В.К. Петросян. Критика канторовской «диагональной процедуры»

 © В.К. Петросян © Lag.ru [Large Apeironic Gateway, Большой Апейронический Портал (Шлюз), Суперпортал в Бесконечность].

При копировании данного материала и размещении его на другом сайте, ссылка на портал Lag.ru обязательна

 

                                          

     Петросян В.К.  Критика канторовской «диагональной процедуры». – М.: ИРПО,  2001. – 117 с.

           ISBN 5-8379-0055-1   © Петросян В.К., 2001

Аннотация

В работе обосновывается тезис о комплексной самопротиворечивости теории множеств Г. Кантора, обусловленной несовершенством аристотелевской формальной логики, выявляется «внутренняя» паралогичность канторовской «диагональной процедуры» и понятия «несчетность». Дается «критика квазикритики» канторовской теории множеств некоторыми современными авторами. Содержание работы предлагается рассматривать как фрагмент подготовки к «инновационной войне» по основаниям гносеологии, логики и математики, на необходимости которой настаивает автор. Книга предназначена для философов, философов математики, логиков, всех, интересующихся проблемами отрицания в формальной логике и желающих принять участие в «инновационной войне» по основаниям гносеологии, логики и математики.

                                                      

Содержание

Предисловие

1. Паралогичность «диагональной процедуры» Г. Кантора   

        1.1. Общая критика канторовской теории множеств

        1.2. Критика «диагональной процедуры» Г. Кантора

        1.3. О необходимости различения актуальной и потенциальной бесконечностей в «диагональной процедуре» Г. Кантора

2. Критика квазикритики «диагональной процедуры» Г. Кантора

2.1.«Диагональная процедура» Кантора и «неконсистентные множества»

2.2. Плагиат с паралогизацией как метод «научной контрреволюции в математике»

Заключение

Цитированная литература

                                                                                                                      

Предисловие

Теория множеств Георга Кантора, будучи идейной конструкцией, во многом определяющей наиболее фундаментальные стороны человеческого мышления и восприятия мира, уже более столетия является предметом интенсивных споров между философами и математиками различных метафизических ориентаций.

Прогресса на этом пути (принятия большинством математического сообщества какой–либо консолидированной точки зрения) не видно до сих пор, однако, судя по многим прямым и косвенным признакам, ситуация близится к своему разрешению.

Так, непрерывно увеличивается число критических работ, выявляющих все новые и новые аспекты противоречивости канторовского учения, с возрастающей частотой создаются общие логико–математические доктрины, альтернативные канторовской, резко ужесточается тон дискуссий по основаниям математики, гораздо более агрессивными и непримиримыми, чем когда бы то ни было ранее, становятся позиции их участников.

Постоянно растет число философов математики, метаматематиков и математиков, которые воспринимают эти дискуссии как свое «личное дело» и активно пополняют ряды сторонников той или иной точки зрения по ключевым проблемам.

Словом, дело неуклонно идет (по крайней мере — в России) к большой интеллектуальной (инновационной) войне по основаниям логики и математики, призванной стать крупной вехой в разрешении накопившихся в этой предметной области проблем и развитии базовых механизмов человеческого мышления.

По моему мнению, это очень хорошо (во всяком случае в период 1991–2001 годов я сделал все, что мог, для ускорения этого процесса и в плане разработки концепции общего механизма инновационной войны, и в плане посильной критики канторовской теории множеств, и в плане осмысления контуров альтернативных ей оснований логико–математического мышления).

 Настоящая работа, написанная по просьбе некоторых уважаемых мною членов российского сообщества философов математики, является составной частью одного из этапов подготовки к упомянутой инновационной войне и посвящена экспликации моей позиции по проблематике канторовской «диагональной процедуре», а также критическому анализу некоторых современных работ.

В первой главе, названной «Паралогичность «диагональной процедуры» Г. Кантора», я конспективно излагаю свою версию критики канторовской теории множеств в целом, проводившейся в работах, предшествующих данной (при акцентировании внимания на логических недостатках «диагональной процедуры»), а также отвечаю на критические замечания со стороны С.Н. Бычкова и Л.О. Шашкина.

Во второй главе, названной «Критика квазикритики «диагональной процедуры» Г. Кантора», я анализирую некоторые ошибочные, на мой взгляд, современные версии опровержения «диагональной процедуры» и вскрываю причины их паралогичности.

Важно отметить, при этом, что ошибки – ошибкам рознь.

Бывают ошибки, приносящие в смысле максимизации логико–математического знания и углубления в предметную область не меньше пользы, чем какое–нибудь крупное открытие, если учитывать уровень оригинальности идеи (хотя бы и ошибочной), а также объем и качество проделанной при ее разработке исследовательской работы.

К таким ошибкам я отношу, в частности, идею С.Н. Бычкова и Л.О. Шашкина рассматривать объект (Z), получаемый в ходе реализации канторовской «диагональной процедуры», как «не-множество».

Иное дело – «ошибки», допущенные в своих работах А.А. Зенкиным. Плагиат с квазиавторизирующей паралогизацией заимствованных идей, множественная самопротиворечивость, абсолютное непонимание азов канторовской теории множеств – вот неполный «букет» ошибок, обнаруженных при анализе относительно небольшой части работ А.А. Зенкина, если это, конечно, можно назвать «ошибками».

Я не настаиваю на том, что все, написанное мною в настоящей работе, – истина «в последней инстанции», однако и скрывать (или приглаживать) свою точку зрения (даже если она кому–то покажется слишком жесткой) считаю делом аморальным и контрпродуктивным.

Если у кого–то из участников «круглого стола» в МГУ по «диагональной проблематике», намеченного на апрель 2001 года, или читателей возникнет желание подискутировать со мной по существу изложенных в настоящей работе мыслей и фактов в устной или письменной форме, я всегда к его услугам, однако предпочел бы это делать в ходе полноценной инновационной войны по основаниям математики, до начала которой, как я надеюсь, осталось уже совсем немного времени.

Завершая это краткое предисловие, хочу выразить благодарность неформальному топ-менеджеру сообщества современных российских философов математики А.Г. Барабашеву, который использует свой признанный авторитет не для «заметания» имеющихся гносеологических проблем и конфликтных ситуаций «под ковер», как это делали бы многие на его месте во имя сохранения пресловутого «статус-кво», а в целях создания необходимых и достаточных социально–психологических и научно-организационных условий, способствующих адекватному (в морально-этическом и интеллектуальном смыслах) разрешению углубляющихся научных и межличностных противоречий.

1. Паралогичность «диагональной процедуры» Г. Кантора

1.1. Общая критика канторовской теории множеств

 По моему мнению, основная причина тотальной самопротиворечивости классической теоретико-множественной математики кроется в несовершенстве (дисгармоничности) античной (в частности — аристотелевской) логико–математической мысли, наследником и продолжателем которой (осознанно или неосознанно) выступил Г. Кантор.

В работах (15, 16, 17) было показано, в частности, что большинство проблем канторовской теории множеств связано с недостаточной определенностью основных законов аристотелевской логики (прежде всего — закона исключенного третьего и закона тождества), делающей последнюю совершенно неадекватным инструментом мышления в вопросах, касающихся исследований бесконечности.

Напомню некоторые важнейшие моменты своей критики аристотелевской логики, а также вытекающие из нее претензии к различным составным частям и элементам канторовской теории множеств.

Неадекватность аристотелевского закона исключенного третьего (ЗИТ)

        ЗИТ был впервые сформулирован Аристотелем в «Метафизике» и сводится к следующему тезису: «… если относительно чего бы то ни было [одного] необходимо либо утверждение, либо отрицание, то невозможно, чтобы и отрицание, и утверждение были ложными, ибо ложным может быть лишь один из обоих членов противоречия» (1, т.1, с.143-144).

В трактате «Об истолковании» Аристотель впервые подверг сомнению общезначимость ЗИТ и показал невозможность его применения к будущим событиям. В частности, он утверждал, что рассмотрение вопроса о том, будет ли, например, завтра морская битва или не будет, нельзя вести с позиций истинности или ложности, поскольку ни одно из этих событий еще не относится к категории сущего, существующего (см.1, т.2, с.101-102).

Применительно к теории множеств и арифметике эту аристотелевскую идею необходимо интерпретировать следующим образом: если существует последовательность некоторых объектов (множеств, элементов, чисел), воспринимаемая как целое и включающая в себя как существующие (уже порожденные) объекты, так и объекты еще не существующие (еще не порожденные), то о такой последовательности нельзя говорить в терминах истинности или ложности (даже в случае наличия корректного закона задания последовательности), поскольку вторая часть рассматриваемой последовательности еще не относится к категории сущего, существующего (относится к будущим событиям).

Сказанное означает, что потенциальную последовательность нельзя представлять как целостность, как единый объект, поскольку объединение сущего (настоящего) и не-сущего (будущего) в рамках одного объекта не только блокирует применение ЗИТ, но и вообще не позволяет интерпретировать данный объект в терминах истинности и рассматривать его как полноценный элемент формальной системы любого рода.

К сожалению, Аристотель не развил в дальнейшем эту собственную идею и, более того, во всех других случаях (в противоречие с собой) оставался жестким сторонником потенциальной бесконечности, допускающей паралогичное смешение сущего (настоящего) и еще не — сущего (возможного будущего) в рамках одного понятия.

Причиной, по которой Аристотель мог (хотя и логически неправомерно) позволить себе оставаться на позициях потенциальной бесконечности (не впадая при этом в очевидное для всех самопротиворечие), была чрезмерная общность определения ЗИТ, не требовавшего достаточных осмысленности и определенности от взаимно противоречащих (контрадикторных) суждений (более подробно об этом см. 15).

Если бы ЗИТ был изначально сформулирован с учетом всех важнейших ограничений его универсальности (выявленных, кстати говоря, самим Аристотелем) в следующем, например, виде: из двух противоречащих суждений одно непременно истинно при условии осмысленности (формальной правильности) и достаточной определенности обоих суждений, то никто уже не смог бы себе позволить игнорировать основные логические факторы, блокирующие паралогичное использование понятия потенциальной бесконечности в математике.

Неадекватность аристотелевского закона тождества (ЗТ)

        Закон тождества (ЗТ), гласящий в аристотелевской формулировке, что «…невозможно что-либо мыслить, если не мыслят что-то одно…» (1, т.1, с.127), представляет собой единственный инструмент формальной логики, гарантирующий устойчивость и определенность мысли в процессе рассуждения.

Его значение в поиске дедуктивных истин и в гармонизации мышления вообще трудно переоценить. Что же касается его роли в упорядочении формальных систем, то она просто фундаментальна. Достаточно сказать, что все противоречия теоретико-множественной математики вообще и «диагональной процедуры», в частности, приводимые ниже, суть ошибки нарушения закона тождества.

Основная причина трудности последовательного соблюдения ЗТ в математике состоит в неточности формулировки данного закона и критериев его применения на практике .

Речь идет, главным образом, о недооценке (или прямом отрицании) Аристотелем важности (или даже возможности) точного определения объема и состава понятия.

Аристотель совершенно неправомерно, по моему мнению, считал, что если определено и устойчиво основное содержание понятия (сущность), то этого вполне достаточно для правильного мышления.

Так, он говорил: « … укажем, что изменение в количестве и изменение в качестве не одно и то же. Пусть по количеству вещи не будут постоянными, однако мы познаем их все по их форме» (1, т.1, с.137).

По существу, это прямое манифестирование принципа потенциальной бесконечности в гносеологических системах, включая формальную логику и математику.

Другими словами, касательно применения ЗТ Аристотель настаивал лишь на инвариантности основного содержания понятия в процессе рассуждения, но никак не на постоянстве его объема и состава. Постоянство (самотождественность) последних его вообще не интересовало, поскольку, чем ближе к элементной базе понятия, к индивидам, тем выше роль «чувственного познания», которое он считал низшим, изменчивым и неопределенным, то есть неосмысляемым в терминах постоянства и определенности (или недостойным подобного осмысления).

Это исчерпывающим образом объясняет вполне сочувственное отношение Аристотеля к потенциальной бесконечности (изменчивой, незавершенной, неопределенной) и активную неприязнь к бесконечности актуальной (постоянной, завершенной, определенной).

Действительно, если в процессе рассуждения можно (по Аристотелю) безболезненно отождествлять понятия с одним содержанием, но разными объемами и составами, мотивируя это имманентной неопределенностью и изменчивостью чувственного познания и не усматривая при этом нарушения ЗТ, то в актуальной (постоянной, завершенной) бесконечности просто нет никакой необходимости. Более того, она даже невозможна в силу неинтерпретируемости неопределенности в терминах постоянства и завершенности.

По Аристотелю, «законченным, или совершенным (teleion), называется то, вне чего нельзя найти хотя бы одну его часть» (1, т.1, с.169). Если же объем и состав понятия (особенно с бесконечной предметной областью) априорно объявляются Аристотелем неопределенными и изменчивыми, то есть допускающими количественные изменения элементной базы в ходе рассуждения, то понятно, что ни о каком совершенстве, «телейоне», применительно не только к бесконечным, но и к недостижимо большим конечным предметным областям окружающего мира, речь просто не идет.

Позиция Аристотеля оказывается предельно понятной, но от этого она не становится более логически правильной. Особенно — в области арифметики. Арифметика по сути своей — наука о количествах и их свойствах. Следовательно, постулировать количественную неопределенность и изменчивость натурального ряда или каких-либо его отрезков в качестве принципа математического мышления и на этом основании отождествлять одинаковые по содержанию (по определяющему признаку: «быть натуральным числом»), но различные по объему и составу числовые множества совершенно неправомерно (хотя это и постоянно делается, вслед за Аристотелем, современными сторонниками потенциалистской математики).

Логическая противоречивость позиции Аристотеля вытекает из следующих соображений. Если в процессе рассуждения правомерно (по Аристотелю) отождествлять два множественных объекта (неважно, конечных или бесконечных) с одинаковым содержанием, но разными объемами и составами (элементной базой), то необходимо признать, что допускается и различие в содержании сравниваемых объектов, поскольку (в соответствии с законом обратного отношения содержания и объема понятия) любое изменение объема и состава понятия влечет изменение его содержания (хотя бы и на нижних уровнях дифференциации). В особенности это верно, если речь идет о «содержании объема и состава понятия», то есть о качествах, специфических математических свойствах различных количеств.

Но тогда ЗТ либо вообще перестает работать, поскольку подвергается сомнению основной аристотелевский критерий самотождественности понятий — постоянство и эквивалентность содержания, либо требование постоянства содержания должно быть усечено до требования постоянства лишь какого-то общего признака или небольшой их совокупности (при игнорировании прочих элементов содержания).

Из сказанного непосредственно следует, что именно неточность аристотелевской формулировки ЗТ является основной причиной того трудно осмысляемого факта, что абсолютно противоречивое понятие потенциально бесконечного множества, представляющее собой паралогическое единство устойчивого (постоянного) содержания и изменчивого (переменного) объема и состава, до сих пор является одним из наиболее легитимных и распространенных понятий современной математики.

Разрешением данного противоречия было бы принятие ЗТ в следующей формулировке: некоторое понятие логически правомерно (может быть элементом содержательной или формальной теории), если (и только если) оно на протяжении сколь угодно длинного рассуждения сохраняет в неизменном виде свои содержание, объем и состав.

Или иначе: на протяжении сколь угодно длинного рассуждения необходимо сохранять в неизменном виде содержание, объем и состав рассматриваемого понятия.

Очевидно, что данная формулировка запрещает существование таких объектов, как «потенциальные множества» (неважно, конечные или бесконечные).

К сожалению, во времена Г. Кантора истинные причины внутренней противоречивости и паралогичной неточности логики Аристотеля осознавались в гораздо меньшей степени и не могли быть устранены в рамках самой формальной логики.

Поэтому, хотя Г. Кантор всегда публично дистанцировался от классической формальной логики, настаивая на полной идейной независимости от нее теории множеств, он на деле был зависим от первой в гораздо большей степени, чем ему, возможно, казалось.

Эта амбивалентность подхода Г. Кантора, невозможность для него ни полной реконструкции аристотелевской логики и классической математики с позиций последовательного актуализма и гармонизма, ни окончательного разрыва с ними и явилась, по моему мнению, основной причиной общей противоречивости канторовской теории множеств, ее внутренней потенциализированности.

Смешение свойств актуальной и потенциальной бесконечностей в теории множеств Г. Кантора

Прямым следствием неадекватности ЗИТ и ЗТ в аристотелевской версии является повсеместно присутствующая в канторовской теории множеств ошибка неправомерного присвоения одному объекту противоречащих признаков вследствие их актуальной неразличимости. Речь идет, главным образом, о том, что канторовские бесконечные множества (в нарушение закона тождества) являются в теоретико-множественной математике одновременно и актуальными, и потенциальными.

Хотя сам Кантор всегда утверждал в своих философских произведениях неправомерность смешения свойств актуальной и потенциальной бесконечностей, на уровне конкретных математических рассуждений (де-факто) он просто на выбор (по собственному усмотрению) пользовался противоречащими свойствами этих понятий (в основном — в смысле наделения актуальной бесконечности некоторыми свойствами потенциальной). Наиболее ясно это видно при анализе «диагональной процедуры», о чем речь пойдет ниже.

Определения актуальной и потенциальной бесконечностей и их взаимоотношений в работах Г. Кантора настолько перепутаны и взаимно противоречивы, что в целях экспликации вышеназванной ошибки паралогичного смешения свойств этих понятий мною в свое время был проведен специальный контент-анализ канторовских дефиниций и рассуждений по рассматриваемому вопросу (см. 17, с. 31-37).

В результате указанного контент–анализа были выявлены основные свойства, которыми Г. Кантор наделяет актуальную и потенциальную бесконечности.

Актуальная бесконечность («собственно бесконечное»):

— определенная бесконечность;

— постоянное, неизменчивое количество, константа;

— неизменное в себе, постоянное количество;

— величина, большая, чем любое конечное количество;

— имеющая бытие;

— все элементы а.б. множества существуют вместе;

— имеет различное количество элементов в зависимости от

 последовательности, придаваемой элементам.

Потенциальная бесконечность («несобственно бесконечное»):

— неопределенная;

— непостоянное, переменное конечное;

— не имеющая бытия;

— все элементы п.б. не могут существовать вместе;

— имеет бесконечно много значений.

 Взаимоотношения А.Б. и П.Б.:

— А.Б. и П.Б. не имеют ничего общего;

— А.Б., трансфинитное — основа П.Б.;

— П.Б. не существует и немыслимо без А.Б.;

— смешение свойств А.Б. и П.Б. ошибочно;

— П.Б. не имеет никакого бытия;

— без П.Б. нельзя обойтись;

— П.Б. — ценный инструмент, пригодный для осмысления бесконечно малых;

— попытки представить бесконечно малые актуальными бесцельны;

— канторовская теория множеств предлагается в качестве основы «для движения … друзьям потенциальной бесконечности».

В приведенных сопоставлениях легко заметить следующие серьезные логические несоответствия.

1. Если А.Б. — это определенная бесконечность, постоянное, неизменное в себе постоянное количество, константа, если все элементы а.б. множества существуют вместе и единовременно, то почему Г. Кантор одновременно и в том же отношении считает, что количество элементов а.б. множества — переменная величина, зависящая от порядка (закона) задания элементов?

2. Если П.Б. — это «несобственно бесконечное», неопределенное, непостоянное, переменное конечное, не имеющее бытия, если все элементы п.б. не могут существовать вместе, то почему Г. Кантор не выступает однозначно за устранение П.Б. из математики?

3. Если А.Б. и П.Б. не имеют ничего общего, то почему Г. Кантор считает А.Б. базой, основой, предпосылкой существования П.Б.?

4. Если П.Б. невозможно без А.Б., то почему Г. Кантор резко отрицательно относится к актуально бесконечно малым и, наоборот, всячески превозносит роль П.Б. в этой сфере? Ведь по логике, если А.Б. — основа и необходимое условие существования П.Б., то потенциально бесконечно малые должны были бы существовать только на базе актуально бесконечно малых.

5. Если, наконец, смешение свойств А.Б. и П.Б. — ошибка, то почему многие свойства А.Б. и П.Б. (особенно — в части нестабильности количества элементов, его зависимости от способа задания множества) оказываются у Кантора тождественными?

Единственным логически корректным выводом, объясняющим все перечисленные несоответствия (строго говоря, — противоречия), является тезис о том, что канторовская актуальная бесконечность — это просто особый вид потенциальной бесконечности, а именно — иерархизированная потенциальная бесконечность.

Действительно, устанавливая первое трансфинитное число, Г. Кантор не завершает множество натуральных чисел, оставляя, его, по существу, потенциальным в чистом виде, а осуществляет, так сказать, перерыв потенциальности, открывает потенциальный процесс второго порядка; за ним — третий и т.д.

Это объясняет, например, почему Г. Кантор всеми силами противился идее завершения натурального ряда, трактовке первого трансфинитного числа в качестве последнего натурального. Это объясняет и то, почему Г. Кантора не смущал факт появления «разрывов» в ряду чисел (например, между натуральными и трансфинитными числами): если стандартная потенциальная последовательность «разорвана сверху», не завершена и это нормально, то почему нельзя «разорвать» бесконечную числовую последовательность «в середине» или в какой-либо другой части, чтобы сформировать произвольно иерархизированную бесконечную потенциальную последовательность бесконечных потенциальных последовательностей?

Легко объясняется и зависимость количества элементов канторовских актуально бесконечных множеств от способа их пересчета. Если бы число элементов названных множеств действительно было константой, как (бездоказательно и противоречиво) постулирует Г. Кантор, то порядок их перечисления не имел бы никакого значения. Подобные сюжеты возможны лишь в случае потенциальных последовательностей (более подробно на конкретных примерах сказанное будет рассмотрено ниже).

