрерывное состояло из неделимых [частей], например, линия из точек, если линия непрерывна, а точка неделима» (4, т.3,с.179).

Данная позиция Аристотеля крайне важна для понимания причин противоречивости современной геометрии. Поэтому приведем еще несколько высказываний, проясняющих его подход к рассматриваемой проблеме.

«Ясно и то, что все непрерывное делимо [на части], всегда делимые…» (4,т.3,с.180).

«…если бы тело состояло из точек, то оно не было бы количеством. Ведь когда точки соприкасались друг с другом, и величина была единой, и они были вместе, они никак не увеличивали целое. Ведь при делении на две или большее количество частей целое не делается ни меньше, ни больше, так что, хотя бы даже все точки сложились вместе, все равно они не составили бы никакой величины» (4,т.3,с.386).

«Что касается количества, то одно раздельно, другое непрерывно, и одно состоит из частей, имеющих определенное положение по отношению друг к другу, а другое — из частей, не имеющих такого положения. Раздельны, например, число и слово, непрерывны — линия, поверхность, тело … В самом деле, у частей числа нет никакой общей границы, где соприкасались бы его части; так, например, если пять есть часть десяти, то пять и пять не соприкасаются ни на какой общей границе, а стоят раздельно …

Линия же непрерывна, ибо можно указать общую границу, где соприкасаются ее части, — точку, а у поверхности — линию: ведь части плоскости соприкасаются на некоторой общей границе» (4,т.2, с.62).

««Следующим по порядку» [называется предмет], находящийся за начальным по положению или по природе или отделенный от него другим способом, если между ним и тем, за чем он следует, не находится в промежутке  [предметов] того же рода … «Смежное» есть то, что, следуя за другим, касается его. «Непрерывное» есть само по себе нечто смежное; я говорю о непрерывном, когда граница, по которой соприкасаются оба следующих друг за другом предмета, становится для обоих одной и той же и … не прерывается…» (4,т.3, с.167).

«… [точка] в математических линиях: ведь в мысли это не всегда одна и та же точка, ибо при продолжающемся делении она  [каждый раз] иная, поскольку же это одна точка, она всюду тождественна» (4,т.3, с.154).

«… между [двумя] точками всегда имеется линия…» (4,т.3,с.179-180).

Последнее высказывание Аристотеля — паллиативное решение, состоящее в том, что если признание точек в качестве объектов геометрии все-таки  необходимо (хотя бы в целях точной фиксации границ объектов и мест их пересечения), то, по крайней мере, прямая не должна трактоваться в качестве множества точек. И действительно, требование наличия линии между любыми двумя точками полностью блокирует представление о прямой как о множестве точек.

Любопытно, что если Пифагор и Демокрит всячески настаивали на связи и взаимообусловленности арифметики и геометрии и многое сделали для установления важнейших числовых зависимостей геометрических объектов, то Аристотель, фактически, полностью отрицал всякую возможность сравнения и отождествления числовых множеств и прямой, единицы и точки.

В частности, Аристотель писал: «Если… существуют обособленные точки и единицы, то единица и точка не могут быть тождественными, так как точкам присуще касание, единицам же — следование друг за другом; и в промежутке между точками может находиться что-нибудь (ведь всякая линия лежит между [двумя] точками), для тех же такой необходимости нет; между двойкой и единицей нет ничего промежуточного» (4,т.3,с.168).

Третий подход (назовем его «смешанным») связан, прежде всего, с именем Евклида, соединившего первые два подхода в  целостную, хотя и, как выясняется,  противоречивую, систему геометрического знания («Начала»), которая, собственно, и называлась «геометрией» в течение многих сотен лет.

В «Началах» Евклида интересующие нас объекты определяются следующим образом: «1. Точка есть то, что не имеет частей. 2. Линия же — длина без ширины. 3. Концы же линии-точки. 4. Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней» (87, кн. 1-6, с.11).

Очевидно, что приведенные определения не дают сколь-нибудь адекватного представления о сути анализируемой проблемы. Заметно лишь, что данный подход несколько диссонирует с позицией Аристотеля, выступавшего против точки как единственного элемента, составляющего прямую, но неясно, каковы были представления Евклида об организации прямой и о соотношении прямой и точки.

Из исторических источников известно, что Евклид разделял мнение Аристотеля о несводимости непрерывного объекта (прямой, например) к множеству неделимых объектов. Не случайно Евклид последовательно дистанцировался от арифметики, подчеркивая, что геометрия и арифметика — это совершенно различные науки, основанные на несовместимых принципах.

Отсюда  следует, что в этих априори противоречивых условиях (одновременное признание бесконечной делимости прямой и неделимости точки) в целях обеспечения хотя бы видимости непротиворечивости геометрии Евклида необходимо было  либо частично ограничить принцип бесконечной  делимости геометрических объектов (путем постулирования невозможности актуального деления прямой «до точки»), либо применить какие-нибудь искусственные приемы типа объявления точки неединственным элементом, образующим прямую, либо вообще абстрагироваться от данной проблемы до времени ее крайнего обострения.

Полное или даже частичное блокирование принципа бесконечной делимости непрерывных объектов безусловно противоречило бы принципу идеальности геометрических инструментов, считавшемуся одним из главных достоинств геометрии Евклида. Поэтому развитие геометрии пошло по пути замалчивания проблемы и  отрицания  количественной определенности различных множеств  точек.

Принять точку зрения Аристотеля, предложившего формулу разделенности любых двух точек линией, в чистом виде было нельзя из-за того, что вытекающий из нее принцип неединственности базового геометрического элемента (точки) противоречил бы классической аксиоматике геометрии Евклида.

Поэтому в геометрические системы нового и новейшего времени периодически вводились различные ослабленные варианты этого принципа. Один из них принадлежит М. Пашу и сводится к утверждению: «Между двумя точками А, В прямой всегда существует третья точка С той же прямой» (27, с. 196).

Данная аксиома полностью блокирует идею лимитрофности (пограничности) любых двух точек и делает количественно неопределенным любое точечное многообразие, не прибегая к чужеродной для евклидовской аксиоматики идее линии в качестве первичного элемента. Это позволяет  не бояться ситуации, когда бесконечное деление прямой приведет к противоречию с неделимостью точки, поскольку бесконтрольное количественно неопределенное «размножение» точек внутри прямой не дает возможности идентифицировать ни одной точки при делении отрезков.

Тем не менее, тщательно скрываемое с помощью вышерассмотренных искусственных приемов противоречие между принципом бесконечной делимости отрезка прямой и наличием в геометрической системе неделимого элемента, установленное еще Аристотелем, никуда не исчезло. Особенно отчетливо оно проявлялось при попытках арифметизации евклидовской геометрии.

Любые попытки последовательной арифметизации геометрии (или, наоборот, геометризации арифметики) так или иначе сталкивались с проблемой количественной неопределенности   точечных множеств и невозможности взаимно однозначного отображения их числовыми множествами. 

Наиболее эффективная и последовательная из подобных попыток, осуществленная Г. Кантором, как мы видели, закончилась полным фиаско и привела (в конечном счете) к необходимости рассматривать точку как делимый объект, обладающий величиной. 

  • Это подтверждает пословицу, что «сколько веревочке ни виться, а концу — быть». Умышленно неопределенные и паллиативные представления о соотношении прямой и точки, делимости и неделимости, скрывающие до последнего времени очевидное внутреннее противоречие евклидовской геометрии, состоящее в вынужденном признании одновременной делимости и неделимости геометрических объектов, рассматриваемых в одном и том же отношении, пришли в противоречие с объективной потребностью в повышении уровня строгости и точности математической науки.
  • Другими словами, постулируя обязательное существование промежуточной точки между двумя произвольно взятыми точками, создатели современной геометрии, фактически, искусственным образом гарантировали существование между любыми двумя точками количественно неопределенного и самонетождественного бесконечного множества принципиально неидентифицируемых точек (вспомним аналогичную ситуацию в канторовской арифметике действительных чисел).
  • Признать  одновременное существование всех этих точек в актуальном пространстве  невозможно, поскольку рассматриваемое множество принципиально не завершено, потенциально. Оно абсолютно нестабильно и постоянно «делится вовнутрь». Попытка актуализации данного множества точек, признания его прямой привела бы к немедленному противоречию и к необходимости постулирования количественной самотождественности рассматриваемого множества и отношения «непосредственного следования за…».
  •  Следовательно, в рамках «классической геометрии» беспрерывно делящиеся вовнутрь множества точек могут без видимого противоречия рассматриваться исключительно как элементы количественно неопределенного объекта (прямой), чье существование гарантируется только в целом и только внешним образом (построением с помощью линейки).
  • Это объясняет причину невозможности осуществления свободного выбора объектов в актуальном пространстве в рамках «классической геометрии» (актуальное множество выстроенных в цепь точек не есть актуальная прямая), но не устраняет исходного противоречия. На самом деле построение прямой с помощью линейки не гарантирует существования нестабильных, самонетождественных  точечных множеств. Это лишь  логическая иллюзия.
  •  В «классической геометрии» прямая проводится последовательно (от начальной точки — к конечной точке) и, притом, с помощью идеального инструмента (имеющего разрешающую способность «до точки»); следовательно, все точки, входящие в нее, должны быть в процессе построения прямой последовательно актуализированы (приведены к существованию) и индивидуализированы (иначе невозможна их идентификация, что противоречило бы принципу индивидуации).
  • В данной логической ситуации возможны три случая: 1. Прямую в «классической геометрии» вообще нельзя построить (аналог апории Зенона: пока прямая идет от точки — к точке, она на пути встречает промежуточную точку, после нее — следующую и т.д. — до бесконечности; в результате прямая так и не доходит до своей цели, даже если эта цель расположена в ничтожно малой доле миллиметра от исходной точки); 2. Прямая дискретна (в ней предусмотрены ниши для  «размножения точек вовнутрь»); 3. Все точки проведенной прямой существуют актуально, индивидуализированы и расположены друг за другом последовательно, без пропусков и возможности «размножения вовнутрь».
  • Очевидно, что как ни страшен для «классической геометрии» третий вариант, поскольку в этом случае в явном виде проявляется противоречие одновременной бесконечной делимости внутренне актуальной прямой и неделимости актуальной точки, он все же предпочтительнее, чем первые два. 
  • Показанные противоречия смешения свойств актуальности и потенциальности как на уровне геометрического пространства в целом, так и на уровне отдельных объектов, безусловно, самым негативным образом отразились на «классической геометрии». Очень многие отношения геометрических объектов получили абсолютно противоречивую и извращенную трактовку, препятствующую дальнейшему содержательному и формальному развитию геометрии. 
  • В качестве иллюстрации сказанного остановимся лишь на одной из проблем этого рода — проблеме параллельности прямых.
  • Уже в античности существовала вполне адекватная, хотя и опережающая свое время, трактовка данной проблемы, принадлежащая древнегреческому ученому Посидонию (I век до н.э.). Посидоний предложил назвать параллелью прямую, все точки которой удалены от данной прямой на постоянное расстояние.  Если признать это определение корректным, пятый постулат, по признанию бессчетного числа исследователей,  легко доказывается. Ошибка Посидония, по мнению геометрического сообщества всех времен, состояла в «незаметном» введении им нового постулата, содержащегося в его определении параллелей: на плоскости множество точек, отстоящих от данной прямой на постоянное расстояние, является прямой.
  • Естественно, возникает вопрос: а почему, собственно, это не так в актуальном пространстве и, тем более, почему нельзя принять этот новый постулат в посидониевской трактовке, чтобы устранить перманентную «головную боль» с параллельными?
  • В рамках «классической геометрии» на то есть, исходя из вышесказанного, две причины. Одна из них связана с проблемой бесконечной делимости прямой и несводимости последней к количественно определенной (актуальной) совокупности точек, а вторая — с тем обстоятельством, что в потенциалистской геометрии любой объект не существует онтологически в актуальном пространстве, не выбирается в нем, а строится по специальным алгоритмам, определенным постулатами, что создает иллюзию логической корректности и конструктивности данного объекта, его внешней актуальности.
  • Другими словами, параллельная прямая Посидония, существующая в результате акта выделения, а не построения с помощью линейки, тождественная количественно определенному («счетному») множеству отстоящих на равное расстояние от данной прямой точек, — объект не имеющий в противоречивой сущностно потенциалистской «классической геометрии» статуса существования.
  • Вышеприведенная демонстрация противоречивости «классической геометрии» и необходимости рассмотрения точки как объекта, имеющего величину, а прямой — как количественно определенной актуальной последовательности выстроенных в цепь точек, меняет ситуацию.
  • По нашему мнению, создание геометрии последовательно актуалистского типа, сочетающей в себе принцип непротиворечивого единства дискретности и континуальности и принцип выбора геометрических объектов, допускающий их актуальное существование до момента построения (которое будет рассматриваться не как акт порождения, а как акт выделения некоторого объекта из актуального универсума), окончательно снимет проблему параллельности в геометрии, полностью сведя ее к посидониевской трактовке.
  • Действительно, если отрезок прямой трактовать как актуально бесконечное и количественно определенное минимальное множество (цепочку) точек и допустить существование геометрического объекта до момента его построения (выбора) в актуальном пространстве, то посидониевская параллельная оказывается в той же мере существующим объектом, что и исходная прямая.
  • Отсюда следует, что существование множественных трактовок проблемы параллельности, разрывающих единую геометрическую систему на взаимно и внутренне противоречивые части,  не «объективная металогическая необходимость», а результат изначальной имманентной противоречивости евклидовской геометрии, состоящей в ее онтологически неадекватной и паралогичной потенциальности, а также в противоречивом решении проблемы дискретности — континуальности геометрических объектов. 

Таким образом,  становится все более очевидным, что основания современного комплекса логико-математического знания,  практически в неизменном виде сохранившиеся со времен античности и лишь незначительно модифицированные в новое время, нуждаются в фундаментальной реконструкции.

Это обусловлено как содержательными причинами (невозможностью адекватного моделирования новых предметных областей старыми логико-математическими средствами), так и  причинами формальными (выявлением все большего числа противоречий практически во всех базовых отраслях математического знания — в теории множеств, в арифметике, в «классической геометрии»).

  • Применительно к геометрии основными условиями преодоления ее противоречивости становятся: всесторонняя актуализация геометрических объектов и допустимых операций над ними, а также формирование иерархии геометрических пространств и других объектов, которые могут обладать противоречащими свойствами (например, быть делимыми и неделимыми, дискретными и непрерывными, конечными и бесконечными) одновременно, но в разных отношениях.
  • В «юниметрии», геометрической системе нового поколения, о которой речь пойдет  ниже, оба эти условия выполнены полностью. 
  • Вышерассмотренные проблемы соотношения дискретности и континуальности, выбора и существования объектов в актуальном пространстве, внутренней количественной определенности и актуальности геометрических объектов и т.п., решаются изначально на аксиоматическом уровне (в частности — точка, являющаяся неделимым объектом в рамках предшествующего пространственного класса, рассматривается в качестве делимого объекта в последующем пространственном классе), а постулат о параллельных становится обычной теоремой, не допускающей паралогичных множественных толкований.
  • Подобная организация геометрической системы полностью устраняет противоречия актуальности — потенциальности и делимости — неделимости, свойственные «классической геометрии» и позволяет  непротиворечиво объединить арифметику с геометрией, открывая перед обеими дисциплинами широчайшие возможности дальнейшего содержательного и формального развития.

