*********

© В.К.
Петросян (Вадимир) © Lag.ru [Large Apeironic Gateway, Большой Апейронический
Портал (Шлюз), Суперпортал в Бесконечность].

При копировании данного материала и размещении его на другом сайте, ссылки
на соответствующие локации порталов Lag.ru и Proza.ru обязательны

Работа написана на основе концепции и разработок В.К. Петросяна при полноценном соавторстве (активном творческом и вычислительном участии) ChatGPT (OpenAI), GPT-5.6 Sol

*********

ЧАСТЬ V. НООТЕХНИЧЕСКОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ, КОНСТРУИРОВАНИЕ И НИОКР

Глава 1. Ноотехническое задание, нооспецификация и инженерные требования к смысловым объектам

1.1. Переход от общей теории нооинженерных объектов к технологиям их проектирования

В предшествующих частях настоящей монографии были рассмотрены исторические, логические, методологические, объектные, генетические и функциональные основания нооинженерии.

Предложена первоначальная теория нооинженерных объектов и экосистем, исследованы понятия ноокариона, ноогенома, ноогенотипа, ноофенотипа, ноосреды, ноопопуляции и ноовида.

Особое внимание уделено механизмам контроля допустимости, воспроизводства, инновационного преобразования и развития соответствующих конструкций.

Однако наличие общей теоретической системы ещё не означает существования разработанной инженерной технологии.

Для перехода от теории к практической деятельности необходимо установить способы постановки ноотехнических задач, определения требований, проектирования конструкций, проверки результатов и сопровождения созданных объектов.

В традиционной технической инженерии такие задачи решаются посредством технических заданий, проектных спецификаций, чертежей, расчётов, испытаний и нормативной документации.

Но поскольку предметом нооинженерии выступают ментальные объекты, соответствующие методы должны быть адаптированы к особенностям их смысловой, логической и математической организации.

Например, математическая теория не может быть полностью описана по аналогии с механическим устройством.

Её существенные характеристики включают определения исходных объектов, аксиоматические основания, правила вывода, способы интерпретации и условия тождества.

В то же время математическая конструкция может быть предметом целенаправленного проектирования, если установлены её назначение, требования к результатам, допустимые способы построения и процедуры проверки.

Следовательно, необходимо разработать систему ноотехнической документации, позволяющую переводить исследовательский замысел в нормативно определённую конструкцию.

Первоначальными элементами такой системы предлагается считать ноотехническое задание, нооспецификацию и систему инженерных требований к смысловым объектам.

1.2. Ноотехническое проектирование как самостоятельный вид инженерной деятельности

Ноотехническое проектирование предполагает целенаправленную разработку определённых ментальных объектов, систем или технологий на основании заранее сформулированных требований.

При этом результатом проектирования не обязательно является материальное изделие.

Им может выступать новое понятие, математическая операция, аксиоматическая система, алгоритм, нормативная классификация, формальная онтология или сложная нооинженерная экосистема.

Однако необходимо различать простое формулирование интеллектуальной идеи и инженерное проектирование соответствующего объекта.

В первом случае исследователь может предложить новую концепцию, не устанавливая достаточно точных условий её построения и использования.

Во втором необходимо сформировать определённую систему требований и разработать конструкцию, позволяющую эти требования выполнить.

Следовательно, предлагается следующее определение.

Определение 1.1. Ноотехническое проектирование — целенаправленная инженерная деятельность по разработке нормативно определённой конструкции ментального объекта или системы, включающая установление требований, формирование архитектуры, определение допустимых операций и подготовку средств проверки и воспроизводства результата.

В данном определении особенно важно указание на нормативную определённость.

Однако она не означает, что всякая проектируемая конструкция должна быть заранее полностью формализована.

В процессе разработки могут существовать предварительные понятия, исследовательские гипотезы и альтернативные архитектурные решения.

При этом необходимо различать их текущий статус.

Предварительная концепция не должна без дополнительного обоснования объявляться завершённым нооинженерным объектом.

И наоборот, отсутствие завершённой формализации на начальной стадии не исключает возможности дальнейшего инженерного развития соответствующего проекта.

Таким образом, ноотехническое проектирование предполагает последовательное повышение степени определённости ментальной конструкции.

1.3. Разграничение объекта, определения, представления и спецификации

Одной из фундаментальных предпосылок ноотехнического проектирования является разграничение нескольких связанных категорий.

Нооинженерный объект представляет собой рассматриваемую ментальную конструкцию.

Определение объекта устанавливает характеристики, посредством которых он выделяется в определённой предметной области.

Представление объекта является конкретным способом его задания или экспликации.

Спецификация фиксирует требования и правила, существенные для его проектирования, формирования, проверки или использования.

Реализация представляет собой результат выполнения определённой конструктивной или технологической процедуры.

Эти категории могут совпадать по отдельным характеристикам, но не должны автоматически отождествляться.

Например, точное рациональное число:

1/3

не является тождественным конечной десятичной записи:

0,3333333333.

При обычной арифметической интерпретации вторая запись обозначает другое рациональное число.

Однако она может выступать нормативно определённым конечным представлением первого числа.

В таком случае необходимо установить правило получения соответствующего представления.

Следовательно, ноотехнический проект может иметь своим предметом не сам исходный математический объект, а технологию формирования его представлений.

Данное различие имеет принципиальное значение.

Если проектируется десятичная система экспликации математических объектов, необходимо точно определить, какие характеристики относятся к исходному объекту, какие — к процедуре представления и какие — к её результату.

Иначе возникает опасность неявной подмены математического равенства отношением приближённого представления.

1.4. Ноотехническое задание: предмет и определение

В традиционной инженерии техническое задание определяет назначение разрабатываемого объекта, основные требования и условия получения результата.

В нооинженерии возникает необходимость специального документа, учитывающего смысловую и логико-математическую природу проектируемых конструкций.

Предлагается следующее определение.

Определение 1.2. Ноотехническое задание — документированная система исходных целей, требований, ограничений и условий проверки, определяющая предмет и предполагаемый результат разработки определённого нооинженерного объекта, системы или технологии.

При этом ноотехническое задание следует отличать от полного описания будущей конструкции.

Его назначение состоит прежде всего в определении того, что требуется разработать, для чего, в каких условиях и по каким критериям будет оцениваться результат.

Способы реализации могут устанавливаться на последующих стадиях.

Однако в некоторых случаях определённые конструктивные правила являются обязательной частью самой задачи.

Например, если требуется разработать систему числовых представлений с конкретным правилом усечения, такое правило должно быть зафиксировано уже в ноотехническом задании.

Следовательно, содержание задания зависит от степени свободы, предоставляемой разработчику.

Особенно важно различать требования к результату и ограничения на способ его получения.

Один и тот же математический результат может быть получен различными алгоритмами.

Если заказчик не требует использования конкретного алгоритма, не следует произвольно объявлять один способ единственно допустимым.

Таким образом, ноотехническое задание должно обеспечивать необходимую определённость проекта без необоснованного ограничения пространства допустимых инженерных решений.

1.5. Структура ноотехнического задания

Для первоначальной стандартизации предлагается следующая структура ноотехнического задания.

1. Идентификация проекта.

Наименование, обозначение, нормативная редакция и сведения о разработке.

2. Основание разработки.

Исследовательская проблема, практическая потребность или задача нормативной реконструкции.

3. Назначение объекта.

Функции, для выполнения которых предназначается разрабатываемая конструкция.

4. Предметная область.

Классы рассматриваемых объектов и границы предполагаемого применения.

5. Исходная система координат.

Понятия, логические основания, математические правила и нормативные контексты.

6. Требования к результату.

Семантические, конструктивные, функциональные, операционные и иные характеристики.

7. Ограничения.

Недопустимые преобразования, ресурсные пределы и специальные условия совместимости.

8. Требования к документации.

Состав необходимых определений, спецификаций, моделей и протоколов.

9. Критерии проверки.

Условия признания соответствующих требований выполненными.

10. Условия воспроизводства.

Требования к повторному получению объекта или установленных результатов.

11. Порядок изменения задания.

Правила регистрации и принятия новых редакций требований.

Данный перечень представляет собой проект общей структуры.

Он не должен рассматриваться как уже утверждённый ноотехнический стандарт.

В дальнейшем содержание соответствующих разделов необходимо конкретизировать применительно к различным классам нооинженерных объектов.

1.6. Нооспецификация как нормативная модель объекта

Ноотехническое задание определяет цель разработки и исходные требования.

Однако по мере проектирования возникает необходимость более детального нормативного описания конструкции.

Для этого предлагается использовать понятие нооспецификации.

Определение 1.3. Нооспецификация — нормативно определённое описание нооинженерного объекта, системы или технологии, устанавливающее существенные для соответствующей инженерной задачи понятия, структуру, характеристики, операции, отношения, ограничения и критерии проверки.

В отличие от ноотехнического задания, нооспецификация ориентирована на фиксацию конкретных свойств проектируемого или созданного объекта.

Однако она не должна отождествляться исключительно с его текстовым описанием.

Нооспецификация может включать математические выражения, типизированные отношения, формальные правила, схемы, таблицы и алгоритмы.

В отдельных случаях она способна иметь машинно-обрабатываемую форму.

При этом необходимо различать содержание спецификации и формат её документального представления.

Одна нормативная конструкция может иметь несколько допустимых форм записи.

Однако их эквивалентность требует проверки.

Следовательно, нооспецификация должна фиксировать также правила интерпретации применяемых обозначений.

Особое значение имеет идентификация нормативной редакции.

Если изменяются существенные определения или операции, необходимо установить, требует ли это создания новой версии спецификации.

Таким образом, нооспецификация выступает одним из основных средств фиксации нормативной определённости нооинженерного объекта.

1.7. Виды инженерных требований к смысловым объектам

Для построения общей системы ноотехнических требований предлагается выделить несколько основных групп.

Семантические требования устанавливают условия интерпретации понятий и смысловую определённость объекта.

Логические требования определяют допустимые правила рассуждения, образования суждений и вывода.

Математические требования фиксируют характеристики математических объектов, операций и отношений.

Конструктивные требования определяют способы построения и внутреннюю организацию объекта.

Морфологические требования характеризуют его структуру и допустимые формы организации.

Функциональные требования устанавливают назначение и предполагаемые результаты использования.

Операционные требования определяют правила выполнения преобразований.

Интерфейсные требования регламентируют взаимодействие с внешними системами.

Репродуктивные требования устанавливают условия повторного получения объектов или результатов.

Нормативно-конфигурационные требования обеспечивают идентификацию редакций и управление изменениями.

Ресурсные требования характеризуют условия технической реализации.

Требования к проверке определяют способы установления соответствия другим требованиям.

Однако перечисленные группы могут пересекаться.

Например, математическое определение операции одновременно имеет семантическое, конструктивное и нормативное значение.

Поэтому конкретные требования должны классифицироваться по их содержанию, а не исключительно по названию раздела документации.

Особое значение имеет разграничение требований к самому математическому объекту и требований к его техническому представлению.

Так, ограничение количества десятичных позиций относится к представлению, а не автоматически к точному числовому объекту.

1.8. Семантические требования и закон строгого тождества

Одной из специфических особенностей ноотехнического проектирования является необходимость контроля смысловой определённости используемых понятий.

В гармонической логике автора особое значение имеет закон строгого тождества, связывающий логическую правомерность понятия с сохранением его содержания, объёма и состава в пределах соответствующего рассуждения.

Для инженерной документации это предполагает необходимость фиксировать нормативные значения ключевых терминов.

Например, в рамках одного проекта слово «точность» может использоваться для обозначения количества десятичных позиций.

Однако в других дисциплинах оно может относиться к близости результата к истинному значению, неопределённости измерения или техническим допускам.

Если соответствующие значения не разграничиваются, возникает опасность смысловой подмены.

Поэтому нооспецификация должна включать терминологический раздел.

В нём необходимо устанавливать определения специальных понятий, их предметные области и допустимые отношения.

При этом следует учитывать различие между гносеологическими содержанием, объёмом и составом понятия и технической структурой соответствующего объекта.

Нельзя автоматически считать эти характеристики взаимозаменяемыми.

Следовательно, семантическая часть нооспецификации должна разрабатываться с учётом используемой логико-методологической системы.

Особенно важно, что изменение определения в процессе разработки должно быть документировано.

Такое изменение может представлять собой уточнение, расширение или фундаментальную нормативную реконструкцию.

Однако его нельзя осуществлять посредством незаметной замены прежнего значения термина.

1.9. Требования к определённости и проверяемости

Для практического применения ноотехнические требования должны обладать достаточной определённостью.

В первоначальном варианте предлагается выделить несколько критериев качества требования.

Предметная определённость. Должно быть ясно, к какому объекту или классу объектов относится требование.

Смысловая определённость. Используемые термины должны иметь установленные значения.

Нормативная определённость. Необходимо указать систему правил и редакцию, внутри которой действует требование.

Операционная определённость. Если требование относится к действию, должны быть определены условия его выполнения.

Проверяемость. Должен существовать обоснованный способ установления выполнения требования либо быть явно обозначена ограниченность такой проверки.

Непротиворечивость. Требование не должно входить в неустранённый конфликт с другими обязательными требованиями соответствующей спецификации.

Прослеживаемость. Должна существовать возможность установить происхождение требования и связанные с ним конструктивные решения.

Однако необходимо учитывать, что проверяемость не всегда означает существование универсального конечного алгоритма принятия решения.

В математических системах некоторые свойства требуют формального доказательства, а для отдельных классов задач общие разрешающие алгоритмы отсутствуют.

Следовательно, требование к проверяемости должно формулироваться относительно конкретного метода и области его применимости.

Особенно важно различать наличие процедуры испытания и возможность доказательства универсального свойства.

Конечный набор вычислительных примеров не должен автоматически подменять математическое доказательство.

1.10. Требование как самостоятельный нооинженерный объект

В рамках предлагаемой теории инженерное требование может само рассматриваться как нооинженерный объект.

Оно обладает определённым смысловым содержанием, нормативным статусом, областью применения и отношениями с другими требованиями.

Следовательно, возникает необходимость разработки специальной модели требования.

В первоначальном виде предлагается использовать схему:

R = ⟨I, O, C, P, A, V, T⟩,

где:

• R — определённое требование;
• I — его идентификатор;
• O — объект применения;
• C — нормативный контекст;
• P — предписываемая характеристика;
• A — область или условия применения;
• V — нормативная редакция;
• T — способ проверки.

Данная схема не является завершённой аксиоматизацией.

Она представляет собой первоначальный формат документирования требований.

Например, требование может предписывать:

«Завершённое десятичное представление первого класса должно содержать ровно десять цифр после запятой».

Для инженерной реализации необходимо указать, к каким объектам относится данное правило, в какой системе оно действует и каким образом проверяется.

При этом требование не означает, что любые математические объекты обязаны иметь десятичное представление именно такой длины.

Его область действия ограничивается соответствующей нормативной системой.

Таким образом, формализация требований должна обеспечивать контекстуальную определённость нооинженерных правил.

1.11. Иерархия требований

В сложных ноотехнических проектах требования могут образовывать многоуровневую систему.

На верхнем уровне устанавливаются назначение и общие характеристики будущего объекта.

На следующем определяются системные требования.

Затем они конкретизируются применительно к отдельным конструктивным компонентам.

Наконец, формируются требования к операциям, представлениям и процедурам проверки.

Однако такая иерархия не обязательно должна быть единственной.

Некоторые требования могут действовать одновременно на нескольких уровнях.

Например, требование сохранять смысловую определённость понятий относится как к отдельным определениям, так и к целой математической системе.

Поэтому необходимо учитывать не только отношения подчинения, но и сквозные нормативные зависимости.

Особое значение имеет предотвращение противоречий между уровнями.

Например, системное требование может предусматривать использование точного рационального объекта.

Однако локальная спецификация вычислительного компонента может устанавливать конечное десятичное представление.

В таком случае необходимо явно определить отношение между точным исходным объектом и его техническим приближением.

Иначе возможно ошибочное представление о том, что конечная запись полностью заменяет исходный математический объект.

Следовательно, иерархия требований должна сопровождаться системой правил их интерпретации и согласования.

1.12. Прослеживаемость требований

Одним из важнейших принципов ноотехнического проектирования является прослеживаемость требований.

Под ней предлагается понимать возможность установления документированных связей между исходной задачей, конкретными требованиями, конструктивными решениями, процедурами проверки и полученными результатами.

Например, если поставлена задача формирования десятизначного представления рационального числа, необходимо установить:

какое требование определяет количество позиций;

какой компонент реализует соответствующую операцию;

какая процедура проверяет её результат;

в каком нормативном документе зафиксировано правило;

какая редакция используется при выполнении конкретного вычисления.

Для практического применения может быть создана матрица прослеживаемости.

Её элементы связывают требования с соответствующими компонентами и процедурами проверки.

Однако необходимо учитывать, что простое наличие ссылки ещё не доказывает фактического выполнения требования.

Для этого необходим результат проверки.

Следовательно, матрица прослеживаемости должна рассматриваться как инструмент организации инженерных доказательственных материалов, а не как их автоматический заменитель.

Особое значение имеет возможность анализа последствий изменений.

Если изменяется определённое требование, необходимо установить, какие конструктивные компоненты и результаты проверки затрагиваются.

Таким образом, прослеживаемость становится важнейшим средством управления нормативной определённостью нооинженерных проектов.

1.13. Пример ноотехнического задания на систему математических представлений

Рассмотрим условный проект разработки системы конечных десятичных представлений рациональных чисел.

Для примера присвоим ему обозначение:

НОО-ДПР-01 — «Система нормативной десятичной экспликации рациональных чисел».

Данное обозначение является рабочим идентификатором проекта, а не обозначением утверждённого государственного или международного стандарта.

Назначение проекта: разработать нормативно определённую технологию получения конечных десятичных представлений точных рациональных чисел по заданным классам точности.

Исходные объекты: рациональные числа, представленные в виде отношения целых чисел p/q, где q ≠ 0.

Основная система координат: точная рациональная арифметика и отдельно определённая система конечных десятичных представлений.

Шкала классов: для класса с номером n устанавливается количество десятичных позиций:

d = 10^n.

Здесь d означает количество цифр после десятичного разделителя.

В частности:

• класс 1 — 10 позиций;
• класс 2 — 100 позиций;
• класс 3 — 1000 позиций.

В рассматриваемой редакции проекта устанавливается правило усечения по направлению к нулю.

Полученная запись должна содержать ровно d десятичных позиций.

При необходимости используются завершающие нули.

Однако в спецификации необходимо отдельно указать, что конечное представление не обязательно равно исходному точному рациональному числу.

В частности, число 1/3 не тождественно его десятизначному приближению.

Таким образом, проект направлен на разработку технологии представления, а не на изменение самого определения рациональных чисел.

1.14. Пример системы требований

Для рассматриваемого проекта может быть предложен следующий первоначальный реестр требований.

Идентификатор	Содержание требования	Способ проверки
НТ-01	Исходный объект должен задаваться точным рациональным числом p/q при q ≠ 0	Проверка типа входных данных и знаменателя
НТ-02	Номер класса n должен быть положительным целым числом	Проверка допустимости параметра
НТ-03	Количество десятичных позиций должно равняться 10^n	Проверка правила определения класса
НТ-04	Числовое значение результата должно соответствовать усечению исходного числа по направлению к нулю	Точная арифметическая проверка
НТ-05	Завершённая запись должна содержать ровно 10^n цифр после запятой	Контроль формата
НТ-06	Необходимо сохранять сведения об исходном точном числе	Проверка паспорта результата
НТ-07	Результат должен содержать идентификатор нормативной редакции	Проверка метаданных
НТ-08	Должна существовать возможность повторного получения результата по зафиксированным исходным данным	Репродуктивное испытание
НТ-09	Ограничения технической реализации должны сообщаться отдельно от математического статуса исходного числа	Проверка обработки ресурсных ограничений
НТ-10	Изменение правила усечения требует документированного нормативного решения	Проверка управления конфигурацией

Данный реестр представляет собой пример начальной спецификации.

В дальнейшем потребуется установить более строгую систему идентификаторов, критериев проверки и отношений между требованиями.

Особенно важно разграничить математические свойства процедуры и особенности её технической реализации.

Например, корректность формулы усечения не гарантирует отсутствие ошибок в конкретной программе.

Поэтому необходимы самостоятельные процедуры математической и технической проверки.

1.15. Математическая спецификация операции усечения

Для точного определения соответствующей процедуры можно использовать следующую формулу:

T_d(x) = sgn(x) · floor(|x| · 10^d) / 10^d,

где:

• x — точное рациональное число;
• d — установленное количество десятичных позиций;
• sgn(x) — знак числа;
• floor — операция взятия целой части вниз.

В данном случае T_d(x) обозначает конечное десятичное число, получаемое усечением исходного значения по направлению к нулю.

Однако необходимо различать математическое значение результата и его нормативное представление.

Например:

T_10(1/8) = 0,125.

Но в системе первого класса соответствующая запись должна содержать десять позиций:

0,1250000000.

Следовательно, формирование текстового представления требует дополнительного правила.

В частности, необходимо установить:

• способ записи знака;
• количество обязательных десятичных позиций;
• правила использования завершающих нулей;
• десятичный разделитель;
• условия представления нулевого результата.

Особое значение имеет обработка отрицательных чисел.

Усечение по направлению к нулю не должно неявно подменяться округлением вниз.

Например, для отрицательных значений эти операции в общем случае различаются.

Поэтому математическая спецификация должна содержать точное определение выбранного правила.

1.16. Контрольные примеры и критерии приёмки

Для первоначальной проверки можно использовать следующие объекты.

Пример 1.

Исходное число:

1/3.

Первый класс, усечение:

0,3333333333.

Пример 2.

Исходное число:

1/8.

Первый класс, усечение:

0,1250000000.

Пример 3.

Исходное число:

1/6.

Первый класс, усечение:

0,1666666666.

Пример 4.

Исходное число:

−1/6.

Первый класс, усечение по направлению к нулю:

−0,1666666666.

Данные примеры позволяют проверить различные характеристики.

Первый демонстрирует работу с бесконечной периодической десятичной записью точного рационального числа.

Второй — необходимость сохранения установленного количества позиций посредством завершающих нулей.

Третий позволяет различить усечение и округление до ближайшего значения.

Четвёртый контролирует правильность обработки отрицательных чисел.

Однако необходимо подчеркнуть, что выполнение конечного набора контрольных примеров не является доказательством математической корректности алгоритма для всех рациональных чисел.

Для такого доказательства требуется исследование соответствующей формальной процедуры.

Следовательно, критерии приёмки должны включать как конкретные испытания, так и отдельные математические обоснования заявленных универсальных свойств.

1.17. Верификация, валидация и нормативное принятие

В современной инженерной практике необходимо различать верификацию и валидацию.

В контексте нооинженерии предлагается использовать следующее разграничение.

Верификация устанавливает, соответствует ли разработанный объект, модель или реализация определённой спецификации.

Валидация исследует, соответствует ли объект назначению и потребностям, ради которых он разрабатывался.

Например, система может корректно формировать десятизначные представления по правилу усечения.

В таком случае определённые требования спецификации могут считаться выполненными.

Однако для конкретного научно-технического применения десяти десятичных позиций могут оказаться недостаточными.

Следовательно, соответствие спецификации ещё не означает пригодности системы для любой предполагаемой задачи.

Возможна и обратная ситуация.

Определённый результат может оказаться практически пригодным для локальной задачи, но быть полученным с нарушением обязательного правила.

В таком случае положительная оценка прикладной полезности не заменяет проверки нормативного соответствия.

Следовательно, ноотехническая приёмка должна учитывать оба вида оценки.

При этом необходимо различать внутреннее принятие объекта в определённую нооинженерную систему и официальное утверждение стандарта соответствующей уполномоченной организацией.

Предлагаемые в настоящей монографии нооспецификации имеют статус исследовательских проектов до их специального нормативного оформления.

1.18. Основные результаты главы

В настоящей главе предложено определение ноотехнического проектирования как деятельности по разработке нормативно определённых ментальных конструкций.

Разграничены нооинженерный объект, его определение, представление, реализация и спецификация.

Предложены определения ноотехнического задания и нооспецификации.

Разработана первоначальная классификация инженерных требований к смысловым объектам.

Особое внимание уделено смысловой определённости, закону строгого тождества, проверяемости и прослеживаемости требований.

Предложена формальная модель отдельного ноотехнического требования.

Рассмотрены принципы организации иерархии требований и анализа последствий их изменения.

На примере системы конечных десятичных представлений рациональных чисел разработан первоначальный образец ноотехнического задания и реестр требований.

Разграничены математическая корректность операции, нормативная форма результата и техническая реализация соответствующей процедуры.

Установлено различие между верификацией, валидацией и нормативным принятием разработанного объекта.

Таким образом, ноотехническое задание и нооспецификация рассматриваются как исходные средства перехода от исследовательского замысла к нормативно определённому и проверяемому нооинженерному объекту.

Однако выполнение соответствующих требований предполагает разработку внутренней архитектуры будущей конструкции.

Этой задаче посвящена следующая глава.

---

Глава 2. Архитектурное и функциональное проектирование ноообъектов

2.1. Проблема архитектуры нооинженерного объекта

После формирования ноотехнического задания возникает необходимость разработки конструкции, способной удовлетворить установленным требованиям.

В традиционной инженерии данная задача решается посредством архитектурного и конструктивного проектирования.

Определяются основные компоненты системы, их назначения, способы взаимодействия, интерфейсы и ограничения.

Применительно к ментальным объектам соответствующая задача приобретает специальное содержание.

Математическая теория может включать различные исходные понятия, правила образования объектов, операции, аксиомы, доказательства и способы представления результатов.

Формальная онтология может обладать системой классов, отношений, ограничений и правил интерпретации.

Алгоритмическая система может содержать взаимосвязанные процедуры преобразования объектов.

Следовательно, архитектура нооинженерного объекта не обязательно представляет собой материальную структуру.

Она может определяться системой смысловых, логических, математических и нормативных отношений.

Однако подобная архитектура должна быть достаточно определённой для выполнения соответствующей инженерной задачи.

Особое значение имеет разграничение общей архитектуры объекта и конкретной технической реализации.

Например, математическая операция может быть определена независимо от того, посредством какого программного языка она реализуется.

Следовательно, проектирование должно предусматривать несколько различных уровней описания.

Для их исследования предлагается развивать понятие ноотехнической архитектуры.

2.2. Определение ноотехнической архитектуры

Предлагается следующее рабочее определение.

Определение 2.1. Ноотехническая архитектура — нормативно определённая организация основных компонентов, отношений, функций и интерфейсов нооинженерного объекта или системы, устанавливающая способы выполнения предъявленных к ним инженерных требований.

В данном определении существенны несколько характеристик.

Структурность предполагает возможность выделения определённых компонентов.

Реляционность связана с существованием отношений между ними.

Функциональность характеризует назначение компонентов и системы в целом.

Нормативная обусловленность означает наличие установленных правил взаимодействия.

Прослеживаемость предполагает связь архитектурных решений с исходными требованиями.

Однако нельзя считать, что всякая ноотехническая архитектура должна иметь единственную правильную форму.

Возможны альтернативные решения, удовлетворяющие одним и тем же требованиям.

Например, определённая вычислительная операция может быть реализована различными алгоритмами.

При этом их математические результаты совпадают, но внутренняя архитектура различается.

Следовательно, архитектурное проектирование должно допускать вариативность.

Особое значение приобретает обоснование выбора конструктивного решения.

Нельзя объявлять определённую архитектуру оптимальной без указания критериев соответствующей оценки.

2.3. Архитектура и нооморфология

В предыдущей части монографии нооморфология была определена как направление, исследующее формы, структуры и способы организации нооинженерных объектов.

Архитектурное проектирование непосредственно связано с данной дисциплиной.

Однако необходимо различать исследование структуры и проектирование конкретной структуры.

Нооморфологический анализ может описывать уже существующую конструкцию.

Архитектурное проектирование предназначено для разработки такой организации, которая удовлетворяет определённому техническому заданию.

Следовательно, архитектурный проект представляет собой нормативно ориентированную нооморфологическую модель.

При этом существенную роль играют функциональные требования.

Например, одна математическая система может быть предназначена для строгой формальной проверки доказательств.

Другая — для выполнения определённых вычислительных операций.

Даже при наличии общих понятийных компонентов их архитектура может существенно различаться.

Следовательно, проектирование должно осуществляться с учётом назначения системы.

Особое значение имеет возможность повторного использования ранее разработанных конструктивных модулей.

Однако применение такого модуля требует проверки его совместимости с новой архитектурой.

Таким образом, ноотехническое архитектурное проектирование должно объединять результаты нооморфологии, ноогенетики, ноофункционального анализа и нормативной спецификации.

2.4. Основные архитектурные представления

Для исследования сложных нооинженерных объектов предлагается использовать несколько взаимосвязанных архитектурных представлений.

Семантическое представление определяет исходные понятия и условия их интерпретации.

Логико-математическое представление характеризует систему объектов, формальных правил и допустимых операций.

Структурное представление описывает компоненты и отношения между ними.

Функциональное представление определяет распределение функций и ожидаемые результаты.

Операционное представление характеризует последовательности и условия выполнения действий.

Интерфейсное представление устанавливает способы взаимодействия с внешними объектами и системами.

Нормативное представление фиксирует требования и ограничения.

Конфигурационное представление содержит сведения о редакциях компонентов и отношениях их совместимости.

Проверочное представление связывает требования с процедурами и результатами контроля.

Однако данные представления не обязательно являются самостоятельными объектами.

Они могут выступать различными способами рассмотрения одной конструкции.

Особенно важно обеспечить их согласованность.

Например, если функциональная схема предусматривает определённую математическую операцию, логико-математическое представление должно содержать её соответствующее определение.

А операционная схема должна устанавливать условия выполнения данной операции.

Следовательно, архитектурный проект должен включать механизмы контроля межмодельной согласованности.

2.5. Семантическая архитектура

Семантическая архитектура определяет систему смысловых оснований нооинженерного объекта.

Она включает исходные понятия, отношения интерпретации, правила определения новых категорий и условия их использования.

Для математической системы такие компоненты могут иметь фундаментальное значение.

Например, необходимо определить, что понимается под исходным числовым объектом, математическим равенством, представлением и операцией преобразования.

Если соответствующие понятия имеют разные значения в различных нормативных редакциях, архитектура должна обеспечивать их разграничение.

Особое значение имеет принцип строгого тождества.

В пределах фиксированной редакции необходимые значения должны сохраняться в соответствии с установленными правилами.

Однако система может допускать разработку новых редакций с изменёнными определениями.

Следовательно, семантическая архитектура должна включать также средства управления нормативными изменениями.

Особенно важно различать семантические отношения и технические связи.

Например, наличие программного интерфейса между двумя системами не обязательно означает полную эквивалентность используемых ими математических понятий.

Поэтому семантическое сопряжение требует самостоятельной проверки.

Таким образом, семантическая архитектура представляет собой один из фундаментальных уровней организации сложных нооинженерных объектов.

2.6. Логико-математическая архитектура

Логико-математическое представление устанавливает формальные основания и правила функционирования соответствующей системы.

Его содержание зависит от предметной области.

Для аксиоматической математической теории существенными компонентами могут выступать исходные понятия, аксиомы, правила вывода и определения производных объектов.

Для вычислительной технологии — математические операции и условия их применения.

Особое значение приобретает различение формальных правил и способов технической реализации.

Например, точная операция усечения рационального числа может быть определена математически.

Однако её программная реализация может использовать различные алгоритмы.

Следовательно, математическая операция не должна отождествляться с конкретным исполняемым кодом.

При этом соответствие технической реализации математической спецификации требует отдельной проверки.

Особенно важно учитывать ограничения формальных методов.

Наличие математической архитектуры не гарантирует существования универсальной процедуры, позволяющей автоматически доказать все возможные свойства данной системы.

Поэтому проект должен определять конкретные доказательственные обязательства и используемые методы их выполнения.

Таким образом, логико-математическая архитектура предназначена для установления формальных оснований проекта, а не для автоматического провозглашения завершённости всех его математических исследований.

2.7. Функциональная архитектура

Функциональная архитектура определяет способы распределения задач между компонентами системы.

В первоначальном варианте предлагается различать основные и обеспечивающие функции.

Основные функции непосредственно связаны с назначением объекта.

Обеспечивающие функции предназначены для реализации, контроля, документирования и сопровождения соответствующих процессов.

Например, в системе математических представлений основной функцией является получение конечного десятичного результата по установленным правилам.

Однако для воспроизводимой работы могут потребоваться дополнительные функции:

• проверка входных данных;
• определение класса точности;
• выбор допустимой операции;
• формирование результата;
• контроль формата;
• проверка математического значения;
• регистрация нормативной редакции.

При этом необходимо различать функциональную декомпозицию и техническую декомпозицию.

Несколько функций могут выполняться одним программным компонентом.

И наоборот, одна функция может реализовываться несколькими независимыми модулями.

Следовательно, архитектурное проектирование должно обеспечивать возможность сопоставления функциональных требований с конкретными конструктивными решениями.

Особое значение имеют интерфейсы между компонентами.

Если результаты одной операции используются другой, необходимо установить правила их передачи и интерпретации.

2.8. Ноокарион и архитектурные инварианты

Ноокарион представляет собой нормативное ядро объекта, устанавливающее характеристики, существенные для его организации и режима тождества.

При архитектурном проектировании необходимо определить, какие решения относятся к соответствующему ядру.

Например, в математической системе формирования десятичных представлений системообразующими характеристиками могут выступать:

• тип исходного числового объекта;
• правило определения класса точности;
• математическое определение операции;
• условия тождества исходных и производных объектов;
• обязательные нормативные ограничения.

Однако конкретная программная архитектура не обязательно должна входить в состав ноокариона математической системы.

Например, две независимые реализации могут использовать различные способы хранения данных, сохраняя одинаковое математическое содержание.

Следовательно, необходимо разграничивать ноокарион математической конструкции и архитектуру технического средства её реализации.

В отдельных проектах требования к технической реализации могут быть настолько существенными, что они также приобретают нормативно обязательный статус.

Однако соответствующее решение должно приниматься явно.

Таким образом, архитектурное проектирование должно определять границы допустимой вариативности без неявного смешения математических и технических характеристик.

2.9. Ноогеном и конструктивная архитектура

Ноогеном характеризует систему конструктивных правил, предназначенных для формирования определённых нооинженерных объектов.

Поэтому он может рассматриваться как один из источников архитектурных решений.

В частности, ноогеном может включать различные функциональные модули, правила их сочетания и ограничения.

Однако ноогеном не обязательно совпадает с полной архитектурой конкретного объекта.

Он способен предусматривать несколько допустимых конфигураций.

В таком случае необходимо определить конкретный ноогенотип.

Например, общий ноогеном системы десятичных представлений может допускать различные классы точности и способы округления.

Конкретная редакция системы может использовать определённый набор соответствующих модулей.

Следовательно, архитектурный проект должен фиксировать выбранную конфигурацию.

Особенно важно установить зависимости между модулями.

Например, компонент форматирования результата не может корректно функционировать без сведений о заданном количестве десятичных позиций.

А компонент проверки должен иметь доступ к нормативному определению используемой операции.

Следовательно, архитектурная модель должна включать не только перечень компонентов, но и правила их взаимодействия.

2.10. Формальная схема ноотехнической архитектуры

Для первоначального описания предлагается использовать модель:

A(N, v) = ⟨M, L, F, I, C, Q⟩,

где:

• A(N, v) — архитектура объекта N в нормативной редакции v;
• M — совокупность архитектурных компонентов;
• L — типизированные отношения между компонентами;
• F — распределение функций;
• I — внутренние и внешние интерфейсы;
• C — нормативные ограничения;
• Q — требования к проверке архитектуры.

Данная схема представляет собой первоначальный формат архитектурного описания.

Она не устанавливает универсальной формы для всех математических и семантических объектов.

Например, архитектура отдельного математического числа может существенно отличаться от архитектуры аксиоматической теории.

В первом случае существенными могут быть способы определения, представления и допустимые операции.

Во втором необходимо описывать более сложную систему зависимостей между понятиями и утверждениями.

Следовательно, общая схема должна конкретизироваться применительно к предметной области.

Особое значение имеет разработка типизированных отношений.

Например, связь «использует» отличается от связи «определяет», а отношение структурного включения — от отношения математической эквивалентности.

Поэтому формальная модель должна предотвращать неявное смешение разных типов связей.

2.11. Архитектурное проектирование системы математических представлений

Продолжим рассмотрение проекта НОО-ДПР-01.

Его назначение состоит в получении конечных десятичных представлений рациональных чисел по установленным классам точности.

Предлагается выделить несколько основных архитектурных компонентов.

Компонент 1. Модуль точного исходного объекта.

Предназначен для задания рационального числа p/q при ненулевом знаменателе.

Компонент 2. Модуль класса точности.

Устанавливает номер класса n и количество позиций d = 10^n.

Компонент 3. Модуль нормативного правила.

Определяет способ получения конечного представления.

Компонент 4. Вычислительный модуль.

Выполняет предусмотренную математическую операцию.

Компонент 5. Модуль форматирования.

Формирует запись с установленным количеством десятичных позиций.

Компонент 6. Модуль проверки.

Контролирует соответствие результата нормативным требованиям.

Компонент 7. Модуль паспортизации.

Регистрирует исходные данные, полученный результат и нормативную редакцию.

Однако перечисленные компоненты представляют собой функциональные единицы.

Их не обязательно реализовывать в виде семи независимых программ.

Конкретная техническая архитектура может объединять отдельные функции.

При этом должна сохраняться возможность проверки выполнения каждого обязательного требования.

2.12. Функциональная схема системы

В первоначальном варианте функциональный процесс может быть представлен последовательностью:

Задание исходного числа → определение класса → выбор нормативного правила → вычисление → формирование записи → проверка → регистрация.

Однако данная последовательность требует уточнения.

Например, проверка допустимости входных данных должна осуществляться до выполнения вычислений.

Если знаменатель исходного рационального числа равен нулю, входные данные не соответствуют требованиям проекта.

Аналогичным образом необходимо проверить номер класса.

Если значение n не принадлежит объявленной области допустимых номеров классов, процедура не должна неявно подменять его другим значением.

Следовательно, в развитой архитектуре необходимо предусмотреть предварительный контроль.

Кроме того, проверка математического результата и проверка формата могут выполняться отдельно.

Например, запись может содержать правильное количество позиций, но неверное числовое значение.

Следовательно, система должна различать несколько видов соответствия.

Таким образом, функциональная архитектура должна обеспечивать последовательную проверку исходных условий, математических операций и форм представления.

2.13. Конструирование алгоритма без неявной потери точности

Для технической реализации рассматриваемой системы принципиально важно избегать неявного перехода от точного рационального числа к приближённому машинному числу до выполнения установленной операции.

Предположим, что исходный объект задан как:

x = p/q,

где p и q — целые числа, а q > 0.

Для класса n устанавливается:

d = 10^n.

Тогда математическое значение усечённого результата можно определить посредством целочисленной операции:

k = floor(|p| · 10^d / q).

После этого:

T_d(p/q) = sgn(p) · k / 10^d.

При выполнении соответствующих вычислений с точными целыми числами данная схема не требует предварительного приближённого представления исходного рационального числа.

Однако для практической реализации необходимо учитывать ресурсные ограничения.

При больших значениях d прямое построение числа 10^d и выполнение операций с ним могут требовать значительных вычислительных ресурсов.

Поэтому в технической системе могут использоваться более специализированные алгоритмы, например последовательное порождение десятичных позиций.

Однако такие алгоритмы должны удовлетворять той же математической спецификации.

Следовательно, архитектура должна разграничивать математическое определение операции и допустимые способы её технической реализации.

2.14. Модуль форматирования и нормативная запись

После получения числового значения результата необходимо сформировать его нормативное представление.

В рассматриваемой системе оно должно содержать ровно d десятичных позиций.

Это требование имеет самостоятельное значение.

Например, для точного рационального числа:

1/8

значение усечённого результата равно:

0,125.

Однако нормативное представление первого класса должно иметь вид:

0,1250000000.

Следовательно, модуль форматирования должен обеспечивать добавление необходимых завершающих нулей.

Вместе с тем он не должен изменять математическое значение результата.

Особую задачу представляет обработка отрицательных чисел.

Например, для отрицательного рационального числа малой абсолютной величины усечение может давать нулевое математическое значение.

В таком случае необходимо установить нормативное правило отображения знака нуля.

В первоначальной редакции проекта целесообразно предусмотреть каноническую запись нуля без отрицательного знака.

Однако подобное решение должно быть зафиксировано в спецификации, а не приниматься неявно конкретной программой.

Следовательно, форматирование является самостоятельной нормативной операцией, отличной от вычисления математического значения.