Становится очевидным, почему Г. Кантор, критикуя на словах П.Б., отнюдь не был склонен полностью изгонять ее из математики. Дело не в том, что Кантор пожалел «друзей потенциальной бесконечности», а в том, что, действительно, будучи правдоподобной только на основе истинной актуальной бесконечности (не-канторовской), П.Б., в свою очередь, является основой «канторовской актуальной бесконечности», паралогично соединяющей в себе свойства П.Б. и А.Б.

Неприязнь Г. Кантора к актуально бесконечно малым также легко объяснима, если учесть факт непрерывности и точечной организации отрезка прямой, с которым он отождествил числовую ось. Псевдоактуализация бесконечно малых на манер канторовских трансфинитов и связанная с этим симметризация отношения бесконечно большое — бесконечно малое быстро выявили бы противоречивость канторовской теории актуально (де-юре) — потенциальных (де-факто) множеств и чисел (как бесконечно больших, так и бесконечно малых). Не случайно Г. Кантор не решился искать прообраз иерархии своих потенциализированных трансфинитов в геометрии.

Противоречивость канторовского принципа взаимно-однозначного соответствия

 Одним из наиболее фундаментальных оснований канторовской теории множеств является принцип взаимно-однозначного соответствия.

 Он является математическим выражением идеи, существующей, по — видимому, еще со времен античности, реанимированной Г. Галилеем и всесторонне поддержанной Г. Кантором, что различные бесконечные множества (в том числе множество и его бесконечное подмножество) могут быть поэлементно взаимно-однозначно (одно-однозначно) сопоставлены друг с другом по какому-либо закону.

 В канторовской теории множеств считается, что различные бесконечные множества, сопоставленные таким образом, являются эквивалентными, имеющими одинаковую мощность.

Я считаю, что принцип взаимно-однозначного соответствия в канторовской трактовке абсолютно противоречив и не имеет права на существование в математике.

Основное возражение против принципа взаимно-однозначного соответствия в канторовской трактовке состоит в том, что подобное соответствие имеет хотя бы видимость правомерности лишь при использовании исключительно потенциалистских методов и определений.

Действительно, стандартное для канторовской математической традиции выстраивание сдвоенного взаимно субординированного ряда:

 1 2 3 4  5  …

 2 4 6 8 10 …

или ему подобных последовательностей может трактоваться как «доказательство» существования взаимно-однозначного соответствия между сравниваемыми множествами только в условиях, когда множества натуральных и четных, натуральных и рациональных и т.д. чисел фактически потенциальны, то есть не имеют постоянного числа членов и последних элементов.

Если бы канторовский натуральный ряд был действительно, а не декларативно, актуальным, то есть был представлен всеми членами одновременно и, соответственно, заканчивался каким-либо максимальным числом (N), то вышеприведенная последовательность выглядела бы иначе:

 1 2 3 4 5   … N/ 2

 2 4 6 8 10 … N.

При такой постановке вопроса можно утверждать, что к тому времени, когда последовательность четных чисел достигнет границы натурального класса, последовательность натуральных чисел будет находиться еще на половине пути к максимальному числу (N) и, соответственно, может быть продолжена, не имея уже «оппонентов» из числа четных чисел.

Констатация потенциальности методов постановки актуально (по определению) бесконечных множеств во взаимно-однозначное соответствие друг с другом — само по себе достаточное основание для полного дезавуирования (фальсификации) принципа взаимно-однозначного соответствия в канторовской трактовке.

Однако существуют и другие (не менее веские) аргументы.

Если, например, в контексте взаимно-однозначного соответствия рассмотреть логический аспект соотношения множеств натуральных и четных чисел, то последние оказываются взаимно паралогичными понятиями, имеющими различное (и, притом, субординированное) содержание (четные числа — вид натуральных чисел) и тождественные в количественном отношении («эквивалентные») составы.

Равным образом, канторовский потенциалистский принцип взаимно-однозначного соответствия вполне противоречив и в «несчетной» предметной области. В моей работе «Общий кризис …» (17, с. 48-50) было показано, что классический пример с опусканием лучей на две параллельные прямые из точки, лежащей над верхней из них, не доказывает взаимно–однозначного соответствия «несчетных» множеств (точек на неравных отрезках прямых).

В противном случае необходимо указать некий диапазон минимальности единицы измерения (меньше отрезка прямой, но больше точки), в котором происходит монотонный переход, обеспечивающий итоговое канторовское равенство: с = 1 (с>1, действительное число), и более или менее вразумительно обосновать этот переход. Ничего подобного в канторовской (и современной) математике, очевидно, нет.

Другими словами, суммарная мощность множества минимальных объектов «нижнего» отрезка, измеренная в общей для обоих отрезков единице измерения (отрезок прямой или точка), будет в «с» раз больше, чем мощность множества минимальных объектов «верхнего» отрезка.

Ни о каком 1 – 1 соответствии в этих условиях говорить не приходится.

 

Противоречивость канторовской теории трансфинитных чисел

Проблема противоречивости канторовской теории трансфинитных чисел связана с логической некорректностью канторовских способов порождения числовых классов.

Напомню основное канторовское рассуждение на эту тему: «Ряд (I) положительных реальных целых чисел 1, 2, 3, …, v, … имеет источником своего возникновения повторное введение и объединение единиц, положен­ных в основу и рассматриваемых как равные. Число v есть выражение как определенного конечного количества подобных следующих друг за другом введений, так и соединения рассматриваемых единиц в одно це­лое. Таким образом, образование конечных реальных целых чисел осно­вывается на принципе присоединения единицы к некоему имеющемуся уже образованному числу. Я называю этот момент, который, как мы вскоре увидим, играет существенную роль и при порождении высших целых чисел, первым принципом порождения. Количество чисел v клас­са (I), которое можно образовать таким образом, бесконечно, и меж­ду ними нет вовсе наибольшего числа. Поэтому, как ни противоре­чиво было бы говорить о наибольшем числе класса (I), с другой сто­роны, нет ничего нелепого в том, чтобы вообразить себе некоторое новое число — обозначим его w, — которое должно быть выражением того, что нам дана согласно своему закону в своей естественной последова­тельности вся совокупность (I) (подобно тому как v служит выражени­ем того, что известное конечное количество единиц соединено в одно це­лое). Можно даже вообразить себе новосозданное число w пределом, к которому стремятся числа v, если понимать под этим лишь то, что w дол­жно быть первым целым числом, которое следует за всеми числами v, т.e. которое можно назвать большим, чем любое из чисел v. Допуская за вве­дением числа w следование дальнейших присоединений единицы, мы по­лучаем с помощью первого принципа порождения дальнейшие числа: w + 1, w + 2, …, w + v, …

Логическая функция, которая дала нам оба числа w и 2w, очевидно,. отлична от первого принципа порождения. Я называю ее вторым прин­ципом порождения реальных целых чисел и определяю его точнее сле­дующим образом: если задана какая-нибудь определенная последова­тельность введенных целых реальных чисел, среди которых нет наиболь­шего числа, то на основе этого второго принципа порождения создается новое число, которое мыслится как предел этих чисел, т. е. определяет­ся как первое большее всех их число» (14, с. 92).

Введя первое трансфинитное число w без предварительного завершения (полной актуализации) натурального ряда в соответствии со своим «вторым принципом порождения», Г. Кантор резко усилил противоречивость «первого («аддитивного») способа порождения».

Дело в том, что если ранее всегда можно было последовательно актуализировать все большую и большую часть множества натуральных чисел и в этих рамках непротиворечиво оперировать с ними (то есть всегда существовала логическая перспектива полной актуализации вынужденно потенциального натурального ряда), то с введением канторовского «первого трансфинитного числа» возникла принципиально новая ситуация.

Натуральный ряд потерял даже количественно неопределенную логическую перспективу полной актуализации. Между произвольно большим натуральным числом и канторовской «омегой» возникла непреодолимая логическая пропасть. Натуральный ряд оказался уже не только фактически (вследствие своей имманентной потенциальности), но и логически прерванным (незавершенным).

Между натуральными числами и «омегой» возникла логическая пустота, не заполненная ничем.

Действительно, поскольку ни одно натуральное число не способно достичь «w», а сама «омега» не способна уменьшаться, между классом натуральных чисел и «первым трансфинитным числом» существует некоторая, ничем (никакими, пусть особыми, объектами — числами) не заполненная, «логически мертвая зона», свидетельствующая о паралогичном разрыве, дискретизации той хотя и потенциальной (незавершенной), но непрерывной внутри себя числовой последовательности, которой до Кантора был ряд натуральных чисел.

Если учесть, что математическое отношение порядка базируется на понятии непрерывного (без логических разрывов) следования друг за другом логически однородных (пусть и разновеликих) единиц, то канторовская иерархия трансфинитов является логически неупорядоченной дискретно-потенциальной структурой, хотя Г. Кантор и настаивает на ее актуальности и упорядоченности.

Кроме того, становится вообще непонятным, какой класс чисел представляет «w» в канторовской трансфинитной иерархии. «Омега» не может представлять класс натуральных чисел ни как «порядковый тип», ни как «количественное число», поскольку между ней и натуральным множеством лежит логически неопределенная зона, которая либо пуста, либо заполнена какими-то особыми числами, представляющими собой нечто среднее между натуральным числом и «омегой».

 Если упомянутая «мертвая зона» пуста, то «w» лежит на числовой оси намного «дальше» класса натуральных чисел и не может его представлять в числовой иерархии, как число 100, например, не может представлять множество натуральных чисел в диапазоне (1-10) вообще и, тем более, при условии, что множество натуральных чисел в диапазоне (11-99) не определено.

 Если же «мертвая зона» заполнена какими-либо особыми числами (назовем их «маргинальными», конечно-бесконечными), то «омега» должна представлять не класс натуральных чисел, а некий объединенный класс натуральных и «маргинальных» чисел.

 В обоих случаях «омега» не является представителем класса натуральных чисел в числовой иерархии, хотя Г. Кантор и отождествляет мощность натурального множества с первым трансфинитным числом.

 Другое возражение против канторовского «первого трансфинитного числа», тесно связанное с первым, состоит в том, что оно вообще не является целым числом, хотя на этом настаивает Г. Кантор.

 Дело в том, что в арифметике необходимым условием существования какого-либо объекта в качестве целого числа является его определенность как однозначно понимаемой в количественном отношении суммы единиц числового ряда. В случае «омеги» данный признак отсутствует из-за упоминавшейся выше логической прерванности натурального ряда.

 Хотя Г. Кантор и утверждает, что «омега» имеет строго определенную мощность и «не содержит ничего шаткого, ничего неопределенного, ничего изменчивого, ничего потенциального…» (14, с.279), что его определения чисел «…одинаковы независимо от того, относятся ли они к конечным или бесконечным множествам» (14,с.279) и что «каждое трансфинитное число второго числового класса обладает согласно своему определению той же самой определенностью, той же законченностью в себе, что и каждое конечное число» (14,с.279) это опровергается его собственными рассуждениями о зависимости количества элементов актуально бесконечного множества от способа задания последовательности (см.14,с.73) и о невозможности достижения «омеги» последовательностью натуральных чисел (14,с.92).

 Итак, вследствие логической прерванности потенциального числового ряда, показанной выше, число «омега» не может быть представлено в виде суммы натуральных единиц (натуральная последовательность «не доходит» до «омеги» по определению).

 Но тогда о какой же количественной определенности и, тем более, законченности, актуальности данного числа можно говорить ?

 Можно паралогичным образом постулировать существование «первого трансфинитного числа», большего, чем все натуральные, как это делает Г. Кантор, но гарантировать его количественную определенность нельзя. Для этого нужно продемонстрировать некоторую непрерывную последовательность чисел, порядковым элементом (или завершением) которой было бы число «омега». Но как раз существование такой последовательности и отрицает Г. Кантор, поскольку, если бы «омега» имела какой-либо статус в непрерывной числовой последовательности или была бы ее завершением, она имела бы и предшествующие числа. Но, имея предшествующие числа, «омега» («первое трансфинитное число») могло бы интерпретироваться как сумма или произведение конечных чисел, что, очевидно, противоречиво.

 Другими словами, «w» — либо количественно неопределенное целое число (что лишает его статуса числа вообще), либо сумма конечных чисел (что лишает его статуса бесконечного числа). В обоих случаях приходим к противоречию с канторовской позицией.

 Если «w» — количественно неопределенное бесконечное число, не сводимое к сумме своих элементов и имеющее, соответственно, неопределенную мощность (вопреки ничем не подкрепленным канторовским заверениям в обратном), то оно не имеет права на существование в арифметике и, во всяком случае, не может выступать в качестве «кирпичика» актуальной трансфинитной числовой иерархии, поскольку прибавление каких-либо единиц к количественно неопределенному числу просто бессмысленно.

 Если «w» — конечное число (сумма или произведение натуральных чисел), то ни о какой трансфинитной иерархии актуально бесконечных чисел говорить вообще не приходится.

 Именно в этом узле противоречий и содержится, на наш взгляд, причина того, что Г. Кантор считал уже множество натуральных чисел «неконсистентным», то есть содержащим, по его мнению, внутреннее противоречие и требовал постулировать его «консистентность» на аксиоматическом уровне.

 Противоречие действительно существует, однако это не противоречие, имманентное множеству натуральных чисел как таковому, не онтологическое противоречие (оно вообще невозможно в свете вышеприведенной критики метаматематики), а противоречие паралогичного немотивированного приписывания одному и тому же целому числу («w») свойств количественной неопределенности (нетождественность сумме натуральных единиц) и количественной определенности (инвариантная определенная мощность, допускающая присоединение новых единиц) — одновременно и в том же отношении.

 Сказанное можно очень точно показать на геометрическом примере. Это крайне важно, поскольку Г. Кантор впервые в истории математики отождествил множество действительных чисел с множеством точек отрезка прямой и, соответственно, поставил определение действительного числа в полную зависимость от определения точки. Следовательно, коль скоро Г. Кантор настаивает на логической однородности натуральных, действительных и трансфинитных чисел, он должен был сделать нечто подобное и с трансфинитной иерархией.

Из истории математики известно, однако, что этого не произошло. Канторовская иерархия трансфинитных чисел так и не получила геометрической интерпретации (даже сегодня). Это обстоятельство само по себе можно рассматривать как одно из противоречий канторовской теории множеств, но нам в данном случае важнее не просто констатировать очередное противоречие этой теории, а выяснить его природу и связь с другими противоречиями, то есть узнать, почему именно канторовская иерархия трансфинитов не удостоилась геометрической интерпретации.

По Кантору, множество действительных чисел в диапазоне (0,1) равномощно множеству точек произвольного отрезка прямой и имеет большую мощность, чем актуально бесконечное множество натуральных чисел. Хотя последнее само по себе далеко не очевидно в свете вышеизложенного, допустим справедливость этого тезиса, чтобы показать противоречие другого рода.

Из совокупности наличных посылок следует, что множество натуральных чисел, как и множество действительных чисел в диапазоне (0,1), вполне можно представить геометрически и, притом, актуально, в виде множества следующих друг за другом неких актуально бесконечно малых отрезков — частей исходного отрезка прямой. При этом, очевидно, эти актуально бесконечно малые отрезки должны быть большими, чем точка, но меньшими, чем любая часть исходного отрезка, полученная конечным делением. Тогда было бы логично предположить, что канторовская «омега», как и 1 — для множества действительных чисел в диапазоне (0,1) — последний элемент данной последовательности.

Если бы множество натуральных чисел, по Кантору, было действительно актуально, в такой геометрической интерпретации не было бы ничего противоречащего канторовским арифметическим посылкам. Но мы видим, что данная геометрическая интерпретация натурального ряда существенно им противоречит.

Во-первых, Г. Кантор полностью отрицает существование актуально бесконечно малых объектов (и, в частности, актуально бесконечно малых отрезков прямой), что само по себе — непонятно, поскольку как можно отрицать существование какого бы то ни было актуального геометрического объекта, состоящего из точек, если признается сама точка?

Во-вторых, в данной интерпретации между натуральными числами и числом «омега» нет никаких логических разрывов; последний актуально бесконечно малый отрезок непосредственно следует за своими предшественниками и, соответственно, существуют такие отрезки — числа, как «w-с», «w/с» (с — натуральное число), что, по Кантору, невозможно.

Наконец, в-третьих, если, по Кантору, к «w» можно прибавлять новые единицы и «дойти» до мощностей, соответствующих множеству действительных чисел и выше, то это влечет (в рамках нашей геометрической интерпретации) неравномощность разновеликих отрезков прямой, что отрицается Кантором.

Чтобы избежать противоречия с Кантором относительно актуально бесконечно малых в качестве элементной базы геометрической модели натурального ряда, можно было бы представить себе окружность бесконечного радиуса, составленную из некоторых соединенных друг с другом единичных отрезков прямой (не актуально бесконечно малых), интерпретируемых как натуральные числа, но все равно оставались бы противоречия по пунктам 2 и 3.

Но тогда постулированный Г. Кантором логический разрыв («мертвая зона») между натуральными числами и «омегой» и количественная неопределенность последней — не случайность, не недосмотр, а жесткая закономерность и, притом, закономерность, паралогично влияющая на все прочие отношения между числовыми множествами в рамках канторовской трансфинитной иерархии.

Следовательно, геометрическая интерпретация паралогично дискретизированной, количественно неопределенной, изначально потенциалистской канторовской иерархии трансфинитов попросту невозможна, поскольку геометрические объекты (в частности — континуум) по определению непрерывны и актуальны.

Таким образом, противоречивость канторовской теории трансфинитов состоит в том, что некоторой всюду «разорванной», дискретной (логически неупорядоченной), количественно неопределенной потенциальной последовательности, состоящей из неопределенных же объектов, не имеющих никакого отношения к понятию «число», каковой на деле является канторовская иерархия трансфинитов, произвольным образом, паралогично присваиваются некоторые свойства актуальных множеств и чисел.

Уже приведенные противоречия канторовской теории множеств, прямо вытекающие из недостаточной определенности аристотелевской логики, делают ее, по моему мнению, совершенно неадекватным инструментом математического мышления и познания бесконечных объектов.

Однако полное дезавуирование данной теории в глазах математического сообщества совершенно невозможно без достаточно убедительного для большинства его членов опровержения канторовской «диагональной процедуры».

1.2. Критика «диагональной процедуры» Г. Кантора

Знаменитая канторовская «диагональная процедура» тесно связана с понятием «несчетности». «Несчетность» является наиболее значимым и «многовалентным» идейным фундаментом канторовской теории множеств.

Идея «несчетности» пронизывает все без исключения разделы теоретико-множественной математики и тесно увязана со всеми ключевыми понятиями формальных систем, разработанных на базе канторовской теории множеств.

Не случайно, поэтому, что в теории множеств существует несколько «доказательств» «несчетности» множеств различных типов с использованием «диагональной процедуры».

Множественность «доказательств» «несчетности» необходимым образом предполагает множественность опровержений данного понятия (при условии, что оно паралогично, естественно).

При этом, поскольку понятие «несчетности» связано практически со всеми ключевыми понятиями арифметики, геометрии и других математических дисциплин, «ключи и спусковые механизмы» такого опровержения могут быть совершенно различными.

Ниже приводятся несколько основных вариантов опровержения канторовской «диагональной процедуры», разработанных мною и опубликованных в различных изданиях в период с 1995 по 1997 год.

Паралогичность канторовской теоремы о «несчетности» множества всех подмножеств множества натуральных чисел

Обычно в целях доказательства несчетности множества всех подмножеств множества натуральных чисел осуществляется следующая последовательность рассуждений:

Предполагается, что существует счетная бесконечная последовательность подмножеств множества натуральных чисел (S(1), S(2), … S(n)).

Предлагается определить некоторое множество натуральных чисел вида D(L) следующим образом: произвольное натуральное число i входит в множество D(L) тогда и только тогда, когда i не содержится в S(i).

Тогда для каждого натурального числа можно установить: принадлежит оно множеству D(L) или нет.

Например, если множество S(3) представляет собой множество всех четных чисел, то число 3 не входит в S(3), а потому входит в D(L).

Далее делается предположение, что S(m) = D(L) для некоторого натурального m. Получается, что m входит в D(L) тогда и только тогда, когда m не входит в S(m) = D(L).

Это обстоятельство трактуется как противоречие, из которого вытекает, что множество D(L) = S(m) не содержится в списке S(1)… S(n). Откуда делается вывод о «несчетности» множества всех подмножеств множества натуральных чисел.

На самом деле все обстоит несколько иначе.

У нас есть две логические альтернативы:

а) Мы понимаем множество всех подмножеств множества натуральных чисел, как множество потенциальное (незавершенное).

Тогда мы не имеем искомого отождествления S(m) = D(L) и m никогда не может войти (или не войти) в D(L), так как формирование последовательностей S(1,2,..,k) и D(L) никогда не будет завершено, а число (номер) m может быть оценено с точки зрения его статуса в D(L) только после завершения формирования данного подмножества и множества подмножеств множества натуральных чисел в целом. То есть о «несчетности» потенциального (незавершенного) множества нельзя говорить в принципе.

b) Мы понимаем множество всех подмножеств множества натуральных чисел, как множество актуальное (завершенное).

Тогда к моменту начала формирования множества D(L) множество всех подмножеств множества натуральных чисел уже должно было быть сформировано в актуальном (завершенном) виде (иначе неосуществима процедура выбора элементов для D(L)) и все натуральные числа к этому моменту (до момента определения статуса числа m) уже должны быть поставлены во взаимно-однозначное соответствие с подмножествами множества натуральных чисел. Но тогда число m не может быть натуральным числом.