        

  2. Общая концепция  оснований гармонической математики

Излагаемая ниже общая концепция новой теоретической платформы математического знания («гармонической математики») представляет собой попытку преодоления общего кризиса теоретико-множественной математики, рассмотренного в первой части работы, и единовременного перехода к треть-ему этапу развития математики («метаапейроническому»), связанному с адекватной трактовкой понятия актуальной бесконечности и уточнением базовых законов формального мышления.

В данной работе не ставится задача исчерпывающе точного содержательно и строго формального определения всего множества  понятий и отношений, составляющих основу и ткань «гармонической математики».

Речь идет лишь о презентации «содержательного ядра» новой логико-математической теории, демонстрации гносеологических и эвристических возможностей общей базовой теоретико-методологической парадигмы, лежащей в основе всей конструкции.

Вместе с тем, мы считаем, что приводимый ниже материал достаточен и для оценки перспективности предлагаемого нового фундамента  математического знания, и для начала  прикладных НИОКР по созданию конкретных, полностью формализованных версий «гармонической математики» в целом и ее составных частей: теории формальных объектов, гармонической арифметики, юниметрии и гармонического математического анализа.

Основные понятия и законы теории формальных объектов

2.1.1. Понятие теории формальных объектов

В генетическом плане теория формальных объектов (ТФО) представляет собой, по замыслу, синтез и обобщение существенно модифицированных с учетом выявленных противоречий и неопределенностей формальной логики и общей теории множеств.

В функциональном  плане ТФО является  логико-методологической основой и, одновременно, составной частью гармонической математики, саморазвивающейся формальной системой нового типа,  способной обеспечить все возрастающую потребность математических дисциплин различного рода в гармонической (непротиворечивой) эволюции в направлении максимально адекватного отображения количественных форм и пропорций актуально бесконечного универсума и его частей.

Главные отличия ТФО от классической формальной логики и теории множеств:

— ТФО оперирует только актуальными (конечными и бесконечными) объектами  и не рассматривает потенциально бесконечные объекты,  как   логически корректные и имеющие статус существования;

—   ТФО содержит специальный комплекс логических законов и аксиом, позволяющий гарантировать математические дисциплины от противоречий бессмысленности, самонетождественности, потенциальности, смешения контрадикторных свойств  при определениях формальных объектов;

— ТФО (в отличие от канторовской теории множеств) рассматривает такие объекты, как системы, множества, единицы (монады) и пустые объекты (меоны), как объекты одного уровня логической общности и различает их между собой (то есть «множество» перестает быть  универсальным и предельно общим объектом теории;

— ТФО содержит универсальный логико-математический механизм оперирования формальными объектами и выявления их количественных соотношений, не требующий различения конечных и актуально бесконечных множеств;

— ТФО признает   существование  только счетных  (перечислимых)   множеств и  не допускает  существования  различных по свойствам и способам формирования,  но неразличимых по весу (мощности) счетных  множеств.

ТФО включает в себя следующие содержательные разделы:

— гармоническую концепцию истины;

— систему определений основных понятий;

— систему законов и аксиом правильного формального мышления;

— систему критериев существования объектов в ТФО;

— систему операций над объектами, имеющими статус существования в ТФО.

2.1.2. Гармоническая концепция истины

Гармоническая концепция истины — это синтетическая концепция истины, соответствующая  основным интенциям и логико-методологическому аппарату  предлагаемой логико-математической парадигмы.

Гармоническая концепция истины непротиворечиво включает в себя наиболее эффективные положения классических концепций истины: корреспондентской и когерентной, а также относительно новую истинностную парадигму, представляющую собой развитие известной прагматической концепции, — аксиологическую.

Сущность гармонической концепции истины состоит в признании референтного характера человеческого знания (в том числе — логико-математического) и, одновременно, относительной свободы субъекта познания в выборе средств познавательной деятельности и способов моделирования универсума.

В рамках гармонической концепции истины высшим критерием истины признается соответствие систем формального знания его абсолютному референту, денотату (универсуму). Вместе с тем, допускается возможность познания одной и той же предметной области различными временно (или даже необратимо) несоизмеримыми между собой гносеологическими средствами. При этом утверждается необходимость непрерывного сравнительного анализа используемых разнородных гносеологических средств в поисках универсальной платформы, синтезирующей все альтернативные подходы.

Другими словами, в рамках гармонической концепции истины признается существование неизвестной нам единой абсолютной истины (в том числе — логико-математической) и свободная конкуренция различных теоретико-методологических подходов в процессе ее поиска, предполагающая непрерывное жесткое соперничество и взаимную верификацию альтернативных систем формального мышления.

Подобная организация процесса познания в рамках единого логико-математического комплекса, которым, по замыслу, является гармоническая математика, предполагает наличие разветвленной и постоянно модифицируемой аксиологической системы, позволяющей осуществлять непрерывную экспертизу сравнительной эффективности  и ценности различных (в том числе — актуально несоизмеримых) самостоятельных направлений исследований.

    2.1.3.  Основные принципы и законы ТФО

ТФО построена на трех фундаментальных принципах: гармонии, актуальности и универсальности.

Принцип гармонии означает, что все объекты и формулы (включая контрадикторные и контрарные), существующие в ТФО и в базирующихся на ней дисциплинах, согласованы и соизмеримы между собой в логико-математическом смысле, а также, что любые противоречия, которые могут быть обнаружены в ТФО впоследствии, разрешимы на основе последовательного уточнения определений исходных понятий и аксиом.

Принцип актуальности (полноты, завершенности) означает, что все элементы некоторого формального объекта (числового класса, числа, прямой и т.п.), а также формальный объект в целом рассматриваются как одновременно существующие в завершенном виде объекты сразу после формулирования достаточных условий их существования или определения закона их генерации и могут быть свободно выбраны для оперирования в произвольных исследовательских или вычислительных целях. Если закон генерации некоторого объекта не установлен, то он считается существующим только в  случае, когда доказано, что он является частью другого  объекта,  для  которого  таковой имеется.

Принцип универсальности означает, что законы и определения ТФО имеют предельно общий характер, то есть распространяются на умопостигаемый универсум в целом и все его составные части.

Законы ТФО делятся на две группы: основные и вспомогательные.

Основные законы ТФО представляют собой наиболее общие и важные регуляторы мышления и имеют своими прототипами соответствующие законы классической формальной логики.

Вспомогательные законы (аксиомы) регулируют  специальные отношения  между объектами ТФО и операции над ними.                          

К основным законам ТФО относятся:

1. Закон полного тождества (ЗПТ).

ЗПТ: Некоторое понятие логически правомерно (может быть элементом содержательной или формальной теории),  если (и только если) оно на протяжении сколь угодно длинного рассуждения  сохраняет в неизменном виде свои содержание, объем и состав.

Допустимая альтернативная формулировка ЗПТ: на протяжении сколь угодно длинного рассуждения необходимо сохранять в неизменном виде содержание, объем и состав рассматриваемого понятия.

ЗПТ в предложенной формулировке направлен на  запрещение существования в ТФО и в гармонической математике в целом неопределенных и потенциальных объектов любых видов.

2. Закон исключенного пятого (ЗИП).

ЗИП: Из двух противоречащих суждений одно непременно истинно при условии осмысленности (формальной правильности) и достаточной определенности обоих суждений.      

В ЗИП речь идет о том, что одно из двух противоречащих высказываний необязательно истинно, если они паралогичны или недостаточно точно определены как в целом, так и на уровне своих элементов (субъекта и предиката суждения). ЗИП направлен против истинностных высказываний о будущем, паралогизмов типа «Лжец», потенциализации формальных объектов, смешения предикатов и метапредикатов в метаматематических исследованиях и т.п.

ЗИП дополняется в ТФО Законом достаточной логической правильности и определенности базиса (множества основных понятий и суждений) формальной системы: некоторое понятие или суждение является элементом произвольной формальной системы, если (и только если) оно соответствует критериям достаточной логической правильности и определенности, принятым в данной формальной системе.

Одновременно в общелогическое определение произвольной формальной системы в ТФО входит требование формулирования в явном виде критериев достаточной логической правильности и определенности понятий-объектов и суждений (формул), претендующих на статус  элементов  данной формальной системы.

При этом критерии точности определений и осмысленности понятий должны быть строго сформулированы и сведены в единую систему, представляющую собой надстройку (метатеорию) над базовой научной (в частности логико-математической) дисциплиной. 

Некоторые конкретные критерии существования формальных объектов в ТФО будут рассмотрены ниже.

3. Закон гармонии (ЗГ).

ЗГ: 3.1. Из двух достаточно осмысленных и определенных контрадикторных суждений об одном объекте, высказанных в одно и то же время и в том же отношении,  одно только истинное.

  • 3.2. Достаточно осмысленные и определенные контрадикторные и контрарные суждения об одном объекте могут быть одновременно и равно истинными, если они сделаны относительно разных моментов (этапов, стадий, фаз) существования объекта и (или) в разном смысле (отношении).

ЗГ в данной формулировке направлен на стимулирование использования в формальных логико-математических системах конструкций, включающих в себя контрадикторные и контрарные суждения, одновременно справедливые относительно одного объекта, если они  приписывают  ему противоречащие и противоположные свойства в различные периоды его существования и (или) в разном смысле (отношении).

2.1.4. Основные понятия ТФО

Универсум – единство бытия и ничто, реальных и идеальных, актуальных и потенциальных миров,  их составных частей и  элементов, абсолютная единица реального существования и возможности существования.

Объект — каким-либо (необязательно логически корректным) образом выделенный из всех прочих фрагмент универсума, имеющий только ему присущие свойства и отображаемый (моделируемый) в понятии (их совокупности), единица бытия (неважно, онтологического или ментального).

Неформальный объект (НФО) – логически некорректным (или непри-емлемым в ТФО) образом выделенный в качестве индивидуума фрагмент универсума, бесформенный или имеющий искажения логической формы (от-носительно принятых в ТФО стандартов правильного мышления) объект.

Формальный объект (ФО) — логически корректным образом выделенный в качестве индивидуума фрагмент универсума (реального или идеального мира), имеющий имя, назначение (систему функций), содержание, форму и состав (базис).

           Онтологические и ментальные формальные объекты

Онтологический формальный объект (первичный ФО) — определенный предмет мышления,  логически корректным образом выделенный в качестве индивидуума фрагмент реального мира, имеющий индивидуальные функции,  содержание,  форму и состав (базис) и отображаемый (моделируемый) в понятии  (их совокупности),  единица бытия,  значение (референт)  понятия.

Ментальный формальный объект (вторичный ФО) — средство мышления,  результат (модель, образ, отображение) логически корректного выделения некоторого фрагмента реального или идеального мира в качестве индивидуума, имеющий в формальной системе строго определенные имя, функции (назначение),  содержание,  форму и состав (базис), единица знания в той или иной научной теории, дисциплине.

Каждый ментальный ФО должен быть представлен в научных дисциплинах, основанных на ТФО, в двух строго отличных друг от друга «ипостасях»: как понятие-объект (модель) и как понятие-мегасуждение (комплекс суждений). Различие между названными способами представления ФО достаточно подробно изложено в первом разделе настоящей работы. Поэтому, не повторяя сказанного выше о предикатах и метапредикатах, субъектах и метасубъектах суждения, суждениях и метасуждениях, констатируем лишь, что  понятия-объекты (понятия — модели) не могут обладать  свойствами суждений (метапредикатами) и наоборот, суждения не могут обладать свойствами понятий-объектов (обычными, онтологическими предикатами), поскольку это приводит к тотальной противоречивоси научной дисциплины, в которой подобное смешение допускается.

В ТФО мы будем различать следующие виды ментальных ФО:

1. Предметные и служебные ментальные ФО.

Предметные ментальные ФО (понятия) — ментальные ФО, моделирующие некоторую предметную область, подлежащую познанию в рамках той или иной теоретической дисциплины, и имеющие  в ТФО «условный онтологический статус».

Служебные ментальные ФО — ментальные ФО, обеспечивающие процесс познания  онтологических  ФО  или конструирования новых ментальных ФО и не являющиеся в рамках некоторой конкретной  научной дисциплины самостоятельным предметом познания, не имеющие «условного онтологического статуса».

2. Гносеологические и конструктивные (проективные) ФО.

Гносеологические ФО — это естественные ментальные ФО, имеющие референцию в реальном мире.

Конструктивные (проективные) ФО — это искусственные ментальные ФО, не имеющие референции в реальном мире, но обладающие  потенциалом реализации (материализации).

                                  Полное определение ФО

Определение ФО — результат познания ФО, позволяющий рассмативать тот  или иной ФО как единицу бытия,  элемент универсума, а его модель,  словесно выраженный аналог, понятие — как единицу знания и мышления.

Полное определение ФО представляет собой особым способом упорядоченное множество  (или систему) определений  ФО в целом, его содержательных и структурных параметров, частей и элементов.

Полное определение ФО делится в ТФО на две  основные  части: статическое определение и динамическое определение.

Статическое определение ФО предполагает раскрытие следующих основных неизменяемых (инвариантных) в процессе рассужений параметров ФО: имени, назначения, содержания, формы и состава (базиса) ФО.

Динамическое определение ФО предполагает раскрытие способа  образования (зарождения, становления, конституирования) и эволюции данного ФО.

Имя ФО  — слово (словосочетание),  обозначающее и называющее   тот или иной ФО.

Назначение ФО — смысл существования (роль,  интегральная целевая функция) ФО,  некоторая потребность универсума (или человека), удовлетворяемая данным ФО в процессе его существования.

Назначание определяется,  как правило,  для проективных ментальных ФО.  Назначение онтологических  ФО  в  универсуме  крайне  трудно определимо.

Содержание  (Онтос) ФО — совокупность (система) родовых и видовых и индивидных признаков, характеризующих данный ФО (его составные части и элементы), как имеющий определенное (точно идентифицируемое) иерархическое место уникальный фрагмент универсума.

Мы рассматриваем содержание ФО как сложный иерархизированный комплекс  признаков, имеющий ряд самостоятельных составляющих  (видов  содержания ФО).

Наиболее общим  является  подразделение содержания ФО на два            вида: квалитативное (качественное) содержание ФО и квантитативное  (количественное) содержание ФО.

Форма (Логос) ФО  —  удовлетворяющее  требованиям  логики  устройство, структура ФО, система отношений между его составными частями и элементами (внутренняя форма,  внутренний логос ФО), а также система его отношений с другими ФО (внешняя форма,  внешний  логос).

Термин «логос» в данном случае употребляется в смысле,  несколько отличном от оставленного нам в наследство  древнегреческой философией. Там  «логос»  понимался,  в основном,  как «сущность» объекта, единство всех его содержательных характеристик.

Мы будем понимать «Логос» исключительно как форму объекта, как смысл и сущность организации его устройства и отношений с другими объектами, то есть как объект, взятый отдельно и независимо от его онтологической определенности.

Состав (базис) ФО — совокупность точно различимых между собой ФО, входящих в некоторый объемлющий их ФО (имеющих общие признаки).

                                

   Содержание ФО

Квалитативное содержание ФО — это система признаков, характеризующих данный ФО с онтологической и логической (формальной) точек зрения.

Онтологическое содержание ФО — это система признаков, характеризующих данный ФО и его составляющие (части и элементы) с  качественной точки зрения  (как целостный индивидный фрагмент  универсума), определяющих его родовую принадлежность,  видовую особенность и уникальность.

В ТФО различаются между собой онтологическое содержание ФО в целом,  онтологическое содержание состава (базиса) ФО и онтологическое содержание каждого структурного уровня и компонента рассматриваемого ФО в отдельности.

Онтологическое содержание  ФО  в свою очередь делится на два  вида: атрибутивное содержание и релятивное содержание.