2.15. Архитектура контроля результата

Для проверки математических представлений необходимо разработать самостоятельную контрольную архитектуру.

Она может включать несколько уровней.

Первый уровень — контроль входных данных.

Проверяется допустимость задания исходного объекта.

Второй уровень — контроль класса.

Устанавливается правильность количества предусмотренных позиций.

Третий уровень — контроль операции.

Проверяется соответствие математического значения установленному правилу усечения.

Четвёртый уровень — контроль представления.

Проверяется наличие ровно d десятичных цифр.

Пятый уровень — контроль нормативного статуса.

Устанавливается правильность указания редакции и исходных параметров.

Шестой уровень — репродуктивная проверка.

Исследуется возможность повторного получения соответствующего результата.

Особенно важно, чтобы процедура проверки не воспроизводила без независимого контроля те же ошибки, которые могут существовать в основном вычислительном модуле.

Например, использование одного и того же некорректного алгоритма одновременно для получения результата и его проверки способно привести к ложному заключению о соответствии.

Поэтому для существенных требований целесообразно предусматривать независимые контрольные методы.

Однако степень независимости должна определяться в соответствии с критичностью проекта и характером проверяемых свойств.

2.16. Математические обязательства архитектурного проекта

Архитектурное проектирование должно включать не только функциональные схемы, но и определённые математические обязательства.

Для системы усечения могут быть поставлены следующие задачи.

Обязательство 1.

Доказать, что результат операции имеет не более d ненулевых значащих десятичных позиций после запятой и допускает представление с ровно d позициями посредством добавления нулей.

Обязательство 2.

Установить границу абсолютной погрешности:

|x − T_d(x)| < 10^(−d).

Обязательство 3.

Исследовать согласованность усечения для различных значений d.

В частности, при D ≥ d и одинаковом определении операции требуется установить:

T_d(T_D(x)) = T_d(x).

Обязательство 4.

Разграничить математическое значение результата и его текстовое представление.

Обязательство 5.

Установить корректность обработки отрицательных чисел и нуля.

Однако перечисленные положения должны сопровождаться математическими доказательствами или другими соответствующими основаниями.

Их нельзя считать доказанными исключительно вследствие включения в техническое задание.

При этом корректность математической модели не освобождает от необходимости проверять конкретную программную реализацию.

Следовательно, архитектурная документация должна отдельно фиксировать доказанные математические свойства, проектные требования и результаты технических испытаний.

2.17. Ноомембранное и интерфейсное проектирование

Система математических представлений может взаимодействовать с другими математическими и вычислительными системами.

Для этого необходимы специальные интерфейсы.

Например, точное рациональное число может передаваться из одной системы в другую для формирования конечного десятичного представления.

При этом необходимо установить, сохраняется ли исходная математическая предметность и какие преобразования выполняются.

Особое значение имеет возможность межклассового взаимодействия.

Представление второго класса содержит сто десятичных позиций.

Представление первого класса — десять.

При согласованном правиле усечения более длинное представление может быть преобразовано в более короткое посредством соответствующей операции.

Однако обратное преобразование не может во всех случаях восстановить отсутствующую информацию только на основании короткой записи.

Следовательно, интерфейс должен фиксировать ограничения преобразования.

В данном контексте ноомембрана может рассматриваться как система нормативных правил допуска внешних объектов и операций.

Однако её назначение не должно сводиться к метафоре защитной оболочки.

Она должна иметь конкретную спецификацию.

Например, можно предусмотреть запрет на использование внешнего числового результата без указания его класса точности и способа получения.

Такой механизм обладает самостоятельным инженерным содержанием.

2.18. Архитектурная прослеживаемость

Одним из основных требований к архитектурному проекту является возможность установить, какие компоненты предназначены для выполнения конкретных требований.

Продолжая пример НОО-ДПР-01, можно предложить следующую первоначальную таблицу.

Требование	Архитектурный компонент	Контроль
НТ-01	Модуль исходного объекта	Проверка рационального входа
НТ-02	Модуль класса точности	Проверка допустимости n
НТ-03	Модуль класса точности	Проверка d = 10^n
НТ-04	Вычислительный модуль	Точная арифметическая проверка
НТ-05	Модуль форматирования	Контроль количества позиций
НТ-06	Модуль паспортизации	Проверка исходного значения
НТ-07	Конфигурационная подсистема	Проверка редакции
НТ-08	Репродуктивная подсистема	Повторное вычисление
НТ-09	Подсистема технических ограничений	Проверка ресурсных отказов
НТ-10	Управление конфигурацией	Проверка процедуры изменений

Такая таблица позволяет связать проектные требования с конкретными средствами их выполнения.

Однако она не заменяет самих результатов проверки.

Следовательно, для полноценной архитектурной прослеживаемости необходимо дополнительно связывать требования с проектными моделями, реализациями, испытаниями и нормативными заключениями.

Особое значение имеет возможность автоматизированного анализа таких связей.

В дальнейшем соответствующие методы могут стать одним из оснований машинно-обрабатываемых ноотехнических паспортов.

2.19. Архитектурные альтернативы и проектные решения

При разработке нооинженерного объекта могут существовать различные архитектурные решения.

Например, вычислительный модуль может использовать прямую арифметику больших целых чисел либо последовательное порождение десятичных позиций.

Оба варианта могут удовлетворять одной математической спецификации.

Однако они могут различаться по вычислительной сложности, требованиям к памяти и удобству технической реализации.

Следовательно, проектирование должно включать анализ альтернатив.

При этом необходимо различать обязательные требования и предпочтительные характеристики.

Если математическое правило должно сохраняться, архитектурная альтернатива не может произвольно изменять соответствующую операцию.

Однако способ реализации может выбираться по дополнительным критериям.

Особое значение имеет необходимость учитывать величину d = 10^n.

При больших номерах классов объём полного представления быстро возрастает.

Следовательно, техническое задание должно определять, для каких классов требуется реальная вычислительная поддержка.

Нельзя считать, что формальная определённость произвольно большого конечного класса автоматически гарантирует практическую возможность формирования всех его цифр на конкретном устройстве.

Поэтому ресурсная осуществимость должна исследоваться самостоятельно.

2.20. Архитектурный паспорт ноообъекта

Для практической организации проектирования предлагается разработать архитектурный паспорт нооинженерного объекта.

Он должен включать идентификатор объекта и нормативную редакцию.

Затем фиксируются назначение и исходные требования.

Отдельно описываются семантические и логико-математические основания.

Следующий раздел содержит структуру компонентов и систему отношений между ними.

Далее устанавливается распределение функций.

Особое место занимают интерфейсы и внешние зависимости.

Затем фиксируются ноокарионные инварианты.

Отдельно описываются допустимые архитектурные альтернативы.

Следующий раздел должен содержать результаты проверки согласованности проектных моделей.

Наконец, паспорт включает историю архитектурных изменений.

При этом архитектурный паспорт не должен полностью дублировать ноотехническое задание.

Его назначение состоит в документировании конкретных конструктивных решений, посредством которых предполагается выполнить установленные требования.

Таким образом, архитектурная паспортизация становится средством обеспечения перехода от абстрактной нормативной задачи к определённой инженерной конструкции.

2.21. Основные результаты главы

В настоящей главе предложено определение ноотехнической архитектуры как нормативно определённой организации компонентов, отношений, функций и интерфейсов нооинженерного объекта.

Рассмотрена связь архитектурного проектирования с нооморфологией, ноогенетикой и ноокарионной организацией.

Предложена система взаимосвязанных архитектурных представлений.

Разграничены семантическая, логико-математическая, структурная, функциональная и техническая архитектуры.

Разработана первоначальная формальная модель ноотехнической архитектуры.

На примере системы конечных десятичных представлений рациональных чисел предложена архитектура, включающая модули задания исходного объекта, определения класса, вычисления, форматирования, проверки и паспортизации.

Особое внимание уделено возможности выполнения математических операций без неявной потери точности исходного рационального числа.

Предложены основные доказательственные обязательства и требования к архитектуре проверки.

Рассмотрены вопросы межклассового сопряжения, управления ресурсными ограничениями и выбора архитектурных альтернатив.

Разработаны первоначальные требования к архитектурному паспорту нооинженерного объекта.

Таким образом, архитектурное и функциональное проектирование рассматривается как основной этап преобразования ноотехнических требований в конкретную систему смысловых, конструктивных, математических и операционных решений.

Однако созданная архитектура должна существовать не только в момент первоначального проектирования.

Она может подвергаться испытаниям, внедрению, сопровождению, модернизации и нормативной реконструкции.

Следовательно, необходимо исследовать жизненный цикл нооинженерного объекта и механизмы управления его конфигурацией.

Эти вопросы составляют предмет следующей главы.

---

Глава 3. Жизненный цикл нооинженерного объекта и управление его конфигурацией

3.1. Проблема жизненного цикла ментального объекта

В традиционной инженерии жизненный цикл технической системы включает процессы от возникновения потребности и проектирования до создания, использования, сопровождения и прекращения эксплуатации.

В программной инженерии особое значение приобретают управление версиями, документирование изменений и возможность воспроизводства определённых конфигураций.

Применительно к ментальным объектам возникает необходимость специальной интерпретации соответствующих процессов.

Математическое понятие, теория или алгоритм не обязательно обладают жизненным циклом в биологическом или материально-техническом смысле.

Например, прекращение использования определённой математической теории не означает автоматического исчезновения её формального содержания.

А создание новой нормативной редакции не обязательно отменяет возможность дальнейшего исследования прежней.

Следовательно, понятие жизненного цикла должно относиться прежде всего к процессам инженерной разработки, применения, сопровождения и нормативного управления определённой конструкцией.

При этом необходимо различать существование самого математического объекта, историю его исследований и жизненный цикл конкретного нооинженерного проекта.

Например, рациональное число 1/3 не возникает заново при каждом запуске программы, вычисляющей его десятичное представление.

Однако соответствующая программа, её спецификация и полученные результаты обладают определённой историей создания и изменения.

Поэтому общая теория жизненного цикла нооинженерного объекта должна учитывать различные уровни предметности.

3.2. Определение жизненного цикла нооинженерного объекта

Предлагается следующее рабочее определение.

Определение 3.1. Жизненный цикл нооинженерного объекта — нормативно организованная совокупность процессов и состояний его постановки, разработки, спецификации, проверки, воспроизводства, использования, изменения и сопровождения в пределах определённой нооинженерной системы.

В данном определении необходимо подчеркнуть, что жизненный цикл относится к инженерной деятельности и управляемым состояниям объекта.

Он не обязательно определяет метафизический момент возникновения или прекращения существования соответствующей математической предметности.

Например, математическая теория может быть исторически создана в определённый период.

Затем она получает новые формальные представления и технические реализации.

Однако её исходная нормативная редакция может сохранять самостоятельный статус.

Следовательно, жизненный цикл не обязательно завершается уничтожением объекта.

Он может включать архивирование, прекращение активного использования или передачу в другую нормативную систему.

Особое значение имеет возможность существования нескольких параллельных жизненных циклов.

Например, одна математическая система может иметь несколько независимых программных реализаций.

Каждая из них обладает собственной историей разработки.

Следовательно, необходимо различать жизненный цикл математической спецификации и жизненные циклы её технических реализаций.

3.3. Уровни жизненного цикла

Для первоначального исследования предлагается выделить несколько уровней.

Концептуальный уровень связан с возникновением исследовательского замысла и формированием исходных понятий.

Нормативный уровень характеризует разработку и изменение определений, требований и спецификаций.

Конструктивный уровень охватывает проектирование архитектуры и соответствующих правил.

Реализационный уровень связан с получением конкретных объектов, представлений или технических средств.

Проверочный уровень включает верификацию, валидацию и испытания.

Эксплуатационный уровень характеризует использование принятой конструкции.

Конфигурационный уровень обеспечивает сопровождение редакций и управление изменениями.

Архивный уровень предназначен для сохранения исторически определённых состояний.

При этом перечисленные уровни не обязательно образуют строгую последовательность.

Проверка может начинаться ещё на стадии формирования требований.

А сопровождение может включать разработку новых конструктивных решений.

Следовательно, жизненный цикл должен рассматриваться как система взаимосвязанных процессов, допускающая итерации и параллельное выполнение отдельных работ.

Особенно важно сохранять прослеживаемость между уровнями.

Например, изменение исходного требования может затронуть архитектуру, программную реализацию и результаты проверок.

Поэтому управление жизненным циклом должно включать средства анализа соответствующих зависимостей.

3.4. Основные стадии жизненного цикла

Для первоначальной ноотехнической модели предлагается выделить следующие стадии.

1. Инициация.

Формулируются исходная проблема и назначение будущего объекта.

2. Концептуализация.

Определяются основные понятия, предметная область и предполагаемые конструктивные основания.

3. Формирование требований.

Разрабатываются ноотехническое задание и первоначальная система требований.

4. Спецификация.

Фиксируются нормативные определения и правила.

5. Архитектурное проектирование.

Формируется внутренняя организация объекта.

6. Конструирование.

Создаются соответствующие ментальные конструкции, формальные модели или технические реализации.

7. Проверка.

Осуществляются предусмотренные виды верификации, валидации и испытаний.

8. Нормативное принятие.

Определяется статус разработанной редакции в конкретной нооинженерной системе.

9. Использование.

Объект применяется в пределах установленной предметной области.

10. Сопровождение.

Осуществляются контроль состояния, исправления и допустимые изменения.

11. Реконструкция.

При необходимости разрабатываются новые нормативные редакции.

12. Архивирование или прекращение активного использования.

Обеспечивается сохранение необходимых сведений о предшествующих состояниях.

Однако данный перечень не является универсальной обязательной последовательностью.

Конкретный жизненный цикл должен определяться с учётом класса объекта, сложности проекта и характера его использования.

3.5. Состояния разработки и нормативные статусы

Для управления жизненным циклом необходимо различать состояние разработки объекта и его нормативный статус.

Например, конструкция может иметь завершённую спецификацию, но ещё не пройти требуемую проверку.

Другая может быть экспериментально испытана, но не принята в качестве действующей нормативной редакции.

Третья может быть принята для определённого применения, но иметь известные ограничения.

Поэтому предлагается использовать несколько независимых характеристик.

Статус разработки: замысел, проект, специфицированная конструкция, реализованный объект.

Статус проверки: не проверен, находится на проверке, проверен в определённом отношении, имеет выявленные нарушения.

Нормативный статус: предложен, принят в конкретной системе, заменён другой редакцией, выведен из активного использования.

Репродуктивный статус: условия воспроизводства не определены, частично определены или подтверждены в установленном отношении.

Исторический статус: текущая редакция, предшествующая редакция, альтернативная ветвь, архивное состояние.

Такое разграничение позволяет избежать ошибочного представления о существовании одной универсальной шкалы зрелости.

В частности, объект может обладать достаточно строгим математическим определением и при этом не иметь готовой программной реализации.

Следовательно, нормативный статус должен определяться относительно конкретной инженерной задачи.

3.6. Понятие конфигурации нооинженерного объекта

Одним из основных средств управления жизненным циклом является понятие конфигурации.

Предлагается следующее рабочее определение.

Определение 3.2. Конфигурация нооинженерного объекта — нормативно идентифицированная совокупность взаимосвязанных характеристик, компонентов, спецификаций и реализаций, определяющая конкретное состояние объекта в установленной системе координат.

При этом необходимо учитывать различие между конфигурацией математического объекта и конфигурацией технической системы его представления.

Например, точное рациональное число может сохранять своё математическое значение.

Однако используемая технология его десятичной экспликации способна иметь несколько нормативных редакций.

Следовательно, изменение спецификации представления не обязательно означает изменение исходного числа.

Поэтому конфигурация должна включать сведения о том, какой именно объект рассматривается.

Особое значение имеет возможность раздельного управления:

• исходными математическими определениями;
• нормативными требованиями;
• архитектурными моделями;
• алгоритмами;
• программными реализациями;
• процедурами проверки;
• полученными результатами;
• паспортами и протоколами.

Соответствующие компоненты могут изменяться с различной периодичностью.

Следовательно, система управления конфигурацией должна обеспечивать их самостоятельную идентификацию и установление допустимых сочетаний.

3.7. Формальная схема конфигурации

Для первоначального описания предлагается использовать модель:

Conf(N, v) = ⟨R, D, A, G, I, Q, P, H⟩,

где:

• Conf(N, v) — конфигурация объекта N в нормативной редакции v;
• R — действующие требования;
• D — определения и семантические основания;
• A — архитектурное описание;
• G — конструктивные правила и геномные компоненты;
• I — конкретные реализации;
• Q — результаты проверок;
• P — паспорта и иная обязательная документация;
• H — история изменений и происхождения.

Данная схема представляет собой первоначальный формат конфигурационного описания.

Она не означает, что все нооинженерные объекты обязаны иметь программные реализации.

Для некоторых математических теорий соответствующий компонент может быть представлен только определёнными формальными конструкциями.

Кроме того, одна нормативная редакция может допускать несколько независимых технических реализаций.

Поэтому необходимо различать конфигурацию нормативного объекта и конфигурации его отдельных реализаций.

Особое значение имеет возможность проверки согласованности компонентов.

Например, программная реализация не должна без специального указания использовать правила одной редакции, тогда как её паспорт ссылается на другую.

Следовательно, конфигурационная модель должна включать отношения допустимого сочетания компонентов.

3.8. Конфигурационная единица

Для практической реализации управления изменениями предлагается использовать понятие конфигурационной единицы нооинженерии.

В первоначальном определении она представляет собой нормативно выделенный компонент, состояние или документ, изменения которого подлежат самостоятельной идентификации и контролю.

Например, конфигурационными единицами могут выступать:

• определение исходного математического объекта;
• правило выполнения операции;
• спецификация интерфейса;
• архитектурная модель;
• вычислительный алгоритм;
• программная реализация;
• набор контрольных примеров;
• протокол проверки;
• нормативный паспорт.

Однако не всякая текстовая строка должна становиться самостоятельной конфигурационной единицей.

Степень детализации определяется характером проекта.

Особенно важно установить, какие компоненты имеют системообразующее значение.

Изменение одного технического параметра может не затрагивать математический ноокарион.

Но изменение исходного определения операции способно привести к созданию новой нормативной редакции.

Следовательно, система конфигурационных единиц должна отражать реальные отношения зависимости между конструктивными и нормативными компонентами.

3.9. Базовая нормативная конфигурация

Для обеспечения воспроизводимости необходима возможность фиксации определённого состояния проекта.

Для этого предлагается использовать понятие базовой нормативной конфигурации.

Определение 3.3. Базовая нормативная конфигурация — специально зафиксированная и идентифицированная совокупность компонентов, спецификаций и результатов проверки, используемая в качестве исходного состояния для дальнейшего функционирования или изменения нооинженерного объекта.

При этом фиксация базовой конфигурации не означает запрета дальнейшего развития.

Она обеспечивает возможность установления различий между исходным и последующим состояниями.

Например, после завершения разработки системы математических представлений могут быть зафиксированы её исходные правила, архитектурная модель, программная реализация и результаты проверки.

На основании данной конфигурации могут разрабатываться новые редакции.

При этом прежнее состояние должно сохранять возможность восстановления в установленном отношении.

Особенно важно документировать состав базовой конфигурации.

Недостаточно сохранить только идентификатор версии.

Необходимо обеспечить доступ к соответствующим определениям, правилам, алгоритмам и результатам проверки.

Таким образом, базовая нормативная конфигурация представляет собой одно из основных средств обеспечения исторической определённости нооинженерного проекта.

3.10. Версионирование и нормативная преемственность

Развитие нооинженерных объектов предполагает возможность существования нескольких последовательных и параллельных редакций.

Для их различения необходима система версионирования.

Однако нельзя заранее предполагать, что любая техническая схема нумерации версий полностью отражает характер математических изменений.

Например, изменение оформления документа может не затрагивать его нормативного содержания.

В то же время изменение одной операции способно существенно изменить математическую предметность системы.

Поэтому номер версии должен сопровождаться содержательным описанием изменений.

В первоначальном варианте можно различать:

редакционную модификацию, не затрагивающую нормативный смысл;

совместимое расширение, вводящее новые возможности без изменения объявленных действующих правил;

нормативную реконструкцию, изменяющую существенные основания системы;

ноокарионную реконструкцию, затрагивающую системообразующие характеристики.

Однако отношения между такими категориями требуют самостоятельной формализации.

В частности, совместимость должна определяться относительно конкретных требований.

Следовательно, изменение номера версии не должно автоматически заменять исследование математических и семантических последствий.

Особое значение приобретает документирование нормативной преемственности.

Она устанавливает происхождение одной редакции от другой, но не обязательно означает их полное тождество.

3.11. Ветвление конфигураций

В условиях полисистемности развитие нооинженерного объекта может осуществляться по нескольким независимым направлениям.

Например, на основе одной математической системы могут быть созданы альтернативные редакции с различными правилами операций.

При этом ни одна из них не обязана автоматически вытеснять другую.

Следовательно, необходим механизм конфигурационного ветвления.

Он должен обеспечивать идентификацию исходной редакции и каждой производной ветви.

Для каждой ветви фиксируются собственные нормативные требования.

Особое значение имеет возможность установления отношений совместимости.

Например, две редакции могут использовать одинаковую систему представления результатов, но различаться по математическим правилам формирования отдельных значений.

В таком случае необходимо отдельно исследовать возможность их взаимодействия.

Следовательно, ветвление должно сопровождаться сохранением самостоятельных конфигурационных паспортов.

При этом не следует считать, что все ветви должны впоследствии быть объединены.

В ряде случаев их параллельное существование соответствует принципу полисистемности.

3.12. Запрос на изменение

Для нормативно контролируемого развития проекта необходимо разработать процедуру регистрации изменений.

Её исходным документом может выступать запрос на изменение конфигурации.

Он должен содержать идентификатор затрагиваемого объекта и действующей редакции.

Затем формулируется предлагаемое изменение.

Отдельно указывается его назначение.

Необходимо определить, какие требования и компоненты могут быть затронуты.

Особое значение имеет предварительная оценка возможных последствий.

Например, изменение правила округления может повлиять на множество ранее полученных числовых представлений.

Следовательно, нельзя ограничиваться фиксацией одной изменённой формулы.

Необходимо исследовать связанные результаты и способы их проверки.

После предварительного анализа принимается решение о допустимости разработки соответствующего проекта.

Однако принятие запроса не означает автоматического принятия самого изменения.

Последнее требует выполнения предусмотренных проектных и проверочных процедур.

Таким образом, система управления изменениями должна различать предложение, разработку, проверку и нормативное принятие.

3.13. Анализ последствий изменения

Одной из наиболее сложных задач конфигурационного управления является установление области распространения изменений.

Например, в математической теории одно фундаментальное определение может использоваться многими производными конструкциями.

Если данное определение изменяется, возникает необходимость исследования соответствующих зависимостей.

Для решения такой задачи предлагается использовать типизированную систему связей между конфигурационными единицами.

В частности, могут быть установлены отношения:

«использует определение»;

«зависит от операции»;

«реализует требование»;

«проверяется процедурой»;

«происходит от редакции»;

«совместим при определённых условиях».

Однако наличие одной связи не всегда означает, что изменение обязательно влияет на соответствующий объект.

Необходимо учитывать конкретный характер зависимости.

Например, изменение технического способа хранения результата может не затрагивать его математическое значение.

В то же время изменение правила операции способно изменить множество вычислительных результатов.

Поэтому анализ последствий должен основываться на содержании отношений, а не только на структуре графа.

Особое значение приобретает возможность выделения компонентов, требующих повторной проверки.

Таким образом, анализ изменений должен соединять методы нооморфологии, нооиммунологии и нормативного конфигурационного управления.

3.14. Управление конфигурацией и закон строгого тождества

Одним из фундаментальных оснований управления конфигурацией выступает требование строгой определённости используемых понятий и объектов.

В гармонической логике автора закон строгого тождества связывает правомерность понятия с сохранением его содержания, объёма и состава в пределах соответствующего рассуждения.

Применительно к ноотехнической документации это означает необходимость исключать неявные смысловые подмены.

Например, определённое математическое обозначение может сохраняться после изменения исходного правила его интерпретации.

Если соответствующее изменение не зарегистрировано, результаты различных редакций могут ошибочно считаться тождественными.

Поэтому система управления конфигурацией должна обеспечивать фиксацию нормативного контекста каждого существенного результата.

Однако данное требование не означает запрета изменения самих понятий.

Нооинженерия предполагает возможность создания новых нормативных редакций.

Следовательно, закон строгого тождества должен учитываться посредством разграничения функционирования объекта внутри фиксированного контекста и перехода к новому контексту.

Таким образом, конфигурационное управление обеспечивает технологическую форму реализации принципа нормативно определённой изменчивости.

3.15. Жизненный цикл математической спецификации и её программной реализации

Для дальнейшего исследования необходимо разграничить жизненный цикл математической спецификации и жизненный цикл соответствующей программы.

Например, математическая процедура усечения рационального числа может быть определена формулой.

На основании этой формулы создаётся конкретная программа.

Затем программа проходит испытания.

Позднее может быть разработана более эффективная реализация.

Однако математическая спецификация при этом может оставаться прежней.

Следовательно, изменение программной версии не обязательно означает изменение математической системы.

Аналогичным образом изменение математической спецификации не может автоматически считаться реализованным только вследствие публикации нового нормативного документа.

Необходимо разработать соответствующие технические средства и проверить их корректность.

Поэтому предлагается использовать раздельные идентификаторы:

идентификатор математической спецификации;

идентификатор нормативной редакции;

идентификатор программной реализации;

идентификатор конкретного результата.

Такая система позволяет установить, какие математические правила использовались для получения определённого представления.

Особое значение имеет возможность воспроизведения результата по исторически конкретной конфигурации.

3.16. Пример конфигурационного развития системы НОО-ДПР-01

Продолжим исследование системы конечных десятичных представлений.

Предположим, что первоначально была разработана нормативная редакция:

НОО-ДПР-01 / редакция 1.0.

В этой редакции установлены следующие правила:

• исходные объекты — точные рациональные числа;
• класс точности n предусматривает 10^n десятичных позиций;
• применяется усечение по направлению к нулю;
• завершающие нули используются для получения нормативной длины записи.

Для числа 1/6 в первом классе получаем:

0,1666666666.

Теперь предположим, что разработчик предлагает перейти к округлению до ближайшего значения.

Такое изменение затрагивает математическое правило формирования представления.

Следовательно, оно не должно рассматриваться как простая редакционная правка документации.

Для новой системы может быть установлена самостоятельная нормативная редакция:

НОО-ДПР-01 / редакция 2.0.

В ней необходимо уточнить правило округления, включая порядок обработки случаев точного расположения исходного числа посередине между соседними допустимыми представлениями.

Для числа 1/6 получаем:

0,1666666667.

Следовательно, соответствующие редакции дают разные результаты.

Однако исходное точное рациональное число 1/6 остаётся прежним.

Изменяется нормативная технология его конечного представления.

Таким образом, рассматриваемый пример демонстрирует необходимость раздельного управления математическим объектом, правилом представления и конкретным результатом.

3.17. Совместимость редакций

Различные нормативные редакции могут сохранять определённые общие характеристики.

Например, в рассматриваемом случае обе системы используют десятичную запись и одинаковое количество позиций первого класса.

Однако правила формирования результатов различаются.

Следовательно, существует определённая совместимость формата, но не универсальное совпадение числовых результатов.

Рассмотрим число:

1/8.

При усечении и округлении до десяти позиций получаем одинаковую запись:

0,1250000000.

Однако для числа 1/6 результаты различаются.

Следовательно, совпадение отдельных контрольных примеров не устанавливает полной эквивалентности редакций.

Для исследования их отношений необходима специальная спецификация совместимости.

Она должна определять:

• общие характеристики;
• изменённые правила;
• область совпадения результатов;
• область возможного расхождения;
• условия межредакционного преобразования;
• ограничения повторного использования старых результатов.

При этом необходимо учитывать, что переход от усечения к округлению не является простым изменением формата.

Он затрагивает математическое значение отдельных конечных представлений.

Следовательно, конфигурационная система должна регистрировать данное изменение как нормативно значимое.

3.18. Приёмка нормативной редакции

Для принятия новой конфигурации необходимо установить процедуру проверки.

В первоначальном варианте она может включать несколько стадий.

Проверка требований.

Устанавливается полнота и достаточная определённость новой спецификации.

Проверка архитектуры.

Исследуется соответствие конструктивных решений требованиям.

Математическая проверка.

Устанавливаются свойства новых операций и их отношения с исходными определениями.

Техническая проверка.

Испытываются конкретные реализации.

Репродуктивная проверка.

Подтверждается возможность повторного получения результатов.

Интерфейсная проверка.

Исследуется взаимодействие с другими системами.

Конфигурационная проверка.

Контролируется правильность регистрации нормативной редакции и связанных компонентов.

Однако положительный результат отдельных испытаний не должен автоматически интерпретироваться как полное математическое доказательство всех свойств системы.

Поэтому приёмочная документация должна содержать сведения о характере и пределах проведённых проверок.

Особое значение имеет возможность принятия редакции для ограниченной предметной области.

Например, система может быть проверена применительно к рациональным числам, но ещё не иметь обоснованной технологии обработки произвольных точно заданных иррациональных чисел.

В таком случае её нормативная область применения должна быть ограничена соответствующим классом объектов.

3.19. Сопровождение и исправление дефектов

После принятия определённой нормативной редакции возникает необходимость её сопровождения.

В ходе функционирования могут обнаруживаться ошибки технических реализаций, недостаточность документации или непредусмотренные условия применения.

Однако соответствующие случаи требуют различных решений.

Если программа неправильно выполняет установленное математическое правило, необходимо исправить реализацию.

Если спецификация содержит неоднозначность, требуется её уточнение.

Если обнаружено внутреннее противоречие между обязательными требованиями, может потребоваться нормативная реконструкция.

Если возникает новая функциональная задача, может быть инициирован инновационный проект.

Следовательно, сопровождение должно включать механизмы классификации выявленных проблем.

Особенно важно различать дефект реализации и изменение математической теории.

Исправление ошибки программы не обязательно означает создание новой математической системы.

А изменение фундаментального определения не должно оформляться как обычное исправление программного дефекта.

Таким образом, управление жизненным циклом должно обеспечивать корректное определение предмета каждого изменения.

3.20. Восстановление предыдущей конфигурации

Одним из основных требований к управлению конфигурацией является возможность восстановления ранее зафиксированных состояний.

В нооинженерии данная задача имеет особое значение.

Например, после внедрения новой математической редакции может возникнуть необходимость повторного получения результатов, созданных по прежним правилам.

Для этого необходимо сохранить соответствующие спецификации и технические средства.

Однако восстановление прежней конфигурации не обязательно требует буквального использования прежней программы.

В отдельных случаях может быть разработана новая техническая реализация, точно соответствующая прежней математической спецификации.

При этом необходимо разграничивать восстановление нормативных правил и воспроизведение исторически конкретной технической среды.

Следовательно, степень восстановления должна определяться заранее.

Особое значение имеет возможность проверки исходных архивных материалов.

Если определённая редакция сохранилась только в виде неполного описания, восстановление её полного нормативного содержания может оказаться проблематичным.

Поэтому система конфигурационного управления должна обеспечивать сохранность не только текстов документов, но и необходимых сведений об их интерпретации.

Таким образом, конфигурационная восстановимость непосредственно связана с ноорепродуктологией и ноорегенерацией.

3.21. Архивирование и историческая определённость

Для изучения развития нооинженерных объектов необходимо сохранять сведения об их предшествующих состояниях.

Однако архивирование не должно сводиться к накоплению произвольных файлов.

Необходимо обеспечить возможность установить содержание конкретной нормативной редакции.

Например, архив математической системы должен содержать определения исходных объектов, правила операций и сведения о применявшихся системах координат.

Особое значение имеют результаты проверки.

Они позволяют установить, какие свойства были исследованы и в каких условиях.

При этом необходимо различать исторически существовавшее нормативное состояние и его последующую научную реконструкцию.

Если современный исследователь уточняет старое определение, соответствующее уточнение должно быть зафиксировано отдельно.

Оно не должно незаметно заменять исходный текст.

Таким образом, архивная система должна обеспечивать сохранение исторической определённости математических и семантических конструкций.

Это обстоятельство непосредственно связано с принципом строгого тождества и возможностью воспроизводимого критического исследования предшествующих теорий.

3.22. Управление конфигурацией ноотопоценоза

На уровне целой нооинженерной экосистемы управление конфигурацией приобретает более сложный характер.

Ноотопоценоз может включать множество объектов, популяций, ноосред и нормативных систем.

При этом отдельные компоненты могут изменяться независимо друг от друга.

Следовательно, необходимо обеспечить управление не только индивидуальными редакциями, но и отношениями между ними.

Например, одна математическая система может использовать конкретную редакцию интерфейса.

Другая — определённую редакцию нормативного словаря.

Если соответствующие компоненты изменяются, возникает необходимость проверки их совместимости.

Поэтому экосистемная конфигурация должна включать сведения о допустимых сочетаниях редакций.

Особое значение имеет возможность параллельного функционирования различных нормативных систем.

В условиях полисистемности такая организация должна рассматриваться как допустимая, если установлены необходимые правила взаимодействия.

Следовательно, управление конфигурацией ноотопоценоза не должно сводиться к поддержанию единственной универсальной версии всех компонентов.

Оно должно обеспечивать нормативно контролируемое сосуществование различных редакций и направлений развития.

3.23. Конфигурационный паспорт нооинженерного объекта

Для практической реализации предлагается разработать конфигурационный паспорт нооинженерного объекта.

Он должен содержать идентификатор объекта и нормативную редакцию.

Затем фиксируется исходная система координат.

Отдельно указывается используемая нооспецификация.

Следующий раздел содержит сведения о действующих требованиях.

Далее регистрируются архитектурные компоненты и конструктивные правила.

Особое место занимает идентификация технических реализаций.

Затем фиксируются результаты верификации, валидации и иных испытаний.

Отдельно описываются отношения с предшествующими и альтернативными редакциями.

Следующий раздел содержит сведения о совместимости с другими объектами и системами.

Наконец, паспорт должен включать историю изменений, статус сопровождения и условия восстановления.

При этом необходимо учитывать, что конфигурационный паспорт является специализированным документом.

Он не заменяет ноотехническое задание, архитектурное описание и математическую спецификацию.

Его назначение состоит в обеспечении связи между соответствующими документами и конкретными нормативными состояниями.

Таким образом, конфигурационная паспортизация может стать одной из основных технологий практической нооинженерии.

3.24. Жизненный цикл и научно-исследовательские работы

Особое значение имеет применение рассмотренной модели к научно-исследовательским и опытно-конструкторским работам.

В нооинженерии такие работы могут быть направлены на создание новых математических объектов, теорий, алгоритмов, систем представления и нормативных технологий.

Однако результат исследовательского проекта не всегда известен заранее.

Поэтому необходимо различать жизненный цикл исследования и жизненный цикл уже специфицированного объекта.

На первоначальной стадии могут существовать несколько конкурирующих гипотез.

Затем разрабатываются альтернативные конструктивные модели.

После проверки часть из них может быть отклонена.

Другие получают дальнейшее развитие.

Следовательно, жизненный цикл ноотехнических НИОКР должен предусматривать исследовательскую неопределённость.

Однако такая неопределённость не отменяет необходимости документирования процесса.

Напротив, необходимо фиксировать исходные предположения, полученные результаты, использованные методы и ограничения сделанных выводов.

Особое значение приобретает возможность воспроизведения отрицательных результатов.

Если определённая конструкция была признана недопустимой относительно конкретных требований, соответствующее заключение должно сохранять возможность проверки.

Таким образом, управление жизненным циклом нооинженерного исследования предполагает сочетание конструктивной свободы с нормативной определённостью результатов.

3.25. Основные результаты главы

В настоящей главе предложено определение жизненного цикла нооинженерного объекта как системы процессов его разработки, спецификации, проверки, использования, сопровождения и реконструкции.

Разграничены жизненный цикл математического объекта, его нормативной спецификации и конкретной технической реализации.

Предложена первоначальная система стадий жизненного цикла.

Разработаны основные понятия управления конфигурацией.

Введены конфигурационная единица, базовая нормативная конфигурация и конфигурационный паспорт.

Рассмотрены версионирование, ветвление, регистрация изменений и анализ их последствий.

Особое внимание уделено связи конфигурационного управления с законом строгого тождества.

На примере системы конечных десятичных представлений рациональных чисел показано различие между изменением математического правила и модификацией его технической реализации.

Разработаны подходы к проверке совместимости нормативных редакций.

Рассмотрены механизмы сопровождения, восстановления и архивирования.

Установлено значение управления конфигурацией для нооинженерных экосистем, включающих несколько параллельно функционирующих нормативных систем.

Особое внимание уделено специфике жизненного цикла научно-исследовательских и опытно-конструкторских работ.

Таким образом, жизненный цикл нооинженерного объекта рассматривается как нормативно управляемая история его разработки и использования, тогда как управление конфигурацией обеспечивает сохранение определённости соответствующих состояний и отношений между ними.

Это создаёт основу для перехода к более специальным технологиям ноотехнических НИОКР, моделирования, испытаний и оценки качества нооинженерных объектов.

Именно эти направления получают дальнейшее развитие в последующих главах настоящей части.

*******

Глава 4. Ноотехнические научно-исследовательские и опытно-конструкторские работы

4.1. От ноотехнического проектирования к исследовательской и конструкторской деятельности

В предшествующих главах настоящей части были рассмотрены ноотехническое задание, нооспецификация, архитектурное проектирование, жизненный цикл нооинженерного объекта и управление его конфигурацией.

Предложенные понятия позволяют определить основные условия перехода от исследовательского замысла к нормативно организованной конструкции.

Однако полноценное становление нооинженерии как технической науки предполагает создание специализированной системы научно-исследовательских и опытно-конструкторских работ.

В традиционной инженерии подобные работы занимают центральное место в процессах формирования новых технических решений.

Научно-исследовательская деятельность предназначена для получения знаний, необходимых для разработки соответствующих объектов и технологий.

Опытно-конструкторская деятельность направлена на создание конкретных конструкций, документации, опытных образцов и средств проверки.

Применительно к нооинженерии возникает необходимость самостоятельного определения соответствующих процессов.

Их предметом могут выступать новые понятия, математические объекты, операции, формальные системы, методы рассуждения, алгоритмы, интеллектуальные технологии и сложные нооинженерные экосистемы.

При этом не всякое научное исследование ментальных объектов следует автоматически считать ноотехнической НИОКР.

Для отнесения работы к соответствующей категории необходимо установить её инженерную направленность, предполагаемые конструктивные результаты и способы их проверки.

Таким образом, возникает задача разработки специальной теории ноотехнических научно-исследовательских и опытно-конструкторских работ.

4.2. Предмет и определение ноотехнических НИОКР

Предлагается следующее рабочее определение.

Определение 4.1. Ноотехнические НИОКР — нормативно организованная совокупность научно-исследовательских и опытно-конструкторских процессов, направленных на изучение, разработку, проверку и подготовку к применению новых или существенно изменённых нооинженерных объектов, систем, методов и технологий.

В данном определении необходимо выделить несколько характеристик.

Во-первых, ноотехнические НИОКР обладают определённой предметной областью.

Во-вторых, они предусматривают постановку конкретной исследовательской или конструктивной задачи.

В-третьих, соответствующая деятельность должна приводить к результатам, допускающим определённое документирование.

В-четвёртых, необходимо устанавливать критерии оценки полученных результатов.

В-пятых, сама разработка должна обладать определённым нормативным и конфигурационным статусом.

Однако не следует заранее предполагать, что каждая ноотехническая НИОКР обязательно завершается успешным созданием нового объекта.

Научное исследование может привести к отрицательному результату.

Например, может быть установлена невозможность реализации определённой конструкции при заданных требованиях.

В другом случае исследование может выявить внутреннюю несовместимость исходных нормативных условий.

Такие результаты могут обладать самостоятельным научным значением.

Следовательно, успешность НИОКР не должна отождествляться исключительно с получением заранее ожидаемого положительного результата.

Необходимо различать успешность проведения исследования и подтверждение первоначальной научно-технической гипотезы.

4.3. Теоретическая преемственность с концепцией математики как технической науки

Постановка задачи разработки ноотехнических НИОКР имеет определённую историческую преемственность с авторской теорией ментальных объектов.

В работах автора 1990-х годов и в монографии «Пролегомены к инновационной войне по основаниям гармонической математики» 2002 года сознательная целенаправленная интеллектуальная деятельность рассматривается как производство искусственных ментальных объектов.

При этом такие объекты могут оцениваться по осмысленности, определённости, эффективности и другим существенным характеристикам.

Данная концепция создаёт философско-методологические предпосылки для рассмотрения математики как особого вида технической деятельности.