Мы имеем дело либо с неполным множеством натуральных чисел, либо с ненатуральным числом.

Если первое предположение корректно, но ничего не доказывает в смысле «несчетности», переводя исходное натуральное множество в разряд потенциальных множеств, то второе также корректно, но доказывает нечто противоположное тому, что хотел доказать Г. Кантор.

Действительно, если число m существует, но не является натуральным, оно может быть только трансфинитным, то есть может существовать лишь в более «мощном числовом классе», чем класс натуральных чисел.

 В этом случае оно однозначно не входит в множество D(L), которое по определению включает в себя только натуральные числа (а не трансфинитные) и это не является логическим противоречием.

         Наоборот, изначально противоречивой была попытка Г. Кантора имплантировать в ряд натуральных чисел число, явно ему не принадлежащее (неоднородное с натуральными числами), и пытаться получить на этом противоречие, якобы доказывающее «несчетность» множества всех подмножеств натуральных чисел.

Может возникнуть вопрос: каково же истинное соотношение «мощностей» натурального множества и множества его подмножеств?

 Для ответа на этот вопрос мы должны уточнить, что понимается под «мощностью», «счетностью» и «несчетностью» в свете вышеприведенной критики.

 Если говорить о суммарном количестве элементов того или иного множества, понятие «мощность» вполне применимо и в дальнейшем. Но если под «мощностью» (вслед за Кантором) понимать некоторый неопределенный инвариант, метаколичественный статус множеств, позволяющий паралогично приравнивать друг к другу совершенно различные по количеству элементов бесконечные множества (например, множества натуральных и четных чисел или множества точек, составляющих различные по длине отрезки прямой), то такая трактовка абсолютно логически ошибочна.

 То же касается и фундаментальных канторовских понятий «счетности» и «несчетности». Если под «счетностью» множества понимать наличие процедуры перечисления (задания) его элементов, то это понятие вполне корректно. Если же под «счетностью» подразумевается общая для огромного класса бесконечных множеств «мощность», некий неопределенный метаколичественный инвариант, устанавливаемый путем постановки этих множеств во «взаимно-однозначное соответствие» в канторовской трактовке, то это понятие совершенно неправомерно.

Понятие «несчетность» паралогично во всех трактовках.

Сделав эти предварительные замечания, можно ответить на вопрос о количественном соотношении натурального множества и множества его подмножеств. По моему мнению, «мощность» (или «вес») множества натуральных чисел безусловно меньше, чем «мощность» («вес») множества подмножеств множества натуральных чисел. Но это не означает, что при этом теряется «счетность» (возможность пересчета на основе некоторого закона) большего из этих множеств.

Просто множество подмножеств множества натуральных чисел может быть адекватно отображено (пересчитано) лишь классом трансфинитных чисел, включающим в себя (и существенно превышающим по количеству элементов) класс натуральных чисел.

Существенно изменяются и представления о соотношении «мощностей» («весов»), например, натурального множества и его конкретных подмножеств. В частности, в новой трактовке вес множества натуральных чисел в два раза превышает вес множества четных чисел и в s раз — вес множества натуральных чисел, кратных числу s.

Возможны и дробные соотношения. Например, — в случае отношения веса натурального множества к весу множества простых чисел. Все эти вопросы были подробно рассмотрены в работах (17 и 18).

Паралогичность канторовской теоремы о «несчетности» множества действительных чисел

Напомним вкратце основной канторовский способ доказательства тезиса о несчетности множества действительных чисел, использующий «диагональную процедуру».

Вначале Г. Кантор предполагает существование некоторой счетной (перечислимой) последовательности действительных чисел А.

Далее он начинает строить некоторое новое число К (назовем его «канторовским»), заменяя по диагонали десятичные значения чисел, входящих в А, на любые значения, отличные от тех, которые свойственны соответствующим числам из А.

Получаемое подобным образом число К квалифицируется им как отличное от всех других чисел, входящих в А.

Отсюда делается вывод, что получено противоречие с предположением о счетности последовательности А и, далее, делается заключение о ее «несчетности».

На наш взгляд, данное рассуждение ошибочно.

1. Начнем с того, что из канторовского рассуждения нельзя точно понять о какой счетной последовательности идет речь: о потенциальной (незавершенной) или актуальной (завершенной), хотя Г. Кантор неоднократно призывал своих последователей к их четкому различению.

2. Не пытаясь доподлинно установить, какую из названных двух видов счетных бесконечных последовательностей имел в виду Г. Кантор в своем доказательстве (это, по-видимому, невозможно), рассмотрим поочередно обе логические возможности.

2.1. Предположим вначале, что речь идет о потенциальной счетной бесконечной последовательности.

Тогда канторовское рассуждение неверно, поскольку потенциально бесконечная последовательность всегда пополнима и, следовательно, любое новое число рассматриваемой потенциальной последовательности может быть «канторовским».

То есть в этом случае отсутствует отличный от множества потенциально возможных элемент (новое число), который бы нарушал «счетность» потенциальной последовательности.

2.2. Предположим, далее, что речь идет об актуальной счетной бесконечной последовательности.

Тогда канторовское рассуждение также неверно, поскольку актуальная бесконечная последовательность (неважно, конструктивно перечислимая или нет) всегда завершена по определению и элемент, принадлежащий по своим свойствам данной последовательности, не может существовать вне ее, не нарушая свойства завершенности (актуальности) исходной последовательности.

Следовательно, из факта наличия элемента, не входящего в исходную актуальную (по предположению) последовательность, необходимо делать вывод, что данная последовательность к моменту своего формирования была не актуальна (не завершена в полном объеме, потенциальна), а не «несчетна».

То есть мы приходим к тому, что либо процедура канторовского доказательства логически некорректна (факт «неполноты элементной базы», «незавершенности» некоторой последовательности есть доказательство не ее «несчетности», а ее потенциальности), либо исходная последовательность изначально была потенциальна, а не актуальна.

Причем вывод Г. Кантора о «несчетности» рассматриваемой последовательности оказывается неправомерным в обоих случаях, поскольку обнаружение логической ошибки подмены тезиса (случай актуальной последовательности) есть недостаток доказательства, достаточный для его опровержения, а сведение последовательности А к потенциальной ничего не доказывает.

2.3. Предположим, наконец, что Г. Кантор, вопреки собственному определению, неявно ввел некоторый новый математический объект (назовем его «незавершенное актуально бесконечное множество»).

Тогда возражения по пп. 2.1. и 2.2. снимаются, но появляется новое: насколько правомерно в теории, основанной на принципе когерентности (самонепротиворечивости) существование объекта, и обладающего некоторым свойством, и (одновременно и в том же отношении) не обладающего им?

Ведь «незавершенное актуально бесконечное множество» есть ничто иное, как «незавершенное завершенное бесконечное множество» (мы просто подставили вместо предиката «актуальный» его смысловой заменитель — предикат «завершенный»).

Таким образом, ни в одном из трех рассмотренных случаев канторовское рассуждение не может быть признано логически корректным.

Все вышеизложенное опровержение строится на двух вполне правомерных в логическом смысле различениях: (а) на различении завершенного (актуального, имеющего в наличии все элементы) множества и множества незавершенного (потенциального, имеющего в наличии не все элементы) и (б) на различении незавершенного (потенциального) и неперечислимого («несчетного») множеств.

В чем же исходная логическая ошибка Г. Кантора? По моему мнению, она состоит в том, что он попытался обосновать несчетность (неперечислимость) некоторого объекта, доказав лишь его незавершенность к моменту начала рассмотрения, а незавершенность, в свою очередь, неправомерно отождествил с завершенностью.

То есть налицо факт двойного неправомерного отождествления разных понятий (“незавершенности” и “неперечислимости” множества — с одной стороны и “незавершенности” и “завершенности” множества — с другой).

Множественная подмена тезисов и признаков — не единственная логическая ошибка, содержащаяся в канторовской «диагональной процедуре».

Последняя противоречит, например, принятому в теории множеств «принципу свертывания», гласящему, что для каждого свойства существует множество, состоящее из всех предметов, обладающих этим свойством.

Противоречие состоит в том, что, предполагая множество действительных чисел в диапазоне (0,1) существующим (определенным признаком «быть действительным числом в диапазоне (0,1)» и, соответственно, состоящим из всех элементов), Г. Кантор строит число, которое ранее не входило в данное множество.

Это доказывает не «несчетность» исходного множества, а лишь то, что понятие «несчетности» противоречит еще и «принципу свертывания». Представим себе, что кто-то вначале допускает существование «множества яблок», а потом достает из кармана еще одно «яблоко» и утверждает, что данное «яблоко» не входило в исходное множество. Такого человека, очевидно, быстро бы уличили в нарушении принципа свертывания. Почему же логика не работает по отношению к числовым множествам?

Паралогичность механизма выбора в «диагональной процедуре»

Есть в канторовской «диагональной процедуре» и третья логическая ошибка, связанная с проблемой идентификации действительных чисел.

Рассмотрим, вначале, понятия: «определенное множество» и «неопределенное множество».

В работе «О бесконечных линейных точечных многообразиях» Г. Кантор писал: «Многообразие (совокупность, множество) элементов, принадлежащих любой сфере понятий, я называю вполне определенным, если на основе его определения и вследствие логического принципа исключенного третьего становится возможным рассматривать внутренне определенным как то, является или не является его элементом любой объект из этой сферы понятий, так и то, равны или нет друг другу два принадлежащих множеству объекта, несмотря на формальные различия в способах их задания» (14, с.50-51).

Иными словами, множество М является определенным (правомерно заданным), если тем или иным способом гарантировано существование всех его элементов и существует математически точная процедура (система процедур), позволяющая в каждом случае однозначно решать вопросы принадлежности к М произвольного элемента и различимости между собой любых двух элементов из М.

Соответственно, «неопределенным множеством» является множество, неправомерно (противоречиво) заданное, то есть множество, в котором отсутствует (или противоречиво определен) хотя бы один из следующих критериев определенности множества как математического объекта:

-гарантированность существования множества и его элементов;

-родственность, однородность элементов (правомерность принадлежности всех элементов — множеству);

-выборочная попарная различимость, идентифицируемость элементов (отсутствие хотя бы одой пары неразличимых между собой элементов).

Данная дефиниция критериев определенности (правомерной, непротиворечивой заданности) — неопределенности (неправомерной, противоречивой заданности) произвольного множества действительна не только для канторовской, но и для современной арифметики, поскольку множества с негарантированным существованием, с неродственными (неоднородными) и/или выборочно попарно неразличимыми элементами не являются числовыми множествами (и легитимными математическими объектами вообще).

Понятие «неопределенность (неправильная определенность) множества» тесно связано в одном из своих вышерассмотренных частных смыслов (речь идет о неразличимости элементов множества) с понятием «неопределенность (неправильная определенность) элемента».

Будем считать некоторый произвольный элемент множества «определенным (правильно заданным)», если имеется в наличии явный закон (процедура) его построения или закон (процедура) его полной идентификации (отличения от любого другого элемента данного множества).

Обратно, будем считать некоторый произвольный элемент множества «неопределенным (неправильно определенным)», если отсутствует явный закон его построения или закон его полной идентификации.

В целях обеспечения попарной различимости произвольно взятых элементов множества действительных чисел Г. Кантор разработал два новых механизма: процедуру выбора и метод “стеснения” произвольного иррационального числа сходящимися интервалами рациональных чисел.

Как будет показано ниже, оба названных механизма не обеспечивают однозначной идентификации произвольного иррационального числа, что противоречит тезису об определенности множества действительных чисел в рамках канторовской теории.

 Процедура одновременного бесконечного выбора, введенная Г. Кантором в математику и ставшая краеугольным камнем многих последующих формальных интерпретаций, используется в канторовской теории множеств повсеместно, а в современных формальных арифметических системах она просто задана аксиоматически.

Здесь важно, прежде всего, то обстоятельство, что без «процедуры выбора» невозможна канторовская «диагональная процедура», которая, собственно, и является процедурой неограниченного одновременного выбора бесконечного множества десятичных значений при построении подтверждающего «несчетность» множества действительных чисел иррационального числа.

Однако дело не только в этом.

Установление факта неопределенности и противоречивости использования «процедуры (аксиомы) выбора» устраняет один из краеугольных камней канторовского определения множества действительных чисел (основной инструмент идентификации действительных чисел) и делает его «неопределенным» со всеми вытекающими последствиями, то есть не имеющим права на существование в какой-либо математической системе, претендующей хотя бы на минимальную строгость своих оснований.

Что же не устраивает в «процедуре (аксиоме) выбора» применительно к канторовской арифметике действительных чисел?

Прежде всего — неопределенность условий ее применения.

Из существующих определений, описаний и прецедентов применения процедуры (аксиомы) выбора совершенно неясно, в частности, о каком выборе идет речь: о последовательном (потенциальном, незавершенном) или одновременном (актуальном, завершенном)?

Оговорюсь. Разумеется, во всех основных определениях и описаниях процедуры (аксиомы) выбора, имеющихся в канторовской и в постканторовских аксиоматических теориях множеств, речь идет об одновременном (актуальном) выборе. Однако в большинстве классических рассуждений процедура (аксиома) выбора де-факто применяется потенциально. Это и позволяет нам говорить о неопределенности условий ее применения.

Между тем, от способа применения данной процедуры многое зависит. Не имея возможности установить, какой из двух названных «типов выбора» предпочитал Г. Кантор, рассмотрим обе возможности.

Пусть в “диагональной процедуре” выбор значений “канторовского числа” в последовательности десятичных разрядов осуществляется последовательно, потенциально.

Тогда, не будучи полностью определенной во всех десятичных разрядах одновременно, рассматриваемая в качестве «канторовского числа» незавершенная последовательность цифр определяет не одно число, а целый класс действительных чисел и, следовательно, не может без нарушения закона тождества и принципа индивидуации рассматриваться как одно, отдельно взятое действительное число.

Дело в том, что “канторовское число” задается (генерируется) не арифметически (извлечением корня, например), и не алгебраически (с помощью уравнения), и не с помощью какой–либо рекуррентной зависимости, а исключительно с помощью произвольного выбора. Это значит, что последующие десятичные значения “канторовского числа” никак не связаны с предыдущими и ничем не детерминированы, кроме канторовского свободного выбора. А потому либо процесс должен быть в каком-то смысле завершенным (то есть определять все десятичные значения «канторовского числа», включая последнее), либо рассматриваемый объект — не число, а класс чисел.

Если же процесс конструирования «канторовского числа» с помощью «процедуры выбора» доводится до «последнего» (в каком-то, пусть и неопределенном в канторовской арифметике, смысле) десятичного разряда и в итоге имеется «завершенное канторовское число» (уникальное и, вместе с тем, однородное с другими действительными числами), то никто не имеет права запрещать совершенно идентичные в логическом смысле операции актуального (завершенного) выбора по отношению к другим действительным числам.

Тогда без логического противоречия можно провести нижеследующее рассуждение, доказывающее, что существование «процедуры (аксиомы) выбора» несовместимо с одновременным отрицанием существования «абсолютно малых».

Действительно, если правомерно (одновременно или последовательно, но за приемлемое конечное время, — неважно) сделать счетно бесконечное число выборов из известных десяти цифр, используемых в одноименном счислении, и получить таким образом все десятичные значения “канторовского числа” (включая последнее), то строго в соответствии с вышеизложенными посылками и фактами каждый желающий может «конструировать» по своему произволу любое действительное число.

В самом деле, в этом случае ничто в канторовской арифметике не запрещает вначале в каждом из счетно бесконечного числа десятичных разрядов после запятой «выбрать» нуль и построить, таким образом, число 0,(0).

Затем снова выбрать нули во всех разрядах, кроме «последнего», в котором выбирается цифра 1, и, следовательно, построить число 0,(0]1 и так далее.

В этом случае, действительно, имеется сверхнадежный способ полной идентификации действительных чисел, но, одновременно, уже невозможно отрицать существование актуально бесконечно малых чисел — прежде всего числа 0,(0]1, как универсального бесконечно малого числа, как величины, на которую отличаются друг от друга два рядом стоящих действительных числа.

Более того, легко можно построить следующую последовательность действительных чисел в интервале (0,1):

 0,(0) 0,(0]1 0,(0]2 … 0,(9) 1,(0).

 Это уже будет явным образом означать счетность множества действительных чисел.

 В итоге можно констатировать, что Г. Кантор (как и многие его последователи) стал употреблять некоторое новое достаточно сильное логико-математическое средство (процедуру выбора) без его надлежащего обоснования и определения.

 Если бы он попытался это сделать, выяснилось бы, что, не доводя конструируемого им в рамках «диагональной процедуры» особого «канторовского» числа до некоторого в определенном смысле (который ему, Г. Кантору, необходимо было корректно определить) «последнего» десятичного разряда, он не имеет права говорить об определенности и, в частности, уникальности данного числа (в изначальной «счетной» последовательности могут остаться числа с «диагонально неисправленными» десятичными значениями) и, тем самым, оставляет его неопределенным (лишает права на существование в качестве числа).

То есть «незавершенное» канторовское число попросту не существует в силу своей неопределенности, поскольку единственное основание его существования — канторовский свободный выбор (вообще говоря — произвол). Совершенно непонятно, какой точке числовой оси данное число соответствует, если не определены все его десятичные значения, включая «последнее».

С другой стороны, признание “завершенности” канторовского числа влечет одновременное признание существования актуально бесконечно малых и, соответственно, счетности множества действительных чисел, что как раз и отрицает Г. Кантор.

В обоих случаях возникает противоречие с канторовским утверждением о «несчетности» множества действительных чисел.

Так, если процедура выбора потенциальна (незавершаема), мы имеем не «канторовское действительное число», а «канторовский класс действительных чисел» и, соответственно, отсутствие доказательства «несчетности».

Если процедура выбора актуальна (завершаема), то мы обязаны признать существование актуально бесконечно малых действительных чисел и существование эффективной процедуры перечисления множества действительных чисел, то есть его «счетность» .

Другим способом идентификации действительных чисел, разработанным Г. Кантором, был метод “стеснения” иррациональных чисел сходящимися рациональными интервалами.

Этот метод явился основой теоремы, считающейся семантическим эквивалентом канторовской “диагональной процедуры”. Речь идет о следующей теореме:

«Если имеется просто бесконечная последовательность … неравных действительных чисел, заданная по какому-либо закону, то во всяком данном интервале (a…b) можно указать число h (а значит и бесконечно много таких чисел), которое не содержится в этой последовательности (как ее член)» (14, с.43).

Это, возможно, прозвучит несколько странно в контексте вышесказанного, но я полностью признаю справедливость данной теоремы. Более того, я считаю данное утверждение ключом к доказательству счетности множества действительных чисел.

Дело в том, что вышеприведенная теорема отчетливо показывает, что в канторовской и в современной арифметике попросту отсутствуют какие бы то ни было средства идентификации элементов множества иррациональных чисел.

Действительно, говоря, что «во всяком данном интервале (рациональном — В.П.) (a…b) можно указать число h (а значит и бесконечно много таких чисел), которое не содержится в этой последовательности (как ее член)» (14, с.43), Г. Кантор утверждает, что никакая пара из бесконечного количества действительных чисел, лежащих в названном интервале, неразличима между собой.

Следовательно, в предположении «несчетности» множества действительных чисел произвольное иррациональное число нельзя однозначно идентифицировать с помощью сходящихся рациональных интервалов.

 Аналогично, в предположении “несчетности” множества действительных чисел произвольное иррациональное число нельзя также идентифицировать с помощью сходящихся иррациональных интервалов, так как это означало бы наличие того самого закона (эффективного алгоритма) перечисления иррациональных чисел, существование которого, как раз, отрицается Г. Кантором.

 Иначе говоря, в предположении “несчетности” множества действительных чисел с помощью самых мощных математических средств и во времена Кантора, и сегодня можно, в лучшем случае, идентифицировать некоторый класс иррациональных чисел, но ни в коем случае — одно, отдельно взятое иррациональное число.

Действительно, вряд ли кто из современных математиков возьмется отыскать средство идентификации, например, “ближайшего к “p” иррационального числа с левой стороны числовой оси” (точку числовой оси или тождественную данному числу последовательность десятичных значений), если не постулировать существование актуально бесконечно малых чисел.

Этот вывод полностью совпадает с тем, который был сделан выше при опровержении “процедуры выбора”.

Поскольку же в распоряжении Г. Кантора (как и любого современного математика) иных средств идентификации иррациональных чисел нет (кроме уже рассмотренных процедуры выбора и сходящихся рациональных интервалов), мы вынуждены констатировать, что канторовское (и постканторовское) множество действительных чисел счетно.

Это означает, что дело не в “процедуре выбора”, точнее, не только в ней, а в общей неопределенности (в изложенном выше смысле) множества действительных чисел в канторовской и в современной трактовках.

То есть приходится констатировать, что канторовская и постканторовская арифметики, не имея эффективных средств идентификации, взаимного различения произвольных действительных чисел, лишаются одного из необходимых условий своего логически корректного определения и обретают статус «неопределенных» (или «некорректно определенных»).

Таким образом, теория множеств Кантора и его арифметика действительных чисел неверны в самой сути.

Противоречивым (или паралогичным – как угодно) оказывается, кроме всего прочего, ключевое понятие, на котором держится вся теоретико–множественная конструкция, — понятие «несчетности», а также основной механизм доказательства «несчетности» различных числовых множеств – «диагональная процедура».

1.3. О необходимости различения актуальной и потенциальной бесконечностей в «диагональной процедуре» Г. Кантора

Естественно, что любая концепция, претендующая на пересмотр сложившейся в какой–либо науке системы взглядов, подвергается тщательной экспертизе (часто – критике) со стороны сообщества специалистов в этой предметной области. И это нормально.