Атрибутивное содержание ФО — система безусловных, неотъемлемых свойств ФО и его составляющих.

Релятивное содержание ФО — система условных свойств ФО и его  компонентов, проявляющихся только в связи с другими ФО или с другими компонентами внутри рассматриваемого ФО.

Логическое содержание (содержание логоса) ФО — это систе-            ма признаков, характеризующих данный ФО и его ингредиенты (части и элементы) с формальной точки зрения,  то есть определяющих специфику его структуры, устройства как элемента ТФО или содержательной теории, основанной на ТФО.

Квантитативное содержание ФО — система признаков, характеризующих данный ФО и его составляющие (части и  элементы)  с  точки зрения уровня количественной определенности ФО.

ФО (его часть) относится к количественно неопределенным ФО, если его состав (базис) полностью не определен (не определены ни квантитативный тип, ни масса, ни вес данного ФО). Количественно неопределенные ФО не имеют статуса существования в математических дисциплинах, основанных на ТФО.

ФО (его часть) относится к конвенционально количественно определенным ФО,  если определен только квантитативный тип данного  ФО, но не определены ни его масса, ни его вес.

ФО (его часть) относится к вполне количественно определенным ФО,  если определены  квантитативный тип данного ФО,  его масса и вес (абсолютные или относительные).

Тип количественной определенности ФО (квантитативный тип) — характеристика ФО с точки зрения принадлежности его базиса к  той или  иной классификационной единице представления величины,  размерности ФО.

Мы различаем два основных квантитативных типа: конечный и бесконечный.

Масса ФО — безусловная, имманентная количественная характеристика состава (базиса) ФО, которой  он обладает как целое,  независимо от уровня дифференцированности  его составных частей.

Относительная масса ФО — отношение массы одного ФО  к  массе   другого.

Вес ФО — условная, относительная количественная характеристика ФО,  меняющаяся в зависимости от статуса данного ФО в структуре объемлющего ФО.

Вес ФО, взятого вне иерархии объемлющего ФО или как часть (не эле-мент) ФО,  равен  суммарному количеству элементов базиса  данного ФО (его массе) и называется «внутренним весом» ФО.

 Вес ФО, взятого как элемент объемлющего ФО, равен единице и называется «внешним весом ФО».

Масса и вес конечных ФО измеряются в обычных целых числах. 

Масса и вес бесконечных ФО измеряются в актуально бесконечных единицах, соответствующих иерархии бесконечных единиц и числовых классов, принятой в гармонической арифметике.

Относительный вес  ФО — отношение веса одного ФО к весу другого. Понятие «относительный вес ФО» является одним из наиболее фундаментальных в ТФО, поскольку именно оно является альтернативой канторовскому принципу «взаимно однозначного соответствия».

Для конечных множеств вычисление относительного веса ФО элементарно. Для случая бесконечных множеств в ТФО предусмотрены специальные процедуры.

Если удается осуществить процедуру «логического квантования»            бесконечных множеств, то  есть  противопоставить  одному элементу одного множества один или группу из нескольких элементов другого множества и  доказать  бесконечную повторяемость такого противопоставления,  то вычисление относительного веса сводится к отношению  двух  «логических квантов».

Например, если мы рассматриваем отношение четных и натуральных чисел, то имеем дело с двумя бесконечно повторяющимися «логическими квантами»: (2к) и (2к-1;2к). Вес второго логического кванта в два раза превышает вес первого, откуда следует, что множество натуральных чисел имеет вдвое больший вес, чем множество четных чисел. Если «логическое квантование» осуществить не удается,  как, например, в случае соотнесения простых и натуральных чисел,  применяются хорошо отработанные в математике и в математической статистике методы приближенного вычисления относительного веса ФО или установления диапазона его изменения, инвариантного к росту элементной базы (как это делал П.Л. Чебышев при анализе распределения простых чисел в натуральном множестве).

Кстати говоря, если бы Г. Кантор был прав в отстаивании принципа «взаимно  однозначного соответствия», то это означало бы, что  многие великие математики:  Ферма,  Эйлер,  Рамануджан, Чебышев и другие вообще непонятно чем занимались, выясняя долевые и диапазонные соотношения между различными (бесконечными) множествами чисел.

Из сказанного вытекают следующие соотношения тождественности и эквивалентности различных формальных объектов в ТФО:

1. Два ФО являются полностью тождественными (являются одним ФО), если они имеют тождественное (без единого исключения) квалитативное и квантитативное содержание  (имеют абсолютно тождественные свойства и составлены из одних и тех же элементов ).

2. Два ФО являются денотативно тождественными, если они имеют нетождественное квалитативное содержание, но составлены из одних и тех же элементов (имеют тождественную референтную базу, один и тот же денотат). Например, ФО «Вальтер Скотт» и ФО «Автор «Айвенго»» — лишь денотативно (не полностью) тождественные ФО.

3. Объекты, имеющие тождественное квалитативное содержание, но составленные из разных (или нетождественных множеств) элементов (имеющие нетождественную референтную базу), не являются ФО (не имеют статуса существования в ТФО).

4. ФО являются квантитативно эквивалентными (равновесными), если равны численные значения их весов. Равновесность ФО рефлективна, взаимна и транзитивна.

Форма ФО

Форма ФО характеризуется в ТФО следующими основными  показателями:

— Логический тип состава (базиса) ФО;

— Иерархический статус ФО;

— Глубина структуризации ФО;

— Интенсивность структуризации ФО.

Логический тип ФО — характеристика ФО с точки зрения  качественной определенности формы его состава (базиса). Мы будем различать два логических типа ФО:  неопределенный и определенный.

Некоторый  ФО относится к неопределенному логическому типу, если его логическую форму установить невозможно. 

Некоторый  ФО относится к определенному логическому типу, если его можно отнести к одной из нижеперечисленных  логических форм: меональной,  монадической,  множественной и системной.

Меон  —  это ФО, имеющий онтологическое содержание, но равную нулю (нулевую) массу  базиса.

Монада — это ФО, имеющий онтологическое содержание и строго равную единице массу  базиса.

Следует отличать индивидные монады (например, древнегреческий философ Аристотель),  имеющие постоянный единичный вес, от абстрактных монад (например,  человек ), имеющих переменный единичный вес.

Множество —  это ФО, имеющий онтологическое содержание и превышающий  единицу вес базиса (имеющий два или более базисных элемента). Для некоторых часто встречающихся множеств существуют специальные названия, определяющие специфику их логического типа. Например,  «диада «,  «триада»,…, «декада» и т.д. Все они принадлежат к «множественному логическому типу» и составляют его подклассы.

Система — это множество, составные части и (или) элементы которого связаны между собой  какими-либо дополнительными отношениями,  кроме отношения  «быть элементом (составной частью) класса».

Один и тот же ФО не может принадлежать двум и более логическим типам одновременно и в том же отношении из-за  паралогичности такого отнесения, но обязан принадлежать одному из них.

Иерархический статус  ФО  — характеристика ФО с точки зрения отношения его содержания, формы и базиса к аналогичным параметрам другого (других) ФО, а также с точки зрения его логической роли и   места в какой-либо иерархии ФО.

По отношению к другому ФО некоторый ФО может быть независимым (не имеющим общих членов содержания и состава), частично зависимым (имеющим частично пересекающиеся содержание и состав) или зависимым (имеющим содержание и состав, полностью входящие в объемлющий ФО).

Иерархический статус  ФО — не атрибут, а модус ФО, то есть            каждый ФО может менять свой иерархический статус в зависимости от   конкретной логической ситуации.

Взаимосвязанные друг с другом ФО по своему иерархическому  статусу подразделяются на три вида: «Элементы», «Части», «Объемлющие ФО».

Элементарным ФО (элементом) называется ФО, имеющий единичный вес по отношению к включающему (объемлющему) его ФО, независимо от логического типа (меон,  монада,  множество,  система) данного ФО.

Элементарный ФО (конвенционально неделимый ФО) — ФО, на котором завершается  деление того или иного, объемлющего данный, ФО. 

Иначе говоря, если тот или иной ФО имеет статус элемента, то это не означает, что он в обязательном порядке имеет единичный внутренний вес (является монадой). Просто в данном рассуждении он по тем или иным (субъективным или объективным) причинам выступает как далее неделимый.

Например, если в какой-либо ФО (например, в «множество сказочных существ») в качестве элемента входит меон (например, «кентавр»), то его вес  в  данном ФО равен единице, хотя его масса (внутренний вес) равна нулю (кентавры в действительности не существуют). Отсюда следует, что меоны, хотя они и имеют собственный нулевой вес, не могут (в противоречие с современными аксиоматическими теориями множеств) считаться элементами любого ФО, поскольку они имеют собственное  содержание и их внешний вес,  как элементов ФО,  равен   единице, хотя масса (внутренний вес) равна нулю.

Если элементом ФО становится множество,  то  его  вес  также            становится равным единице, хотя его масса (внутренний вес) больше единицы

Другими словами,  в зависимости от иерархического статуса ФО            меняется и его вес. Если какой-либо ФО рассматривается как элемент другого ФО, то его вес по отношению к объемлющему ФО (внешний вес) становится равным единице, хотя количество ФО, входящих в его собственный базис (внутренний вес ФО) может быть больше (меньше) единицы.

ФО А называется частью (субФО ) ФО В, если каждый элемент состава (базиса) ФО А содержится в составе ФО В и если состав (базис) ФО В  содержит хотя бы один элемент, не содержащийся в базисе ФО А.

Если какой-либо ФО рассматривается как часть другого ФО, то его вес по отношению к объемлющему ФО (внешний вес) остается равным его внутреннему весу, собственной массе.

Отсюда следует (в противовес традиционным теоретико-множествен-ным представлениям), что никакой ФО (в частности — множество) не может быть собственной частью, собственным субФО (в частности — собственным подмножеством).

ФО В называется объемлющим (надФО, суперФО) по отношению к ФО А, если каждый элемент состава (базиса) ФО А содержится в составе (базисе) ФО В и если,  кроме того, состав (базис) ФО В содержит еще хотя бы один элемент, не содержащийся в ФО А.

В целях обеспечения корректности установления роли и места произвольно взятого  ФО  в той или иной иерархии ФО и правильности его идентификации, в ТФО обязательна дифференциация всех рассматриваемых  ФО  по  критерию  глубины структуризации (деления).

Глубина структуризации (деления) ФО — это показатель того, насколько детальным является определение того или иного ФО, как взаимосвязаны между собой составные части ФО, включая элементы.

В количественном отношении глубина структуризации (деления) ФО есть число уровней деления ФО.

Например, если мы рассматриваем такой ФО, как «множество людей» и не вводим никаких других специфицирующих характеристик, то мы имеем дело с одноуровневым ФО.

Если мы делим «множество людей» на «множество мужчин»  и  на            «множество женщин», мы имеем дело с двухуровневым ФО.

Если мы поделим хотя бы одно из полученных подмножеств, например, «множество мужчин»,  — на «множество мужчин с высшим образованием» и  на «множество мужчин без высшего образования», мы будем иметь дело с трехуровневым  ФО. И так далее.

В ТФО один и тот же ФО, последовательно рассматриваемый как            несколько ФО с разной глубиной структуризации, считается несколькими, отличными друг от друга, ФО.

При полном статическом определении ФО для каждого уровня структуризации — отдельно — определяются имя,  назначение,  содержание,  форма и состав (базис) ФО данного уровня.

Интенсивность структуризации уровня ФО — это отношение количества частей (подмножеств) ФО,  расположенных на  данном  уровне структуризации,  к  количеству частей (подмножеств) расположенных на непосредственно нижестоящем уровне структуризации ФО. Общая интенсивность  структуризации  ФО — это сумма числовых показателей интенсивности структуризации всех уровней ФО (кроме последнего),  деленная на число уровней ФО.

Кроме квалитативных и квантитативных характеристик базиса, приведенных  выше,  в ТФО важнейшую роль играет критерий различимости — неразличимости элементов множественных ФО или, иначе, общелогический принцип индивидуации.

В ТФО «весовые отношения» между сравниваемыми множественными объектами регулируются следующими основными положениями:

1. Вес (масса) целого (множества) всегда превышает вес его части (под-множества).

2. Вес (масса) целого равен сумме весов его частей и элементов на каждом уровне структуризации ФО.

3.  Два ФО, равновесные третьему, равновесны между собой.

4. 4.1. Если  равновесные (неравновесные) ФО объединить (каждый) с некоторым ФО произвольного веса, то образуются новые равновесные (неравновесные) ФО большего веса.

4.2. Если от равновесных (неравновесных) ФО отнять (от каждого)  равновесные ФО, то образуются новые равновесные (неравновесные) ФО меньшего веса.

Перечисленные утверждения названы «положениями», а не «аксиомами» ТФО по той лишь причине, что текущий список положений этого рода уже в первой версии ТФО превышает сто единиц и постоянно пополняется и совершенствуется. Весь список положений — регуляторов весовых отношений в ТФО мы  приводить  не будем, считая приведенные утверждения достаточной основой для экспликации общей тенденции, безусловно противоречащей классической теоретико-множественной идеологии.

Многие положения из этого списка непосредственно вытекают из определений основных понятий ТФО или из других положений, то есть являются теоремами, а не аксиомами ТФО. Об окончательной структуре аксиом соизмеримости объектов в ТФО можно будет говорить лишь впоследствии, после всесторонней апробации всей теоретической конструкции на множестве конкретных логико-математических дисциплин и специальных исследований в области оптимальности, минимальности и независимости выбранных в качестве аксиом положений.

Динамическое определение ФО

Не имея возможности подробно остановиться в настоящей работе  на  определении понятия эволюции ФО,  сосредоточимся на экспликации  механизма  образования и критериях существования ФО, входящих в понятие динамического определения.

Образование ФО – процесс (операция, комплекс операций), результатом которого является возникновение нового ФО. Процесс образования онтологических ФО имеет многообразные формы, существенно отличные от способов образования ментальных ФО, но несущественные для нашего рассмотрения.

Поэтому остановимся на способах образования ментальных ФО.

Образование ментальных ФО — мыслительный процесс,  результатом которого является конституирование некоторого идеализированного объекта  (скомбинированного по определенным правилам из уже существующих ментальных ФО,  выделенного из универсума или специально спроектированнного) в качестве ФО — модели, полноценной единицы мышления и представление его в некоторой формальной системе в виде комплекса специфицирующих суждений.

К основным способам правильного образования ментальных ФО мы относим два следующих: инициативный и комбинаторно-манипулятивный.

Инициативный способ образования ментальных ФО — способ образования ФО,  при  котором новые ментальные ФО представляют собой результаты познавательного процесса или процесса проектирования. Инициативный способ образования ментальных ФО в ТФО  подразделяется на метода:  генерация ФО  и выделение ФО.

Генерация ФО — способ образования ФО, сущность которого состоит в  определении (или постулировании существования)  ФО в целом и механизма его декомпозиции (деления на части и элементы) и (или) одного (нескольких) из элементов базиса и функции порождения недостающих элементов.

В классической формальной логике генерация ФО осуществляется главным образом с помощью двух видов определений: «генетического определения» (через указание процедуры создания объекта) и «индуктивного определения» (через  указание процедуры «размножения» некоторого исходного объекта).       

В ТФО генерация ФО как способ их порождения имеет существенные отличия от классических методов.

В ТФО генерация различных ФО может осуществляться только тремя способами: супердедуктивным,  супериндуктивным и гармоническим.