Однако переход к современной нооинженерии предполагает дальнейшую конкретизацию соответствующих положений.

Недостаточно утверждать, что математические теории могут рассматриваться как ментальные артефакты.

Необходимо определить способы их инженерного проектирования, конструирования, проверки и воспроизводства.

Особенно важно установить, какие результаты соответствующей деятельности обладают статусом завершённой конструкции.

Например, новая математическая гипотеза ещё не является доказанной теоремой.

Определение новой операции не гарантирует существования всех предполагаемых свойств соответствующей системы.

А разработка алгоритма не означает фактического завершения всех вычислений, которые он потенциально допускает.

Следовательно, ноотехнические НИОКР должны обеспечивать строгое разграничение исследовательских предположений, конструктивных решений и подтверждённых результатов.

Именно эта задача приобретает центральное значение при переходе от теории ментальных объектов к специализированным ноотехническим технологиям.

4.4. Разграничение ноотехнических НИР и ОКР

Для построения общей системы необходимо различать научно-исследовательские и опытно-конструкторские работы.

Ноотехническая научно-исследовательская работа (ноотехническая НИР) — организованная деятельность, направленная на получение и проверку знаний о закономерностях, свойствах и возможностях построения определённых нооинженерных объектов или систем.

Ноотехническая опытно-конструкторская работа (ноотехническая ОКР) — организованная деятельность, направленная на создание и испытание конкретной нооинженерной конструкции или технологии на основании установленных требований и доступных результатов исследования.

В данном разграничении необходимо учитывать, что соответствующие процессы могут пересекаться.

Например, разработка новой математической системы может требовать как исследования её фундаментальных свойств, так и создания конкретных вычислительных процедур.

При этом возникновение новых теоретических вопросов способно потребовать возвращения от конструкторской стадии к научному исследованию.

Следовательно, разделение НИР и ОКР не обязательно означает строгую временную последовательность.

Оно характеризует прежде всего различие основных целей и ожидаемых результатов.

Для НИР центральное значение имеют исследовательские вопросы, гипотезы, модели, доказательства и выводы.

Для ОКР — конструктивные спецификации, опытные реализации, процедуры испытаний и документы, необходимые для воспроизводимого использования разработанного объекта.

Однако конкретный состав результатов должен определяться соответствующим ноотехническим заданием.

4.5. Основные виды ноотехнических НИОКР

Для первоначальной классификации предлагается выделить несколько направлений.

Семантические НИОКР предназначены для разработки определённых понятийных систем и методов контроля их смысловой определённости.

Логические НИОКР направлены на исследование и конструирование формальных правил рассуждения и вывода.

Математические НИОКР связаны с разработкой математических объектов, операций, систем шкал и конструктивных технологий.

Ноогенетические НИОКР исследуют правила формирования, наследования и преобразования нооинженерных конструкций.

Нооморфологические НИОКР предназначены для проектирования структур и архитектур ноообъектов.

Интерфейсные НИОКР связаны с разработкой механизмов сопряжения различных систем.

Ноометрологические НИОКР направлены на создание характеристик, шкал и процедур оценки.

Ноостандартизационные НИОКР предназначены для разработки нормативных правил, спецификаций и проектов стандартов.

Экосистемные НИОКР охватывают проектирование целых ноотопоценозов и систем управления их состояниями.

Однако перечисленные направления могут пересекаться.

Например, проектирование математической системы классов точности предполагает решение логико-математических, конструктивных, метрологических и нормативных задач.

Следовательно, конкретная работа может включать несколько исследовательских направлений.

При этом необходимо выделить её основную цель и установить отношения между составляющими проектными задачами.

4.6. Объекты ноотехнической разработки

Для практической организации НИОКР необходимо различать несколько типов объектов разработки.

Первую группу образуют исходные ментальные конструкции: понятия, определения, классы объектов и отношения.

Вторую — конструктивные системы, включающие правила формирования объектов и способы их организации.

Третью — функциональные технологии, предназначенные для выполнения определённых операций.

Четвёртую — нормативные системы, устанавливающие требования к использованию соответствующих конструкций.

Пятую — инструментальные системы, обеспечивающие автоматизированное создание, проверку или воспроизводство ноообъектов.

Шестую — нооинженерные экосистемы, объединяющие различные объекты, популяции, среды и механизмы взаимодействия.

При этом необходимо различать предмет исследования и конкретный технический результат.

Например, предметом НИР может быть математическая проблема построения определённой системы числовых объектов.

Результатом ОКР может стать программная система, реализующая конкретную процедуру их формирования.

Следовательно, в техническом задании необходимо устанавливать, какой объект исследуется и какой результат предполагается получить.

Такое разграничение предотвращает неявную подмену математической проблемы задачей создания программного средства.

4.7. Ноотехническая проблема и исследовательская гипотеза

Исходным элементом научно-исследовательской работы является постановка проблемы.

Однако необходимо различать проблему, гипотезу и требование.

Проблема устанавливает вопрос или затруднение, требующее исследования.

Гипотеза представляет собой предполагаемое объяснение или конструктивное решение.

Требование определяет условие, которому должен соответствовать определённый объект или результат.

Например, проблема может заключаться в разработке воспроизводимой технологии формирования конечных десятичных представлений произвольно заданных рациональных чисел.

Гипотеза может состоять в том, что соответствующая технология допускает определённую модульную архитектуру.

Требование может предписывать точное количество десятичных позиций и обязательное сохранение сведений об исходном рациональном числе.

Эти положения должны документироваться раздельно.

Особенно важно, что гипотеза не приобретает статус установленного результата только вследствие включения в ноотехническое задание.

Для её подтверждения необходимы соответствующие математические, экспериментальные или иные доказательственные основания.

Следовательно, научная дисциплина ноотехнических НИОКР должна обеспечивать прослеживаемость перехода от исходных предположений к проверенным результатам.

4.8. Научно-техническая новизна

Одним из важнейших вопросов является определение характера новизны предлагаемой разработки.

Однако новизну необходимо отличать от математической корректности и функциональной полезности.

Некоторая конструкция может быть математически корректной, но уже известной.

Другая может обладать определёнными новыми свойствами, но требовать дальнейшей проверки.

Третья может представлять собой новую техническую реализацию ранее известной математической операции.

Поэтому предлагается различать несколько видов новизны.

Терминологическая новизна связана с введением нового обозначения или названия.

Представленческая новизна характеризует новый способ задания существующего объекта.

Конструктивная новизна относится к новым правилам или архитектурам.

Функциональная новизна связана с появлением новых возможностей использования.

Методологическая новизна характеризует новые способы постановки и решения исследовательских задач.

Нормативная новизна предполагает разработку новых правил и стандартов.

Фундаментальная математическая новизна связана с новыми объектами, теоремами, аксиоматическими системами или доказанными свойствами.

При этом перечисленные категории не обязательно образуют шкалу ценности.

Практически значимая техническая инновация может сохранять ранее известные математические основания.

А фундаментальное теоретическое предложение может длительное время не иметь непосредственной технической реализации.

Следовательно, оценка новизны должна сопровождаться указанием предмета сравнения и использованных источников.

4.9. Ноотехническое задание на НИОКР

Для организации конкретной работы необходимо разработать специальное ноотехническое задание.

Оно должно включать следующие основные разделы.

Основание разработки. Указывается исследовательская проблема или практическая потребность.

Цель. Определяется предполагаемый научный или конструкторский результат.

Объект исследования. Фиксируются рассматриваемая предметная область и система координат.

Исходные положения. Перечисляются определения, гипотезы и нормативные ограничения.

Задачи. Устанавливается совокупность исследовательских и конструкторских действий.

Методы. Определяются предполагаемые математические, логические, вычислительные и инженерные процедуры.

Результаты. Указывается состав ожидаемых научных материалов и конструкторской документации.

Критерии оценки. Устанавливаются требования к подтверждению полученных результатов.

Условия воспроизводства. Определяются необходимые исходные данные и характеристики среды.

Управление изменениями. Фиксируются правила пересмотра задания и нормативных редакций.

При этом необходимо учитывать, что в ходе НИР могут быть обнаружены обстоятельства, требующие изменения первоначальной программы.

Такое изменение не должно автоматически рассматриваться как нарушение исследовательской дисциплины.

Однако оно должно сопровождаться соответствующим документированием.

Следовательно, ноотехническое задание должно сочетать определённость цели с возможностью нормативно контролируемой исследовательской реконструкции.

4.10. Этапы ноотехнических НИОКР

Для первоначальной организации предлагается использовать следующую последовательность.

Этап 1. Постановка проблемы.

Устанавливаются предмет исследования, исходные противоречия или недостаточность существующих решений.

Этап 2. Исследование предшествующих разработок.

Выявляются известные подходы, результаты и ограничения.

Этап 3. Формирование концепции.

Предлагаются исходные определения и варианты конструктивного решения.

Этап 4. Теоретическое исследование.

Изучаются математические и логические свойства предлагаемых конструкций.

Этап 5. Разработка спецификации.

Фиксируются нормативные требования и правила.

Этап 6. Архитектурное проектирование.

Определяются структура, функции и интерфейсы.

Этап 7. Создание опытной реализации.

Разрабатывается соответствующая конструкция или техническое средство.

Этап 8. Испытания.

Проводятся предусмотренные виды проверки.

Этап 9. Анализ результатов.

Устанавливаются подтверждённые положения, ограничения и выявленные нарушения.

Этап 10. Оформление результатов.

Подготавливаются научные отчёты, спецификации, паспорта и проекты нормативных документов.

Однако данная последовательность представляет собой ориентировочную модель.

Отдельные этапы могут выполняться параллельно, а результаты испытаний способны потребовать возвращения к проектированию.

Особое значение имеет фиксация контрольных состояний проекта.

4.11. Система результатов ноотехнической НИР

Для обеспечения воспроизводимости необходимо определить состав результатов научно-исследовательской работы.

В зависимости от предметной области они могут включать:

• уточнённую постановку исследовательской проблемы;
• систему исходных определений;
• формальные модели;
• сформулированные и доказанные математические положения;
• исследовательские гипотезы, статус которых ещё не установлен;
• контрпримеры;
• результаты вычислительных экспериментов;
• классификации объектов и отношений;
• обоснование ограничений применённых методов;
• рекомендации по дальнейшей разработке.

Однако необходимо различать доказанные положения и предварительные выводы.

Например, обнаружение закономерности в конечном наборе вычислений может стать основанием для гипотезы.

Но оно не является универсальным доказательством соответствующего утверждения о произвольных математических объектах.

Следовательно, научный отчёт должен включать сведения о доказательственном статусе каждого существенного результата.

Особое значение приобретают отрицательные результаты.

Установленная невозможность построения объекта при определённых предпосылках может способствовать уточнению самого ноотехнического задания.

Однако такая невозможность должна быть обоснована относительно конкретной системы требований.

4.12. Система результатов ноотехнической ОКР

Опытно-конструкторская работа имеет несколько иной основной предмет.

Её результатом должна стать конструкция, позволяющая выполнить определённые функции.

В первоначальном варианте предлагается выделить следующие результаты:

Нооспецификация — нормативное описание объекта.

Архитектурный проект — система конструктивных решений.

Опытная реализация — конкретная конструкция, программное средство или другая форма технического воплощения.

Методика испытаний — правила и условия проверки.

Протоколы испытаний — документированные результаты соответствующих процедур.

Конфигурационный паспорт — сведения о составе и редакциях компонентов.

Репродуктивный пакет — материалы, необходимые для повторного получения результата.

Отчёт об ограничениях — описание известных недостатков и границ применения.

Проект нормативного документа — предлагаемые правила использования разработки.

Однако не все перечисленные документы обязательно необходимы для каждой небольшой опытной работы.

Конкретный состав должен определяться сложностью проекта и его назначением.

При этом наличие документа не заменяет фактического выполнения предусмотренной проверки.

Следовательно, результаты ОКР должны сопровождаться соответствующими доказательственными материалами.

4.13. Исследовательская неопределённость и инженерный риск

Ноотехнические НИОКР могут сопровождаться несколькими различными видами неопределённости.

Теоретическая неопределённость возникает, когда ещё не установлены необходимые математические свойства.

Семантическая неопределённость связана с недостаточной определённостью исходных понятий.

Конструктивная неопределённость характеризует отсутствие завершённого способа построения объекта.

Вычислительная неопределённость относится к неизвестным характеристикам алгоритмической осуществимости.

Ресурсная неопределённость связана с доступными техническими средствами.

Нормативная неопределённость возникает при отсутствии установленных требований или процедур принятия решения.

Эти случаи требуют различных способов исследования.

Например, недостаточную определённость понятия необходимо устранять посредством уточнения спецификации.

Неизвестное математическое свойство может требовать доказательства.

А ресурсное ограничение — инженерного анализа технической реализации.

Следовательно, нельзя заменять все перечисленные проблемы общим понятием «ошибка».

Особое значение приобретает разработка реестра ноотехнических рисков.

Он должен фиксировать возможные неблагоприятные события, их причины, последствия и предполагаемые меры реагирования.

Однако риск не должен отождествляться с доказанной невозможностью соответствующего проекта.

4.14. Пример НИОКР: система нормативной десятичной экспликации

Рассмотрим условный проект НОО-ДПР-01 — «Система нормативной десятичной экспликации рациональных чисел», первоначально введённый в предыдущих главах.

Предметом проекта является разработка технологии формирования конечных десятичных представлений точных рациональных чисел.

Исходное число задаётся отношением:

x = p/q,

где p и q — целые числа, а q ≠ 0.

Для соответствующего класса точности устанавливается количество десятичных позиций:

d = 10^n,

где n — номер класса.

В первоначальной редакции используется операция усечения по направлению к нулю.

Тогда математическое значение результата определяется формулой:

T_d(x) = sgn(x) · floor(|x| · 10^d) / 10^d.

При этом завершённое представление должно содержать ровно d десятичных позиций.

Необходимо подчеркнуть, что данная система предназначена для построения конечных приближений и нормативных записей.

Она не изменяет определения исходных рациональных чисел.

Следовательно, ноотехнический проект должен обеспечивать раздельную идентификацию точного объекта, алгоритма его представления и полученного результата.

4.15. Научно-исследовательская программа проекта

В рамках НИР по проекту НОО-ДПР-01 необходимо решить несколько задач.

Первая — формально определить предметную область и операцию усечения.

Вторая — исследовать свойства математического результата.

Третья — установить условия формирования записи с ровно заданным количеством позиций.

Четвёртая — исследовать согласованность представлений различных классов.

Пятая — установить ограничения межклассовых преобразований.

Шестая — исследовать вычислительную сложность возможных алгоритмов.

Седьмая — сформировать требования к проверке результатов.

Особое значение имеет доказательство математических характеристик процедуры усечения.

Например, для любого рационального числа x и положительного целого d должно быть установлено:

|x − T_d(x)| < 10^(−d).

Кроме того, при D ≥ d необходимо исследовать соотношение:

T_d(T_D(x)) = T_d(x).

Однако такие положения должны сопровождаться математическим обоснованием.

Они не могут считаться установленными исключительно вследствие включения в программу исследования.

Таким образом, научно-исследовательская часть проекта должна привести к системе формально обоснованных свойств и ограничений соответствующей технологии.

4.16. Опытно-конструкторская программа проекта

На основании результатов НИР может быть сформирована программа ОКР.

Её целью является создание опытной реализации, обеспечивающей получение конечных десятичных представлений рациональных чисел.

Первоначально необходимо разработать модуль задания исходного объекта.

Затем — модуль определения класса точности.

Следующий компонент должен реализовывать соответствующую арифметическую процедуру.

Отдельно разрабатывается модуль формирования нормативной записи.

Затем создаётся система проверки результата.

Наконец, необходим модуль паспортизации.

Однако конкретная техническая архитектура может отличаться от указанной функциональной декомпозиции.

Например, операции усечения и форматирования могут быть реализованы в одном программном компоненте.

При этом необходимо сохранять возможность самостоятельной проверки соответствующих требований.

Особое значение имеет выбор алгоритма.

В качестве одного из вариантов может использоваться точная целочисленная арифметика.

Другой вариант предполагает последовательное порождение десятичных цифр.

Однако оба варианта должны обеспечивать математическое соответствие одной и той же нормативной спецификации.

Следовательно, ОКР должна включать сопоставление альтернативных технических решений и обоснование принятой архитектуры.

4.17. Ограничения физической экспликации

Одной из фундаментальных особенностей рассматриваемого проекта является быстрое возрастание объёма представлений при увеличении номера класса.

В авторской шкале:

• класс 1 предусматривает 10 десятичных позиций;
• класс 2 — 100;
• класс 3 — 1000;
• класс 6 — 1 000 000;
• класс 12 — 10^12 десятичных позиций.

При этом формальная определённость правила d = 10^n не означает, что любая техническая реализация способна фактически сформировать представления всех классов.

Необходимо различать нормативную определимость класса, алгоритмическую возможность вычисления, техническую осуществимость и фактически завершённый результат.

Например, создание алгоритма, способного получать дополнительные десятичные позиции числа, не означает, что им уже получена полная последовательность предусмотренного класса.

Следовательно, в техническом задании необходимо отдельно устанавливать поддерживаемые классы и ресурсные условия их обработки.

Особое значение имеет разграничение математической и технической неосуществимости.

Если определённая вычислительная система не обладает достаточными ресурсами, это не доказывает математической невозможности соответствующей операции.

Однако проект не должен объявляться технически реализованным для соответствующего класса без необходимых подтверждений.

Таким образом, анализ ресурсных ограничений является обязательной частью ноотехнических НИОКР, связанных с большими математическими объектами.

4.18. Независимая научно-техническая экспертиза

Для обеспечения качества ноотехнических НИОКР необходимо предусматривать возможность независимой проверки существенных результатов.

При этом могут использоваться различные виды экспертизы.

Логическая экспертиза исследует корректность формальных выводов.

Семантическая экспертиза устанавливает определённость используемых понятий и интерпретаций.

Математическая экспертиза предназначена для проверки доказательств и свойств операций.

Конструктивная экспертиза оценивает соответствие архитектуры требованиям.

Репродуктивная экспертиза исследует возможность повторного получения результатов.

Нормативная экспертиза устанавливает соответствие документации выбранной системе требований.

Такая организация имеет определённую преемственность с ранее разработанными автором представлениями о специализированном логическом, семантическом и онтологическом контроле интеллектуальных разработок.

Однако в настоящем исследовании предполагается переход к конкретным инженерным процедурам.

Особенно важно, что независимая экспертиза должна опираться на установленные критерии.

Она не может считаться доказательной только вследствие авторитетности участвующих специалистов.

Для проверяемых математических положений необходимы соответствующие логические и математические основания.

Следовательно, система экспертизы должна обеспечивать регистрацию не только заключений, но и методов их получения.

4.19. Паспорт ноотехнической НИОКР

Для практической организации предлагается разработать паспорт ноотехнической НИОКР.

Он должен включать:

1. идентификатор и наименование проекта;
2. нормативную редакцию технического задания;
3. исследовательскую проблему;
4. предметную область;
5. исходные определения и гипотезы;
6. цели и задачи;
7. предполагаемые конструктивные результаты;
8. применяемые методы;
9. этапы работ;
10. состав научной и технической документации;
11. критерии оценки результатов;
12. сведения о проведённых проверках;
13. ограничения и риски;
14. историю изменений;
15. итоговый научно-технический статус.

Особое значение имеет связь паспорта с другими ноотехническими документами.

Например, результаты математического исследования должны быть связаны с соответствующими архитектурными решениями.

А результаты испытаний — с конкретными требованиями и редакциями реализованных объектов.

Следовательно, паспорт должен обеспечивать прослеживаемость всего процесса НИОКР.

В дальнейшем соответствующая структура может стать основой проекта специализированного ноотехнического стандарта.

4.20. Основные результаты главы

В настоящей главе предложено определение ноотехнических НИОКР как организованной системы научных и опытно-конструкторских процессов, направленных на создание и проверку ментальных конструкций.

Разграничены ноотехнические НИР и ОКР.

Предложена первоначальная классификация видов ноотехнических исследований и разработок.

Рассмотрены различия между проблемой, гипотезой, требованием и проверенным результатом.

Разработаны исходные требования к ноотехническому заданию на НИОКР.

Предложена система основных этапов исследовательской и конструкторской деятельности.

Особое внимание уделено доказательственному статусу математических результатов и ограничениям технической реализации.

На примере проекта НОО-ДПР-01 рассмотрены взаимосвязанные программы НИР и ОКР.

Предложены первоначальные требования к независимой экспертизе и паспорту ноотехнической НИОКР.

Таким образом, ноотехнические НИОКР рассматриваются как система целенаправленного получения, конструирования, проверки и документирования новых ментальных объектов и технологий, обеспечивающая переход от теоретических предположений к воспроизводимым инженерным результатам.

Однако для полноценной реализации данной системы необходимо разработать специальные методы моделирования, испытаний, верификации и валидации.

Именно эти вопросы составляют предмет следующей главы.

---

Глава 5. Ноотехническое моделирование, испытания, верификация и валидация

5.1. Проблема доказательственного обеспечения ноотехнического проектирования

Создание нооинженерного объекта предполагает необходимость установления его соответствия определённым требованиям.

Однако различные виды требований предполагают различные способы проверки.

Например, математическое утверждение может требовать строгого доказательства.

Алгоритм может проверяться посредством формального анализа и вычислительных испытаний.

Нормативная спецификация требует проверки смысловой определённости, полноты и внутренней согласованности.

Техническая реализация может исследоваться посредством испытаний в определённой вычислительной среде.

Следовательно, необходимо разграничить моделирование, испытание, верификацию, валидацию и математическое доказательство.

Эти понятия связаны между собой, но не являются взаимозаменяемыми.

В частности, успешное испытание нескольких вычислительных примеров не доказывает универсальное математическое утверждение.

А формально корректное доказательство определённого свойства математической операции не гарантирует отсутствия ошибок в её конкретной программной реализации.

Следовательно, ноотехническая система проверки должна учитывать различные уровни предметности.

Для решения соответствующей задачи предлагается использовать специализированную теорию ноотехнического моделирования и оценки соответствия.

Её назначение состоит в разработке воспроизводимых методов исследования нооинженерных объектов, моделей, конструкций и реализуемых функций.

5.2. Ноотехническая модель

Предлагается следующее рабочее определение.

Определение 5.1. Ноотехническая модель — нормативно определённая конструкция, предназначенная для представления и исследования установленных характеристик, отношений или процессов определённого нооинженерного объекта либо системы.

При этом необходимо разграничивать моделируемый объект и саму модель.

Например, модель математической системы может описывать её исходные понятия, операции и отношения.

Однако такое описание не обязательно содержит все свойства соответствующей системы.

В другом случае модель может специально выделять только характеристики, необходимые для определённого вида проверки.

Следовательно, модель всегда должна рассматриваться относительно цели её использования.

Особое значение имеет система координат.

Одна математическая конструкция может иметь несколько различных моделей.

При этом они могут выделять разные характеристики одного объекта.

В частности, числовое значение, десятичное представление и алгоритм формирования представления не должны автоматически отождествляться.

Поэтому ноотехническая модель должна включать описание собственного предмета, существенных предпосылок и ограничений.

Таким образом, моделирование рассматривается как специальный инструмент инженерного исследования, а не как полная замена моделируемого объекта.

5.3. Основные виды ноотехнических моделей

Для первоначальной классификации предлагается выделить несколько групп моделей.

Семантические модели предназначены для исследования понятий, определений и отношений интерпретации.

Логические модели характеризуют правила рассуждения и вывода.

Математические модели описывают объекты, операции и формальные отношения.

Конструктивные модели устанавливают способы построения соответствующих объектов.

Ноогенетические модели характеризуют правила порождения и наследования конструкций.

Нооморфологические модели описывают структуру и архитектуру.

Функциональные модели определяют назначение компонентов и ожидаемые результаты.

Операционные модели характеризуют процедуры выполнения действий.

Нормативные модели описывают требования и условия допустимости.

Экосистемные модели предназначены для исследования взаимодействия объектов, популяций и ноосред.

Однако данные виды могут пересекаться.

Например, математическая модель определённого алгоритма может одновременно характеризовать его конструктивные и функциональные свойства.

Поэтому при классификации необходимо учитывать основное назначение модели и используемые методы исследования.

Особенно важно различать модель, предназначенную для объяснения уже известного объекта, и модель, используемую для конструирования нового.

Во втором случае она выступает непосредственным элементом проектной деятельности.

5.4. Полнота и адекватность ноотехнической модели

Одной из фундаментальных проблем является оценка достаточности модели для решения поставленной задачи.

Необходимо различать полноту описания и его адекватность определённому назначению.

Например, модель десятичного представления числа может содержать его количество позиций и способ записи.

Однако этих сведений недостаточно для проверки правильности математического значения результата.

Для такой проверки необходимы данные об исходном числе и применённой операции.

Следовательно, модель может быть достаточной для одного вида исследования и недостаточной для другого.

Поэтому при её разработке необходимо устанавливать:

• цель моделирования;
• моделируемую предметную область;
• существенные характеристики;
• принятые упрощения;
• используемые правила;
• ограничения интерпретации;
• способы проверки адекватности.

Особенно важно не отождествлять сложность модели с её качеством.

Избыточно сложная конструкция может затруднять проверку без увеличения её доказательственной силы.

Следовательно, адекватность модели должна оцениваться относительно конкретной исследовательской задачи.

5.5. Ноотехническое испытание

Для исследования фактически реализованных свойств нооинженерного объекта предлагается использовать понятие ноотехнического испытания.

Определение 5.2. Ноотехническое испытание — нормативно организованная процедура получения и оценки определённых характеристик нооинженерного объекта, модели или реализации при установленных условиях.

В данном определении существенны четыре элемента.

Первый — наличие проверяемого объекта.

Второй — наличие определённых условий испытания.

Третий — выполнение предусмотренной процедуры.

Четвёртый — регистрация результата относительно установленных критериев.

Однако необходимо учитывать, что испытание не обязательно связано с физическим экспериментом.

Например, определённая формальная система может исследоваться посредством вычислительного исполнения заранее установленных тестовых конструкций.

В другом случае проверяются результаты выполнения математического алгоритма.

При этом необходимо разграничить испытание и доказательство.

Испытание определённого набора случаев устанавливает свойства именно этих случаев в предусмотренных условиях.

Для вывода об универсальной математической закономерности необходимы дополнительные основания.

Следовательно, результаты ноотехнических испытаний должны сопровождаться указанием их доказательственных границ.

5.6. Верификация и валидация

Для организации ноотехнических проверок необходимо различать два фундаментальных процесса.

Ноотехническая верификация устанавливает соответствие объекта, модели или реализации заданной спецификации.

Ноотехническая валидация исследует пригодность соответствующего объекта для выполнения установленного назначения в предполагаемых условиях использования.

Например, математическая система может корректно формировать десятизначные представления рациональных чисел.

В этом случае она удовлетворяет определённым требованиям своей спецификации.

Однако для научной задачи, требующей ста десятичных позиций, соответствующая реализация может оказаться недостаточной.

Следовательно, положительный результат верификации не обязательно означает успешную валидацию относительно произвольной задачи.

Возможна и обратная ситуация.

Определённый результат может быть достаточно близок к требуемому для практического применения, но получен с нарушением обязательного нормативного правила.

В таком случае положительная оценка прикладной пригодности не заменяет проверки соответствия спецификации.

Таким образом, верификация и валидация представляют собой самостоятельные, но взаимосвязанные направления оценки нооинженерных объектов.

При этом необходимо учитывать, что сами требования могут нуждаться в дополнительной проверке определённости.

Следовательно, разработка требований также должна быть предметом соответствующих контрольных процедур.

5.7. Математическое доказательство и вычислительный эксперимент

В области математической инженерии особое значение имеет различие между доказательством и экспериментом.

Математическое доказательство устанавливает определённое положение на основании принятых правил соответствующей формальной системы.

Вычислительный эксперимент позволяет исследовать конкретные случаи и выявлять возможные закономерности.

Однако конечный набор вычислений не заменяет доказательства универсального утверждения.

Например, алгоритм может правильно вычислить миллион конкретных рациональных представлений.

Но этот факт не означает автоматического доказательства его корректности для всех допустимых рациональных чисел.

Для соответствующего вывода необходимо исследовать математическую структуру алгоритма.

Вместе с тем формально доказанная корректность математической процедуры не освобождает от проверки её программной реализации.

Программа может содержать ошибки обработки данных, ограничения на размеры чисел или иные технические недостатки.

Следовательно, ноотехническое исследование должно использовать раздельные доказательственные процедуры.

Одна устанавливает математические свойства.

Другая проверяет соответствие реализации этим свойствам.

Третья исследует пригодность разработанного средства для конкретной задачи.

Такое разграничение представляет собой одно из фундаментальных условий инженерной строгости.

5.8. Формальная спецификация проверяемой операции

Продолжим исследование проекта НОО-ДПР-01.

Его предметом является формирование конечных десятичных представлений рациональных чисел.

Пусть исходный объект задан как:

x = p/q,

где p и q — целые числа, q > 0.

Для номера класса n устанавливается:

d = 10^n.

Математическое значение результата усечения определяется формулой:

T_d(x) = sgn(x) · floor(|x| · 10^d) / 10^d.

При этом необходимо различать значение полученного рационального числа и его нормативное десятичное представление.

Например:

T_10(1/8) = 1/8.

Однако нормативная запись первого класса имеет вид:

0,1250000000.

Следовательно, корректность процедуры должна исследоваться на двух уровнях.

Первый — правильность математического значения результата.

Второй — соответствие нормативной форме записи.

При этом наличие правильной записи не обязательно доказывает, что она была получена предусмотренным алгоритмом.

Для установления конструктивной воспроизводимости необходима дополнительная проверка процедуры.

5.9. Доказательство границы погрешности усечения

Рассмотрим положительное рациональное число:

x = p/q,

где p ≥ 0, q > 0.

Пусть d — положительное целое число.

Согласно алгоритму деления с остатком:

p · 10^d = q · k + r,

где:

0 ≤ r < q.

Тогда:

k = floor(p · 10^d / q).

Следовательно:

T_d(x) = k / 10^d.

Из определения остатка получаем:

p/q = k/10^d + r/(q · 10^d).

Отсюда:

x − T_d(x) = r/(q · 10^d).

Поскольку:

0 ≤ r < q,

имеем:

0 ≤ x − T_d(x) < 10^(−d).

Для отрицательных рациональных чисел аналогичный результат следует из определения усечения по направлению к нулю.

Таким образом, для любого рационального числа выполняется:

|x − T_d(x)| < 10^(−d).

Данное доказательство устанавливает математическое свойство операции усечения.

Однако оно не подтверждает автоматически правильность конкретной программной реализации.

Для последней необходимы самостоятельные испытания.

Особенно важно, что величина 10^(−d) представляет собой математическую границу абсолютной погрешности рассматриваемой операции, а не автоматически неопределённость физического измерения.

5.10. Согласованность усечения различных классов

Одним из важных свойств рассматриваемой математической процедуры является возможность последовательного усечения.

Пусть:

D ≥ d.

Тогда необходимо исследовать соотношение:

T_d(T_D(x)) = T_d(x).

Для неотрицательного рационального числа это следует из свойств целой части.

Если более длинное десятичное представление было получено посредством усечения, последующее удаление позиций до установленной меньшей длины приводит к тому же результату, что и непосредственное усечение исходного числа.

Для отрицательных чисел аналогичное соотношение сохраняется при использовании одного и того же правила усечения по направлению к нулю.

Следовательно, при согласованной нормативной спецификации соответствующее преобразование обладает определённым свойством межклассовой согласованности.

Однако обратное отношение не выполняется в общем случае.

Из более короткого представления невозможно однозначно восстановить отсутствующие цифры более длинного представления исходного числа.

Следовательно, переход к более высокому классу требует дополнительной информации об исходном объекте.

Таким образом, межклассовая согласованность не означает взаимной обратимости соответствующих преобразований.

Это обстоятельство должно учитываться при проектировании интерфейсов.

5.11. Ограничения сохранения арифметических операций

Особое значение имеет исследование того, сохраняет ли преобразование числовых представлений арифметические операции.

Рассмотрим усечение до десяти десятичных позиций.

Пусть:

a = 1/6

и

b = 1/6.

Тогда:

T_10(a) = 0,1666666666;

T_10(b) = 0,1666666666.

Сумма полученных представлений равна:

0,3333333332.

Однако точная сумма исходных чисел составляет:

a + b = 1/3.

Её усечённое десятизначное представление имеет вид:

T_10(a + b) = 0,3333333333.

Следовательно:

T_10(a) + T_10(b) ≠ T_10(a + b).

Таким образом, операция усечения не сохраняет сложение в указанном универсальном отношении.

Однако это не означает некорректности самой процедуры.

Соответствующий результат устанавливает ограничение её использования.

Следовательно, математическая спецификация должна определять, какие операции допускается выполнять над исходными точными числами и какие — над их конечными представлениями.

В отдельных случаях могут потребоваться дополнительные правила округления и оценки накопленной погрешности.

Однако они должны разрабатываться самостоятельно.

5.12. Система контрольных примеров

Для испытания опытной реализации необходимо разработать набор контрольных объектов.

В первоначальном варианте для первого класса точности могут использоваться следующие примеры.

Исходный объект	Условие	Ожидаемая запись
1/3	Усечение, 10 позиций	0,3333333333
1/6	Усечение, 10 позиций	0,1666666666
−1/6	Усечение к нулю, 10 позиций	−0,1666666666
1/8	Точное конечное значение	0,1250000000
0	Нулевой результат	0,0000000000
1/2	Точное конечное значение	0,5000000000

Отдельно необходимо предусмотреть проверку недопустимых входных данных.

Например, выражение 1/0 не соответствует условию задания рационального числа.

Следовательно, система должна отклонять такой вход или возвращать специальный статус ошибки.

При этом необходимо различать математическую недопустимость исходных данных и техническую невозможность выполнения допустимого вычисления вследствие нехватки ресурсов.

Для этих ситуаций требуются разные диагностические сообщения.

Особое значение имеет проверка отрицательных чисел.

Операция усечения по направлению к нулю должна отличаться от округления вниз.

Таким образом, контрольный набор должен включать примеры, позволяющие выявлять наиболее существенные виды возможных ошибок.

5.13. Граничные и различающие испытания

Для повышения доказательственной ценности испытаний необходимо использовать не только обычные, но и специально подобранные контрольные объекты.

Граничные испытания исследуют поведение системы на пределах допустимых областей.

Например, могут проверяться минимальный разрешённый номер класса, нулевое значение исходного числа и предельные значения параметров конкретной технической реализации.

Различающие испытания предназначены для выявления отличий между альтернативными конструктивными правилами.

Например, для числа 1/3 усечение и округление до десяти позиций дают одинаковую запись.

Но для числа 1/6 результаты различаются.

Следовательно, второй объект является более информативным при проверке выбранного правила формирования представления.

Негативные испытания проверяют реакцию системы на недопустимые входные данные.

Репродуктивные испытания исследуют возможность повторного получения результатов.

Межклассовые испытания проверяют согласованность преобразований между различными классами.

Однако необходимо учитывать, что набор испытаний сам может содержать ошибки.

Поэтому его проектирование и проверка должны рассматриваться как самостоятельные инженерные задачи.

5.14. Независимость проверочной процедуры

Одной из наиболее существенных проблем является возможность использования одного и того же ошибочного алгоритма как для получения результата, так и для его проверки.

В таком случае тестирование может не выявить определённые дефекты.

Например, если вычислительная процедура неправильно интерпретирует отрицательные числа, а контрольная процедура использует тот же ошибочный код, их результаты могут совпадать.

Однако совпадение не означает математической корректности.

Поэтому для существенных требований необходимо предусматривать независимые контрольные основания.

В частности, проверка может осуществляться посредством точной целочисленной арифметики, отличающейся от алгоритма основной реализации.

Для некоторых свойств возможно использование формальных доказательств.

В других случаях применяются дополнительные контрольные примеры.

Однако необходимо учитывать, что независимость технических реализаций не гарантирует отсутствия общей ошибки в исходной математической спецификации.

Следовательно, проверка математической модели и проверка программной реализации должны осуществляться раздельно.

При этом степень независимости определяется характером проекта и критичностью соответствующих требований.

5.15. Метаморфные проверки и отношения между результатами

Для некоторых математических технологий возможно использование проверок, основанных не на заранее известном конкретном результате, а на определённых отношениях между несколькими результатами.

В программной инженерии подобные методы могут рассматриваться как разновидность метаморфного тестирования.

Применительно к ноотехнической системе усечения можно использовать, например, следующие свойства.

Согласованность классов:

T_d(T_D(x)) = T_d(x) при D ≥ d.

Сохранение знака в математическом значении:

T_d(−x) = −T_d(x).

Ограничение погрешности:

|x − T_d(x)| < 10^(−d).

Идемпотентность:

T_d(T_d(x)) = T_d(x).

Такие свойства позволяют формировать дополнительные программы испытаний.

Однако необходимо учитывать, что их использование требует предварительного математического обоснования.

Не следует объявлять соответствующее отношение обязательным только вследствие его внешней правдоподобности.

Например, некоторые преобразования округления не сохраняют арифметические операции, что было показано ранее.

Следовательно, метаморфные проверки должны опираться на конкретные доказанные свойства используемой математической модели.

5.16. Испытания различных классов точности

Особую задачу представляет проверка перехода между различными классами точности.

В авторской шкале номер класса n определяет количество позиций:

d = 10^n.

Следовательно, первый класс содержит десять десятичных позиций, второй — сто, третий — тысячу.

Однако увеличение количества позиций не обязательно сопровождается пропорциональным увеличением всех ресурсных затрат.

Сложность конкретной реализации зависит от используемого алгоритма, способов хранения данных и характеристик исходного числа.

Поэтому технические испытания должны включать измерение фактических ресурсов.

При этом необходимо разграничивать заявленную математическую возможность построения результата и подтверждённую техническую осуществимость.

Например, спецификация может допускать произвольный положительный номер класса.

Однако конкретная программа может обеспечивать завершённую экспликацию лишь до некоторого технически установленного предела.

В таком случае соответствующее ограничение должно быть отражено в технической документации.

Особенно важно различать отказ вследствие недостатка памяти и математическую неопределённость исходного объекта.

Первое относится к технической среде реализации.

Второе требует самостоятельного математического анализа.

5.17. Валидация относительно инженерного назначения

После установления соответствия системы её спецификации необходимо исследовать пригодность разработанного объекта для предусмотренных задач.

Например, система первого класса точности корректно формирует десятизначные представления.

Однако определённая научная задача может требовать большего количества позиций.

В таком случае система может быть верифицирована, но не удовлетворять конкретному назначению.

В другом случае использование слишком высокого класса точности может приводить к неоправданным вычислительным затратам.

Следовательно, необходимо определить разумное соответствие характеристик системы поставленной задаче.

Однако нельзя считать, что более короткое представление математически правильнее только вследствие меньших ресурсных затрат.

Аналогичным образом увеличение количества позиций не гарантирует улучшения качества решения всякой прикладной задачи.

Следовательно, валидация должна осуществляться относительно конкретных функциональных требований.

Особое значение имеет возможность документирования области подтверждённой пригодности.

Например, система может быть валидирована для формирования представлений определённых классов рациональных чисел в конкретных вычислительных условиях.

Однако это заключение не следует автоматически распространять на все возможные математические объекты.

5.18. Протокол ноотехнических испытаний

Для обеспечения воспроизводимости предлагается разработать специальный протокол ноотехнического испытания.

В первоначальном варианте он должен включать:

1. идентификатор испытываемого объекта;
2. нормативную редакцию;
3. предмет испытания;
4. проверяемые требования;
5. используемую модель;
6. описание технической среды;
7. исходные данные;
8. процедуру выполнения;
9. ожидаемые результаты;
10. фактические результаты;
11. методы сравнения;
12. выявленные отклонения;
13. ограничения применённого метода;
14. итоговое заключение;
15. сведения, необходимые для повторного испытания.

Особенно важно различать ожидаемый результат и фактически зарегистрированный.

Если испытание ещё не выполнялось, соответствующий результат не должен обозначаться как подтверждённый.

Аналогичным образом математическое доказательство определённого свойства не должно автоматически заменять отчёт об испытании программной реализации.

Следовательно, протокол должен включать сведения о происхождении доказательственных материалов.

В перспективе соответствующие документы могут стать частью машинно-обрабатываемой системы ноотехнических паспортов.

5.19. Статусы результатов проверки

Для практической организации предлагается использовать систему статусов, характеризующих результаты ноотехнических процедур.

Соответствие подтверждено — требование проверено указанным методом и признано выполненным.

Несоответствие обнаружено — выявлено определённое нарушение.

Проверка не выполнена — предусмотренная процедура не проводилась.

