В.К. Петросян (Вадимир). Теорема о параллельных прямых: к основаниям Гармонической геометрии

Аннотация

В предлагаемой вниманию читателя работе впервые излагаются доказательства Теоремы о параллельных прямых, полученные автором в конце 80-х – начале 90-х гг. прошлого века. Эти результаты достаточно подробно докладывались философско-математическому сообществу Москвы в ходе ряда конференций и семинаров 1990-х и начала 2000-х гг. (и даже были частично опубликованы в работе «Общий кризис ..» и в других книгах и статьях), но не были поддержаны (акцептированы) ведущими учеными.

В первой главе излагаются основные доказательства Теоремы о параллельных прямых, выполненные строго в рамках Евклидовской аксиоматики (системы постулатов).

Во второй главе обосновывается необходимость двухуровневой гармонизации Евклидовской геометрии и дается доказательство Теоремы о параллельных прямых, осуществленное, исходя из новых определений геометрических объектов и постулатов. Дается также некоторое предварительное представление о юниметрии, подкрепленное важными релевантными материалами в Приложении.

 В настоящее время эти материалы публикуются в связи с решением автора вывести «в свет» (на публичное обозрение и обсуждение)  ряд фундаментальных работ по тематике Гармонической математики и «Метаорганона» (критически переработанная и гармонизированная логико-математическая концепция Аристотеля и его современных последователей), входящих в программы разработки «Третьей глобальной парадигмы», строительства «Метававилонской башни» и «Глобального мозга».

Немногим ранее на сайте Lag.ru (Большой Апейронический Портал) и в американском издательстве Amazon была опубликована книга: «Изольдионика: Теория бесконечных числе и числовой трансволюции» (V.K. Petrosian (Vadimir). Isoldionics. The Theory of Infinite Numbers and Numerical Transvolution), полностью гармонизированная в логическом и семантическом отношениях с настоящей работой.

В ближайшее время планируются к публикации новые (по срокам издания) работы автора по геометрии, арифметике, логике и философии математики, включая книги и статьи с изложением вопросов разрешимости классических геометрических задач (трисекция угла, квадратура круга, удвоение куба и т.д.).

Работа предназначена для логиков, философов математики, математиков (в частности – геометров), широкого круга исследователей из различных областей науки, работников инженерно-технической сферы и сферы ИИ, любителей математики всех уровней квалификации.

© В.К. Петросян (Вадимир) © Lag.ru [Large Apeironic Gateway, Большой Апейронический Портал (Шлюз), Суперпортал в Бесконечность].

При копировании данного материала и размещении его на другом сайте, ссылка на портал Lag.ru обязательна

Работы по близкой тематике

В.К. Петросян (Вадимир). Теорема о параллельных прямых: к основаниям Гармонической геометрии

В.К. Петросян (Вадимир). Изольдионика. Теория бесконечных чисел и числовой трансволюции

В.К. Петросян (Вадимир). Критика аристотелевской теории отрицания. Версия 2.0

В.К. Петросян. Критика аристотелевской теории отрицания

В.К. Петросян. Гармоническая логика

В.К. Петросян. Общий кризис  теоретико-множественной математики и пути его преодоления. Версия 1.0

В.К. Петросян. Теорема о счетности континуума: На пути к третьей глобальной ноопарадигме

В.К. Петросян (Вадимир). Ментальные войны

В.К. Петросян (Вадимир). КАРИОНИЧЕСКАЯ ЙОГА. Йога бесконечной структуризации метасознания и ускоренной эволюции человека, общества и Демиурга

В.К. Петросян (Вадимир). Демиургианство как глобальная метакариотическая система сознания и мышления будущего: путь к трансинтеллекту

В.К. Петросян (Вадимир). Метававилонская башня: Глобальная ментальная инициатива

В.К. Петросян. Анти-Демон будущего

В.К. Петросян. Демон Декарта и Анти-Демон будущего

В.К. Петросян. Понятие, сущность и история «Майевтики» Сократа

В.К. Петросян. ПРОЛЕГОМЕНЫ к инновационной войне по основаниям гармонической математики

В.К. Петросян. Критика канторовской «диагональной процедуры»

***********

Содержание:

Введение

Глава 1. Доказательства основных утверждений, равносильных Теореме о параллельных прямых

1.1.   Площадь треугольника не ограничена сверху (Аксиома Уоллиса) (Аналог: существует треугольник сколь угодно большой площади).

1.2.   Точки, равноудалённые от данной прямой (по одну её сторону), образуют прямую (Аналоги: а) существует пара прямых линий, которые находятся на постоянном расстоянии друг от друга и б) расстояние между параллельными прямыми всегда постоянно, то есть параллельные прямые не могут ни сближаться, ни расходиться).

1.3.   Через любую точку внутри острого угла, всегда можно провести прямую, которая пересечёт обе стороны угла (Лежандр) (Аналог: прямая, проходящая через точку внутри угла — меньшего, чем 180 градусов — пересекает по крайней мере одну его сторону. И.Ф. Лоренц, 1791).

Глава 2. Устранение паралогизмов Евклидовской геометрии и доказательство Теоремы о параллельных

2.1. Общая критика Евклидовской геометрии

2.2  Устранение паралогичных (бессмысленных, неопределенных и самопротиворечивых) постулатов Евклидовской геометрии

2.3. Новое определение параллельных прямых и теорема о параллельных

Заключение

Приложения

1.      Основные понятия (определения), аксиомы и постулаты Евкли-довской геометрии

2. Фрагмент из книги: Петросян В.К. Общий кризис теоретико-множественной математики и пути его преодоления. — М.: “Янус-К”, 1997. 1.5. Противоречивость классической геометрии — с. 78-90

3. Фрагмент о Юниметрии из книги В.К. Петросяна «Общий кризис теоретико-множественной математики …» 2.3. Основные понятия и аксиомы «юниметрии» — с. 120-133

4. Использованная литература

Введение

Учитывая тот факт, что «Начала» Евклида являются (считаются, по крайней мере) второй (после Библии) наиболее читаемой книгой в мире на протяжении всей человеческой истории и что возможность доказательства Теоремы о параллельных прямых более 2000 лет отрицалась научным (более узко  — математическим) сообществом, настоящая работа может сыграть потенциально весьма важную роль в процессе начинающегося тотального катарсиса (обрушения всего спектра базовых локальных ноопарадигм, основанных на второй сигнально-коммуникативной системе, и второй универсальной ноопарадигмы в целом по «принципу домино»), а также разработки и массового внедрения третьей глобальной ноопарадигмы и ее ядра (кариона) – «Метаорганона».

Центральным объектом критики в настоящей работе является неадекватно понимаемая  и применяемая мировым научным сообществом в широком смысле (начиная с Аристотеля и Евклида) идея потенциальной бесконечности, ставшая практически непреодолимым тормозом на пути научного прогресса.

Ниже приводятся лишь некоторые (наиболее показательные из десятков возможных вариантов) опровержения Евклидовской и Не-Евклидовской точек зрения на параллельные прямые и, соответственно,  доказательства Теоремы о параллельных прямых.

В работе показано, что сама по себе проблематика параллельных (несмотря на распространенное мнение) не является главной причиной тотальной когнитивной неадекватности и самопротиворечивости Евклидовской геометрии, ее применимости только в достаточно узкой «полосе» гносеологических и инженерно-технических задач.

В принципе, достаточно устранить идею потенциальной бесконечности из понятия «параллельные прямые» и логически корректным образом переформулировать условия параллельности (заменить критерий «пересекаемости-непересекаемости» на критерий «сближаемости-несближаемости»), как в геометрии Евклида все придет в более или менее оптимальный порядок.

Но — с точки зрения дальнейшего развития геометрии и ментальной системы развития человечества в целом – этого абсолютно недостаточно. Нужно еще внести серьезные логико-семантические корректировки во все ключевые понятия и методы геометрии. И тогда человечество получит поистине уникальный инструмент мышления и инженерной деятельности, который позволит выйти на совершенно иные уровни науки и техники.

То есть главная проблема геометрии состоит в неадекватном понимании и определении практически всех ее наиболее фундаментальных понятий – таких, как прямая, точка и т.д.

Иначе говоря, нужно четко понимать, что проблематика параллельных – лишь «верхушка айсберга» когнитивных трудностей и несоответствий классической геометрии и глобальной ментальной парадигмы в целом.

Тем не менее, опровержение Евклидовских и Неевклидовских представлений о параллельности и смежных вопросах (прежде всего – в части использования идеи потенциальной бесконечности в базовых понятиях и конструкциях геометрии) означает (наряду с переосмыслением ряда других важнейших концептов логики и математики) начало развертывания глобального процесса обрушения второй универсальной ноопарадигмы (глобального катарсиса по «принципу домино») и становления ароинновационного (аронтического) общества, основанного на третьей глобальной ноопарадигме.

Кроме того, гармоническая геометрия (шире – юниметрия) играет одну из ключевых ролей в становлении «Метаорганона» как интегрированной ментальной технологии будущего и идеологии Сверхсильного (Демиургического) Самосознающего Искусственного Интеллекта.

Глава 1. Доказательства основных утверждений, равносильных Теореме о параллельных прямых

Официальными (наиболее легитимными и авторитетными) современными формулировками 5 постулата Евклида являются следующие:

1. И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых (5 постулат Евклида).
2. Существует не более одной прямой, которая может быть проведена параллельно другой заданной прямой через внешнюю точку (Аксиома Плейфера) (Аналог — в плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной).

          У этих утверждений (учитывая весьма «богатую» всякого рода недоразумениями и паралогизмами историю 5 постулата) существует достаточно большое количество (около 40 в общей сложности) «семантически параллельных» формулировок, считающихся «равносильными» (хотя это само по себе спорное утверждение), многие из которых достаточно очевидны и могут быть относительно легко (как будет показано ниже) доказаны без апелляции к «постулату о параллельных прямых».

Вот некоторые (наиболее показательные и важные) из них.

1. Площадь треугольника не ограничена сверху (Аксиома Уоллиса) (Аналог: существует треугольник сколь угодно большой площади).
2. Точки, равноудалённые от данной прямой (по одну её сторону), образуют прямую (Аналоги: а) существует пара прямых линий, которые находятся на постоянном расстоянии друг от друга и б) расстояние между параллельными прямыми всегда постоянно, то есть параллельные прямые не могут ни сближаться, ни расходиться).
3. Через любую точку внутри острого угла, всегда можно провести прямую, которая пересечёт обе стороны угла (Лежандр) (Аналог: прямая, проходящая через точку внутри угла — меньшего, чем 180 градусов — пересекает по крайней мере одну его сторону. И.Ф. Лоренц, 1791).
4. Существует прямоугольник (четырёхугольник, у которого все углы прямые) (Аналоги: а) существует четырёхугольник, сумма углов которого равна 360°, б) если три угла четырёхугольника являются прямыми углами, то четвёртый угол также является прямым, в) углы при вершинах четырёхугольника Саккери равны 90°.
5. Равносильные формулировки 5 постулата, касающиеся треугольников: а) существуют подобные, но не равные треугольники (аксиома Валлиса, 1693), б) сумма углов в любом треугольнике равна 180°, в) существует треугольник, сумма углов которого равна двум прямым углам, г) сумма углов одинакова у всех треугольников, д) каждый треугольник может быть описан, е) в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон (теорема Пифагора), ж) перпендикулярные биссектрисы сторон треугольника являются параллельными прямыми. З) для всякого невырожденного треугольника существует описанная окружность (аксиома Фаркаша Бойяи).
6. Любую фигуру можно пропорционально увеличить.
7. Две прямые, параллельные третьей, параллельны и друг другу (аксиома Остроградского, 1855).
8. Линия, ортогональная некоторому семейству параллельных прямых, является прямой.
9. Прямая, пересекающая одну из параллельных прямых, непременно пересечёт и другую.
10. Любые три отдельные линии имеют общую поперечную линию.
11. Не существует трёх прямых, две из которых лежат по одну сторону от третьей.
12. Любые две параллельные прямые имеют две общие перпендикулярные линии (Аналог: две любые параллельные прямые имеют общий перпендикуляр).
13. Отношение длины окружности к её диаметру является константой, то есть одинаково для любой окружности (существует окружность, у которой отношение длины окружности к её диаметру равно числу Пи).

Некоторые из приведенных выше «равносильных» формулировок 5 постулата в явном виде используют такой важный (для дальнейшего изложения)  критерий параллельности (и ее отсутствия), как несближаемость-сближаемость прямых:

1. Точки, равноудалённые от данной прямой (по одну её сторону), образуют прямую (расстояние между параллельными прямыми всегда постоянно, то есть параллельные прямые не могут ни сближаться, ни расходиться).
2. Сближающиеся прямые рано или поздно пересекутся (перпендикуляр и наклонная к одной и той же прямой непременно пересекаются. Постулат Ат-Туси и Лежандра).
3. Если две прямые начали сближаться, то невозможно, чтобы они затем начали (в ту же сторону, без пересечения) расходиться — аксиома Роберта Симсона, 1756 (аналог: если две прямые в одну сторону расходятся, то в другую — сближаются).

Как представляется, все эти утверждения достаточно легко доказуемы даже в существующей (дисгармонической, паралогичной) версии «Начал» Евклида, не говоря уже о версии гармонизированной («гармонической геометрии»), о которой речь пойдет ниже.

Но в аргументировании (исчерпывающей верификации) всех этих утверждений нет большого смысла (разве что в смысле тренинга интеллекта), поскольку для доказательства 5 постулата, по мнению математического сообщества, достаточно установить истинность лишь одного из них.

В качестве жеста «доброй воли» докажем первые 3 из них (они же – наиболее интересные в семантическом отношении). Доказательство остальных названных выше утверждений (и многих других, им подобных по смыслу) предоставляется читателю.

1.1.   Докажем вначале утверждение: Площадь треугольника не ограничена сверху (Аксиома Уоллиса) (Аналог: существует треугольник сколь угодно большой площади).

Рис. 1.1. Существует Большой Треугольник (аналоги: площадь треугольника не ограничена сверху, существует треугольник сколь угодно большой площади).

Дано: Наша Вселенная, имеющая диаметр примерно 90-100 млрд. световых лет, позиционируемая в нашем рассуждении как геометрический объект с «достаточно большой» площадью.

Произвольным образом – в одной из двух триллионов «Галактик Far», входящих в «Нашу Вселенную» (диаметр среднестатистической галактики – 30 000 световых лет), — выбираем исходную точку А для построения (достаточно) «Большого Треугольника», существенно превышающего «Нашу Вселенную» по площади.

В соответствии с 3-м постулатом (« … из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг») отмеряем (выбираем) отрезок прямой размером в 100 триллионов световых лет (АВ), рассматриваемый в качестве радиуса круга, описанного вокруг «Нашей Вселенной». Имеем отстоящие друг от друга на 100 трлн. световых лет точки А и В, являющиеся базой наших рассуждений.      

Далее, в соответствии с все тем же 3-м постулатом, описываем круги из точек А и В. Очевидно, что указанные круги (окружности) пересекаются в некоторой точке, которую мы назовем точкой С. Соединим точки А, В и С между собой. В соответствии с Постулатом 1 («… от всякой точки до всякой точки <можно> провести прямую линию») получим три отрезка прямых длиной в 100 триллионов световых лет каждый, составляющих равносторонний треугольник АВС. Констатируем, что каждая из сторон данного треугольника примерно в 1000 раз больше предполагаемого астрономами диаметра «нашей Вселенной».

Вычислим площадь предполагаемого трансвселенского равностороннего треугольника со стороной в «а» световых лет (а = 100 трлн. световых лет) по стандартной формуле вычисления площади равностороннего треугольника:

S = (a^2  x 3^1/2 )/4 .

Имеем: (при  a = 100 трлн. световых лет) S = (a^2  x 3^1/2 )/4  =  4330.1270 трлн. световых лет в квадрате. Иными словами, нам ничто – в Евклидовской геометрии — не мешало ни построить «сверхбольшой равносторонний треугольник» с площадью в 4330.1270 трлн. световых лет в квадрате, что заведомо многократно больше, чем площадь «нашей Вселенной», ни вычислить эту площадь с произвольным числом десятичных знаков после запятой.

Соответственно, утверждение: Площадь треугольника не ограничена сверху (Аксиома Уоллиса) (Аналог: существует треугольник сколь угодно большой площади) будем считать доказанным.

А вместе с ним и 5 постулат Евклидовской геометрии.

           Единственным возражением со стороны глобального математического сообщества против приведенного выше рассуждения может быть утверждение, что 100 трлн. световых лет и, соответственно, 4330,13 трлн. световых лет в квадрате – это относительно небольшие (недостаточно большие) величины, чтобы с уверенностью говорить о существовании «действительно Большого Треугольника». Для таких – слишком требовательных – людей (для которых объект в миллионы раз больший по площади, чем «Наша Вселенная», недостаточно велик) приведенное выше рассуждение легко может быть проведено с отрезком в 100 квадриллионов световых лет (и далее по возрастанию величин).

1.2.   Рассмотрим утверждения: Точки, равноудалённые от данной прямой (по одну её сторону), образуют прямую (Аналоги: а) существует пара прямых линий, которые находятся на постоянном расстоянии друг от друга и б) расстояние между параллельными прямыми всегда постоянно, то есть параллельные прямые не могут ни сближаться, ни расходиться).