Супердедуктивный способ генерации ФО — это способ генерации ФО, при котором порождение элементов базиса ФО осуществляется от общего — к частному путем декомпозиции, актуального (конечного или бесконечного) деления объема понятия.

Супердедуктивный способ генерации ФО совпадает с обычным дедуктивным, когда речь идет о конечном количестве актов деления объема понятия. Супердедуктивный способ генерации ФО запрещает существование и возможность потенциально бесконечной (неограниченной и количественно неопределенной) совокупности делений объема понятия. Процесс деления понятия (даже бесконечный) должен быть всегда актуальным, завершенным (иметь последний акт деления, приводящий к существованию актуально бесконечного множества элементов данного ФО).

Примером может служить бесконечное, но завершаемое (имеющее последний акт) деление единицы на актуально бесконечное множество элементов (актуально бесконечно малых чисел) в гармонической арифметике.

Супериндуктивный способ генерации ФО — это способ генерации ФО, при котором порождение элементов базиса ФО осуществляется от частного (элемента) — к общему (множеству) и от минимального (первого) объекта — к максимальному (последнему), то есть путем бесконечного последовательного, но завершаемого порождения актуального множества элементов, имеющего последний элемент.

Примером может служить множество материальных чисел в гармонической арифметике, для которого определены функции «следовать за» и «непосредственно предшествовать» — одновременно, а также минимальное и максимальное числа класса.

Гармонический способ генерации ФО — это объединенный супердедуктивно-супериндуктивный способ генерации, представляющий основу всей гармонической математики.

Отличительная особенность гармонического способа генерации ФО состоит в том, что множества (числовые классы),  образованные с помощью названных различных способов генерации, непротиворечиво отождествляются между собой, образуя единое множество элементов, обладающих контрадикторными свойствами одновременно, но в разных отношениях.

ФО с бесконечным базисом, образованные с помощью обычной индукции, лишены в ТФО статуса существования из-за своей потенциальности.

В рамках математической предметной области супердедуктивно-супериндуктивный (гармонический) способ генерации может быть назван также аддитивно-мультипликативным.

Выделение (идентификация) ФО — способ образования ФО, сущность которого состоит в  указании достаточных для  существования ФО и его идентификации качественных параметров (имени, назначения, содержания,  формы, состава ФО).

В классической формальной логике выделение ФО осуществляется, главным образом, с помощью «определения через ближайший род и видовое отличие». Этот вид определения  понятия позволяет достаточно точно выделить объект из универсума, однако не пригоден для определения состава и квантитативного содержания  понятия. Поэтому в гармонической математике данный вид выделения ФО правомерен только при условии существования конструктивно определенного объемлющего ФО, гарантирующего существование всех выделяемых элементов нового ФО, входящего в исходный в качестве подмножества.

В ТФО определена также усиленная форма выделения — свободный выбор ФО, позволяющая сопоставить любому конструктивно определенному множеству каких-либо конкретных множеств некоторую произвольную конфигурацию выделенных из последних подмножеств или элементов. В ТФО процедура выбора играет гораздо более значимую роль и более содержательна, чем в формальной теории множеств. В частности, в ТФО позволительно выбирать не по одному элементу из каждого множества, входящего в некоторую их совокупность, как в теории множеств, а  произвольное число элементов, не превышающее, разумеется, внутренний вес каждого множества из рассматриваемой совокупности.

Комбинаторно-манипулятивный способ образования ментальных ФО — такой способ образования, при котором новые ментальные ФО образуются при помощи многообразных операций над уже существующими логически корректными и полностью определенными ФО.

К подобным процедурам относятся, в частности, такие широко употребимые в классической теории множеств операции, как «объединение», «вычитание», «пересечение», «дополнение», «включение» и т.п.

Другими словами,  комбинаторно-манипулятивный способ образования ментальных ФО сводится к манипуляциям над элементами или частями уже существующих в некоторой формальной системе ФО в целях образования нового ФО, принадлежащего той же формальной системе.

Критерий существования ФО

Одна из  важнейших  функций  ТФО  — устранение из формальных систем неформальных (паралогических или неопределенных) ментальных  объектов.

Ментальный ФО признается в ТФО (и в основанных на ней формальных системах) существующим, если в результате его образования (полного определения) инициативным и (или) комбинаторно-манипулятивным способом становятся осмысленными (формально правильными) и вполне определенными его содержание (как квалитативное, так и квантитативное), форма и состав.

Ментальные объекты, образованные прочими способами или не полностью определенные в каком-либо из названных отношений, не считаются формальными (существующими, осмысленными и определенными в формальной системе, основанной на ТФО).

Основные понятия и аксиомы гармонической арифметики

Гармоническая арифметика — это новый раздел математики, трактующий о конечных и счетных актуально бесконечных числах (их совокупностях), условиях их существования, отношениях и операциях над ними.

Предикат «гармоническая» применяется в названии новой  арифметики на том основании,  что, по мнению автора, она, во-первых, не содержит противоречий, присущих канторовской арифметике бесконечных множеств, во-вторых, основана на принципиально новом логическом механизме согласования и соизмеримости контрадикторных предикатов применительно к одному и тому же объекту (числу, множеству чисел) и, в-третьих, обладает встроенным механизмом саморазвития, гарантирующим преодоление возможных противоречий в случае их появления.

Конкретной аксиоматической  реализацией общих принципов гармонической арифметики и ее частной подсистемой, справедливой только в определенных «экзистенциальных» границах,  является «гармоническая арифметическая система» (ГАС) —  непротиворечивая, циклически развиваемая арифметическая  система, элементами  которой являются исключительно актуальные (завершенные) числа (конечные и бесконечные) и их совокупности.

Все ГАС, входящие в гармоническую арифметику, различаются по уровню общности (уровню существования, «экзистенциальности»). Будучи построенной  всецело на абстракции счетной актуальной бесконечности, иерархия ГАС не рассматривает потенциальные (незавершенные) числа (их множества) в качестве своих элементов, что позволяет устранить амбивалентность и  противоречия  канторовской теории множеств и ее интерпретаций.

С учетом потребности в парадигмальном развитии иерархия ГАС устроена как гносеологически расширяемая система, диалектически, то есть в ней предусмотрен  логически  непротиворечивый  механизм сосуществования абсолютных и относительных (производных от первых) понятий в рамках одной теории.

Существенной особенностью иерархии ГАС является универсальность ее операционной системы, независимость (инвариантность) результатов арифметической операции от экстенсиональных свойств предметов операции, то есть отсутствие различий между конечными и  бесконечными элементами ГАС (числами и их множествами) в процессе оперирования ими.

С точки зрения своей структуры каждая ГАС может быть определена как саморазвивающаяся формализованная и упорядоченная иерархия актуальных  числовых классов (систем), отличающихся друг от  друга свойствами и составом элементов (видом чисел), построенная на некотором непрерывно уточняемом  комплексе представлений об абсолютной числовой системе.

Все числовые классы (системы) любой ГАС обладают однотипными  базовыми свойствами, что позволяет дать общее (родовое) определение понятию «числовой класс ГАС».

Числовой класс гармонической арифметической системы

Числовой класс гармонической арифметической системы (счетный  актуальный числовой класс) — подсистема ГАС,  включающая  в  себя актуальное (завершенное конечное или бесконечное) множество чисел  того или иного вида,  систему правил генерации (порождения) чисел  и их множеств,  условий их существования и законов взаимного упорядочения, а также систему операций над элементами ГАС  (операционную систему ГАС).

Основными свойствами  каждого  числового  класса  (локальной числовой подсистемы ГАС) являются следующие:

1. Свойство гармоничности.

Свойство гармоничности  означает,  что  все  контрадикторные объекты и операции ГАС согласованы и соизмеримы между собой, а также, что контрадикторными свойствами может обладать один и тот же объект, рассматриваемый в разных отношениях или (и) в разное время.

2. Свойства актуальности (полноты, завершенности) и счетности (перечислимости) числового класса и его элементов.

Свойство актуальности означает, что все элементы некоторого числового класса (числа и подмножества чисел данного  вида),  а  также  числовой класс в целом рассматриваются как одновременно существующие в завершенном виде объекты сразу после формулирования  условий их существования или определения закона их генерации. Если закон генерации некоторого множества не установлен,  то  оно считается  существующим  только в том случае,  если доказано,    что данное множество является подмножеством другого  множества,  для  которого   таковой имеется. Например, множество простых чисел не имеет явного (позитивного) закона генерации (он пока не установлен), однако оно является подмножеством множества натуральных чисел (у которого таковой имеется), а посему корректно с позиций ТФО и существует в ГАС.

С другой стороны, множество всех множеств не имеет ни закона генерации,  ни упорядоченного объемлющего множества,  а потому не существует в ТФО и в ГАС.

3. Свойство ограниченности (внешней завершенности) числового класса.

Данное свойство,  являющееся следствием свойства 2., означает,  что в каждом числовом  классе, принадлежащем ГАС, имеются минимальное (а) и максимальное (А) числа,  отделяющие данный числовой класс от прочих.

4. Свойство существования единичного элемента и обратимости   числового класса.

Данное свойство означает, что в каждом числовом классе  ГАС существует единичный элемент — «1», общий для всех числовых классов ГАС,  такой,  что выполняются соотношения:  а*А=1; а=1/А; А=1/а. То есть числа а и А являются взаимно обратными элементами.

(Здесь и далее «*» — символ операции умножения, «/» — символ операции деления,  «+» — символ операции сложения и «-» —  символ операции вычитания).

5. Свойство существования нейтрального (нулевого) элемента.

Данное свойство означает, что в ГАС существует нейтральный элемент «0», не имеющий величины и не относящийся ни к положительным, ни к отрицательным числам.

6. Свойство упорядоченности числового класса.

Данное свойство означает, что для любых двух (и более) элементов некоторого числового класса ГАС выполняется в точности одно из соотношений «больше», «меньше», «равно» (свойство линейности) и что справедливы стандартные соотношения, связанные с понятиями «больше» и «меньше» (например, из m > n для любого k, принадлежащего к рассматриваемому числовому классу, следует m+k > n+k).

7. Свойство операбельности.

Данное свойство означает, что каждый элемент некоторого числового класса  ГАС  может   быть предметом любого из ниженазванных  основных арифметических действий : «сложение», «вычитание», «умножение», «деление»,  а также действий,  производных от названных.

Упомянутые арифметические операции тождественны арифметическим операциям,  применяемым в конечной арифметике и рассматриваются ниже.

8. Свойство существования и определенности результата операции.

Данное свойство означает, что каждая арифметическая операция, осу-ществленная над элементами некоторого числового класса, за исключением случаев, рассматриваемых ниже, имеет определенный в ГАС результат и смысл, хотя получаемый результат —  не всегда элемент данного числового класса. Например, число 1 + А (результат сложения единицы (1) и максимального числа класса (А)) представляет собой элемент более высокого,  чем рассматриваемый, класса.

Другими словами, в ГАС выполнимы все стандартные арифметические операции, но они не всегда выполнимы в рамках одного отдельно взятого  числового класса.

9. Свойство определенности веса числового класса.

Данное свойство  означает,  что  каждый числовой класс имеет в рамках ГАС строго определенный  актуально  бесконечный  вес, количественный показатель, являющийся основанием для сравнения данного бесконечного  числового  класса  с   другими.

Операционная система ГАС

  1. 1. Для всех чисел ГАС (независимо от их конечности или бесконечности, принадлежности к различным по величине числовым классам) определены операции сложения и умножения, противоположные им операции вычитания и деления, а также все производные от них операции:  возведение в степень, извлечение корней произвольных степеней, логарифмирование и т.п.
  2. 2. В ГАС определена операция сложения, представляющая собою закон, сопоставляющий каждой паре чисел а, b из ГАС некоторое третье число c, называемое их суммой и обозначаемое:  с  =  а + b.
  3. Операция сложения обладает свойствами коммутативности и ассоциативности в стандартной трактовке.

3. В ГАС определена операция умножения, представляющая собою закон, сопоставляющий каждой паре чисел а, b из ГАС некоторое третье число  c, называемое их произведением и обозначаемое:  с  =  а* b.

Операция умножения обладает свойствами коммутативности и ассоциативности и дистрибутивности в стандартной трактовке.

4. В ГАС определена операция вычитания (обратная по отношению к сложению операция), представляющая собою закон, сопоставляющий каждой паре чисел а, b из ГАС некоторое третье число c, называемое их разностью  и обозначаемое  с  =  а — b.

5. В ГАС определена операция деления (обратная по отношению к умножению операция), представляющая собою закон, сопоставляющий каждой паре чисел а, b из ГАС некоторое третье число c, называемое частным от деления  и обозначаемое  с  =  а : b или с = а / b.

6. 6.1. Результаты всех операций, определенных в пп. 1-5 однозначныи определены в произвольном числовом классе ГАС, если они не представляют собой числа, меньшие или большие по модулю, соответственно, чем минимальное и максимальное числа данного числового класса ГАС.

6.2. Результаты всех операций, определенных в пп. 1-5, однозначныи определены  для  ГАС в целом, если  они не представляют собой числа, меньшие или большие по модулю, соответственно, чем минимальное и максимальное числа конвенциально абсолютного (максимального) числового класса ГАС.

Аксиоматика числового класса

ГАС первого экзистенциального уровня

1. Существуют  универсальные  для  всех числовых классов ГАС числа «0» (нуль, универсальный нейтральный элемент) и «1» (единица, универсальный положительный элемент, такой, что для всякого числа  b из ГАС  1* b = b).

2. Существуют предельные для данного числового класса  положительные числа:  «а» (минимальное число класса), не следующее ни за каким числом данного класса,  и «А» (максимальное число  класса), не предшествующее никакому числу данного класса.

3. Каждое  число  данного  числового класса ( за исключением    чисел «а» и «А»,  имеющих только  по  одному  из  рассматриваемых    свойств) имеет  одно  предшествующее  ему и одно следующее за ним   числа.

4. Число «1» (универсальная единица ГАС), связано с предельными числами «а» и «А» следующими соотношениями:

          4.1.   а*А=1;   а=1/А;   А=1/а;    4.2.  а+а+….+а = 1      1+1+…+1 = А;

                                                                        ________             _______

                                                                            А раз                  А раз

         4.3.  а+а+…+а = А.

                ________

                  А 2  раз

Соотношения 4.1. — 4.3. означают, что вес (мощность) множества единиц,  входящих в «А» (и «а», входящих в 1) не ограничен аддитивно, но ограничен мультипликативно; это позволяет непротиворечиво сочетать тре-бование бесконечности (неограниченности) класса с требованием его завершенности (наличия первого и  последнего элементов).

Аналогичными отношениями,  совпадающими с определениями операций в классической арифметике конечных чисел, число 1 связано и с прочими (не предельными) числами числового класса.

5. Число «0» (нуль), будучи универсальным нейтральным (ни положительным, ни отрицательным) элементом ГАС, не является элементом  какого-либо отдельного числового класса и связано со всеми числами произвольного числового класса следующими соотношениями:

5.1. 0*d = d*0 = 0;

5.2. из bd = 0 следует, что или b = 0 или d = 0 (если числа b, d не  являются делителями нуля);

5.3. деление на 0 невозможно;

5.4. с + 0 = 0 + с = с, где b, c, d — элементы числового класса, включая предельные.

6. Аксиома супердедукции.

6.1. Если утверждение доказано для некоторого числа с и из его справедливости для числа с/b следует справедливость  для числа с/bd  (с, b, d — числа одного числового класса), то утверждение справедливо для любого  неотрицательного числа числового класса, включая числа «а» и  «А».