Если новая концепция способна устоять под воздействием фальсифицирующих ее контраргументов, она жизнеспособна. Если нет, она исчезает с научного горизонта, даже, по сути, не появившись «на свет».

В особенности это верно, когда речь идет о такой суперпарадигме, как теория множеств Г. Кантора.

Разрабатывая вышеприведенные опровержения этой сверхустойчивой в общественном математическом сознании (несмотря на свою известную парадоксальность) логико–математической доктрины, я готовился к шквалу нелицеприятной критики в свой адрес и был (в конечном итоге) немало удивлен тем обстоятельством, что единственным (по существу) контраргументом, который мне предъявлен научным сообществом на протяжении шести лет (1995 – 2001 годы), в течение которых публиковались и обсуждались мои антиканторовские работы, является тезис о «неразличимости» актуальной и потенциальной бесконечностей «современными математиками».

Хорошо это или плохо, не знаю (у меня в адрес своей концепции существенно больше замечаний), но отвечать надо на те претензии, которые тебе реально предъявляют, а не на те, которые ты хотел бы получить от оппонентов.

Потому попробую ответить по существу поднятой моими оппонентами (С.Н. Бычковым и Л.О. Шашкиным) проблемы.

Приведу вначале (объективности и строгости ради) все критические высказывания С.Н. Бычкова и Л.О. Шашкина в мой адрес в хронологической последовательности.

1.В своем комментарии к моему докладу на конференции по теме «Бесконечность в математике» Л.О. Шашкин писал: «В чем автор работы [Петросян В.К. О разрешимости логико-математических парадоксов с отрицанием. М., 1995.] видит недостатки данного рассуждения?

Предположив, что последовательность совпадает с множеством чисел на отрезке [0,1], мы обнаруживаем, что последовательность является “незавершенным”, потенциально бесконечным множеством, к которому должен быть добавлен еще один элемент (построенный с помощью диагональной процедуры).

С другой стороны, континуум является актуально бесконечным множеством. Попытавшись сравнить потенциально бесконечное множество с актуально бесконечным, мы приходим к противоречию. Возможно, противоречие и возникает из-за того, что сравниваются объекты разных типов […].

Развивая эту мысль, можно пойти дальше» (20, с.68).

2. В статье (2, с.29) С.Н. Бычков и Л.О. Шашкин пишут: “В работе [6] (речь идет о моей брошюре «О разрешимости …» см.16 – В.П.) критика канторовской диагональной процедуры проводится на основе противопоставления понятий актуальной и потенциальной бесконечности, последовательно различавшихся самим Г. Кантором. В современных изложениях наивной теории множеств указанное различение отходит на второй план, вследствие чего данная критика воспринимается как “внешняя” по отношению к математике”.

3. В статье (4, с.291-292) С.Н. Бычков и Л.О. Шашкин пишут: «В работах [5; 6] В.К. Петросян показал, что диагональная процедура является уязвимой с позиций проводимого самим же Г. Кантором противоположения актуальной и потенциальной бесконечностей. Будучи безупречной в чисто логическом отношении, данная аргументация не достигает в полном объеме поставленной цели по причине того, что в современной теоретико-множественной математике актуальная и потенциальная бесконечности не противопоставляются друг другу (см., например, [7 – 9]). Впрочем, это не единственный фактор, затрудняющий восприятие работ [5; 6], поскольку в них автор последовательно различает два варианта закона тождества, что также не делается в современной математике.

“Сильная версия” закона тождества (сокращенно ЗТ) формулируется В.К. Петросяном следующим образом: “некоторое понятие логически правомерно (может быть элементом содержательной или формальной теории), если (и только если) оно на протяжении сколь угодно длинного рассуждения сохраняет в неизменном виде свои содержание, объем и состав” [5, с. 43]. Вместе с тем, за пределами чистой математики, где доказательства от противного не являются существенным моментом развиваемых теорий, достаточно лишь слабой формулировки ЗТ, данной впервые Аристотелем: “…слово… что-то обозначает, и притом что-то одно” [10, с.127]. Это условие достаточно для достижения взаимопонимания между различными специалистами и обычно без специальных оговорок принимается как нечто само собою разумеющееся (в математике этому соответствует требование проверки различных определений одного понятия на эквивалентность)».

Отвечая на приведенную выше критику в мой адрес, констатирую (вначале) очевидный рост уверенности моих оппонентов в своей правоте и повышение уровня аксиологической самодостаточности их высказываний с течением времени.

В самом деле, если в 1995–м году Л.О. Шашкин считал (см. цитату 1), что “Развивая эту мысль (относительно противопоставления актуальных и потенциальных множеств – В.П.), можно пойти дальше» (20, с.68), то в 2000 – м году (см. цитату 3) ни о каком развитии «этой мысли» нет и речи.

Наоборот, указывается, что, хотя отстаиваемый С.Н. Бычковым и Л.О. Шашкиным (вполне самостоятельный и самодостаточный) подход и не является «единственно возможным» (!), но аргументация Петросяна настолько обременена абсолютно несвойственным «современной математике» противопоставлением актуальной и потенциальной бесконечностей, что «не достигает в полном объеме поставленной цели» (а, значит, не достигает ее вообще, учитывая, что «разыгрывается» только один бит информации: И-Л).

Кроме того, фиксируется, что антиканторовская аргументация Петросяна безнадежно отягощена затрудняющим ее восприятие «современными математиками» раздвоением закона тождества. Это должно означать, по всей видимости, что (по совокупности неустранимых недостатков) ее уже вряд ли стоит брать во внимание в силу полной нереанимируемости.

Сделанная констатация (несмотря на ее акцентуированно аксиологизированный характер) не означает, однако, что у меня имеются какие–либо моральные претензии к С.Н. Бычкову и Л.О. Шашкину или негативные эмоции по отношению к ним.

Напротив, на их месте (учитывая изначальную вторичность и общую слабость их ментальной и моральной позиции) я вел бы себя существенно активнее и высказывался много определеннее (особенно – в части оценок и конечных выводов). Иначе трудно было бы ожидать какого-то позитивного результата.

Свой ответ начну с рассмотрения вопроса о реальном отношении “современных математиков” к противопоставлению актуальной и потенциальной бесконечностей.

По моему мнению, утверждение, что «в современной теоретико-множественной математике актуальная и потенциальная бесконечности не противопоставляются друг другу» (4, с. 291) – весьма странное заблуждение или осознанная попытка искажения фактов.

Действительно, о каком «непротивопоставлении» названных видов бесконечности может идти речь, если вся современная математика строго поделена на два активно враждующих и полностью идеологически несовместимых друг с другом лагеря: актуалистский и потенциалистский? Попробуйте в разговоре с каким–нибудь интуиционистом или конструктивистом заикнуться об объективном существовании и необходимости постулирования в математике и легитимизирующей интерпретации актуальной бесконечности.

Всякий, кто рискнет это сделать, получит наглядный урок яростного априорного отрицания актуальной бесконечности во всех ее ипостасях и сверхмерного возвеличивания достоинств бесконечности потенциальной.

Следовательно, по-крупному эти два вида бесконечности «современными математиками» очень даже хорошо различаются.

Другое дело, что лагерь математиков-актуалистов, будучи обессиленным различного рода логическими проблемами и парадоксами, гораздо более толерантно сегодня относится к потенциальной бесконечности, чем лагерь потенциалистов – к бесконечности актуальной.

Начало этому паралогичному явлению положил еще Г. Кантор, заигрывая в своих работах с «друзьями потенциальной бесконечности» и латентно подменяя истинную актуальную бесконечность ее суррогатом – всюду прерванной иерархизированной потенциальной бесконечностью, о чем я подробно писал в работе «Общий кризис…» (см. 17, с.31-44).

Предположим теперь, что, говоря о «непротивопоставлении» актуальной и потенциальной бесконечностей, С.Н. Бычков и Л.О. Шашкин имели в виду исключительно современных математиков–актуалистов, последователей Г. Кантора любой разновидности, хотя, на мой вкус, это понятие существенно меньше по объему, чем понятие «современные математики».

В этом случае мы имеем дело с людьми, де-юре считающими себя (вслед за Г. Кантором) актуалистами, но реально (де-факто) имеющими дело с особой (наиболее внутренне противоречивой) разновидностью потенциальной бесконечности (о чем говорилось выше; см. также 17, с.31- 44).

Как подходить к опровержению подобной несамотождественной в своих основных понятиях теории, стремясь к тому, чтобы критика была «внутренней» для данной теории?

Очевидно, что только одним способом. А именно, – опровергая эту теорию вначале с последовательно актуалистских позиций, а затем – с позиций последовательно потенциалистских, не смешивая эти два вида рассуждений и опровержений.

При этом ни о какой различимости или противопоставляемости актуальной и потенциальной бесконечностей содержательно используемой в рамках одного рассуждения речи идти не должно. Так я и поступил с своих работах.

С учетом априорной семантической несамотождественности канторовской теории мною были предложены два разных (содержательно не связанных между собой) опровержения диагональной процедуры, основанные на различных исходных посылках и просто формально сосуществующие в рамках одного рассуждения (текста).

Предположим вначале, что мы имеем дело с кем-то из носителей канторовской теоретико–множественной традиции, искренне считающим канторовскую квазиактуальную бесконечность действительно актуальной бесконечностью. Тогда, если этот человек захочет убедиться в паралогичности диагональной процедуры, то для него будет необходимым и достаточным следующее рассуждение, приведенное в самой первой моей работе по антиканторовской проблематике (16).

Цитирую. В канторовской теореме о несчетности множества действительных чисел “в неявном виде используется следующее допущение:

Множество действительных чисел актуально бесконечно и представимо в виде последовательности, сформированной по какому–либо закону, но, вместе с тем, неполно, то есть допускает существование объектов, принадлежащих данному множеству по своим свойствам, но не принадлежащих ему к моменту формирования множества (в противном случае вся теорема Кантора не имела бы смысла).

В этом допущении и заключается основное логическое противоречие рассматриваемой канторовской теоремы и всей его теории множеств:

неполное актуально бесконечное множество, имеющее некий (не заданный в явном виде) закон построения, — объект очевидно противоречивый, поскольку само понятие актуальной бесконечности предполагает завершенность процесса формирования элементной базы множества (16, с.24).

Или, иначе: “предположим, …, что речь идет об актуальной счетной бесконечной последовательности. Тогда канторовское рассуждение … неверно, поскольку актуальная бесконечная последовательность (неважно, конструктивно перечислимая или нет) всегда завершена по определению и элемент, принадлежащий по своим свойствам данной последовательности, не может существовать вне ее, не нарушая свойства завершенности исходной последовательности.

Следовательно, из факта наличия элемента, не входящего в исходную актуальную (по предположению) последовательность, необходимо делать вывод, что данная последовательность была не актуальна (не завершена в полном объеме), а не “несчетна”» (18, с.49-50).

Приведя эти два тождественных по существу отрывка из своих работ, я утверждаю, что каждый из них – самодостаточное опровержение канторовской диагональной процедуры для математиков–актуалистов всех времен (включая современность) и любых ориентаций. Во всяком случае ни одного упоминания о потенциальной бесконечности в цитированных рассуждениях не было.

Речь шла исключительно о дихотомической связке завершенность – незавершенность, которая, надеюсь, сложности для менталитета «современных математиков» не представляет. Во всяком случае С.Н. Бычков и Л.О. Шашкин мне на этот счет никаких претензий не предъявляли (и более того, активно использовали данную связку в своих собственных рассуждениях, что делает их критику в мой адрес еще более странной).

Так почему же С.Н. Бычков и Л.О. Шашкин инкриминируют мне якобы существенное для опровержения «диагональной процедуры» противопоставление (и даже сравнение) актуальной и потенциальной бесконечностей в рамках одного рассуждения?

По всей видимости они (совершенно несправедливо) посчитали, что вышецитированные рассуждения, использующие понятие актуальная бесконечность, каким–то образом логически сопряжены с другими моими антиканторовскими рассуждениями (трактующими о потенциальной бесконечности) и работают только в связке с ними.

Убедимся, что никакой логической связи и взаимозависимости между этими рассуждениями нет.

Цитирую. «Данный тип множества (неполное актуально бесконечное множество – В.П.) введен Кантором, очевидно, для того, чтобы уйти от того факта, что рассматриваемая им в теореме последовательность чисел является потенциально бесконечной: последний вариант его никак не устраивал.

Действительно, если бы бесконечное по условию множество действительных чисел с(1) … с(n) было лишь потенциально бесконечным, о существовании нового числа К как «неучтенного» в исходном списке говорить бы не приходилось, поскольку им могло бы быть любое новое число из потенциально бесконечного списка. В этом случае ни о какой «несчетности» речь вести нельзя» (16, с.25).

Или в другой работе: “Предположим …, что речь идет о потенциальной счетной бесконечной последовательности.

Тогда канторовское рассуждение неверно, поскольку потенциально бесконечная последовательность всегда пополнима и, следовательно, любое новое число последовательности может быть “канторовским”. То есть в этом случае отсутствует отличный от потенциально возможных элемент (новое число), который бы нарушал “счетность” потенциальной последовательности” (17, с.49).

Хочу обратить внимание, что данное (сугубо потенциалистской по своему характеру) рассуждение в обоих приведенных случаях также самодостаточно и не нуждается в понятии “актуальная бесконечность”.

Кстати говоря, именно это обстоятельство и использовал А.А. Зенкин, когда, напрочь отбросив «актуалистскую» часть моего опровержения «за ненадобностью», полностью (позабыв указать первоисточник) заимствовал «потенциалистскую» его часть (см.10, 166), что является косвенным подтверждением моих слов. Как говорится, «не было бы счастья, да несчастье (зенкинский плагиат моих идей – В.П.) помогло».

Другими словами, потенциалистская часть моего двуединого (состоящего из двух независимых друг от друга частей) антидиагонального рассуждения предназначена для тех математиков–актуалистов, которые убедились, что канторовская актуальная бесконечность де-факто является потенциальной, и – при случае – могли бы мне возразить, что мои опровержения некорректны, поскольку — де, хотя Г. Кантор и говорил об актуальной бесконечности, но на самом деле он имел в виду бесконечность потенциальную.

Таким образом, в своих работах я просто подстраховался и дал опровержение канторовской диагональной процедуры сразу (текстуально друг за другом, подряд) в двух независимых друг от друга версиях: актуалистской и потенциалистской.

Мои же оппоненты С.Н. Бычков и Л.О. Шашкин безо всяких на то оснований (если, конечно, не считать верным тезис: «текстуально после этого, значит вследствие этого или сопряжено с этим») сочли, что перед ними целостное неделимое рассуждение и выдвинули вышецитированную претензию, что «современные математики» не противопоставляют актуальную и потенциальную бесконечности.

Последним (если сказанное, конечно, справедливо, что, вообще говоря, сомнительно) я могу только искренне посочувствовать, но их семантическая и логическая нечувствительность не имеет к моим опровержениям канторовской диагональной процедуры никакого отношения.

Таким образом, я продолжаю считать свои приведенные выше рассуждения, опровергающие канторовскую диагональную процедуру, вполне корректными и для “современных математиков” (независимо от их ориентаций и внутриконфессиональной ментальности).

Что же касается природы семантической ошибки С.Н. Бычкова и Л.О. Шашкина, содержащейся в высказанной ими критике в мой адрес, то она, по моему мнению, вызвана осуществленной ими (вольно или невольно — неважно) подменой тезиса, заключающейся в неправомерном мысленном слиянии ими в одно целое и взаимном субординировании двух различных по своей природе, хотя и следующих одно – за другим в тексте, моих рассуждений.

В частности, я никогда не только не писал (что очевидно, поскольку нижеприведенная цитата – сверхвольный пересказ моих антиканторовских рассуждений Л.О. Шашкиным), но и не мыслил ничего подобного: «Предположив, что последовательность совпадает с множеством чисел на отрезке [0,1], мы обнаруживаем, что последовательность является “незавершенным”, потенциально бесконечным множеством, к которому должен быть добавлен еще один элемент (построенный с помощью диагональной процедуры).

С другой стороны, континуум является актуально бесконечным множеством. Попытавшись сравнить потенциально бесконечное множество с актуально бесконечным, мы приходим к противоречию. Возможно, противоречие и возникает из-за того, что сравниваются объекты разных типов» (20, с.68).

К ошибочным выводам здесь приводит приписываемая мне Л.О. Шашкиным логическая необходимость «сравнить потенциально бесконечное множество с актуально бесконечным» и противопоставить их друг другу в рамках одного субординированного в своих составных частях рассуждения. Ничего подобного я на самом деле, как было показано, не делал.

Кроме того, чтобы раз–навсегда избежать (справедливых или несправедливых – неважно) упреков по поводу неправомерности противопоставления актуальных и потенциальных множеств, я в работе “Общий кризис…”(17, с.60-63) предложил специальное рассуждение (особый вариант опровержения «диагональной процедуры» и понятия «несчетности», связанный с механизмом выбора десятичных значений «канторовского числа», приведенный выше и в настоящей работе), которое в принципе не может быть неадекватно понято “современными математиками”, поскольку в качестве основного инструмента опровержения здесь была использована дихотомическая пара: число – класс чисел.

Если кто–нибудь мне на полном серьезе скажет, что «современные математики» не различают, не противопоставляют и не сравнивают – кроме прочего — также понятия: «число» и «класс чисел», то я публично – и с гордостью — признаю, что мои работы к «современной математике» не имели, не имеют и никогда не будут иметь никакого отношения.

В упомянутом (также двусоставном) рассуждении я показал, что предположение о незавершенности процесса построения канторовского числа ведет к необходимости его рассмотрения в качестве класса (множества) чисел, то есть к нарушению закона тождества, а предположение о его завершенности — к признанию счетности множества действительных чисел.

К сожалению, хотя данное опровержение канторовской теоремы о несчетности множества действительных чисел было опубликовано в моей работе «Общий кризис…» (17) еще в 1997 году, С.Н. Бычков и Л.О. Шашкин в своей статье 2000 года (4) его совершенно проигнорировали (хотя и включили вышеупомянутую мою работу в список литературы, прилагаемый к их статье) и полностью повторили (и даже акцентировали) свои уже ни в каком смысле не актуальные претензии в мой адрес.

Откуда же вообще берется совершенно неадекватный тезис о том, что актуальная неразличимость каких-либо понятий в той или иной конкретной математической теории (математическом сообществе) — достаточное основание для непринятия доказательства, основанного на корректном (в логическом и в математическом смыслах) различении этих понятий?

По моему убеждению, корни подобных неправомерных воззрений лежат в неадекватной трактовке “принципа тождества неразличимых”.

Принцип тождества неразличимых, введенный в  логико-математический оборот Г. Лейбницем, предназначался исключительно для отождествления понятий (объектов), различение которых либо невозможно (ввиду отсутствия точных критериев различения), либо несущественно для какой-либо предметной области. Это давало возможность осуществлять необходимую в науке абстрагирующую деятельность, единообразно оперировать с различными объектами, однородными в каком-либо отношении.

Однако принцип тождества неразличимых никогда не предназначался для обоснования блокировки правомерного различения объектов по существенным признакам. Если бы это было так, то древние греки могли бы, например, просто признать тождественными и не подлежащими различению такие понятия, как “рациональные числа” и “иррациональные числа” на том основании, что такое различение (хотя оно и возможно, и необходимо) “не вписывалось” в современную им математику, “не было принято” в ней изначально.

Подобное использование принципа тождества неразличимых в качестве «принципа цензуры различений» является, по моему мнению, прямой подменой понятий и совершенно недопустимо.

Дело в том, что систематическое употребление “принципа цензуры различений” означает конец науки в широком смысле, поскольку сама суть научных исследований — в непрерывном уточнении используемых понятий, в определении ранее неопределенного, в поисках существенных различий между ранее неразличимыми объектами.

Более того, как уже говорилось выше, в логике существует альтернативный принцип, совершенно самостоятельный и не менее приоритетный, чем принцип тождества неразличимых, — принцип индивидуации. Его сущность состоит в признании и постулировании того факта, что каждый объект универсума — единственный объект, то есть в отрицании существования двух неразличимых объектов.

Принцип индивидуации был сформулирован еще в античности, специально разрабатывался Фомой Аквинским и признавался большинством логиков и математиков, включая Г. Кантора и его последователей, о чем речь пойдет ниже.

Из принципа индивидуации непосредственно следует правомерность различения любых логических и математических объектов всякий раз, когда таковое корректно, необходимо и существенно для рассматриваемой предметной области.

Именно многочисленные (скорее всего — неумышленные со стороны Г. Кантора) нарушения принципа индивидуации и явились, по моему мнению, основной причиной общей противоречивости канторовской теории множеств. Тем более нет оснований делать подобную же ошибку (уже умышленно) по отношению к современной математике.

Поскольку принцип индивидуации непосредственно связан с законом тождества, самое время ответить на тезис С.Н. Бычкова и Л.О. Шашкина, что (кроме уже называвшейся ими «различимости-неразличимости» актуальных и потенциальных множеств «современными математиками») дополнительным фактором, затрудняющим восприятие моих работ является различение мною двух вариантов закона тождества, «что также не делается в современной математике» (см. 4, с.291-292).

Опять небольшая семантическая и логическая неточность.

Как безусловно известно С.Н. Бычкову и Л.О. Шашкину (и «современным математикам», надеюсь), в науке существуют (и бесспорно различаются) понятия: «внешняя критика» (критика той или иной теории с гносеологических позиций, не являющихся имманентными для данной теории) и «внутренняя критика» (критика теории с имманентных ей позиций).

Так вот, когда я говорю, что неопределенность аристотелевского закона тождества – наиболее фундаментальная причина противоречивости канторовской теории множеств (в том числе – «диагональной процедуры»), я осуществляю «внешнюю критику» последней.