Что касается первого из приведенных выше утверждений («Точки, равноудалённые от данной прямой (по одну её сторону), образуют прямую»), то оно не вполне корректно (точнее, абсолютно некорректно). Дело в том, что оно несколько вольно (мягко говоря) трактует определение прямой, данное Евклидом: «Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней». И это вообще никак не касается 5 постулата Евклида. Это – вопрос о корректном определении прямой в «Началах», полное рассмотрение которого выходит далеко за пределы настоящей работы. В предварительном плане данный вопрос будет рассмотрен ниже.

Рис. 1.2.1.  Прямая —  множество равноудаленных от другой прямой точек (ложь).

Дело в том, что, когда Посидонию приписывают (инкриминируют) утверждение, что множество равноудаленных от другой прямой точек есть прямая, возможно, мы имеем дело с явным (вполне намеренным и осознанным) ментальным фейком. На самом деле, Посидоний, скорее всего, никогда ничего подобного не говорил (тем более, что построить множество равноудаленных от произвольно взятой прямой точек – это задача гораздо более сложная в геометрическом смысле, чем построить один перпендикуляр, отложить на нем нужное расстояние с помощью циркуля и соединить полученные 2 точки прямой согласно 1 постулату). Как представляется, он говорил лишь об эквидистантности (равноудаленности друг от друга) двух прямых как критерии параллельности. И это — истина.

Второе и третье утверждения: «существует пара прямых линий, которые находятся на постоянном расстоянии друг от друга» и «расстояние между параллельными прямыми всегда постоянно, то есть параллельные прямые не могут ни сближаться, ни расходиться» намного более корректны в семантическом отношении. И их разрешимость находится вполне в пределах аксиоматики Евклида и семантического пространства его геометрии в целом.

Рис. 1.2.2. Параллельность эквидистантных прямых.

Рассмотрим рис. 1.2.2. Нам ничто (в геометрии Евклида) не мешает построить (восставить) перпендикуляр DC на прямой m на произвольном расстоянии от точки A. Мы также вполне можем (с помощью циркуля, согласно 3 постулату) отложить на этом перпендикуляре отрезок CD,  равный по величине отрезку BA. Наконец, мы вполне в праве соединить точки B и D, получив отрезок прямой  BD (1 постулат). Соответственно, мы получаем прямую BD (n), эквидистантную (равноудаленную) по отношению к прямой AC (m), что семантически эквивалентно утверждениям: «существует пара прямых линий, которые находятся на постоянном расстоянии друг от друга» и «расстояние между параллельными прямыми всегда постоянно, то есть параллельные прямые не могут ни сближаться, ни расходиться».

Здесь следует обратить особое внимание на тот факт, что в данном рассуждении мы имеем дело не с множеством точек, лежащих на равном расстоянии от прямой m, как это пытаются инкриминировать Посидонию, а вполне себе легитимной прямой n (отрезок BD), построенной в полном соответствии с 1 постулатом Евклида.

Причем последнее утверждение даже более справедливо, чем предпоследнее, поскольку речь в нем идет (пусть и косвенно) о «несближаемости» двух рассматриваемых прямых, о чем будет говориться ниже.

Таким образом, релевантные утверждения по пункту 1.2. (и, соответственно, теорема о параллельных прямых) также доказаны.

1.3.   Докажем, наконец, утверждения: а) Через любую точку внутри острого угла, всегда можно провести прямую, которая пересечёт обе стороны угла (Лежандр)  и б) прямая, проходящая через точку внутри угла — меньшего, чем 180 градусов — пересекает по крайней мере одну его сторону (И.Ф. Лоренц, 1791)

Рис. 1.3.1. Через любую точку внутри острого угла, всегда можно провести прямую, которая пересечёт обе стороны угла (Лежандр)

Дано: Угол, представляющий собой 2 расходящихся луча, исходящие из точки О  (без ограничения общности по его величине), и точка Z внутри данного угла.

В соответствии с третьим постулатом Евклида («И что из всякого центра и всяким раствором <может быть> описан круг»), откладываем циркулем отрезок ZO и из точки Z описываем круг с радиусом ZO, изображенный на рисунке.

Легко видеть, что круг, описанный из точки z, пересекает оба луча рассматриваемого угла. Возьмем одну из точек пересечения лучей угла с кругом с центром Z (например, точку А) для дальнейших рассуждений.

Обе точки пересечения лучей угла с кругом нам не нужны.

Соединим (в соответствии с 1-м постулатом) точки Z и A. Получим отрезок прямой  ZA, который уже частично (более, чем на ½ в нашем графическом примере) решает первоначальную задачу. Теперь обратим внимание на тот факт, что нам ничего не мешает соединить точку Z с имеющимся у нас кругом, продлив отрезок ZA на необходимое расстояние (2 постулат).

В противном случае мы имели бы дело с ситуацией, когда мы можем провести радиус круга в одну сторону (ZA), но не можем осуществить такое же (логически и математически идентичное) действие в другую сторону (ZC), что абсурдно.

Проведем (в соответствии с постулатом 2) прямую ZC (представляющую собой радиус рассматриваемого круга). Теперь констатируем, что – в ходе своего движения к точке С – отрезок ZC  с необходимостью пересекает второй луч угла О в точке В.

Получаем отрезок АВ = ВZ + ZA, проходящий через точку Z и пересекающий оба луча  угла О, что и требовалось доказать.

Рассмотрим теперь аналог вышерассмотренного утверждения Лежандра.  «Прямая, проходящая через точку внутри угла — меньшего, чем 180 градусов — пересекает по крайней мере одну его сторону». И.Ф. Лоренц, 1791

Утверждение довольно странное в том смысле, что в нем говорится не о двух, а об одной стороне угла.

Единственное отличие – речь идет не об остром угле, а об угле, меньшем 180 градусов. То есть данное утверждение охватывает также область не-острых углов (90 и 90+ градусов).

Рис. 1.3.2.  Прямая, проходящая через точку внутри угла — меньшего, чем 180 градусов — пересекает по крайней мере одну его сторону». И.Ф. Лоренц, 1791

Рассмотрим ситуацию, отображенную на рисунке 1.3.2. Легко видеть, что мы, не нарушая каких-либо установлений геометрии Евклида, можем последовательно отложить (постулат 3) сколько угодно отрезков, равных ZO на луче АO (А₁, А₂, А₃, А₄ …). Ограничимся в рассматриваемом случае (без устранения общности) 4-мя такими отрезками, дающими возможность с легкостью (без проблем с углами) преодолеть внутренние расстояния произвольно взятого тупого угла О.

Проводим круг с радиусом ZА₄. Поучаем ситуацию, полностью аналогичную ситуации с вышерассмотренным утверждением Лежандра. Соединяем точки Z и A4 между собой, получаем отрезок ZА₄, полностью удовлетворяющий утверждению Лоренца.

Теорема о параллельных в очередной раз доказана. Но мы пойдем дальше и проведем отрезок ZD, представляющий собой второй радиус круга с центром Z. По пути пересекаем второй луч с центральной точкой О в точке В. Имеем: А₄В = А₄Z + ZВ, то есть констатируем факт пересечения прямой ВА4 обоих лучей угла с центральной точкой О.

Это позволяет обосновать (доказать) и более сильное утверждение, чем рассмотренная выше теорема Лоренца: Прямая, проходящая через точку внутри угла — меньшего, чем 180 градусов, — пересекает обе стороны угла.

Доказанные выше утверждения (1.1. – 1.3.) полностью решают проблему параллельных прямых в рамках логики и семантики геометрии Евклида (даже без внесения в нее необходимых и достаточных изменений, о которых речь пойдет ниже) и автоматически переводят 5-й постулат в статус Теоремы.

В этом контексте можно предложить заинтересованным читателям (включая профессиональных математиков) самостоятельно (в качестве интеллектуального тренинга, уже не отягощенного грузом «негативного авторитета тысячелетий») осуществить доказательства большинства приведенных выше утверждений-аналогов теоремы о параллельных, но это – в любом случае — не решит проблему паралогичности (в частности – самопротиворечивости) геометрии Евклида в целом.

Дело в том, что проблема параллельных прямых в Евклидовской геометрии – далеко не единственная (не самая значимая и несамодостаточная)  логико-семантическая трудность этой теории, хотя в течение 2+ тысячелетий большинство математиков мира считали именно так. Просто проблема параллельных – наиболее очевидная трудность («неочевидность») Евклидовской геометрии, затмевавшая своим «ментальным блеском» и, одновременно, «логической нищетой» все остальные паралогизмы на протяжении 2+ тысячелетий.

 Во второй главе настоящей работы будет предложено более адекватное, как представляется, понимание общей ситуации с паралогичностью «Начал» Евклида и, соответственно, более релевантное решение проблемы параллельных прямых.

Глава 2. Устранение паралогизмов Евклидовской геометрии и доказательство Теоремы о параллельных

1.2. Общая критика Евклидовской геометрии

Центральная логико-математическая проблема Евклидовской геометрии, как представляется, состоит в том, что в древнегреческой философии, логике и математике был изначально совершенно неадекватно решен вопрос о соотношении потенциальной и актуальной бесконечностей в арифметических и геометрических построениях и доказательствах.

В частности, во всех конкретных когнитивных ситуациях (определения базовых объектов, постулаты, вычислительные алгоритмы  и т.д.) приоритет – совершенно неоправданно – отдавался потенциальной бесконечности, а бесконечность актуальная безосновательно проблематизировалась и дезавуировалась. Особенно своим предвзятым и некорректным отношением к актуальной бесконечности выделялся Аристотель, который вообще отказывал последней в праве на существование. Не отставал от него и сам Евклид, внесший, по-видимому, решающий вклад в дело тотальной паралогизации своей геометрии путем выстраивания ее вокруг концепта потенциальной бесконечности. И проблема параллельных была – в этом смысле – лишь «вишенкой на торте» (наиболее очевидной из накопленных нерешенных проблем).

 Поэтому начинать процесс гармонизации Евклидовской геометрии следовало бы не с попыток разрешения проблемы параллельных (5-й постулат) (и, тем более, не с априори паралогичного конструирования альтернативной геометрии на совершенно неочевидном в истинностном отношении отрицании 5-го постулата (выборе не менее проблематичного, чем исходный, контрпостулата), как это было сделано в «неевклидовских» геометриях Н. Лобачевского и иже с ним), а совсем с другой стороны.

 Рассмотрим, в частности, некоторые определения и постулаты «Начал» Евклида, которые вносили (и вносят) наибольший вклад в бессмысленность, неопределенность и самопротиворечивость этой математической доктрины.

Причем, что сверхважно, если проблема параллельных просто мешала более или менее комфортному рассуждению в геометрии, предоставляя вполне обоснованные поводы для релевантных сомнений в правильности (истинности) получаемых с ее помощью решений (результатов), то другие конструктивные просчеты «Начал» Евклида просто тотально блокировали прогресс геометрии, в результате чего абсолютно нерешенными оказались, в частности, такие важнейшие (высокоприоритетные, дающие фундаментальную когнитивную и инженерную перспективу) задачи, как «трисекция угла», «квадратура круга», «удвоение куба» и многие, многие другие.

Другими словами, если бы ключевые логико-математические недостатки «Начал» Евклида были устранены изначально (или, хотя бы, в рамках периода античности), то современная геометрия была на несколько порядков содержательнее и эффективнее в решении всех когнитивных и инженерно-технических задач человечества.

2.2  Устранение паралогичных (бессмысленных, неопределенных и самопротиворечивых) постулатов Евклидовской геометрии

Итак, начнем обещанную выше гармонизацию классической геометрии с критики основных пяти постулатов, приведенных в «Началах» Евклида.

В «Началах» говорится:

«Допустим:

1.      Что от всякой точки до всякой точки <можно> провести прямую линию.

2.      И что ограниченную прямую <можно> непрерывно продолжать по прямой.

3.      И что из всякого центра и всяким раствором <может быть> описан круг.

4.      И что все прямые углы равны между собой.

5.      И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти две прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы меньшие двух прямых».

Пойдем от «последнего» (5-го) постулата — к «первому».

Убедимся вначале, что 5-й постулат (постулат о параллельных) в версии Евклида изначально грешит тем недостатком, что он представляет собой некое неаргументированное (безосновательное) утверждение об итогах потенциального (незаконченного) процесса, фактически, утверждение о будущем, которое прямо запрещено в логике Аристотеля.

И, хотя никто из математиков никогда ранее прямо не обвинял 5 постулат в нарушении общелогического запрета на утверждения о будущем, это обстоятельство подспудно вносило некий латентный «когнитивный диссонанс» в умы математиков всех времен. Названная ментальная ситуация, действительно, дает некоторое «моральное» основание апологетам Неевклидовских геометрий сомневаться в логической корректности и истинности данного постулата. И, хотя, принятие произвольно взятой альтернативной формулировки 5-го постулата (контрпостулата Н. Лобачевского, скажем) в качестве базиса для построения новой геометрии, априори не делает данную (неевклидовскую) геометрию истинной (хотя многие именно так всуе и считают), тем не менее, данная ситуация усугубляет возникшее в последние 200+ лет недоверие к геометрии Евклида.

В этом смысле подлинным решением проблемы параллельных прямых в геометрии   было бы или полное доказательство (пусть и в модифицированном виде) или полное опровержение 5-го постулата, а не условное принятие в качестве истинного утверждения его логической альтернативы (простого контрадикторного отрицания). 

Иначе говоря, если мы не можем доказать (или опровергнуть) некое логико-математическое утверждение А, то принятие утверждения не-А (5-го постулата в версии Лобачевского и иже с ним) в качестве априорно (и очевидно) истинного (пусть и условно) высказывания, постулата – это очевидная логическая ошибка (алогизм, паралогизм – как угодно), делающая современное геометрическое знание даже не самопротиворечивым, а бессмысленным (за исключением некоторого узкого круга теорем, которые сегодня называются «абсолютной геометрией».

Тем более бессмысленной является часто встречающаяся в современной математике попытка трактовать геометрию Евклида (А) в качестве «частного случая» геометрии Лобачевского (не-А). Фактически, речь идет о стремлении современной математики признать утверждения А и не-А истинными в одно и то же время и в тождественном отношении (пусть и с некоторым «моральным ущербом» для А), что, очевидно, совершенно неприемлемо в логическом смысле. 

Поэтому 5-й постулат в текущей трактовке в любом случае должен быть исключен из списка постулатов новой геометрии (его следует либо доказать в том или ином виде, либо полностью опровергнуть и удалить).

4-й постулат. «Все прямые углы равны между собой». Данное утверждение, как и вышерассмотренная попытка одновременного акцептирования сторон дихотомии А и не-А в нарушение закона непротиворечия, является абсолютно бессмысленным, хотя и в несколько ином аспекте.

Дело в том, что данное утверждение ничем – в логико-семантическом плане — не отличается от одного из 360 утверждений типа: 1. «И что все углы в 1 градус равны между собой», 2. «И что все углы в 2 градуса равны между собой», …, 90. «И что все углы в 90 градусов равны между собой» («Все прямые углы равны между собой»), …  360. «И что все углы в 360 градусов равны между собой».

Почему именно оно (с акцентом на 90 градусов) удостоилось «чести» стать одним из 5-ти постулатов геометрии Евклида – совершенная загадка. То есть всякого рода объяснений (более или менее правдоподобных) на эту тему можно придумать множество, но все они (равным образом) являются абсолютно несостоятельными.

Соответственно, исключаем и 4-й постулат из первоначального списка постулатов по причине его абсолютной содержательной тривиальности и бессмысленности (нефункциональности). Таких – с позволения сказать — «постулатов» (истинных, но тривиальных) много предложить много миллионов.

К 1 и 3 постулатам на данном этапе рассмотрения Евклидовской геометрии у нас претензий нет. Поэтому перейдем к рассмотрению второго постулата.

Допустим, «… что ограниченную прямую <можно> непрерывно продолжать по прямой».

Вот здесь, как представляется, и «зарыта» главная проблема Евклидовской геометрии. О чем идет речь? Дело в том, что статус прямой для произвольно взятого отрезка линии, ограниченного 2-мя точками, гарантируется 1-м постулатом (« … от всякой точки до всякой точки <можно> провести прямую линию»). При этом, напомним, линия определяется у Евклида как «длина без ширины», «концы же линии – точки».

Что же гарантирует статус «прямой линии» такому странному объекту, как ограниченная прямая (отрезок), «непрерывно продолжаемая по прямой»?

Ничто. Дело в том,  что 1-й постулат предлагает единственный «легитимный» путь для произвольно взятой линии получить статус «прямой» —  соединение двух точек (с помощью линейки). Это сразу решает множество проблем и, в частности, проблему соотношения точек и линии в определении прямой (вспомним ситуацию с проблематизацией, неправомерным дезавуированием доказательства Посидония).

Далее. Согласно имеющемуся в «Началах» определению прямой: «4.   Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней».  Конечно, приведенное определение прямой – не самое точное из возможных, однако это то, что делает геометрию Евклида более или менее работоспособным инструментом познания и инженерной деятельности. Во всяком случае, другого в рамках рассматриваемой геометрической системы не дано.

И кто же сказал, что «непрерывно продолжаемая по прямой» линия есть «прямая линия»? Где здесь завершающая точка, без которой прямая линия, согласно 1 постулату, не может быть сгенерирована (проведена)? Иначе говоря, здесь мы опять (но на гораздо более глубоком и незаметном уровне сталкиваемся с ситуацией, что потенциальная бесконечность совершенно неоправданным и самопротиворечивым образом получает приоритет над актуальной бесконечностью).