6.2. Если утверждение доказано для некоторого числа с и из его справедливости для числа с*b следует справедливость  для числа с*b*d  (с, b, d — числа одного числового класса), то утверждение справедливо для любого  неотрицательного числа числового класса, включая числа «а» и  «А».

7. Аксиома супериндукции.

7.1. Если  утверждение доказано для «0» и из его справедливости для следующего за «0» неотрицательного числа «а» данного класса, следует справедливость для непосредственно следующего за  ним числа «2а»,  то утверждение справедливо для любого неотрицательного числа числового класса, включая число «А».

7.2. Если утверждение доказано для «А» и из  его  справедливости  для предшествующего числу «А» неотрицательного числа «А-а» данного класса,  следует справедливость для непосредственно предшествующего ему числа «А-2а», то утверждение справедливо для любого неотрицательного числа числового класса.

Соотношения в пп. 1-7 приведены здесь для положительных чисел числового класса; для отрицательных и комплексных чисел числового  класса мы их выписывать здесь и ниже не будем из-за их очевидности.

В целом структура произвольного числового класса в ГАС  (с учетом подкласса отрицательных чисел)  будет выглядеть следующим образом:        

              -А … -1 …-a  0  a … 1 …A.

Базис числового класса

С учетом сказанного,  для генерации произвольного  числового класса ГАС необходимо лишь установить его базис (состав).

Базис числового класса  ГАС  — это актуальное бесконечное счетное множество элементов (чисел), принадлежащих данному классу, размерность класса. Базисы всех числовых классов создаются в ГАС с помощью изложенного выше гармонического (аддитивно-мультипликативного или супердедуктивно-супериндуктивного) способа генерации.

Числовое значение базиса числового класса мы будем называть весом числового  класса. Стандартные веса числовых классов в иерархии ГАС играют роль единиц (мер) актуальной бесконечности, в которых могут быть измерены и определены различные актуально бесконечные множества.

Функции единиц бесконечности в ГАС идентичны функциям единиц измерения в любой конечной физической предметной области (например, граммов, килограммов, тонн и т.д.). Для того, чтобы оценить количественную определенность (относительный вес) слитка металла, совсем не обязательно знать количество атомов, находящихся в нем. Достаточно сказать, что его вес равен, к примеру, 2.5 килограмма.

Единицы измерения различных по величине видов актуальной бесконечности (а в пределе — абсолюта) в ГАС жестко субординированы и представляют собой идеальную актуально бесконечную «узловую линию мер» в сходной (хотя и не совпадающей) с гегелевской трактовке.

Важнейшей особенностью ГАС, вытекающей из сказанного, является то обстоятельство, что с весами  актуально бесконечных  множеств в ГАС можно работать также, как с весами конечных множеств в классической  арифметике. Ради этой особенности, собственно,  и разработана ГАС.

Конкретные  ГАС,  формируемые  на основе различных  конечных и актуально бесконечных базисов,  являются моделями  или интерпретациями рассматриваемой общей ГАС.

Вес подкласса положительных чисел каждого числового класса в ГАС равен А2 , а вес числового класса в целом  (с учетом веса подкласса отрицательных чисел) равен 2*А2, что вытекает из приведенной выше аксиоматики.

Действительно, поскольку в подклассе положительных чисел имеют место соотношения:   а + а + …. + а  = 1     и     1 + 1 + … + 1  = А,  справедливо также соотношение а + а + … + а = А; следовательно, с учетом равновесности подклассов отрицательных и положительных чисел, рассматриваемый произвольный числовой класс имеет в точности 2*А 2  элементов (входящих в данный класс чисел).

Классификация  чисел в ГАС

Классификация чисел, существующих в ГАС, не вполне совпадает с подобной классификацией в классической арифметике, хотя автор и стремился к сохранению преемственности.

В ГАС сохранено классическое деление чисел на  положительные  и отрицательные,  целые и дробные, комплексные, однако прочие основания деления и связанные с ними наименования существенно изменены.

Главным в  ГАС является подразделение чисел и их множеств на конечные и  бесконечные  (и  те  и  другие являются актуальными и счетными; потенциальных чисел и множеств в  ГАС  не  существует).

Все  последующие деления относятся равным образом как к конечным, так и к бесконечным числам.

Классические «рациональные» числа в ГАС именуются «периодическими». Причем «периодическими» в ГАС могут быть не только дробные,  но и целые числа, поскольку число разрядов в системах счисления, используемых в ГАС, равно как «до», так и «после» запятой.

Например, «периодическим» является число вида: (9),0 = 999…9,0 (девять в периоде, запятая, ноль). Кроме того, периодические числа в ГАС,  в свою очередь, делятся на классы по количеству допустимых периодов. Так, строго различаются двух -,  трех-, …, n — периодические числа. Это обусловлено возможностью оперирования в ГАС актуально бесконечными числами и  множествами.

Классические «иррациональные» числа именуются в ГАС «непериодическими» (в качестве которых могут, также как и в предшествующем случае, выступать целые числа) и делятся на два дополнительных класса: «упорядоченные» и «неупорядоченные» числа.

«Упорядоченными» числами считаются такие непериодические числа,  которые имеют в своем строении последовательность цифр, задаваемую алгоритмически с помощью некоторой рекуррентной зависимости. Способ задания рекуррентной зависимости применительно к последовательности десятичных значений «упорядоченного числа» ничем не отличается от способов, используемых при генерации последовательностей чисел, и  состоит в указании операций и (или) вычислений, которые необходимо произвести над s независимо заданными непосредственно предшествующими членами последовательности десятичных значений «упорядоченного числа», чтобы получить очередной член последовательности десятичных значений.

Например, к «упорядоченным» непериодическим (рекуррентным) числам относятся числа вида: 1121231234…,0 и 0,101100111000… Существенным признаком «упорядоченных непериодических чисел» является предсказуемость значений этих чисел до произвольно большого знака до или после запятой.

К «упорядоченным» относятся также непериодические числа, сформированные на основе некоторой рекуррентной зависимости первоначально в какой — либо d-ичной (d — произвольно большое — необязательно конечное — число)  системе счисления и апостериори переведенные в десятичную систему счисления. В такой трактовке большинство иррациональных чисел можно отнести к множеству «упорядоченных», хотя, разумеется и в меньшей степени, чем те числа, при генерации которых использованы хорошо распознаваемые и достаточно простые математические зависимости.

Исходя из этого, упорядоченные непериодические числа, в свою очередь, делятся на «вполне упорядоченные» и «частично упорядоченные» числа и т.д. — в зависимости от типа и уровня сложности используемой рекуррентной зависимости.

«Неупорядоченными» числами считаются такие непериодические   числа (как целые,  так и дробные), относительно которых не доказан факт наличия в их основе какой-либо рекуррентной (или иной логически упорядоченной) зависимости. Например, к «неупорядоченным» непериодическим  числам (до момента доказательства обратного) относятся числа, в классической  арифметике именуемые «алгебраическими» и «трансцендентными».

Кстати говоря, проблема соотношения множеств в разной степени упорядоченных  непериодических чисел в бесконечных числовых множествах со временем может стать одной из наиболее интересных задач теории чисел, имеющих бесконечную область применения в философии (хаос как нераспознанный порядок), в физике (соотношение порядка и хаоса в материальных системах), в искусственном интеллекте (распознавание бесконечных, плохо структуризированных образов и сжатие сверхбольших массивов информации) и т.п.

Названные виды чисел входят в структуру всех числовых классов, принадлежащих ГАС, то есть являются универсальными для любых   типов актуально бесконечных чисел.

Классификация основных видов конечных и бесконечных чисел, входящих в структуру произвольного числового класса ГАС

 Периодические числаНепериодические числа  
Целые числаЦелые 2,3,…,n периодические числаЦелые упорядоченные числаЦелые неупорядоченные числа
Дробные числаДробные 2,3,…, n периодические числаДробные упорядочен-ные числаДробные неупорядочен-ные числа

Иерархия числовых классов в ГАС

ГАС представляет собой систему актуально существующих встроенных один — в другой и порождающих друг друга числовых классов.

При формировании структуры числовых  классов той или иной версии ГАС равноправными считаются два подхода: статический и динамический. 

Статический подход предполагает завершенность (актуальность) системы  числовых классов,  то есть существование некоторого конвенциально определяемого Суперкласса, объемлющего все прочие числовые классы  и  не подлежащего расширению в рамках данной версии  ГАС. В статической версии ГАС числа и множества, имеющие вес, превышающий конвенционально допустимый для Суперкласса, рассматриваются как неопределенные (внесистемные) и не могут конституироваться как предметы или результаты арифметических операций в ГАС.

Статический подход  имеет то преимущество, что доводит «до логического конца» принцип актуальной бесконечности, устанавливая условный Абсолют, моделирующий Абсолют реальный (умопостигаемый Универсум), без существенных   потерь в размерности (общем весе) системы.

Динамический подход предполагает незавершенность (потенциальность) иерархии числовых классов, то есть возможность неограниченного «восхождения» к Абсолюту путем порождения все новых, более широких числовых классов на базе первого актуально бесконечного числового класса.

Следует особо отметить, что потенциальный характер расширяемой последовательности числовых классов в динамической версии ГАС  в рассматриваемом контексте не противоречит тезису о счетности и об актуальности всех элементов и подсистем ГАС, а также ГАС в целом.

Дело в том, что в данном случае потенциальность процесса расширения  ГАС обусловлена общей ограниченностью, конечностью гносеологических возможностей науки, объективной невозможностью актуального познания Абсолюта (который, возможно, и сам не статичен, не завершен в классическом смысле этого слова), а не непоследовательностью в формировании теоретической модели.

И в динамическом  подходе к формированию ГАС сохраняется главный принцип: в каждый конкретный момент времени все элементы  ГАС (как ранее существующие, так и вновь созданные) актуальны (конечны  или бесконечны).

В динамической версии ГАС числа и множества, имеющие вес, превышающий вес последнего класса, сформированного к данному моменту,  рассматриваются как определенные (легитимные) только при условии реализации операции порождения (генерации) нового, более широкого актуального числового класса, включающего их в качестве элементов или подмножеств, и не могут конституироваться как предметы или результаты арифметических операций в  ГАС  до   этого события.

Динамический подход позволяет непротиворечиво развивать ГАС  как систему мышления, направленную на «исчерпание», последовательное отображение количественных отношений Абсолюта.

В этом смысле Динамическая ГАС представляет собой  расширяемую систему Статических ГАС, всесторонне удовлетворяющих требованию единственности абстракции счетной актуальной бесконечности  в качестве системообразующего принципа новой арифметики.

Если говорить о качественной структуре ГАС, то последняя делится на две составные части: «класс материальных чисел» и «класс ментальных чисел». Такое деление связано с тем, что окружающий нас материальный мир вполне конечен по своей размерности. В частности, количество атомов  в нашей галактике выражается весьма скромными с точки зрения бесконечности числами.

Поэтому, «заложив» некоторый минимальный актуально бесконечный базис в основу первого числового класса, мы обеспечиваем (удовлетворяем) полный объем потребностей в счете и в арифметических действиях на материальном уровне.

При этом, говоря о «минимальности» актуально бесконечного базиса первого числового класса, мы имеем в виду его минимальность лишь по отношению к базисам объемлющих классов. Это не означает, что максимальное число первого числового класса — первое актуально бесконечное число, как в канторовской теории множеств. Напротив, уже в рамках первого числового класса существует актуально бесконечное множество различных по весу бесконечных чисел. В частности, корни любых конечных степеней из максимального числа первого числового класса — актуально бесконечные числа. То есть в ГАС, в отличие от канторовской теории трансфинитных чисел, нет явно выраженной паралогичной границы между конечными и бесконечными числами. Это — одно из наиболее фундаментальных отличий ГАС от канторовской теории множеств. Другими словами, максимальное число первого числового класса — лишь первая единица измерения актуальной бесконечности, но никак не первое актуально бесконечное число.

Другое дело — «ментальная реальность», в которой какие-либо ограничения на количество и характеристики объектов отсутствуют. Вполне правомерно выделить числовые классы, описывающие свойства этой реальности в класс «ментальных чисел», то есть чисел, описывающих не воспринимаемые органами чувств, осознаваемые только на ментальном уровне объекты.

Первый числовой класс. Материальные числа.

Первый числовой класс (класс материальных чисел),  как и все  прочие классы ГАС, формируется на основе аксиом, изложенных выше.

Введем следующие обозначения:   1а — минимальное число класса, 1А — максимальное число класса.

Тогда, в соответствии с аксиоматикой ГАС, вес подкласса положительных материальных чисел  равен  1А 2 .  Вес класса материальных чисел в целом  (с учетом подкласса отрицательных чисел) равен 2*1А2.

Положительные числа в диапазоне от 1 — до 1А  называются «правыми» числами  класса, в классической арифметике. Положительные целые числа в диапазоне от 1 — до  1А примерно соответствуют понятию натуральных чисел в классической арифметике (если абстрагироваться от факта потенциальности, незавершенности классического натурального ряда).

Числа в диапазоне от  1а — до 1 примерно соответствуют понятию действительных чисел (меньших единицы) в классической арифметике, и называются «левыми» числами класса.

Единица представляет собой — одновременно — максимальное число множества левых чисел и минимальное число множества правых.

Если говорить о десятичном представлении чисел  1а и 1А,  то это выглядит в ГАС следующим образом:

1а = 0,(0]1  и   1А = 1[0),0.

  Ментальные числа

Расширением первого  числового  класса  в ГАС является класс  ментальных чисел,  состоящий из бесконечного числа вложенных друг  в друга подклассов.

Класс ментальных чисел (в случае статических ГАС) завершается  числами: «{A}»  — конвенциально абсолютно большим положительным числом,  не имеющим осмысленных расширений (последующих чисел) и «{а}» —  конвенциально абсолютно малым положительным числом, не имеющим предыдущих положительных чисел.

Как и все прочие предельные положительные числа ГАС, они связаны между собой отношением: {A}*{а} = 1.

В динамических ГАС  класс ментальных чисел может быть преодолен и расширен до супраментального и т.п., что, очевидно, может иметь смысл только в теологических исследованиях. Подобное расширение называется в ГАС интенсивным. Процедура  интенсивного расширения ГАС (перехода к новой суперединице бесконечности) всегда дедуктивна и состоит в выборе нового максимального числа, например, конвенциально абсолютного супраментального числа и в последовательном актуально бесконечном делении его до обычных единиц, фиксируемом на аксиоматическом уровне. После этого осуществляется актуально бесконечный цикл экстенсивных (индуктивных) расширений старых (уже существующих) числовых классов до нового числового класса, также фиксируемый аксиоматически.

Процедура экстенсивного (индуктивного) расширения предшествующего класса всегда однотипна и состоит  в  конструировании  минимального и максимального числа  нового класса путем возведения в  квадрат соответствующих  чисел предшествующего класса. 

В случае второго числового класса ГАС  (первого  ментального класса) это выглядит следующим образом:  2а  =  1а *  1а =  1а2 — минимальное число 2 класса;  2А =  1А *   1А =  1А 2 — максимальное число 2-го класса. Число в верхнем левом углу над рассматриваемым числом означает номер числового класса.

Поскольку вышеизложенные аксиомы справедливы для всех числовых классов ГАС,  универсальны,  специальной разработки  дополнительного аппарата  для  оперирования числами и множествами нового числового класса не требуется.

Последовательное применение процедуры расширения числовых  классов приводит к иерархии бесконечно малых и бесконечно больших   чисел и соответствующих им классов.

Здесь уместно привести также системообразующую для ГАС «аксиому  иерархии».