А когда я осуществляю «внутреннюю» ее критику, я нигде не говорю о несовершенствах аристотелевского закона тождества, используя для этих целей совсем другие аргументы.

Почему же С.Н. Бычков и Л.О. Шашкин опять подменяют тезис и пытаются объединить (связать, субординировать друг с другом) мою «сильную» (по их терминологии) версию закона тождества и мою «внутреннюю критику» канторовской теории множеств?

Только на том основании, что и «внешняя», и «внутренняя» критика Г. Кантора у меня излагаются друг за другом (поглавно) в рамках одной книги (как до этого – разные опровержения – в одном рассуждении)? Может быть, мне нужно в таком случае по каждому канторовскому понятию и по каждому аспекту рассмотрения написать отдельную книгу?

Не слишком ли чрезмерная забота о комфортности восприятия моих скромных идей и работ «современными математиками»? Может быть, они сами разберутся во всех этих нехитрых нюансах?

И последнее. Я категорически против деления закона тождества на «слабую» и «сильную» версии.

По моему убеждению, существует неопределенная (плохо определенная) версия этого закона (аристотелевская), которой все пользуются по сей день, и достаточно хорошо определенная («сильная» по терминологии С.Н. Бычкова и Л.О. Шашкина) версия(закон строгого тождества), которая, по моему мнению, должна в ближайшее время заменить первую. Никакой же «слабой» версии закона тождества не существует, поскольку таковая, будучи сформулированной, сразу же оказывается паралогичной.

Другими словами, аристотелевский закон тождества (будучи изначально плохо определенным) имманентно содержит в себе две возможности: уточнения, повышения качества механизма мышления («сильная» версия) и его тотальной паралогизации («слабая» версия). «Слабая» версия, по моему мнению, в будущем подлежит отсечению из логики и математики.

Сейчас же оба названных начала аристотелевского закона тождества равноправны, что и ведет ко всякого рода противоречиям в различных предметных областях (подробнее об этом см. 15, с. 34 – 36).

2. Критика квазикритики «диагональной процедуры» Г. Кантора

2.1. «Диагональная процедура» Кантора и «неконсистентные множества»

Настоящий параграф представляет собой краткую экспликацию научной позиции, занимаемой мною в довольно длительной по времени (1995 – 2001 гг.) дискуссии с С.Н. Бычковым и Л.О. Шашкиным по существу разработанной ими версии опровержения «диагональной процедуры» Г. Кантора и некоторым смежным вопросам.

Немного истории. Вышеупомянутая дискуссия началась в 1996 году, вскоре после выхода в свет моей работы по парадоксам самореференции с отрицанием (16), в которой я в сжатом виде изложил свои взгляды на причины противоречивости канторовской теории множеств в целом и «диагональной процедуры» – в частности.

Соглашаясь в принципе с правомерностью моих посылок и выводов «для самого Кантора», поскольку он, по их мнению, строго различал актуальную и потенциальную бесконечности, инициаторы дискуссии С.Н. Бычков и Л.О. Шашкин, сочли, тем не менее, что «для современных математиков» моя аргументация и не необходима, и недостаточна.

Это мотивировалось тезисом, что последние «не противопоставляют» актуальную и потенциальную бесконечности. Несостоятельность этой точки зрения подробно аргументировалась выше, но, так или иначе, именно она стала исходным моментом начала разработки С.Н. Бычковым и Л.О. Шашкиным своей собственной версии опровержения канторовской «диагональной процедуры», опубликованной ими впоследствии в целом ряде работ (см. 2, 3, 4, 20).

Созданный ими вариант опровержения «диагональной процедуры» базируется на двух ключевых основаниях: идее необходимости различения «внутреннего» и «внешнего» отрицаний в современной логике, выдвинутой Д.И. Виннером (см. 5, 6), и идее противопоставления «консистентных» и «неконсистентных» множеств.

Я с самого начала считал, что предложенный С.Н. Бычковым и Л.О. Шашкиным подход неверен как в целом, так и в своих базовых идейных ингредиентах (содержит серьезные логические недостатки), и приводил свои доводы, однако названные авторы продолжали настаивать на семантической и  логико-математической корректности своей теоретической конструкции и, главное, ее хорошей воспринимаемости «современными математиками».

Публичный характер наша дискуссия впервые приобрела на общероссийской конференции по теме «Бесконечность в математике», проводившейся в сентябре 1996 года, где я делал доклад об основаниях разработанной мною гармонической (анти — или, точнее, мета — канторовской по своей направленности) арифметики, и нашла свое отражение в комментарии Л.О. Шашкина к моему выступлению, а также в моем ответе на его комментарий (см.19, 20).

До последнего времени я публиковал (если не считать вышеупомянутого краткого ответа на комментарий Л.О. Шашкина) исключительно свои собственные взгляды по основаниям гармонической логики и математики (включая критику аристотелевской логики, канторовской теории множеств и метаматематики) и не считал целесообразным делать достоянием общественности существо наших разногласий с С.Н. Бычковым и Л.О. Шашкиным по «диагональной» проблематике, поскольку речь шла (как мне долгое время казалось) лишь о небольших рабочих спорах в лагере единомышленников, однако подготовка к инновационной войне по основаниям логики и математики (в рамках которой и написана данная работа) и существенно возросшая активность моих единомышленников — оппонентов в пропаганде своих (и в критике моих) взглядов (см. работы 2, 3 и 4) несколько изменили мои планы.

Как мне теперь представляется, чем полнее будут представлены и в большей мере прояснены позиции всех сторон (потенциальных ноокомбатантов) на предварительном этапе, тем интереснее и плодотворнее пройдет проектируемая инновационная война.

Заранее оговорюсь, что в приведенной ниже моей критике объединенной позиции С.Н. Бычкова и Л.О. Шашкина по дискутируемой проблематике нет ничего личного и неприязненного (к обоим названным исследователям – моим оппонентам — я отношусь с искренним уважением и симпатией).

Речь идет лишь об агональном коллективном поиске и обосновании научной истины.

Предмет нашей дискуссии (если не считать различий во взглядах относительно «приемлемости» различения актуальной и потенциальной бесконечностей для «современных математиков», о чем говорилось выше) изначально сводился к комбинации двух сюжетных (семантических) линий:

— различение «внешнего» и «внутреннего» видов отрицания в логике и математике и связь этой идеи с логическим механизмом «диагональной процедуры» г. Кантора;

— эпистемологические статусы «консистентных» и «неконсистентных» множеств и правомерность существования «не-множеств» в канторовской математике.

Начну с анализа первой сюжетной линии, поскольку она мне представляется более простой и менее существенной, чем вторая, на которой ниже будет сделан основной акцент.

В своей недавно опубликованной работе «Критика аристотелевской теории отрицания» (см.15) я достаточно подробно проанализировал (наряду с сопутствующими вопросами) причины логической ошибочности (паралогичности) различения (искусственного квазимотивированного противопоставления) «внешнего» и «внутреннего» видов отрицания как в аристотелевской, так и в современной логиках.

Ни в ходе публичной дискуссии по этой работе, состоявшейся в марте 2001 года на семинаре по «искусственному интеллекту» в РГГУ, ни позднее, ни автор идеи логической сверхценности различения «внешнего» и «внутреннего» видов отрицания в логике Д.И. Виннер, ни поддерживавшие и использовавшие эту концепцию в своих работах по канторовской математике С.Н. Бычков и Л.О. Шашкин не нашли адекватных контраргументов против приведенных мною критических доводов в общем случае.

Аналогичным образом дело обстоит и с применением идеи правомерности и необходимости различения (противопоставления) «внешнего» и «внутреннего» видов отрицания (в силу ее имманентной паралогичности в общем случае) к канторовской теории множеств вообще и к «диагональной процедуре» – в частности.

Это позволяет сразу удалить из универсума рассмотрения все сверхответственные декларации С.Н. Бычкова и Л.О. Шашкина типа: «… умозаключение «от противного» в канторовской диагональной процедуре является с логической точки зрения некорректным!» (2, с.27), в изобилии содержащиеся в их работах, как неадекватные  логико-математической реальности, и остановиться на анализе некоторых конкретных логических ошибок, допущенных названными авторами.

Рассмотрим следующее системообразующее рассуждение С.Н. Бычкова и Л.О. Шашкина по дискутируемому вопросу:

«Проведенный … исторический анализ указал на отсутствие в работах Кантора собственно логического обоснования диагональной процедуры. Ниже будет показано, что такое обоснование вообще невозможно.

Обратимся вновь к логическому каркасу канторовского доказательства теоремы о том, что мощность множества подмножеств P(X) множества X больше мощности самого X. В нем можно выделить “позитивную часть”, относящуюся собственно к диагональной процедуре: для произвольного отображения f: X  P(X) указывается совокупность Z, которая не может принадлежать f(X). Z однозначно определяется как часть множества X, состоящая из всех элементов x, каждый из которых не принадлежит соответствующему подмножеству f(x).

Далее, пусть равенство Z = f(t) выполняется для некоторого t  X. Если t  Z, то из определения Z следует что t не принадлежит f(t) = Z. Если же t Z = f(t), тогда t, наоборот, должно входить в Z. Получающееся противоречие показывает, что предположение Z = f(t) неверно.

Отсюда, вслед за Кантором, обычно делается вывод о существовании подмножества Z, не охватываемого “пересчетом”. На самом деле из канторовской диагональной процедуры следует лишь, что построенная с ее помощью совокупность Z не является множеством вида f(x) ни для какого x из множества X. Последнее утверждение имеет вид отрицательного суждения “Z не есть множество вида A”. Теория множеств заключает отсюда, что Z в действительности является множеством, отличным от множеств вида f(x). Иными словами, из суждения, имеющего логическую форму “Z не есть множество вида A” автоматически (без какого-либо обоснования) выводится суждение иного логического типа “Z есть множество вида не-A”.

Суждения “Z не есть множество вида A” и “Z есть множество вида не-A” являются, вообще говоря, различными видами отрицания положительного суждения “Z есть множество вида A”. Если принять, что положительное суждение строится по схеме “S есть P”, где S — субъект суждения, а P — его предикат, то первый вид отрицания, сводится к схеме “S не есть P”, тогда как второй — к схеме “S есть не-P”. Первый вид отрицания в логике принято называть внешним, а второй — внутренним отрицанием.

Таким образом, Кантор, а вслед за ним и вся современная теория множеств исходят из тезиса о тождественности внешнего и внутреннего отрицания. Именно отождествление этих двух видов отрицания дает Кантору основание для гипотезы относительно консистентности конечных и трансфинитных множественностей, а также для принятия “прообразов” современных аксиом выделения и существования множества подмножеств. Беспрепятственное пронесение отрицания через связку «есть» в рассуждениях, связанных с канторовской диагональной процедурой, хорошо согласуется с изложенными Кантором в частной переписке гипотезами, что фактически исключало критическое отношение к ним с позиций формальной логики.

Вместе с тем по форме внешнее и внутреннее отрицания различны. Поэтому уместно задать вопрос, в каких случаях их отождествление является законным и попадает ли под такой случай использование указанного отождествления в рамках канторовской диагональной процедуры.

Хотя отождествление внешнего и внутреннего отрицания для традиционной формальной логики и характерно, в родо-видовой логике Аристотеля (Первая Аналитика, I, 51b 7-24) проводится их строгое различение. Это означает, что Кантор и современная теория множеств в вопросе о соотношении внешнего и внутреннего отрицания, по существу, следуют в фарватере традиционной формальной логики. Подобное некритическое принятие императивов формальной логики было бы оправданным, если бы ее законы носили общезначимый характер, т.е. не зависели бы от специфики той предметной области, в которой они применяются. Однако в своей недавней работе Д.А. Виннер показал, что присущее традиционной формальной логике отождествление внешнего и внутреннего отрицания, на самом деле, не имеет универсального (логического) характера (Виннер 1997).

Отсюда следует, что уверенность Кантора в том, что в диагональной процедуре он лишь применяет общие законы логики к частному случаю теоретико-множественных рассуждений, в действительности не имеет под собой достаточных оснований. Вывод о том, что множество подмножеств данного множества имеет мощность большую, нежели мощность самого множества, будет правомерным, если с самого начала наверняка знать, что объект Z представляет собой множество. Если же этого заранее не предполагать, то полученное Кантором противоречие следует рассматривать как свидетельство того, что Z на самом деле множеством не является» (3, с. 316-318).

Данное рассуждение, по моему мнению, неверно как по логической форме, так и по существу (даже если абстрагироваться от изначально паралогичного виннеровского тезиса о необходимости различения «внешнего» и «внутреннего» отрицания).

Из того факта, что подмножество Z очевидно отлично от других подмножеств множества натуральных чисел (хотя бы потому, что оно строится посредством «диагональной процедуры» уже после того, как все остальные подмножества множества натуральных чисел оказываются построенными), ни в какой логике (в том числе – в вигнеровский) автоматически не следует, что оно не является множеством (даже если и не предполагать заранее, что Z – множество).

Объект Z вполне, например, может быть просто множеством другой при(род)ы (имеющим особое видовое отличие), не переставая – при этом — быть множеством (экзистенциально непротиворечивым объединением некоторого количества однородных объектов).

Так, если предположить, что число t является трансфинитным (ненатуральным) числом, то оно (естественным образом) однозначно не может входить в подмножество Z в качестве натурального числа (подробнее см.17, с. 51-52). Никакой двусмысленности (равновероятности двух взаимно противоречащих альтернатив) здесь нет.

Тогда Z является вполне легитимным (несамопротиворечивым) подмножеством множества подмножеств натуральных чисел. При этом множество подмножеств натуральных чисел остается счетным, хотя и превышающим по мощности (весу) множество натуральных чисел.

Сказанное означает, что даже если бы концепция Д.И. Виннера о необходимости различения «внешнего» и «внутреннего» видов отрицания была верна, никакой логической принудительности в отнесении объекта Z к классу не-множеств не существует.

Логическую принудительность такого отнесения требуется доказать, а не декларировать, как это делают в своих работах С.Н. Бычков и Л.О. Шашкин (2,3,4), прикрываясь (в качестве квазиобоснования этого тезиса) виннеровской идеей о необходимости различения «внутреннего» и «внешнего» отрицания, которая неверна сама по себе и, кроме того, не имеет никакого отношения к рассматриваемому предмету.

Любопытно, что С.Н. Бычков и Л.О. Шашкин сами уличают Г. Кантора и его последователей в чем-то подобном: «из суждения имеющего логическую форму “Z не есть множество вида A” автоматически (без какого либо обоснования) выводится суждение иного логического типа “Z есть множество вида не — A”» (3, с. 317).

Но почему же тогда С.Н. Бычков и Л.О. Шашкин поступают точно также, то есть нисколько не утруждают себя доказательствами (логически корректными обоснованиями) собственных (альтернативных канторовским) утверждений?

Читаем: вывод о существовании подмножества Z, не охватываемого «пересчетом» «будет правомерным, если с самого начала наверняка знать, что объект Z представляет собой множество. Если же этого заранее не предполагать, то тогда полученное противоречие придется рассматривать как свидетельство того, что Z на самом деле множеством не является” (2, с.25).

Позволительно спросить: с какой стати “придется”?

Если “заранее не предполагать”, что Z – множество (хотя это само по себе, как будет показано ниже, априорная грубая паралогизация теории множеств в целом), мы имеем, как минимум, три логически равновероятные альтернативы:

(а) Z – легитимное в теоретико–множественном смысле множество, а получаемое в ходе «диагональной процедуры» противоречие имеет некую особую логическую природу, не затрагивающую статус данного объекта как множества (канторовская версия),

(б) Z – гармоническое (несамопротиворечивое) множество с актуальным составом, но с некими особыми свойствами, например, противопоставляемое транс– или не- натуральному числу t (моя версия) и, наконец,

(в) Z – самопротиворечивый объект, не-множество (бычковско-шашкинская версия).

Так на каком же основании (коль скоро С.Н. Бычков и Л.О. Шашкин не приводят каких-либо конструктивных доводов, направленных на «отсечение», дискредитацию (фальсификацию, дезавуирование) двух первых альтернатив, кроме апелляции к необходимости различения «внешнего» и «внутреннего» отрицаний, что само по себе логически несостоятельно) факт отсутствия априорного предположения (аксиомы) о том, что Z — множество, нам «придется рассматривать как свидетельство того, что Z на самом деле множеством не является” (2, с.25)?

Это, по моему мнению, – двойная логическая ошибка С.Н. Бычкова и Л.О. Шашкина,

во-первых, усмотревших и немотивированно постулировавших контрадикторность (канторовское диагональное множество – не-множество) там, где существует (в лучшем случае) всего лишь контрарность (гармоническое множество — канторовское диагональное множество – не-множество) и,

во-вторых, необоснованно (произвольно) осуществивших выбор третьей альтернативы (Z – не–множество) без необходимой и достаточной дискредитации двух первых, не говоря уже об отсутствии прямого доказательства необходимости данного выбора.

Отсюда следует, как и анонсировалось выше, что виннеровские работы по проблеме различимости «внутреннего» и «внешнего» отрицаний, будучи сами по себе логически ошибочными (см.15), и не имея никакого семантического отношения к версии опровержения канторовской «диагональной процедуры», разработанной и отстаиваемой С.Н. Бычковым и Л.О. Шашкиным, выполняли в этой теоретической конструкции лишь роль некоего «идеологического прикрытия», «семантического флера», скрывающего от математического сообщества (а возможно — и от самих авторов) факт абсолютной немотивированности, необоснованности (строго говоря — ошибочности) однозначного отнесения в рассматриваемом случае подмножества Z к классу не-множеств.

Рассмотрим теперь вопрос о некорректности применения в работах С.Н. Бычкова и Л.О. Шашкина «идеологического прикрытия» (квазиобоснования) другого рода: концепции «консистентных» и «неконсистентных» множеств Г. Кантора.

Если концепция Д.И. Виннера о необходимости различения «внутреннего» и «внешнего» отрицаний играет в теоретической конструкции С.Н. Бычкова и Л.О. Шашкина роль своего рода «демонстрационного механизма», призванного — с той или иной степенью правдоподобия — мотивировать отнесение (принадлежность) подмножества Z к классу не-множеств, то идеологема Г. Кантора о существовании и различимости «консистентных» и «неконсистентных» множеств задействована в рассматриваемой концепции в совсем ином (гораздо более фундаментальном) качестве.

Понятие «неконсистентного» множества (после некоторой полностью искажающей его суть статусной трансформации, о которой речь пойдет ниже) выполняет в трудах названных авторов функцию квазиобоснования правомерности (легитимности) существования в (канторовской) математике класса объектов — не-множеств вообще, что необходимо С.Н. Бычкову и Л.О. Шашкину для обеспечения логической корректности вышеприведенного их вывода о не-принадлежности объекта Z к классу «множеств».

Начну с экспликации существа вопроса, приводя в дальнейшем, по мере необходимости, подтверждающие мои доводы цитаты из работ С.Н. Бычкова, Л.О. Шашкина и Г. Кантора.

Суть дела, если абстрагироваться от несущественных семантических нюансов, сводится к следующему.

Чтобы обосновать свою версию опровержения канторовской «диагональной процедуры», С.Н. Бычков и Л.О. Шашкин идут, мягко говоря, на весьма рискованный (с точки зрения нормальной – непаранепротиворечивой – логики) шаг: легитимизируют существование в теоретико-множественной математике самопротиворечивых по определению объектов (не-множеств) и неправомерно приписывают эти воззрения Г. Кантору, неадекватно используя его идею о необходимости различения «консистентных» и «неконсистентных» множеств в качестве «идеологического прикрытия» этой акции (хотя последний никогда не соглашался признавать самопротиворечивые множества в качестве легитимных объектов своей теории).

Следствием такой своеобразной «реконструкции» теории множеств явилась видимость того, что предлагаемая С.Н. Бычковым и Л.О. Шашкиным критика канторовской «диагональной процедуры» имеет «внутренний» характер, то есть правомерна как для самого Г. Кантора, так и для современной математики.

На самом деле это не так.

Более того. Будучи весьма последовательными и твердыми в своем стремлении во что бы то ни стало отстоять собственную версию опровержения канторовской «диагональной процедуры», С.Н. Бычков и Л.О. Шашкин все эти годы (1996-2001) не осознавали и осознают до сих пор, по всей видимости, что вместе с «грязной водичкой» несчетности и «квазидиагональности» в теории множеств они в своих рассуждениях «выплескивают и ребеночка» — теорию множеств как таковую (не говоря уже о формальной логике с ее законом непротиворечия).

Для демонстрации справедливости сказанного начнем с фиксации факта неправомерности трактовки представлений С.Н. Бычкова и Л.О. Шашкина о не-множествах (не-совокупностях, «неконсистентных множествах», самопротиворечивых объектах и т.д.) как «внутренних» для теории множеств в любой версии (канторовской, современной и т.п.).

 Решающим аргументом здесь является тот факт, что классическая теория множеств изначально была построена Г. Кантором на когерентой концепции истины, отстаивающей самонепротиворечивость как верховный критерий логической и математической истинности произвольной формальной теории и интегральный критерий существования (легитимности) любого объекта этой теории.

Это означает, что постулирование (или хотя бы допущение) правомерности существования не-множеств (самопротиворечивых совокупностей) как легитимных объектов какой бы то ни было формальной теории, — на чем настаивают в своих работах С.Н. Бычков и Л.О. Шашкин — сразу же (автоматически) делает любые их рассуждения, связанные с «диагональной процедурой» или каким–либо еще методическим приемом из арсенала Г. Кантора, более чем «внешними» по отношению к канторовской теории множеств в целом и ее современным интерпретациям, а также по отношению к любым другим теоретическим конструкциям, основанным на концепции когерентности (самонепротиворечивости) истины.