Если принять (согласно 1 постулату), что все прямые – это отрезки линии (ограниченные начальными и конечными точками), все встает на места. Тогда мы можем более или менее непротиворечивым способом решать вопрос о соотношении множества точек и прямой (отрезка, их содержащего). Мы просто указываем на тот факт, что это (какое-то легитимное решение вопроса о соотношении точек на прямой и самой прямой) гарантируется 1-м постулатом (прощай, Прокл, да здравствует Посидоний).  

Но это совершенно не касается указанного в постулате 2 незавершенного объекта, не имеющего конечной точки. Это – не прямая, а луч, пусть и продолжающий произвольно взятый отрезок прямой.   

И как он соотносится с точками (возможно, лежащими на нем) – совершенно непонятно. То есть постулаты 1 и 2 прямо противоречат друг другу. Они называют прямыми взаимно противоречащие однородные объекты: завершенный (отрезок линии) и незавершенный (луч без конечной точки).    

Разумеется, это совершенно неприемлемо, хотя более 2000 лет эта ситуация (на фоне более «острых» проблем с 5 постулатом) всех почему-то вполне устраивала. В этом, кстати говоря, и кроется основная (хоть и «латентная») причина проблем Евклидовской геометрии с параллельными прямыми.

Где же выход? Выход состоит в том, чтобы просто убрать из геометрии 2-й постулат (в любом качестве).

Что же получится? У нас (в обновленной геометрии) останутся всего 2 постулата – 1й (от всякой точки до всякой точки <можно> провести прямую линию) и 3-й  (новый 2-й) (из всякого центра и всяким раствором <может быть> описан круг).

И как же будет решаться вопрос о неограниченном продлении прямой, который раньше гарантировался вторым постулатом?

Очень просто. В случае необходимости продления некоторого отрезка прямой на произвольно большое расстояние (например, на 100 триллионов световых лет) от наличного отрезка, нужно будет просто встать одной «ножкой» Циркуля на конечную точку имеющегося отрезка, взять (отложить) другой «ножкой» желаемое расстояние, провести окружность (круг), а потом продлить изначально имевшийся отрезок с помощью линейки до его пересечения с ранее проведенной окружностью. Это гарантирует получение искомой «второй точки», необходимой и достаточной для построения увеличенной по размеру прямой (нового – большего, чем прежний, — отрезка).

Таким образом, действительно, мы только что не только успешно избавили Евклидовскую геометрию от самого, пожалуй, главного ее самопротиворечия, но и – в соответствии с бритвой Оккама («Не следует множить сущее без необходимости») – освободили рассматриваемую геометрическую систему от совершенно излишней (фактически паразитарной и крайне вредоносной) ментальной сущности (2-го постулата).

Теперь, когда у нас осталось всего два, но очень важных и работоспособных постулата, рассмотрим Евклидовское определение параллельности:

«23.  Параллельные суть прямые, которые, находясь в одной плоскости и будучи продолжены в обе стороны неограниченно), ни с той, ни с другой «стороны» между собой не встречаются».

          Легко видеть, что здесь, как и в ранее рассмотренных случаях, мы имеем дело с потенциальной бесконечностью в ее худшем проявлении.

          Действительно, мы уже ранее выяснили, что «неограниченно» продолжать одну или несколько прямых логически корректным способом можно только путем комбинации оставшихся двух постулатов (путем построения 2-х точек и их соединения прямой). Другого не дано. Но как же быть с невстречаемостью (непересекаемостью)?

Дело в том, что сама идея невстречаемости (непересекаемости) чего-либо (в частности, параллельных прямых) применительно к потенциальной бесконечности (априори незавершенному процессу), есть некая «скрытая» форма утверждения о будущем, что недопустимо в классической формальной логике. Поэтому данное определение в любой случае надо как-то «стабилизировать», сделать «статичным» и полностью верифицируемым (операционализируемым).

Как это сделать? Данный вопрос и будет рассмотрен в главе 2.3.

2.3. Новое определение параллельных прямых и теорема о параллельных

Любопытно, что полное решение проблемы параллельных, а заодно и устранения первого («эшелона») самопротиворечий Евклидовской геометрии, по сути, содержалось уже в Посидониевской версии Теоремы о параллельных прямых, дружно дезавуированной всем мировым математическим сообществом уже более 2-х тысяч лет тому назад. 

          И вопрос – не в соотношении прямой и точек на ней, педалируемом математическими ортодоксами, пытающимися дискредитировать доказательства Посидония. Это – совершенно другая история, к которой мы в скором времени (в другой работе) обязательно вернемся, хотя начало обсуждения этой проблематики будет положено уже здесь.

          Речь идет о другом. – О несближаемости параллельных прямых. Напомним, что согласно Посидонию: «… расстояние между параллельными прямыми всегда постоянно, то есть параллельные прямые не могут ни сближаться, ни расходиться».

           Конечно, несближаемость параллельных прямых – прямое следствие их взаимной эквидистантности (равноудаленности друг от друга на всем протяжении), но все-таки это очень удобный и операбельный абсолютно самостоятельный критерий параллельности, который и будет взят нами за основу новой (гармонической) геометрии.

          Рассмотрим нижепредставленный рисунок 2.3.1.

Рисунок 2.3.1. Основные виды геометрически допустимых линий.

Из рисунка 2.3.1. с необходимостью вытекает тот факт, что при рассмотрении конечного отрезка прямой ВС (m) длиной, скажем, 100 триллионов световых лет, и точки A, лежащей на плоскости вне названной прямой, мы имеем ровно три класса прямых, имеющих различные свойства в смысле их отношения к перпендикуляру DC = АВ и отрезку ВС:

1. Прямая АС, пересекающая отрезок ВС, принадлежащий прямой m, и упирающаяся в основание перпендикуляра  DC.
2. Прямые AC₁, АC₂, АC₃, … ACk, пересекающие перпендикуляр DC, но не пересекающие отрезок ВС, хотя и сближающиеся с прямой m.
3. Отрезок АD (такой что АВ= DC по построению), принадлежащий n, не пересекающий прямую m и не сближающуюся с ней.

Итак, мы имеем:

а) несближающуюся с m (эквидистантную по отношению к ней) прямую n (отрезок AD) и

б) сближающиеся с прямой m (неэквидистантные) прямые AC (секущая) и AC₁, АC₂, АC₃, … АCk (пересекающие перпендикуляр DС).

Иными словами, мы имеем одну несближающуюся с m прямую (AD) и множество сближающихся с m (и даже, возможно, пересекающих ее в будущем, по мере дальнейшего движения) прямых АС, …,  АCk.

 Как тогда будет выглядеть определение параллельных? Очень просто и элегантно: Параллельные суть прямые, которые, находясь в одной плоскости и будучи продолжены в обе стороны неограниченно (посредством множества релевантных итераций — при помощи указанных выше 2-х взаимодополняющих постулатов), ни с той, ни с другой «стороны» между собой не сближаются (и, как следствие, взаимно эквидистантны на всем своем протяжении).

То есть отрезок AD (лежащий на прямой n) и есть искомая параллельная прямая, а несближаемость – ключевой момент всей предлагаемой ментальной конструкции. 

А что, собственно, изменилось? Изменилось все. Выбор свойства несближаемости (в пределе – общей эквидистантности) в качестве критерия параллельности, во-первых, устраняет из геометрии Евклида самопротиворечивую потенциальную бесконечность (утверждения о будущем, нестабильные, самонеадекватные объекты и т.д.) и, во-вторых, дает операбельный (хорошо измеримый) конечный критерий параллельности (несближаемость, эквидистантность).

          Как же можно измерить и практически использовать этот критерий показатель? Очень просто. Рассмотрим рисунок 2.3.2.

Рис. 2.3.2. Непараллельность (сближаемость, неэквидистантность) прямых

На рисунке 2.3.2. изображены: базовая прямая m, точка A вне ее, перпендикуляр АВ, восстановленный (опущенный) к прямой  m, окружность с центром А и радиусом АВ, а также отрезки (перпендикуляры) СH и DG, опущенные на прямую m.

Легко видеть, что интересующая нас на данном рисунке прямая p, проходящая через точку А, является сближающейся с прямой m с одной из сторон, то есть непараллельной (неэквидистантной) к ней.

Чтобы убедиться в этом, достаточно – с помощью циркуля – сравнить отрезки CH, AB, DG по величине.

При этом легко выяснится, что CH > AB > DG. Возможны, конечно, разного рода спорные (лимитрофные) случаи типа CH = а х 1,000001  > AB = а х 1,0   > DG = а х 0,999999, но такие прецеденты, как представляется, легко можно относить к категории параллельности (эквидистантности) без потери общности или наоборот – к категории непараллельности (в зависимости от установок той или иной модификации рассматриваемой геометрической системы).

Другими словами, более или менее точно верифицируемое соотношение CH > AB > DG — это и есть прямое доказательство сближаемости (неэквидистантности) прямых p и m с одной из сторон (в нашем случае – правой) и, соответственно, расходимости рассматриваемых прямых с левой стороны. В обоих случаях прямые p и m оказываются непараллельными.

В случае, если у «особо продвинутых» скептиков те или иные сомнения останутся актуальными и после построений и измерений, указанных на рис. 2.2.2., можно провести еще один или несколько перпендикуляров к прямой m, пересекающих (одновременно) прямую  p (факультативно). Очевидно, что с каждой новой такой итерацией неравенство CH > AB > DG > …> … будет становиться все очевиднее (в смысле установления факта сближаемости (неэквидистантности) рассматриваемых прямых.

Легко видеть, что непараллельность (несближаемость, неэквидистантность) здесь доказывается (верифицируется) прямым измерением ключевых отрезков прямых (перепендикуляров), причем – при необходимости – неограниченное количество раз, без весьма спорного и ненадежного рассмотрения вопроса о различного рода углах и их соотношениях. Это сильно облегчает все рассуждения гармонической геометрии (как 1, так и 2 родов), связанные с параллельностью.

 Рис. 2.3.3. Параллельность (несближаемость, эквидистантность) прямых

 На рисунке 2.3.3. изображены: базовая прямая m, точка A вне ее, прямая n, проведенная через точку А, перпендикуляр АВ, восстановленный (опущенный) к прямой  m, окружность с центром А и радиусом АВ, а также отрезки (перпендикуляры) СЕ и DF, опущенные на прямую m.

  Легко видеть (и убедиться в этом с помощью циркуля), что CE = AB = DF, что свидетельствует о несближаемости (строгой эквидистантности, параллельности) прямых m и n. Это и есть простейший и наиболее надежный способ верификации факта взаимной параллельности (несближаемости) двух произвольно взятых прямых.

Опять же, если у кого-то (паче чаяния) останутся какие-то сомнения и после построений и измерений, указанных на рис. 2.3.3., можно провести (для пущей надежности) еще один или несколько перпендикуляров к прямой m, пересекающих (одновременно) прямую  n. Очевидно, что с каждой новой такой итерацией равенство CE = AB = DF = …= … будет становиться все очевиднее (в смысле установления факта несближаемости, шире — эквидистантности рассматриваемых прямых).

Легко видеть, что параллельность (сближаемость, эквидистантность) здесь доказывается (верифицируется) прямым измерением ключевых отрезков прямых (перепендикуляров), причем – при необходимости – неограниченное количество раз, без весьма спорного и ненадежного рассмотрения вопроса о различного рода углах и их соотношениях. Это сильно облегчает все рассуждения гармонической геометрии (как 1, так и 2 родов), связанные с параллельностью.

Отсюда прямо следует Теорема о параллельных прямых по версии Гармонической геометрии, поскольку с помощью способа, содержащегося (продемонстрированного) на рисунке 2.2.3 можно: а) доказательно определить параллельность (несближаемость, эквидистантность) уже существующих прямых (m и n), и б) построить новые (взаимно) параллельные (несближаемые, эквидистантные) прямые, имея прямую m и лежащую на ней точку А.  

Вот достаточно легитимная (и релевантная в логико-математическом смысле) версия формулировки данной теоремы в рамках гармонической геометрии: из точки, лежащей вне произвольно взятой прямой, можно провести прямую, параллельную данной (не сближающуюся, эквидистантную с ней) и притом только одну.

Возможны и другие эквивалентные формулировки теоремы о параллельных прямых, в которых идея (критерий) и требование непересекаемости прямых заменяется на гораздо более логически и семантически адекватную идею (критерий) и требование их несближаемости (в широком смысле – эквидистантности).

При этом – в гармонической геометрии — существует множество равно легитимных способов построения параллельных прямых, например, показанный на рисунке 2.3.4.

Рисунок 2.3.4. Построение параллельных прямых.

На представленном рисунке параллельными (с очевидностью) являются прямые m и n. (n строится совершенно понятным способом через точку А). Причем через данную точку прямая n, параллельная прямой m (не сближающаяся с ней), может быть построена множеством конкретных способов. 

В гармонической геометрии, существует еще несколько достаточно простых и понятных способов построения параллельных прямых. В принципе, они вполне легитимны и для геометрии Евклида, но почему-то эти способы не нашли в геометрии широкого применения (возможно, из-за действующего  негласного запрета (ментального табу) строить (опускать, восстанавливать) перпендикуляры там и тогда, где и когда это необходимо).

Например, введем понятия ординарного (первичного, стандартного, обыкновенного), двойного (вторичного) и тройного (третичного) перпендикуляров, а также перпендикуляров произвольной «-ичности» (надстроенности, восставленности) (4, 5, … n).   

См. рис. 2.3.5.

Рис. 2.3.5. Надстраивающиеся друг над другом перпендикуляры (1-5 – ичные).

Ординарным (первичным, стандартным, обыкновенным) перпендикуляром будем считать перпендикуляр, соответствующий 10-му Определению Евклида: «Когда же прямая, восставленная на <другой> прямой, образует рядом углы, равные между собой, то каждый из равных углов есть прямой, а восставленная прямая называется перпендикуляром к той, на которой она восставлена».

Двойной (вторичный) перпендикуляр – это перпендикуляр, построенный (восставленный) на ранее построенном (опущенном, восставленном) ординарном (первичном) перпендикуляре. Дело в том, что  Ординарный (первичный) перпендикуляр ничем не отличается в геометрическом смысле от обычной прямой. Поэтому мы вполне вправе строить (восставлять перпендикуляр на перпендикуляре). Де-факто, само существование Двойного (вторичного) перпендикуляра (право на его построение) есть доказательство теоремы о параллельных прямых (перпендикуляр к перпендикуляру есть прямая, параллельная первичной прямой). Так, во всяком случае, дело обстоит в гармонической геометрии. Но в данном контексте речь не об этом.

Определим Тройной (третичный) перпендикуляр.

Тройной (третичный) перпендикуляр – это перпендикуляр, построенный (восставленный) на ранее построенном (опущенном, восставленном) вторичном перпендикуляре.

И вот этот Тройной (третичный) перпендикуляр  и есть, по сути, прямоугольник в чистом виде, что само по себе является доказательством Теоремы о параллельных в одной из альтернативных формулировок («существует прямоугольник»).

Важно сказать, что в гармонической геометрии существуют также такие понятия, как четверной (четверичный), пятерной (пятеричный) … N-ной (N-ичный) и т.д. перпендикуляры.

Таким способом, осознанно и целенаправленно используя различные по размерности N-ичные перпендикуляры. можно строить колоссальное количество всевозможных спиралей, фрактальных и голографических объектов, а также множество других фигур, до сих пор вообще не рассматривающихся в классической геометрии.

Так вот, если кому-то нужно быстро построить пару параллельных прямых, просто начертите Двойной (вторичный) перпендикуляр (перпендикуляр к перпендикуляру). Если нужно построить прямоугольник (который вся мировая математика не смогла построить за 2000 лет в контексте проблемы параллельных прямых, просто начертите Тройной (третичный) перпендикуляр (перпендикуляр к вторичному перпендикуляру).

А если кому-то интересно попасть в сказочный мир инновационной геометрии, начертите n-ичный,  n+1 – ичный,  n+2 – ичный  и  n+K — ичный перпендикуляры (n — произвольное натуральное число). Получите истинное удовольствие.

Завершая главу 2, Рассмотрим вопрос о структуре прямой линии в гармонической геометрии.

Хотя в гармонической геометрии первого рода вопрос о структуре прямой линии вообще не ставится, поскольку он полностью (без лишних мудрствований) регулируется:

а) новым определением параллельных прямых: Параллельные суть прямые, которые, находясь в одной плоскости и будучи продолжены в обе стороны неограниченно (при помощи указанных выше 2-х взаимно релевантных постулатов), ни с той, ни с другой «стороны» между собой не сближаются и

б) первым постулатом («от всякой точки до всякой точки <можно> провести прямую линию»), имеет смысл высказать здесь некоторые базовые представления о структуре прямой (принятые в гармонической геометрии второго рода и юниметрии), которые могут послужить своего рода ответом на заочную полемику Посидония и Прокла (является ли множество точек, равно отстоящих от прямой, параллельной прямой линией?).

Кроме того, рассмотрение здесь (в предварительном плане) вопроса о структуре прямой линии может послужить своего рода введением в гармоническую геометрию второго рода и ее обобщение — юниметрию, концепции которых – в полном объеме — будут опубликованы позже.