Проверка не завершена — выполнение процедуры было прекращено до получения необходимого результата.

Недостаточно данных — отсутствуют сведения, необходимые для заключения.

Требование неприменимо — рассматриваемый критерий не относится к данному объекту.

Результат не установлен применённым методом — процедура не позволила определить соответствующее свойство.

При этом данные статусы не являются истинностными значениями математических утверждений.

Они относятся к инженерной процедуре контроля.

Например, статус «Проверка не выполнена» не означает ложности математического положения.

А статус «Соответствие подтверждено» должен сопровождаться указанием конкретного проверенного требования.

Следовательно, система статусов должна обеспечивать разграничение математического содержания и доказательственного состояния инженерного проекта.

5.20. Основные результаты главы

В настоящей главе предложено определение ноотехнической модели и рассмотрены основные виды моделирования.

Разграничены испытание, верификация, валидация и математическое доказательство.

Установлена необходимость различать моделируемый объект, его нормативную спецификацию и конкретную техническую реализацию.

На примере системы конечных десятичных представлений рациональных чисел рассмотрены математические свойства операции усечения.

Приведено доказательство границы абсолютной погрешности.

Рассмотрены согласованность межклассовых усечений и ограничения сохранения арифметических операций.

Предложены первоначальные наборы контрольных примеров.

Разработаны принципы граничного, различающего, репродуктивного и метаморфного тестирования.

Особое внимание уделено независимости проверочных процедур и необходимости регистрации доказательственных ограничений.

Предложена структура протокола ноотехнических испытаний.

Разработана первоначальная система статусов результатов проверки.

Таким образом, ноотехническое моделирование, испытания, верификация и валидация рассматриваются как взаимосвязанные, но самостоятельные средства установления математических, конструктивных, функциональных и нормативных характеристик нооинженерных объектов.

Однако результаты отдельных проверок необходимо объединять в систему документированной оценки соответствующего объекта.

Такая задача непосредственно связана с разработкой карты его ноотехнического уровня и качества.

---

Глава 6. Карта ноотехнического уровня и качества ноообъекта

6.1. Проблема комплексной оценки нооинженерных объектов

Разработка нооинженерного объекта предполагает необходимость оценки его соответствия определённым требованиям.

Однако отдельные протоколы испытаний не всегда позволяют составить целостное представление о характеристиках созданной конструкции.

Например, математическая система может иметь достаточно строго определённую аксиоматику, но не обладать завершённой технической реализацией.

Другая система может быть успешно реализована программно, но использовать недостаточно определённые исходные понятия.

Третья может обладать подтверждёнными математическими свойствами, однако её взаимодействие с другими системами ещё не исследовано.

Следовательно, возникает необходимость создания специального документа, объединяющего сведения о существенных характеристиках и результатах проверки нооинженерного объекта.

Для решения соответствующей задачи предлагается разработать карту ноотехнического уровня и качества ноообъекта.

Её назначение состоит не в замене математических доказательств или инженерных испытаний, а в организации результатов соответствующих исследований.

Особое значение имеет возможность сопоставления альтернативных конструкций.

Однако такое сопоставление должно осуществляться относительно установленного предмета и заранее определённых критериев.

Следовательно, необходимо разработать специализированную систему показателей ноотехнического уровня и качества.

6.2. Исторический нормативный прототип

Одним из исторических технических прототипов предлагаемой разработки выступает ГОСТ 2.116-84 «Единая система конструкторской документации. Карта технического уровня и качества продукции».

Указанный стандарт устанавливает определённые формы карты технического уровня и качества продукции и порядок её составления и ведения.

В нём карта рассматривается как элемент технической документации, предназначенный для оценки характеристик продукции на различных стадиях её разработки и применения.

Особое значение для настоящего исследования имеет сама идея документированной системы показателей, позволяющей сопоставлять разрабатываемый объект с установленными требованиями и другими образцами.

Однако необходимо учитывать различие предметных областей.

Карта технического уровня продукции предназначена для технических изделий и соответствующих инженерных процессов.

Ноотехническая карта предполагает исследование ментальных объектов, математических систем, понятийных конструкций и интеллектуальных технологий.

Следовательно, непосредственное копирование существующих форм не может считаться достаточным.

Необходимо определить собственные характеристики смысловой, логической, математической и нормативной организации ноообъектов.

При этом предлагаемый документ не является уже утверждённым нормативным стандартом.

Он рассматривается как проект новой формы ноотехнической документации, разрабатываемый с использованием определённых методологических принципов традиционной инженерии.

6.3. Определение карты ноотехнического уровня и качества

Предлагается следующее рабочее определение.

Определение 6.1. Карта ноотехнического уровня и качества ноообъекта — нормативно организованный документ, содержащий систему характеристик, показателей, критериев и результатов проверки, предназначенную для определения и сопоставления существенных инженерных свойств нооинженерного объекта в установленной предметной области.

В данном определении необходимо выделить несколько функций.

Идентификационная функция обеспечивает определение объекта и его нормативной редакции.

Характеризующая функция фиксирует существенные свойства объекта.

Оценочная функция связывает характеристики с установленными критериями.

Сравнительная функция обеспечивает сопоставление нескольких конструкций.

Контрольная функция связывает показатели с результатами проверки.

Конфигурационная функция позволяет исследовать изменения характеристик различных редакций.

Документационная функция обеспечивает сохранение сведений об использованных методах и выводах.

Однако необходимо разграничивать карту и нооспецификацию.

Нооспецификация устанавливает требования к объекту.

Карта ноотехнического уровня и качества содержит сведения о характеристиках и степени подтверждения их соответствия требованиям.

Следовательно, указанные документы могут быть связаны, но не являются взаимозаменяемыми.

6.4. Ноотехнический уровень и качество: различие понятий

Для научной определённости необходимо разграничить ноотехнический уровень и качество нооинженерного объекта.

В первоначальном приближении предлагается следующее определение.

Определение 6.2. Ноотехнический уровень — совокупная характеристика степени конструктивной, нормативной, функциональной и технологической разработанности нооинженерного объекта относительно установленной системы критериев.

При этом уровень не должен автоматически сводиться к одному числовому показателю.

Он может определяться набором характеристик, отражающих различные стороны инженерной разработанности.

Определение 6.3. Качество нооинженерного объекта — совокупность его характеристик, определяющих способность соответствовать установленным требованиям и выполнять предусмотренное назначение в заданных условиях.

Следовательно, ноотехнический уровень и качество связаны между собой, но не являются тождественными.

Например, математическая теория может обладать высокой степенью формальной определённости, но ещё не иметь разработанных прикладных технологий.

Другая конструкция может быть технически реализована, но не удовлетворять определённым математическим требованиям.

Поэтому необходимо рассматривать соответствующие характеристики раздельно.

Особенно важно не отождествлять инженерное качество и математическую истинность.

Истинность формального утверждения определяется относительно соответствующей математической системы.

Она не должна вычисляться посредством произвольного суммирования технических показателей.

6.5. Объект и границы оценки

Перед составлением карты необходимо определить, какой именно объект подлежит оценке.

Например, можно исследовать точное рациональное число, математическую процедуру усечения, систему классов точности или конкретную программу формирования десятичных представлений.

Каждый из названных объектов обладает различным набором существенных характеристик.

Следовательно, нельзя использовать единую систему показателей без учёта их предметной специфики.

Особое значение имеет различие между исходной математической предметностью и её технической реализацией.

Например, точное рациональное число 1/3 не становится математически более качественным вследствие увеличения количества десятичных позиций его приближения.

Однако качество конкретной технологии представления может оцениваться по соблюдению установленного класса и математической погрешности результата.

Следовательно, карта должна содержать раздел, устанавливающий предмет, масштаб и границы оценки.

В частности, необходимо указать:

• оцениваемый объект;
• нормативную редакцию;
• предметную область;
• используемую систему координат;
• заявленное назначение;
• существенные ограничения.

Без таких сведений сравнительная оценка может оказаться недостаточно определённой.

6.6. Основные группы показателей

Для первоначального проекта карты предлагается выделить несколько групп характеристик.

Семантические показатели отражают определённость исходных понятий и условий интерпретации.

Логические показатели характеризуют формальную организацию рассуждений и правил вывода.

Математические показатели относятся к объектам, операциям, доказанным свойствам и ограничениям.

Конструктивные показатели характеризуют способы построения и внутреннюю организацию.

Функциональные показатели определяют выполнение установленного назначения.

Нормативные показатели отражают соответствие действующим требованиям.

Репродуктивные показатели характеризуют возможность повторного получения объекта или результата.

Интерфейсные показатели относятся к допустимости межсистемного взаимодействия.

Конфигурационные показатели отражают определённость редакций и управление изменениями.

Ресурсные показатели характеризуют условия технической реализации.

Показатели проверенности фиксируют наличие и характер доказательственных материалов.

Однако перечисленные группы должны рассматриваться как исходная классификация.

Для конкретного вида нооинженерных объектов необходимо устанавливать собственную номенклатуру показателей.

При этом не все характеристики обязательно должны обладать количественной природой.

Некоторые могут выражаться категориально.

Другие требуют математических величин и специально определённых шкал.

Следовательно, система показателей должна соответствовать предметной природе исследуемого объекта.

6.7. Ноометрологические требования к показателям

Одной из важнейших задач разработки карты является обеспечение ноометрологической определённости используемых показателей.

Для каждого показателя необходимо установить:

1. наименование;
2. смысловое определение;
3. предмет измерения или оценки;
4. тип шкалы;
5. единицу измерения, если она применима;
6. метод получения значения;
7. условия проверки;
8. нормативный критерий;
9. допустимые результаты;
10. источник доказательственных данных.

Например, количество десятичных позиций представляет собой целочисленную характеристику представления.

Для её проверки можно использовать формальный контроль записи.

Однако математическая погрешность результата является другой характеристикой.

Она требует определения точного исходного значения и вычисленного представления.

Следовательно, нельзя считать эти показатели взаимозаменяемыми.

Особое значение имеет различие между классом точности авторской шкалы и характеристиками метрологической точности физических измерений.

Класс n в рассматриваемой системе определяет 10^n десятичных позиций.

Но сам номер класса не является универсальной числовой мерой качества всех математических объектов.

Поэтому ноометрологическая спецификация должна устанавливать область допустимого использования каждого показателя.

6.8. Качественные и количественные показатели

Для оценки нооинженерных объектов могут использоваться различные типы шкал.

Номинальные шкалы предназначены для классификации характеристик без установления количественного порядка.

Например, можно различать математические системы по типам используемых операций.

Порядковые шкалы позволяют устанавливать определённое отношение упорядоченности.

Например, возможно введение уровней готовности документации при условии явного определения каждого уровня.

Количественные шкалы предназначены для оценки математически определённых величин.

Например, количество десятичных позиций может выражаться целым числом.

Бинарные критерии устанавливают выполнение или невыполнение определённого требования.

Однако необходимо учитывать, что статус «не проверено» не должен смешиваться с отрицательным результатом.

Для полноценной карты требуется специальная система регистрации доказательственного состояния.

Особенно важно избегать произвольного присвоения числовых баллов смысловой определённости или математической истинности без обоснованной шкалы.

Такие показатели могут создавать видимость точности при отсутствии соответствующей методологии.

Следовательно, количественная оценка должна использоваться только в случаях, когда определены измеряемая величина и правила её получения.

6.9. Уровни инженерной разработанности

Для предварительной оценки зрелости ноотехнической документации можно предложить специальную порядковую шкалу.

Уровень 0. Исследовательский замысел.

Существует концепция будущего объекта, но его нормативная спецификация ещё не разработана.

Уровень 1. Определённая концепция.

Установлены назначение, предметная область и основные исходные понятия.

Уровень 2. Специфицированная конструкция.

Разработаны существенные требования, правила и архитектурные модели.

Уровень 3. Проверенная конструкция.

Получены предусмотренные доказательства и результаты проверок в объявленной области применения.

Уровень 4. Воспроизводимо реализованная конструкция.

Подтверждена возможность повторного получения заявленных результатов в установленных условиях.

Уровень 5. Нормативно сопровождаемая конструкция.

Организованы управление конфигурацией, регистрация изменений и необходимые процедуры сопровождения.

Однако данная шкала представляет собой только первоначальное проектное предложение.

Она не является универсальной мерой научного качества или математической истинности.

Например, математическая теорема может обладать строгим доказательством и не требовать отдельной программной реализации.

Следовательно, для неё некоторые уровни технологической готовности могут быть неприменимы.

Кроме того, достижение более высокого уровня не обязательно означает превосходство по всем функциональным характеристикам.

Поэтому шкала должна использоваться с указанием собственного назначения и ограничений.

6.10. Статусы подтверждения показателей

Для практического применения карты необходимо отличать значение показателя от степени его доказательственного подтверждения.

Предлагается использовать несколько статусов.

Подтверждено — имеется результат предусмотренной проверки, устанавливающий выполнение требования.

Не подтверждено — применённая проверка не установила выполнение требования, но при этом отсутствие подтверждения само по себе не трактуется как доказанное нарушение.

Несоответствие установлено — выявлено конкретное нарушение требования.

Не проверено — необходимая процедура ещё не выполнена.

Неприменимо — показатель не относится к объекту в данной системе координат.

Недостаточно данных — невозможно сформировать заключение на основании имеющихся сведений.

При этом необходимо различать статус математического доказательства и статус технического испытания.

Например, математическое свойство операции может быть доказано, тогда как корректность конкретной программы ещё не проверена.

Следовательно, в карте должны существовать раздельные поля для разных видов доказательственных материалов.

Особое значение имеет возможность регистрации ограниченной области подтверждения.

Например, проверка на рациональных числах не должна автоматически распространяться на произвольные объекты другой математической системы.

Таким образом, карта должна обеспечивать документирование не только характеристик ноообъекта, но и оснований знания об этих характеристиках.

6.11. Сопоставление с базовыми и альтернативными конструкциями

Одним из основных назначений карты является возможность сравнения различных нооинженерных решений.

Однако для корректного сопоставления необходимо установить общий предмет оценки.

Например, две системы десятичных представлений могут использовать одинаковые классы точности, но различные правила округления.

Их сравнение требует разграничения характеристик формата, математического результата и технической реализации.

Особое значение имеет выбор базовой конструкции.

Она может представлять собой ранее принятую редакцию, известную альтернативную систему или специально установленный сравнительный образец.

Однако выбор базового объекта не должен быть произвольным.

Необходимо указать основания его использования.

В частности, нельзя сравнивать вычислительную эффективность алгоритмов без учёта различий в исходных требованиях и технических условиях.

Следовательно, карта должна содержать сведения о сопоставимости исследуемых конструкций.

В отдельных случаях возможно количественное сравнение.

В других — только установление определённых качественных различий.

Если общая шкала отсутствует, это должно быть отражено в документации.

Таким образом, сопоставление должно осуществляться без искусственного сведения несоизмеримых характеристик к одному числовому показателю.

6.12. Многокритериальная оценка

Ноотехнические объекты могут обладать множеством независимых характеристик.

Следовательно, общая оценка не всегда допускает единственный показатель.

Например, одна вычислительная система может обеспечивать меньшую ресурсную стоимость.

Другая — более простую процедуру формальной проверки.

Третья — более широкую предметную область.

При этом все три конструкции могут удовлетворять исходным математическим требованиям.

Следовательно, возникает задача многокритериальной оценки.

В первоначальном варианте предлагается использовать матрицу критериев.

Она должна содержать значения существенных характеристик и сведения о способах их подтверждения.

Если необходимо принять инженерное решение, следует дополнительно определить приоритеты.

Однако такие приоритеты зависят от назначения проекта.

Например, для системы архивного воспроизводства математических результатов может иметь особое значение конфигурационная определённость.

Для вычислительного инструмента — ресурсная эффективность.

Для формальной теории — строгость определений и доказательств.

Следовательно, нельзя считать один универсальный набор весовых коэффициентов пригодным для всех нооинженерных объектов.

Особое значение имеет возможность сохранения нескольких альтернативных решений.

Это соответствует принципу полисистемности.

6.13. Структура проекта карты ноотехнического уровня и качества

Для первоначальной стандартизации предлагается следующая структура документа.

Раздел 1. Идентификационные сведения.

Наименование объекта, идентификатор, нормативная редакция.

Раздел 2. Назначение и предметная область.

Описание предполагаемого использования и границ применения.

Раздел 3. Нормативные основания.

Перечень используемых определений, требований и спецификаций.

Раздел 4. Конструктивная организация.

Описание ноокариона, ноогенома, архитектуры и функциональных компонентов в применимой части.

Раздел 5. Основные показатели.

Номенклатура существенных характеристик.

Раздел 6. Методы оценки.

Способы измерения, сравнения или проверки.

Раздел 7. Фактические и проектные значения.

Отдельная регистрация установленных результатов и ожидаемых характеристик.

Раздел 8. Сравнительные сведения.

Данные о базовых и альтернативных конструкциях.

Раздел 9. Доказательственные материалы.

Ссылки на математические доказательства, протоколы испытаний и экспертные заключения.

Раздел 10. Ограничения и риски.

Описание известных границ применимости.

Раздел 11. Итоговое заключение.

Оценка соответствия объявленным требованиям.

Раздел 12. Управление конфигурацией.

История редакций и порядок внесения изменений.

Данная структура представляет собой проект документа.

В дальнейшем она должна уточняться с учётом особенностей различных классов нооинженерных объектов.

6.14. Пример карты для системы НОО-ДПР-01

Рассмотрим условное заполнение карты для ранее разработанного проекта НОО-ДПР-01 — «Система нормативной десятичной экспликации рациональных чисел».

Объект оценки: математическая спецификация и предполагаемая техническая реализация системы конечных десятичных представлений рациональных чисел.

Нормативная редакция: проект 1.0.

Предметная область: рациональные числа p/q, где q ≠ 0.

Класс точности: положительное целое число n.

Количество десятичных позиций: d = 10^n.

Правило формирования представления: усечение по направлению к нулю.

Правило записи: ровно d цифр после десятичного разделителя.

Математический статус исходного объекта: точное рациональное число.

Математический статус результата: конечное десятичное число, полученное по нормативной процедуре.

Известная граница абсолютной погрешности:

|x − T_d(x)| < 10^(−d).

Межклассовое свойство:

T_d(T_D(x)) = T_d(x) при D ≥ d.

При этом необходимо различать нормативно установленные проектные характеристики и фактические результаты испытаний.

Например, формальная спецификация операции может быть математически обоснована.

Однако для признания конкретной программы испытанной необходимо фактически выполнить предусмотренные испытания и зарегистрировать их результаты.

Следовательно, карта не должна содержать неподтверждённых сведений о завершённости технической реализации.

6.15. Первоначальный реестр показателей

Для рассматриваемого проекта можно предложить следующую таблицу.

Показатель	Проектное значение или требование	Основание оценки
НОО-К01. Определённость исходного объекта	Рациональное число p/q, q ≠ 0	Математическое определение
НОО-К02. Определённость класса	d = 10^n	Нормативная спецификация
НОО-К03. Правило представления	Усечение по направлению к нулю	Формальное определение операции
НОО-К04. Длина записи	Ровно d десятичных позиций	Проверка формата
НОО-К05. Граница погрешности	Меньше 10^(−d)	Математическое доказательство
НОО-К06. Межклассовая согласованность	T_d(T_D(x)) = T_d(x) при D ≥ d	Формальный анализ
НОО-К07. Обработка отрицательных чисел	Сохранение правила усечения к нулю	Контрольные вычисления
НОО-К08. Воспроизводимость	Повторное получение результата по зафиксированным исходным данным	Репродуктивное испытание
НОО-К09. Конфигурационная определённость	Идентификация нормативной редакции	Проверка паспорта
НОО-К10. Ресурсная осуществимость	Устанавливается для конкретной реализации и класса	Технические испытания
НОО-К11. Интерфейсная совместимость	Определяется для конкретных внешних систем	Проверка интерфейсов
НОО-К12. Документационная полнота	Соответствие утверждённому для проекта составу документов	Документальная проверка

Однако данная таблица пока содержит преимущественно проектные характеристики и способы их проверки.

Она не должна рассматриваться как отчёт о фактически проведённых испытаниях.

Для полноценного заполнения карты необходимо добавить отдельные графы:

«Фактическое значение», «Метод проверки», «Доказательственный материал», «Статус подтверждения» и «Нормативное заключение».

Такое разграничение предотвращает смешение ожидаемых результатов и реально полученных данных.

6.16. Расчётный пример для первого класса точности

Рассмотрим точное рациональное число:

x = 1/3.

Для первого класса:

n = 1.

Следовательно:

d = 10.

Применение операции усечения даёт:

T_10(1/3) = 0,3333333333.

При этом точная разность между исходным числом и полученным конечным представлением составляет:

1/3 − 0,3333333333 = 1/30000000000.

Следовательно, абсолютная погрешность равна:

1/30000000000.

Это значение положительно и меньше 10^(−10).

Таким образом, рассматриваемый пример соответствует установленному математическому ограничению.

Однако полученное конечное число не является тождественным исходному рациональному числу 1/3.

Следовательно, карта должна содержать самостоятельную характеристику точности представления относительно исходного объекта.

При этом нельзя подменять её характеристикой количества десятичных позиций.

Наличие десяти позиций является нормативным требованием к записи.

А величина погрешности устанавливает отношение между точным числом и полученным значением.

Таким образом, один объект обладает несколькими независимыми характеристиками, которые должны фиксироваться раздельно.

6.17. Пример сравнения двух нормативных редакций

Предположим, что рассматриваются две редакции системы.

Редакция A использует усечение по направлению к нулю.

Редакция B использует округление до ближайшего значения.

Обе предусматривают первый класс точности, содержащий десять десятичных позиций.

Для числа:

x = 1/6

получаем следующие результаты.

Редакция A:

0,1666666666.

Редакция B:

0,1666666667.

Следовательно, редакции различаются по математическому значению конечного представления.

Однако они совпадают по требованию к количеству десятичных позиций.

При этом нельзя считать, что одно правило универсально лучше другого по всем возможным критериям.

Например, округление до ближайшего значения обычно обеспечивает меньшую или равную абсолютную погрешность по сравнению с усечением до того же числа позиций.

Но оно использует иной нормативный алгоритм.

Поэтому если задача требует воспроизведения результатов именно по правилу усечения, округление не соответствует исходной спецификации независимо от его возможного преимущества по погрешности.

Следовательно, карта должна различать математические свойства альтернативных методов и соответствие конкретной инженерной задаче.

В дальнейшем подобные сравнения могут стать основанием для нооселекции.

6.18. Оценка математической корректности

Особое значение имеет вопрос о возможности включения математической корректности в систему показателей качества.

Необходимо подчеркнуть, что математическое доказательство не должно заменяться произвольной числовой оценкой.

Например, нельзя научно обоснованно утверждать, что одна теорема истинна на 80 процентов, а другая — на 95 процентов, если соответствующие величины не получили самостоятельного математического определения.

Следовательно, для проверки математических утверждений необходимо использовать специальные доказательственные статусы.

Например:

«Свойство доказано относительно установленной формальной системы»;

«Сформулирована гипотеза»;

«Получены экспериментальные подтверждения в определённой области»;

«Обнаружен контрпример»;

«Проверка не завершена».

Такие заключения не образуют автоматически количественную шкалу истинности.

Они характеризуют доказательственное состояние исследования.

При этом необходимо различать формальную теорему и её философскую интерпретацию.

Разработка альтернативной математической системы сама по себе не является опровержением результатов другой системы.

Следовательно, карта должна фиксировать точную область применимости соответствующих математических заключений.

6.19. Оценка инновационного и ноотехнического уровня

При исследовании новых нооинженерных конструкций возникает задача оценки характера их инновационного содержания.

Однако необходимо различать несколько критериев.

Научная новизна относится к отличию результата от известных исследовательских положений.

Конструктивная новизна характеризует новые способы построения объекта.

Функциональная новизна связана с возникновением новых возможностей применения.

Нормативная новизна предполагает создание новых правил или классификаций.

Технологическая реализованность характеризует наличие проверенных средств выполнения соответствующих функций.

Эти показатели не должны отождествляться.

Например, новая математическая концепция может ещё не иметь завершённой технической реализации.

В то же время новая программная система может обладать значительной практической ценностью при использовании ранее известных математических операций.

Следовательно, инновационный уровень должен оцениваться относительно конкретного предмета.

Особое значение имеет необходимость исследования предшествующих работ.

Наличие нового термина не означает автоматического отсутствия известных содержательных аналогов.

Поэтому карта должна содержать сведения о проведённом сравнительном анализе.

Однако окончательная оценка новизны может требовать самостоятельной научной экспертизы.

6.20. Карта и нооселекция

В предыдущей части монографии нооселекция была определена как нормативно организованный выбор между альтернативными нооинженерными конструкциями.

Карта ноотехнического уровня и качества может выступать одним из основных инструментов соответствующей процедуры.

Она позволяет сопоставлять характеристики объектов по заранее установленной системе критериев.

Однако решение о выборе не должно автоматически следовать из наличия большего количества положительных показателей.

Некоторые требования могут быть обязательными.

Другие — сравнительными.

Третьи — дополнительными.

Например, система, не удовлетворяющая обязательному математическому требованию, не может считаться допустимой для конкретной задачи только вследствие высоких показателей вычислительной скорости.

Следовательно, необходимо различать критерии допуска и критерии предпочтения.

Первые определяют возможность использования конструкции.

Вторые предназначены для выбора среди допустимых решений.

Особое значение имеет возможность существования нескольких альтернативных вариантов, не превосходящих друг друга по всем критериям.

В таком случае нооселекция может приводить к сохранению нескольких специализированных решений.

Это соответствует принципу полисистемности.

6.21. Управление изменениями карты

Карта ноотехнического уровня и качества должна иметь собственную нормативную редакцию.

Она не должна рассматриваться как неизменный документ, составляемый один раз на весь жизненный цикл объекта.

При изменении конструкции необходимо исследовать, какие показатели затрагиваются.

Например, изменение правила формирования десятичного представления влияет на математические характеристики соответствующей системы.

Однако оно может не затрагивать количество предусмотренных десятичных позиций.

Следовательно, необходимо обновить только те сведения, которые действительно изменились, сохранив документированную историю прежних редакций.

Особое значение имеет возможность повторного использования результатов проверки.

Некоторые доказательства могут сохранять применимость после определённых изменений.

Другие требуют пересмотра.

Поэтому система управления картами должна включать механизм анализа зависимостей между требованиями, конструктивными решениями и доказательственными материалами.

При этом нельзя автоматически переносить положительное заключение о прежней редакции на новую.

Для этого необходимо установить сохранение соответствующих условий.

Таким образом, карта становится элементом конфигурационного управления нооинженерным объектом.

6.22. Машинно-обрабатываемая карта

В перспективе предлагается разработать машинно-обрабатываемую форму карты ноотехнического уровня и качества.

Она должна обеспечивать возможность структурированного представления показателей, требований и результатов проверки.

Для этого необходимо определить формальную систему идентификаторов.

Каждый показатель должен иметь установленное обозначение.

Необходимо также определить его тип, допустимые значения и нормативную область применения.

Отдельно фиксируются доказательственные материалы.

Особое значение имеет возможность автоматизированной проверки простых формальных требований.

Например, система может автоматически определять количество десятичных позиций в нормативном представлении.

Однако проверка сложных математических доказательств требует специальных формальных средств и не всегда допускает универсальную автоматизацию.

Следовательно, машинно-обрабатываемая карта должна разграничивать автоматизированно проверяемые показатели и характеристики, требующие дополнительных методов.

В дальнейшем подобная система может использоваться для создания ноотехнических реестров, кадастров и картографических представлений.

Тем самым карта ноотехнического уровня приобретает значение не только отдельного документа, но и элемента общей информационно-нормативной инфраструктуры нооинженерии.

6.23. Проект стандарта карты ноотехнического уровня и качества

Для дальнейшего развития предлагается подготовить специализированный проект стандарта:

«Карта ноотехнического уровня и качества нооинженерного объекта. Общие положения, структура, показатели и порядок ведения».

В первоначальном варианте такой документ должен устанавливать:

1. область применения;
2. основные термины и определения;
3. виды объектов оценки;
4. принципы формирования номенклатуры показателей;
5. требования к системам шкал;
6. правила указания нормативных редакций;
7. требования к доказательственным материалам;
8. порядок сравнительной оценки;
9. правила регистрации ограничений;
10. структуру карты;
11. порядок её составления;
12. порядок управления изменениями;
13. условия архивного хранения;
14. требования к машинно-обрабатываемым представлениям.

Однако соответствующий проект не должен рассматриваться как действующий стандарт до проведения необходимых процедур его разработки и принятия.

Особое значение имеет проверка применимости предлагаемой структуры к различным классам нооинженерных объектов.

Например, карта математической теории может требовать иных показателей, чем карта программной реализации конкретного алгоритма.

Следовательно, общий стандарт должен предусматривать возможность формирования специализированных приложений и профилей.

Таким образом, ноостандартизация должна сочетать единство основных принципов с предметной конкретизацией характеристик.

6.24. Основные результаты главы

В настоящей главе предложено определение карты ноотехнического уровня и качества ноообъекта.

Рассмотрена историческая и методологическая связь данного проекта с традиционной картой технического уровня и качества продукции.

Разграничены ноотехнический уровень и качество нооинженерного объекта.

Предложена первоначальная классификация групп показателей.

Установлены требования к ноометрологической определённости характеристик.

Рассмотрены качественные, количественные и категориальные формы оценки.

Предложена предварительная порядковая шкала инженерной разработанности.

Особое внимание уделено необходимости разграничения значений показателей и статусов их доказательственного подтверждения.

Разработана первоначальная структура карты.

На примере системы НОО-ДПР-01 предложен реестр показателей, включающий математические, конструктивные, репродуктивные, конфигурационные и технические характеристики.

Рассмотрены возможности сопоставления альтернативных нормативных редакций.

Показана недопустимость подмены математической корректности произвольной балльной оценкой.

Исследованы отношения карты с нооселекцией и управлением конфигурацией.

Предложены основные положения будущего стандарта карты ноотехнического уровня и качества.

Таким образом, карта ноотехнического уровня и качества рассматривается как проект специального документа, предназначенного для систематизации, подтверждения и сопоставления существенных характеристик нооинженерных объектов относительно определённых инженерных требований.

Её дальнейшее развитие предполагает создание самостоятельной системы ноометрологии, ноолокации и ноостандартизации.

---

Итоги части V

В шести главах пятой части настоящей монографии предложены первоначальные основания ноотехнического проектирования, конструирования и научно-исследовательских и опытно-конструкторских работ.

Разработаны определения ноотехнического задания, нооспецификации и системы инженерных требований к смысловым объектам.

Рассмотрены принципы семантической определённости, проверяемости и прослеживаемости соответствующих требований.

Предложены основные положения архитектурного и функционального проектирования нооинженерных объектов.

Особое внимание уделено разграничению семантической, логико-математической, конструктивной и технической организации.

Разработана первоначальная теория жизненного цикла нооинженерного объекта.

Предложены определения конфигурации, конфигурационной единицы и базовой нормативной конфигурации.

Рассмотрены процессы версионирования, ветвления, регистрации изменений, сопровождения и восстановления нормативных состояний.

Следующим результатом является постановка задачи создания специализированной системы ноотехнических НИОКР.

Разграничены исследовательские гипотезы, математические доказательства, конструктивные решения и проверенные технические реализации.

Предложены основные требования к научно-исследовательским и опытно-конструкторским работам.

Особое место занимает разработка методов моделирования и испытаний.

Показано, что математическое доказательство, вычислительный эксперимент, верификация и валидация имеют различные предметы и доказательственные возможности.

Поэтому они не должны автоматически заменять друг друга.

На конкретном проекте НОО-ДПР-01 рассмотрены способы перехода от исходного математического определения к конструктивной спецификации, архитектуре, контрольным примерам и предполагаемой технической реализации.

Особенно важно, что данный пример сохраняет различие между точным рациональным числом и его конечным десятичным представлением.

В авторской системе шкал класс с номером n предусматривает 10^n десятичных позиций.

Однако соответствующее правило не означает, что каждое точно определённое математическое число обладает фактически завершённой записью произвольно высокого класса.

Следовательно, необходимо различать формальную определённость, алгоритмическую осуществимость, техническую реализуемость и завершённую экспликацию.

Наконец, предложена концепция карты ноотехнического уровня и качества нооинженерного объекта.

Её разработка направлена на создание системы документированной оценки математических, конструктивных, функциональных и нормативных характеристик.

При этом необходимо подчеркнуть, что предлагаемые паспорта, протоколы и карты пока представляют собой проекты ноотехнических документов.

Для превращения их в полноценные стандарты требуется дополнительная разработка терминологии, номенклатуры показателей, методов проверки и нормативных процедур.

Особенно важно обеспечить возможность применения соответствующих средств к различным видам ментальных объектов.

Следовательно, дальнейшее развитие нооинженерии должно сопровождаться созданием общей системы измерения, классификации, координатизации и стандартизации её объектов.

Главный результат пятой части состоит в переходе от общей теории нооинженерных объектов и функциональных дисциплин к первоначальной системе конкретных технологий их проектирования, конструирования, проверки, документирования и оценки качества.

На этой основе возникает возможность перейти к формированию специализированных направлений ноометрологии, ноогеодезии, ноотопографии, ноокартографии, ноокадастров и ноостандартизации.

Именно этим вопросам посвящена следующая часть настоящей монографии.

*******

ЧАСТЬ VI. НООМЕТРОЛОГИЯ, НООЛОКАЦИЯ И НООСТАНДАРТИЗАЦИЯ

Глава 1. Общие основания ноометрологии: характеристики, меры, точность и допустимость

1.1. Необходимость метрологического обеспечения нооинженерии

В предшествующих частях настоящей монографии были рассмотрены общие основания нооинженерии, теория нооинженерных объектов и экосистем, их конструктивная организация, функциональные дисциплины и первоначальные технологии проектирования.

Особое внимание было уделено ноотехническим заданиям, спецификациям, архитектурным моделям, научно-исследовательским и опытно-конструкторским работам, испытаниям и документированию результатов.

Однако инженерная деятельность не может считаться достаточно определённой без системы характеристик, позволяющих устанавливать, сравнивать и проверять свойства создаваемых объектов.

В традиционной технической инженерии соответствующие задачи решаются средствами метрологии, технических измерений, нормирования, контроля допусков и оценки качества.

В математической инженерии возникает сходная по назначению, но существенно отличающаяся по предмету проблема.

Нооинженерными объектами могут выступать понятия, математические конструкции, правила операций, формальные теории, интеллектуальные технологии и организованные системы знаний.

Не все характеристики таких объектов представляют собой физические величины.

Например, количество десятичных позиций в математическом представлении допускает точный подсчёт.

Принадлежность выражения определённому формальному языку может устанавливаться алгоритмически.

Сохранение конкретного математического свойства может требовать доказательства.

А смысловая определённость понятия не всегда допускает непосредственное выражение одним количественным показателем.

Следовательно, необходимо создать самостоятельную систему методов определения, классификации, оценки и сопоставления существенных характеристик нооинженерных объектов.

Для обозначения соответствующего направления в настоящей монографии используется понятие ноометрологии.

При этом требуется строго разграничить общую инженерную задачу оценки характеристик и метрологическое измерение в его принятом научно-техническом значении.

Нооинженерия должна использовать достижения традиционной метрологии, не подменяя её понятийный аппарат произвольным расширением терминов.

1.2. Метрология как методологический прототип

Современная метрология располагает развитой системой понятий, включающей измеряемую величину, результат измерения, неопределённость, точность, прецизионность, погрешность, калибровку и метрологическую прослеживаемость.

Для рассматриваемой исследовательской программы особое значение имеют Международный словарь по метрологии — JCGM 200:2012 (VIM) — и руководство по выражению неопределённости измерений JCGM 100:2008 (GUM).

Указанные документы представляют методологический интерес прежде всего благодаря требованию строгой определённости измеряемой величины, используемой процедуры и результатов.

Однако не следует считать, что всякое исследование ментального объекта автоматически представляет собой измерение в общепринятом метрологическом смысле.

Например, установление количества элементов конечного множества посредством точного подсчёта не тождественно экспериментальному измерению физической величины.

А проверка формального доказательства представляет собой логико-математическую процедуру, а не измерение истинности теоремы физическим прибором.

Следовательно, в настоящей монографии термин «ноометрология» используется в специально определяемом расширенном инженерном значении.

В него включаются методы задания, проверки и сопоставления характеристик нооинженерных объектов.

При этом в каждом конкретном случае необходимо указывать характер соответствующей операции:

• физическое измерение;
• математическое вычисление;
• точный подсчёт;
• формальная проверка;
• нормативная классификация;
• экспертная оценка;
• сравнительный анализ.

Перечисленные операции не должны автоматически отождествляться.

Их результаты обладают различными основаниями достоверности и требуют различных процедур контроля.

1.3. Предмет и определение ноометрологии

Предлагается следующее рабочее определение.

Определение 1.1. Ноометрология — формируемое направление нооинженерии, исследующее принципы, методы, шкалы и технологии определения, количественной и качественной оценки, сопоставления и нормативного контроля характеристик нооинженерных объектов, процессов и экосистем.

В данном определении выделяются несколько основных задач.

Первая — разработка системы характеристик, существенных для различных видов нооинженерных объектов.

Вторая — определение способов представления таких характеристик.

Третья — установление методов получения их значений.

Четвёртая — разработка шкал и критериев сравнения.

Пятая — исследование точности, погрешности, неопределённости и ограничений соответствующих процедур там, где эти категории применимы.

Шестая — установление нормативных критериев допустимости.

Седьмая — разработка способов документирования результатов оценки.

Таким образом, ноометрология не должна сводиться исключительно к количественной оценке.

В отдельных случаях её предметом становятся качественные характеристики.

Однако всякая оценка должна осуществляться относительно определённого метода и системы требований.

Следовательно, центральным принципом ноометрологии является нормативная определённость оцениваемой характеристики и способа установления её значения.

1.4. Характеристика, величина, показатель и критерий

Для дальнейшей разработки необходимо разграничить несколько фундаментальных понятий.

Характеристика нооинженерного объекта — нормативно выделенное свойство или отношение, существенное для его описания, сравнения или проверки.

Ноотехническая величина — характеристика, для которой в выбранной модели определены значения и допустимые математические операции над ними.

Ноотехнический показатель — установленная форма представления характеристики, используемая для конкретной задачи оценки.

Критерий допустимости — нормативно определённое условие, позволяющее установить соответствие рассматриваемого объекта определённому требованию.

Мера — формально определённый способ сопоставления объекту или его характеристике значения в соответствующей математической системе.

Однако термин «мера» должен использоваться осторожно.

В математике он имеет специальные значения, в частности в теории меры.

Поэтому нельзя автоматически называть мерой любую оценочную процедуру.

Если характеристика представлена числом, необходимо установить правила его математической интерпретации.

Если она выражается категорией, необходимо определить соответствующую классификацию.

Например, количество десятичных позиций является целочисленной характеристикой.

Но нормативный статус «проверено» не представляет собой количественную величину в том же смысле.

Следовательно, система ноометрологии должна поддерживать несколько различных типов характеристик.

1.5. Классификация характеристик нооинженерных объектов

Для первоначальной организации предлагается выделить следующие группы.

Семантические характеристики определяют условия интерпретации понятий и их отношений.

Логические характеристики относятся к правилам образования выражений, суждений и выводов.

Математические характеристики описывают объекты, операции, отношения и формально определённые свойства.

Конструктивные характеристики определяют способы построения объектов.

Морфологические характеристики описывают состав, структуру и архитектуру.

Функциональные характеристики относятся к назначению и реализуемым возможностям.

Нормативные характеристики фиксируют применимые требования и статусы соответствия.

Репродуктивные характеристики определяют условия воспроизводства объектов и результатов.

Конфигурационные характеристики относятся к редакциям, происхождению и управлению изменениями.

Интерфейсные характеристики описывают возможности допустимого межсистемного взаимодействия.

Ресурсные характеристики относятся к техническим условиям реализации.

Однако перечисленные группы могут пересекаться.

Например, алгоритмическая сложность может рассматриваться одновременно как конструктивная и ресурсная характеристика.

Поэтому для каждого показателя необходимо устанавливать предмет и назначение.

Особенно важно избегать использования одного и того же термина в различных значениях без соответствующего разграничения.

Это требование непосредственно связано с законом строгого тождества в гармонической логике.

1.6. Системы шкал ноометрологии

Не все характеристики нооинженерных объектов допускают одинаковые способы сравнения.

В первоначальном варианте предлагается различать несколько видов шкал.

Номинальная шкала предназначена для классификации объектов по установленным категориям.

Например, математические конструкции могут классифицироваться по типам операций.

Порядковая шкала устанавливает отношения упорядоченности.