«Аксиома  иерархии» устанавливает зависимость  между максимальными и  минимальными  числами  различных  классов, между конечными и бесконечными числами, между бесконечными числами (мерами бесконечности) различных порядков.

Для статистической ГАС первого экзистенциального уровня «Аксиома иерархии»  сводится к двум соотношениям:

1) Аксиома иерархии для класса материальных чисел:

1/s > cd  и  1a1/s < 1/cd ,  где s, с и d — произвольно большие конечные положительные целые материальные числа;

1А : с = V; 1А 1/s = R , где с и s — произвольно большие конечные положительные материальные числа, а V и R — бесконечные материальные числа.

 2) Аксиома иерархии для класса ментальных чисел:

 {А}1/s > cd  и {a}1/s < 1/cd ,  где s, с и d — произвольно большие бесконечные положительные целые ментальные числа.

 {А} : с = V; {А} 1/s = R , где с и s — произвольно большие бесконечные положительные числа, а V и R — конвенциально абсолютно бесконечные ментальные числа.

 В ГАС существенно понятие «Большой числовой класс».

 Большой числовой класс — это класс,  включающий в себя аддитивно неограниченное количество числовых классов,  начиная с первого. Большие числовые классы имеют собственную иерархию и образуют Суперкласс, в который входит аддитивно неограниченное количество Больших числовых классов.

Числа Большого числового класса обозначаются следующим образом (на примере предельных чисел):                                                                                   

1) минимальное число k-го числового класса n- го БЧК — n.k а;

2) максимальное число k-го числового класса n- го БЧК — n.k А.                      

Суперкласс представляет собой последнюю структурную единицу статической ГАС первого экзистенциального уровня, то есть завершает класс ментальных чисел.

Все числовые классы,  большие числовые классы и суперкласс в рамках статических ГАС любых уровней актуальны и счетны изначально, то есть считаются заданными единовременно в момент формулирования процедуры их генерации.

Максимальное и минимальное числа Суперкласса рассматриваются  в статической ГАС первого уровня в качестве конвенциональных Абсолютных чисел. Такая размерность ГАС более чем достаточна для  решения любых гносеологических  задач, имеющихся  в  наличии,  и  большинства перспективных.

Вместе с тем,  возможно деление ГАС на иерархизированные  по весу единицы метасчисления: числовые классы, большие числовые классы и суперклассы различной размерности (вкупе с механизмом их генерации). То есть в рамках гармонической арифметики возможна супердинамизация динамических арифметических систем. Это позволяет неограниченно расширять ГАС в направлении к истинному Абсолюту (к границам умопостигаемого Универсума) путем последовательного введения все более широких единиц метасчисления без потери универсальности (общности) аксиоматики и операционной системы.

В ГАС легко доказываются все важнейшие теоремы классической арифметики,  использующие закон исключенного третьего (в ТФО – закон исключенного пятого), а также обеспечиваются необходимые условия для глубоких интеллектуальных «прорывов» в познании природы и законов абсолютного.

Кроме того, ГАС является полноценным инструментом для создания принципиально новых версий геометрии и математического анализа, в которых  понятия бесконечно малой и бесконечно большой величин будут употребляться в точно определенном непротиворечивом смысле.

2.3. Основные понятия и аксиомы «юниметрии»

Противоречивость  «классической геометрии», показанная выше, а также потребность в адекватной геометрической интерпретации понятия актуальной бесконечности диктуют необходимость коренной трансформации этой научной дисциплины, приведения ее в соответствие с реальной актуальной пространственной структурой универсума и новыми логико-методологическими инструментами (прежде всего — ТФО).

Начнем с того,  что устарело само название рассматриваемой дисциплины: «геометрия» (землемерие). Оно возникло в период индуктивного  формирования науки о пространственных формах и не отражает в полном объеме весь комплекс пространственных отношений и характеристик универсума, который, очевидно, не сводится к  проблематике очертаний нашей планеты (тем более, что этим предметом успешно занимается другая наука — геодезия) и отдельных, рассматриваемых вне общепространственного контекста, предметов.

В этой связи предлагается новое название науки о пространственных формах: «юниметрия» (наука об измерении пространственных характеристик и структуры  универсума и его составных частей).

По замыслу, в содержательном и формальном планах «юниметрия» отличается от «абсолютной геометрии» прежде всего тем, что она последовательно актуалистична и тем, что она представляет собой систематизированное описание иерархии   вложенных друг в друга, различаемых между собой по расположению, величине и размерности  актуальных пространственных объектов (пространств), каждый из которых может обладать противоречивыми свойствами (например, дискретностью и непрерывностью, конечностью и бесконечностью) одновременно, хотя и в разных отношениях.

Это позволяет «юниметрии», во-первых, максимально адекватно (по сравнению с «классической геометрией») отражать реальные пространственные характеристики и формы актуального универсума и его составных частей, обеспечивая предельную общность базовых понятий, объектов и операций над ними, и, во-вторых, полностью соответствовать новой непротиворечивой логико-математической рефлексии, выраженной в теории формальных объектов и в гармонической арифметике, приходящим на смену классической формальной логике, теории множеств и современной постканторовской арифметике.

Актуалистский характер «юниметрии» проявляется, прежде всего, в том, что в этой теоретической системе пространство любых типов всегда актуально в целом и в каждой своей точке, а также в том, что в полной мере действуют закон исключенного третьего (в ТФО — ЗИП) и аксиома неограниченного одновременного выбора юниметрических объектов. Это избавляет математика от необходимости решать проблемы существования тех или иных пространственных объектов исключительно построением, хотя при этом и не отрицается возможность конструктивных доказательств.

Иерархический характер «юниметрии» проявляется в том, что пространственный универсум представлен здесь в виде субординированной системы актуально бесконечных пространств («юниметрических классов»), каждое из которых имеет свои пределы по величине и размерности, а также свой минимальный, неделимый в рамках данного класса, но делимый в составе более широкого класса, элемент — точку.

Еще одной особенностью «юниметрии», отличающей ее от существу-ющих прототипов, является деление всех юниметрических объектов на «компакты» (плотные объекты) и «топосы» (пустые объекты, места, вместилища для «компактов»). Это необходимо, чтобы в условиях актуальности пространства отличать друг от друга пространственные объекты и погруженные в них объекты (тела) и, кроме того, чтобы более адекватно отображать как физическую, так и метафизическую реальность.

Но, пожалуй, самым фундаментальным отличием «юниметрии» от «классической геометрии» является то обстоятельство, что в ней существуют понятия «экзистенциально нейтрального элемента» («праточки») и «иноэкзистенциального юниметрического объекта». Фактически это означает возможность теоретического и даже инженерного моделирования пространственного устройства «антимиров», «черных дыр» и им подобных невыразимых в существующих геометрических системах объектов.

Идея иноэкзистенциальности (бесконечной множественности существующих внутри друг друга взаимно антагонистических, противоположных по величине систем бытия и юниметрических пространств) является качественно  новой для геометрических систем и  математики в целом. Пройдет, видимо, немало времени до того момента, когда она станет приемлемой для математического сообщества и принятой в нем, поскольку это — существенно более фундаментальное нововведение, чем появление, например, отрицательного и комплексного чисел в математических системах.

В математическом смысле идея иноэкзистенциальности выражается в понятии «инверсии величины», что представляет собой совершенно особый логический вид отрицания, весьма далекий от его классических формально-логических прообразов.

Введение понятия экзистенциально нейтрального элемента (праточки) имеет и менее «экзотический» смысл. Идея праточки позволяет  непротиворечиво объединить требования дискретности и непрерывности актуального пространства в одно время, но в разных отношениях.  

Сделав эти предварительные замечания, перейдем к определению ос-новных понятий  и объектов «юниметрии».

 Определения основных объектов «юниметрии» и их свойств

Объекты «юниметрии»

Абсолютным, неопределяемым объектом «юниметрии» является  универсум — единство всего существующего и возможного. Необходимым атрибутом универсума является актуально бесконечное по величине,  актуально бесконечномерное и полиэкзистенциальное пространство, невыразимое в полном объеме наличными и возможными средствами человеческого мышления.

Основной целью «юниметрии» является максимально адекватное и гармоничное отображение умопостигаемых свойств пространственной организации универсума.

Ниже приводятся определения и аксиомы только для положительных одноэкзистенциальных юниметрических объектов.

1. Юниметрический объект (U-объект).

Юниметрический объект (U-объект) — логически и инструментально корректно выделенный из универсума актуальный (гарантированно существующий) конечный или бесконечный объект, обладающий некоторой определенной пространственной формой и рассматриваемый в связи с его пространственными свойствами.

Свойство актуальности U-объектов означает, что в «юниметрии» не существует объектов, которые не были бы в полном объеме завершены к моменту начала рассмотрения. Все U-объекты  не только актуальны, но и счетны (имеют закон перечисления, даже если он и не выявлен к моменту начала рассмотрения), что гарантирует их однозначную конструктивность.

2.  Единичный юниметрический объект (единичный U-объект).

Единичный юниметрический объект (единичный U-объект) — один, специально выделенный по какому-либо признаку, строго количественно и качественно определенный  U-объект, выполняющий функцию меры, эталона для  других U-объектов.

3.  Юниметрическое множество (U — множество).

Юниметрическое множество (U — множество) — U-объект, состоящий из двух и более независимых друг от друга U-объектов.

4. Юниметрическая система (U — система).

Юниметрическая система (U — система) U — множество, составные части (или элементы) которого находятся между собой в определенных пространственных и количественных отношениях.

5. U-топосы и U-компакты.

5.1. U-топос — пустой  (бесплотный) U-объект, представляющий собой часть какого-либо объемлющего U-объекта, способную принять другой U-объект, соответствующий (или меньший) данному по размерности (количеству измерений), пространственной конфигурации и/или величине. 

Иначе говоря, U-топос — пустое место (пространство), принадлежащее какому-либо U-объекту, способное вместить меньший или равный данному U-объект.

5.2. U-Компакт — непустой  (плотный)  U-объект, способный вмещаться в пустой U-объект (топос), соответствующий (или больший) данному по размерности (количеству измерений), пространственной форме и/или величине. 

Деление U-объектов на топосы и компакты необходимо в «юниметрии» в целях адекватного отображения реальной актуальной пространственной структуры универсума и границ объектов.

В «юниметрии» понятия: топос и компакт относительны. Один и тот же U-объект может быть одновременно и топосом (по отношению к вмещаемому объекту), и компактом (по отношению к вмещающему объекту). В последу-ющих работах мы будем различать U-объекты по уровню (степеням) компактности (плотности). Если рассматриваемые (выбранные) U-объекты лишь частично вмещаются друг в друга (пересекаются между собой) или вообще не соприкасаются, они считаются взаимно компактными.

6. Базовые объекты «юниметрии».

6.1. Праточка (пространственная дыра, пространственный нуль) — экзистенциально нейтральный (не существующий ни в одном юниметрическом пространстве в качестве компакта) U-объект, заполняющий пустоты между топосами и компактными U-объектами и не имеющий величины, по отношению к которому любой U-объект (независимо от характера его экзистенциальности) — несоизмеримо бесконечно большой объект.

6.2. Точка — минимальныйпо величине инеделимыйв определенном отношении (которое специфицируется ниже)U-объект с переменной размерностью (размерность точки  тождественна размерности U-объекта, в качестве элемента которого она рассматривается; при этом во всех своих измерениях точка имеет одинаковую величину). 

6.3. Линия — составленный из точекмножественный U-объект, каждая точка которого соединена не более чем с двумя точками, принадлежащими данному U-объекту. Минимальная линия — линия, составленная из двух соприкасающихся друг с другом точек. (В «юниметрии» линии и другие объекты, составленные из конечного и бесконечного числа точек, являются абсолютно равноправными объектами).

Прямая линия (прямая) — линия, у которой между каждыми принадлежащими ей двумя точками расположено минимально возможное количество точек.

Примечание. Все точки, прямые и любые другие объекты «юниметрии» существуют одновременно и независимо от факта их построения с помощью юниметрических инструментов, которые являются лишь средством выбора, а не конструирования объектов в рамках изначально актуального пространства. Поэтому, в частности, прямую можно рассматривать как  множество соединенных между собой точек, отстоящих от какой-либо другой прямой на постоянное расстояние (или как множество соединенных между собой точек, отстоящих — каждая — от какой-либо другой прямой  на переменное расстояние, изменяющееся в соответствии с какой-либо линейной функциональной зависимостью). Данная трактовка прямой тождественна полибиевской.

Непрямая линия — линия, у которой по крайней мере между двумя принадлежащими ей точками расположено  множество точек, превышающее минимально необходимое их количество хотя бы на одну точку.

В «юниметрии» допустимо существование неограниченного количества видов непрямых линий и производных от них U-объектов, определения которых вводятся по мере необходимости. 

6.4. Поверхность (двумерный U-объект) — U-объект, включающий в себя какую-либо линию и имеющий, дополнительно, по крайней мере одну точку, не принадлежащую данной линии.

Плоскость — поверхность, каждые две произвольно выбранные точки которой могут быть соединены прямой линией (лежат на прямой), принадлежащей данной поверхности.

Неплоская поверхность — поверхность, имеющая по крайней мере  две точки,  которые не могут быть соединены прямой линией (не лежат на прямой), принадлежащей данной поверхности.

6.5. Трехмерный U-объект — U-объект, включающий в себя какую-либо поверхность и  имеющий, дополнительно, по крайней мере одну точку, не принадлежащую данной поверхности.

Плоский трехмерный U-объект — трехмерный U-объект, каждые две точки которого лежат на какой-либо плоскости, принадлежащей данному трехмерному U-объекту.

Неплоский трехмерный U-объект — трехмерный U-объект, имеющий по крайней мере  две точки, не  лежащие одновременно на какой-либо плоскости, принадлежащей данному трехмерному U-объекту.

6.6. n-мерный U-объект — U-объект включающий в себя какой-либоn-1- мерный U-объекти имеющий, дополнительно, по крайней мере одну точку, не принадлежащую данному n-1 — мерному U-объекту (n — произвольно большое конечное или актуально бесконечное целое число, определенное в гармонической арифметике).

(В последующих работах по «юниметрии» мы будем рассматривать также случай дробной размерности пространства).

Плоский n-мерный  U-объект — n-мерный  U-объект, каждые две точки которого принадлежат плоскому n-1 мерному U-объекту, принадлежащему данному n-мерному U-объекту.

Неплоский n-мерный  U-объект — n-мерный U-объект, имеющий по крайней мере две точки,  которые не принадлежат одновременно какому-либо плоскому n-1 мерному U-объекту, принадлежащему данному n-мерному U-объекту.

7. Углы. Понятия прямого, острого, тупого, смежных, внешних и внутренних углов в «юниметрии» соответствуют классическим (евклидовским). Отличием является только тот факт, что понятие угла распространяется не только на линии и поверхности, но и на n-мерные объекты. Кроме того, величины углов, образованных неплоскими U-объектами, не соответствуют величинам углов, образованных плоскими U-объектами. (Это — предмет отдельного рассмотрения, которое не может быть проведено в рамках настоящей работы из-за ее вводного характера).

8. Граница (оболочка).

Граница (оболочка) — U-объект (множество U-объектов) принадлежащий некоторому более обширному U-объекту и отделяющий последний от остальной части универсума.

9. Фигура.

Фигура — часть U-объекта, отделенная границей  (оболочкой) от остальной части универсума.

Следствие из пп. 8 и 9. U-объект есть единство границы (оболочки) и фигуры. В случае точки и двуточечного объекта, а также некоторых видов дискретных и/или многомерных точечных образований понятия границы и фигуры совпадают. 