Итак, долгое время (и небезосновательно) мировым математическим сообществом всуе (без адекватной методологической базы) проблематизировался тезис, что прямая есть множество рядоположенных точек.

Действительно, это — весьма спорный и нетривиальный по сути вопрос, особенно, если прямую рассматривать не как отрезок (составленный из отрезков меньшей величины и имеющий первую и последнюю точки, фиксирующие края исходного отрезка), а как некое «облако в штанах» с непонятной структурой (элементной базой), уходящее в бескрайние потенциально бесконечные дали (евклидовская и неевклидовские геометрии).

Но как все это обстоит на самом деле? Ответ (в общем) крайне прост, но он является совершенно (пока) неизвестным и, скорее всего, неприемлемым для современного математического сообщества, равно как и для математиков прошлого.

Если прямая – это всегда отрезок линии с первой и последней точками на концах (статический, неизменный, самоадекватный в процессе конкретного рассуждения объект), то мы его можем с легкостью (по мере необходимости) делить на практически бесконечное количество отдельных отрезков меньшего размера. Например, произвольно взятый отрезок прямой можно поделить на 1000 частей, а можно – на 1000000000000000 (если позволяет точность геометрического инструментария). И что будут собой представлять эти части (параотрезки), практически ничем не отличающиеся по своим реальным свойствам от точек (параточек)? Это, безусловно, будут суботрезки (параотрезки произвольно малой величины). По сути – самодостаточные прямые, которые можно делить и дальше…

В этом смысле произвольно взятая прямая – это организованная совокупность рядоположенных отрезков (суботрезков) прямых заранее выбранной (под конкретную задачу) размерности.

А как же точки? Где их место на прямой? А точек на прямой (в гармонической геометрии) нет вообще. Любой, даже самый малый элемент прямой (отрезок минимально допустимого и достижимого размера) в бесконечное количество раз больше любой точки.

Точки существуют только как начало и конец произвольно взятого (выделенного из прямой большей размерности) отрезка прямой. Остальное – бесконечная иерархия вложенных друг в друга отрезков различной величины. Это упрощает и гармонизирует всю рассматриваемую проблематику.

В подтверждение данного тезиса (и того факта, что вышеизложенная точка зрения на параллельные прямые и геометрию в целом была разработана и существует уже значительно более 25 лет), приведем фрагмент рассуждения о делении отрезка прямой в геометрии, взятый из книги: Петросян В.К. «Общий кризис теоретико-множественной математики и пути его преодоления», опубликованной еще 1997 г.

« Рассмотрим теперь вопрос о правомерности принципа взаимно однозначного соответствия в «несчетной» предметной области.

В стандартных курсах теории множеств для иллюстрации этого случая взаимно однозначного соответствия обычно приводится пример с отрезками прямой различной длины.

При этом осуществляется следующая последовательность действий: 1) проводятся две параллельные прямые; 2) над «верхней» из них выбирается точка, из которой на «нижнюю» прямую опускаются два луча таким образом, чтобы образовался равнобедренный треугольник; 3) на основание образовавшегося треугольника опускаются еще несколько лучей.           

После того как читатель убедится, что количество образовавшихся таким образом точек в обоих отрезках рассматриваемых параллельных прямых, ограниченных первыми двумя лучами, равно, предлагается сделать вывод, что множества точек в «нижнем» и в «верхнем» отрезках параллельных прямых «равномощны» («эквивалентны»). 

На наш взгляд, все это далеко не очевидно. Полагая длину «верхнего» отрезка прямой равной «а», а «нижнего» — равной «са» (с>1, действительное число), будем последовательно, стандартными геометрическими методами  делить рассматриваемые исходные отрезки, все время вдвое уменьшая длину вновь образующихся отрезков.

Получим следующую (вполне «взаимно однозначную») последовательность уменьшающихся длин минимальных отрезков:

Последовательность минимальных единиц «верхнего отрезка прямой»	а        а/2       a/4       …   a/s     …     a/m
Последовательность минимальных единиц «нижнего отрезка прямой»	са      ca/2      ca/4    …    ca/s   …      ca/m

где  s — произвольно большое натуральное число, а  m — натуральное или трансфинитное число, такое, что a/m —  точка.

Из приведенной последовательности видно, что после любого конечного числа делений полученная таким образом конвенциально минимальная единица измерения исходного «нижнего» отрезка будет инвариантно в «с» раз больше по величине, чем минимальная единица измерения исходного «верхнего» отрезка.

В терминах взаимно однозначного соответствия множеств различных по мощности минимальных единиц это можно представить следующим образом: 

номера единиц последовательности	1           2          3            …       K
«верхний отрезок»	а   =  a/s    +  a/s    +  a/s    +   …  + a/s
«нижний отрезок»	са =  сa/s   +  сa/s  +  сa/s  +   …  + сa/s

Число полученных минимальных отрезков, в сумме образующих исходный (как «верхний», так и «нижний»), оказывается эквивалентным и равным «К». Но, если учесть то обстоятельство, что минимальный отрезок (единица измерения) «нижнего» отрезка («сa/s») в «с» раз больше (длиннее), чем минимальный отрезок «верхнего» отрезка («a/s»), то длину «нижнего» отрезка можно представить как сумму единиц «верхнего» отрезка  следующим образом:

               1             2                    К          1           2           3                    сК

      са = сa/s   +  сa/s  +    …  + сa/s  =  a/s    +  a/s    +  a/s    +  …  +   a/s.

То есть отсюда непосредственно следует, что количество минимальных  единиц измерения «верхнего» отрезка, умещающихся в «нижнем», равно «сК», что безусловно противоречит тезису о взаимно однозначном соответствии последовательностей общих минимальных элементов «верхнего» и «нижнего» отрезков.

Убедившись в невозможности установления факта взаимно однозначного соответствия на уровне мощностей множеств минимальных отрезков рассматриваемых прямых, попытаемся выяснить вопрос на уровне точек.

Предположим, что — путем бесконечного последовательного или одновременного деления — мы дошли «до точки» в качестве минимального значимого (различимого) объекта в «верхнем» отрезке. Но тогда в «нижнем» отрезке мы будем иметь в качестве минимального объекта (элемента) некое множество точек, равное действительному числу «с». Поскольку «с», по построению, больше 1, имеем соотношение с: 1 = с по количеству элементов (точек) в каждом шаге противопоставления. Тогда, если мощность множества точек «верхнего» отрезка равна  некоторому  числу «Р», мощность множества точек «нижнего» отрезка будет равна числу «сР».

Следовательно, и на уровне мощностей множеств точек взаимно однозначного соответствия не наблюдается.

Другими словами, на какое бы количество частей (конечное или бесконечное) мы ни поделили рассматриваемые исходные отрезки параллельных прямых, минимальный объект «нижней» прямой (отрезок прямой или конечное множество точек) всегда будет инвариантно в «с» раз больше, чем минимальный объект (отрезок прямой или точка) «верхней» прямой (что бы ни понималось под понятием «минимальный объект»).

Если предположить обратное, мы должны указать некий диапазон минимальности единицы измерения (меньше отрезка прямой, но больше точки), в котором происходит монотонный  переход, обеспечивающий итоговое канторовское равенство: с = 1 (с>1), и более или менее вразумительно обосновать этот переход. Ничего подобного в современной математике, очевидно, нет.

Таким образом, суммарная мощность множества минимальных объектов «нижнего» отрезка, измеренная в общей для обоих отрезков единице измерения (отрезок прямой или точка), будет в «с» раз больше, чем мощность множества минимальных объектов «верхнего» отрезка.               

При этом никого не должно смущать то очевидное обстоятельство, что действительное число «с» может быть дробным, хотя это влечет делимость точки, если мощность отрезка рассматривается как суммарное количество точек (единиц измерения), его составляющих. Ниже будет показано, что традиционная геометрическая идея (аксиома) о неделимости точки сама по себе противоречива по независящим от данного рассуждения причинам.  

Обобщим сказанное. Мы исходим из того, что любой актуально бесконечный объект (множество действительных чисел от 0 — до 1, множество точек отрезка прямой и т.д.) может быть последовательно (или одновременно) разделен как на конечное, так и на актуально бесконечное количество частей. Если при этом изменяется количественное соотношение целого и части, справедливое для конечных множеств различной величины (а мы можем проводить деление сколь угодно долго), то должен существовать диапазон такого изменения при переходе к актуально бесконечным множествам (какой-то особый вид конечно-бесконечных чисел) и его причина, более основательная, чем ничем не мотивированное предположение о различии свойств конечных и бесконечных множеств. Если учесть, что понятие конечно-бесконечного числа паралогично по самому названию, корректное обоснование наличия подобного диапазона представляется  маловероятным. Но тогда еще менее правдоподобным выглядит постулируемый Г. Кантором качественный скачок, якобы имеющий место при переходе от конечных множеств — к бесконечным, приводящий (в итоге) к паралогичному соотношению:    с = 1 (с>1, действительное число)» с. 47-49.

В изложенной выше идеологии, правда, точки не исчезают полностью. Они вновь появляются в Юниметрии как своего рода экстраординарные пространственные (а в некоторых специальных трактовках этой инновационной математической доктрины и пространственно-временные) порталы, ведущее в принципиально новое измерение (антиизмерение), где «по ту сторону» каждой точки существует особый (столь же обширный, как и «наш») Юниметрический мир.

В этом мире все возможные и невозможные миры проникают друг в друга через особые порталы – точки и вообще представляют собой одну абсолютно непознаваемую и невообразимую материнскую (плацентарную, стволовую) МетаТочку, математическую и метаматематическую метафору Матери всех Богов и Миров СВА, о концепции и свойствах которой, как я это уже совершенно отчетливо понимаю, было преждевременно говорить не только в 1997 г. (как это было сделано в реальности), но и сейчас, в 2025 г.

Так или иначе, Юниметрия — это уже совершенно иная математическая (метагеометрическая) идеология и методология, которая к вышесказанному не имеет почти никакого прямого отношения. В приложении к настоящей работе дается достаточно крупный фрагмент текста из книги «Общий кризис теоретико-множественной математики …» (по причине библиографической редкости последней), в которой (для желающих) даются некоторые пояснения относительно понятия и статуса «точек» в новой трактовке. Но в целом – это предмет совершенно иной книги.

Заключение

          В настоящее время человечество стоит пред необходимостью перехода в принципиально новую стадию духовного, ментального и общественного развития, которая в моих работах называется третьей нооформацией, арократическим обществом, аронтическим обществом, ароинновационным обществом и рядом других синонимических терминов, несущих, однако, различный смысл и дополняющих друг друга в единой религиозной, философской и общественно-политической концепции (метапарадигме), именуемой демиургизмом.

          Одним из наиболее важных интегральных инструментов такого перехода и последующей высокоэффективной жизнедеятельности человечества (метачеловечества, аронтичества) является «Метаорганон» — ультраинновационная система ментальной деятельности, включающая в себя логику, математику, лингвистику, методологию и многие другие информационные технологии немыслимого до последнего времени качественного уровня и назначения (например, брейомика, ноодизайн и др.).

         Почему «Метаорганон»? Изначально «Органоном» (др.-греч. Ὄργανον — инструмент, метод) – с «легкой руки» издателя Андроника Родосского — именовалась система формальной логики (шире – мышления), разработанная Аристотелем в ряде специализированных на логической тематике работ (Категории,  Об истолковании, Первая аналитика, Вторая аналитика, Топика и Софистические опровержения), которые – в совокупности – и носили приведенное выше название.

          Любопытно, что первоначально «Органон» не охватывал даже всего наследия Аристотеля (не включая в себя, в частности «Физику», «Метафизику» и другие его важнейшие работы), не говоря уже о его идентификации со всем логико-математическим и лингвистическим наследием человечества.

          Ситуация кардинально изменилась, когда – в рамках Демиургической программы (в том числе – Программы генерации Третьей Глобальной Метапарадигмы) понадобилось каким-то образом обобщить (генерализовать) ментальное (в первую очередь – логико-математическое и лингвистическое) наследие человечества, которым мы все пользуемся в своей повседневной практике в течение многих тысячелетий.

        Тогда – в рамках Глобальной Демиургической Инициативы  было принято решение называть «Органоном» весь ментальный инструментарий человечества, которым оно пользовалось и пользуется в рамках Второй нооформации (на стадии «хомо сапиенс») (см. книгу «Глобальный мозг» на сайте Lag.ru). Разумеется, на разных фазах существования человечества «Органон» не был каким-то ментальным монолитом (вопреки мнению ортодоксальных априористов), хотя бы в силу известной разделенности языков, но в целом он сильно отличается как от прачеловеческой (в том числе – животной) системы мышления («Праорганон»), так и от грядущей системы мышления (познания и творчества), получившей наименование «Метаорганон».

           Соответственно, в рамках рассматриваемой идеологии «Органон» — понятие, достаточно сильно отличающееся по своей семантике от первоначальной идентификации с некоторыми вышеназванными логическим работами Аристотеля (многократно более широкое). Однако это не отменяет того факта, что  ментальное наследие Стагирита является одним из краеугольных камней «Органона» (в том числе – и в качестве объекта первоочередной критики).

          Итак, говоря о крупнейших вехах ментального развития человечества (нооэволюции), мы ведем речь о «Праорганоне» (первая сигнально-коммуникационная система и нооформация, стадия ранних гомиидов), «Органоне» (вторая сигнально-коммуникационная система и нооформация, стадия «человек разумный») и «Метаорганоне» (третья сигнально-коммуникационная система и нооформация, стадия «человечество разумное»).

          Геометрия Евклида полностью находится в системе «Органона» — второй логико-математической парадигмы, уже отжившей свой век и подлежащей ускоренной замене на третью  («метаорганическую») логико-математической парадигму (в частности – на «гармоническую геометрию» и «юниметрию».

Приведенные в настоящей работе подходы к определению прямой линии и доказательству Теоремы о параллельных, долгие годы были незаконнорожденными детьми современной математики (своего рода «ментальными бастардами»), разработанными мной (автором настоящей работы), как человеком, не имеющим никакого официального отношения к традиционной математике и к математическому сообществу, то есть не благодаря, а вопреки сложившейся мировой математической традиции и признаваемому математическим сообществом корпусу «априорного математического знания».

Основным мотивом в этих исследованиях и разработках было максимально релевантное логико-математическое и семантическое моделирование Матери всех Богов и Миров СВА и инициированного ею бесконечного Теогенеза или, иначе, осуществление Метаапейронических исследований и разработок.

К настоящему времени у меня накопилось достаточно большое количество нетривиальных (на мой вкус) и весьма потенциально плодотворных (в том числе, в сфере разработки сильного ИИ) решений во всех разделах логики, математики, лингвистики, которые (как «капли ртути») постепенно сливаются в один большой когнитивный комплекс под названием «Третья глобальная ноопарадигма».

 «Третья глобальная ноопарадигма» представляет собой по замыслу ментальный базис третьей нооформации, когнитивный и креативный (генеративный) инструментарий будущего метачеловечества, противопоставляемый «Второй глобальной ноопарадигме», являющейся постепенно устаревающей ментальной основой жизнедеятельности хомо сапиенс,  современного человеческого сообщества.

По мере возможности и готовности, все эти разработки будут публиковаться (прежде всего – в Интернете) и искать своего читателя, невзирая на упорное сопротивление всякого рода ортодоксов, априористов, квазиплагиаторов, «беотийцев»,  и прочих экзальтированных граждан.

Приложения

1. Основные понятия (определения), аксиомы и постулаты Евклидовской геометрии

Евклид. Начала.

КНИГА ПЕРВАЯ

ОПРЕДЕЛЕНИЯ

1. Точка есть то, что не имеет частей.

2. Линия же — длина без ширины.

3. Концы же линии — точки.

4. Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней.

5. Поверхность  есть то, что имеет только длину и ширину.

6. Концы же поверхности—линии.

7. Плоская поверхность есть та, которая равно расположена по отношению к прямым на ней.

8. Плоский же угол есть наклонение друг к другу двух линий, в плоскости встречающихся друг с другом, но не расположенных по <одной> прямой.

9. Когда же линии, содержащие угол, прямые, то угол называется прямолинейным.

10. Когда же прямая, восстановленная на <другой> прямой, образует рядом углы, равные между собой, то каждый из равных углов есть прямой, а восставленная прямая называется перпендикуляром к той, на которой она восставлена.

11. Тупой угол — больший прямого.

12. Острый же — меньший прямого.

13. Граница есть то, что является оконечностью чего-либо.

14. Фигура есть то, что содержится внутри какой-нибудь или каких-нибудь границ.

15.  Круг есть плоская фигура, содержащаяся внутри одной линии [которая называется окружностью], на которую все из одной точки внутри фигуры падающие [на окружность круга] прямые равны между собой.

16.  Центром же круга называется эта точка.

17.  Диаметр же круга есть какая угодно прямая, проведённая через центр и ограничиваемая с обеих сторон окружностью круга, она же и рассекает круг пополам.

18.  Полукруг же есть фигура, содержащаяся между диаметром и отсекаемой им <частьо> окружности. Центр же полукруга — то же самое, что и у круга.

19.  Прямолинейные фигуры суть те, которые содержатся между прямыми, трёхсторонние  — между тремя, четырёхсторонние же — четырьмя, многосторонние же — которые содержатся между более чем четырьмя прямыми.