Другими словами, единственная логико-методологическая среда, в рамках которой рассматриваемые рассуждения С.Н. Бычкова и Л.О. Шашкина могли бы быть правомерными – это математика, основанная на идеях паранепротиворечивой логики.

Конструирование паранепротиворечивой (по своим изначальным интенциям и определениям) теоретико–множественной математики – дело, безусловно, не запрещенное (хотя, по моему мнению, и неблагодарное), но причем тут теория множеств Г. Кантора, построенная на принципе когерентности (априорной аксиоматически детерминированной непротиворечивости всех своих базовых объектов)?

Можно ли в подобной гносеологической ситуации апеллировать к канторовскому понятию «неконсистентного множества», близкого по смыслу к понятию «не-множество», как это делают С.Н. Бычков и Л.О. Шашкин, в целях обоснования легитимности понятия «не-множество» и «внутреннего» характера осуществляемой ими критики «диагональной процедуры»?

По моему мнению, безусловно, нет.

Где же тогда проходит логико-семантическая грань между представлениями С.Н. Бычкова и Л.О. Шашкина о допустимости существования априорно актуально самопротиворечивых не-множеств и/или потенциально самопротиворечивых совокупностей и воззрениями Г. Кантора на «неконсистентные множества»?

Для ответа на этот вопрос обратимся к определениям различных теоретико-множественных объектов, предлагаемым названными исследователями.

Приведем вначале определение не-множества, данное С.Н. Бычковым и Л.О. Шашкиным. По мнению последних, «если относительно некоторого элемента x можно доказать два противоположных утверждения о принадлежности и, одновременно, непринадлежности его совокупности X, то подобная совокупность заведомо не может являться множеством.

Резюмируя, «род» понятия «множество» – это разновидность более общего понятия «совокупность», для членов которой не установлен факт одновременной принадлежности и непринадлежности им какого-то индивида» (2, с.27).

Или, иначе: «…противоречие имеет вид «Z не является множеством», поскольку нашелся такой x, чтоx  Z и x  Z» (2, с.27). 

Другими словами, в основании теоретико–множественной математики (по версии С.Н. Бычкова и Л.О. Шашкина) лежит некоторое всеобъемлющее понятие «совокупность», объем которого делится на два вторичных понятия: «множество» (непротиворечивая совокупность) и «не-множество» (самопротиворечивая совокупность).

При этом оба названных понятия в рамках излагаемой версии вполне легитимны. Иначе по какой причине мы не должны в стандартных теоретико–множественных рассуждениях «заранее» предполагать (как того требуют С.Н. Бычков и Л.О. Шашкин), что тот или иной объект – множество?

Но тогда вообще все рассуждения о “диагональной процедуре” и прочей традиционной теоретико-множественной проблематике автоматически становятся абсолютно бессмысленными, поскольку оперирование даже потенциально самопротиворечивыми объектами (не говоря уже об объектах актуально самопротиворечивых) несовместимо с принципом когерентности и формальной логикой в целом — в любых ее версиях, кроме васильевской.

Не так у Кантора. Сами С.Н. Бычков и Л.О. Шашкин совершенно справедливо констатируют в своих работах (приводя соответствующие цитаты), что Г. Кантор неоднократно в своих работах и письмах ставил вопрос о необходимости аксиоматического закрепления положения о «консистентности» (самонепротиворечивости) подавляющего большинства объектов своей теории множеств. К сожалению, верных выводов из этих констатаций ими сделано не было.

Что касается Г. Кантора, то он, не имея возможности доказать «консистентность» важнейших для математики множеств, хорошо понимал, тем не менее, что признание хотя бы одного арифметически корректного (легитимного) и значимого класса множеств актуально или даже потенциально «неконсистентным» (самопротиворечивым) по своей природе (кроме абсолютных многообразий: «множества всех множеств», «множества всего мыслимого» и т.д., которые имеют к математике весьма отдаленное отношение и, будучи полной ментальной экзотикой, находятся, так сказать, «за гранью периферии математического сознания») влечет немедленное уничтожение всей теории множеств как базового инструмента математического мышления в силу возникновения явного противоречия принципу когерентности.

Приведем два наиболее показательных в указанном выше смысле высказывания Г. Кантора по рассматриваемому вопросу, содержащихся в его известных письмах к Р. Дедекинду.

1. Кантор — Дедекинду 28.7.1899:

«Если мы исходим из понятия определенной множественности (системы, совокупности) вещей, то мне представляется необходимым различать множественности двоякого рода (речь идет об определенных множественностях).

А именно множественность может обладать тем свойством, что допущение “совместного бытия” всех ее элементов приводит к противоречию, так что эту множественность нельзя рассматривать как единство, как некую “завершенную вещь”. Такие множественности я называю абсолютно бесконечными или неконсистентны­ми множественностями.

Как легко убедиться, “совокупность всего мыслимого”, например, является подобной множественностью; далее появятся и другие примеры.

Напротив, если совокупность элементов некоторой множественности можно без противоречия мыслить как совокупность “совместно существующих” элементов, так что возможно их объединение в “единую вещь”, то я называю ее консистентной совокупностью или “множеством” (на французском и итальянском языках это понятие подходяще выражается словами “ensemble” и “insieme”)» (14, c. 363-364).

2. Кантор — Дедекинду 28.8.1899:

 «… Приходится спросить: откуда же я знаю, что вполне упорядоченные множественности или последовательности, которым я приписываю кардинальные числа … действительно являются «множествами» в объясненном смысле этого слова, т.е. «консистентными множественностями?» Нельзя ли вообразить, что «неконсистентными» окажутся уже эти множественности и что противоречивость предположения о «совместном бытии всех их элементов» осталась еще незамеченной ? Мой ответ на это состоит в том, что указанный вопрос относится и к конечным множественностям и что точное размышление приводит к такому результату: даже для конечных множественностей нельзя осуществить «доказательство» их «консистентности». Другими словами, факт «консистентности» конечных множественностей является простой недоказуемой истиной – это «аксиома арифметики» (в старом смысле слова). Равным образом «консистентность» множественностей, которым я приписываю алефы в качестве кардинальных чисел, является «аксиомой обобщенной трансфинитной арифметики»». (14, c. 367-368).

Коротко и ясно. Ни о какой легитимности самопротиворечивых «неконсистентных множеств» (или «не-множеств» по С.Н. Бычкову и Л.О. Шашкину) у Кантора речи нет.

Все объекты канторовской теории (кроме «абсолютно бесконечных» и им подобных неформализованных суперобъектов) «консистентны» (непротиворечивы) в силу сформулированных и утвержденных Г. Кантором аксиом, полностью соответствующих изначально принятой им в качестве идейного базиса когерентной концепции истины (на что он, как создатель теории своего имени, имел полное право).

Поэтому любые попытки усомниться в логическом статусе («консистентности», «непротиворечивости») получаемых в рамках «диагональной процедуры» объектов (рассматривать их как «неконсистентные множества», «не-множества», «самопротиворечивые совокупности» и т.д., и т.п.) означают только одно: «внешний» характер критики канторовской теории множеств. Что и требовалось установить.

Другими словами, если бычковско – шашкинское «не – множество» признается в качестве легитимного объекта канторовской теории множеств, то это – автоматический конец существования данной теории, базирующейся на принципе когерентности (и до критического анализа «диагональной процедуры» дело вообще не доходит в силу отсутствия предмета анализа). Кроме того, подобное признание прямо противоречит канторовским аксиомам о «консистентности» конечных и большинства видов актуально бесконечных множеств и имеет однозначно «внешний» характер по отношению к теоретико – множественной математике.

Если же «не – множество» не признается в качестве легитимного объекта канторовской теории множеств, то ни о каком использовании данного понятия в критике «диагональной процедуры» говорить не приходится, поскольку в этом случае нельзя будет не предполагать заранее, что Z – множество.

В обоих случаях версия опровержения канторовской «диагональной процедуры», предложенная С.Н. Бычковым и Л.О. Шашкиным, основанная на идее легитимности понятия «не — множество» оказывается несостоятельной.

Резюме

 Вышеприведенный анализ показал, что оба базовых идейных компонента концепции опровержения канторовской «диагональной процедуры», предложенной С.Н. Бычковым и Л.О. Шашкиным в своих работах (2, 3, 4, 20), не выдерживают критики по следующим основаниям:

1. Постулирование существования «не – множеств» («самопротиворечивых совокупностей») в качестве легитимных объектов теоретико – множественной математики однозначно противоречит аксиомам Г. Кантора о «консистентности» всех видов множеств (кроме «абсолютных») и, главное, принципу когерентности (самонепротиворечивости) истины.

Это обстоятельство с необходимостью делает «антидиагональную» аргументацию С.Н. Бычкова и Л.О. Шашкина «внешней» по отношению к канторовской и современной теориям множеств.

2. Если абстрагироваться от возражения по пункту 1 настоящего резюме, и допустить правомерность использования паранепротиворечивой логики и некогерентной концепции истины при анализе «диагональной процедуры», то присвоение объекту Z, конструируемому в ходе «диагональной процедуры», статуса «не — множества» является ничем (кроме субъективного предпочтения авторов) не мотивированным (произвольным, внелогическим) выбором из трех возможных альтернатив, приведенных выше.

Это означает, что вышеэксплицированные «антидиагональные» построения С.Н. Бычкова и Л.О. Шашкина к собственно канторовской теории множеств никакого касательства не имеют и могли бы быть справедливыми только в некоторой сверхобщей логике, которая бы проявляла терпимость не только к «паранепротиворечивым», но и к «парадедуктивным» рассуждениям.

      

   2.2. Плагиат с паралогизацией как метод «научной контрреволюции в математике»

19.07.2000 г. в «Независимой газете» была опубликована статья А.А. Зенкина «Научная контрреволюция в математике».

Факт сам по себе удивительный, поскольку и революции, и контрреволюции в математике обычно совершаются, во–первых, очень–очень редко и, во–вторых, очень–очень тихо – без привлечения широкой общественности и броского пиара.

Еще большее удивление вызвали у членов сообщества философов математики, людей, профессионально занимающихся проблематикой оснований теории множеств, суперамбициозные менторские высказывания А.А. Зенкина, сделанные им в названной статье.

Приведу лишь несколько наиболее характерных образчиков:

1. «Как известно, еще великий Аристотель предостерегал: «Infinitum Actu Non Datur», что эквивалентно российскому утверждению: «Понятие актуальной бесконечности является внутренне противоречивым», а потому его использование в науке — недопустимо. Как показала весьма продолжительная, почти 2200-летняя историческая практика, в вопросах «высшего логического и философского порядка» Аристотелю не только можно, но и нужно верить!

Однако в самом конце XIX века нашлись некоторые, довольно известные в то время, математики, которые приняли приведенное выше почти дословно и с математической точки зрения — вопиюще наивное рассуждение Георга Кантора (в котором «желаемого» гораздо больше, чем «действительного») за строгое математическое «доказательство» правомерности введения в математику актуально-бесконечных множеств. Начался триумфальный процесс «всеобщей актуализации» бесконечных множеств в математике».

2. «Доказательство знаменитой теоремы Кантора, на которой построена вся современная метаматематика и аксиоматическая теория множеств, занимает всего… 10 строчек! Я не оговорился, всего десять строчек, написанных на языке полубытовой квазилогики позапрошлого, XIX века!»

3. «Если не углубляться в социально-психологические «дебри» этого процесса, то… философы однажды решили, что теорема Кантора — это профессиональная математика, то есть зона для философии запретная; 99% реально работающих математиков, то есть таких математиков, чьи достижения в конечном счете проверяются числом или практикой, однажды решили, что теорема Кантора — это метаматематика, и с тех пор в эту область — «ни ногой». Так что математика получила то, что имеет, — теорему Кантора плюс «сплошная бурбакизация» всякого здравого смысла как науки, так и математического образования …».

4. «Однако если теорема Кантора неверна, то в чем же причина такой поразительной живучести этого «патологического казуса»? Тем более что в метаматематику, как правило, «идут» интеллектуалы, имеющие IQ заведомо выше среднего уровня? Дело в том, что 10 строчек канторовского доказательства содержат 7 (семь!) очень нетривиальных логических ошибок. Я уверен, что если бы таких ошибок было одна-две, то скорее всего нам бы не пришлось сегодня и обсуждать проблему «бурбакизма». Но когда на «площади» в десять строчек «размещаются» семь ошибок, переплетенных в немыслимый клубок почти правдоподобных рассуждений, — нет ничего удивительного в том, что эта квазилогическая шарада оставалась неразгаданной более ста лет».

5. «В чем же, однако, заключается смысл грядущей контрреволюции в математике?

Любая революция, как мы все хорошо знаем, разрушает то, что было создано до нее. Следовательно, контрреволюция призвана восстановить лучшее из того, что не успела разрушить последняя революция. Революция, связанная с внедрением трансфинитных идей Георга Кантора в сознание метаматематиков, не смогла разрушить здравого смысла классической математики и классической логики Аристотеля. Вот их и надлежит восстановить в освященном тысячелетней практикой праве служить прочным основанием для стабильного развития науки и на ней основанной педагогической и практической деятельности человечества. Только и всего».

6. «Конечно, ни один метаматематик, по определению, просто не допустит подобного «покушения на устои» и не глядя отправит любую работу, опровергающую теорему Кантора, в корзину. Тем не менее мои основные результаты опубликованы, причем не в самых заурядных научных журналах. Математикам (метаматематиков просят не беспокоиться — у них было более ста лет, чтобы в этом разобраться) я рекомендую мою статью «Принцип разделения времени и анализ одного класса квазифинитных правдоподобных рассуждений (на примере теоремы Кантора о несчетности)», опубликованную в журнале «Доклады РАН» (1997 год, том 356, номер 6, стр. 733-735). А философам — более популярное, но не менее строгое изложение в работе «Ошибка Георга Кантора», опубликованной в журнале «Вопросы философии» (2000 год, номер 2, стр. 45-48). Все вопросы и замечания можно направлять по электронному адресу: alexzen@com2com.ru».

Кто же этот «Титан Мысли», претендующий (судя по размаху пиаровской кампании) еще и на статус «Отца (или, на худой конец, Гуру) русской философско-метаматематической демократии» и позволяющий себе называть теорему Г. Кантора о несчетности «вопиюще наивным рассуждением … (в котором «желаемого» гораздо больше, чем «действительного»)», десятью строчками, написанными «на языке полубытовой квазилогики позапрошлого, XIX века!» и содержащими «7 (семь!) очень нетривиальных логических ошибок»?

Что Сотворил этот новый Светоч философии математики?

И куда Он ведет свою философско–метаматематическую паству?

Начну с ответа на последний вопрос.

Философско–метаматематическая программа А.А. Зенкина, судя по цитате 5, проста до чрезвычайности и сводится, по сути, к двум базовым слоганам: «Долой две тысячи лет развития оснований математики!» и «Назад к Аристотелю!».

Нечто подобное уже правда было в пьесе А.Н. Островского «На всякого мудреца довольно простоты», где один из персонажей сочинил «Прожект о вреде всех и всяческих прожектов» (так, кажется, назывался этот супертрактат всех времен и народов), но то – литературный жанр, а здесь – философско–метаматематический.

Как говорится, «почувствуйте разницу»!

Вообще же ощущение «де жа вю» и присутствия духа классических персонажей (в особенности – незабвенного гоголевского Хлестакова) будет устойчиво держаться на протяжении всего нижеследующего анализа, так что предыдущий абзац был написан не случайно.

Теперь – о том, что Сотворил наш новый «Кумир».

В цитате 6 А.А. Зенкин поскромничал и указал лишь малую толику своих выдающихся (во многих отношениях) философско–метаматематических Трудов. И даже в нижеприводимом моем списке цитированной литературы указаны далеко не все его Произведения по указанной проблематике.

Но «необъятного» (то бишь «актуально бесконечного»), как учит досточтимый А.А. Зенкин, «не объять» (наш «Кумир» чрезвычайно плодовит), а посему ограничусь анализом лишь некоторых наиболее впечатляющих его Творений.

 Анализ я намерен осуществить в двух плоскостях: (а) в аспекте выявления степени оригинальности основных идей, содержащихся в работах А.А. Зенкина, и (б) в аспекте оценки научной состоятельности его воззрений относительно вышеанонсированной предметной области .

Заранее оговорюсь, что никогда бы не стал заниматься подобной неблагодарной во всех смыслах работой, если бы не прямая просьба некоторых уважаемых мною членов сообщества философов математики, которые уже немного подустали от зенкинского пустого самолюбования и – в конце концов — не на шутку озаботились вопросами реанимации серьезно девальвированной А.А. Зенкиным научной этики.

Итак, оценим вначале степень оригинальности базовых идей, содержащихся в работах А.А. Зенкина по вопросам философии математики.

Я утверждаю, что, как минимум, две ключевые идеи, многократно (в разных контекстах) использованные А.А. Зенкиным в своих статьях, были прямо заимствованы им из безусловно известных ему моих работ без упоминания источника этих идей.

Другими словами, речь идет не о приоритетах даже, а о прямом идейном плагиате. Как известно, слово плагиат, происходящее от лат. рlagio – похищаю, означает умышленное присвоение авторства (полностью или частично) на чужое произведение или идею в любой сфере духовного производства.

Для установления факта плагиата достаточно фиксации семантического тождества нескольких ключевых признаков заимствованной оригинальной идеи в публикации — первоисточнике и в пиратской (плагиаторской) работе.

Для доказательства своего тезиса по первому случаю зенкинского плагиата (более трудному в смысле подтверждения, чем второй), приведу следующие факты.

В сентябре 1995 года на конференции по бесконечности в математике (на которой в числе прочих участников присутствовал и А.А. Зенкин) мною был сделан доклад об «Основных положениях концепции оснований гармонической арифметики» (за несколько месяцев до доклада в редакционный совет конференции для последующей публикации была представлена одноименная статья), в котором я впервые представил научному сообществу аксиоматическую арифметическую систему, отличающуюся от имеющихся в истории математики аналогов следующими основными признаками:

(1) наличие актуально бесконечно большого (А) и актуально бесконечно малого (а) чисел в составе каждого из актуально бесконечного множества числовых классов, связанных между собой отношениями: а * А = 1; а = 1/А; А = 1/а;

(2) счетность всех актуально бесконечных числовых классов, входящих в гармоническую арифметическую систему;

(3) наличие актуально бесконечной произвольно наращиваемой иерархии счетных актуально бесконечных числовых классов.

Никаких работ на тему о счетных трансфинитных иерархиях к этому моменту А.А. Зенкиным в редсовет конференции представлено не было (и никогда ранее не публиковалось, хотя он и утверждает постоянно, что занимается этой проблематикой уже 30 лет).

Его доклад на сентябрьской конференции 1995 года был посвящен некоему принципу супериндукции и попытке убедить математическое сообщество, что отныне математические доказательства нужно принимать на веру (!).

По–видимому, А.А. Зенкин уже тогда готовил почву для своей грядущей пиаровской контрреволюции.

Здесь необходимо пояснить, что в российском сообществе философов математики в последние годы осуществлялся и осуществляется по сей день двухгодичный формат конференций, когда по итогам конференций двух лет (1995 и 1996 годов, например) выпускался один сборник научных трудов, содержащий не только тексты докладов участников первой конференции, но и комментарии к ним, сделанные оппонентами на второй конференции.

На сентябрьской конференции 1996 года (ровно через год после моего доклада) А.А. Зенкин делает (вопреки принятому формату) новый доклад по теме: «Когнитивная визуализация некоторых трансфинитных объектов классической (канторовской) теории множеств», в котором выстраивает некую теоретико–числовую конструкцию, которая(по странному стечению обстоятельств), обладает теми же основными свойствами, что и моя иерархия счетных актуально бесконечных числовых классов в гармонической арифметике.

Этот факт был замечен и мной, и многими участниками той конференции, однако этому тогда никто не придал особого значения. Я – поскольку в конструкции А.А. Зенкина моя идея была паралогизирована почти до неузнаваемости (об этом – ниже), другие участники конференции – поскольку эта проблематика была для всех полной экзотикой и поскольку никто не мог предположить тогда, какой размах примут зенкинские заимствования моих идей в дальнейшем.

Так или иначе, но оба доклада были опубликованы в одном сборнике (по итогам двух конференций) и факт плагиата в данном случае можно официально зафиксировать, лишь детально восстанавливая хронологию событий и собирая письменные свидетельские показания участников обеих конференций, на чем я, впрочем, не настаиваю, поскольку преследовать А.А. Зенкина в уголовном плане не собираюсь, а члены российского сообщества философов математики и так в курсе всех этих событий.

Чтобы закончить с первым эпизодом зенкинского плагиата, скажу лишь, что «испеченный» им из смеси моих и канторовских идей «пирог» оказался абсолютно «несъедобным» и вполне паралогичным.

Дело в том, что, устанавливая на аксиоматическом уровне соотношения: а * А = 1, а = 1/А и А = 1/а между актуально бесконечно большим (А) и актуально бесконечно малым (а) числами в составе актуально бесконечного числового класса, я исходил из своей собственной теоретико–множественной и арифметической концепции, никакого отношения не имеющей к теории множеств Г. Кантора («внешней» по отношению к ней), хотя и созданной в целях преодоления противоречий последней.

Что же касается А.А. Зенкина, то он «ничтоже сумняшеся» (несмотря на декларированные им 30 лет непрерывных раздумий) пожелал применить мои идеи непосредственно к канторовской теории.