10. Понятия: круг, окружность, диаметр, радиус,  треугольник, квадрат, трапеция, n  — сторонняя фигура, сфера, шар, пирамида  и т. п., семантически соответствуют евклидовским за исключением того факта, что названные фигуры и объекты в «юниметрии» могут быть также актуально бесконечными  n-мерными,  что будет рассмотрено в последующих работах..

11. «Юниметрический класс» (замкнутое актуальное юниметрическое пространство единичной актуально бесконечной величины и заданной размерности ).

«Юниметрический класс» (U-класс) — актуально бесконечный n-мерный U-объект (n — больше или равно 1), включающий в себя U-объекты трех типов: минимальные n-мерные U-объекты (точки), единичные (эталонные) n-мерные U-объекты и максимальный (граничный) n-мерный U-объект.

Произвольный U-класс каждой размерности описывается и задается  в «юниметрии» однотипной, но особой аксиоматикой, детерминирующей базовые количественные и пространственные отношения между входящими в него U-объектами.

12. Иерархия U-классов (конвенциально абсолютное U-пространство).

Иерархия U-классов (U-иерархия) — последовательность вложенных друг в друга  и количественно субординированных U-классов какой-либо определенной размерности, отображающих реальные пространственные и количественные отношения универсума.

В «юниметрии» не существует Абсолютного U-класса, вмещающего все остальные, хотя и может быть определен конвенционально Абсолютный U-класс (U-Суперкласс), что не является ограничением общности для дедуктивных рассуждений. При необходимости процесс порождения все больших по величине U-классов может быть продолжен сколь угодно долго.

Параллельные U-объекты.

 13.1. Дваплоскихn-1-мерных U-объекта называются параллельными, если, существуя  в некотором n-мерном U-объекте и будучи продолженными в обе стороны до границ актуальной U-иерархии, они находятся на некотором постоянном расстоянии друг от друга на всем своем протяжении.

13.2. В частности, две прямые называются параллельными, если, существуя в одной плоскости и будучи продолженными в обе стороны до ее границ, определяемых актуальной U-иерархией, они находятся на некотором постоянном расстоянии друг от друга на всем своем протяжении.

Данное определение параллельности с учетом п.6.3. делает евклидовский постулат о параллельных теоремой.

Примечание. В «юниметрии» понятие параллельности распространяется также и на  эквивалентные  по величине и форме незамкнутые неплоские n-1-мерных U-объекты, хотя для этого и требуются некоторые дополнительные определения и комментарии, которые невозможно в полном объеме привести в настоящей работе.

Аксиомы произвольного положительного двумерного «юниметрического класса»

Произвольный положительный «двумерный юниметрический класс» (далее — 2-мерный U-класс) — положительный актуально бесконечный 2-мерный U-объект, ограниченный актуально бесконечной окружностью и включающий в себя U-объекты трех типов: минимальные 2-мерные U-объекты (точки),  единич-ные прямолинейные (эталонные) 2-мерные U-объекты и максимальный 2-мерный прямолинейный U-объект.

Полагая величины:

а) праточки = «0»;

б) минимального   2- мерного U-объекта (точки) = «а»;

в) единичного (эталонного) прямолинейного 2-мерного U-объекта (отрезка прямой) = «1»;

г) максимального 2-мерного прямолинейного U-объекта = «А», сформулируем нижеследующие аксиомы произвольного двумерного U-класса, полностью соответствующие в квантитативном отношении аксиоматике  «гармонической арифметики».

1. Существуют  универсальные  для  всех U-классов U-иерархии U-объекты: «0» (U — нуль, универсальный экзистенциально нейтральный U-элемент, «праточка») и «1» (единичный эталонный по величине отрезок прямой, универсальный положительный прямолинейный элемент).

2. Существуют предельные для данного U-класса положительные прямолинейные U-объекты: «а» (минимальный по величине U-объект U-класса, точка) и «А» (максимальный по величине прямолинейный U-объект U-класса, радиус окружности, ограничивающей произвольный U-класс).

3. U-объект «1», связан с предельными U-объектами «а» и «А» следующими количественными арифметическими соотношениями:

  • а*А = 1;   а = 1/А;   А = 1/а.

3.2.  а+а+….+а = 1      1+1+…+1 = А

        ________             _______

            А раз                  А раз

  • а + а + … + а = А

           ___________

                 А 2  раз

Соотношения 3.1.  — 3.3. означают, что вес множества U-единиц,  входящих в «А» (и «а», входящих в «1») не ограничен аддитивно (индуктивно), но ограничен мультипликативно (дедуктивно); это позволяет непротиворечиво сочетать требование бесконечности (неограниченности) произвольного U-класса с требованием его завершенности (наличия минимального и максимального по величине прямолинейных элементов).

Аналогичными отношениями, совпадающими с определениями операций в классической арифметике и геометрии, U-объект «1» связан и с прочими (не предельными) U-объектами U-класса.

4. U-объект «0» (U-нуль), будучи универсальным нейтральным (ни положительным, ни отрицательным) элементом U-класса, не является элементом какого-либо отдельного U-класса и связан со всеми U-объектами произвольного U-класса следующими юниметрическими и, одновременно, арифметическими соотношениями:

4.1.  0*d = d*0 = 0;

4.2.  из bd=0 следует, что или b=0 или d=0 (если числа b,d не  являются делителями нуля);

4.3.  деление U-объектов на 0 невозможно;

4.4. с + 0 = 0 + с = с, где b,c,d — прямолинейные элементы U-класса, включая предельные.

5.Аксиома юниметрической супердедукции. 

5.1.Если утверждение доказано для некоторого U-объекта «с»  и из его справедливости для U-объекта с/b следует справедливость  для U-объекта с/bd  (с,b,d — U-объекты одного U-класса), то утверждение справедливо для для любого  неотрицательного U-объекта U-класса, включая U-объекты «а» и  «А».

5.2.Если утверждение доказано для некоторого U-объекта с  и из его справедливости для U-объекта с*b следует справедливость для U-объекта с*b*d  (с,b,d — U-объекты одного U-класса), то утверждение справедливо для для любого  неотрицательного U-объекта U- класса, включая U-объекты «а» и  «А».

6. Аксиома  юниметрической супериндукции.

6.1. Если  утверждение  доказано для U-объекта «0» и из его справедливости для следующего за «0» по величине неотрицательного U-объекта «а»  данного U-класса, следует справедливость для непосредственно следующего за  ним по величине U-объекта «2а», то утверждение справедливо для любого сколь угодно большого неотрицательного U-объекта U-класса, включая U-объект «А».

6.2. Если утверждение доказано для U-объекта «А» и из  его справедливости  для предшествующего U-объекту «А» по величине неотрицательного U-объекта «А-а» данного U-класса,  следует справедливость для непосредственно предшествующего ему по величине U-объекту «А-2а», то утверждение справедливо для любого неотрицательного U-объекта U-класса.

Аксиомы 1-6 приведены здесь только для положительных U-объектов U-класса;  для отрицательных U-объектов U-класса мы их выписывать здесь и ниже не будем из-за невозможности достаточно строгого изложения даже основных содержательных моментов этой теоретической подсистемы «юниметрии» в узких рамках «эскизного проекта».                                                                     

Кроме стандартных положительных и отрицательных U-объектов в «юниметрии», как говорилось выше, существуют еще и анти-объекты (анти-пространства). Существование в «юниметрии» триединства: Бытие (положительное и отрицательное пространства), Нейтральное пространство (нуль-пространство), Анти-Бытие (положительное и отрицательное анти-пространства) с логической необходимостью приводит к феномену инверсии величины U-объектов  в зависимости от  «стороны»  или «знака» рассмотрения.

Так, если универсум рассматривается из «нашего» мира, бытия, порядковая структура произвольного 2-мерного U-класса (с учетом подкласса анти — U-объектов)  будет выглядеть по величине следующим образом:

                              ÑА< …< Ñ1< …< Ña < 0<  a <…< 1< …<A  (знак «Ñ» с левой стороны символа означает принадлежность U-объектов этого типа к анти-пространству, анти-миру, инобытию).

Если же универсум рассматривается из «анти-» мира, анти-бытия, порядковая структура произвольного 2-мерного U-класса (с учетом подкласса отрицательных U-объектов) будет выглядеть по величине следующим образом: 

                              ÑА> …> Ñ 1> …> Ña > 0>  a >…> 1> …>A.

Очевидно, что об аксиоматике подобных объектов говорить пока преждевременно. Вначале необходимо детально разработать и обсудить  их метафизику, поскольку анти-объекты не могут быть адекватно описаны, определены и интерпретированы в рамках существующих в логике и математике способов полагания и отрицания. Взгляды автора по данной проблеме будут изложены в последующих работах.

Пока же скажем только (для облегчения общего понимания), что «наш мир» в соответствии с предлагаемой концепцией связан (через абсолютно бесконечное множество существующих в нем «праточек») с абсолютно бесконечным же множеством  анти-миров, анти-пространств, отличных от «нашего», по крайней мере, по величине. Находясь в «нашем» мире, мы можем интепретировать анти-миры как абсолютно ничтожные, фактически не существующие объекты, встроенные в каждую из «праточек». В предположении пребывания в любом из бесконечного множества анти-миров, противостоящих нашему, мы, наоборот, можем рассматривать «наш» мир как ничтожно малый, фактически не существующий для того мира объект. Каждый из анти-миров, противостоящих «нашему» миру, уникален и, в свою очередь, — через свои «праточки» — связан с бесконечным множеством других анти-миров и т.д.  На логическом и физическом уровнях это приводит к признанию принципа относительности величины пространства, а на теологическом и оккультном — к подтверждению и конкретной математической интерпретации принципа «все — во всем», выдвинутого еще Гермесом Трисмегистом.

Завершая наш короткий комментарий по поводу идеи анти-пространства и бесконечной взаимной вложенности антагонистических по отношению друг к другу миров, скажем, что ее признание в вышеизложенной трактовке — не необходимое условие существования «юниметрии». Желающие могут рассматривать «праточку» как абсолютный пространственный нуль, за которым ничего не стоит. Существуют же, к примеру, люди, отрицающие жизнь после смерти. Но это не означает, что они  отрицают и  жизнь вообще.

Аксиомы иерархии  положительных двумерных «юниметрических классов»

1.  Существует минимальный двумерный U-класс (материальный двумерный U-класс), соответствующий аксиоматике произвольного U-класса, такой, что:                                              

1а — минимальный U-объект класса (точка, неделимый в пределах класса элемент), 1А — максимальный U-объект класса (диаметр окружности, ограничивающей минимальный двумерный U-класс, где 1а и 1А актуально бесконечные U-объекты.

В рамках минимального двумерного U-класса в юниметрическом и арифметическом смыслах выполняются соотношения:

1/s > c d  и  1a1/s < 1/c d ,  где s, с и d — произвольно большие конечные положительные целые материальные числа, соответствующие величине конечных U-объектов, входящих в минимальный двумерный U-класс.

1А: с = V; 1А 1/s = R , где с и s — произвольно большие конечные положительные материальные числа, а V и R — бесконечные материальные числа, соответствующие величине бесконечных U-объектов, входящих в минимальный двумерный U-класс.                               

  • 2. Существует конструктивная процедура неограниченного расширения двумерных U-классов, начиная с первого, состоящая в выборе раствора идеального циркуля, равного квадрату радиуса объемлющей окружности предшествующего U-класса,   и в проведении из общего для всех U-классов U-иерархии центра окружности вновь выбранного радиуса.
  • Арифметический  смысл  данной  операции (применительно к первому U-классу ) эквивалентен соотношению:
  • 2А =  1А *   1А =  1А 2
  • При этом, одновременно, уменьшается величина минимального U-объекта U-класса путем возведения в квадрат величины точки предшествующего класса. То есть произвольная точка, принадлежащая предшествующему классу и являющаяся в нем неделимым объектом, в новом (последующем) U-классе становится актуально бесконечным множеством точек и объектом вполне делимым.  Арифметический  смысл  данной  операции (применительно к первому U-классу ) эквивалентен соотношению:  2а =   1а *  1а =  1а2
  • Начиная с этого момента все U-объекты, входящие по своим форме и величине во вновь созданный класс, являются актуальными и могут быть использованы в этом качестве при дедуктивном рассмотрении или в конструктивных операциях.

3. Существует актуально бесконечнаяU-иерархия 2-мерных U-классов (называемых ментальными U-классами, начиная со второго),  созданная с использованием аксиомы 2, завершающаяся U-Суперклассом, максимальный {А} и минимальный {a} U-объекты которого выполняют функцию конвенциально абсолютных U-объектов.

В рамках конвенционально максимального 2-мерного U-класса в юниметрическом и арифметическом смыслах выполняются соотношения:

{А}1/s > cd  и {a}1/s < 1/cd ,  где s, с и d — произвольно большие бесконечные положительные целые ментальные числа, соответствующие величине актуально бесконечных U-объектов, входящих в конвенционально максимальный 2-мерный U-класс.

{А}: с = V; {А} 1/s = R , где с и s — произвольно большие бесконечные положительные числа, а V и R — конвенциально абсолютно бесконечные ментальные числа, соответствующие величине актуально бесконечных U-объектов, входящих в конвенционально максимальный 2-мерный U-класс.

При необходимости процесс расширения U-иерархии может быть продолжен в соответствии с аксиомой 2.                                                 

Аналогичные, хотя и более сложные, системы аксиом произвольного U-класса и U-иерархии к настоящему времени разработаны для трех- и четырехмерных положительных U-пространств, а также для произвольного n-мерного U-пространства. В частности, в случае трехмерного U-пространства в качестве объемлющего U-объекта U-класса выступает шар, а в U-пространствах более высокой размерности — n-мерные шары (n > 3, целое положительное число).

Единицы же величины U-объектов в рамках произвольного n-мерного U-класса остаются универсальными («0», «1», «а», «А»).

Многократно сложнее аксиоматические системы для обобщенного n-мерного полизнакового пространства, хотя юниметрические системы именно этого рода открывают путь к познанию «анти-миров».

Постулаты «юниметрии»

1. В пределах актуальной иерархии  «юниметрических классов» всегда можно выбрать необходимо большое число произвольным образом расположенных друг относительно друга, взаимно пересекающихся или входящих друг в друга, различающихся по форме и (или) величине (или одинаковых в тех или иных отношениях) определенных в «юниметрии» U-объектов для непосредственного рассмотрения или осуществления каких-либо не противоречащих другим постулатам конструктивных операций.

2. Между двумя точками, лежащими в пределах универсального пространства, ограниченного актуальной иерархией  «юниметрических классов», всегда можно провести прямую линию «идеальной масштабной линейкой» (что является актом выбора уже существующей в U-пространстве прямой, а не актом ее построения).

 Максимальная длина прямой не может превышать расстояние между граничными точками предельного (максимального актуального на момент рассмотрения)  «юниметрического класса».

 «Идеальная масштабная линейка» позволяет измерять допустимые линейные расстояния с точностью до одной минимальной (в U-иерархии) точки.

3. Из всякого центра произвольным раствором «идеального циркуля» может быть описана окружность. При этом предельная длина прямой (п.2) не является ограничением для выбора  величины раствора циркуля. (Данный постулат позволяет осуществлять расширение актуальной иерархии «юниметрических классов»).

4. Любой угол может быть построен и измерен с помощью «идеального транспортира», не имеющего ограничений по точности, кроме  величины предельно малой в актуальной иерархии «юниметрических классов» точки.