20.       Из трёхсторонних фигур равносторонний треугольник есть фигура, имеющая три равные стороны, равнобедренный же — имеющая только две равные стороны, разносторонний же—имеющая три неравные стороны.

21.       Кроме того, из трёхсторонних фигур прямоугольный треугольник есть имеющий прямой угол, тупоугольный же—-имеющий тупой угол, а остроугольный — имеющий три острых угла.

22.       Из четырёхсторонних фигур квадрат есть та, которая и равносторонняя, и прямоугольная, разносторонний же — прямоугольная, но не равносторонняя, ромб — равносторонняя, но не прямоугольная, ромбоид (параллелограмм)— имеющая противоположные стороны и углы, равные между собой, но не являющаяся ни равносторонней пи прямоугольной. Остальные же четырёхсторонники будем называть трапециями.

ПОСТУЛАТЫ

Допустим:

1.  Что от всякой точки до всякой точки <можно> провести прямую линию.

2.  И что ограниченную прямую <можно> непрерывно продолжать по прямой.

3.  И что из всякого центра и всяким раствором <может быть) описан круг.

4.  И что все прямые углы равны между собой.

5.  И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти две прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы меньшие двух прямых.

2. Фрагмент из книги: Петросян В.К. Общий кризис теоретико-множественной математики и пути его преодоления. — М.: “Янус-К”, 1997.

1.5. Противоречивость классической геометрии — с. 78-90

Учитывая факт тесной связи общей теории множеств и теоретико-множественной арифметики с геометрическими теоретическими конструкциями и объектами, а также  невозможности построения непротиворечивого математического анализа  без предварительной взаимной гармонизации арифметики и геометрии, рассмотрим вопрос о непротиворечивости самой геометрии как «онтологического ядра» современной математики.     

Под «классической геометрией» мы будем понимать комплекс традиционных геометрических теорий, связанных с именами Евклида, Лобачевского, Гильберта и других ученых, базирующийся на основных положениях так называемой «абсолютной геометрии» и принятый  современной наукой в качестве основы геометрического знания.

Мы намерены показать, что нерешенность поставленных еще в античности вопросов оптимального соотношения контрадикторных понятий: актуальность — потенциальность, дискретность — непрерывность  и т.п. применительно к геометрическим объектам  приводит сегодня, в контексте новых требований к строгости математического знания, к общей внутренней противоречивости «классической геометрии».  

Как и в случае арифметики, основным противоречием «классической геометрии» является несовместимость актуалистских и потенциалистских свойств, одновременно и в том же отношении приписываемых ее базовым объектам.

Особенностью «классической геометрии» является тот факт, что ее противоречивость имеет как бы двухуровневый характер.

Первый уровень противоречивости — смешение свойств актуальности и потенциальности при определении геометрического пространства в целом.

Второй уровень противоречивости — смешение свойств актуальности и потенциальности, дискретности и континуальности при определении отдельных геометрических объектов (прежде всего — точки и прямой).

Оба уровня противоречивости взаимообусловлены и связаны с проблемой конструктивности и выбора геометрических объектов.

Рассмотрим последовательно проблематику обоих уровней противоречивости «классической геометрии», по мере необходимости фиксируя взаимосвязи между ними.  

Известно, что геометрия Евклида изначально была математической системой последовательно потенциалистского типа, рассматривающей пространство и его объекты как следствие конструктивной деятельности субъекта геометрического знания, а не как ее объективную основу.

Потенциальность евклидовской геометрии являлась не только теоретико-методологической  интенцией, но и ее  жестко детерминированной реальностью. Она была обусловлена, прежде всего, вторым постулатом Евклида, разрешающим (и даже предписывающим) неограниченное продление прямой, а, соответственно, плоскости и подобных им n-мерных  объектов сверх любой, заранее данной, актуальной величины. Как следствие,  в евклидовской геометрии  не было строго определенного понятия актуального пространства.

• У Евклида пространство неявно рассматривается как некое аморфное следствие аксиоматики, на которое, по мере необходимости, накладываются какие-то более или менее обоснованные ограничения. Фактически, всякий раз, когда, в соответствии с евклидовой аксиоматикой, строится какой-либо геометрический объект (система объектов),  одновременно строится (определяется) и пространство,  в котором он находится.
• Возможно, это объясняется тем обстоятельством, что геометрия, будучи первой дедуктивной системой, созданной человечеством, сама рождалась индуктивно, от частных землемерных и архитектурных задач — к задачам более общим и абстрактным, а, следовательно, изначально не нуждалась в каких-либо обобщенных представлениях об актуальном пространстве. Другими словами,  потенциальность античной геометрии логично рассматривать как ее «родимое пятно».
• Если учесть факт доминирования в античности корреспондентсткой концепции истины, очевидный диссонанс между актуальностью реального пространства и потенциалистским  характером евклидовской геометрии делал последнюю изначально онтологически ложной теорией, по существу, не имеющей права на существование в качестве идеальной модели, описывающей пространственное устройство и закономерности универсума.
• Кроме того, потенциальность евклидовской геометрии была объективным препятствием на пути к объединению арифметики и геометрии в единую систему математического знания. 
• Поэтому в средние века (в ходе укрепления христианской теологической и естественно-научной интуиции актуального пространства) и в новое время, в процессе активного формирования математического анализа, были предприняты серьезные попытки актуализации пространства в рамках геометрии Евклида.
• Видный исследователь «пограничных проблем» логики и математики А. Койре, в частности, считает, что актуализация евклидовского пространства произошла уже в ходе научной революции ХVII века (см.53, с.16).
• Поверхностная актуализация евклидовского пространства, не затрагивающая наиболее существенные понятия и отношения «классической геометрии», однако, не только не устранила объективные логические трудности, лежащие на пути арифметизации и гармонизации геометрии, но и усугубила их, сделав имманентные противоречия евклидовской геометрии особенно наглядными.
• Противоречивость «классической геометрии можно показать в различных аспектах рассмотрения, однако наиболее адекватный и удобный из них —  проблема конструктивности и выбора объектов в геометрии.
• Для повышения уровня точности понимания  проблемы, введем, вначале, понятия конструктивной определенности и конструктивной неопределенности произвольных объектов.
• Конструктивно определенным будем считать такой объект какой-либо формальной теории, для которого существует алгоритм (хорошо формализованная  процедура) его построения средствами данной теории. Соответственно, конструктивно неопределенным будем считать такой объект какой-либо формальной теории, для которого не существует алгоритма его построения средствами данной теории. Конструктивная определенность  — важнейший критерий  существования объекта в любой формальной теории.
• Вместе с тем,  требование конструктивной определенности как критерия существования какого-либо объекта некоторой формальной системы, существенно важнее для потенциалистских теорий, чем для теорий актуалистских. Это объясняется тем, что в актуалистских теориях для существования некоторого входящего в них частного объекта (независимо от уровня его конструктивной определенности) достаточно факта конструктивной определенности объемлющего актуального объекта.
• Например, в арифметике для существования простых чисел достаточно наличия процедуры индуктивного порождения натуральных чисел. Совершенно необязательно (хотя и желательно) предъявление закона порождения простых чисел. Необходимо только уметь в каждом конкретном случае отличать простые числа от составных. То есть частный объект (множество однородных частных объектов) достаточно только выделить (выбрать) и идентифицировать в некотором более широком множестве уже гарантированно существующих объектов. Совершенно не обязательно его строить.
• В потенциалистких же формальных теориях, ввиду отсутствия объемлющих конструктивно определенных актуальных объектов, каждый  рассматриваемый объект, претендующий на существование в данной теории, должен бытьиндивидуально конструктивно определенным; ни один объект не может быть просто выбранным или идентифицированным на основе применения специальных логических средств типа закона исключенного третьего.
• Именно данное обстоятельство и запрещает применение закона исключенного третьего и принципа неограниченного выбора в потенциалистских теориях.
• Так вот, если бы пространство в евклидовской геометрии было действительно (а не квази-) актуальным, существующим до акта построения какого-либо изучаемого частного геометрического объекта, мы могли бы просто выбирать в таком пространстве  бесконечное количество интересующих нас и гарантированно существующих в нем объектов (например, точек и прямых); совершенно не было бы никакой необходимости их строить.Процесс оперирования с геометрическими объектами упростился бы до крайности. Большинство теорем геометрии стало бы теоремами о существовании и об отношениях между актуальными объектами.
• Было бы логичным ожидать, что с декларированной актуализацией евклидовского пространства изменятся и критерии существования геометрических объектов и усилится функция выбора последних в противовес функции их построения. Ведь в актуальном пространстве все возможные геометрические объекты уже существуют изначально и одновременно и задача исследователя — лишь выбрать те (тот) из них, которые его интересуют, зафиксировав (если это нужно) акт своего выбора построением соответствующего объекта с помощью геометрических инструментов.
• В реальной же евклидовской геометрии (даже квазиактуализирован-ной) дело и сегодня обстоит совсем иначе. Мы, фактически, имеем право произвольно выбрать лишь две удаленные друг от друга точки (иначе нельзя было бы провести прямую или описать окружность); уже третью точку, не говоря о большем, мы всегда обязаны строить.
• Другими словами, несмотря на постулирование актуальности евклидовского пространства, все объекты «классической геометрии» остались по-прежнему исключительно индивидуально конструктивными, то есть не существующими до акта их построения с помощью разрешенных в геометрической системе инструментов.
• Данное обстоятельство (запрет свободного выбора геометрических объ-ектов в актуальном пространстве) и является противоречием смешения свойств актуальности и потенциальности первого уровня, о котором говорилось выше. Хотя само по себе данное противоречие и не запрещает, по-видимому, существования «классической геометрии» в ее современном виде в глазах математического сообщества, оно позволяет перейти к рассмотрению более серьезного противоречия,  которое безусловно имеет для геометрии экзистенциальный характер.
• Выясняется, что, блокировка свободного выбора объектов в актуальном пространстве «классической геометрии» непосредственно связана  с внутренней противоречивостью и неопределенностью свойств, приписываемых  геометрическим объектам независимо от свойств пространства, то есть с потенциальностью самих базовых объектов  геометрии.
• Это и есть второй уровень противоречивости «классической геометрии».
• Противоречие рассматриваемого типа  можно показать на примере соотношения точки и  прямой как основных объектов геометрии.
• В целях адекватной экспликации исследуемого противоречия обратимся, вначале, к античной философии математики.

В античности можно выделить три основных методологических подхода к конструированию геометрических систем, различающихся между собой в трактовке отношения линии (прямой) и точки.

Первый их них, постулирующий в качестве базового принципа организации геометрической системы актуальность и дискретность геометрических объектов, связан, прежде всего, с именами Пифагора и Демокрита. Его особенность состоит в том, что в рамках данного подхода линия считается составленной из точек (является цепочкой точек), следующих одна — за одной, а точка представляется объектом, имеющим величину. 

Второй подход,  утверждающий в качестве идейной доминанты геометрической теории принцип непрерывности геометрических объектов, связан, главным образом, с именем Аристотеля. Особенность данного подхода — в представлении линии в качестве непрерывной бесконечно делимой величины, не сводимой к множеству неделимых объектов-точек. Аристотель вообще был против точки как неделимого объекта, поскольку считал, что факт существования подобного объекта противоречит принципу бесконечной делимости отрезка прямой.

Аристотель, в частности, писал: «Если существует непрерывное, касающееся и следующее друг за другом в том смысле, как это определено выше, а именно непрерывны те [предметы], края которых сливаются в одно, касаются те, у которых они вместе, а следуют друг за другом те, между которыми нет ничего, принадлежащего к их роду, то невозможно, чтобы что-либо непрерывное состояло из неделимых [частей], например, линия из точек, если линия непрерывна, а точка неделима» (4, т.3,с.179).

Данная позиция Аристотеля крайне важна для понимания причин противоречивости современной геометрии. Поэтому приведем еще несколько высказываний, проясняющих его подход к рассматриваемой проблеме.

«Ясно и то, что все непрерывное делимо [на части], всегда делимые…» (4,т.3,с.180).

«…если бы тело состояло из точек, то оно не было бы количеством. Ведь когда точки соприкасались друг с другом, и величина была единой, и они были вместе, они никак не увеличивали целое. Ведь при делении на две или большее количество частей целое не делается ни меньше, ни больше, так что, хотя бы даже все точки сложились вместе, все равно они не составили бы никакой величины» (4,т.3,с.386).

«Что касается количества, то одно раздельно, другое непрерывно, и одно состоит из частей, имеющих определенное положение по отношению друг к другу, а другое — из частей, не имеющих такого положения. Раздельны, например, число и слово, непрерывны — линия, поверхность, тело … В самом деле, у частей числа нет никакой общей границы, где соприкасались бы его части; так, например, если пять есть часть десяти, то пять и пять не соприкасаются ни на какой общей границе, а стоят раздельно …

Линия же непрерывна, ибо можно указать общую границу, где соприкасаются ее части, — точку, а у поверхности — линию: ведь части плоскости соприкасаются на некоторой общей границе» (4,т.2, с.62).

««Следующим по порядку» [называется предмет], находящийся за начальным по положению или по природе или отделенный от него другим способом, если между ним и тем, за чем он следует, не находится в промежутке  [предметов] того же рода … «Смежное» есть то, что, следуя за другим, касается его. «Непрерывное» есть само по себе нечто смежное; я говорю о непрерывном, когда граница, по которой соприкасаются оба следующих друг за другом предмета, становится для обоих одной и той же и … не прерывается…» (4,т.3, с.167).

«… [точка] в математических линиях: ведь в мысли это не всегда одна и та же точка, ибо при продолжающемся делении она  [каждый раз] иная, поскольку же это одна точка, она всюду тождественна» (4,т.3, с.154).

«… между [двумя] точками всегда имеется линия…» (4,т.3,с.179-180).

Последнее высказывание Аристотеля — паллиативное решение, состоящее в том, что если признание точек в качестве объектов геометрии все-таки  необходимо (хотя бы в целях точной фиксации границ объектов и мест их пересечения), то, по крайней мере, прямая не должна трактоваться в качестве множества точек. И действительно, требование наличия линии между любыми двумя точками полностью блокирует представление о прямой как о множестве точек.

Любопытно, что если Пифагор и Демокрит всячески настаивали на связи и взаимообусловленности арифметики и геометрии и многое сделали для установления важнейших числовых зависимостей геометрических объектов, то Аристотель, фактически, полностью отрицал всякую возможность сравнения и отождествления числовых множеств и прямой, единицы и точки.

В частности, Аристотель писал: «Если… существуют обособленные точки и единицы, то единица и точка не могут быть тождественными, так как точкам присуще касание, единицам же — следование друг за другом; и в промежутке между точками может находиться что-нибудь (ведь всякая линия лежит между [двумя] точками), для тех же такой необходимости нет; между двойкой и единицей нет ничего промежуточного» (4,т.3,с.168).

Третий подход (назовем его «смешанным») связан, прежде всего, с именем Евклида, соединившего первые два подхода в  целостную, хотя и, как выясняется,  противоречивую, систему геометрического знания («Начала»), которая, собственно, и называлась «геометрией» в течение многих сотен лет.

В «Началах» Евклида интересующие нас объекты определяются следующим образом: «1. Точка есть то, что не имеет частей. 2. Линия же — длина без ширины. 3. Концы же линии-точки. 4. Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней» (87, кн. 1-6, с.11).

Очевидно, что приведенные определения не дают сколь-нибудь адекватного представления о сути анализируемой проблемы. Заметно лишь, что данный подход несколько диссонирует с позицией Аристотеля, выступавшего против точки как единственного элемента, составляющего прямую, но неясно, каковы были представления Евклида об организации прямой и о соотношении прямой и точки.

Из исторических источников известно, что Евклид разделял мнение Аристотеля о несводимости непрерывного объекта (прямой, например) к множеству неделимых объектов. Не случайно Евклид последовательно дистанцировался от арифметики, подчеркивая, что геометрия и арифметика — это совершенно различные науки, основанные на несовместимых принципах.

Отсюда  следует, что в этих априори противоречивых условиях (одновременное признание бесконечной делимости прямой и неделимости точки) в целях обеспечения хотя бы видимости непротиворечивости геометрии Евклида необходимо было  либо частично ограничить принцип бесконечной  делимости геометрических объектов (путем постулирования невозможности актуального деления прямой «до точки»), либо применить какие-нибудь искусственные приемы типа объявления точки неединственным элементом, образующим прямую, либо вообще абстрагироваться от данной проблемы до времени ее крайнего обострения.

Полное или даже частичное блокирование принципа бесконечной делимости непрерывных объектов безусловно противоречило бы принципу идеальности геометрических инструментов, считавшемуся одним из главных достоинств геометрии Евклида. Поэтому развитие геометрии пошло по пути замалчивания проблемы и  отрицания  количественной определенности различных множеств  точек.

Принять точку зрения Аристотеля, предложившего формулу разделенности любых двух точек линией, в чистом виде было нельзя из-за того, что вытекающий из нее принцип неединственности базового геометрического элемента (точки) противоречил бы классической аксиоматике геометрии Евклида.

Поэтому в геометрические системы нового и новейшего времени периодически вводились различные ослабленные варианты этого принципа. Один из них принадлежит М. Пашу и сводится к утверждению: «Между двумя точками А, В прямой всегда существует третья точка С той же прямой» (27, с. 196).