При этом он то ли забыл почитать Г. Кантора, то ли возомнил, что после его первого доклада на конференции математики действительно будут принимать любые – самые бредовые — «доказательства» на веру, то ли безоглядно уверовал в гипнотическую силу «метода когнитивной визуализации», но так или иначе он в своей статье очень бодро установил «взаимно–однозначное соответствие» между множеством «двоичных дробей отрезка [0,1]» и рядом целых чисел от 1 – до канторовской «омеги» (w).

Данный процесс был назван А.А. Зенкиным «когнитивной визуализацией проблемы континуума» (см. 7, с. 87), а результат этого процесса был представлен общественности как «когнитивный образ зеркального 1-1 соответствия между континуальным множеством всех действительных чисел отрезка [0,1] … и «алеф»-атическим множеством всех целых чисел, не превосходящих канторовского наименьшего трансфинитного числа w…» (7, с. 87).

По моему мнению, уже это зенкинское «1-1 соответствие» способно вызвать гомерический хохот у любого студента–первокурсника, хотя бы поверхностно знакомого с теорией множеств (множество всех действительных чисел отрезка [0,1] по Г. Кантору несчетно, а множество всех целых чисел, не превосходящих канторовского наименьшего трансфинитного числа w, наоборот, счетно).

Как это совмещается (отождествляется) в рамках стандартной теории множеств — ведомо одному А.А. Зенкину.

Когда же А.А. Зенкин (к тому же) заявляет при этом, что он (тем самым) доказал непротиворечивость теории трансфинитных целых чисел Кантора до «омеги» в «омежном» же количестве «омежных» степеней включительно (7, с. 81), гомерический хохот нашего студента — первокурсника плавно переходит в истерическое вхлипывание.

Надо отдать должное А.А. Зенкину! Отождествить несчетность (континуум) со счетностью (натуральным рядом) и (одновременно с этим) на полном серьезе убеждать всех, что тем самым (им) доказана непротиворечивость теории множеств Кантора, может только действительно большой оригинал.

Но это – «цветочки». Подлинная «ягодка» рассматриваемой статьи — многостраничное рассуждение о том, что актуальная бесконечность ничем не отличается от потенциальной, завершающееся фантастической по своей нетривиальности сентенцией: «… совершенно безразлично (и для нас, и для Кантора) обозначают ли в этот момент символы «w» и «…» какую–либо актуально–завершенную или потенциально–незавершенную бесконечность или вообще нечто иное» (7, с.84).

К этому пункту мы еще вернемся, а теперь рассмотрим второй (главный по значению) случай зенкинского плагиата.

 Видя отсутствие открытой негативной реакции философско-математического сообщества (и, что важнее, автора) по первому случаю плагиата, А.А. Зенкин полностью потерял чувство меры и осторожности и, фактически, один – к одному (с некоторыми семантическими извращениями и примитивизациями) позаимствовал из моих работ (разумеется, без упоминания автора) идею различимости актуальной и потенциальной бесконечностей применительно к опровержению канторовской «диагональной процедуры».

Здесь уже все можно доказать стандартными методами: сличениями опубликованных текстов и дат публикаций.

Привожу отрывки из текстов, подлежащих сравнению.

В моей работе «О разрешимости логико–математических парадоксов самореференции с отрицанием» (1995 год издания) предлагается следующая версия опровержения канторовской теоремы о несчетности континуума: «Основной процедурой, с помощью которой Г. Кантору удалось «доказать» «несчетность» множества действительных чисел, является так называемый»диагональный метод».

«Диагональный метод» Г. Кантора можно разделить на две независимые друг от друга составляющие:

1. «Арифметический диагональный метод»;

2. «Семантический диагональный метод».

Этим двум разновидностям канторовского «диагонального метода» соответствуют два вида «доказательств» «несчетности» множеств некоторых видов.

В частности, «арифметический диагональный метод» предназначен для «доказательства» несчетности множества действительных чисел, отождествляемого с «континуумом», а «семантический диагональный метод» — для «доказательства» «несчетности» «множества всех подмножеств множества натура­льных чисел».

Оба эти «подметода» противоречивы, однако по различным причинам.

Рассмотрим, вначале, «арифметический диагональный метод».

Его суть сводится к следующему:

Предлагается перенумеровать все действительные числа интервала (0,1) следующим образом:

(0,1) = {с(1), с(2), с(3), …}.

(При этом алгоритм перечисления не указывается).

И, далее, предписывается записать каждое число из полученной последовательности десятичной дробью вида:

 с(1) = 0, а(11) а(12) а(13) …

 с(2) = 0, а(21) а(22) а(23) …

 с(3) = 0, а(31) а(32) а(33) …

 ……………………….

 ……………………….

 с(n) = 0, а(n1) а(n2) а(n3) …

С помощью представленного выше списка действительных чисел предлагается построить число

К = 0, b(1) b(2) b(3) … следующим образом: берется цифра b(1), отличная от а(11), 0 и 9; берется b(2), отличная от а(22), 0 и 9; … берется b(nn), отличная от а(nn), 0 и 9.

Образованная последовательность цифр :

К = 0, b(1) b(2) b(3) … b(n) рассматривается как действительное число из интервала (0,1) и, притом, такое число, которого ранее не было в после­довательности с(1) … с(n).

Это обстоятельство квалифицируется как противоречие, достаточное для придания множеству действительных чисел статуса «несчетного».

В данном рассуждении в неявном виде используется следующее допущение:

Множество действительных чисел актуально бесконечно и представимо в виде последовательности, сформированной по какому-либо закону, но, вместе с тем, неполно, то есть допускает существование объектов, принадлежащих данному множеству по своим свойствам, но не принадлежащих ему к моменту формирования множества (в противном случае вся теорема Кантора не имела бы смысла).

В этом допущении и заключается основное логическое противоречие рассматриваемой канторовской теоремы и всей его теории множеств:

неполное актуально бесконечное множество, имеющее некий (не заданный в явном виде) закон построения, — объект очевидно противоречивый, поскольку само понятие актуальной бесконечности предполагает завершенность процесса форми­рования элементной базы множества.

Данный тип множества введен Кантором, очевидно, для того, чтобы уйти от того факта, что рассматриваемая им в теореме последовательность чисел являетсяпотенциально бесконечной: Последний вариант его никак не устраивал.

Действительно, если бы бесконечное по условию множество действительных чисел с(1) … ..с(n) было лишь потенциально бесконечным, о существовании нового числа К как «неучтенного» в исходном списке говорить бы не приходилось, поскольку им могло бы быть любое новое число из потенциально бесконечного списка. В этом случае ни о какой «несчетности» речь вести нельзя.

Другими словами, появление элемента, принадлежащего некоторому актуально бесконечному множеству по своим свойствам, но не входящего в данное множество ранее, свидетельствует о том, что это множество не является актуально бесконечным, а не о том, что оно является «несчетным».

Это хорошо понимал и сам Кантор, который, в частности, писал в работе «О различных точках зрения на актуально бесконечное»:

«Несмотря на существенное различие понятий потенциальной и актуальной бесконечности, — притом первая означает переменную конечную величину, растущую сверх всяких конечных границ, а последняя — некоторое замкнутое в себе, постоянное, но лежащее по ту сторону всех конечных величин количество, — к сожалению, слишком часто встречаются случаи смешения этих понятий» (44, с. 265).

Тем более странным кажется тезис Кантора о «несчетности» континуума.

Таким образом, в структуре канторовского «доказате­льства» имеет место логическая ошибка использования одновременно в двух разных, противоречащих друг другу, смыслах понятия «бесконечность», в результате которой изначальная противоречивость рассматриваемого симбиозного объекта (неполного актуально бесконечного множества) выдается как основание для введения и легитимизации нового свойства этого объекта — «несчетности» множества действите­льных чисел» (16, с. 23-25).

Несколько иначе по форме, но в том же содержательном ключе трактуется противоречивость канторовской теоремы о несчетности континуума в моей работе «Основные положения концепции оснований гармонической арифметики», вышедшей в свет в начале 1997 года:

        «Напомним, что Г. Кантор доказывает теорему о несчетности континуума следующим образом.

Вначале он предполагает существование некоторой счетной (перечислимой) последовательности действительных чисел А. Далее он начинает строить некоторое новое число К (назовем его «канторовским»), заменяя по диагонали десятичные значения чисел, вхо­дящих в А, на любые значения, отличные от тех, которые свойствен­ны соответствующим числам из А.

Получаемое подобным образом число К квалифицируется им как отличное от всех других чисел, входящих в А.

Отсюда делается вывод, что получено противоречие с предполо­жением о счетности последовательности А, и, далее, делается заклю­чение о ее «несчетности».

На наш взгляд, данное рассуждение ошибочно.

1. Начнем с того, что из канторовского рассуждения нельзя точно понять, о какой счетной последовательности идет речь: о потенциальной (незавершенной) или актуальной (завершенной), хотя он неоднократно призывал своих последователей к их четкому различению.

 2. Не пытаясь доподлинно установить, какую из двух видов счетных бесконечных последовательностей имел ввиду Г. Кантор в своем «доказательстве» (это, по-видимому, невозможно), рассмот­рим поочередно обе логические возможности.

 2.1. Предположим вначале, что речь идет о потенциальной счетной бесконечной последовательности.

 Тогда канторовское рассуждение неверно, поскольку потенци­ально бесконечная последовательность всегда пополнима и, следова­тельно, любое новое число рассматриваемой последовательности может быть «канторовским». То есть в этом случае отсутствует отличный от потенциально возможных элемент (новое число), кото­рый бы нарушал «счетность» потенциальной последовательности.

 2.2. Предположим, далее, что речь идет об актуальной счетной бесконечной последовательности.

Тогда канторовское рассуждение также неверно, поскольку ак­туальная бесконечная последовательность (неважно, конструктивно перечислимая или нет) всегда завершена по определению и элемент, принадлежащий по своим свойствам данной последовательности, не может существовать вне ее, не нарушая свойства завершенности исходной последовательности.

Следовательно, из факта наличия элемента, не входящего в исходную актуальную (по предположению) последовательность, не­обходимо делать вывод, что данная последовательность к моменту своего формирования была не актуальна (не завершена в полном объеме), а не «несчетна». То есть мы приходим к тому, что либо процедура канторовского доказательства логически некорректна (факт «неполноты», «незавершенности» некоторой последователь­ности не есть доказательство ее «несчетности»), либо исходная последовательность потенциальна, а не актуальна.

Причем вывод Г. Кантора о «несчетности» рассматриваемой пос­ледовательности оказывается неправомерным в обоих случаях, по­скольку обнаружение логической ошибки есть недостаток доказа­тельства, достаточный для его опровержения, а сведение последова­тельности А к потенциальной ничего не доказывает (см. п. 2.1).

2.3. Предположим, наконец, что Г. Кантор, вопреки собственному определению, неявно ввел некоторый новый математический объект (назовем его «незавершенное актуально бесконечное множество»).

Тогда возражения по пп. 2.1 и 2.2 снимаются, но появляется новое: насколько правомерно существование объекта, обладающего некоторым свойством и, одновременно (и в том же отношении), его отрицанием?Ведь «незавершенное актуально бесконечное множе­ство» есть не что иное, как «незавершенное завершенное беско­нечное множество» (мы просто подставили вместо предиката «ак­туальный» его смысловой заменитель — предикат «завершенный»).

Таким образом, ни в одном из трех рассмотренных случаев канторовское рассуждение не может быть признано логически кор­ректным.

 В чем же исходная логическая ошибка Г. Кантора? На наш взгляд, она состоит в том, что он попытался обосновать несчетность (неперечислимость) некоторого объекта, доказав лишь его незавер­шенность к моменту формирования, то есть налицо факт неправомер­ной идентификации двух разных понятий» (18, с. 49-50).

Сравним с приведенными моими текстами зенкинскую версию опровержения «диагональной процедуры», содержащуюся в его статье «Ошибка Георга Кантора», опубликованной во втором номере «Вопросов философии» за 2000 –й (!) год – спустя пять и три года – соответственно — после выхода в свет вышепроцитированных моих работ.

Читаем: «ТЕОРЕМА КАНТОРА: {Тезис A:} Множество X — несчетно.

ДОКАЗАТЕЛЬСТО КАНТОРА. Допустим противное, т.е. что (допущение от противного) {НЕ-A:} множество X — счетно. Это, по определению, означает, что все его элементы можно занумеровать с помощью обычных конечных натуральных чисел.

Пусть последовательность

x₁ , x₂, x₃ , . . . x_n , . . . (1)

является некоторым таким пересчетом всех x Î X, т.е., { B:} для любого z, если z Î X, то z является элементом последовательности (1), или, короче, z Î (1).

        Далее, применяя свой знаменитый диагональный метод к пересчету (1), Г. Кантор строит новое, так называемое «диагональное» действительное число (ДДЧ), скажем, y₁ такое, что, по определению, y₁ Î X, но, по построению, y₁ отлично от каждого элемента пересчета (1), т.е. ДДЧ y₁ не принадлежит пересчету (1). Следовательно, {НЕ-B:} данное ДДЧ y₁ Î X, но это ДДЧ y₁ не входит в пересчет (1).

К сожалению, знаменитый диагональный метод Кантора не учитывает и не использует количественных характеристик (т.е. мощности) тех множеств, к которым он применяется (см. [1,2,4]). Поэтому в рассматриваемом случае Кантор, для получения вожделенного противоречия, использует только актуальность пересчета (1), т.е. условие, что пересчет (1) «содержит все x Î X». Если же мы вспомним, что пересчет (1) не только актуален, но еще и бесконечен, то канторовское противоречие между НЕ-В и В может быть разрешено, или снято, без всяких логических конфликтов с допущением НЕ-А канторовского доказательства теоремы.

Тривиально, что для пересчета (1) в двоичной системе можно построить только единственное ДДЧ y₁ . С другой стороны, согласно канторовскому определению понятия бесконечного множества, мощность последнего не изменится, если к нему добавить … один новый элемент. Поэтому мы можем добавить ДДЧ y₁ к исходному счетно-бесконечному пересчету (1), например, таким образом:

y₁ , x₁ , x₂, x₃ , . . . x_n , . . . . (1.1)

Очевидно, что теперь новый счетно-бесконечный пересчет (1.1) будет содержать все действительные числа множества X , т.е.

{ В:} для любого z, если z Î X, то z Î (1.1).

Таким образом, мы устранили канторовское противоречие между НЕ-В и В без ущерба для допущения НЕ-А канторовского доказательства.

Очевидно, однако, что повторное применение Диагонального метода Кантора к счетно-бесконечному пересчету (1.1) приведет к построению нового ДДЧ, скажем, y₂ такого, что

{ НЕ-В:}данное ДДЧ y₂ Î X , но это ДДЧ y₂ не входит в пересчет (1.1).

Но в таком случае можно построить новый счетно-бесконечный пересчет, скажем, такой:

y₂ , y₁ , x₁ , x₂, x₃ , . . . x_n , . . . , (1.2)

и мы получаем

{ В:} для любого z, если z Î X, то z Î (1.2).

Применяя диагональный метод к счетно-бесконечному пересчету (1.2), мы построим новое ДДЧ, скажем, y₃ , и докажем:

{ НЕ-В:} данное ДДЧy₃ Î X, но это ДДЧ y₃ не входит в пересчет (1.2).

Затем, учитывая бесконечность (1.2), мы построим новый счетно-бесконечный пересчет вида:

y₃ , y₂ , y₁ , x₁ , x₂ , x₃ , . . . x_n , . . . , (1.3)

и докажем, что:

{В:} для любого z, если z Î X, то z Î (1.3).

И так далее.

Очевидно, что само канторовское доказательство превращается при этом в следующее довольно непривычное для классической логики «рассуждение»:

НЕ-A ® B ® НЕ-B ® B ® НЕ-B ® B ® НЕ-B ® B ® . . . . (2)

При этом, следует особо подчеркнуть, что в природе не существует ни логических, ни математических поводов, причин или других оснований, чтобы прервать или остановить этот бесконечный процесс (2). Очевидно также, что мы не получим никаких противоречий с допущением НЕ-A канторовского доказательства о счетности исходного пересчета (1), как, впрочем, и со счетностью всех последующих пересчетов. Учитывая тот факт, что на каждом шаге потенциально бесконечного процесса (2) фактически строится новое действительное число, мы приходим к следующим выводам.

1. Доказательство Кантора фактически содержит в себе не-финитный этап (2), т.е. такое рассуждение не является математическим доказательством в смысле Д. Гильберта и, добавлю, в смысле классической математики.

2. Вывод Кантора о несчетности множества Х «перепрыгивает» через потенциально бесконечный этап (2), т.е. рассуждение Кантора содержит логическую ошибку «недоказанного основания».

3.»Доказательство» Кантора, в действительности, доказывает, причем строго математически, именно потенциальный , т.е. принципиально незавершаемый характер бесконечности множества Х «всех» действительных чисел. Другими словами, строго математически доказывает фундаментальный принцип классической логики и классической математики: «Infinitum Actu Non Datur» (Аристотель)» (10, с.166-167).

Общими в приведенных выше моих и зенкинских рассуждениях являются следующие моменты:

1. В обоих случаях канторовская диагональная процедура признается неправомерной.

2. В обоих случаях различие между предположениями о том, считать ли исходную последовательность действительных чисел актуальной или потенциальной признается существенным для оценки и интерпретации конечных результатов «диагональной процедуры».

3. В обоих случаях утверждается, что если рассматривать исходную канторовскую последовательность как потенциальную, то это не ведет к доказательству «несчетности» множества действительных чисел, поскольку каждое «новое» канторовское число просто добавляется к имеющейся счетной совокупности и этот процесс не может быть локализован.

Исходя из этого, я утверждаю, что, поскольку названные моменты впервые были разработаны и сведены в целостную систему, а также использованы для опровержения канторовской теоремы о «несчетности» множества действительных чисел и опубликованы мною, работы А.А. Зенкина, фактически полностью заимствующие решающий аргумент моего опровержения с несущественными отличиями (без упоминания первоисточника), являются осознанным плагиатом в строгом смысле этого термина, так как о существовании и содержании моих работ (что публично известно) последний был прекрасно осведомлен и (более того) имел их в своем распоряжении (приняв их в свое время в подарок из моих собственных рук).

Приведу теперь дополнительные аргументы, усиливающие сказанное в других отношениях.

Для меня вышеприведенные пункты опровержения «диагональной процедуры» вполне естественны, поскольку я всегда считал, что теория множеств Кантора изначально была самопротиворечива и самопротиворечива именно в силу смешения (взаимной подмены) свойств актуальной и потенциальной бесконечностей в теоретико–множественных рассуждениях (нарушения закона тождества).

Не так для А.А. Зенкина. В уже цитировавшейся его работе о «когнитивной визуализации …» (7) он, как мы помним, на нескольких страницах доказывал, что «… совершенно безразлично (и для нас, и для Кантора) обозначают ли в этот момент символы «w» и «…» какую – либо актуально–завершенную или потенциально–незавершенную бесконечность или вообще нечто иное» (7, с.84) и что теория Кантора является непротиворечивой (7, с.81).

Что же произошло? Почему А.А. Зенкин вдруг на 180 градусов поменял свое мнение? Да и меняет ли он его?

Анализ работ А.А. Зенкина по канторовской проблематике, имевшихся в моем распоряжении, показал, что ни в одной из них не содержится даже намека на разъяснение ситуации в смысле сползания названного автора в тотальное мировоззренческое самопротиворечие.

Складывается впечатление, что А.А. Зенкин просто не чувствует, что он потерял ведущую нить «своей» концепции и противоречит самому себе в каждой статье, с одинаковым пафосом и нарастающим уровнем экзальтации отстаивая прямо противоположные (абсолютно несовместимые между собой) мнения.

Ниже этот тезис будет развит подробнее.

Теперь о некоторых показательных различиях в приведенных выше моих и зенкинском текстах опровержения «диагональной процедуры».

У меня важным моментом рассуждения (наряду с предположением о потенциальности исходной канторовской совокупности) является альтернативное первому предположение об актуальности множества действительных чисел, на чем, собственно, настаивал и сам Г. Кантор.

Данное предположение опровергается доводом, что появление нового (канторовского) числа свидетельствует не о «несчетности», а о «незавершенности» этой совокупности, и что у Кантора имеет место ошибка «подмены термина» и, соответственно, тезиса.

Не так у А.А. Зенкина. Решив, что ему надо как–то усовершенствовать мою идею опровержения канторовской «диагональной процедуры», он вводит ряд примечательных нововведений.

В частности, им (совершенно неправомерно) полностью отбрасывается мой сюжет о самопротиворечивой «актуальности (по предположению) – неактуальности (незавершенности де-факто)» исходного множества.

Вместо этого А.А. Зенкин пишет нечто абсолютно невразумительное и лишенное всяческого смысла:

 «К сожалению, знаменитый диагональный метод Кантора не учитывает и не использует количественных характеристик (т.е. мощности) тех множеств, к которым он применяется (см. [1,2,4]). Поэтому в рассматриваемом случае Кантор, для получения вожделенного противоречия, использует только актуальность пересчета (1), т.е. условие, что пересчет (1) «содержит все x Î X «. Если же мы вспомним, что пересчет (1) не только актуален, но еще и бесконечен, то канторовское противоречие между НЕ-В и В может быть разрешено, или снято, без всяких логических конфликтов с допущением НЕ-А канторовского доказательства теоремы» (10, 166).

Фактически А.А. Зенкин обвиняет Г Кантора в том, что он всю свою жизнь работал (сам того не понимая) с … конечными множествами (!).

До такого абсурда, действительно, до А.А. Зенкина никто из профессиональных философов математики никогда не додумывался и не договаривался.

Тут его приоритет бесспорен.

Важно отметить, что приписывание А.А. Зенкиным Г. Кантору подмены в своих рассуждениях актуально бесконечных множеств конечными множествами — не оговорка и не случайность.