Например, можно определить уровни готовности технической документации.

Количественная шкала позволяет представлять значения математически определённых величин.

Например, количество десятичных позиций выражается неотрицательным целым числом.

Шкала нормативных статусов фиксирует результаты процедур проверки.

Например, можно различать подтверждённое соответствие, установленное нарушение и отсутствие достаточных данных.

Однако последняя система не обязательно является порядковой шкалой.

Статусы «не проверено» и «требование неприменимо» нельзя произвольно расположить на одной оси качества.

Следовательно, при разработке шкалы необходимо устанавливать математические свойства её значений.

Особое значение имеет различие между классификационным кодом и количественной мерой.

Присвоение объекту номера категории ещё не означает, что арифметические действия с таким номером имеют содержательный смысл.

1.7. Точность как неоднозначный технический термин

Одной из центральных задач ноометрологии является разработка понятийного аппарата точности.

Однако термин «точность» используется в различных дисциплинах неодинаково.

В метрологии необходимо различать точность измерения и прецизионность измерений.

Первая связана с близостью результата к опорному значению, вторая — с согласованностью результатов повторных измерений при определённых условиях.

При этом метрологическая точность не должна автоматически выражаться количеством десятичных цифр.

В вычислительной математике могут использоваться иные характеристики.

Например, количество цифр после запятой определяет длину соответствующей записи.

А абсолютная погрешность характеризует различие между приближённым и точным значениями, если такое сравнение определено.

Следовательно, необходимо различать:

точность математического представления;

абсолютную и относительную погрешность;

вычислительную прецизионность;

неопределённость измерения;

разрешение технического средства;

допуск на отклонение результата;

нормативный класс представления.

Перечисленные характеристики могут быть взаимосвязаны, но не должны автоматически отождествляться.

Особенно важно это обстоятельство для авторской системы классов точности эксплицируемых математических объектов.

В ней термин «класс точности» имеет специальное нормативное значение, определяемое количеством десятичных позиций.

1.8. Классы точности эксплицируемых математических объектов

В авторской системе номер класса n определяет количество десятичных цифр после запятой посредством правила:

d(n) = 10^n.

Следовательно:

Класс n	Количество десятичных позиций d
1	10
2	100
3	1 000
4	10 000
5	100 000
6	1 000 000
12	10^12

Необходимо подчеркнуть, что класс n предусматривает именно 10^n цифр после десятичного разделителя.

Он не означает n цифр и не определяется количеством значащих цифр.

При этом соответствующее правило относится к конкретной системе конечной десятичной экспликации.

Оно не является универсальным определением математической точности.

Например, точное рациональное число 1/3 может быть однозначно задано посредством отношения целых чисел.

Однако его десятичное представление является бесконечной периодической записью.

Формирование конечного представления определённого класса требует дополнительного правила.

В частности, могут использоваться усечение или округление.

Следовательно, номер класса сам по себе не определяет единственное конечное числовое значение результата.

Для этого необходимо также установить исходный объект и процедуру экспликации.

Таким образом, авторская шкала представляет собой специальную нормативную систему классификации конечных математических представлений.

Её дальнейшее развитие предполагает разработку отдельных правил математических операций и межклассовых преобразований.

1.9. Точное математическое число и его конечная экспликация

Одним из важнейших принципов ноометрологии должно стать различие между исходным математическим объектом и его представлением.

Рассмотрим точное рациональное число:

x = 1/3.

При использовании первого класса и правила усечения получаем:

T_10(x) = 0,3333333333.

Однако:

1/3 ≠ 0,3333333333.

Разность составляет:

1/3 − 0,3333333333 = 1/30000000000.

Следовательно, конечное представление не является математически тождественным исходному рациональному числу.

При этом оно обладает определённым нормативным статусом.

Оно представляет собой завершённый результат установленной процедуры первого класса.

Необходимо различать два вида завершённости.

Математическая определённость исходного объекта означает, что объект задан в соответствующей системе.

Завершённость экспликации определённого класса означает, что фактически получено предусмотренное количество десятичных позиций согласно установленному правилу.

Второе не заменяет первое.

Следовательно, ноометрология должна учитывать не только количественные параметры записи, но и отношение представления к исходной математической предметности.

Особое значение имеет возможность документирования погрешности и правила получения результата.

Без таких сведений конечная запись может быть ошибочно принята за точное значение исходного объекта.

1.10. Абсолютная и относительная погрешность

Для математической оценки конечных представлений необходимо определить соответствующие характеристики погрешности.

Пусть x — точное математическое значение, а y — его приближение.

Тогда абсолютная погрешность определяется как:

Δ = |x − y|.

Если x ≠ 0, относительная погрешность может быть определена как:

δ = |x − y| / |x|.

Однако необходимо учитывать, что относительная погрешность не определена данной формулой при x = 0.

Поэтому для нулевого или близкого к нулю исходного значения могут потребоваться другие критерии.

Кроме того, если точное исходное значение неизвестно, непосредственное вычисление абсолютной погрешности может быть невозможно.

В таком случае используются оценки, границы или другие способы описания качества результата.

Следовательно, ноометрологическая процедура должна устанавливать, известна ли точная величина сравнения.

Особое значение приобретает различие между ошибкой вычисления и нормативно предусмотренной аппроксимацией.

Например, усечение 1/3 до десяти десятичных позиций приводит к ненулевой погрешности.

Однако такая погрешность является предусмотренным свойством выбранной процедуры.

Следовательно, наличие ненулевой погрешности не означает автоматического нарушения спецификации.

Необходимо исследовать, соответствует ли она установленным требованиям.

1.11. Математическая оценка операции усечения

Для более точного исследования рассмотрим операцию усечения по направлению к нулю:

T_d(x) = sgn(x) · floor(|x| · 10^d) / 10^d.

Здесь d означает количество десятичных позиций.

Для любого действительного числа x, для которого используются обычные арифметические операции и функция целой части, выполняется оценка:

|x − T_d(x)| < 10^(−d).

Для рациональных чисел данное свойство может быть получено посредством обычного деления с остатком.

Таким образом, если d = 10, абсолютная погрешность меньше:

10^(−10).

Однако это не означает, что фактическая погрешность каждого результата равна данной границе.

Например, для числа 1/8 представление первого класса:

0,1250000000

математически точно совпадает с исходным числом.

Следовательно, его абсолютная погрешность равна нулю.

Для числа 1/3 погрешность положительна.

Таким образом, одинаковое количество десятичных позиций не означает одинаковую фактическую погрешность различных представлений.

Следовательно, в системе ноометрологии необходимо раздельно фиксировать класс экспликации и математическую характеристику погрешности.

1.12. Округление и дополнительные нормативные требования

Наряду с усечением могут использоваться различные способы округления.

Однако термин «округление» сам по себе недостаточен для полной спецификации.

Необходимо определить:

• количество сохраняемых позиций;
• направление округления;
• правила обработки отрицательных чисел;
• порядок обработки граничных случаев;
• требуемую форму записи результата.

Например, округление до ближайшего значения может использовать разные правила при точном расположении исходного числа посередине между соседними допустимыми значениями.

Следовательно, без специального указания такие случаи могут порождать неоднозначность.

Для первого класса точности число π имеет следующие конечные представления:

при усечении:

3,1415926535;

при округлении до ближайшего значения:

3,1415926536.

Оба результата имеют десять цифр после запятой.

Однако они получены по различным правилам.

Следовательно, количество десятичных позиций не определяет самостоятельно характер выполненной математической операции.

Особое значение имеет возможность сопоставления соответствующих погрешностей.

Но для этого необходимо использовать точно определённые правила.

Таким образом, ноометрология должна включать отдельные спецификации операций формирования конечных представлений.

1.13. Неопределённость и неполнота сведений

Особую задачу составляет разграничение погрешности и неопределённости.

В метрологии неопределённость измерения характеризует разброс значений, которые могут быть обоснованно приписаны измеряемой величине на основании соответствующих данных.

Однако в математических вычислениях могут существовать другие виды неопределённости.

Например, точный рациональный объект может быть известен, но не полностью вычислено его десятичное представление определённого класса.

В таком случае отсутствует завершённый результат соответствующей процедуры.

Однако математический объект не становится вследствие этого неопределённым.

В другом случае может быть неизвестно точное значение исходной физически измеряемой величины.

Тогда результат математического вычисления зависит от неопределённости входных данных.

Следовательно, необходимо различать:

неопределённость измеренных исходных данных;

неполноту вычисленного представления;

погрешность математического приближения;

неопределённость семантической интерпретации;

недостаточность сведений для нормативной проверки.

Эти ситуации обладают различной природой.

Следовательно, для их описания нельзя использовать одну универсальную числовую величину без специального обоснования.

Особенно важно различать невозможность завершить вычисление в данной технической среде и невозможность математически определить соответствующий объект.

1.14. Допуск и нормативная допустимость

Одной из основных задач ноометрологии является разработка критериев допустимости.

Однако необходимо разграничить математическую погрешность и нормативный допуск.

Погрешность характеризует определённое различие значений.

Допуск устанавливает разрешённые пределы такого различия для конкретной задачи.

Например, можно сформулировать требование:

|x − y| ≤ ε,

где ε — нормативно установленный положительный предел абсолютной погрешности.

Однако данный критерий имеет смысл только при определении исходного объекта, приближённого значения и способа их сравнения.

Особое значение имеет вопрос о граничных случаях.

Если результат равен установленному пределу, необходимо определить, допускается ли такое равенство.

Следовательно, знак сравнения является существенной частью нормативного требования.

При работе с экспериментальными измерениями может потребоваться учитывать неопределённость результата и специально установленное правило принятия решения о соответствии.

В таком случае простое сравнение двух чисел без учёта соответствующей методологии может оказаться недостаточным.

Однако для точно вычисленных рациональных чисел задача может иметь чисто математический характер.

Следовательно, ноометрологическая теория должна различать формально вычисляемую допустимость и допустимость, определяемую на основании результатов измерений с неопределённостью.

1.15. Допустимость как контекстуальное отношение

Не всякая нооинженерная допустимость определяется количественным пределом.

Например, математическое выражение может быть допустимым относительно грамматики определённого формального языка.

Другая конструкция может соответствовать требованиям ноокариона.

Третья может быть допустимой для взаимодействия с конкретной внешней системой.

Следовательно, предлагается следующее рабочее определение.

Определение 1.2. Ноотехническая допустимость — установленное посредством определённой процедуры соответствие нооинженерного объекта, операции или состояния требованиям конкретного нормативного контекста.

Для первоначального описания можно использовать отношение:

Adm(O, C, R, P),

где:

• O — рассматриваемый объект;
• C — нормативный контекст;
• R — требование;
• P — процедура проверки.

Однако необходимо различать само отношение допустимости и сведения о его проверке.

Например, требование может фактически выполняться, хотя соответствующая проверка ещё не проведена.

Следовательно, статус «не проверено» не должен отождествляться со статусом «недопустимо».

Особое значение приобретает возможность использования различных нормативных систем.

Объект, не соответствующий требованиям одной системы, может быть корректным в другой.

Поэтому отрицательное заключение должно содержать указание конкретного нарушенного требования.

Таким образом, допустимость должна рассматриваться как контекстуально определённая характеристика, а не как универсальное свойство, автоматически устанавливаемое для всех возможных математических систем.

1.16. Семантические характеристики и ограничения количественной оценки

Особую трудность составляет разработка показателей смысловой определённости.

В традиционных технических системах многие характеристики допускают непосредственное измерение.

Однако смысловая определённость понятия не всегда может быть сведена к одному числу.

Например, можно подсчитать количество определённых терминов в документе.

Можно выявить случаи использования одного обозначения для различных понятий.

Можно установить наличие формальных правил интерпретации.

Однако такие количественные показатели не обязательно исчерпывают содержание семантической определённости.

Следовательно, ноометрология должна различать наблюдаемые признаки смысловой организации и саму исследуемую семантическую характеристику.

Особенно важно не вводить произвольные проценты осмысленности или математической истинности.

Если предлагается количественная шкала, необходимо определить её предмет и обосновать математические свойства соответствующих значений.

В некоторых случаях возможно использование экспертных оценок.

Однако тогда требуется указывать состав критериев, методику оценки и ограничения интерпретации полученных результатов.

Таким образом, развитие ноометрологии должно исключать создание видимости количественной строгости там, где соответствующие измерительные основания отсутствуют.

1.17. Ноометрологическая прослеживаемость

В традиционной метрологии метрологическая прослеживаемость связана с установленной цепью калибровок и соответствующими опорными величинами.

Однако применительно к нооинженерным объектам возникает более широкая задача нормативно-доказательственной прослеживаемости.

Она предполагает возможность установить происхождение характеристики, метод её определения и применённый критерий.

Например, для десятичного представления необходимо указать:

• исходное точное число;
• класс экспликации;
• количество позиций;
• правило формирования результата;
• полученное представление;
• математическое обоснование погрешности;
• нормативную редакцию;
• результаты проверки.

Однако такую цепь нельзя автоматически называть метрологической прослеживаемостью в смысле VIM.

Если процедура представляет собой точный математический расчёт, её основания отличаются от цепи калибровок физического измерительного прибора.

Следовательно, необходимо разграничить общую документальную прослеживаемость и специальную метрологическую прослеживаемость измерений.

При этом обе системы могут взаимодействовать.

Например, математическая обработка физических измерений требует учитывать как вычислительные правила, так и метрологические характеристики исходных данных.

1.18. Ноометрологический паспорт характеристики

Для практического применения предлагается разработать ноометрологический паспорт характеристики нооинженерного объекта.

В первоначальном варианте он должен включать:

1. идентификатор характеристики;
2. нормативную редакцию;
3. определение;
4. тип характеристики;
5. предмет и область применения;
6. используемую шкалу;
7. единицу или категорию значения;
8. способ определения;
9. условия получения результата;
10. критерии допустимости;
11. сведения о точности, погрешности или неопределённости, если они применимы;
12. доказательственные материалы;
13. историю изменений.

Для математических характеристик особое значение имеет возможность формального задания метода вычисления.

Для семантических характеристик — описание правил интерпретации.

Для нормативных статусов — установление процедуры принятия решения.

Таким образом, ноометрологический паспорт должен обеспечивать различение предметов оценки и методов получения соответствующих результатов.

В дальнейшем такая структура может стать основой специализированного проекта ноотехнического стандарта.

1.19. Пример ноометрологического паспорта первого класса экспликации

Рассмотрим условный объект:

НОО-ДПР-01 / класс 1 / правило усечения.

Его основные характеристики могут быть представлены следующим образом.

Характеристика	Нормативное значение
Исходная предметная область	Рациональные числа
Номер класса	n = 1
Количество десятичных позиций	d = 10
Правило формирования	Усечение по направлению к нулю
Формат результата	Ровно 10 позиций после запятой
Математическая граница погрешности	Меньше 10^(−10)
Допустимость отрицательных исходных значений	Предусмотрена
Правило представления завершающих нулей	Обязательно до установленной длины
Нормативный статус	Проектная спецификация
Статус программной реализации	Подлежит отдельному подтверждению

Данная таблица фиксирует характеристики проектируемой математической технологии.

Однако она не является отчётом о проведённых программных испытаниях.

Для подтверждения технической реализации необходимы соответствующие протоколы.

При этом математические свойства операции могут исследоваться независимо от наличия готового программного средства.

Следовательно, ноометрологический паспорт должен обеспечивать разделение нормативно заданных, математически доказанных и фактически испытанных характеристик.

1.20. Основные результаты главы

В настоящей главе предложено определение ноометрологии как формируемого направления нооинженерии.

Разграничены характеристики, величины, показатели, меры и критерии допустимости.

Предложена первоначальная классификация существенных характеристик нооинженерных объектов.

Рассмотрены основные виды шкал и ограничения их применения.

Особое внимание уделено различию между метрологической точностью, прецизионностью измерений, математической погрешностью и количеством десятичных позиций.

Исследована авторская шкала классов точности эксплицируемых математических объектов, в которой класс n предусматривает 10^n цифр после запятой.

Показана необходимость разграничения точного математического объекта и его конечного представления.

Рассмотрены абсолютная и относительная погрешность, неопределённость, допуск и нормативная допустимость.

Установлены ограничения количественной оценки смысловых характеристик.

Разграничены метрологическая и нормативно-доказательственная прослеживаемость.

Предложены первоначальная структура ноометрологического паспорта и конкретный пример его использования.

Таким образом, ноометрология рассматривается как система методов определения, оценки и нормативного контроля характеристик нооинженерных объектов, обеспечивающая переход от качественных описаний к формально обоснованным шкалам и процедурам сопоставления.

Однако для исследования сложных ноотопоценозов недостаточно оценивать характеристики отдельных объектов.

Необходимо также устанавливать их положение в определённых системах отношений.

Эта задача непосредственно связана с разработкой ноогеодезии, ноотопографии, ноокартографии и ноокадастров.

---

Глава 2. Ноогеодезия, ноотопография, ноокартография и ноокадастры

2.1. Проблема пространственной организации ментальных объектов

Нооинженерные экосистемы могут объединять множество различных объектов, популяций, нормативных систем и способов их взаимодействия.

Для исследования подобных конструкций необходимо определять не только индивидуальные характеристики объектов, но и отношения их принадлежности, зависимости, совместимости и положения внутри организованной системы.

В традиционной технической деятельности сходные по назначению задачи решаются средствами геодезии, топографии, картографии и кадастрового учёта.

Однако применение соответствующих понятий к ментальным объектам требует специальной методологической осторожности.

Математическая теория не обладает географическими координатами исключительно вследствие существования в определённой ноосреде.

А отношение между двумя понятиями не обязательно характеризуется пространственным расстоянием.

Следовательно, нооинженерия должна разрабатывать собственные системы локализации, отображения и регистрации объектов.

Для обозначения соответствующих направлений в настоящей монографии предлагается использовать термины ноогеодезия, ноотопография, ноокартография и ноокадастр.

Эти термины имеют технические эвристические прототипы.

Однако их научный статус должен определяться собственными понятиями, методами и результатами.

Главная задача состоит в переходе от образного представления о «пространстве знаний» к разработке нормативно определённых способов организации ментальных объектов в системе отношений.

2.2. Ноопространство как система отношений

Для первоначального исследования необходимо определить понятие ноопространства.

В настоящей монографии предлагается рассматривать его не как самостоятельное физическое пространство, а как нормативно организованную область размещения и сопоставления определённых ментальных объектов.

Определение 2.1. Ноопространство — заданная относительно определённого ноотопоценоза система объектов, отношений, классификаций и правил локализации, позволяющая устанавливать положения и связи нооинженерных конструкций в выбранной системе координат.

В таком понимании ноопространство не обязательно обладает геометрической природой.

В одной системе положение объекта может определяться его принадлежностью определённому классу.

В другой — отношениями зависимости от исходных понятий.

В третьей — местом в архитектуре математической теории.

В четвёртой — нормативной редакцией и функцией в определённом проекте.

Следовательно, необходимо различать структурное положение, семантическую локализацию и геометрическое изображение.

Особое значение имеет возможность существования нескольких различных систем локализации.

Один и тот же нооинженерный объект может иметь различные координатные описания.

Однако это не обязательно означает существование нескольких различных объектов.

Следовательно, теория ноопространств должна учитывать принцип полисистемности.

2.3. Предмет и определение ноогеодезии

В традиционной геодезии решаются задачи определения формы и размеров Земли, положения объектов и построения координатных оснований.

Для нооинженерии соответствующая аналогия может использоваться при разработке систем координат и правил взаимного положения ментальных объектов.

Предлагается следующее определение.

Определение 2.2. Ноогеодезия — направление нооинженерии, исследующее принципы, методы и технологии построения систем координат, опорных отношений и правил локализации нооинженерных объектов в определённых ноотопоценозах.

В данном определении особое значение имеют три функции.

Первая — создание нормативного координатного основания.

Вторая — установление способов задания положения объекта.

Третья — разработка правил преобразования координат между различными системами.

Однако необходимо подчеркнуть, что ноогеодезия не предполагает обязательного существования единого универсального семантического пространства.

Различные математические системы могут иметь собственные координатные основания.

Более того, некоторые из них могут не допускать полного взаимного преобразования.

Следовательно, ноогеодезия должна исследовать как локальные системы координат, так и условия их возможной соизмеримости.

Особое значение имеет разграничение координатной системы и объекта, локализуемого посредством её средств.

Координаты представляют собой способ нормативного описания положения объекта.

Они не обязательно являются внутренним свойством объекта, независимым от выбранной системы.

2.4. Ноогеодезическое основание

Для конкретной локализации необходимо установить исходную систему отношений.

Предлагается использовать понятие ноогеодезического основания.

Определение 2.3. Ноогеодезическое основание — совокупность нормативно определённых исходных объектов, отношений и правил, используемых для построения конкретной системы семантических координат.

В качестве таких оснований могут выступать:

• исходные понятия;
• классификационные структуры;
• системообразующие нормативные правила;
• отношения происхождения;
• архитектурные зависимости;
• функциональные категории;
• идентификаторы нормативных редакций.

Однако не всякая совокупность исходных объектов автоматически образует систему координат.

Для этого необходимо определить правила локализации и сравнения.

Например, классификация математических операций по их типам позволяет выделять определённые категории.

Но она не обязательно задаёт расстояния между такими категориями.

Следовательно, ноогеодезическое основание должно содержать собственную систему допустимых отношений.

Особое значение имеет возможность нормативного изменения соответствующего основания.

Если изменяется классификация, необходимо установить, какие ранее присвоенные координаты сохраняют свою интерпретацию.

Поэтому ноогеодезия должна быть непосредственно связана с управлением конфигурацией.

2.5. Предмет и определение ноотопографии

Ноогеодезия предназначена для построения координатных оснований.

Однако исследование конкретной структуры определённой области ноотопоценоза требует более детального описания.

Для этого предлагается использовать понятие ноотопографии.

Определение 2.4. Ноотопография — направление нооинженерии, исследующее методы детального описания и представления локальных структур, связей и нормативных характеристик объектов в установленных областях нооинженерного пространства.

Например, ноотопографическое исследование определённой математической теории может включать описание исходных понятий, аксиом, операций и доказательственных зависимостей.

В другом случае предметом становится локальная структура ноопопуляции.

В третьем — архитектура отдельного комплекса ноотехнических НИОКР.

Следовательно, ноотопография должна определяться относительно выбранного уровня детализации.

Особое значение имеет разграничение локального описания и общей теории системы.

Например, подробная схема одного математического доказательства не обязательно характеризует все отношения соответствующей теории.

Поэтому ноотопографический документ должен содержать сведения о рассматриваемой области.

Таким образом, ноотопография предназначена для формирования детальных локальных моделей, опирающихся на определённое ноогеодезическое основание.

2.6. Ноотопографическая единица

Для организации локального описания необходимо определить, какие объекты могут рассматриваться как самостоятельные единицы.

Предлагается использовать понятие ноотопографической единицы.

В первоначальном приближении она представляет собой нормативно идентифицируемый элемент определённой области ноотопоценоза, обладающий установленными связями с другими элементами.

Например, в математической теории такой единицей может выступать определение, аксиома, операция или теорема.

Однако универсального набора ноотопографических единиц для всех ментальных объектов не существует.

Для различных предметных областей необходимо разрабатывать собственные классификации.

Особенно важно установить отношения включения и зависимости.

Например, одна математическая теорема может использовать несколько определений и ранее доказанных положений.

Но это не означает, что соответствующие компоненты физически расположены рядом.

Следовательно, топографическое описание должно опираться на типизированные смысловые или конструктивные связи.

В отдельных случаях возможно построение графовой модели.

Однако конкретная математическая структура должна соответствовать предмету исследования.

2.7. Предмет и определение ноокартографии

Для наглядного представления сложных систем отношений возникает необходимость создания специальных карт.

Предлагается следующее определение.

Определение 2.5. Ноокартография — направление нооинженерии, исследующее методы построения, интерпретации и использования картографических представлений нооинженерных объектов, их отношений и состояний в определённых системах координат.

При этом ноокарта не обязательно представляет собой географическое изображение.

Она может иметь вид схемы, графа, матрицы, многоуровневой диаграммы или другого формально определённого представления.

Её назначение состоит в отображении определённых характеристик исследуемой системы.

Например, карта математической теории может показывать зависимости между исходными понятиями и доказанными положениями.

Карта ноопопуляции может отражать родственные отношения между объектами.

Карта нормативной экосистемы может представлять различные редакции и интерфейсы.

Однако необходимо учитывать, что любая карта является выборочным представлением.

Она может отображать одни отношения и не показывать другие.

Следовательно, ноокартография должна включать правила выбора отображаемых характеристик и описания ограничений соответствующего представления.

Особое значение имеет предотвращение ошибок интерпретации, возникающих вследствие визуального сходства.

Например, близость двух узлов на рисунке не обязательно означает семантическую близость соответствующих понятий.

Для такого вывода требуется отдельное определение используемого отношения.

2.8. Карта, модель и проекция

В ноокартографии необходимо различать моделируемую систему, её формальное описание и визуальное отображение.

Например, определённый ноотопоценоз может быть представлен типизированным графом.

Однако этот граф допускает различные способы графического изображения.

Одно изображение может подчёркивать иерархию.

Другое — функциональные связи.

Третье — историческое происхождение объектов.

Следовательно, визуальная форма не должна автоматически считаться самой структурой ноотопоценоза.

Особое значение имеет понятие проекции.

Под ней предлагается понимать определённое правило выделения и представления части характеристик исследуемой системы.

Однако термин «проекция» должен использоваться в соответствии с определённой математической моделью.

Например, если исходная система описана графом с несколькими типами отношений, можно построить представление, сохраняющее только отношения зависимости.

В таком случае другие связи оказываются исключёнными из данного изображения.

Следовательно, ноокарта должна содержать сведения о том, какие отношения сохранены, а какие не представлены.

Таким образом, картографическое изображение не должно рассматриваться как полная и универсальная замена исходной модели.

2.9. Предмет и определение ноокадастра

Для организации больших совокупностей нооинженерных объектов необходимо обеспечить их систематическую регистрацию.

В традиционной технической и административной практике подобные задачи решаются посредством различных реестров и кадастров.

Однако нооинженерный кадастр имеет самостоятельный предмет.

Предлагается следующее определение.

Определение 2.6. Ноокадастр — нормативно организованная система регистрации, классификации, идентификации и документирования нооинженерных объектов, их характеристик, координатных описаний и отношений.

В данном определении необходимо различать кадастровую регистрацию и установление математического существования объекта.

Включение математической конструкции в реестр не является доказательством её корректности.

А отсутствие объекта в определённом реестре не означает невозможности его существования в соответствующей математической системе.

Следовательно, ноокадастр должен рассматриваться прежде всего как инженерный инструмент организации информации.

Особое значение имеет возможность регистрации нескольких нормативных редакций.

Например, одна математическая система может иметь несколько параллельно существующих вариантов.

Они должны обладать самостоятельными идентификаторами.

При этом необходимо сохранять отношения их происхождения и возможной совместимости.

Таким образом, ноокадастр должен обеспечивать документирование исторической и нормативной полисистемности.

2.10. Разграничение ноокадастра, реестра и архива

Для научной определённости необходимо разграничить несколько видов информационной организации.

Реестр представляет собой структурированный перечень объектов с установленными характеристиками.

Архив предназначен для долговременного сохранения документов, редакций и результатов.

Ноокадастр предполагает не только регистрацию, но и систематическое описание положения объектов в определённых классификационных и координатных структурах.

Однако данные функции могут реализовываться в единой технической системе.

Например, ноокадастр может содержать ссылки на архивные нормативные документы.

При этом сами документы могут храниться отдельно.

Особое значение имеет различие между идентификатором объекта и его координатным описанием.

Идентификатор предназначен для установления определённой сущности.

Координаты характеризуют её положение относительно выбранного основания.

Следовательно, один объект может сохранять свой идентификатор при изменении координатной системы.

Но в случае фундаментальной нормативной реконструкции может потребоваться создание нового объекта или новой редакции.

Соответствующее решение должно определяться специальными правилами.

Таким образом, ноокадастр должен поддерживать раздельное управление идентичностью, локализацией и историей изменения.

2.11. Ноолокация: предмет и определение

Для исследования положения нооинженерных объектов в определённых системах предлагается использовать понятие ноолокации.

Определение 2.7. Ноолокация — нормативно определённая процедура установления положения, принадлежности или отношения нооинженерного объекта к заданной области ноотопоценоза посредством выбранной системы координат.

В таком понимании ноолокация может иметь различные формы.

Например, объект может быть локализован посредством его видовой принадлежности.

Другой — через определённое место в архитектуре математической теории.

Третий — через отношение к конкретному ноогеному.

Четвёртый — через нормативную редакцию и систему интерфейсов.

Однако следует различать идентификацию и локализацию.

Идентификация устанавливает, о каком объекте идёт речь.

Локализация описывает его положение в определённой системе отношений.

Например, математическое число 1/3 может быть идентифицировано как точное рациональное число.

Но его положение в конкретной системе классов десятичных представлений определяется дополнительными нормативными отношениями.

Следовательно, ноолокация предполагает наличие объявленной системы координат.

Без неё выражение «положение объекта» остаётся недостаточно определённым.

2.12. Первоначальная модель ноопространственной организации

Для описания локализации предлагается использовать следующую вспомогательную модель:

E[v] = ⟨O, R, C, L, P⟩,

где:

• E[v] — ноотопоценоз в нормативной редакции v;
• O — совокупность зарегистрированных объектов;
• R — типизированные отношения между объектами;
• C — системы координат;
• L — правила локализации;
• P — нормативные паспорта и другие регистрационные сведения.

Данная схема является первоначальной.

Она не предполагает, что все ноотопоценозы обладают одной универсальной математической структурой.

Для определённых систем могут использоваться множества, графы, формальные онтологии, типизированные базы данных или другие модели.

Особое значение имеет определение отношений.

Например, отношение «использует понятие» не тождественно отношению «принадлежит классу».

А отношение конструктивного происхождения отличается от отношения математического равенства.

Следовательно, все существенные связи должны иметь нормативно определённые типы.

При этом необходимо учитывать, что одна и та же система может допускать несколько координатных представлений.

Таким образом, ноопространственная модель должна поддерживать множественность способов локализации.

2.13. Семантические координаты

Одним из основных средств ноолокации являются семантические координаты.

Под ними предлагается понимать нормативно установленные характеристики, позволяющие определить положение объекта в определённой системе смысловых и конструктивных отношений.

Например, для математической операции соответствующее описание может включать:

• предметную область;
• используемую математическую систему;
• тип операции;
• нормативную редакцию;
• класс допустимых объектов;
• функциональное назначение;
• отношения зависимости;
• условия использования.

Однако перечисленные характеристики не обязательно представляют собой числовые координаты.

Они могут быть категориальными, реляционными или функциональными.

Следовательно, понятие координат здесь используется в специальном нормативном смысле.

Если же предполагается создание математического координатного пространства с определённой размерностью, необходимо отдельно установить соответствующую формальную структуру.

Например, наличие нескольких категориальных признаков не означает автоматического существования евклидовой метрики.

Поэтому расстояние между объектами не должно вычисляться без обоснованного определения такой операции.

Таким образом, семантические координаты необходимо рассматривать как систему нормативно определённой локализации, математическая структура которой зависит от предметной области.

2.14. Отношения соседства и семантической близости

В некоторых нооинженерных задачах возникает необходимость исследовать отношения близости между объектами.

Однако необходимо различать несколько возможных оснований такой близости.

Классификационная близость может характеризоваться принадлежностью к общему классу.

Структурная близость — сходством архитектурной организации.

Функциональная близость — общностью выполняемых задач.

Генетическая близость — наличием определённой конструктивной преемственности.

Нормативная близость — сходством используемых правил и требований.

При этом нельзя считать, что названные отношения обязательно совпадают.

Например, две математические системы могут обладать сходной функциональностью, но использовать различные аксиоматические основания.

В другом случае родственные системы могут существенно отличаться по современной архитектуре.

Следовательно, семантическая близость должна определяться относительно установленного критерия.

Если требуется количественное выражение, необходимо разработать специальную функцию или метрику.

Однако не всякая функция сходства является математической метрикой.

Для последней должны выполняться соответствующие аксиоматические требования.

Таким образом, ноотопография должна различать качественное отношение близости и формально определённое расстояние.

2.15. Межсистемная ноогеодезия

Принцип полисистемности предполагает существование различных нооинженерных систем со своими координатными основаниями.

Следовательно, возникает задача разработки способов преобразования координат.

Например, определённая математическая система может классифицировать объекты по их точному числовому значению.

Другая — по нормативным классам конечных представлений.

Третья — по конструктивным правилам их формирования.

В таком случае непосредственное совпадение обозначений не обеспечивает полной семантической совместимости.

Необходимо разработать специальные отношения сопоставления.

Особое значение имеет возможность частичных преобразований.

Например, определённая координатная характеристика одной системы может не иметь точного аналога в другой.

Следовательно, преобразование может сохранять лишь часть исходной информации.

Поэтому межсистемная ноогеодезия должна включать описание сохраняемых и утрачиваемых характеристик.

При этом необходимо различать наличие преобразования и его обратимость.

В отдельных случаях переход возможен только в одном направлении.

Следовательно, нельзя автоматически предполагать существование взаимно-однозначного соответствия между различными координатными системами.

2.16. Пример координатной организации математических представлений

Рассмотрим точное рациональное число:

x = 1/3.

В системе рациональной арифметики оно определяется как отношение двух целых чисел.

В системе конечных десятичных представлений объект может участвовать в различных нормативных отношениях.

Например, для первого класса при усечении получаем:

0,3333333333.

Для второго класса предусматривается уже сто десятичных позиций.

Следовательно, соответствующие представления могут принадлежать различным нормативным классам.

При этом необходимо различать:

исходный математический объект — 1/3;

систему представления — конечные десятичные записи;

класс точности — установленное количество позиций;

правило формирования — усечение;

конкретный результат — завершённая запись соответствующего класса.

Такая система характеристик может использоваться в качестве первоначального координатного описания.

Однако она не означает, что рациональное число 1/3 изменяется при переходе от одного класса к другому.

Изменяются способы его конечной экспликации.

Следовательно, ноогеодезическая модель должна поддерживать связь нескольких представлений с одним исходным математическим объектом.

2.17. Межклассовое отображение и потеря информации

Рассмотрим переход между десятичными представлениями различных классов.

Пусть первое представление содержит десять позиций.

Второе — сто.

При одинаковом правиле усечения можно определить преобразование длинного представления в короткое.

Однако обратный переход требует дополнительной информации.

Например, десятизначная запись:

0,3333333333

не позволяет однозначно установить все последующие десятичные цифры исходного числа.

Она может быть результатом усечения различных точных объектов.

Следовательно, отображение из более высокого класса в более низкий в общем случае не является взаимно-однозначным.

Такое преобразование теряет часть информации.

Однако необходимо различать потерю сведений о представлении и изменение математического статуса исходного объекта.

Точное число может сохраняться в отдельной системе идентификации.

Если оно доступно, недостающие позиции могут быть получены посредством нового вычисления.

Следовательно, межклассовый интерфейс должен фиксировать, сохраняется ли исходный точный объект.

Таким образом, ноокартографическое и кадастровое представление должно учитывать информационную полноту и ограничения координатных преобразований.

2.18. Ноокадастровая запись математического объекта

Для практической регистрации можно предложить первоначальный формат кадастровой записи.

Рассмотрим условный объект:

НОО-ДПР-01 / рациональное число 1/3 / представление класса 1.

Его регистрационные характеристики могут быть следующими.

Поле	Содержание
Идентификатор записи	Условный уникальный код
Ноотопоценоз	Система нормативных математических представлений
Исходный объект	Точное рациональное число 1/3
Тип представления	Конечная десятичная запись
Номер класса	n = 1
Количество позиций	d = 10
Правило формирования	Усечение
Результат	0,3333333333
Нормативная редакция	Проект 1.0
Отношение к исходному числу	Конечное приближение
Связанная спецификация	НОО-ДПР-01
Проверка	Требует ссылки на соответствующий протокол

При этом данная запись носит иллюстративный характер.

Она не означает фактического существования утверждённого ноокадастра.

Особое значение имеет связь с исходным объектом.

Без неё конечная запись могла бы быть зарегистрирована как самостоятельное рациональное число, не содержащее сведений о своей роли в экспликации 1/3.

Следовательно, кадастровая система должна поддерживать типизированные отношения между объектами и их представлениями.

2.19. Ноокартографирование нормативных состояний

Важной задачей является визуальное представление развития математических систем.

Предположим, что исходная нормативная редакция предусматривает усечение десятичных представлений.

На её основе создаётся новая редакция, использующая округление.

Вместе с тем может существовать третья система, предназначенная для работы с более высокими классами точности.

Соответствующие отношения могут быть представлены в виде графа нормативного происхождения.

Однако необходимо различать:

• отношение происхождения;
• отношение совместимости;
• отношение математической эквивалентности;
• отношение функционального сходства.

Наличие общего предшественника не означает автоматической математической эквивалентности производных систем.

Следовательно, ноокарта должна использовать разные типы связей.

Особое значение имеет возможность указания нормативных редакций.

Если карта не содержит соответствующих сведений, она может ошибочно объединять объекты, существующие в разных системах координат.

Таким образом, ноокартографирование должно обеспечивать не только наглядность, но и нормативную определённость отображаемых отношений.

2.20. Ноогеодезия, ноотопография и ноостандартизация

Для практического применения рассмотренных направлений требуется разработка единой системы нормативных требований.

В частности, необходимо определить правила формирования координатных оснований.

Затем — типы допустимых локализационных отношений.

Далее требуется установить форматы ноотопографических описаний.

Особое место занимает разработка требований к ноокартам.

Необходимо фиксировать, какие характеристики они представляют и какие сведения исключены из изображения.

Для ноокадастров потребуется создать систему идентификаторов и регистрационных записей.

Однако указанные документы должны учитывать различие предметных областей.

Например, математический объект, научная теория и проект ноотехнической НИОКР могут требовать различных координатных профилей.

Следовательно, система ноостандартизации должна предусматривать общие принципы и специализированные формы.

Особое значение приобретает возможность машинной обработки соответствующих данных.

Для этого необходимы формальные типы объектов и отношений.

Однако наличие информационной системы не заменяет математического обоснования используемых координатных преобразований.

2.21. Основные результаты главы

В настоящей главе предложены рабочие определения ноопространства, ноогеодезии, ноотопографии, ноокартографии, ноокадастра и ноолокации.

Разграничены физическое пространство и нормативно организованная система отношений между ментальными объектами.

Рассмотрены принципы построения ноогеодезических оснований.

Установлено значение локальных систем координат и принципа полисистемности.

Предложена первоначальная формальная модель ноопространственной организации.

Разработаны исходные положения о семантических координатах.

Показана необходимость разграничения идентификации и локализации объекта.

Исследованы отношения структурной, функциональной, генетической и нормативной близости.

Особое внимание уделено ограничениям межсистемных преобразований.

На примере математических представлений различных классов продемонстрирована возможность потери информации при переходе от более длинной конечной записи к более короткой.

Предложен первоначальный формат ноокадастровой записи математического объекта.

Рассмотрены принципы картографирования нормативных состояний и отношений происхождения.

Таким образом, ноогеодезия, ноотопография, ноокартография и ноокадастры рассматриваются как взаимосвязанные направления разработки систем локализации, описания, отображения и регистрации нооинженерных объектов в нормативно организованных экосистемах.

Однако для их практического применения необходимо разработать конкретные системы координат и установить правила паспортизации соответствующих исследовательских проектов.

Этой задаче посвящена следующая глава.

---

Глава 3. Системы координат ноотопоценозов и паспортизация ноотехнических НИОКР

3.1. Проблема координатной определённости нооинженерных проектов

Развитие нооинженерии предполагает возможность создания множества различных математических, логических, семантических и технических систем.

При этом каждый проект может обладать собственной предметной областью, системой определений, нормативной редакцией и архитектурой.

Следовательно, возникает задача обеспечения координатной определённости соответствующих объектов.

Например, одно математическое понятие может использоваться в нескольких различных теориях.

Однако совпадение его обозначения не обязательно означает тождества содержания.

А определённый вычислительный результат может иметь различный нормативный статус в разных системах представления.

Следовательно, необходимо установить способы идентификации нормативного контекста каждого существенного объекта.

Особое значение приобретает организация ноотехнических НИОКР.

Такие работы могут включать создание новых понятий, операций, алгоритмов и математических систем.

В процессе исследования соответствующие конструкции изменяются.

Могут возникать альтернативные редакции и независимые направления разработки.

Следовательно, для обеспечения научной и инженерной определённости требуется система координат и связанных с ними паспортов.

При этом необходимо различать собственно координатизацию объектов и административную регистрацию проектов.

Эти задачи взаимосвязаны, но обладают различным содержанием.