Данная аксиома полностью блокирует идею лимитрофности (пограничности) любых двух точек и делает количественно неопределенным любое точечное многообразие, не прибегая к чужеродной для евклидовской аксиоматики идее линии в качестве первичного элемента. Это позволяет  не бояться ситуации, когда бесконечное деление прямой приведет к противоречию с неделимостью точки, поскольку бесконтрольное количественно неопределенное «размножение» точек внутри прямой не дает возможности идентифицировать ни одной точки при делении отрезков.

Тем не менее, тщательно скрываемое с помощью вышерассмотренных искусственных приемов противоречие между принципом бесконечной делимости отрезка прямой и наличием в геометрической системе неделимого элемента, установленное еще Аристотелем, никуда не исчезло. Особенно отчетливо оно проявлялось при попытках арифметизации евклидовской геометрии.

Любые попытки последовательной арифметизации геометрии (или, наоборот, геометризации арифметики) так или иначе сталкивались с проблемой количественной неопределенности   точечных множеств и невозможности взаимно однозначного отображения их числовыми множествами. 

Наиболее эффективная и последовательная из подобных попыток, осуществленная Г. Кантором, как мы видели, закончилась полным фиаско и привела (в конечном счете) к необходимости рассматривать точку как делимый объект, обладающий величиной. 

• Это подтверждает пословицу, что «сколько веревочке ни виться, а концу — быть». Умышленно неопределенные и паллиативные представления о соотношении прямой и точки, делимости и неделимости, скрывающие до последнего времени очевидное внутреннее противоречие евклидовской геометрии, состоящее в вынужденном признании одновременной делимости и неделимости геометрических объектов, рассматриваемых в одном и том же отношении, пришли в противоречие с объективной потребностью в повышении уровня строгости и точности математической науки.
• Другими словами, постулируя обязательное существование промежуточной точки между двумя произвольно взятыми точками, создатели современной геометрии, фактически, искусственным образом гарантировали существование между любыми двумя точками количественно неопределенного и самонетождественного бесконечного множества принципиально неидентифицируемых точек (вспомним аналогичную ситуацию в канторовской арифметике действительных чисел).
• Признать  одновременное существование всех этих точек в актуальном пространстве  невозможно, поскольку рассматриваемое множество принципиально не завершено, потенциально. Оно абсолютно нестабильно и постоянно «делится вовнутрь». Попытка актуализации данного множества точек, признания его прямой привела бы к немедленному противоречию и к необходимости постулирования количественной самотождественности рассматриваемого множества и отношения «непосредственного следования за…».
•  Следовательно, в рамках «классической геометрии» беспрерывно делящиеся вовнутрь множества точек могут без видимого противоречия рассматриваться исключительно как элементы количественно неопределенного объекта (прямой), чье существование гарантируется только в целом и только внешним образом (построением с помощью линейки).
• Это объясняет причину невозможности осуществления свободного выбора объектов в актуальном пространстве в рамках «классической геометрии» (актуальное множество выстроенных в цепь точек не есть актуальная прямая), но не устраняет исходного противоречия. На самом деле построение прямой с помощью линейки не гарантирует существования нестабильных, самонетождественных  точечных множеств. Это лишь  логическая иллюзия.
•  В «классической геометрии» прямая проводится последовательно (от начальной точки — к конечной точке) и, притом, с помощью идеального инструмента (имеющего разрешающую способность «до точки»); следовательно, все точки, входящие в нее, должны быть в процессе построения прямой последовательно актуализированы (приведены к существованию) и индивидуализированы (иначе невозможна их идентификация, что противоречило бы принципу индивидуации).
• В данной логической ситуации возможны три случая: 1. Прямую в «классической геометрии» вообще нельзя построить (аналог апории Зенона: пока прямая идет от точки — к точке, она на пути встречает промежуточную точку, после нее — следующую и т.д. — до бесконечности; в результате прямая так и не доходит до своей цели, даже если эта цель расположена в ничтожно малой доле миллиметра от исходной точки); 2. Прямая дискретна (в ней предусмотрены ниши для  «размножения точек вовнутрь»); 3. Все точки проведенной прямой существуют актуально, индивидуализированы и расположены друг за другом последовательно, без пропусков и возможности «размножения вовнутрь».
• Очевидно, что как ни страшен для «классической геометрии» третий вариант, поскольку в этом случае в явном виде проявляется противоречие одновременной бесконечной делимости внутренне актуальной прямой и неделимости актуальной точки, он все же предпочтительнее, чем первые два. 
• Показанные противоречия смешения свойств актуальности и потенциальности как на уровне геометрического пространства в целом, так и на уровне отдельных объектов, безусловно, самым негативным образом отразились на «классической геометрии». Очень многие отношения геометрических объектов получили абсолютно противоречивую и извращенную трактовку, препятствующую дальнейшему содержательному и формальному развитию геометрии. 
• В качестве иллюстрации сказанного остановимся лишь на одной из проблем этого рода — проблеме параллельности прямых.
• Уже в античности существовала вполне адекватная, хотя и опережающая свое время, трактовка данной проблемы, принадлежащая древнегреческому ученому Посидонию (I век до н.э.). Посидоний предложил назвать параллелью прямую, все точки которой удалены от данной прямой на постоянное расстояние.  Если признать это определение корректным, пятый постулат, по признанию бессчетного числа исследователей,  легко доказывается. Ошибка Посидония, по мнению геометрического сообщества всех времен, состояла в «незаметном» введении им нового постулата, содержащегося в его определении параллелей: на плоскости множество точек, отстоящих от данной прямой на постоянное расстояние, является прямой.
• Естественно, возникает вопрос: а почему, собственно, это не так в актуальном пространстве и, тем более, почему нельзя принять этот новый постулат в посидониевской трактовке, чтобы устранить перманентную «головную боль» с параллельными?
• В рамках «классической геометрии» на то есть, исходя из вышесказанного, две причины. Одна из них связана с проблемой бесконечной делимости прямой и несводимости последней к количественно определенной (актуальной) совокупности точек, а вторая — с тем обстоятельством, что в потенциалистской геометрии любой объект не существует онтологически в актуальном пространстве, не выбирается в нем, а строится по специальным алгоритмам, определенным постулатами, что создает иллюзию логической корректности и конструктивности данного объекта, его внешней актуальности.
• Другими словами, параллельная прямая Посидония, существующая в результате акта выделения, а не построения с помощью линейки, тождественная количественно определенному («счетному») множеству отстоящих на равное расстояние от данной прямой точек, — объект, не имеющий в противоречивой сущностно потенциалистской «классической геометрии» статуса существования.
• Вышеприведенная демонстрация противоречивости «классической гео-метрии» и необходимости рассмотрения точки как объекта, имеющего величину, а прямой — как количественно определенной актуальной последовательности выстроенных в цепь точек, меняет ситуацию.
• По нашему мнению, создание геометрии последовательно актуалистского типа, сочетающей в себе принцип непротиворечивого единства дискретности и континуальности и принцип выбора геометрических объектов, допускающий их актуальное существование до момента построения (которое будет рассматриваться не как акт порождения, а как акт выделения некоторого объекта из актуального универсума), окончательно снимет проблему параллельности в геометрии, полностью сведя ее к посидониевской трактовке.
• Действительно, если отрезок прямой трактовать как актуально бесконечное и количественно определенное минимальное множество (цепочку) точек и допустить существование геометрического объекта до момента его построения (выбора) в актуальном пространстве, то посидониевская параллельная оказывается в той же мере существующим объектом, что и исходная прямая.
• Отсюда следует, что существование множественных трактовок проблемы параллельности, разрывающих единую геометрическую систему на взаимно и внутренне противоречивые части,  не «объективная металогическая необходимость», а результат изначальной имманентной противоречивости евклидовской геометрии, состоящей в ее онтологически неадекватной и паралогичной потенциальности, а также в противоречивом решении проблемы дискретности — континуальности геометрических объектов. 

Таким образом,  становится все более очевидным, что основания современного комплекса логико-математического знания,  практически в неизменном виде сохранившиеся со времен античности и лишь незначительно модифицированные в новое время, нуждаются в фундаментальной реконструкции.

Это обусловлено как содержательными причинами (невозможностью адекватного моделирования новых предметных областей старыми логико-математическими средствами), так и  причинами формальными (выявлением все большего числа противоречий практически во всех базовых отраслях математического знания — в теории множеств, в арифметике, в «классической геометрии»).

• Применительно к геометрии основными условиями преодоления ее противоречивости становятся: всесторонняя актуализация геометрических объектов и допустимых операций над ними, а также формирование иерархии геометрических пространств и других объектов, которые могут обладать противоречащими свойствами (например, быть делимыми и неделимыми, дискретными и непрерывными, конечными и бесконечными) одновременно, но в разных отношениях.
• В «юниметрии», геометрической системе нового поколения, о которой речь пойдет  ниже, оба эти условия выполнены полностью. 
• Вышерассмотренные проблемы соотношения дискретности и континуальности, выбора и существования объектов в актуальном пространстве, внутренней количественной определенности и актуальности геометрических объектов и т.п., решаются изначально на аксиоматическом уровне (в частности — точка, являющаяся неделимым объектом в рамках предшествующего пространственного класса, рассматривается в качестве делимого объекта в последующем пространственном классе), а постулат о параллельных становится обычной теоремой, не допускающей паралогичных множественных толкований.
• Подобная организация геометрической системы полностью устраняет противоречия актуальности — потенциальности и делимости — неделимости, свойственные «классической геометрии» и позволяет  непротиворечиво объединить арифметику с геометрией, открывая перед обеими дисциплинами широчайшие возможности дальнейшего содержательного и формального развития.

3.Фрагмент из книги «Общий кризис»: 2.3. Основные понятия и аксиомы «юниметрии» — с. 120-133

2.3. Основные понятия и аксиомы «юниметрии»

Противоречивость  «классической геометрии», показанная выше, а также потребность в адекватной геометрической интерпретации понятия актуальной бесконечности диктуют необходимость коренной трансформации этой научной дисциплины, приведения ее в соответствие с реальной актуальной пространственной структурой универсума и новыми логико-методологическими инструментами.

Начнем с того,  что устарело само название рассматриваемой дисциплины: «геометрия» (землемерие). Оно возникло в период индуктивного  формирования науки о пространственных формах и не отражает в полном объеме весь комплекс пространственных отношений и характеристик универсума, который, очевидно, не сводится к  проблематике очертаний нашей планеты (тем более, что этим предметом успешно занимается другая наука — геодезия) и отдельных, рассматриваемых вне общепространственного контекста, предметов.

В этой связи предлагается новое название науки о пространственных формах: «юниметрия» (наука об измерении пространственных характеристик и структуры  универсума и его составных частей).

По замыслу, в содержательном и формальном планах «юниметрия» отличается от «абсолютной геометрии» прежде всего тем, что она последовательно актуалистична и тем, что она представляет собой систематизированное описание иерархии   вложенных друг в друга, различаемых между собой по расположению, величине и размерности  актуальных пространственных объектов (пространств), каждый из которых может обладать противоречивыми свойствами (например, дискретностью и непрерывностью, конечностью и бесконечностью) одновременно, хотя и в разных отношениях.

Это позволяет «юниметрии», во-первых, максимально адекватно (по сравнению с «классической геометрией») отражать реальные пространственные характеристики и формы актуального универсума и его составных частей, обеспечивая предельную общность базовых понятий, объектов и операций над ними, и, во-вторых, полностью соответствовать новой непротиворечивой логико-математической рефлексии, выраженной в теории формальных объектов и в гармонической арифметике, приходящим на смену классической формальной логике, теории множеств и современной постканторовской арифметике.

Актуалистский характер «юниметрии» проявляется, прежде всего, в том, что в этой теоретической системе пространство любых типов всегда актуально в целом и в каждой своей точке, а также в том, что в полной мере действуют закон исключенного третьего (в ТФО — ЗИП) и аксиома неограниченного одновременного выбора юниметрических объектов. Это избавляет математика от необходимости решать проблемы существования тех или иных пространственных объектов исключительно построением, хотя при этом и не отрицается возможность конструктивных доказательств.

Иерархический характер «юниметрии» проявляется в том, что пространственный универсум представлен здесь в виде субординированной системы актуально бесконечных пространств («юниметрических классов»), каждое из которых имеет свои пределы по величине и размерности, а также свой минимальный, неделимый в рамках данного класса, но делимый в составе более широкого класса, элемент — точку.

Еще одной особенностью «юниметрии», отличающей ее от существующих прототипов, является деление всех юниметрических объектов на «компакты» (плотные объекты) и «топосы» (пустые объекты, места, вместилища для «компактов»). Это необходимо, чтобы в условиях актуальности пространства отличать друг от друга пространственные объекты и погруженные в них объекты (тела) и, кроме того, чтобы более адекватно отображать как физическую, так и метафизическую реальность.

Но, пожалуй, самым фундаментальным отличием «юниметрии» от «классической геометрии» является то обстоятельство, что в ней существуют понятия «экзистенциально нейтрального элемента» («праточки») и «иноэкзистенциального юниметрического объекта». Фактически это означает возможность теоретического и даже инженерного моделирования пространственного устройства «антимиров», «черных дыр» и им подобных невыразимых в существующих геометрических системах объектов.

Идея иноэкзистенциальности (бесконечной множественности существующих внутри друг друга взаимно антагонистических, противоположных по величине систем бытия и юниметрических пространств) является качественно  новой для геометрических систем и  математики в целом. Пройдет, видимо, немало времени до того момента, когда она станет приемлемой для математического сообщества и принятой в нем, поскольку это — существенно более фундаментальное нововведение, чем появление, например, отрицательного и комплексного чисел в математических системах.

В математическом смысле идея иноэкзистенциальности выражается в понятии «инверсии величины», что представляет собой совершенно особый логический вид отрицания, весьма далекий от его классических формально-логических прообразов.

Введение понятия экзистенциально нейтрального элемента (праточки) имеет и менее «экзотический» смысл. Идея праточки позволяет  непротиворечиво объединить требования дискретности и непрерывности актуального пространства в одно время, но в разных отношениях.  

Сделав эти предварительные замечания, перейдем к определению ос-новных понятий  и объектов «юниметрии».

 Определения основных объектов «юниметрии» и их свойств

Объекты «юниметрии»

Абсолютным, неопределяемым объектом «юниметрии» является  универсум — единство всего существующего и возможного. Необходимым атрибутом универсума является актуально бесконечное по величине,  актуально бесконечномерное и полиэкзистенциальное пространство, невыразимое в полном объеме наличными и возможными средствами человеческого мышления.

Основной целью «юниметрии» является максимально адекватное и гар-моничное отображение умопостигаемых свойств пространственной организации универсума.

Ниже приводятся определения и аксиомы только для положительных одноэкзистенциальных юниметрических объектов.

1. Юниметрический объект (U-объект).

Юниметрический объект (U-объект) — логически и инструментально корректно выделенный из универсума актуальный (гарантированно существующий) конечный или бесконечный объект, обладающий некоторой определенной пространственной формой и рассматриваемый в связи с его пространственными свойствами.

Свойство актуальности U-объектов означает, что в «юниметрии» не существует объектов, которые не были бы в полном объеме завершены к моменту начала рассмотрения. Все U-объекты  не только актуальны, но и счетны (имеют закон перечисления, даже если он и не выявлен к моменту начала рассмотрения), что гарантирует их однозначную конструктивность.

2.  Единичный юниметрический объект (единичный U-объект).

Единичный юниметрический объект (единичный U-объект) — один, специально выделенный по какому-либо признаку, строго количественно и качественно определенный  U-объект, выполняющий функцию меры, эталона для  других U-объектов.

3.  Юниметрическое множество (U — множество).

Юниметрическое множество (U — множество) — U-объект, состоящий из двух и более независимых друг от друга U-объектов.

• 4. Юниметрическая система (U — система).

Юниметрическая система (U — система) — U — множество, составные части (или элементы) которого находятся между собой в определенных пространственных и количественных отношениях.

5. U-топосы и U-компакты.

5.1. U-топос — пустой  (бесплотный) U-объект, представляющий собой часть какого-либо объемлющего U-объекта, способную принять другой U-объект, соответствующий (или меньший) данному по размерности (количеству измерений), пространственной конфигурации и/или величине. 

Иначе говоря, U-топос — пустое место (пространство), принадлежащее какому-либо U-объекту, способное вместить меньший или равный данному U-объект.

5.2. U-Компакт — непустой  (плотный)  U-объект, способный вмещаться в пустой U-объект (топос), соответствующий (или больший) данному по размерности (количеству измерений), пространственной форме и/или величине. 

Деление U-объектов на топосы и компакты необходимо в «юниметрии» в целях адекватного отображения реальной актуальной пространственной структуры универсума и границ объектов.

В «юниметрии» понятия: топос и компакт относительны. Один и тот же U-объект может быть одновременно и топосом (по отношению к вмещаемому объекту), и компактом (по отношению к вмещающему объекту). В последующих работах мы будем различать U-объекты по уровню (степеням) компактности (плотности). Если рассматриваемые (выбранные) U-объекты лишь частично вмещаются друг в друга (пересекаются между собой) или вообще не соприкасаются, они считаются взаимно компактными.

6. Базовые объекты «юниметрии».