А.А. Зенкин просто экстраполирует на Г. Кантора свое собственное понимание канторовского числа w. Тщательный контент–анализ его работ показал, что, оказывается, А.А. Зенкин действительно считает ряд 1, 2, … w в каком–то смысле конечным (!) и явно (или неявно) использует это свое убеждение во всех своих работах, последовательно «исправляя» заимствуемые им мои идеи с изложенной точки зрения.

Ниже сказанное будет дополнительно разъяснено и проиллюстрировано.

В завершение «опровергающего Кантора» «своего» рассуждения А.А. Зенкин достаточно вольно пересказывает мою мысль, что потенциальность исходного множества блокирует доказательство «несчетности» из-за возможности безболезненно добавлять новые (конструируемые с помощью «диагональной процедуры») действительные числа к базовой совокупности.

В конце «опровержения» следует абсурдный вывод, что «3.»Доказательство» Кантора, в действительности, доказывает, причем строго математически, именно потенциальный, т.е. принципиально незавершаемый характер бесконечности множества Х «всех» действительных чисел.

Другими словами, строго математически доказывает фундаментальный принцип классической логики и классической математики: «Infinitum Actu Non Datur» (Аристотель)» (10, с.167).

На самом деле данное утверждение совершенно несостоятельно, хотя здесь в явном виде и использована моя идея (точнее, ее составная часть), поскольку предположения об актуальности или потенциальности исходного множества в «диагональной процедуре» вполне логически равноправны.

Кроме того, появление нового (вновь сконструированного) числа в некоторых вполне легитимных модификациях «диагональной процедуры» может свидетельствовать не только о том, что исходное множество «неактуально», но и о том, что данное число принадлежит более высокому числовому классу, не нарушая актуальности и счетности базисного класса, то есть не входя в него в качестве элемента.

Другое дело, что ни одно из этих предположений не ведет к выводу о «несчетности» множества действительных чисел, что я, собственно, и доказывал в своих работах.

На этом я считаю свой тезис о том, что сущность зенкинских работ – это плагиат ряда моих идей с их последующей контекстуальной паралогизацией, доказанным.

Иначе говоря, то, что в работах А.А. Зенкина истинно, то не его (написано не им, хотя и выдается им за свое), а то, что его (реально написано им), то (мягко говоря) не истинно.

Я готов и к дальнейшим усилениям аргументации в поддержку данной позиции (если понадобится).

Теперь же хочу остановиться на обещанной демонстрации абсолютной ментальной девственности А.А. Зенкина в теоретико–множественной проблематике, безусловно противоречащей усиленно пропагандируемому им тезису о его 30-летних (аки Илиа Муромец) денных и нощных бдениях (радениях, если говорить в высоком «штиле») над критикой наследия Георга Кантора (если только, конечно, А.А. Зенкин не решится на публичное самопонижение своего IQ раз в 30 от ныне декларируемого уровня).

Рассмотрим следующую «теорему» А.А. Зенкина:

«ТЕОРЕМА 5. Если ряд (11) [1, 2, 3, …, n, … — (11) – В.П.] всех конечных натуральных чисел актуально-бесконечен, то существует канторовское наименьшее трансфинитное число w, которое больше всех конечных натураль­ных чисел ряда (11).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть ряд (11) актуально-бесконечен, т.е. содержит все конечные натуральных числа из N. Построим новое диагональное число у с помощью следующего «диагонального» пра­вила: для любого n = 1, 2, 3, … полагаем у = n + 1.

Очевидно, что в результате применения указанной диагональной процедуры ко всем элементам данного пересчета (11) мы получим, вообще говоря, некоторый новый математический объект у, кото­рый, по построению, отличен от (в смысле больше) всех чисел ряда (11), т.е. у Ï (11), и обладает следующими свойствами: a) y — целое число, т.к. он получен в результате применения операции «+1» к ко­нечным натуральным (целым) числам и б) целое число у больше лю­бого конечного натурального числа, т.е. представляет собой неко­нечное (трансфинитное) число. Очевидно, что у, по построению, является наименьшим трансфинитным целым числом, которое сов­падает со знаменитым числом w, согласно канторовскому опреде­лению этого числа …. Теорема доказана» (9, с. 89-90).

В этой – с позволения сказать – «теореме» — суть всех интеллектуальных проблем А.А Зенкина в области теории множеств (что, безусловно, не отменяет его проблемы в морально–этической сфере, но существенно усугубляет их, лишая данного автора элементарного инстинкта самосохранения).

Анализ приведенного текста со всей определенностью показывает, что А.А. Зенкин просто принципиально отказывается понимать, что его «у = n + 1» не является ненатуральным числом и абсолютно никакого отношения не имеет к канторовскому числу «w», и с упорством, достойным много лучшего употребления, повсеместно полностью отождествляет эти два качественно совершенно различных объекта.

В противном случае (если бы в канторовской теории трансфинитных чисел действительно имело место, как считает А.А Зенкин, отношение у = w, то есть «совпадение» у и w) немедленно следовало бы: w = у = n + 1 = (n – 1) + 2 и т. д. или, иначе, w -1 = у –1 = n и т. п., что абсолютно абсурдно, поскольку, как известно, в рамках теории множеств Кантора из w вычитать нельзя.

Позволяя себе всуе иронизировать над определением числа w, данным Г. Кантором, инкриминируя ему отсутствие логики (9, с. 89) и другие интеллектуальные прегрешения, А.А Зенкин на деле оказывается просто неспособным понять, о чем, собственно, пишет создатель теории множеств в процитированном мною в первой главе настоящей работы определении числа w (см. также 14, с. 92).

Каким образом в этом определении можно усмотреть (что постоянно делает А.А. Зенкин) тождество чисел w и v, где v – произвольно большое натуральное число (в том числе – большее зенкинского у = n + 1) — несмотря на многократные предупреждения Г. Кантора об их аддитивной несоизмеримости – вплоть до качественного различия логических функций их порождения — одному Богу известно.

Если уж упрекать здесь Г. Кантора за что–нибудь – так это за «логическую пропасть», которую он создал между w и v, о которой я писал выше, но уж никак — за их тождество (“совпадение” по Зенкину).

Так что непрерывное злобное абсолютно интеллектуально и этически неадекватное ерничание А.А. Зенкина (во всех своих работах) над Г. Кантором свидетельствует, прежде всего, о состоянии его собственных ментальности и морали.

Чего стоит хотя бы следующий «перл» А.А. Зенкина по рассматриваемому вопросу, содержащийся в его статье «Существует ли Г. Бог в математическом раю Г. Кантора?».

В этой — с позволения сказать – статье А.А. Зенкин предлагает всем желающим своего рода «загадку» на сообразительность.

Суть этой «загадки» в том, чтобы сравнить два числовых ряда:

    1, 2, 3, …, n, … — (1)

 и 1, 2, 3, …, w, … — (2)

и найти «ненаходимую (по его мнению) отгадку».

«Идея» А.А. Зенкина состоит в том, что, поскольку между двумя этими рядами имеется посимвольное 1-1 – соответствие, эти ряды неразличимы.

Он настолько уверен в своей правоте, что даже предложил в рассматриваемой статье премию в 1000 USD тому, кто «правильно» (по его мнению, естественно) ответит на вопрос:

«Что есть следующая последовательность символов: 1, 2, 3, …, w, … ??? (7) — Есть ли это канторовский ряд (2) трансфинитных порядковых целых чисел или это есть кронекеровский ряд обычных конечных натуральных чисел (1), записанных в w — ичной системе счисления?» (12, с.159).

Разумеется, А.А. Зенкин не был бы А.А. Зенкиным, если бы он заранее не планировал сшельмовать (посидеть сразу на двух логических стульях, как он это не раз делал, одновременно и в том же отношении “доказывая” “изумленной публике” и противоречивость, и непротиворечивость теории множеств Г. Кантора).

Так, он пишет в конце «статьи»: «P.S. Должен, однако, предупредить, что при оценке Вашего ответа я буду использовать знаменитый канторовский диагональный метод: если Вы мне скажете, что записанная мною последовательность (7) представляет собой ряд (2), то я докажу Вам, что я написал ряд (1); если же вы будете утверждать, что (7) есть ряд (1), то я столь же строго докажу вам обратное» (12, с.159-160).

В этом постскриптуме – как в капле воды – отразилась вся ущербная сущность работ и менталитета А.А. Зенкина: выставлять Г. Кантора банальным идиотом, его принципы порождения чисел и диагональный метод – полной нелепостью, средством интеллектуального шельмования, а самому пытаться есть из двух пиаровских кормушек сразу, будучи перманентно «по обе стороны (логических) баррикад».

Учитывая только что проиллюстрированную тотальную неспособность А.А. Зенкина честно и однозначно отвечать за свои слова, я, ни в коей мере не претендуя на обещанную им награду в 1000 USD, выскажу, тем не менее, этому любителю заданий типа «пойди туда, не знаю куда, принеси то, не знаю что» все, что думаю по существу заданного им вопроса.

Поскольку число w по канторовскому определению не может быть достигнуто с уровня натуральных чисел ни аддитивным, ни мультипликативным путем и поскольку в силу этого оно не может быть основанием какой бы то ни было системы счисления вообще (чего Вы, А.А. Зенкин, оказались не в состоянии осознать на протяжении по крайней мере пяти лет – с момента начала Вашей плагиаторско–паралогизаторской деятельности на ниве теории множеств в 1996 году – и по сей день), последовательность (7), безусловно, является канторовским рядом (2) трансфинитных порядковых целых чисел.

Но Вам этого даже понять (не говоря уже о принятии) не суждено, а потому можете продолжать свою параметаматематическую клоунаду сколь угодно долго (если конечно, у Вас найдутся слушатели – несмотря на весь Ваш неутомимый пиар среди «изумленной публики», как Вы любите говорить и писать в своих статьях).

Засим о Трудах А.А. Зенкина заканчиваю.

Считаю, что я ответил на два из трех вышепоставленных вопросов:

        1. Куда А.А. Зенкин ведет свою философско–математическую паству?

        В никуда. В тотальный, никакими ментальными или моральными регуляторами не сдерживаемый логико–математический абсурд

2. Что Сотворил этот новый Светоч философии математики?

Многоходовый многолетний Черный Пиар по дискредитации теории множеств Г. Кантора в тех аспектах, в которых она того совершенно не заслуживает, и возвеличиванию собственной персоны за счет плагиата чужих идей с последующей их паралогизацией.

       Осталось ответить только на вопрос (3): Кто этот «Титан Мысли», претендующий на статус «Гуру русской философско – метаматематической демократии» или, иначе, Who is Mr. Zenkin?

        В начале своего анализа я не случайно упомянул Дух Гоголя и его незабвенного персонажа Хлестакова.

        На протяжении последних пяти лет я думал, что А.А. Зенкин – это Хлестаков российской философии математики. Однако, решив перечитать «Ревизора» перед написанием настоящего параграфа, я осознал, что, хотя отождествление А.А. Зенкина с Хлестаковым во многом адекватно (особенно в аспекте «легкости мысли необыкновенной»), оно не охватывает ряда существенных нюансов.

       Я понял, в частности, что гоголевский Хлестаков (будь он реальной личностью) не на шутку обиделся бы от такого сравнения.

        Конечно, на вопрос Анны Андреевны: «Так Вы и пишете?», гоголевский Хлестаков наврал «с три короба» и присвоил себе все, что было под именами господина Загоскина, барона Бромбеуса, «Фрегата Надежды» и т.д. Но когда Марья Антоновна по простоте душевной случайно уличила Хлестакова в присвоении им произведения Загоскина «Юрий Милославский», он не стал упираться и ответствовал, что есть – де другой «Юрий Милославский», который уж точно он (Хлестаков) написал.

Это свидетельствует о достаточно высокой степени чувствительности гоголевского Хлестакова к самопротиворечиям разного рода: соврал? – поймали? — Так исправься, соври что–нибудь более правдоподобное. И народ к тебе вновь потянется.

Но не таков А.А. Зенкин. Ему подобная ментальная гибкость не свойственна (философско-метаматематическому Гуру не по статусу признавать каких–то там Загоскиных и Бромбеусов — не Гурианское это дело).

Не то, чтобы он, в очередной раз совравши начет своего авторства на какую–нибудь подходящую идею или попав в которое по счету самопротиворечие, не мог в принципе придумать что–нибудь более правдоподобное в свое оправдание, чем 30 лет каторжной (вполне латентной, для научного собщества, надо напомнить) работы на благо философии математики, когда люди, посвященные в существо проблемы, ему неоднократно указывали на факт плагиата.

Или, на худой конец, сознаться, что на самом деле «господин Загоскин» тоже чего–то там написал … возможно, даже и раньше … (не особо ценное, конечно), а самопротиворечие очередное и полное непонимание теории множеств Г. Кантора – это так … просто досадная легко исправимая отрыжка парадоксальной ментальности Гения … Он бы мог, наверное…

Проблема в том, однако, что А.А. Зенкин самопротиворечий своих и ошибок всех этих вышеэксплицированных (не говоря уже о градусе и модальности общественного мнения) либо вовсе совершенно искренне не сознает и не ощущает (не воспринимает), либо активно экономит на «бисере», не желая его «метать» где не попадя (и так сойдет, «схавают»).

Потому и относиться к А.А. Зенкину в сообществе философов математики (а заодно и в других интеллектуальных сообществах) от(ныне), и присно, и до полного исчезновения таких смертных научных грехов, как плагиат, самопротиворечивость и неадекватность понимания предметной области (то есть во веки веков) будут куда менее добродушно, чем к гоголевскому Хлестакову, и станет его имя именем нарицательным!

Так что сколько потенциально бесконечной “веревочке” ни виться, а концу – быть!

Резюме

Проведенный выше анализ показал, что в статьях А.А. Зенкина по теоретико–множественной проблематике имеется целый «букет» чрезвычайно существенных – причем переходящих один – в другой — недостатков, заставляющих серьезно сомневаться не только в научности этих сочинений, но и в элементарной морально–этической и  логико-математической адекватности их автора.

К числу основных из потенциально бесконечного множества выявленных в работах А.А. Зенкина недостатков следует, по моему мнению, отнести следующие:

1. Заимствование ключевых идей из чужих работ без упоминания первоисточника (плагиат) с последующей их квазиавторизирующей паралогизацией.

2. Патологически множественная самопротиворечивость, доходящая до абсурда. Так, в одних своих работах А.А. Зенкин утверждает, что он доказал непротиворечивость канторовской теории трансфинитных целых чисел (см., например, 7 с. 81 и 9, с. 67), а в других — что (одновременно и в том же отношении) он доказал прямо противоположное – противоречивость этой же самой теории (в частности — напрочь опроверг канторовскую «диагональную процедуру» и, соответственно, идею «несчетности», являющуюся квинтэссенцией названной теории) (см., например, 10, 166 -167).

Хотя ни тот, ни другой зенкинские тезисы сами по себе абсолютно не соответствуют действительности (в том смысле, что ничего он на самом деле не доказал), их совмещение в рамках одной «концепции» с позиций нормальной формальной логики совершенно необъяснимо и, строго, говоря, абсурдно.

Остается констатировать, что А.А. Зенкин по своей натуре не склонен «класть все яйца в одну корзину».

Тогда все становится понятным: как бы дело не повернулось, все одно — именно он, А.А. Зенкин, это доказал (а заодно – предвидел, что дело куда–нибудь, да повернется).

3. Абсолютно неадекватное представление А.А. Зенкина о природе и свойствах канторовского числа w и всего ряда трансфинитных целых чисел, повлекшее множественные тривиальные логико–семантические ошибки во всех его статьях по теоретико–множественной проблематике.

Заключение

Мне бы не хотелось, чтобы у читателя — по итогам прочтения настоящей работы — сложилось мнение, что она носит исключительно деструктивный характер (критика, критика критики, метакритика и т.д.).

На самом деле все обстоит совсем иначе.

Главная моя цель – создание необходимых условий для начала внедрения во все сферы человеческой деятельности принципиально нового комплексного инструмента мышления, который я называю «гармонической логикой», включающего в себя, по замыслу, целый ряд перспективных разработок в области общей гносеологии, теории интеллектуальных (инновационных) войн, теории формальных объектов, гармонической математики.

К сожалению, наш мир так устроен, что внедрение чего–то действительно нового, открывающего дорогу в будущее, невозможно без разрушения старого, отжившего, неэффективного особенно такого старого, которое изо всех сил цепляется за свое существование.

Этот предварительный (самый тяжелый) этап внедрения нового называется «катарсисом», очищением.

Теоретически он может проходить относительно быстро и без больших потерь. На практике же это — крайне болезненный процесс, сопряженный с борьбой жизненных интересов и амбиций множества людей, не имеющей никакого отношения к Истине.

В особенности сказанное справедливо, когда речь идет о смене ментальных эпох, о реорганизации наиболее фундаментальных (архетипических) уровней и базовых инструментов человеческого мышления, к каковым относятся логика Аристотеля и теория множеств Г. Кантора.

Но (так или иначе) этот путь должен быть пройден.

И горе тому, кто, руководствуясь своими мелкими нечистыми амбициями, станет на пути Перемен, предначертанных на Небесах.

Другое дело, что заранее неизвестно: кто прав, а кто – виноват, отстаивая ту или иную интеллектуальную (шире – духовную) позицию, кто нашел драгоценный «слиток ментального золота», а кто остался с «грудой щебенки из забоя», несмотря на годы непрерывных трудов и исканий.

Для выяснения этого и ускоренного внедрения коллективно найденных новых (предельно эффективных) интеллектуальных инструментов в ментальную практику каждого человека и человечества в целом и нужна тотальная инновационная война по основаниям логики и математики на переломе эпох, целебность и спасительность которой все больше осознается лучшими из лучших.

Особенность ожидаемых итогов этой особой войны – наличие победителей и побежденных при полном отсутствии проигравших.

В стратегическом выигрыше останутся все, поскольку каждый из нас по итогам этой войны получит невиданную доселе ментальную мощь, открывающую принципиально новые горизонты.

Цитированная литература

         

1. Аристотель. Сочинения в 4 томах. ТТ. 1-4.-М.: Мысль, 1976-1984.
2. Бычков С.Н., Шашкин Л.О. К критике канторовской диагональной процедуры доказательства несчетности континуума //Традиционная логика и канторовская диагональная процедура. — М.: Янус – К, 1997.
3. Бычков С.Н., Зайцев Е.А., Шашкин Л.О. Диагональная процедура Г. Кантора и теория множеств (историко-научный и логический контекст) //Историко-математические исследования. Вторая серия. Вып. 4 (39). – М.: Янус — К, 2000.
4. Бычков С.Н., Шашкин Л.О. Канторовская диагональная процедура и непротиворечивость теории множеств //Историко-математические исследования. Вторая серия. Вып. 5 (40). – М.: Янус — К, 1999.
5. Виннер Д.И. О различении внешнего и внутреннего отрицания в традиционной логике //Традиционная логика и канторовская диагональная процедура. — М.: Янус – К, 1997.
6. Виннер Д.И. Виды отрицания и исчисление предикатов первого порядка //Математические методы решения инженерных задач. – М., 1999.
7. Зенкин А.А. Когнитивная визуализация некоторых трансфинитных объектов классической (канторовской) теории множеств //В сб. «Бесконечность в математике: философские и исторические аспекты», ред. проф. А.Г. Барабашев. — М.: «Янус-К», 1997 г.
8. Зенкин А.А. Научная контрреволюция в математике //Независимая газета, 19.07.2000.
9. Зенкин А.А. О логике некоторых нефинитных рассуждений теории множеств и метаматематики. Новый парадокс канторовской теории множеств //Новости искусственного интеллекта, 1997, No. 1, с. 64-99.
10. Зенкин А.А. Ошибка Георга Кантора //Вопросы философии, 2000, No. 2.
11. Зенкин А.А. Принцип разделения времени и анализ одного класса квазифинитных правдоподобных рассуждений (на примере теоремы Г. Кантора о несчетности) //Доклады РАН, раздел «Математика», том 356, No. 6 (1997).
12. Зенкин А.А. Существует ли Г. Бог в Транфинитном Раю Г. Кантора? //Новости искусственного интеллекта, 1997, No. 1.
13. Зенкин А.А. Трансфинитная кавитация в рядах ординалов Г. Кантора //Новости искусственного интеллекта, 1997, No. 3.
14. Кантор Г. Труды по теории множеств. — М.: Наука, 1985.
15. Петросян В.К. Критика аристотелевской теории отрицания. – М.: ИРПО, 2001.
16. Петросян В.К. О разрешимости логико-математических парадоксов самореференции с отрицанием. — М.: Книжник, 1995.
17. Петросян В.К. Общий кризис теоретико-множественной математики и пути его преодоления. — М.: Янус – К, 1997.
18. Петросян В.К. Основные положения концепции оснований гармонической арифметики //Бесконечность в математике: философские и исторические аспекты. — М.: Янус – К, 1997.
19. Петросян В.К. Ответ на комментарий Л.О. Шашкина //Бесконечность в математике: философские и исторические аспекты. — М.: Янус – К, 1997.
20. Шашкин Л.О. Комментарий к статье В.К. Петросяна «Основные положения концепции оснований гармонической арифметики» //Бесконечность в математике: философские и исторические аспекты. — М.: Янус – К, 1997.

Научное издание

Вадим Кармленович Петросян

 Критика канторовской «диагональной процедуры»

Отпечатано в типографии Издательского центра

Академии профессионального образования

125319, г. Москва, ул. Черняховского, д.9

Институт развития профессионального образования

Лицензия на издательскую деятельность

ЛР N 071531 от 31 октября 1997 года

Объем 5.4 а.л.

Принято к печати 18 апреля 2001 г.

Бумага офсетная. Заказ N 378. Тираж 500 экз.