3.2. Система координат ноотопоценоза

Предлагается следующее рабочее определение.

Определение 3.1. Система координат ноотопоценоза — нормативно определённая система признаков, отношений и правил, предназначенная для локализации и сопоставления нооинженерных объектов внутри соответствующей экосистемы.

В данном определении существенны несколько обстоятельств.

Во-первых, координаты всегда определяются относительно конкретного основания.

Во-вторых, должна существовать процедура их присвоения или установления.

В-третьих, необходимо определить условия интерпретации координат.

В-четвёртых, должна существовать возможность сопоставления объектов по заранее установленным правилам.

Однако система координат не обязательно должна обладать обычной числовой формой.

Например, положение математического объекта может характеризоваться типом, принадлежностью определённой теории, нормативной редакцией и системой отношений.

Такие характеристики могут быть категориальными.

Следовательно, для нооинженерии необходимо различать семантические координатные описания и математические координатные пространства.

Если требуется использовать геометрические методы, необходимо отдельно определить соответствующие структуры.

Особенно важно не считать наличие условного адреса доказательством существования естественной метрики между ментальными объектами.

3.3. Локальные координаты и принцип полисистемности

Одним из фундаментальных принципов предлагаемой нооинженерии является возможность одновременного существования различных систем понятий, математических объектов и операций.

Следовательно, система координат ноотопоценоза не должна автоматически рассматриваться как универсальная для всех возможных интеллектуальных конструкций.

Например, одна математическая система может классифицировать объекты по точным числовым значениям.

Другая — по нормативным классам их конечных представлений.

Третья — по конструктивным правилам получения соответствующих объектов.

Все перечисленные системы могут использовать различные координатные основания.

При этом необходимо разграничивать их предметные области.

Например, один объект может иметь координатное описание в рациональной арифметике и другое — в системе технологий десятичной экспликации.

Однако соответствующие координаты не обязательно взаимозаменяемы.

Следовательно, нооинженерная координатизация должна предусматривать возможность множественной локализации объекта.

При этом необходимы специальные правила сопоставления различных описаний.

Особое значение имеет предотвращение неявного смешения координатных систем.

Если определённое обозначение имеет различные значения в разных системах, необходимо явно указывать соответствующий контекст.

Таким образом, полисистемность предполагает множественность координатных оснований при сохранении нормативной определённости каждого из них.

3.4. Координатный контекст

Для практического использования предлагается ввести понятие координатного контекста.

Определение 3.2. Координатный контекст — совокупность нормативных сведений, необходимых для правильной интерпретации положения определённого нооинженерного объекта в выбранной системе координат.

В первоначальном варианте координатный контекст может включать:

• идентификатор ноотопоценоза;
• идентификатор координатной системы;
• её нормативную редакцию;
• предметную область;
• типы допустимых объектов;
• систему классификационных отношений;
• правила интерпретации координат;
• сведения об используемых интерфейсах.

При этом необходимо различать координатный контекст и координаты конкретного объекта.

Первый определяет общие правила.

Вторые характеризуют положение отдельной конструкции.

Следовательно, присвоение координат возможно только после установления соответствующего контекста.

Особое значение приобретает возможность сохранения исторических редакций.

Если координатная система изменяется, прежние значения должны сохранять возможность интерпретации относительно исходных правил.

Таким образом, координатный контекст становится одним из основных средств обеспечения исторической и нормативной определённости ноотопоценозов.

3.5. Первоначальная формальная схема координатного описания

Для практического исследования предлагается следующая модель:

K_C(O) = ⟨I, T, N, V, P, R⟩,

где:

• K_C(O) — координатное описание объекта O в системе C;
• I — идентификатор объекта;
• T — его нормативный тип;
• N — принадлежность определённой ноосреде или подсистеме;
• V — нормативная редакция;
• P — положение в принятой классификационной или архитектурной структуре;
• R — существенные отношения с другими объектами.

Данная схема представляет собой первоначальный формат регистрационного координатного описания.

Она не является завершённой универсальной математической системой координат.

Для отдельных предметных областей могут потребоваться другие компоненты.

Например, математическая теория может иметь сложную структуру доказательственных зависимостей.

Но отдельное рациональное число может не требовать подобного описания.

Поэтому координатная модель должна иметь специализированные профили.

Особенно важно, что не все её компоненты обязаны иметь числовую форму.

Следовательно, соответствующее описание нельзя автоматически считать точкой евклидова пространства.

Для введения метрических отношений требуется самостоятельное математическое обоснование.

3.6. Идентификатор и координата

Одной из важнейших задач является разграничение идентификатора объекта и его координат.

Идентификатор предназначен для однозначного указания определённой сущности в установленной системе регистрации.

Координаты характеризуют её положение относительно выбранных отношений.

Например, математический объект может сохранять идентификатор при изменении способа его классификации.

В другом случае новая нормативная редакция может получать самостоятельный идентификатор.

При этом она сохраняет отношение происхождения от исходной конструкции.

Следовательно, необходимо разработать правила управления идентичностью.

Особое значение имеет различие между именем и идентификатором.

Одно понятие может иметь несколько допустимых наименований.

Но одинаковое слово может использоваться для обозначения разных понятий.

Поэтому идентификация не должна основываться исключительно на текстовом совпадении названий.

В качестве технического средства могут использоваться уникальные регистрационные коды.

Однако такой код не заменяет семантического определения объекта.

Следовательно, система нооинженерной регистрации должна обеспечивать связь идентификаторов с соответствующими нормативными паспортами.

3.7. Семантические координаты понятий

Особое значение имеет возможность локализации понятий внутри определённых математических и логических систем.

Для этого могут использоваться различные признаки.

Например:

Предметная принадлежность — определённая математическая или логическая теория.

Нормативный статус — исходное, производное или специальное понятие.

Содержательная характеристика — установленное определение.

Объёмная характеристика — класс объектов, подпадающих под соответствующее понятие в данной системе.

Структурные отношения — зависимости от других понятий.

Функциональные отношения — роль понятия в определённой системе операций.

Однако необходимо учитывать терминологическую специфику гармонической логики автора.

В ней категории содержания, объёма и состава понятия имеют собственное теоретическое значение.

Следовательно, их использование в координатной системе должно соответствовать исходным определениям.

Нельзя автоматически отождествлять гносеологический состав понятия со списком ссылок в информационной системе.

Вместе с тем структурированные реестры могут использоваться как технические средства представления соответствующих отношений.

Таким образом, координатизация понятий предполагает согласование логико-методологических оснований с конкретными информационными технологиями.

3.8. Координаты математических объектов и их представлений

Особенно важно разграничивать координаты точных математических объектов и координаты их конечных представлений.

Рассмотрим рациональное число:

1/3.

В системе рациональной арифметики оно может иметь идентификатор, связанный с точным математическим значением.

Однако в системе десятичной экспликации возникают самостоятельные представления.

Например, для первого класса при усечении:

0,3333333333.

Для второго класса предусматривается сто десятичных позиций.

Следовательно, соответствующие представления различаются по своим нормативным характеристикам.

Однако они связаны одним исходным математическим объектом.

Поэтому предлагается разграничить:

координаты исходного математического объекта;

координаты системы представления;

координаты класса экспликации;

координаты конкретного результата;

координаты нормативной редакции.

Данное разграничение особенно важно при создании машинно-обрабатываемых ноокадастров.

Иначе существует опасность регистрации конечного приближения как полностью тождественного исходному числу.

Следовательно, связи между объектами и их представлениями должны обладать собственными нормативно определёнными типами.

3.9. Межкоординатные преобразования

При существовании различных систем координат возникает необходимость исследования допустимых преобразований между ними.

Для первоначального описания можно использовать отношение:

F_AB: C_A → C_B,

где:

• C_A — исходная система координат;
• C_B — целевая система;
• F_AB — преобразование координат или их соответствий.

Однако данная запись не означает автоматического существования полной функции для всех объектов.

В отдельных случаях преобразование может быть частичным.

В других — многозначным.

В третьих оно может сохранять только определённые характеристики.

Например, представление второго класса точности может быть преобразовано в представление первого класса посредством усечения.

Но обратное преобразование не позволяет во всех случаях восстановить отсутствующие цифры исходного числа.

Следовательно, преобразование не является взаимно-однозначным.

Особое значение имеет необходимость указания сохраняемых математических свойств.

Например, определённое отображение может сохранять порядок, но не сохранять все арифметические операции.

Поэтому корректность межкоординатного преобразования должна исследоваться относительно конкретной спецификации.

Таким образом, разработка интерфейсов должна включать анализ информационных потерь, ограничений и возможных изменений нормативного смысла.

3.10. Ноолокация и исторические редакции

Нооинженерные объекты могут изменяться в процессе развития соответствующих систем.

Поэтому их координатные описания должны учитывать нормативные редакции.

Например, определённая математическая операция может сохранять своё название после изменения исходного правила.

Если соответствующие редакции не разграничены, возникает риск неявной подмены математического содержания.

Следовательно, каждая существенная координатная запись должна содержать сведения о нормативном состоянии.

Особое значение имеет возможность локализации объекта в исторически определённой редакции.

Например, исследователь должен иметь возможность установить, в какой системе координат использовалось определённое понятие при построении конкретного доказательства.

При этом современные классификации не должны автоматически заменять исторические значения.

Следовательно, необходимо сохранять сведения о прежних нормативных основаниях.

Таким образом, ноолокация должна быть не только структурной, но и историко-конфигурационной.

Это положение непосредственно связано с возможностью критической реконструкции математического знания.

3.11. Ноотехническая НИОКР как объект координатизации

Научно-исследовательские и опытно-конструкторские работы представляют собой сложные организованные системы ментальных объектов.

Они включают проблемы, гипотезы, определения, требования, модели, алгоритмы, результаты и нормативные документы.

Следовательно, сама НИОКР может рассматриваться как самостоятельный нооинженерный объект.

Для её исследования необходимо определить координатное положение в соответствующем ноотопоценозе.

Например, проект может относиться к математической инженерии.

Внутри неё — к технологиям конечной десятичной экспликации.

В пределах указанного направления он может включать определённые классы точности и правила представления.

Следовательно, проект обладает несколькими уровнями координатной определённости.

Особое значение имеет связь между проектом и создаваемыми им объектами.

Например, одна НИОКР может приводить к появлению нескольких самостоятельных нормативных спецификаций.

И наоборот, один математический объект может исследоваться в различных проектах.

Поэтому нельзя автоматически отождествлять идентификатор проекта и идентификатор создаваемого объекта.

Следовательно, для ноотехнических НИОКР необходима специализированная система паспортизации.

3.12. Предмет и определение паспортизации ноотехнических НИОКР

Предлагается следующее определение.

Определение 3.3. Паспортизация ноотехнических НИОКР — нормативно организованный процесс идентификации, координатизации, описания и документирования исследовательских проектов, их объектов, требований, результатов, доказательственных оснований и конфигурационных состояний.

В данном определении существенны несколько функций.

Первая — регистрация конкретного проекта.

Вторая — определение его предметной области и нормативной системы координат.

Третья — описание исходных задач и исследовательских оснований.

Четвёртая — установление состава разрабатываемых объектов.

Пятая — документирование применяемых методов.

Шестая — регистрация результатов.

Седьмая — фиксация их доказательственного статуса.

Восьмая — сохранение истории изменений.

Следовательно, паспорт НИОКР должен рассматриваться не только как административный документ.

Он представляет собой средство обеспечения научной и инженерной определённости проекта.

Однако наличие паспорта не гарантирует математической корректности соответствующих результатов.

Для этого необходимы самостоятельные процедуры проверки.

Таким образом, паспортизация должна обеспечивать связь между исследовательской деятельностью и её доказательственными основаниями.

3.13. Структура ноотехнического паспорта НИОКР

Для первоначальной стандартизации предлагается следующая структура.

Раздел 1. Идентификация проекта.

Наименование, код, нормативная редакция и сведения о статусе.

Раздел 2. Ноолокация.

Координатная принадлежность проекта определённому ноотопоценозу и предметной области.

Раздел 3. Исходная исследовательская проблема.

Формулировка задачи и оснований разработки.

Раздел 4. Исходные определения.

Используемые понятия, математические и логические системы.

Раздел 5. Цели и требования.

Система ожидаемых научных и инженерных результатов.

Раздел 6. Объекты исследования и разработки.

Реестр соответствующих ментальных конструкций.

Раздел 7. Методы.

Используемые математические, логические, вычислительные и конструкторские процедуры.

Раздел 8. Архитектура проекта.

Состав работ, отношения между компонентами и основные функциональные процессы.

Раздел 9. Результаты.

Полученные определения, модели, доказательства, алгоритмы и другие продукты.

Раздел 10. Проверки.

Верификация, валидация, испытания и экспертные заключения.

Раздел 11. Ноометрологические характеристики.

Показатели качества, воспроизводимости и других существенных свойств.

Раздел 12. Конфигурация.

Нормативные редакции, отношения происхождения и история изменений.

Раздел 13. Ограничения.

Неисследованные свойства, ресурсные ограничения и известные риски.

Раздел 14. Итоговый статус.

Оценка завершённости работ относительно утверждённого задания.

Однако указанная структура представляет собой первоначальный проект.

Она должна конкретизироваться применительно к различным видам ноотехнических НИОКР.

3.14. Координатный паспорт проекта

Для практической ноолокации предлагается создать специальную часть паспорта, содержащую координатные характеристики.

В первоначальном варианте они могут включать:

Координатная характеристика	Назначение
Идентификатор ноотопоценоза	Определяет общую экосистемную принадлежность
Идентификатор ноосреды	Устанавливает локальный нормативный контекст
Предметная область	Характеризует объект исследования
Класс НИОКР	Разграничивает виды исследовательских и конструкторских работ
Нормативная редакция	Фиксирует конкретное состояние проекта
Тип исходных объектов	Устанавливает математическую или семантическую предметность
Тип предполагаемого результата	Определяет назначение разработки
Связанные проекты	Фиксирует отношения происхождения и использования
Связанные спецификации	Обеспечивает нормативную прослеживаемость
Связанные проверки	Обеспечивает доказательственную прослеживаемость

Однако необходимо учитывать, что данная таблица содержит преимущественно категориальные и реляционные характеристики.

Она не определяет числовое расстояние между проектами.

Для такой задачи потребовалась бы самостоятельная формальная модель.

Следовательно, координатный паспорт не должен смешиваться с геометрической картой.

Его основная функция — обеспечение нормативно определённой локализации проекта.

3.15. Пример паспорта НИОКР НОО-ДПР-01

Рассмотрим ранее введённый условный проект:

НОО-ДПР-01 — «Система нормативной десятичной экспликации рациональных чисел».

Его первоначальная координатная характеристика может быть представлена следующим образом.

Ноотопоценоз: система нооинженерных математических технологий.

Ноообласть: математическая инженерия.

Специализированное направление: технологии представления числовых объектов.

Исходная предметность: точные рациональные числа.

Объект разработки: система формирования конечных десятичных представлений.

Нормативная шкала: классы точности экспликации.

Правило определения класса: d = 10^n.

Правило формирования результата: усечение по направлению к нулю.

Нормативная редакция: проект 1.0.

Предполагаемый результат НИР: математическая спецификация и исследование её свойств.

Предполагаемый результат ОКР: опытная техническая реализация соответствующей процедуры.

Статус математической модели: отдельные свойства могут быть обоснованы формально.

Статус опытной реализации: требует фактического создания и испытания.

Статус нормативного документа: исследовательский проект.

При этом необходимо подчеркнуть, что приведённый паспорт представляет собой образец заполнения.

Он не является свидетельством завершения всех предусмотренных НИОКР.

Для такого заключения необходимы соответствующие результаты и доказательственные материалы.

Следовательно, паспорт должен разграничивать проектные намерения и фактически подтверждённые достижения.

3.16. Прослеживаемость требований и результатов

Одной из центральных задач паспортизации является установление связей между требованиями и результатами.

Например, проект может содержать требование:

«Завершённое представление первого класса должно содержать ровно десять цифр после запятой».

Для его выполнения необходимо определить архитектурный компонент.

Затем — процедуру формирования соответствующей записи.

После этого требуется разработать контрольную методику.

Наконец, необходимо зарегистрировать фактически полученный результат проверки.

Таким образом, возникает цепь:

Требование → конструктивное решение → процедура → результат → проверка → нормативное заключение.

Однако необходимо учитывать, что наличие такой цепи в информационной системе ещё не гарантирует корректности всех её элементов.

Например, ссылка на протокол не означает, что испытание действительно подтвердило требование.

Поэтому паспорт должен содержать сведения о доказательственном содержании соответствующих документов.

Особое значение приобретает возможность автоматизированного анализа связей.

В дальнейшем она может использоваться для выявления требований, не обеспеченных конструктивными решениями или процедурами проверки.

Таким образом, паспортизация должна поддерживать доказательственно ориентированную прослеживаемость.

3.17. Паспорт математического результата

Наряду с паспортом проекта может потребоваться самостоятельная регистрация конкретных математических результатов.

Например, при выполнении проекта НОО-ДПР-01 может быть получено конечное представление:

0,3333333333.

Однако для его правильной интерпретации необходимо указать исходный объект.

В рассматриваемом случае:

x = 1/3.

Кроме того, требуется зафиксировать класс, количество позиций, правило усечения и нормативную редакцию.

Следовательно, паспорт результата должен включать:

идентификатор результата;

идентификатор исходного математического объекта;

нормативную систему координат;

класс экспликации;

правило формирования;

фактическую запись;

математическое отношение к исходному объекту;

сведения о проверке;

отношение к конкретной НИОКР.

Особое значение имеет различие между математическим доказательством свойства процедуры и проверкой конкретного результата.

Для последнего необходимо установить, что данная запись действительно получена по предусмотренным правилам.

Таким образом, паспорт результата должен обеспечивать воспроизводимость и контекстуальную определённость математической экспликации.

3.18. Кадастровые связи НИОКР

Ноотехнические НИОКР могут быть связаны между собой различными отношениями.

Например, один проект может использовать математическую модель, разработанную в другом.

Второй может представлять собой расширение первого.

Третий — альтернативную конструктивную ветвь.

Четвёртый — работу по разработке интерфейса между двумя независимыми системами.

Следовательно, необходима система регистрации отношений происхождения и использования.

Однако необходимо различать такие связи.

Отношение использования означает применение определённого результата.

Отношение происхождения характеризует конструктивную преемственность.

Отношение расширения связано с добавлением новых возможностей.

Отношение реконструкции предполагает изменение нормативных оснований.

Отношение совместимости устанавливает возможность определённого взаимодействия.

Отношение конкуренции характеризует альтернативные решения одной задачи.

При этом наличие одного отношения не означает автоматического существования другого.

Например, две системы могут быть функционально совместимы, не имея общего исторического происхождения.

Следовательно, ноокадастр НИОКР должен поддерживать типизированную систему связей.

Это позволит исследовать развитие нооинженерных проектов в пределах общего ноотопоценоза.

3.19. Координатизация нормативных изменений

В процессе НИОКР могут изменяться исходные определения, требования и архитектурные решения.

Следовательно, возникает необходимость регистрации переходов между нормативными состояниями.

Например, в первоначальной редакции НОО-ДПР-01 может использоваться усечение.

В новой редакции может быть введено округление.

При этом необходимо установить, какие характеристики сохраняются.

Например, правило определения количества десятичных позиций может оставаться прежним.

Однако математические значения некоторых конечных результатов изменяются.

Следовательно, координатный паспорт должен фиксировать соответствующие различия.

Особое значение имеет возможность одновременного существования обеих редакций.

В таком случае они получают самостоятельные координатные описания.

Однако сохраняется отношение их общего происхождения.

Таким образом, система паспортизации должна поддерживать полисистемность и нормативное ветвление.

Она не должна автоматически предполагать, что каждая новая редакция полностью заменяет прежнюю.

3.20. Машинно-обрабатываемый паспорт НИОКР

В перспективе предлагается разработать машинно-обрабатываемую форму паспорта.

Для этого необходимо определить формальную систему объектов, свойств и отношений.

Каждый проект должен иметь устойчивый идентификатор.

Его редакции должны регистрироваться отдельно.

Нормативные определения и требования должны иметь собственные идентификаторы.

Особое значение имеет возможность использования формальных ссылок на результаты проверки.

При этом необходимо различать машинную доступность документа и формальную проверяемость его содержания.

Например, математическое утверждение может храниться в структурированном формате.

Однако это ещё не означает, что существует универсальная процедура автоматического доказательства соответствующего положения.

Следовательно, машинно-обрабатываемая система должна явно регистрировать степень формализации каждого компонента.

Особое значение имеет возможность интеграции с формальными онтологиями.

Однако такая интеграция должна учитывать различия между системами интерпретации.

Следовательно, межсистемное отображение понятий требует специальных проверенных интерфейсов.

Таким образом, машинно-обрабатываемая паспортизация должна развиваться как часть общей нормативно-информационной инфраструктуры нооинженерии.

3.21. Ноостандартизация координатных систем и паспортов

Для практического применения рассмотренных положений необходимо разработать специализированные проекты ноотехнических стандартов.

В частности, предлагается выделить несколько направлений.

Стандарт системы семантических координат ноотопоценоза.

Он должен устанавливать общие правила определения координатных оснований, объектов и отношений.

Стандарт ноолокации.

Он предназначен для определения процедур локализации объектов.

Стандарт ноокадастровой регистрации.

Он должен устанавливать требования к идентификаторам и регистрационным записям.

Стандарт паспорта ноотехнической НИОКР.

Он предназначен для документирования исследовательских проектов и их результатов.

Стандарт межкоординатных преобразований.

Он должен определять требования к интерфейсам и проверке сохраняемых характеристик.

Однако данные документы имеют статус предполагаемых разработок.

Они не являются действующими государственными или международными стандартами.

При их создании целесообразно учитывать общие принципы терминологической работы, онтологического представления и системной инженерии.

В качестве соответствующих методологических ориентиров могут рассматриваться ISO 704:2022, ISO/IEC 21838-1:2021 и специализированные стандарты жизненного цикла систем.

Однако такие документы не устанавливают автоматически нормативное содержание предлагаемых нооинженерных категорий.

Их применение требует самостоятельного анализа соответствия предметных областей.

3.22. Нормативная проверка паспорта

Одной из фундаментальных задач является разработка процедуры проверки самого паспорта НИОКР.

Для первоначального варианта предлагается выделить несколько этапов.

Первый этап — проверка идентификационных сведений.

Необходимо установить, что объект и проект обладают определёнными регистрационными характеристиками.

Второй этап — проверка координатного контекста.

Устанавливаются соответствующая система координат и её нормативная редакция.

Третий этап — проверка исходных определений.

Исследуется смысловая определённость используемых понятий.

Четвёртый этап — проверка требований.

Устанавливается их связь с проектными задачами.

Пятый этап — проверка результатов.

Определяется наличие соответствующих доказательственных материалов.

Шестой этап — проверка конфигурации.

Контролируются редакции компонентов и их взаимная совместимость.

Седьмой этап — проверка ограничений.

Устанавливается, не распространяются ли выводы за пределы подтверждённой области применения.

Восьмой этап — итоговое заключение.

Фиксируется степень соответствия паспорта установленным требованиям.

Однако необходимо учитывать, что положительная проверка полноты документа не является доказательством правильности всех научных положений проекта.

Следовательно, необходимо разграничивать документационную корректность и содержательную научную обоснованность.

Обе характеристики должны иметь самостоятельный нормативный статус.

3.23. Координаты научного знания и критическая реконструкция

Разработанная система координат может иметь значение не только для текущих ноотехнических НИОКР, но и для исследования истории математического знания.

Например, различные исторические математические теории использовали неодинаковые исходные понятия и системы рассуждения.

При их сопоставлении необходимо учитывать соответствующие нормативные контексты.

Особое значение имеют исторические переходы между геометрическими, арифметическими и логическими системами.

Однако критическое исследование прежних теорий не должно осуществляться посредством неявной подмены их исходных оснований современными определениями.

Необходимо устанавливать, какие понятия использовались в конкретной исторической системе.

Следовательно, координатизация может служить средством разграничения различных математических контекстов.

При этом она не заменяет историко-научного и математического исследования.

Например, изменение системы координат не является самостоятельным опровержением доказанной теоремы.

Для такого вывода необходим анализ конкретного математического содержания.

Таким образом, ноолокация может способствовать критической реконструкции научного знания посредством явной фиксации систем координат, предметных областей и нормативных редакций.

3.24. Нооинженерная координатизация в перспективе Метаорганона

В настоящей монографии нооинженерия рассматривается как одно из оснований дальнейшего развития перспективного Метаорганона.

При этом необходимо подчеркнуть, что разработка отдельных координатных систем ещё не означает создания завершённой универсальной системы организации знания.

Для этого потребуется решить несколько самостоятельных задач.

Прежде всего необходимо разработать достаточно определённый реестр фундаментальных нооинженерных понятий.

Затем — установить формальные отношения между соответствующими категориями.

Следующей задачей становится создание специализированных систем координат для различных предметных областей.

После этого потребуется разработать интерфейсы между такими системами.

Особое значение приобретает возможность сохранения исторической преемственности нормативных редакций.

Далее необходимо обеспечить машинно-обрабатываемую регистрацию объектов и доказательственных материалов.

Однако сама техническая возможность хранения и сопоставления данных не гарантирует содержательной научной корректности соответствующих систем.

Поэтому необходимы самостоятельные нооиммунологические процедуры.

Таким образом, система координат и паспортов может рассматриваться как одна из инфраструктурных предпосылок перспективного Метаорганона.

Однако её дальнейшее становление требует специальной формализации и научно-технической проверки.

3.25. Основные результаты главы

В настоящей главе предложены рабочие определения системы координат ноотопоценоза, координатного контекста и паспортизации ноотехнических НИОКР.

Разграничены идентификация и локализация объекта.

Рассмотрены принципы построения локальных систем координат.

Особое внимание уделено полисистемности и необходимости сохранения нормативной определённости различных математических и семантических систем.

Предложена первоначальная формальная схема координатного описания.

Рассмотрены семантические координаты понятий и математических объектов.

Показана необходимость разграничения точного математического объекта и его конечных представлений.

Исследованы ограничения межкоординатных преобразований.

Предложена первоначальная структура паспорта ноотехнической НИОКР.

На примере проекта НОО-ДПР-01 показаны способы координатизации исследовательского проекта, его требований, математических результатов и нормативных редакций.

Разработаны требования к прослеживаемости и кадастровой регистрации результатов.

Рассмотрены возможности машинно-обрабатываемой паспортизации.

Предложены основные направления ноостандартизации координатных систем и паспортов.

Особое внимание уделено возможности использования ноолокации для критической реконструкции научного знания.

Таким образом, системы координат ноотопоценозов и паспортизация ноотехнических НИОКР рассматриваются как взаимосвязанные средства обеспечения идентификации, локализации, документирования и нормативной прослеживаемости ментальных объектов и инженерных исследований.

Их дальнейшее развитие должно обеспечить переход от отдельных локальных моделей к согласованной инфраструктуре сложных нооинженерных экосистем.

Однако такая инфраструктура должна обладать определёнными характеристиками надёжности, качества и безопасности.

Кроме того, необходимо разработать общую систему нормативного управления её состояниями.

Следовательно, дальнейшее исследование предполагает переход к вопросам ноотехнической надёжности, контроля изменений и ноостандартизации.

Этим направлениям посвящены следующие главы настоящей части.

******

Глава 4. Ноотехническая надёжность, качество, безопасность и контроль изменений

4.1. Проблема надёжности и безопасности нооинженерных объектов

В предшествующих главах настоящей части монографии были рассмотрены основания ноометрологии, системы координат ноотопоценозов, ноогеодезия, ноотопография, ноокартография, ноокадастры и технологии паспортизации ноотехнических НИОКР.

Разработанные положения позволяют определять характеристики нооинженерных объектов, устанавливать их положение в нормативных системах и документировать результаты инженерной деятельности.

Однако для полноценного функционирования нооинженерной экосистемы недостаточно располагать только средствами описания и регистрации объектов.

Необходимо обеспечить выполнение установленных требований в процессе их использования, воспроизводства, взаимодействия и изменения.

Математическая система может обладать строгими исходными определениями, но её конкретная вычислительная реализация способна содержать ошибки.

Нормативная спецификация может быть достаточно определённой, однако передача объекта из одной системы в другую способна сопровождаться потерей существенной информации.

Программная реализация может правильно выполнять предусмотренные операции, но после обновления отдельного компонента утратить совместимость с другими частями ноотопоценоза.

Наконец, использование математического результата вне области, для которой была подтверждена его применимость, может приводить к ошибочным инженерным решениям.

Следовательно, необходимо исследовать не только внутреннюю определённость нооинженерных объектов, но и устойчивость выполнения их функций, сохранение качества и предупреждение нежелательных последствий.

Для решения соответствующих задач предлагается развивать взаимосвязанные направления ноотехнической надёжности, качества, безопасности и контроля изменений.

При этом следует учитывать, что указанные категории имеют развитые технические прототипы, но применительно к ментальным объектам требуют самостоятельного определения.

4.2. Предмет и определение ноотехнической надёжности

В традиционной инженерии надёжность характеризует способность системы выполнять установленные функции в заданных условиях на протяжении определённого времени или объёма работы.

В нооинженерии необходимо прежде всего определить, к какому именно объекту применяется такая характеристика.

Точное математическое число не становится ненадёжным вследствие отказа программы, предназначенной для его представления.

Однако вычислительная технология может оказаться ненадёжной относительно предусмотренной функции.

Следовательно, предлагается следующее рабочее определение.

Определение 4.1. Ноотехническая надёжность — способность конкретной нооинженерной системы, технологии или реализации сохранять выполнение установленных функций и нормативных требований при заданных условиях функционирования, в определённых пределах времени, использования или повторения операций.

В этом определении существенны четыре обстоятельства.

Во-первых, надёжность всегда относится к определённому объекту оценки.

Во-вторых, необходимо установить требуемую функцию.

В-третьих, должны быть определены условия эксплуатации или использования.

В-четвёртых, необходимо указать критерий нарушения соответствующей функции.

При этом не всякая нооинженерная конструкция обладает временной надёжностью в обычном техническом смысле.

Например, математическая спецификация может сохранять свою формальную определённость независимо от количества повторных вычислений.

Но её техническая реализация имеет определённые характеристики устойчивости и отказов.

Следовательно, необходимо различать формальную корректность математической конструкции и эксплуатационную надёжность средств её реализации.

Без такого разграничения ноометрологическая оценка может привести к смешению математических и технических характеристик.

4.3. Основные уровни ноотехнической надёжности

Для первоначальной классификации предлагается выделить несколько уровней.

Семантическая устойчивость характеризует сохранение установленной интерпретации понятий в определённой нормативной редакции.

Конструктивная устойчивость относится к сохранению обязательных компонентов и отношений объекта.

Функциональная надёжность характеризует выполнение предусмотренных функций в установленных условиях.

Операционная надёжность относится к корректному выполнению конкретных алгоритмов и преобразований.

Интерфейсная надёжность характеризует устойчивость допустимого взаимодействия между системами.

Репродуктивная надёжность относится к повторному получению предусмотренных результатов.

Конфигурационная устойчивость предполагает сохранение определённости применяемых редакций.

Экосистемная устойчивость характеризует способность ноотопоценоза поддерживать установленные системные функции при допустимых изменениях отдельных компонентов.

Однако перечисленные характеристики не должны автоматически объединяться в один числовой показатель.

Например, математическая спецификация может иметь устойчивое нормативное содержание, тогда как одна из её программных реализаций характеризуется частыми техническими отказами.

Следовательно, соответствующие показатели должны регистрироваться раздельно.

Особое значение имеет возможность определения надёжности относительно конкретного вида взаимодействия.

Система может быть надёжной для определённого класса входных данных, но не обладать подтверждённой надёжностью вне этого класса.

Поэтому всякое заключение должно содержать сведения об области его применимости.

4.4. Корректность, надёжность и воспроизводимость

Одной из принципиальных задач является разграничение математической корректности, технической надёжности и воспроизводимости.

Математическая корректность определяется соответствием определённого построения правилам выбранной математической системы.

Техническая надёжность характеризует устойчивость выполнения предусмотренных функций конкретной реализацией.

Воспроизводимость связана с возможностью повторного получения объектов или результатов в установленных условиях.

Эти характеристики могут быть связаны, но не совпадают.

Например, математически корректный алгоритм может быть реализован программой, содержащей ошибку обработки больших целых чисел.

В этом случае математическая модель остаётся корректной, но конкретная техническая реализация нарушает требования.

Другой случай возникает, когда программа стабильно воспроизводит один и тот же неправильный результат.

Такое поведение может свидетельствовать о высокой повторяемости результата, но не о его математической корректности.

Следовательно, стабильность воспроизведения ошибки не должна считаться признаком высокого качества вычисления.

Аналогичным образом наличие положительных результатов конечного набора испытаний не доказывает отсутствие всех возможных технических отказов.

Поэтому ноотехническая оценка должна включать несколько самостоятельных процедур.

Одна предназначена для проверки математических оснований.

Другая — для исследования соответствия реализации спецификации.

Третья — для оценки устойчивости функционирования в заданных условиях.

Таким образом, необходимо различать доказательственный статус математического положения и статистические характеристики поведения технической системы.

4.5. Формальная характеристика функциональной надёжности

Для некоторых ноотехнических реализаций возможно использование вероятностных моделей надёжности.

Пусть S — определённая реализованная система.

Пусть W обозначает нормативно заданную рабочую нагрузку, а E — условия функционирования.

При наличии обоснованной вероятностной модели можно рассматривать характеристику:

R(t | W, E) = P(отсутствие установленного функционального отказа на интервале [0, t] при условиях W и E).

Однако данная формула имеет смысл только при определении вероятностного пространства, условий работы и критериев отказа.

Она не должна применяться автоматически к математической истинности.

Например, математическая теорема не становится истинной с вероятностью 0,99 лишь потому, что программа успешно выполнила 99 из 100 испытаний.

Такая статистика может характеризовать определённую процедуру тестирования, но не заменяет математическое доказательство.

Вместе с тем для конкретных программных систем показатели отказов способны иметь инженерное значение.

Например, при многократном выполнении вычислений может исследоваться частота аварийных завершений, ошибок обмена данными или несоответствий установленному формату.

Однако полученные оценки должны сопровождаться описанием условий испытаний и ограничений применённой модели.

Таким образом, ноотехническая надёжность может использовать количественные методы традиционной инженерии, но только в пределах их предметной применимости.

4.6. Понятие ноотехнического отказа

Для исследования надёжности необходимо определить, какое событие рассматривается как отказ.

Определение 4.2. Ноотехнический отказ — событие, при котором определённая нооинженерная система или реализация перестаёт выполнять установленную функцию либо нарушает обязательное нормативное требование в предусмотренных условиях использования.

При этом не всякое обнаруженное различие результатов является отказом.

Например, две нормативные редакции могут использовать разные правила округления и закономерно получать различные представления одного исходного числа.

Если обе редакции правильно выполняют свои собственные спецификации, соответствующее различие не означает отказа.

Иная ситуация возникает, когда система, предназначенная для усечения, фактически выполняет округление.

В таком случае нарушается обязательное правило действующей редакции.

Следовательно, возможен ноотехнический отказ относительно установленной спецификации.

Для первоначальной классификации предлагается различать несколько видов нарушений.

Семантический отказ связан с утратой установленной интерпретации.

Операционный отказ характеризует неправильное выполнение операции.

Форматный отказ означает нарушение обязательной формы результата.

Интерфейсный отказ возникает при недопустимом межсистемном преобразовании.

Репродуктивный отказ связан с невозможностью повторного получения результата при объявленных условиях.

Конфигурационный отказ характеризует использование несогласованных редакций.

Ресурсный отказ возникает, когда техническая реализация не может выполнить предусмотренную операцию вследствие конкретного ограничения ресурсов.

При этом необходимо разграничивать отказ технической системы и математическую невозможность некоторой конструкции.

Отсутствие памяти или вычислительного времени не является доказательством математической неопределённости исходного объекта.

4.7. Ноотехническое качество

Надёжность представляет собой одну из существенных характеристик качества, но не исчерпывает его содержания.

Предлагается следующее определение.

Определение 4.3. Ноотехническое качество — совокупность характеристик нооинженерного объекта, системы или реализации, определяющих степень выполнения установленных требований и пригодность для предусмотренного назначения.

При этом качество должно рассматриваться относительно конкретного предмета оценки.

Математическая теория может оцениваться по строгости определений, доказанным свойствам и внутренней организации.

Алгоритм — по математической корректности, вычислительной сложности и воспроизводимости.

Нормативная система — по определённости требований, согласованности правил и возможностям сопровождения.

Программная реализация — по функциональной пригодности, надёжности, сопровождаемости и другим техническим характеристикам.

Однако перечисленные показатели не должны произвольно суммироваться.

В частности, математическая истинность не является количественной характеристикой, которую можно повысить посредством улучшения интерфейса программы.

Следовательно, необходимо различать качество математического содержания, качество нормативной спецификации и качество технической реализации.

Они могут иметь общие критерии, но требуют самостоятельной оценки.

В дальнейшем соответствующие различия должны отражаться в карте ноотехнического уровня и качества объекта.

4.8. Критерии качества и границы их применения

Для построения системы оценки предлагается выделить несколько основных групп критериев.

Смысловая определённость характеризует установленность используемых понятий.

Нормативная согласованность относится к совместимости обязательных требований.

Математическая корректность определяется относительно конкретных правил и доказательств.

Функциональная пригодность характеризует соответствие заявленному назначению.

Репродуктивность относится к возможности повторного получения результатов.

Интерфейсная совместимость характеризует допустимость межсистемного взаимодействия.

Конфигурационная определённость обеспечивает идентификацию действующих редакций.

Сопровождаемость относится к возможности контролируемого исправления и изменения реализации.

Восстановимость характеризует возможность возвращения к определённому нормативному состоянию.

Ресурсная эффективность относится к техническим затратам при выполнении соответствующих функций.

Однако набор критериев должен зависеть от вида объекта.

Например, понятие сопровождаемости применимо к нормативной спецификации иначе, чем к программному продукту.

Необходимо также различать обязательные требования и показатели сравнительного предпочтения.

Нарушение обязательного требования не может автоматически компенсироваться высоким значением несущественного дополнительного показателя.

Следовательно, оценка качества должна иметь нормативно определённую структуру.

4.9. Ноотехническая безопасность

Особую проблему представляет понятие безопасности ментальных объектов и технологий.

Математическая конструкция сама по себе не обязательно представляет источник физического вреда.

Однако её неправильное использование в инженерных, экономических, медицинских и иных прикладных системах может способствовать принятию ошибочных решений.

Кроме того, сложные нооинженерные экосистемы могут включать программные средства, нормативные документы и интерфейсы, нарушения в которых создают самостоятельные риски.

Поэтому предлагается следующее определение.

Определение 4.4. Ноотехническая безопасность — характеристика нооинженерного объекта, технологии или системы, определяющая степень контролируемости предусмотренных опасностей и рисков, связанных с его созданием, интерпретацией, использованием, взаимодействием и изменением в установленной предметной области.

Однако необходимо разграничивать несколько типов безопасности.

Логико-семантическая безопасность связана с предупреждением неявных смысловых подмен, приводящих к неправильному использованию результатов.

Операционная безопасность относится к предотвращению опасных последствий неправильного выполнения процедур.

Информационная безопасность охватывает защиту данных, программ и нормативных материалов в рамках соответствующей технической инфраструктуры.

Конфигурационная безопасность связана с предупреждением недопустимого смешения редакций.

Прикладная безопасность определяется характером использования нооинженерной технологии в конкретной практической сфере.

При этом необходимо учитывать, что безопасность является контекстуальной характеристикой.

Один и тот же математический алгоритм может использоваться в задачах с существенно различающейся тяжестью возможных последствий.

Следовательно, оценка рисков должна учитывать конкретную область применения.

4.10. Опасность, угроза и риск

Для разработки ноотехнической безопасности необходимо разграничить несколько понятий.

Опасность представляет собой источник потенциально неблагоприятных последствий.

Угроза может характеризовать определённое событие, действие или условие, способное реализовать соответствующую опасность.

Риск относится к неопределённости и возможным последствиям относительно поставленных целей.

Однако данные категории необходимо конкретизировать применительно к определённому проекту.

Например, использование десятизначного приближения вместо точного рационального числа может быть допустимо для одной задачи и недопустимо для другой.

Следовательно, само наличие математической погрешности не означает автоматического возникновения опасности.

Необходимо установить характер последующего использования результата.

В отдельных случаях риск можно оценивать посредством вероятностных характеристик.

Например, при наличии достаточных данных может рассматриваться ожидаемая величина ущерба.