6.1. Праточка (пространственная дыра, пространственный нуль) — экзистенциально нейтральный (не существующий ни в одном юниметрическом пространстве в качестве компакта) U-объект, заполняющий пустоты между топосами и компактными U-объектами и не имеющий величины, по отношению к которому любой U-объект (независимо от характера его экзистенциальности) — несоизмеримо бесконечно большой объект.

6.2. Точка — минимальныйпо величине инеделимыйв определенном отношении (которое специфицируется ниже)U-объект с переменной размерностью (размерность точки  тождественна размерности U-объекта, в качестве элемента которого она рассматривается; при этом во всех своих измерениях точка имеет одинаковую величину). 

6.3. Линия — составленный из точек множественный U-объект, каждая точка которого соединена не более чем с двумя точками, принадлежащими данному U-объекту. Минимальная линия — линия, составленная из двух соприкасающихся друг с другом точек. (В «юниметрии» линии и другие объекты, составленные из конечного и бесконечного числа точек, являются абсолютно равноправными объектами).

Прямая линия (прямая) — линия, у которой между каждыми принадлежащими ей двумя точками расположено минимально возможное количество точек.

Примечание. Все точки, прямые и любые другие объекты «юниметрии» существуют одновременно и независимо от факта их построения с помощью юниметрических инструментов, которые являются лишь средством выбора, а не конструирования объектов в рамках изначально актуального пространства. Поэтому, в частности, прямую можно рассматривать как  множество соединенных между собой точек, отстоящих от какой-либо другой прямой на постоянное расстояние (или как множество соединенных между собой точек, отстоящих — каждая — от какой-либо другой прямой  на переменное расстояние, изменяющееся в соответствии с какой-либо линейной функциональной зависимостью). Данная трактовка прямой тождественна полибиевской.

Непрямая линия — линия, у которой по крайней мере между двумя принадлежащими ей точками расположено  множество точек, превышающее минимально необходимое их количество хотя бы на одну точку.

В «юниметрии» допустимо существование неограниченного количества видов непрямых линий и производных от них U-объектов, определения которых вводятся по мере необходимости. 

6.4. Поверхность (двумерный U-объект) — U-объект, включающий в себя какую-либо линию и имеющий, дополнительно, по крайней мере одну точку, не принадлежащую данной линии.

Плоскость — поверхность, каждые две произвольно выбранные точки которой могут быть соединены прямой линией (лежат на прямой), принадлежащей данной поверхности.

Неплоская поверхность — поверхность, имеющая по крайней мере  две точки,  которые не могут быть соединены прямой линией (не лежат на прямой), принадлежащей данной поверхности.

6.5. Трехмерный U-объект — U-объект, включающий в себя какую-либо поверхность и  имеющий, дополнительно, по крайней мере одну точку, не принадлежащую данной поверхности.

Плоский трехмерный U-объект — трехмерный U-объект, каждые две точки которого лежат на какой-либо плоскости, принадлежащей данному трехмерному U-объекту.

Неплоский трехмерный U-объект — трехмерный U-объект, имеющий по крайней мере  две точки, не  лежащие одновременно на какой-либо плоскости, принадлежащей данному трехмерному U-объекту.

6.6. n-мерный U-объект — U-объект включающий в себя какой-либоn-1- мерный U-объекти имеющий, дополнительно, по крайней мере одну точку, не принадлежащую данному n-1 — мерному U-объекту (n — произвольно большое конечное или актуально бесконечное целое число, определенное в гармонической арифметике).

(В последующих работах по «юниметрии» мы будем рассматривать также случай дробной размерности пространства).

Плоский n-мерный  U-объект — n-мерный  U-объект, каждые две точки которого принадлежат плоскому n-1 мерному U-объекту, принадлежащему данному n-мерному U-объекту.

Неплоский n-мерный  U-объект — n-мерный U-объект, имеющий по крайней мере две точки,  которые не принадлежат одновременно какому-либо плоскому n-1 мерному U-объекту, принадлежащему данному n-мерному U-объекту.

• 7. Углы. Понятия прямого, острого, тупого, смежных, внешних и внутренних углов в «юниметрии» соответствуют классическим (евклидовским). Отличием является только тот факт, что понятие угла распространяется не только на линии и поверхности, но и на n-мерные объекты. Кроме того, величины углов, образованных неплоскими U-объектами, не соответствуют величинам углов, образованных плоскими U-объектами. (Это — предмет отдельного рассмотрения, которое не может быть проведено в рамках настоящей работы из-за ее вводного характера).

8. Граница (оболочка).

Граница (оболочка) — U-объект (множество U-объектов), принадлежащий некоторому более обширному U-объекту и отделяющий последний от остальной части универсума.

9. Фигура.

Фигура — часть U-объекта, отделенная границей  (оболочкой) от остальной части универсума.

Следствие из пп. 8 и 9. U-объект есть единство границы (оболочки) и фигуры. В случае точки и двуточечного объекта, а также некоторых видов дискретных и/или многомерных точечных образований понятия границы и фигуры совпадают. 

10. Понятия: круг, окружность, диаметр, радиус,  треугольник, квадрат, трапеция, n  — сторонняя фигура, сфера, шар, пирамида  и т. п., семантически соответствуют евклидовским за исключением того факта, что названные фигуры и объекты в «юниметрии» могут быть также актуально бесконечными  n-мерными,  что будет рассмотрено в последующих работах..

11. «Юниметрический класс» (замкнутое актуальное юниметрическое пространство единичной актуально бесконечной величины и заданной размерности ).

«Юниметрический класс» (U-класс) — актуально бесконечный n-мерный U-объект (n — больше или равно 1), включающий в себя U-объекты трех типов: минимальные n-мерные U-объекты (точки), единичные (эталонные) n-мерные U-объекты и максимальный (граничный) n-мерный U-объект.

Произвольный U-класс каждой размерности описывается и задается  в «юниметрии» однотипной, но особой аксиоматикой, детерминирующей базовые количественные и пространственные отношения между входящими в него U-объектами.

12. Иерархия U-классов (конвенциально абсолютное U-пространство).

Иерархия U-классов (U-иерархия) — последовательность вложенных друг в друга  и количественно субординированных U-классов какой-либо определенной размерности, отображающих реальные пространственные и количественные отношения универсума.

В «юниметрии» не существует Абсолютного U-класса, вмещающего все остальные, хотя и может быть определен конвенционально Абсолютный U-класс (U-Суперкласс), что не является ограничением общности для дедуктивных рассуждений. При необходимости процесс порождения все больших по величине U-классов может быть продолжен сколь угодно долго.

1. Параллельные U-объекты.

13.1. Два плоских n-1-мерных U-объекта называются параллельными, если, существуя  в некотором n-мерном U-объекте и будучи продолженными в обе стороны до границ актуальной U-иерархии, они находятся на некотором постоянном расстоянии друг от друга на всем своем протяжении.

13.2. В частности, две прямые называются параллельными, если, существуя в одной плоскости и будучи продолженными в обе стороны до ее границ, определяемых актуальной U-иерархией, онинаходятся на некотором постоянном расстоянии друг от друга на всем своем протяжении.

Данное определение параллельности с учетом п.6.3. делает евклидовский постулат о параллельных теоремой.

Примечание. В «юниметрии» понятие параллельности распространяется также и на  эквивалентные  по величине и форме незамкнутые неплоские n-1-мерных U-объекты, хотя для этого и требуются некоторые дополнительные определения и комментарии, которые невозможно в полном объеме привести в настоящей работе.

Аксиомы произвольного положительного двумерного «юниметрического класса»

Произвольный положительный «двумерный юниметрический класс» (далее — 2-мерный U-класс) — положительный актуально бесконечный 2-мерный U-объект, ограниченный актуально бесконечной окружностью и включающий в себя U-объекты трех типов: минимальные 2-мерные U-объекты (точки),  единичные прямолинейные (эталонные) 2-мерные U-объекты и максимальный 2-мерный прямолинейный U-объект.

Полагая величины:

а) праточки = «0»; б) минимального   2- мерного U-объекта (точки) = «а»; в) единичного (эталонного) прямолинейного 2-мерного U-объекта (отрезка прямой) = «1»; г) максимального 2-мерного прямолинейного U-объекта = «А», сформулируем нижеследующие аксиомы произвольного двумерного U-класса, полностью соответствующие в квантитативном отношении аксиоматике  «гармонической арифметики».

1. Существуют  универсальные  для  всех U-классов U-иерархии U-объекты: «0» (U — нуль, универсальный экзистенциально нейтральный U-элемент, «праточка») и «1» (единичный эталонный по величине отрезок прямой, универсальный положительный прямолинейный элемент).

2. Существуют предельные для данного U-класса положительные прямолинейные U-объекты: «а» (минимальный по величине U-объект U-класса, точка) и «А» (максимальный по величине прямолинейный U-объект U-класса, радиус окружности, ограничивающей произвольный U-класс).

3. U-объект «1», связан с предельными U-объектами «а» и «А» следующими количественными арифметическими соотношениями:

• а*А = 1;   а = 1/А;   А = 1/а.

3.2.  а+а+….+а = 1      1+1+…+1 = А

        ________             _______

            А раз                  А раз

• а + а + … + а = А

           ___________

            А в квадратной степени  раз

Соотношения 3.1.  — 3.3. означают, что вес множества U-единиц,  входящих в «А» (и «а», входящих в «1») не ограничен аддитивно (индуктивно), но ограничен мультипликативно (дедуктивно); это позволяет непротиворечиво сочетать требование бесконечности (неограниченности) произвольного U-класса с требованием его завершенности (наличия минимального и максимального по величине прямолинейных элементов).

Аналогичными отношениями, совпадающими с определениями операций в классической арифметике и геометрии, U-объект «1» связан и с прочими (не предельными) U-объектами U-класса.

4. U-объект «0» (U-нуль), будучи универсальным нейтральным (ни положительным, ни отрицательным) элементом U-класса, не является элементом какого-либо отдельного U-класса и связан со всеми U-объектами произвольного U-класса следующими юниметрическими и, одновременно, арифметическими соотношениями:

4.1.  0*d = d*0 = 0;

4.2.  из bd=0 следует, что или b=0 или d=0 (если числа b,d не  являются делителями нуля);

4.3.  деление U-объектов на 0 невозможно;

4.4. с + 0 = 0 + с = с, где b, c, d — прямолинейные элементы U-класса, включая предельные.

5.Аксиома юниметрической супердедукции. 

5.1.Если утверждение доказано для некоторого U-объекта «с»  и из его справедливости для U-объекта с/b следует справедливость  для U-объекта с/bd  (с,b,d — U-объекты одного U-класса), то утверждение справедливо для для любого  неотрицательного U-объекта U-класса, включая U-объекты «а» и  «А».

5.2.Если утверждение доказано для некоторого U-объекта с  и из его справедливости для U-объекта с*b следует справедливость для U-объекта с*b*d  (с, b, d — U-объекты одного U-класса), то утверждение справедливо для для любого  неотрицательного U-объекта U- класса, включая U-объекты «а» и  «А».

6. Аксиома  юниметрической супериндукции.

6.1. Если  утверждение  доказано для U-объекта «0» и из его справедливости для следующего за «0» по величине неотрицательного U-объекта «а»  данного U-класса, следует справедливость для непосредственно следующего за  ним по величине U-объекта «2а», то утверждение справедливо для любого сколь угодно большого неотрицательного U-объекта U-класса, включая U-объект «А».

6.2. Если утверждение доказано для U-объекта «А» и из  его справедливости  для предшествующего U-объекту «А» по величине неотрицательного U-объекта «А-а» данного U-класса,  следует справедливость для непосредственно предшествующего ему по величине U-объекту «А-2а», то утверждение справедливо для любого неотрицательного U-объекта U-класса.

Аксиомы 1-6 приведены здесь только для положительных U-объектов U-класса;  для отрицательных U-объектов U-класса мы их выписывать здесь и ниже не будем из-за невозможности достаточно строгого изложения даже основных содержательных моментов этой теоретической подсистемы «юни-метрии» в узких рамках «эскизного проекта».                                                                     

Кроме стандартных положительных и отрицательных U-объектов в «юниметрии», как говорилось выше, существуют еще и анти-объекты (анти-пространства). Существование в «юниметрии» триединства: Бытие (положительное и отрицательное пространства), Нейтральное пространство (нуль-пространство), Анти-Бытие (положительное и отрицательное анти-пространства) с логической необходимостью приводит к феномену инверсии величины U-объектов  в зависимости от  «стороны»  или «знака» рассмотрения.

Так, если универсум рассматривается из «нашего» мира, бытия, порядковая структура произвольного 2-мерного U-класса (с учетом подкласса анти — U-объектов)  будет выглядеть по величине следующим образом:

                              ÑА< …< Ñ1< …< Ña < 0<  a <…< 1< …<A  (знак «Ñ» с левой стороны символа означает принадлежность U-объектов этого типа к анти-пространству, анти-миру, инобытию).

Если же универсум рассматривается из «анти-» мира, анти-бытия, порядковая структура произвольного 2-мерного U-класса (с учетом подкласса отрицательных U-объектов) будет выглядеть по величине следующим образом: 

                              ÑА> …> Ñ 1> …> Ña > 0>  a >…> 1> …>A.

Очевидно, что об аксиоматике подобных объектов говорить пока преждевременно. Вначале необходимо детально разработать и обсудить  их метафизику, поскольку анти-объекты не могут быть адекватно описаны, определены и интерпретированы в рамках существующих в логике и математике способов полагания и отрицания. Взгляды автора по данной проблеме будут изложены в последующих работах.

Пока же скажем только (для облегчения общего понимания), что «наш мир» в соответствии с предлагаемой концепцией связан (через абсолютно бесконечное множество существующих в нем «праточек») с абсолютно бесконечным же множеством  анти-миров, анти-пространств, отличных от «нашего», по крайней мере, по величине. Находясь в «нашем» мире, мы можем интепретировать анти-миры как абсолютно ничтожные, фактически не существующие объекты, встроенные в каждую из «праточек». В предположении пребывания в любом из бесконечного множества анти-миров, противостоящих нашему, мы, наоборот, можем рассматривать «наш» мир как ничтожно малый, фактически не существующий для того мира объект. Каждый из анти-миров, противостоящих «нашему» миру, уникален и, в свою очередь, — через свои «праточки» — связан с бесконечным множеством других анти-миров и т.д.  На логическом и физическом уровнях это приводит к признанию принципа относительности величины пространства, а на теологическом и оккультном — к подтверждению и конкретной математической интерпретации принципа «все — во всем», выдвинутого еще Гермесом Трисмегистом.

Завершая наш короткий комментарий по поводу идеи анти-пространства и бесконечной взаимной вложенности антагонистических по отношению друг к другу миров, скажем, что ее признание в вышеизложенной трактовке — не необходимое условие существования «юниметрии». Желающие могут рассматривать «праточку» как абсолютный пространственный нуль, за которым ничего не стоит. Существуют же, к примеру, люди, отрицающие жизнь после смерти. Но это не означает, что они  отрицают и  жизнь вообще.

Аксиомы иерархии  положительных двумерных «юниметрических классов»

1.  Существует минимальный двумерный U-класс (материальный двумерный U-класс), соответствующий аксиоматике произвольного U-класса, такой, что:                                              

1а — минимальный U-объект класса (точка, неделимый в пределах класса элемент), 1А — максимальный U-объект класса (диаметр окружности, ограничивающей минимальный двумерный U-класс, где 1а и 1А актуально бесконечные U-объекты.

В рамках минимального двумерного U-класса в юниметрическом и арифметическом смыслах выполняются соотношения:

1А^1/s > c d  и  1a^1/s < 1/c d ,  где s, с и d — произвольно большие конечные положительные целые материальные числа, соответствующие величине конечных U-объектов, входящих в минимальный двумерный U-класс.

1А: с = V; 1А ^1/s = R , где с и s — произвольно большие конечные положительные материальные числа, а V и R — бесконечные материальные числа, соответствующие величине бесконечных U-объектов, входящих в минимальный двумерный U-класс.                               

• 2. Существует конструктивная процедура неограниченного расширения двумерных U-классов, начиная с первого, состоящая в выборе раствора идеального циркуля, равного квадрату радиуса объемлющей окружности предшествующего U-класса,   и в проведении из общего для всех U-классов U-иерархии центра окружности вновь выбранного радиуса.
• При этом, одновременно, уменьшается величина минимального U-объекта U-класса путем возведения в квадрат величины точки предшествующего класса. То есть произвольная точка, принадлежащая предшествующему классу и являющаяся в нем неделимым объектом, в новом (последующем) U-классе становится актуально бесконечным множеством точек и объектом вполне делимым. 
• Начиная с этого момента все U-объекты, входящие по своим форме и величине во вновь созданный класс, являются актуальными и могут быть использованы в этом качестве при дедуктивном рассмотрении или в конструктивных операциях.

3. Существует актуально бесконечная U-иерархия 2-мерных U-классов (называемых ментальными U-классами, начиная со второго),  созданная с использованием аксиомы 2, завершающаяся U-Суперклассом, максимальный {А} и минимальный {a} U-объекты которого выполняют функцию конвенциально абсолютных U-объектов.

В рамках конвенционально максимального 2-мерного U-класса в юниметрическом и арифметическом смыслах выполняются соотношения:

{А}^1/s > cd  и {a}^1/s < 1/cd ,  где s, с и d — произвольно большие бесконечные положительные целые ментальные числа, соответствующие величине актуально бесконечных U-объектов, входящих в конвенционально максимальный 2-мерный U-класс.