5. В целях повышения эффективности и точности построения U-объектов различной природы, конфигурации и величины допустимо пользование любыми «идеальными инструментами», чье существование не противоречит принципам, определениям, постулатам и аксиомам «юниметрии».

В частности, разрешено использование в юниметрических рассуждениях «идеально гибких многомерных линеек»,  с точностью «до предельной точки» повторяющих конфигурацию многомерной поверхности какого-либо U-объекта, а также юниметрических шаблонов и лекал произвольных размеров, размерности и  формы.

Параметры (включая правила использования в рассуждениях) каждого вновь вводимого в юниметрию идеального инструмента фиксируются специальным аксиоматическим блоком.

6. Выбранные или вновь построенные (для наглядности) U-объекты могут произвольным, но не противоречащим аксиоматике «юниметрии», образом вращаться, перемещаться в пространственных рамках и размерностях U-иерархии, накладываться или вкладываться друг в друга, а также трансформироваться в соответствии с выбранным законом трансформации. Все названные и дополнительные операции с U-объектами должны регулироваться специальными аксиомами.

В случае, если данная система постулатов для каких-либо «юниметрических» целей является недостаточно или чрезмерно свободной, приведенные постулаты могут быть дополнены или ограничены, начиная с п.5.  Вновь образованная конфигурация «юниметрических» постулатов считается в этом случае специальной версией общей юниметрической системы.

В «юниметрии» предусмотрены также многочисленные блоки специальных аксиом, регламентирующие такие отношения между U-объектами, как «принадлежность», «порядок», «направление», «пространственное положение», «расстояние», «движение», «вращение», «трансформация», «эквивалентность», «конгруентность», «подобие», «соответствие», «конструктивность», «размерность», «дискретность — непрерывность», «положительность — отрицательность», «конечность — бесконечность», и другие, которые носят преимущественно технический характер и потому являются излишними в работе, представляющей  собой общее концептуальное введение в предметную область.                     

Заключение

Если прочтение этой книги привело читателя к хотя бы небольшим сомнениям относительно абсолютной истинности того собрания логических ошибок и противоречий, которое сегодня называется теоретико-множественной математикой, автор считает свою задачу — минимум выполненной.

Если же кто-то, прочтя раздел об основаниях гармонической математики, изменил свое мнение с «это — полная чушь» и «этого не может быть» на «в этом что-то есть», автор считает выполненной и свою задачу — максимум. 

Основная задача второй версии («рабочего проекта») настоящей работы, подготовка которой к печати начнется сразу после выхода в свет настоящей первой версии («эскизного проекта») и получения полезной для авторского вдохновения  критики со стороны математического сообщества (если оно опустится до критики), — сформировать у читателя мнение: «а кто же этого не знает?» и стимулировать его самостоятельные исследования в области теории формальных объектов и гармонической математики.

Во второй версии «Общего кризиса …» основной акцент будет сделан не на критике существующей (не существующей) традиционной математики бесконечного, а на всестороннем обосновании и формализации математики новой, гармонической, основанной на идее всесторонне определенной актуальной бесконечности (идее «метаапейрона»).

Планируется строго формально и без содержательных купюр изложить основания теории формальных объектов, металогики (теории эволюции формальных систем), семантической метаматематики и гармонической математики, включая арифметику, юниметрию и анализ.

Это даст возможность оппонентам попытаться на вполне формальных основаниях уличить автора в противоречивости предлагаемой парадигмы и защитить честь «канторовского мундира», а сторонникам (если таковые появятся) — попытать интеллектуального счастья в реальном познании актуальной бесконечности.

Литература

1. Автономова Н.С. Рассудок, разум, рациональность. — М.: Наука, 1988. — 287 с.

2. Антипенко Л.Г. Проблема неполноты теории и ее гносеологическое значение. — М.: Наука, 1986. — 224 с.

3. Антология мировой философии. В 4-х томах. ТТ.1-4. — М.: Мысль, 1968- 1972.

4. Аристотель. Сочинения: В 4-х т., ТТ.1-4.- М.: Мысль, 1976-1984.

5. Арнольд В.И.  Теория катастроф. — М.: Изд- во МГУ, 1983. —  80 с.

6. Башляр Г. Новый рационализм. — М.: Прогресс, 1987. — 376 с.

7. Березкина Э.Н. Математика  древнего Китая.  — М.: Наука, 1987. – 312с.

8. Бурбаки Н. Теория множеств. — М.: Мир, 1965.

9. Бурова И.Н. Развитие проблемы бесконечности в истории науки. — М.: Наука, 1987. — 133 с.

10. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. — М.: Наука, 1976. — 648 с.

11. Вартофский М. Модели. Репрезентация и научное понимание.- М.: Прогресс, 1988.- 507 с.

12. Вейль Г. Математическое мышление. — М.: Наука, 1989.- 400 с.

13. Визгин В.П. Генезис и структура квалитативизма Аристотеля. — М.: Наука, 1982. — 428 с.

14. Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX  столетия. — М.: Наука, 1966. — 507 с.

15. Войшвилло Е.К. Понятие. — М.: Изд- во МГУ, 1967. — 285 с.

16. Войшвилло Е.К. Понятие как форма мышления: логико-гносеоло-гический анализ. — М.: Изд-во МГУ, 1989. — 239 с.

17.Войшвилло Е.К. Философско-методологические аспекты релевант-ной логики. — М.: Изд-во МГУ, 1988. — 140 с.

18. Выготский М.Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. — М.: Наука, 1967. — 367 с.

19. Гадамер Х.-Г. Истина и метод: Основы филос. герменевтики. — М.: Прогресс, 1988. — 704 с.

20. Галустян Р.Г. Философия лингвистики. — Ереван: Луйс, 1989.- 176 с.

21. Гегель Г.В.Ф. Лекции по истории философии. Кн.1. — С.-П.: Наука, 1993.- 349 с.

22. Гегель Г.В.Ф. Наука логики. В 3-х т., ТТ 1-3.- М.: Мысль, 1970- 1972.

23. Гегель Г.В.Ф. Энциклопедия философских наук. Т.1. Наука логики. — М.: Мысль, 1975. — 452 с.

24. Гейбер И.Л. Естествознание и математика в классической древности. — М.-Л.: ОНТИ, 1936. — 196 с.

25. Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. Логические исчис-ления и формализация арифметики. — М.: Наука, 1979.  — 557 с.

26. Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. Теория доказа-тельств. — М.: Наука, 1982. — 652 с.

27. Гильберт Д. Основания геометрии. — М.: Гостехиздат, 1948.

28. Даан — Дальмедико А.,  Пейффер Ж. Пути и лабиринты. Очерки   по истории математики. — М.: Мир, 1986. — 432 с.

29. Девис М. Прикладной нестандартный анализ. — М.: 1980.

30. Декарт Р. Сочинения в 2-х томах. Т.1. — М.: Мысль, 1989. —  654 с.

31. Декарт Р. Геометрия. — М.-Л.: Научтехиз, 1938.

32. Дертоузос М. Пороговая логика. — М.: Мир, 1967. — 343 с.

33. Джохадзе Д.В.  Основные этапы развития античной философии.  — М.: Наука, 1977. — 295 с.  

34. Диафант Александрийский. Арифметика и книга о многоугольных числах. — М.: Наука, 1974. — 328 с.

35. Диоген Лаэртский. О жизни, учениях и изречениях знаменитых  философов. — М.: Мысль, 1979. — 620 с.

36. Дьедонне Ж.  Основы современного анализа. — М.: Мир, 1964. — 431с.

37. Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика. — М.: Наука, 1987.

38. Ефимов Н.В. Высшая геометрия. — М.: Наука, 1978.

39. Закономерности развития  современной  математики.  —   М.: 1987. — 336 с.

40. Интерпретация как историко-научная и методологическая проблема. — Новосибирск: Наука, 1986. — 207 с.

41. Искусственный интеллект:  В 3 кн. Кн. 1-3. — М.: Радио и связь, 1990.

42. Исследования по  логике  научного познания. — М.: Наука, 1990.- 206с.

43. Каган В.Ф. Очерки по геометрии. — М.: МГУ, 1960.

44. Кант И. Критика чистого  разума.-  С-Пб.:  Тайм- аут,  1993. — 477 с.

45. Кантор Г.  Труды по теории множеств.  — М.: Наука, 1985. —  430 с.

46. Карри Х.Б.  Основания  математической логики.  — М.:  Мир,  1969. — 568 с.

47. Клайн М.  Математика в поисках истины.  — М.: Мир, 1988. —   295 с.

48. Клайн М.  Математика.  Утрата определенности.  — М.:  Мир,  1984. — 434 с.

49. Клини С.К. Математическая логика. — М.: Мир, 1973. — 480 с.

50. Клини С., Весли Р. Основания интуиционистской математики. — М.: Наука, 1978. — 272 с.

51. Ковальски Р.  Логика в решении проблем. — М.: Наука, 1990. —  280 с.

52. Козлова М.С. Философия и язык. — М.: Мысль, 1972.- 254 с.

53. Койре А. Очерки истории философской мысли. — М.: Прогресс, 1985. — 286 с.

54. Колесников А.С. Философия Бертрана Рассела. -Л.: Изд-во ЛГУ, 1991. – 232 с.

55. Кон П. Универсальная алгебра. — М.: Мир, 1968. — 352 с.

56. Кондаков Н.И.  Логический словарь-справочник. — М.: Наука, 1975. – 719 с.

57. Копнин П.В.  Диалектика, логика, наука. — М.: Наука, 1973. — 464 с.

58. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике.  — М.: Наука, 1977. — 832 с.

59. Красиков Ю.В. Алгоритмы порождения речи. — Орджоникидзе: ИР, 1990. — 240 с.

60. Кузанский Н. Сочинения в 2 томах. ТТ.1-2.- М.: Мысль, 1979 — 1980.

61. Кумпф Ф., Оруджев З. Диалектическая логика: Основные принципы и проблемы. — М.: Политиздат, 1979. — 286 с.

62. Кун Т.  Структура научных революций. — М.: Прогресс, 1977. — 300с.

63. Кураевев В.И., Лазарев Ф.В. Точность, истинность и рост научного знания. — М.: Наука, 1988. — 240 с.

64. Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. — М.: Мир, 1970. — 416 с.

65. Курош А.Г.  Лекции по общей алгебре.  — М.: Наука, 1973. —  399 с.

66. Кучеров И.Д. Функции различий в практическом познании. – Минск: Наука и техника, 1972. — 320 с.

67. Кушнер Б.А. Лекции по конструктивному математическому анализу. — М.: Наука, 1973. — 447 с.

68.  Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968. — 564 с.

69. Лингвистический энциклопедический словарь. — М.: Советская эн-циклопедия, 1990. — 685 с.

70. Лобачевский Н.И. ПСС. Тт. 1-5. —  М.-Л.: Гостехиздат, 1946 — 1951.

71. Лорьер Ж.-Л. Системы искусственного интеллекта. — М.: Мир, 1991. — 568 с.

72. Лосев А.Ф. Бытие- имя — космос. — М.: Мысль, 1993. — 958 с.

73. Лосев А.Ф.  Философия имени.  — М.:  Изд- во МГУ,  1990. —  269 с.

74. Ляпунов А.А.  Вопросы теории множеств и теории функций. — М.: Наука, 1979. — 264 с.

75. Маковельский А.О. История логики. — М.: Наука, 1967. — 502  с.

76. Маковский М.М. Лингвистическая комбинаторика. — М.: Наука, 1988. — 232 с.

77.  Марксистско-ленинская диалектика. В восьми книгах. Кн.1-8. — М.: Изд- во МГУ, 1983- 1988.

78. Математический энциклопедический словарь. -М.: Сов. энциклопедия, 1988. — 847 с.

79. Математическая энциклопедия. В 5-ти томах. ТТ. 1-5. — М.: Сов. эн-циклопедия, 1977- 1985.

80. Материалистическая диалектика. В пяти томах. ТТ.1-5. — М.: Мы-сль, 1981- 1985.

81. Материалистическая диалектика как общая теория развития. В 4-х томах. ТТ. 1-4. — М.: Наука, 1982 — 1987.

82. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. — М.: Наука, 1976. – 320 с.

83. Месарович М., Мако Д. и Такахара И. Теория иерархических много-уровневых систем. — М.: Мир, 1973. — 344 с.

84. Милль Д.С. Система логики силлогистической и индуктивной.  — М.: Изд-е Лемана, 1914. — 880 с.

85. Минто В.  Дедуктивная и индуктивная логика. — М.: Тип. Сытина, 1909. — 549с.

86. Мулуд Н. Современный структурализм. — М.: Прогресс, 1973. – 376с.

87. Начала Евклида. В 3-х тт. — М.-Л.: Техтеорлит, 1950.

88. Новиков П.С. Конструктивная математическая логика с точки  зрения классической. — М.: Наука, 1977. — 328 с.

89. Ньютон И. Всеобщая арифметика. — М.: Изд-во АН СССР, 1948. — 442 с.

90. Петров М.К.  Язык, знак, культура. — М.: Наука, 1991. — 328 с.

91. Петросян В.К.  О разрешимости логико-математических парадоксов самореференции с отрицанием. — М.: Книжник, 1995.

92. Петросян В.К. Основные положения концепции оснований гармонической арифметики. В кн.: Бесконечность в математике: философские и исторические аспекты. — М.: Янус — К, 1997.- 400 с.

93. Платон. Сочинения.  В 3-х томах. ТТ.1-3. — М.: Мысль, 1968   — 1972.

94. Попа К. Теория определения. — М.: Прогресс, 1976. — 247 с.

95. Пфанцагль И. Теория измерений. — М.: Мир, 1976. — 166 с.

96. Расева Е., Сикорский Р. Математика метаматематики. — М.: Наука, 1972.- 592 с.

97. Рейтман У. Познание и мышление. — М.: Мир, 1968. — 400 с.

98. Розенфельд Б.А. Неевклидовы геометрии. — М.: Техтеорлит, 1955.

99. Рузавин Г.И. Научная теория. Логико-методологический анализ. — М.: Мысль, 1978. — 244 с.

100. Справочная книга по математической логике:  В 4-х  частях. Ч.1-4.- М.: Наука, 1982-1983.

101.Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. — М.: Наука,  1984. — 284 с.

102. Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук. — М.: Гос. изд-во ин. лит., 1948. —  326 с.

103. Тондл Л. Проблемы семантики. — М.: Прогресс, 1975. — 484 с.

104. Уайтхед А.  Избранные работы по философии. — М.: Прогресс, — 717 с.

105. Успенский В.А. Что такое нестандартный анализ. — М.: 1987.

106. Феферман С. Числовые системы. — М.: Наука, 1971.

107. Философская энциклопедия. В пяти томах. ТТ.1-5. — М.: Советская энциклопедия, 1960-1970.

108. Философский энциклопедический словарь. — М.: Сов. энциклопе-дия, 1983. — 840 с.

109. Френкель А.А., Бар- Хиллел И. Основания теории множеств. —  М.: Мир, 1966. — 555 с.

110. Хинтикка Я. Логико-эпистемологические исследования. — М.: Прогресс, 1980. — 448 с.

111. Черч А. Введение в математическую логику, Ч.1.- М.: Изд-во иност.  лит., 1960. — 484 с.

112. Чудинов Э.М. Природа научной истины. —  М.:  Политиздат, 1977. — 312 с.

113. Энциклопедия элементарной математики. Кн.1. Арифметика. — М.: Гос.  из-во тех.- теор. лит., 1951. — 448 с.

114. Яновская С.А. Методологические проблемы науки. —  М.: Мысль, 1972. — 280 с.