Однако формула вида:

Ожидаемые потери = вероятность события × величина потерь

имеет содержательный смысл только при соответствующем определении вероятности, последствий и условий оценки.

В других случаях целесообразно использовать качественную классификацию.

Следовательно, ноотехническая система анализа рисков должна включать самостоятельную процедуру выбора метода оценки.

4.11. Реестр ноотехнических опасностей и рисков

Для практического применения предлагается разработать специальный реестр.

В его состав должны входить:

1. идентификатор риска;
2. объект и нормативная редакция;
3. рассматриваемая функция;
4. источник возможного нарушения;
5. условия реализации;
6. предполагаемые последствия;
7. признаки обнаружения;
8. меры предупреждения;
9. способы восстановления;
10. результаты проверки эффективности мер;
11. остаточные ограничения.

Например, для математической системы конечных десятичных представлений могут быть выделены следующие рисковые ситуации.

Неправильное определение класса точности.

Вместо правила d = 10^n используется другое значение количества позиций.

Подмена усечения округлением.

Реализация выдаёт результат, не соответствующий действующей спецификации.

Отождествление исходного числа и приближения.

Конечное представление используется как точное значение без учёта погрешности.

Использование неверной редакции.

Результат формируется по правилам одной версии, но регистрируется как принадлежащий другой.

Недостаточность вычислительных ресурсов.

Система не может фактически завершить представление требуемого класса.

Некорректное межклассовое преобразование.

Короткая запись ошибочно используется для восстановления отсутствующих цифр исходного числа.

В каждом случае необходимо определить конкретное требование и последствия его нарушения.

Следовательно, реестр рисков должен быть непосредственно связан с нооспецификацией.

4.12. Нооиммунологическое обеспечение надёжности

В предыдущей части монографии нооиммунология была определена как направление контроля смысловой, логической, конструктивной и нормативной допустимости.

Соответствующие методы обладают существенным значением для обеспечения надёжности.

Однако необходимо различать нооиммунологическую проверку и статистическую оценку надёжности.

Первая предназначена для установления соответствия определённым требованиям.

Вторая может характеризовать частоту отказов или вероятность выполнения функции в заданных условиях.

Например, нооиммунная процедура способна проверить, содержит ли конкретная запись ровно десять десятичных позиций.

Однако положительный результат одной проверки не определяет автоматически вероятность отсутствия ошибок во всех будущих вычислениях.

Следовательно, надёжность должна обеспечиваться совокупностью методов.

К ним могут относиться формальное доказательство математических свойств, независимая проверка реализации, испытания, контроль конфигурации и мониторинг функционирования.

Особое значение имеет возможность выявления ошибок, возникающих вследствие изменения нормативных редакций.

В таком случае необходим специальный контроль соответствия применяемых правил.

Таким образом, нооиммунология может рассматриваться как важнейший функциональный компонент системы обеспечения ноотехнической надёжности, но не как полная замена всех её методов.

4.13. Ноомембраны и безопасность межсистемного взаимодействия

Развитые ноотопоценозы могут включать несколько математических и семантических систем.

Следовательно, значительная часть рисков возникает при передаче объектов между ними.

Например, одна система может использовать точные рациональные числа.

Другая — конечные десятичные представления.

Если соответствующее преобразование выполняется без указания правила и класса точности, результат способен утратить необходимую нормативную определённость.

Для предотвращения подобных нарушений могут использоваться ноомембраны и интерфейсы.

Их задача состоит в установлении допустимых условий взаимодействия.

Однако наличие интерфейса не гарантирует универсальной совместимости.

Необходимо исследовать сохраняемые характеристики.

Например, усечение не является преобразованием, сохраняющим все арифметические операции.

В частности, для первого класса:

T_10(1/6) + T_10(1/6) = 0,3333333332,

тогда как:

T_10(1/6 + 1/6) = 0,3333333333.

Следовательно, межсистемная передача должна сопровождаться указанием ограничений.

Особое значение имеет предотвращение ситуаций, когда результат приблизительного вычисления неявно получает статус точного математического значения.

Таким образом, ноомембранная организация должна рассматриваться как один из механизмов обеспечения семантической и нормативной безопасности.

4.14. Ноогомеостаз, восстановимость и регенерация

Надёжность системы связана не только с предотвращением нарушений, но и с возможностью сохранения или восстановления установленного состояния.

В предыдущей части монографии были рассмотрены понятия ноогомеостаза и ноорегенерации.

Первое связано с поддержанием нормативно значимых характеристик.

Второе — с восстановлением нарушенных или утраченных состояний.

Применительно к ноотехнической надёжности соответствующие механизмы могут выполнять специальные функции.

Например, если программа начинает использовать неправильное правило округления, контрольная процедура должна выявить отклонение.

После этого может быть восстановлена правильная конфигурация.

Однако восстановление не должно ограничиваться механическим копированием прежнего файла.

Необходимо проверить, что восстановленная реализация соответствует действующей математической спецификации.

Особое значение имеет возможность восстановления исторической редакции.

Если разработчик сознательно ввёл новую систему правил, прежняя редакция должна сохраняться как самостоятельный нормативный объект.

Следовательно, ноорегенерация не должна автоматически означать отмену всех инновационных изменений.

Её назначение определяется конкретным состоянием, которое требуется восстановить.

Таким образом, устойчивость нооинженерной экосистемы может обеспечиваться согласованным функционированием контроля, воспроизводства, восстановления и управления конфигурацией.

4.15. Контроль изменений как условие надёжности

Одним из основных источников ноотехнических нарушений являются недостаточно контролируемые изменения объектов и систем.

Например, изменение одного определения может затронуть многочисленные производные математические конструкции.

А замена программного компонента способна изменить результаты операций.

Следовательно, необходимо разработать систему ноотехнического контроля изменений.

Предлагается следующее определение.

Определение 4.5. Ноотехнический контроль изменений — нормативно организованная система регистрации, анализа, согласования, проверки и сопровождения преобразований нооинженерных объектов, их спецификаций, реализаций и экосистемных отношений.

При этом изменения должны рассматриваться относительно определённой исходной редакции.

Необходимо установить, какие характеристики сохраняются и какие преобразуются.

Особое значение имеет разграничение исправления дефекта и нормативной инновации.

Если техническая реализация неправильно выполняет действующее правило, требуется устранить соответствующее нарушение.

Если же предполагается изменение самого правила, необходимо оформить новую нормативную редакцию.

Следовательно, контроль изменений должен обеспечивать разделение исправления несоответствий и целенаправленной реконструкции оснований.

Такое разграничение представляет собой одно из важнейших условий сохранения строгого тождества внутри действующей системы.

4.16. Классификация изменений

Для первоначальной организации предлагается различать несколько видов преобразований.

Редакционное изменение не затрагивает нормативного смысла объекта.

Представленческое изменение модифицирует форму записи или отображения без обязательного изменения обозначаемой конструкции.

Реализационное изменение затрагивает техническое средство выполнения операции.

Архитектурное изменение преобразует внутреннюю организацию системы.

Функциональное изменение вводит новые функции либо изменяет существующие.

Семантическое изменение затрагивает определения или правила интерпретации.

Операционно-нормативное изменение преобразует правила допустимых операций.

Ноокарионная реконструкция затрагивает системообразующие нормативные характеристики.

Однако перечисленные виды могут пересекаться.

Например, изменение математического определения операции может потребовать изменения архитектуры её технической реализации.

Следовательно, характер преобразования необходимо определять не только по названию изменённого файла.

Необходимо исследовать содержание изменения и его последствия.

Особое значение приобретает возможность применения нескольких независимых признаков классификации.

Такое решение позволит избежать искусственного сведения всех изменений к одной линейной шкале сложности.

4.17. Протокол ноотехнического изменения

Для практической реализации предлагается следующий порядок.

Этап 1. Регистрация предложения.

Фиксируются объект, действующая редакция и предполагаемое изменение.

Этап 2. Установление основания.

Определяется причина преобразования: исправление дефекта, новая функциональная потребность, уточнение требования или самостоятельная инновация.

Этап 3. Анализ последствий.

Выявляются затрагиваемые компоненты, отношения и результаты.

Этап 4. Определение нормативного режима.

Устанавливается, возможно ли изменение внутри действующей редакции либо требуется создание новой.

Этап 5. Разработка решения.

Формируется новая конструкция или исправление.

Этап 6. Проверка.

Проводятся необходимые виды нооиммунологического контроля, верификации и валидации.

Этап 7. Решение о принятии.

Определяется статус преобразования.

Этап 8. Внедрение.

Новая редакция вводится в установленный контекст.

Этап 9. Сопровождение.

Осуществляются мониторинг, регистрация последствий и необходимые восстановительные действия.

Однако положительное заключение о проекте изменения не должно автоматически означать его универсальную допустимость во всех связанных системах.

Для этого необходима самостоятельная проверка интерфейсов и нормативных зависимостей.

4.18. Пример контролируемого изменения НОО-ДПР-01

Рассмотрим ранее введённую систему конечных десятичных представлений рациональных чисел.

В исходной редакции применяется усечение по направлению к нулю.

Для первого класса количество позиций составляет десять.

Для рационального числа:

x = 1/6

нормативная запись имеет вид:

0,1666666666.

Предположим, что новая программная реализация выдаёт:

0,1666666667.

Возникает необходимость установить причину.

В первом случае программа могла ошибочно использовать округление вместо усечения.

Тогда речь идёт о нарушении исходной спецификации.

Требуется исправление реализации.

Во втором случае разработчик мог сознательно изменить математическое правило.

Тогда возникает проект новой нормативной редакции.

При этом исходная система не должна автоматически изменять своё содержание.

Необходимо зарегистрировать новую редакцию и установить её отношения с прежней.

Следовательно, один и тот же числовой результат может иметь различный инженерный статус в зависимости от нормативного контекста.

Этот пример показывает необходимость разделения математического значения, технической ошибки и нормативной реконструкции.

4.19. Ноотехнический паспорт надёжности и безопасности

Для документирования рассмотренных характеристик предлагается разработать паспорт надёжности, качества и безопасности нооинженерного объекта.

В первоначальном варианте он должен включать:

1. идентификатор объекта;
2. нормативную редакцию;
3. назначение и область использования;
4. обязательные функции;
5. характеристики качества;
6. критерии отказа;
7. условия испытаний;
8. показатели надёжности, если они применимы;
9. перечень существенных опасностей;
10. реестр рисков;
11. меры предупреждения и обнаружения нарушений;
12. процедуры восстановления;
13. результаты проверок;
14. историю изменений;
15. ограничения и остаточные риски.

Особое значение имеет связь с картой ноотехнического уровня и качества.

Однако паспорт надёжности и безопасности не должен полностью дублировать соответствующую карту.

Его специальное назначение состоит в описании устойчивости выполнения функций, опасностей, отказов и механизмов их предотвращения.

При этом каждое количественное значение должно сопровождаться сведениями о способе его получения.

Нельзя считать показатель надёжности установленным исключительно вследствие включения соответствующей графы в документ.

Таким образом, паспортизация должна обеспечивать нормативно определённое документирование реально исследованных характеристик.

4.20. Основные результаты главы

В настоящей главе предложены рабочие определения ноотехнической надёжности, качества, безопасности, отказа и контроля изменений.

Разграничены математическая корректность, техническая надёжность и воспроизводимость.

Рассмотрены основные уровни надёжности нооинженерных объектов и систем.

Показаны условия допустимости вероятностных характеристик.

Предложена первоначальная классификация ноотехнических отказов.

Разработаны основные положения о качестве и безопасности ментальных конструкций.

Рассмотрены риски, возникающие при использовании конечных математических представлений и при межсистемном взаимодействии.

Установлена связь обеспечения надёжности с нооиммунологией, ноогомеостазом, ноорегенерацией и ноомембранными механизмами.

Предложена классификация изменений и первоначальный протокол их контроля.

На примере системы НОО-ДПР-01 показано различие между исправлением технической ошибки и изменением математического правила.

Разработаны исходные требования к паспорту надёжности и безопасности.

Таким образом, ноотехническая надёжность, качество, безопасность и контроль изменений рассматриваются как взаимосвязанные условия устойчивого, воспроизводимого и нормативно определённого функционирования нооинженерных объектов и экосистем.

Однако их полноценное обеспечение предполагает наличие общей системы требований, регулирующей способы понимания, построения и использования соответствующих объектов.

Это приводит к необходимости разработки специальной дисциплины — ноостандартизации.

---

Глава 5. Ноостандартизация: принципы построения нормативных систем понимания и использования понятий

5.1. Проблема нормативной организации ментальных объектов

Инженерная деятельность предполагает наличие определённых правил, регулирующих создание, использование, проверку и изменение соответствующих объектов.

В традиционной технике подобные правила оформляются посредством стандартов, технических условий, спецификаций, регламентов и другой нормативной документации.

Однако применительно к ментальным объектам возникает особая проблема.

Значительная часть их существенных характеристик определяется не только конструктивной организацией, но и смысловым содержанием используемых понятий.

Например, математическая операция может быть корректно применена лишь при установленных исходных объектах и правилах.

Формально одинаковое обозначение способно иметь различные значения в разных математических системах.

А изменение определения определённого понятия может затронуть множество связанных теорем и вычислительных процедур.

Следовательно, нормативная организация нооинженерных объектов должна включать не только требования к техническим реализациям, но и правила интерпретации исходных ментальных конструкций.

Для решения соответствующей задачи предлагается развивать ноостандартизацию.

Однако необходимо подчеркнуть, что стандартизация понятий и онтологических моделей не начинается с данной исследовательской программы.

Существуют развитые методы терминологической стандартизации, инженерии знаний и формальных онтологий.

Поэтому научная новизна предлагаемой ноостандартизации должна определяться не простым введением нового названия, а конкретным расширением инженерных средств нормативной организации ментальных объектов.

Особое значение предполагается придать совместному регулированию смысловой определённости, математической конструкции, допустимых операций, воспроизводства и эволюции нормативных состояний.

5.2. Предмет и определение ноостандартизации

Предлагается следующее рабочее определение.

Определение 5.1. Ноостандартизация — формируемое направление нооинженерии, исследующее принципы, методы и технологии разработки, согласования, принятия, применения и изменения нормативных систем, регулирующих определение, интерпретацию, конструирование, использование и взаимодействие нооинженерных объектов.

В данном определении необходимо выделить несколько основных задач.

Первая — установление правил смысловой определённости.

Вторая — разработка требований к математическим и логическим конструкциям.

Третья — нормирование допустимых операций и преобразований.

Четвёртая — определение условий воспроизводства объектов.

Пятая — разработка критериев проверки соответствия.

Шестая — обеспечение нормативной совместимости различных систем.

Седьмая — создание процедур изменения и наследования стандартов.

Таким образом, ноостандартизация охватывает не только терминологическую работу.

Она предполагает разработку нормативных требований к целым системам ментальных объектов.

Однако её нельзя отождествлять с универсальной теорией истинности.

Стандарт определяет правила и критерии определённой системы.

Но факт принятия нормативного документа не является самостоятельным доказательством математической истинности всех включённых в него положений.

Следовательно, необходимо различать нормативную обязательность внутри установленной системы и научно-математическую обоснованность соответствующего содержания.

5.3. Ноостандарт и нормативная спецификация

Для дальнейшей разработки необходимо определить понятие нооинженерного стандарта.

Определение 5.2. Нооинженерный стандарт, или ноостандарт, — нормативно оформленная система требований и правил, устанавливающая обязательные либо рекомендуемые характеристики определённых нооинженерных объектов, операций, отношений или процессов в пределах явно указанной области применения.

При этом необходимо различать несколько уровней нормативного статуса.

Исследовательский проект стандарта представляет собой предлагаемый документ, ещё не прошедший установленные процедуры принятия.

Принятый внутренний стандарт ноотопоценоза действует в пределах определённой исследовательской или организационной системы.

Корпоративный либо отраслевой стандарт имеет статус, определяемый соответствующей организацией и применимыми правилами.

Национальный или международный стандарт приобретает такой статус только после принятия уполномоченной организацией в установленном порядке.

Следовательно, включение в настоящую монографию проекта ноостандарта не означает его официального признания.

При этом отдельная нооспецификация не обязательно представляет собой стандарт.

Она может определять конкретный объект или проект.

Стандарт же способен устанавливать общие требования к целому классу объектов или процедур.

Однако некоторые документы могут совмещать обе функции.

Следовательно, необходимо определять их нормативный статус по содержанию и процедуре принятия, а не исключительно по названию.

5.4. Методологические прототипы ноостандартизации

В современной стандартизации существуют развитые методы работы с понятиями и терминами.

В частности, ISO 704:2022 посвящён принципам и методам терминологической работы.

ISO 1087:2019 устанавливает основные понятия терминологической науки.

ISO 860:2007 рассматривает согласование понятий, систем понятий, определений и терминов.

Для нооинженерии особый интерес представляет различение объекта, понятия, определения и обозначения.

Однако необходимо учитывать, что терминологическая стандартизация не исчерпывает всех предполагаемых задач нооинженерного проектирования.

Например, установление определения математической операции ещё не обеспечивает доказательства всех её свойств.

А наличие единого термина не гарантирует корректности конкретной вычислительной реализации.

В инженерии знаний существуют методы онтологического моделирования, отображения и согласования систем понятий.

В частности, соответствующие подходы подробно представлены в работах Т. А. Гавриловой, Д. В. Кудрявцева и Д. И. Муромцева.

Однако формальная онтология и ноотехнический стандарт не обязательно являются тождественными объектами.

Онтология может представлять систему понятий и отношений.

Ноотехнический стандарт может дополнительно регулировать операции, процедуры проверки, воспроизводство и управление изменениями.

Следовательно, предлагаемый подход должен использовать известные методы как исследовательские и технические основания, не подменяя их произвольной терминологической реконструкцией.

5.5. Понятие как объект стандартизации

Одним из основных предметов ноостандартизации является понятие.

Однако необходимо различать понятие, обозначающий его термин и техническую запись соответствующего определения.

Одно понятие может иметь несколько допустимых обозначений.

В то же время одинаковое слово может использоваться для различных понятий.

Поэтому стандартизация должна обеспечивать возможность самостоятельной идентификации понятийного объекта.

Особое значение имеет авторская гармоническая логика.

В ней различаются содержание, объём и состав понятия.

Эти характеристики имеют специальное гносеологическое значение и должны исследоваться в соответствии с исходными определениями.

Следовательно, необходимо разграничивать:

гносеологическое содержание понятия;

гносеологический объём понятия;

гносеологический состав понятия;

структурное описание нормативной записи;

лексическое обозначение понятия.

Между соответствующими характеристиками могут существовать отношения, но они не должны автоматически отождествляться.

В частности, список компонентов информационной записи не обязательно совпадает с гносеологическим составом понятия.

Таким образом, стандартизация понятий должна опираться на явное определение используемой логико-методологической системы.

5.6. Закон строгого тождества и нормативная определённость

В гармонической логике автора закон строгого тождества связывает логическую правомерность понятия с сохранением его содержания, объёма и состава в пределах рассматриваемого рассуждения.

Для ноостандартизации данное положение приобретает непосредственное инженерное значение.

Если определённый термин используется в нормативном документе, необходимо обеспечить устойчивость его интерпретации в пределах соответствующей редакции.

Например, слово «класс точности» может обозначать конкретный класс конечной десятичной экспликации.

В рассматриваемой авторской системе класс n предусматривает 10^n десятичных позиций.

Однако в других областях термин «класс точности» может иметь иное содержание.

Следовательно, нельзя переносить соответствующее значение между системами без специального определения.

Особенно важно предотвращать неявное изменение смысла понятия внутри нормативного документа.

Если разработчик изменяет определение, необходимо установить новую редакцию.

При этом прежняя редакция должна сохранять возможность исторически определённой интерпретации.

Таким образом, ноостандартизация может рассматриваться как одна из инженерных форм обеспечения нормативной определённости понятий.

Однако изменение определения в новой системе не является само по себе нарушением строгого тождества внутри прежней системы.

Оно представляет собой отдельный нормативный переход.

5.7. Закон исключённого пятого и нормативные проверки

Особое значение имеет использование закона исключённого пятого в исходном авторском понимании.

В гармонической логике он связан с необходимостью предварительной проверки достаточной осмысленности и определённости противоречащих суждений.

Только после выполнения соответствующих условий допустим переход к исследованию их истинностного отношения.

Следовательно, для ноостандартизации возникает возможность разработки последовательной схемы проверки нормативных положений.

Первый этап — установление осмысленности рассматриваемых суждений.

Второй — проверка достаточной определённости их предмета, условий и используемых понятий.

Третий — исследование истинности или допустимости соответствующего положения посредством применимого метода.

При этом необходимо подчеркнуть, что закон исключённого пятого в данной авторской концепции не должен трактоваться как простое введение пяти истинностных значений.

Он связан с определёнными предварительными условиями применения истинностной оценки.

Однако перенос данной схемы в конкретный нормативный протокол требует самостоятельного определения критериев осмысленности и определённости.

Нельзя считать, что наличие общего принципа автоматически обеспечивает алгоритм проверки произвольных математических утверждений.

Следовательно, ноостандартизация должна преобразовывать логико-методологические положения в конкретные процедуры, не приписывая им необоснованной универсальной разрешающей способности.

5.8. Закон гармонии и контекст нормативного суждения

В исходной гармонической логике закон гармонии учитывает условия времени, отношения и смысла, в которых высказываются сопоставляемые суждения.

Для ноостандартизации это предполагает необходимость явной фиксации контекста нормативных положений.

Например, утверждение:

«Система использует правило усечения»

может быть истинным относительно редакции 1.0.

Но в редакции 2.0 может использоваться другое правило.

Следовательно, необходимо установить, относятся ли соответствующие утверждения к одной и той же нормативной редакции.

Аналогичным образом правила разных математических систем могут различаться без возникновения логического противоречия между ними.

Однако это не означает, что внутри одной фиксированной системы можно без ограничений использовать несовместимые определения.

Следовательно, ноостандарт должен содержать сведения о собственной области действия.

Особое значение имеет возможность указания исторического периода и редакции.

Однако временная характеристика не должна заменять предметную определённость.

Например, два документа могут быть приняты в один и тот же момент, но относиться к различным математическим системам.

Следовательно, нормативный контекст должен включать как временные, так и предметные и системные характеристики.

5.9. Структура нормативной записи понятия

Для практической реализации предлагается разработать паспорт стандартизируемого понятия.

Он должен включать:

1. уникальный идентификатор;
2. нормативный контекст;
3. основное обозначение;
4. допустимые дополнительные обозначения;
5. определение;
6. предметную область;
7. отношения с другими понятиями;
8. указание соответствующих характеристик содержания, объёма и состава — в той степени, в какой они определены выбранной логической теорией;
9. условия допустимого использования;
10. нормативную редакцию;
11. сведения о происхождении;
12. историю изменений;
13. результаты смысловой и логической проверки.

При этом необходимо различать обязательные и дополнительные поля.

Например, не для всякого понятия существует технически завершённая процедура перечисления всех объектов его объёма.

Следовательно, паспорт должен допускать формальное задание условий принадлежности без необходимости фактического перечисления всех элементов.

Особое значение имеет возможность машинно-обрабатываемого представления.

Однако машинная форма не должна подменять смысловую определённость.

Структурированная запись может быть синтаксически корректной и при этом содержать недостаточно определённое понятие.

Следовательно, необходимы самостоятельные критерии качества нормативной записи.

5.10. Типы нооинженерных стандартов

Для первоначальной систематизации предлагается выделить несколько видов ноостандартов.

Терминологические стандарты устанавливают определения и правила использования понятий.

Онтологические стандарты определяют системы классов, отношений и интерпретаций.

Конструктивные стандарты устанавливают правила формирования нооинженерных объектов.

Математические стандарты регулируют конкретные системы объектов, операций и представлений.

Функциональные стандарты определяют требования к выполнению установленных функций.

Интерфейсные стандарты устанавливают правила межсистемного взаимодействия.

Ноометрологические стандарты определяют характеристики, шкалы и методы оценки.

Репродуктивные стандарты регулируют условия воспроизводства объектов и результатов.

Конфигурационные стандарты устанавливают правила идентификации редакций и управления изменениями.

Экосистемные стандарты описывают общую нормативную организацию определённых ноотопоценозов.

Однако перечисленные категории могут пересекаться.

Например, стандарт математической системы классов точности может одновременно иметь терминологическое, конструктивное, операционное и метрологическое содержание.

Следовательно, классификация должна учитывать основное назначение документа и совокупность регулируемых характеристик.

5.11. Иерархия нормативных уровней

Для сложных ноотопоценозов необходима многоуровневая организация стандартов.

В первоначальном варианте предлагается различать следующие уровни.

Общеметодологический уровень определяет фундаментальные принципы нооинженерного проектирования и нормативной работы.

Метанормативный уровень устанавливает требования к структуре самих стандартов, их идентификации и изменению.

Общесистемный уровень регулирует определённую нооинженерную экосистему.

Предметный уровень устанавливает требования к конкретным областям, например математической инженерии.

Видовой уровень определяет нормы для отдельных классов объектов.

Объектный уровень содержит требования к конкретным конструкциям.

Операционный уровень регулирует отдельные процедуры.

Интерфейсный уровень определяет условия взаимодействия различных систем.

Однако указанная организация не обязательно образует единственную строгую иерархию.

Некоторые стандарты могут иметь сквозное действие.

Например, правила идентификации нормативных редакций могут применяться к объектам разных предметных областей.

Следовательно, необходимо учитывать как вертикальные отношения наследования требований, так и горизонтальные отношения совместимости.

5.12. Ноостандарт как формальная нормативная система

Для первоначальной формализации предлагается использовать модель:

S[v] = ⟨I, C, D, O, R, J, P, V, H⟩,

где:

• S[v] — нооинженерный стандарт в нормативной редакции v;
• I — идентификатор стандарта;
• C — область и условия применения;
• D — система определений;
• O — регулируемые объекты и отношения;
• R — нормативные требования;
• J — обязательные инварианты;
• P — процедуры проверки;
• V — сведения о статусе и редакции;
• H — история происхождения и изменений.

Данная модель не является завершённой аксиоматической теорией стандартов.

Она представляет собой первоначальный формат их структурированного описания.

Особенно важно, что в стандарте могут присутствовать различные виды положений.

Одни имеют определительный характер.

Другие устанавливают обязательные требования.

Третьи содержат рекомендации.

Четвёртые описывают процедуры проверки.

Следовательно, нормативная система должна различать статус каждого положения.

Например, математическое утверждение, приведённое в качестве поясняющего примера, не обязательно является самостоятельным обязательным правилом.

А рекомендательный метод не должен автоматически трактоваться как единственный допустимый способ выполнения требования.

Таким образом, формализация ноостандартов должна обеспечивать типизацию нормативного содержания.

5.13. Понятие нормативного профиля

Один общий стандарт может применяться в различных предметных областях.

Однако конкретные объекты нередко требуют специализированных требований.

Для решения данной задачи предлагается использовать понятие нормативного профиля.

Определение 5.3. Нормативный профиль — документированная конкретизация общего нооинженерного стандарта, устанавливающая применимые требования, ограничения и параметры для определённого класса объектов или задач.

Например, общий стандарт математической экспликации может определять принципы построения конечных представлений.

Отдельный профиль может быть предназначен для рациональных чисел.

Другой — для представлений значений специальных математических функций.

Однако переход к новой предметной области требует установления собственных вычислительных и доказательственных условий.

Нельзя автоматически распространять результаты, доказанные для рациональных чисел, на произвольные математические объекты.

Следовательно, нормативный профиль должен содержать явное определение области применения.

Особое значение имеет возможность существования нескольких профилей одного стандарта.

В условиях полисистемности они могут функционировать параллельно.

При этом общая система требований должна устанавливать, какие характеристики сохраняются.

5.14. Проект стандарта классов точности математической экспликации

Рассмотрим условный проект ноостандарта:

НСТ-НОО-01. «Классы точности конечной десятичной экспликации математических объектов. Общие положения».

Данное обозначение является исследовательским.

Оно не означает существования официально утверждённого стандарта.

Предметом проекта выступает нормативная система задания количества десятичных позиций в завершённых представлениях.

Исходным правилом является:

d = 10^n,

где n — номер класса, а d — количество позиций после десятичного разделителя.

При этом стандарт должен определить допустимую область значений n.

В первоначальном варианте могут рассматриваться положительные целые номера классов.

Однако такого правила недостаточно для полного определения математического значения представления.

Необходимо дополнительно установить конкретную операцию.

Например, могут существовать отдельные профили усечения и округления.

Кроме того, необходимо определить правила форматирования, обработки знака и завершающих нулей.

Следовательно, проект должен разграничивать:

класс экспликации;

исходный математический объект;

операцию формирования представления;

математическое значение результата;

нормативную запись.

Именно такое разграничение позволяет предотвратить смешение точного математического объекта с его конечным приближением.

5.15. Структура проекта НСТ-НОО-01

В первоначальном варианте предлагается следующая структура.

Раздел 1. Область применения.

Определяется предметная область и система математических объектов.

Раздел 2. Термины и определения.

Устанавливаются понятия исходного объекта, экспликации, класса, записи и завершённости.

Раздел 3. Система классов.

Фиксируется правило d = 10^n.

Раздел 4. Правила задания исходных объектов.

Определяются допустимые способы математической идентификации.

Раздел 5. Профили операций.

Устанавливаются правила усечения, округления и иных допустимых преобразований.

Раздел 6. Нормативная форма записи.

Определяются количество позиций, знак, разделитель и завершающие нули.

Раздел 7. Требования к проверке.

Фиксируются математические и форматные критерии соответствия.

Раздел 8. Межклассовые преобразования.

Устанавливаются допустимые операции и их ограничения.

Раздел 9. Репродуктивные требования.

Определяются условия повторного получения результатов.

Раздел 10. Управление редакциями.

Регламентируются изменения нормативного содержания.

При этом отдельные профили должны иметь собственные математические спецификации.

Например, правило округления должно включать определение обработки граничных случаев.

Следовательно, общий стандарт и его специализированные профили должны образовывать согласованную нормативную систему.

5.16. Проверка соответствия ноостандарту

Разработка ноостандарта предполагает создание специальных процедур оценки соответствия.

Однако необходимо разграничить проверку нормативного документа и проверку объекта, созданного по его требованиям.

Первая исследует качество самого стандарта.

Вторая устанавливает соответствие конкретной конструкции определённым требованиям.

Например, проект НСТ-НОО-01 может быть проверен на смысловую определённость используемых понятий.

Затем необходимо исследовать математическую согласованность его правил.

Однако даже положительное заключение относительно спецификации не доказывает правильности каждой будущей программной реализации.

Следовательно, для технических объектов необходимы дополнительные испытания.

Особое значение имеет возможность выявления недостаточных требований.

Например, если стандарт устанавливает лишь количество десятичных позиций, но не определяет правило округления, он может оказаться недостаточным для однозначного получения результата.

Такое обстоятельство не обязательно означает логическое противоречие.

Оно может свидетельствовать о неполноте спецификации относительно поставленной задачи.

Следовательно, ноостандартизация должна различать противоречивость, недостаточную определённость и неполноту относительно конкретного назначения.

5.17. Согласование стандартов различных систем

Одним из наиболее сложных вопросов является взаимодействие стандартов, разработанных в разных математических и семантических системах.

Например, две нормативные системы могут использовать одинаковый термин, но определять его различным образом.

В таком случае возникает риск неявной подмены значения.

Для предотвращения соответствующих нарушений требуется специальная процедура согласования.

Она должна включать сопоставление предметных областей, определений, отношений и операций.

Особое значение имеет установление области возможной эквивалентности.

При этом необходимо различать:

терминологическое совпадение;

семантическое соответствие;

структурное сходство;

функциональную совместимость;

математическую эквивалентность;

нормативную взаимозаменяемость.

Наличие одного из перечисленных отношений не гарантирует всех остальных.

Например, две системы могут использовать один формат десятичной записи, но различные правила формирования результатов.

Следовательно, интерфейс между ними должен фиксировать соответствующее различие.

Таким образом, ноостандартизация должна поддерживать согласование без обязательного принудительного объединения всех нормативных систем.

Это положение непосредственно связано с принципом полисистемности.

5.18. Ноостандартизация и формальные онтологии

Формальные онтологии могут использоваться как технические средства представления понятий и отношений нооинженерного стандарта.

В частности, они позволяют создавать системы идентификаторов, классов, свойств и ограничений.

Однако необходимо учитывать, что нормативная спецификация не обязательно полностью выразима в любом выбранном онтологическом языке.

Например, определённые операционные требования могут нуждаться в специальных алгоритмических процедурах.

Другие положения требуют математических доказательств.

Следовательно, онтологическая модель может выступать лишь одним из компонентов общей системы стандартизации.

Особое значение имеют методы отображения неоднородных онтологий.

В инженерии знаний известны задачи согласования понятийных систем, использующих разные обозначения и структуры.

Однако такое согласование не должно ограничиваться лексическим совпадением терминов.

Необходимо исследовать их определения и правила применения.

В качестве методологического ориентира может использоваться ISO/IEC 21838-1:2021, устанавливающий требования к онтологиям верхнего уровня.

Однако этот стандарт не является общим стандартом нооинженерии и не устанавливает всех предполагаемых правил ноостандартизации.

Следовательно, между формальной онтоинженерией и ноостандартизацией должны разрабатываться специальные отношения методологической и технической совместимости.

5.19. Принципы разработки нооинженерных стандартов

Для первоначальной организации предлагается выделить несколько основных принципов.

Принцип предметной определённости. Каждый стандарт должен иметь установленную область применения.

Принцип смысловой определённости. Существенные понятия должны обладать нормативно заданной интерпретацией.

Принцип конструктивной проверяемости. Требования должны сопровождаться применимыми способами контроля либо указанием ограничений их проверки.

Принцип конфигурационной определённости. Каждая редакция должна иметь самостоятельную идентификацию.

Принцип прослеживаемости. Необходимо сохранять сведения о происхождении требований и результатов.

Принцип репродуктивности. Должны быть установлены условия повторного получения соответствующих объектов и результатов.

Принцип полисистемности. Допускается существование нескольких самостоятельных нормативных систем.

Принцип контролируемой изменчивости. Изменение стандартов должно осуществляться посредством документированных процедур.

Принцип ограниченности заключений. Результаты проверки не должны распространяться за пределы установленных условий.

Принцип исторической преемственности. Прежние нормативные редакции должны сохранять возможность научного исследования.

Однако данные принципы пока представляют собой исходную авторскую систему требований.

Для их превращения в полноценные стандарты необходимо определить конкретные процедуры выполнения и проверки.

5.20. Жизненный цикл проекта ноостандарта

Процесс разработки нооинженерного стандарта может включать несколько стадий.

Инициирование предполагает выявление нормативной потребности.

Концептуализация включает определение предметной области и исходных понятий.

Подготовка проекта предусматривает формирование структуры документа.

Семантическая экспертиза исследует определённость используемой терминологии.

Логико-математическая экспертиза устанавливает свойства формальных положений в применимой части.

Инженерная экспертиза проверяет реализуемость требований.

Согласование предполагает рассмотрение предложений и альтернативных решений.

Нормативное принятие определяет статус документа в конкретной системе.

Применение связано с использованием стандарта.

Сопровождение включает регистрацию выявленных недостатков.

Реконструкция предусматривает подготовку новых редакций.

Однако порядок принятия зависит от характера нормативной организации.

Внутренний стандарт исследовательского ноотопоценоза не должен отождествляться с национальным или международным стандартом.

Следовательно, процедура принятия должна соответствовать заявленному нормативному статусу.

5.21. Паспорт нооинженерного стандарта

Для практической организации предлагается разработать паспорт ноостандарта.

Он должен включать:

1. идентификатор;
2. наименование;
3. нормативный статус;
4. организацию или систему, в которой он действует;
5. предметную область;
6. область применения;
7. систему исходных определений;
8. обязательные требования;
9. рекомендуемые положения;
10. используемые математические и логические основания;
11. процедуры проверки;
12. связанные стандарты и спецификации;
13. нормативную редакцию;
14. историю изменений;
15. условия совместимости;
16. результаты экспертиз;
17. сведения о замене, отмене или сохранении прежних редакций.

При этом паспорт должен отличаться от полного текста самого стандарта.

Его назначение состоит в регистрации и структурированном описании документа.

Особое значение имеет возможность машинной обработки соответствующих сведений.

Однако наличие такой технической возможности не заменяет содержательной проверки нормативных положений.

Следовательно, паспорт ноостандарта должен обеспечивать документирование доказательственного и нормативного статуса его требований.

5.22. Основные результаты главы

В настоящей главе предложено определение ноостандартизации как формируемого направления нооинженерии.

Разграничены ноостандарт, нооспецификация и различные уровни нормативного статуса.

Рассмотрены методологические отношения с терминологической стандартизацией и инженерией знаний.

Особое внимание уделено понятию как объекту стандартизации.

Показано значение закона строгого тождества, закона исключённого пятого и закона гармонии для нормативной организации ментальных конструкций.

Предложена первоначальная структура паспорта понятия.

Разработана классификация видов нооинженерных стандартов.

Рассмотрены общие и специализированные нормативные уровни.

Предложена первоначальная формальная модель стандарта.

Введено понятие нормативного профиля.

На примере классов точности конечной десятичной экспликации разработана структура условного проекта НСТ-НОО-01.

Рассмотрены принципы проверки и межсистемного согласования стандартов.

Разграничены онтологическое представление и нормативное регулирование.

Предложены общие принципы разработки нооинженерных стандартов и первоначальный жизненный цикл соответствующих документов.

Таким образом, ноостандартизация рассматривается как система нормативной организации понимания, построения, использования и изменения ментальных объектов, призванная обеспечивать смысловую определённость и инженерную воспроизводимость различных математических и семантических систем.

Однако разработка стандарта представляет собой лишь одну сторону соответствующей деятельности.

Не менее важно обеспечить его контролируемое развитие.

Поэтому необходимо исследовать версионирование, наследование и реконструкцию нооинженерных стандартов.

Этой задаче посвящена следующая глава.

---

Глава 6. Версионирование, наследование и реконструкция нооинженерных стандартов

6.1. Проблема нормативной изменчивости

Развитие нооинженерных объектов и экосистем предполагает возможность изменения их конструктивных и смысловых оснований.

Такие изменения могут затрагивать отдельные определения, математические операции, системы классификации, архитектурные требования и способы взаимодействия.

Следовательно, сами нооинженерные стандарты не могут рассматриваться как абсолютно неизменные документы.

Однако возможность их изменения должна сочетаться с необходимостью сохранения нормативной определённости.

Если математическое правило изменяется без фиксации новой редакции, результаты различных систем могут оказаться неявно смешанными.

А изменение определения понятия способно привести к неправильной интерпретации ранее полученных научных результатов.

Следовательно, необходимо разработать специальную систему управления историческими и нормативными состояниями стандартов.

Для этого предлагается использовать понятия версионирования, наследования и реконструкции.

При этом необходимо различать изменение текста документа и изменение нормативного содержания.

Например, исправление орфографической ошибки не обязательно преобразует математическую систему.

Однако замена одного знака в формуле может существенно изменить правила образования объектов.

Следовательно, характер изменения не должен определяться исключительно объёмом отредактированного текста.

Необходимо исследовать его конструктивные и смысловые последствия.

6.2. Нооинженерная версия стандарта

Предлагается следующее рабочее определение.

Определение 6.1. Версия нооинженерного стандарта — нормативно идентифицированное состояние документа и связанной с ним системы требований, определений и правил, зафиксированное для самостоятельного применения, проверки или исторического исследования.

В данном определении существенны несколько характеристик.

Первая — наличие идентификатора стандарта.

Вторая — наличие обозначения конкретной версии.

Третья — определённость соответствующего содержания.

Четвёртая — указание нормативного статуса.

Пятая — возможность установления отношений с другими версиями.

При этом номер версии не должен автоматически рассматриваться как количественная мера качества.

Например, редакция 2.0 может отличаться от редакции 1.0 по характеру операций.

Однако это не означает, что новая система является математически более истинной.

Следовательно, версионирование должно служить прежде всего средством идентификации и нормативной прослеживаемости.

Особое значение имеет возможность существования нескольких параллельных редакций.

В условиях полисистемности они могут сохранять самостоятельную область применения.

Таким образом, версионирование не должно обязательно предполагать последовательное уничтожение прежних нормативных состояний.

6.3. Идентификатор стандарта и идентификатор версии

Для практической организации необходимо разграничивать идентификатор стандарта и идентификатор конкретной редакции.

Идентификатор стандарта устанавливает принадлежность документа определённой нормативной линии или семейству.

Идентификатор версии указывает конкретное состояние её содержания.

Например, может существовать условный проект:

НСТ-НОО-01.