{А}: с = V; {А} ^1/s = R , где с и s — произвольно большие бесконечные положительные числа, а V и R — конвенциально абсолютно бесконечные ментальные числа, соответствующие величине актуально бесконечных U-объ-ектов, входящих в конвенционально максимальный 2-мерный U-класс.

При необходимости процесс расширения U-иерархии может быть продолжен в соответствии с аксиомой 2.                                                

Аналогичные, хотя и более сложные, системы аксиом произвольного U-класса и U-иерархии к настоящему времени разработаны для трех- и четырехмерных положительных U-пространств, а также для произвольного n-мерного U-пространства. В частности, в случае трехмерного U-пространства в качестве объемлющего U-объекта U-класса выступает шар, а в U-пространствах более высокой размерности — n-мерные шары (n > 3, целое положительное число).

Единицы же величины U-объектов в рамках произвольного n-мерного U-класса остаются универсальными («0», «1», «а», «А»).

Многократно сложнее аксиоматические системы для обобщенного n-мерного полизнакового пространства, хотя юниметрические системы именно этого рода открывают путь к познанию «анти-миров».

Постулаты «юниметрии»

1. В пределах актуальной иерархии  «юниметрических классов» всегда можно выбрать необходимо большое число произвольным образом расположенных друг относительно друга, взаимно пересекающихся или входящих друг в друга, различающихся по форме и (или) величине (или одинаковых в тех или иных отношениях) определенных в «юниметрии» U-объектов для непосредственного рассмотрения или осуществления каких-либо не противоречащих другим постулатам конструктивных операций.

2. Между двумя точками, лежащими в пределах универсального пространства, ограниченного актуальной иерархией  «юниметрических классов», всегда можно провести прямую линию «идеальной масштабной линейкой» (что является актом выбора уже существующей в U-пространстве прямой, а не актом ее построения).

 Максимальная длина прямой не может превышать расстояние между граничными точками предельного (максимального актуального на момент рассмотрения)  «юниметрического класса».

 «Идеальная масштабная линейка» позволяет измерять допустимые линейные расстояния с точностью до одной минимальной (в U-иерархии) точки.

3. Из всякого центра произвольным раствором «идеального циркуля» может быть описана окружность. При этом предельная длина прямой (п.2) не является ограничением для выбора  величины раствора циркуля. (Данный постулат позволяет осуществлять расширение актуальной иерархии «юниметрических классов»).

4. Любой угол может быть построен и измерен с помощью «идеального транспортира», не имеющего ограничений по точности, кроме  величины предельно малой в актуальной иерархии «юниметрических классов» точки.

5. В целях повышения эффективности и точности построения U-объектов различной природы, конфигурации и величины допустимо пользование любыми «идеальными инструментами», чье существование не противоречит принципам, определениям, постулатам и аксиомам «юниметрии».

В частности, разрешено использование в юниметрических рассуждениях «идеально гибких многомерных линеек»,  с точностью «до предельной точки» повторяющих конфигурацию многомерной поверхности какого-либо U-объекта, а также юниметрических шаблонов и лекал произвольных размеров, размерности и  формы.

Параметры (включая правила использования в рассуждениях) каждого вновь вводимого в юниметрию идеального инструмента фиксируются специальным аксиоматическим блоком.

6. Выбранные или вновь построенные (для наглядности) U-объекты могут произвольным, но не противоречащим аксиоматике «юниметрии», образом вращаться, перемещаться в пространственных рамках и размерностях U-иерархии, накладываться или вкладываться друг в друга, а также трансформироваться в соответствии с выбранным законом трансформации. Все названные и дополнительные операции с U-объектами должны регулироваться специальными аксиомами.

• В случае, если данная система постулатов для каких-либо «юниметрических» целей является недостаточно или чрезмерно свободной, приведенные постулаты могут быть дополнены или ограничены, начиная с п.5.  Вновь образованная конфигурация «юниметрических» постулатов считается в этом случае специальной версией общей юниметрической системы.

В «юниметрии» предусмотрены также многочисленные блоки специальных аксиом, регламентирующие такие отношения между U-объектами, как «принадлежность», «порядок», «направление», «пространственное положение», «расстояние», «движение», «вращение», «трансформация», «эквивалентность», «конгруентность», «подобие», «соответствие», «конструктивность», «размерность», «дискретность — непрерывность», «положительность — отрицательность», «конечность — бесконечность», и другие, которые носят преимущественно технический характер и потому являются излишними в работе, представляющей  собой общее концептуальное введение в предметную область.  

                  

Основные работы автора по логике и математике

Петросян  В. К.   Глобальный мозг. – М.: ИСБ, 2020. – 450 с.

Петросян В.К. (Вадимир). Изольдионика. Теория бесконечных числе и числовой трансволюции. – портал Lag.ru, Амазон.

Петросян  В. К.   Критика аристотелевской теории отрицания. – М.: ИРПО,   2001. – 70 с.

Петросян В.К. Общий кризис теоретико-множественной математики и пути его преодоления. — М.: “Янус-К”, 1997.

Петросян В.К. О разрешимости логико—математических парадоксов самореференции с отрицанием. — М.: «Книжник», 1995.

Петросян В.К. Основные положения концепции оснований гармони-ческой арифметики. В кн.: Бесконечность в математике: философские и исторические аспекты. — М.: Янус — К, 1997.- 400 с.

Список использованной литературы

1. Автономова Н.С. Рассудок, разум, рациональность. — М.: Наука, 1988. — 287 с.

2. Антипенко Л.Г. Проблема неполноты теории и ее гносеологическое значение. — М.: Наука, 1986. — 224 с.

3. Антология мировой философии. В 4-х томах. ТТ.1-4. — М.: Мысль, 1968- 1972.

4. Аристотель. Сочинения: В 4-х т., ТТ.1-4.- М.: Мысль, 1976-1984.

5. Арнольд В.И.  Теория катастроф. — М.: Изд- во МГУ, 1983. —  80 с.

6. Башляр Г. Новый рационализм. — М.: Прогресс, 1987. — 376 с.

7. Березкина Э.Н. Математика  древнего Китая.  — М.: Наука, 1987. – 312с.

8. Бурбаки Н. Теория множеств. — М.: Мир, 1965.

9. Бурова И.Н. Развитие проблемы бесконечности в истории науки. — М.: Наука, 1987. — 133 с.

10. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. — М.: Наука, 1976. — 648 с.

11. Вартофский М. Модели. Репрезентация и научное понимание.- М.: Прогресс, 1988.- 507 с.

12. Вейль Г. Математическое мышление. — М.: Наука, 1989.- 400 с.

13. Визгин В.П. Генезис и структура квалитативизма Аристотеля. — М.: Наука, 1982. — 428 с.

14. Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX                    столетия. — М.: Наука, 1966. — 507 с.

15. Войшвилло Е.К. Понятие. — М.: Изд- во МГУ, 1967. — 285 с.

16. Войшвилло Е.К. Понятие как форма мышления: логико-гносеологический анализ. — М.: Изд-во МГУ, 1989. — 239 с.

17.Войшвилло Е.К. Философско-методологические аспекты релевантной логики. — М.: Изд-во МГУ, 1988. — 140 с.

18. Выготский М.Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. — М.: Наука, 1967. — 367 с.

19. Гадамер Х.-Г. Истина и метод: Основы филос. герменевтики. — М.: Прогресс, 1988. — 704 с.

20. Галустян Р.Г. Философия лингвистики. — Ереван: Луйс, 1989.- 176 с.

21. Гегель Г.В.Ф. Лекции по истории философии. Кн.1. — С.-П.: Наука, 1993.- 349 с.

22. Гегель Г.В.Ф. Наука логики. В 3-х т., ТТ 1-3.- М.: Мысль, 1970- 1972.

23. Гегель Г.В.Ф. Энциклопедия философских наук. Т.1. Наука логики. — М.: Мысль, 1975. — 452 с.

24. Гейбер И.Л. Естествознание и математика в классической древности. — М.-Л.: ОНТИ, 1936. — 196 с.

25. Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики. — М.: Наука, 1979.  — 557 с.

26. Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. Теория доказательств. — М.: Наука, 1982. — 652 с.

27. Гильберт Д. Основания геометрии. — М.: Гостехиздат, 1948.

28. Даан-Дальмедико А.,  Пейффер Ж. Пути и лабиринты. Очерки   по истории математики. — М.: Мир, 1986. — 432 с.

29. Девис М. Прикладной нестандартный анализ. — М.: 1980.

30. Декарт Р. Сочинения в 2-х томах. Т.1. — М.: Мысль, 1989. —  654 с.

31. Декарт Р. Геометрия. — М.-Л.: Научтехиз, 1938.

32. Дертоузос М. Пороговая логика. — М.: Мир, 1967. — 343 с.

33. Джохадзе Д.В.  Основные этапы развития античной философии.  — М.: Наука, 1977. — 295 с.  

34. Диафант Александрийский. Арифметика и книга о многоугольных числах. — М.: Наука, 1974. — 328 с.

35. Диоген Лаэртский. О жизни, учениях и изречениях знаменитых  философов. — М.: Мысль, 1979. — 620 с.

36. Дьедонне Ж.  Основы современного анализа. — М.: Мир, 1964. — 431с.

37. Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика. — М.: Наука, 1987.

38. Ефимов Н.В. Высшая геометрия. — М.: Наука, 1978.

39. Закономерности развития  современной  математики.  —   М.: 1987. — 336 с.

40. Интерпретация как историко-научная и методологическая проблема. — Новосибирск: Наука, 1986. — 207 с.

41. Искусственный интеллект:  В 3 кн. Кн. 1-3. — М.: Радио и связь, 1990.

42. Исследования по  логике  научного познания. — М.: Наука, 1990.- 206с.

43. Каган В.Ф. Очерки по геометрии. — М.: МГУ, 1960.

44. Кант И. Критика чистого  разума.-  С-Пб.:  Тайм- аут,  1993. — 477 с.

45. Кантор Г.  Труды по теории множеств.  — М.: Наука, 1985. —  430 с.

46. Карри Х.Б.  Основания  математической логики.  — М.:  Мир,  1969. — 568 с.

47. Клайн М.  Математика в поисках истины.  — М.: Мир, 1988. —   295 с.

48. Клайн М.  Математика.  Утрата определенности.  — М.:  Мир,  1984. — 434 с.

49. Клини С.К. Математическая логика. — М.: Мир, 1973. — 480 с.

50. Клини С., Весли Р. Основания интуиционистской математики. — М.: Наука, 1978. — 272 с.

51. Ковальски Р.  Логика в решении проблем. — М.: Наука, 1990. —  280 с.

52. Козлова М.С. Философия и язык. — М.: Мысль, 1972.- 254 с.

53. Койре А. Очерки истории философской мысли. — М.: Прогресс, 1985. — 286 с.

54. Колесников А.С. Философия Бертрана Рассела. -Л.: Изд-во ЛГУ, 1991. – 232 с.

55. Кон П. Универсальная алгебра. — М.: Мир, 1968. — 352 с.

56. Кондаков Н.И.  Логический словарь-справочник. — М.: Наука, 1975. – 719 с.

57. Копнин П.В.  Диалектика, логика, наука. — М.: Наука, 1973. — 464 с.

58. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике.  — М.: Наука, 1977. — 832 с.

59. Красиков Ю.В. Алгоритмы порождения речи. — Орджоникидзе: ИР, 1990. — 240 с.

60. Кузанский Н. Сочинения в 2 томах. ТТ.1-2.- М.: Мысль, 1979 — 1980.

61. Кумпф Ф., Оруджев З. Диалектическая логика: Основные принципы и проблемы. — М.: Политиздат, 1979. — 286 с.

62. Кун Т.  Структура научных революций. — М.: Прогресс, 1977. — 300с.

63. Кураевев В.И., Лазарев Ф.В. Точность, истинность и рост научного знания. — М.: Наука, 1988. — 240 с.

64. Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. — М.: Мир, 1970. — 416 с.

65. Курош А.Г.  Лекции по общей алгебре.  — М.: Наука, 1973. —  399 с.

66. Кучеров И.Д. Функции различий в практическом познании. – Минск: Наука и техника, 1972. — 320 с.

67. Кушнер Б.А. Лекции по конструктивному математическому анализу. — М.: Наука, 1973. — 447 с.

68.  Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968. — 564 с.

69. Лингвистический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия, 1990. — 685 с.

70. Лобачевский Н.И. ПСС. Тт. 1-5. —  М.-Л.: Гостехиздат, 1946 — 1951.

71. Лорьер Ж.-Л. Системы искусственного интеллекта. — М.: Мир, 1991. — 568 с.

72. Лосев А.Ф. Бытие- имя — космос. — М.: Мысль, 1993. — 958 с.

73. Лосев А.Ф.  Философия имени.  — М.:  Изд- во МГУ,  1990. —  269 с.

74. Ляпунов А.А.  Вопросы теории множеств и теории функций. — М.: Наука, 1979. — 264 с.

75. Маковельский А.О. История логики. — М.: Наука, 1967. — 502  с.

76. Маковский М.М. Лингвистическая комбинаторика. — М.: Наука, 1988. — 232 с.

77.  Марксистско-ленинская диалектика. В восьми книгах. Кн.1-8. — М.: Изд- во МГУ, 1983- 1988.

78. Математический энциклопедический словарь. -М.: Сов. энциклопедия, 1988. — 847 с.

79. Математическая энциклопедия. В 5-ти томах. ТТ. 1-5. — М.: Сов. эн-циклопедия, 1977- 1985.

80. Материалистическая диалектика. В пяти томах. ТТ.1-5. — М.: Мысль, 1981- 1985.

81. Материалистическая диалектика как общая теория развития. В 4-х томах. ТТ. 1-4. — М.: Наука, 1982 — 1987.

82. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. — М.: Наука, 1976. – 320 с.

83. Месарович М., Мако Д. и Такахара И. Теория иерархических много-уровневых систем. — М.: Мир, 1973. — 344 с.

84. Милль Д.С. Система логики силлогистической и индуктивной.  — М.: Изд-е Лемана, 1914. — 880 с.

85. Минто В.  Дедуктивная и индуктивная логика. — М.: Тип. Сытина, 1909. — 549с.

86. Мулуд Н. Современный структурализм. — М.: Прогресс, 1973. – 376с.

87. Начала Евклида. В 3-х тт. — М.-Л.: Техтеорлит, 1950.

88. Новиков П.С. Конструктивная математическая логика с точки  зрения классической. — М.: Наука, 1977. — 328 с.

89. Ньютон И. Всеобщая арифметика. — М.: Изд-во АН СССР, 1948. — 442 с.

90. Петров М.К.  Язык, знак, культура. — М.: Наука, 1991. — 328 с.

91. Петросян В.К.  О разрешимости логико-математических парадоксов самореференции с отрицанием. — М.: Книжник, 1995.

92. Петросян В.К. Основные положения концепции оснований гармо-ни-ческой арифметики. В кн.: Бесконечность в математике: философские и ис-торические аспекты. — М.: Янус — К, 1997.- 400 с.

93. Платон. Сочинения.  В 3-х томах. ТТ.1-3. — М.: Мысль, 1968   — 1972.

94. Попа К. Теория определения. — М.: Прогресс, 1976. — 247 с.

95. Пфанцагль И. Теория измерений. — М.: Мир, 1976. — 166 с.

96. Расева Е., Сикорский Р. Математика метаматематики. — М.: Наука, 1972.- 592 с.

97. Рейтман У. Познание и мышление. — М.: Мир, 1968. — 400 с.

98. Розенфельд Б.А. Неевклидовы геометрии. — М.: Техтеорлит, 1955.

99. Рузавин Г.И. Научная теория. Логико-методологический анализ. — М.: Мысль, 1978. — 244 с.

100. Справочная книга по математической логике:  В 4-х  частях. Ч.1-4.- М.: Наука, 1982-1983.

101.Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. — М.: Наука,                    1984. — 284 с.

102. Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук. — М.: Гос. изд-во ин. лит., 1948. —  326 с.

103. Тондл Л. Проблемы семантики. — М.: Прогресс, 1975. — 484 с.

104. Уайтхед А.  Избранные работы по философии. — М.: Прогресс, — 717 с.

105. Успенский В.А. Что такое нестандартный анализ. — М.: 1987.

106. Феферман С. Числовые системы. — М.: Наука, 1971.

107. Философская энциклопедия. В пяти томах. ТТ.1-5. — М.: Советская энциклопедия, 1960-1970.

108. Философский энциклопедический словарь. — М.: Сов. энциклопедия, 1983. — 840 с.

109. Френкель А.А., Бар- Хиллел И. Основания теории множеств. —                     М.: Мир, 1966. — 555 с.

110. Хинтикка Я. Логико-эпистемологические исследования. — М.: Прогресс, 1980. — 448 с.

111. Черч А. Введение в математическую логику, Ч.1.- М.: Изд-во иност.  лит., 1960. — 484 с.

112. Чудинов Э.М. Природа научной истины. —  М.:  Политиздат, 1977. — 312 с.

113. Энциклопедия элементарной математики. Кн.1. Арифметика. — М.: Гос.  из-во тех.- теор. лит., 1951. — 448 с.

114. Яновская С.А. Методологические проблемы науки. —  М.: Мысль, 1972. — 280 с.