Его последовательные редакции могут обозначаться:

НСТ-НОО-01 / 1.0;

НСТ-НОО-01 / 1.1;

НСТ-НОО-01 / 2.0.

Однако такая система обозначений является лишь техническим соглашением.

Числа сами по себе не определяют математический характер изменения.

Поэтому необходимо сопровождать каждую версию специальным описанием её отличий.

Особое значение имеет возможность нормативного ветвления.

Например, на основе редакции 1.0 могут быть созданы две независимые линии.

В таком случае их обозначения должны исключать неоднозначность.

Следовательно, схема версионирования должна поддерживать не только линейную последовательность, но и граф происхождения редакций.

6.4. Формальная схема нормативной версии

Для первоначального описания предлагается использовать модель:

S[v] = ⟨ID, C, D, R, O, J, P, H, A⟩,

где:

• S[v] — стандарт в версии v;
• ID — идентификатор нормативного семейства;
• C — область применения;
• D — система определений;
• R — требования;
• O — объекты и операции;
• J — системообразующие инварианты;
• P — процедуры проверки;
• H — история происхождения;
• A — статус принятия и применения.

Однако данная схема должна дополняться сведениями о конкретной структуре нормативного текста.

Например, отдельные положения могут иметь обязательный или рекомендательный статус.

Следовательно, изменение рекомендаций не обязательно обладает теми же последствиями, что изменение фундаментального определения.

Особое значение приобретает возможность построения машинно-обрабатываемого реестра нормативных элементов.

В таком реестре каждый существенный компонент может иметь собственный идентификатор и историю изменений.

Однако наличие структурированных данных не освобождает от содержательной экспертизы.

Следовательно, формальная схема версии должна обеспечивать организацию анализа, но не подменять сам анализ нормативного содержания.

6.5. Классификация изменений стандарта

Для первоначальной системы версионирования предлагается выделить несколько видов изменений.

Редакционное изменение затрагивает форму текста без обязательного изменения нормативного содержания.

Терминологическое уточнение направлено на устранение неоднозначностей при сохранении исходного предметного замысла.

Дополнение вводит новые положения.

Ограничение сужает область допустимого применения.

Расширение вводит новые объекты или операции.

Интерфейсная реконструкция изменяет правила взаимодействия с другими системами.

Семантическая реконструкция затрагивает значения существенных понятий.

Операционная реконструкция изменяет правила выполнения операций.

Ноокарионная реконструкция затрагивает системообразующие характеристики.

Однако перечисленные категории не являются взаимоисключающими.

Например, терминологическое уточнение может фактически изменить область применения требования.

В таком случае оно не должно автоматически классифицироваться как простая редакционная правка.

Следовательно, каждый проект изменения требует анализа его последствий.

Особое значение имеет возможность документирования нескольких характеристик одновременно.

Например, изменение может быть математически существенным, но не затрагивать программную архитектуру.

И наоборот, крупная техническая модернизация способна сохранять прежнюю математическую спецификацию.

6.6. Наследование нооинженерных стандартов

Для исследования отношений между нормативными редакциями предлагается использовать понятие ноонормативного наследования.

Определение 6.2. Ноонормативное наследование — установленное отношение конструктивной и нормативной преемственности между стандартами или их версиями, характеризуемое сохранением, преобразованием либо передачей определённых требований, понятий и правил.

При этом наследование не обязательно означает полное сохранение всех положений.

Новая версия может использовать только часть прежних требований.

Однако соответствующее отношение должно быть явно определено.

Например, одна редакция может наследовать систему классов точности, но изменять правило формирования числового представления.

Следовательно, необходимо указать, какие именно компоненты сохраняются.

Особое значение имеет различие между историческим происхождением и нормативной совместимостью.

Два стандарта могут происходить от одного предшественника, но использовать разные фундаментальные операции.

В то же время независимо разработанные стандарты могут оказаться совместимыми в определённом отношении.

Следовательно, наследование должно рассматриваться как самостоятельное типизированное отношение.

6.7. Виды нормативного наследования

Для первоначальной классификации предлагается выделить несколько типов.

Текстовое наследование предполагает использование определённых положений предшествующего документа.

Терминологическое наследование связано с сохранением установленных обозначений и определений.

Конструктивное наследование характеризует преемственность правил формирования объектов.

Операционное наследование предполагает сохранение определённых операций.

Нормативное наследование связано с передачей обязательных требований.

Ноокарионное наследование предполагает сохранение системообразующих характеристик.

Профильное наследование возникает при конкретизации общего стандарта для специальной предметной области.

Реконструктивное наследование характеризует формирование новой системы посредством целенаправленного изменения исходных оснований.

При этом возможно существование смешанных случаев.

Например, новый стандарт может полностью наследовать терминологию предшественника, но изменять определённые операционные правила.

Следовательно, необходимо различать содержание наследуемых характеристик.

Особенно важно, что использование одного и того же названия не является достаточным доказательством нормативного наследования.

Для такого заключения необходима документированная связь и описание сохраняемых компонентов.

6.8. Наследование и строгая определённость понятий

Одной из фундаментальных проблем является отношение наследования стандартов к закону строгого тождества.

В пределах одной фиксированной редакции необходимо сохранять определённость используемых понятий.

Однако новая редакция может предусматривать изменение их содержания.

Следовательно, нельзя считать всякое изменение понятия нарушением логической правомерности.

Нарушение возникает, когда различие между редакциями не учитывается при использовании соответствующих положений.

Например, стандарт первой редакции может устанавливать определённое правило вычисления.

Если вторая редакция изменяет это правило, необходимо зафиксировать новый нормативный контекст.

Тогда положения обеих редакций могут рассматриваться относительно собственных оснований.

Следовательно, строгое тождество внутри редакции и нормативная изменчивость между редакциями должны обеспечиваться раздельными средствами.

Особое значение приобретает возможность реконструкции истории понятия.

При этом современное определение не должно автоматически заменять историческое.

Таким образом, версионирование представляет собой одно из средств сохранения смысловой преемственности без неявной подмены содержания.

6.9. Совместимость нормативных версий

Для практического использования необходимо определить, какие версии могут взаимодействовать.

Предлагается следующее определение.

Определение 6.3. Нормативная совместимость версий — установленная относительно конкретных требований возможность использования, сопоставления или преобразования объектов и результатов разных редакций без нарушения объявленных условий соответствующего взаимодействия.

В данном определении особенно важно указание на конкретный предмет совместимости.

Например, две редакции могут использовать одинаковый формат записей.

Однако они способны различаться по математическим значениям результатов.

Следовательно, форматная совместимость не гарантирует операционной.

В первоначальном варианте предлагается различать:

синтаксическую совместимость;

терминологическую совместимость;

семантическую совместимость;

конструктивную совместимость;

операционную совместимость;

функциональную совместимость;

репродуктивную совместимость;

конфигурационную совместимость.

При этом данные отношения могут существовать лишь в определённых областях.

Следовательно, заключение о совместимости должно сопровождаться указанием условий и ограничений.

6.10. Совместимость и консервативное расширение математической системы

В логике и математике существует специальное понятие консервативного расширения теории.

Оно представляет интерес для исследования нормативной преемственности.

Пусть T0 — исходная формальная теория, а T1 — её расширение в определённом формальном языке.

В одном из стандартных вариантов определения расширение называется консервативным относительно исходного языка, если всякое утверждение исходного языка, доказуемое в новой теории, было доказуемо уже в исходной.

Условно:

если T1 ⊢ φ для формулы φ исходного языка, то T0 ⊢ φ.

Однако указанное определение требует точного задания формальных теорий, языков и правил вывода.

Следовательно, его нельзя автоматически переносить на произвольные семантические документы.

Тем не менее идея консервативного расширения может иметь существенное значение для ноостандартизации.

Например, новый стандарт может вводить дополнительные виды объектов, сохраняя прежние правила относительно ранее определённой области.

В таком случае возникает задача доказать соответствующую преемственность.

Однако подобное доказательство может быть сложным или неразрешимым универсальным алгоритмическим способом.

Следовательно, нормативное заключение должно учитывать ограничения применённых методов.

Таким образом, консервативное расширение может использоваться как один из строгих математических прототипов совместимого нормативного развития, но не как универсальный критерий для всех видов ноостандартов.

6.11. Несовместимость и самостоятельность нормативных систем

В условиях полисистемности несовместимость отдельных стандартов не обязательно представляет собой дефект.

Например, две математические системы могут использовать разные правила определения объектов.

Если каждая система обладает собственной нормативной определённостью, их различие может быть методологически допустимым.

Однако совместное использование соответствующих объектов требует специального исследования.

Следовательно, необходимо различать:

внутреннюю несогласованность одной системы;

различие нормативных оснований двух систем;

невозможность определённого интерфейсного преобразования;

отсутствие доказанной совместимости.

Эти случаи не являются тождественными.

Например, отсутствие преобразования между двумя системами не означает внутренней противоречивости каждой из них.

Вместе с тем наличие отдельных сходных результатов не доказывает полной совместимости.

Следовательно, необходимо избегать универсальных оценок, не содержащих указания нормативного контекста.

Особое значение имеет возможность параллельного функционирования систем.

В таком случае ноотопоценоз должен включать механизмы их раздельной идентификации и допустимого сопряжения.

Таким образом, несовместимость в одном отношении может сочетаться с функциональной соизмеримостью в другом.

6.12. Ветвление нормативных стандартов

Развитие стандартов может происходить по нескольким независимым направлениям.

Для исследования соответствующих процессов предлагается использовать понятие нормативного ветвления.

Определение 6.4. Нормативное ветвление — формирование двух или более самостоятельных редакций либо систем стандартов на основе общего предшествующего нормативного состояния.

В простейшем случае:

S[v1] → S[v2a];

S[v1] → S[v2b].

Однако такие связи отражают прежде всего отношения происхождения.

Они не определяют автоматически совместимость производных систем.

Например, одна ветвь может расширять набор допустимых объектов.

Другая — изменять правило операции.

Следовательно, между ними могут возникать различные отношения.

Особое значение имеет необходимость самостоятельной регистрации каждой ветви.

Если две редакции используют одинаковое обозначение версии, возникает риск неправильной идентификации.

Поэтому система версионирования должна предусматривать уникальные идентификаторы.

Таким образом, нормативное ветвление представляет собой естественную форму развития полисистемных нооинженерных экосистем.

6.13. Объединение нормативных ветвей

В отдельных случаях может возникнуть задача объединения двух ранее независимых нормативных ветвей.

Однако такое объединение нельзя считать простой технической операцией.

Необходимо установить, какие определения, требования и операции могут быть сохранены совместно.

Особое значение имеют возможные конфликты.

Например, две редакции могут использовать одинаковое название математической операции, но определять её различным образом.

В таком случае механическое объединение документов способно привести к неоднозначности.

Следовательно, требуется специальная процедура согласования.

Она может включать:

1. идентификацию исходных ветвей;
2. сопоставление определений;
3. выявление совпадающих требований;
4. обнаружение конфликтующих правил;
5. проектирование новой нормативной системы;
6. проверку её внутренней определённости;
7. установление отношений с исходными редакциями;
8. принятие решения о статусе новой системы.

При этом объединение может оказаться невозможным без изменения системообразующих оснований.

В таком случае необходимо признать новую систему самостоятельной нормативной реконструкцией.

Следовательно, общее историческое происхождение не является достаточным основанием для автоматического объединения стандартов.

6.14. Ноокарионная реконструкция стандарта

Особую категорию составляет изменение системообразующих нормативных характеристик.

Для его исследования предлагается использовать понятие ноокарионной реконструкции стандарта.

Она предполагает преобразование положений, признанных фундаментальными для соответствующей системы.

Например, в стандарте математической экспликации может быть изменено исходное правило образования классов точности.

В другом случае — способ определения самого математического объекта.

Такие изменения не должны оформляться как простая редакционная правка.

Необходимо установить новую нормативную редакцию и исследовать её отношения с предшествующей.

Особое значение имеет возможность сохранения части исходных требований.

Например, новая система может использовать прежние правила паспортизации при изменении математических операций.

Следовательно, ноокарионная реконструкция не обязательно означает полное уничтожение всей предыдущей конструкции.

Однако необходимо определить, какие инварианты действительно сохраняются.

Таким образом, реконструкция стандарта должна сопровождаться анализом нормативного наследования.

6.15. Пример версионирования стандарта математической экспликации

Рассмотрим условный проект:

НСТ-НОО-01 — «Классы точности конечной десятичной экспликации».

Предположим, что первоначальная редакция устанавливает:

d = 10^n.

Специализированный профиль предусматривает усечение по направлению к нулю.

Для рационального числа:

x = 1/6

в первом классе получаем:

0,1666666666.

Теперь предположим, что разработчик предлагает новый профиль округления до ближайшего значения.

Тогда результат имеет вид:

0,1666666667.

При этом оба представления содержат десять десятичных позиций.

Следовательно, правило определения класса сохраняется.

Однако математическая операция формирования представления изменяется.

В таком случае возможны разные способы нормативной организации.

Первый — создание новой редакции стандарта.

Второй — разработка самостоятельного профиля при сохранении общего стандарта классов.

Выбор зависит от того, какие положения признаны обязательными для исходного нормативного ядра.

Если общий стандарт первоначально допускает несколько правил представления, создание нового профиля может не требовать его фундаментальной реконструкции.

Если же правило усечения было системообразующим, переход к округлению требует отдельного нормативного решения.

Следовательно, характер изменения определяется не внешним сходством записей, а структурой обязательных требований.

6.16. Межклассовое наследование и потеря информации

Особую проблему представляет наследование результатов между различными классами математической экспликации.

В авторской системе класс n предусматривает 10^n десятичных позиций.

Следовательно, первый класс содержит десять позиций, второй — сто.

При использовании одного правила усечения более длинное представление может быть преобразовано в более короткое.

Однако обратное преобразование в общем случае не определяется одной короткой записью.

Например, результат:

0,3333333333

не содержит сведений о всех последующих десятичных цифрах исходного числа.

Следовательно, невозможно во всех случаях восстановить правильное стозначное представление только посредством добавления произвольных цифр или нулей.

Если исходный точный объект сохраняется в кадастровой записи, недостающие позиции могут быть получены посредством новой процедуры.

Однако такое получение является дополнительным вычислением.

Следовательно, необходимо различать:

наследование нормативного правила;

преобразование завершённого представления;

восстановление исходного математического объекта;

формирование результата нового класса.

Эти операции не являются взаимозаменяемыми.

Таким образом, система стандартов должна фиксировать не только отношения наследования, но и информационные ограничения межклассовых преобразований.

6.17. Миграция объектов между нормативными редакциями

При создании новой версии стандарта может возникнуть необходимость преобразования ранее зарегистрированных объектов.

Для этого предлагается использовать понятие нормативной миграции.

Определение 6.5. Нормативная миграция — документированное преобразование нооинженерных объектов, представлений или результатов из одной нормативной системы в другую по специально установленным правилам.

В данном определении особенно важно наличие определённого интерфейса.

Например, переход от системы усечения к системе округления не всегда может осуществляться на основании одного конечного результата.

Для получения правильного округлённого значения может потребоваться дополнительная информация об исходном числе.

Следовательно, миграционная процедура должна устанавливать необходимые входные данные.

Особое значение имеет различие между точной и приближённой миграцией.

Некоторые характеристики могут сохраняться полностью.

Другие — только в пределах установленного допуска.

Третьи могут быть утрачены.

Следовательно, результат миграции должен сопровождаться отдельным паспортом.

В нём необходимо указать исходную редакцию, применённое преобразование, сохраняемые свойства и ограничения.

Таким образом, миграция должна рассматриваться как самостоятельная ноотехническая процедура, а не как автоматическое переименование нормативного статуса объекта.

6.18. Сохранение доказательств при изменении стандарта

Одной из наиболее сложных задач является определение того, какие ранее полученные результаты проверки сохраняют силу после изменения нормативной системы.

Например, математическое доказательство свойства усечения может оставаться применимым при изменении программной реализации соответствующей операции.

Однако оно не обязательно сохраняет применимость при замене усечения округлением.

Следовательно, необходимо исследовать зависимости между доказательствами и нормативными основаниями.

Для этого предлагается использовать реестр доказательственных обязательств.

Он должен связывать:

• математическое утверждение;
• исходные определения;
• нормативную редакцию;
• применённые правила вывода;
• доказательство;
• область применения;
• связанные технические реализации.

При изменении определённого основания необходимо установить, какие доказательства затрагиваются.

Однако нельзя автоматически считать, что любое изменение документа аннулирует все прежние результаты.

Например, исправление орфографической ошибки может не затрагивать математического содержания.

Следовательно, требуется предметный анализ изменений.

Особое значение имеет возможность повторного использования доказательств в новых редакциях при наличии необходимых условий.

Таким образом, система версионирования должна обеспечивать управление не только нормативными текстами, но и доказательственными основаниями их применения.

6.19. Нормативные статусы версий

Для практического использования предлагается различать несколько состояний нормативного документа.

Исследовательский проект — первоначальная разработка.

Редакция на экспертизе — документ, проходящий установленную проверку.

Согласованная редакция — вариант, для которого выполнены определённые процедуры согласования.

Принятая внутренняя редакция — документ, действующий в определённой нооинженерной системе.

Экспериментальная редакция — вариант, допускаемый для ограниченного исследовательского применения.

Заменённая редакция — документ, уступивший место другой редакции в определённом нормативном контексте.

Архивная редакция — исторически зафиксированное состояние, сохраняемое для исследования и воспроизводства.

Однако указанные статусы представляют собой проект внутренней классификации.

Они не должны автоматически отождествляться с официальными стадиями принятия национальных или международных стандартов.

Кроме того, статус «архивная» не означает математической некорректности соответствующей системы.

Прежняя редакция может сохранять научную и практическую значимость.

Следовательно, нормативный статус должен характеризовать условия использования документа, а не служить универсальной оценкой его истинности.

6.20. Протокол реконструкции стандарта

Для организации процессов изменения предлагается разработать специальный протокол.

Этап 1. Идентификация действующего стандарта.

Устанавливаются идентификатор, редакция и область применения.

Этап 2. Регистрация предлагаемого изменения.

Формулируется предмет реконструкции.

Этап 3. Анализ нормативных зависимостей.

Выявляются затрагиваемые определения, операции и требования.

Этап 4. Определение типа изменения.

Устанавливается, является ли оно редакционным, совместимым расширением или фундаментальной реконструкцией.

Этап 5. Разработка новой системы правил.

Подготавливаются необходимые определения и спецификации.

Этап 6. Нооиммунологическая экспертиза.

Исследуются смысловая определённость и корректность новой конструкции.

Этап 7. Проверка наследования и совместимости.

Устанавливаются сохраняемые и изменяемые характеристики.

Этап 8. Репродуктивная проверка.

Исследуется возможность повторного получения результатов по новым правилам.

Этап 9. Нормативное решение.

Определяется статус новой редакции.

Этап 10. Регистрация и сопровождение.

Обновляются реестры, паспорта и координатные описания.

При этом каждый этап должен сопровождаться соответствующими документами.

Особое значение имеет возможность отрицательного результата экспертизы.

Если новая система недостаточно определена, её проект может быть возвращён на доработку.

Однако такое решение должно сопровождаться указанием конкретных недостатков.

6.21. Реестр происхождения и совместимости стандартов

Для практической организации предлагается создать реестр нормативного происхождения и совместимости.

В первоначальном варианте он должен включать следующие характеристики.

Характеристика	Содержание
Идентификатор стандарта	Нормативное семейство
Идентификатор редакции	Конкретное состояние
Статус	Проект, принятая внутренняя редакция, архив и др.
Предшествующая редакция	Источник нормативного наследования
Вид изменения	Уточнение, расширение, реконструкция и др.
Сохраняемые характеристики	Подтверждённые инварианты
Изменённые характеристики	Новые определения или правила
Совместимость	Установленные виды и области совместимости
Интерфейсы	Допустимые межредакционные преобразования
Доказательства	Связанные формальные и экспериментальные результаты
Ограничения	Известные условия неприменимости
История решений	Сведения о принятии и пересмотре

Однако наличие записи о совместимости не заменяет проверки её действительных математических оснований.

Следовательно, реестр должен содержать ссылки на соответствующие протоколы и доказательства.

Особое значение приобретает возможность машинного анализа зависимостей.

Например, при изменении определения определённой операции система может выявлять связанные стандарты, требующие повторного рассмотрения.

Однако автоматическое обнаружение зависимости не всегда позволяет определить содержание соответствующего нарушения.

Поэтому машинные средства должны дополняться формальной и экспертной проверкой.

6.22. Нормативное наследование и эволюция ноотопоценоза

Разработка системы версионирования позволяет перейти от исследования отдельных стандартов к нормативной истории целого ноотопоценоза.

Нооинженерная экосистема может включать множество взаимосвязанных стандартов и их редакций.

При этом отдельные нормативные линии могут развиваться независимо.

Другие могут объединяться посредством специальных интерфейсов.

Третьи могут формировать новые системы вследствие фундаментальной реконструкции.

Следовательно, нормативная история ноотопоценоза имеет потенциально сетевой характер.

Для её исследования необходимо учитывать отношения происхождения, наследования и совместимости.

Однако данные отношения не следует автоматически сводить к одной последовательности.

В частности, более поздняя редакция не обязательно обладает универсальным преимуществом перед более ранней.

Различные системы могут сохранять самостоятельную функциональную значимость.

Следовательно, ноостандартизация должна поддерживать принцип полисистемности и возможность исторически определённого существования нескольких нормативных состояний.

Особое значение имеет сохранение ноокарионных характеристик.

Их изменение способно приводить к возникновению существенно новой системы.

Однако конкретные критерии такого перехода должны определяться соответствующим нормативным контекстом.

Таким образом, версионирование и наследование стандартов выступают одним из механизмов управляемой нооэволюции.

6.23. Ноостандартизация в перспективе Метаорганона

Предлагаемая система нормативного управления может иметь значение для дальнейшего развития перспективного Метаорганона.

В частности, она позволяет поставить задачу создания единой инфраструктуры документирования различных математических, логических и семантических систем.

Однако такое единство не должно означать принудительного сведения всех предметных областей к одной аксиоматике.

Напротив, оно может обеспечиваться посредством общей системы идентификаторов, паспортов, интерфейсов и правил нормативного взаимодействия.

При этом каждая отдельная система сохраняет собственные исходные основания.

Особое значение имеет возможность исторической реконструкции понятий.

Например, определённый математический термин может изменять своё значение в ходе развития науки.

Для корректного исследования необходимо сохранять соответствующие нормативные редакции.

Вместе с тем требуется возможность сопоставления различных систем.

Следовательно, перспективный Метаорганон должен включать средства как сохранения различий, так и установления обоснованных соответствий.

Однако создание такой системы представляет собой самостоятельную исследовательскую задачу.

Наличие первоначальной концепции ноостандартизации ещё не означает завершённой разработки соответствующей универсальной инфраструктуры.

Следовательно, дальнейшее развитие требует формализации, опытных реализаций, проверки и специализированной стандартизации.

6.24. Основные результаты главы

В настоящей главе предложены определения версии, наследования, совместимости, ветвления и нормативной миграции нооинженерных стандартов.

Разграничены идентификатор стандарта и идентификатор его редакции.

Разработана первоначальная классификация нормативных изменений.

Рассмотрены текстовое, терминологическое, конструктивное, операционное, профильное и ноокарионное наследование.

Показано значение строгой определённости понятий при переходе между редакциями.

Предложено различать несколько видов совместимости.

Рассмотрено использование понятия консервативного расширения математической теории в качестве одного из формальных прототипов нормативной преемственности.

Показано, что историческое происхождение стандартов не гарантирует их автоматической совместимости.

Разработаны принципы нормативного ветвления и объединения редакций.

Рассмотрена ноокарионная реконструкция.

На примере стандартов конечной десятичной экспликации исследованы отношения между правилами усечения и округления.

Особое внимание уделено межклассовым преобразованиям и возможной потере информации.

Предложены методы управления доказательственными материалами при изменении нормативных оснований.

Разработаны первоначальные требования к протоколу реконструкции и реестру совместимости стандартов.

Таким образом, версионирование, наследование и реконструкция нооинженерных стандартов рассматриваются как система нормативно управляемого развития ментальных конструкций, предназначенная для сохранения исторической определённости, обеспечения совместимости и поддержки полисистемной организации ноотопоценозов.

---

Итоги части VI

В шести главах шестой части настоящей монографии разработаны первоначальные основания ноометрологии, ноолокации и ноостандартизации.

Исследованы принципы определения и оценки характеристик нооинженерных объектов.

Разграничены математические величины, нормативные показатели, качественные характеристики и критерии допустимости.

Особое внимание уделено авторской шкале классов точности конечной десятичной экспликации.

Согласно этой шкале класс с номером n предусматривает 10^n десятичных позиций после запятой.

При этом показана необходимость последовательного разграничения точного математического объекта, его конечного представления, математической погрешности и нормативной завершённости экспликации.

Предложены исходные понятия ноогеодезии, ноотопографии, ноокартографии и ноокадастра.

Разработаны первоначальные определения ноопространства и семантических координат.

Показано, что координатизация ментальных объектов не обязательно имеет геометрическую природу.

Она может основываться на классификационных, конструктивных, функциональных и нормативных отношениях.

Особое значение имеет принцип полисистемности.

Он предусматривает возможность существования различных координатных систем без обязательного сведения их к единому универсальному основанию.

Разработаны первоначальные методы ноолокации и паспортизации ноотехнических НИОКР.

Предложены способы регистрации исходных математических объектов, их представлений, исследовательских проектов и нормативных редакций.

Следующим результатом является постановка задачи исследования ноотехнической надёжности, качества и безопасности.

Разграничены математическая корректность, техническая надёжность, воспроизводимость и соответствие назначению.

Рассмотрены виды отказов, рисков и механизмов их предупреждения.

Показано значение нооиммунологии, ноогомеостаза, ноорегенерации и контроля конфигураций для обеспечения устойчивости нооинженерных систем.

Особое место занимает разработка ноостандартизации.

Предложены определения ноостандарта, нормативного профиля и паспорта стандартизируемого понятия.

Исследованы возможности использования гармонической логики для обеспечения смысловой определённости нормативных систем.

При этом закон строгого тождества, закон исключённого пятого и закон гармонии рассматриваются в соответствии с их исходными авторскими формулировками, а не как произвольно переименованные положения других логических теорий.

Показана необходимость перехода от общих философско-логических принципов к конкретным инженерным процедурам проверки.

Разработаны первоначальные подходы к классификации и структуре нооинженерных стандартов.

На примере классов точности экспликации рассмотрен условный проект НСТ-НОО-01.

Однако необходимо подчеркнуть, что данный документ имеет статус исследовательского проекта, а не действующего официального стандарта.

Наконец, исследованы версионирование, наследование и реконструкция нооинженерных стандартов.

Разграничены редакционное изменение, совместимое расширение, операционная реконструкция и преобразование системообразующих нормативных характеристик.

Показано, что новая редакция может сохранять определённую преемственность с прежней, не обладая с ней полной математической или семантической эквивалентностью.

Особое значение имеет возможность нормативного ветвления.

В условиях полисистемности различные редакции могут существовать одновременно.

При этом требуется обеспечить их самостоятельную идентификацию, документирование и контролируемое взаимодействие.

Таким образом, шестая часть монографии формирует первоначальные основания нормативно-измерительной и координатно-регистрационной инфраструктуры нооинженерии.

Однако предложенная система нуждается в дальнейшем уточнении.

Для полноценного становления ноометрологии необходимо разработать строгие системы шкал и методы оценки.

Для ноогеодезии и ноолокации — конкретные координатные модели и правила преобразования.

Для ноостандартизации — специализированные проекты нормативных документов и процедуры их проверки.

Особенно важным является переход от общей методологии к самостоятельным формальным моделям математических объектов различных классов.

В этой связи следующая часть настоящей монографии должна быть посвящена более подробному исследованию систем шкал, классов точности, правил экспликации и классового сравнения математических объектов.

Главный результат шестой части состоит в разработке исходной системы понятий и методов, позволяющих определять характеристики ментальных объектов, устанавливать их нормативную локализацию, оценивать качество и допустимость, документировать результаты и управлять развитием нооинженерных стандартов.

На этой основе становится возможным перейти к построению специализированной теории систем шкал и классов математических объектов, представляющей собой одно из центральных направлений дальнейшего развития нооинженерной математики.

*********

ЧАСТЬ VII. СИСТЕМЫ ШКАЛ И КЛАССОВ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

Глава 1. Теоретические основания классификации математических объектов

1.1. Проблема классификации в математике и нооинженерии

В предшествующих частях настоящей монографии были разработаны первоначальные основания общей теории нооинженерных объектов и экосистем, рассмотрены их конструктивная организация, функциональные механизмы, технологии проектирования, ноометрология и ноостандартизация.

Особое внимание уделялось необходимости нормативной определённости ментальных конструкций, возможности их воспроизводства, контролируемого изменения и сосуществования в различных математических системах.

Однако для перехода к конкретным математическим технологиям необходимо разработать специальную систему классификации математических объектов.

Классификация занимает фундаментальное место в математическом познании.

Она позволяет выделять определённые виды объектов, устанавливать их общие и отличительные свойства, исследовать отношения включения и формировать специализированные теории.

В традиционной математике используются многочисленные классификации чисел, множеств, функций, пространств, структур и других объектов.

Например, различаются натуральные, целые, рациональные, действительные и комплексные числа.

Функции классифицируются по непрерывности, дифференцируемости, вычислимости и другим характеристикам.

Алгебраические структуры выделяются посредством определённых операций и аксиом.

Однако в нооинженерии возникает дополнительная проблема.

Математический объект рассматривается не только как предмет теоретического исследования, но и как возможный результат целенаправленного ментального конструирования.

Следовательно, возникает необходимость классифицировать не только математические объекты в их традиционном понимании, но и способы их задания, экспликации, воспроизводства и технического использования.

Особое значение приобретают характеристики определённости, конструктивной организации, класса представления и нормативной принадлежности.

Таким образом, требуется разработать общую теорию классификации математических объектов как особый раздел формирующейся нооинженерной математики.

1.2. Историко-теоретические основания авторского подхода

В ранее опубликованных работах автора проблема классификации математических объектов рассматривалась в связи с разработкой гармонической логики и гармонической арифметики.

В «Пролегоменах к инновационной войне по основаниям гармонической математики» 2002 года были изложены авторские подходы к определению числа как особого вида понятия.

В рамках соответствующей исследовательской программы понятие рассматривается как искусственный ментальный объект, характеризуемый единством гносеологических содержания, объёма и состава.

Особое значение приобретает разграничение качественных и количественных составляющих ментальных конструкций.

В авторской терминологии используются понятия ритмоса и аритмоса, связанные соответственно с качественными и количественными аспектами понятийной организации.

На этой основе в первоначальной гармонической арифметической системе была предложена особая классификация числовых объектов.

В частности, исследовались различия между конечными и бесконечными числами, периодическими и непериодическими конструкциями, а также различные способы задания числовых последовательностей.

Однако необходимо учитывать, что соответствующие положения принадлежат определённой авторской математико-философской системе.

Они не должны автоматически отождествляться с принятыми определениями классической теории чисел.

В частности, интерпретации актуальной бесконечности и классификации бесконечных числовых объектов требуют самостоятельного математического обоснования относительно конкретной аксиоматики.

Настоящая часть монографии продолжает исходную программу исследования математических объектов как конструкций, но ставит дополнительную инженерную задачу.

Речь идёт о разработке специализированных шкал классификации, позволяющих различать математические объекты по определённым нормативно установленным характеристикам.

Особое место среди таких шкал занимает авторская система классов точности эксплицируемых математических объектов.

При этом её необходимо отличать от более ранней родо-видовой классификации чисел в гармонической арифметике.

1.3. Математический объект как предмет классификации

Для построения классификации необходимо предварительно определить, что именно рассматривается как математический объект.

В традиционной математике соответствующее понятие зависит от используемой теории.

Например, число может определяться в рамках арифметики, теории множеств, алгебраической структуры или другой формальной системы.

В нооинженерном подходе особое значение приобретает нормативный контекст.

Предлагается следующее рабочее определение.

Определение 1.1. Математический объект в нооинженерном рассмотрении — нормативно определённая ментальная конструкция, принадлежащая установленной математической системе и обладающая характеристиками, отношениями или операциями, допускающими исследование в пределах её правил.

В данном определении необходимо выделить несколько существенных обстоятельств.

Во-первых, объект должен рассматриваться относительно определённой системы.

Во-вторых, необходимо установить его математическую предметность.

В-третьих, следует различать исходные и производные характеристики.

В-четвёртых, классификация должна опираться на определённые признаки.

Однако указанное определение не требует, чтобы каждый математический объект обладал завершённой десятичной записью.

Например, рациональное число 1/3 может быть точно задано отношением целых чисел.

При этом его десятичная запись является бесконечной периодической последовательностью.

Следовательно, точная математическая определённость и конечность конкретного представления не являются тождественными характеристиками.

Это положение имеет фундаментальное значение для дальнейшего построения классов математической экспликации.

1.4. Объект, имя, определение, модель и представление

Одной из главных методологических предпосылок классификации является разграничение математического объекта и способов его описания.

Имя объекта представляет собой принятое обозначение.

Определение объекта устанавливает его существенные характеристики.

Модель используется для представления определённых свойств или отношений в выбранной системе.

Представление характеризует конкретную форму задания или экспликации.

Алгоритм определяет способ выполнения установленной операции.

Техническая реализация обеспечивает осуществление алгоритмической процедуры посредством конкретных средств.

Эти категории взаимосвязаны, но не являются тождественными.

Например, рациональное число:

1/2

может иметь десятичную запись:

0,5.

В системе первого класса точности оно может быть представлено как:

0,5000000000.

Три приведённые записи могут обозначать одно и то же точное рациональное значение при обычной арифметической интерпретации.

Однако они различаются как текстовые представления.

Следовательно, классификация должна учитывать предмет исследования.

Если классифицируются рациональные числа по математическому значению, указанные обозначения относятся к одному объекту.

Если классифицируются нормативные десятичные записи, они могут принадлежать различным классам представления.

Таким образом, математическое тождество объектов не означает буквального тождества их обозначений.

1.5. Основные уровни классификации

Для первоначальной организации предлагается различать несколько уровней.

Первый уровень — онтологико-математическая классификация.

Он относится к видам математических объектов в определённой теории.

Второй уровень — логико-семантическая классификация.

Он характеризует способы определения, интерпретации и смысловой организации объектов.

Третий уровень — конструктивная классификация.

Он устанавливает способы построения объектов.

Четвёртый уровень — репрезентационная классификация.

Он относится к различным формам записи и экспликации.

Пятый уровень — алгоритмическая классификация.

Он характеризует способы вычисления и преобразования.

Шестой уровень — ноометрологическая классификация.

Он основан на специально определённых характеристиках и шкалах.

Седьмой уровень — нормативная классификация.

Он устанавливает принадлежность к определённым стандартам и редакциям.

Восьмой уровень — техническая классификация.

Он характеризует условия фактической реализации и воспроизводства.

Однако перечисленные уровни не обязательно образуют единственную иерархию.

Например, одно рациональное число может иметь несколько представлений и множество алгоритмов вычисления.

Следовательно, соответствующие классификации должны применяться одновременно, но с разграничением их предметов.

Это положение непосредственно связано с принципом полисистемности.

1.6. Род, вид, класс и тип математического объекта

Для научной определённости необходимо разграничить основные классификационные категории.

Род характеризует более общую совокупность объектов относительно определённого отношения включения.

Вид выделяется посредством дополнительных характеристик внутри соответствующего рода.

Класс представляет собой совокупность объектов, объединённых установленным классификационным признаком.

Тип может использоваться для задания категории объектов и допустимых операций над ними в определённой формальной или конструктивной системе.

Однако эти понятия имеют различные значения в разных математических и логических дисциплинах.

Следовательно, нооинженерная классификация должна устанавливать их конкретное нормативное содержание.

Например, рациональные числа образуют определённый класс внутри действительных чисел в обычной математической системе.

Но класс точности конечного представления не является новым родом математических чисел в том же смысле.

Он характеризует способ экспликации исходного объекта.

Следовательно, необходимо различать:

класс математических объектов по их внутренним свойствам;

класс представлений математических объектов;

класс конструктивных технологий;

класс нормативной допустимости.

Без такого разграничения может возникнуть ошибочное представление, будто одно и то же число превращается в несколько математически различных чисел исключительно вследствие использования разных количеств десятичных позиций.

1.7. Классификационный признак

Всякая научная классификация предполагает наличие определённого основания.

Для его обозначения предлагается использовать понятие классификационного признака.

Определение 1.2. Классификационный признак — нормативно определённая характеристика математического объекта, конструкции или представления, используемая для установления его принадлежности определённому классу.

При этом необходимо различать признак и процедуру его установления.

Например, принадлежность числа рациональным характеризуется математическим свойством.

А конкретная процедура определения рациональности может зависеть от способа задания числа.

Если число представлено конечной десятичной дробью, рациональность его значения устанавливается непосредственно.

Однако произвольно заданный вычислимый действительный объект может не сопровождаться алгоритмом, решающим все предполагаемые вопросы о его математических свойствах.

Следовательно, наличие определённого классификационного признака не гарантирует универсальной вычислительной разрешимости соответствующей задачи.

Особое значение приобретает различие между семантически определённым классом и эффективно распознаваемым классом.

В первом случае устанавливаются условия принадлежности.

Во втором дополнительно требуется алгоритмическая процедура распознавания.

Следовательно, классификационная система должна документировать как смысловое основание признака, так и характер доступных способов его проверки.

1.8. Формальная схема классификации

Для первоначального описания предлагается использовать модель:

K = ⟨S, U, F, V, A, R⟩,

где:

• K — конкретная классификационная система;
• S — нормативная математическая система;
• U — предметная область классификации;
• F — совокупность классификационных признаков;
• V — множества допустимых значений признаков;
• A — правила установления соответствующих значений;
• R — отношения между выделенными классами.

Данная модель не является завершённой аксиоматической теорией классификации.

Она представляет собой исходную структуру для разработки конкретных классификационных систем.

В простейшем случае определённый признак может задавать отображение:

f: U → V.

Тогда для значения v ∈ V выделяется класс:

K_v = {x ∈ U : f(x) = v}.

Однако необходимо учитывать, что не всякая характеристика определена для всех объектов рассматриваемой области.

В таком случае используется частичная функция либо специальный статус неприменимости.

Особое значение имеет возможность классификации по нескольким независимым признакам.

Например, математическое представление может характеризоваться одновременно количеством десятичных позиций, способом округления и нормативной редакцией.

Следовательно, для его полной классификации одного признака может оказаться недостаточно.

1.9. Разбиение, перекрытие и иерархия классов

Различные классификационные системы могут обладать неодинаковой математической структурой.

В некоторых случаях классы образуют разбиение предметной области.

Это означает, что каждый объект принадлежит ровно одному классу определённого уровня классификации.

В других случаях классы могут перекрываться.

Например, число может одновременно обладать несколькими математическими характеристиками.

Следовательно, необходимо различать классификацию по взаимоисключающим признакам и многопризнаковую типологию.

Особое значение имеет возможность вложения классов.

Например, в обычной системе чисел рациональные значения принадлежат действительной числовой области.

Однако нельзя считать, что все нооинженерные классификации должны обладать подобным отношением включения.

В частности, классы десятичной экспликации могут различаться по количеству позиций, но это не означает, что сама завершённая десятизначная запись одновременно является завершённой записью со ста позициями.

Для получения второго представления требуется соответствующее нормативное преобразование.

Следовательно, необходимо разграничивать включение классов объектов и наличие операции перехода между классами представлений.

Это различие особенно важно для дальнейшей разработки классовой арифметики.

1.10. Содержание, объём и состав понятия как основания классификации

В гармонической логике автора фундаментальное значение имеет разграничение содержания, объёма и состава понятия.

Эти характеристики позволяют поставить вопрос о классификации математических объектов на нескольких различных основаниях.

Содержание связано с системой признаков и отношений, определяющих соответствующее понятие.

Объём относится к охватываемым понятием объектам в принятой теоретической интерпретации.

Состав характеризует особый аспект организации соответствующих элементов, который в авторской программе связывается с условиями их актуализации и порождения.

Однако необходимо учитывать, что эти положения принадлежат специфической философско-логической системе.

Они не должны автоматически подменяться обычным математическим различием между множеством и его элементами.

Особенно важно различать математическое определение объёма понятия и техническую процедуру перечисления соответствующих объектов.

Например, рациональные числа могут задаваться посредством формального определения.

Но это не означает, что все рациональные числа фактически представлены в завершённом физическом списке.

Следовательно, нооинженерная классификация должна учитывать различные уровни определённости.

Один уровень относится к правилу принадлежности.

Другой — к процедуре порождения элементов.

Третий — к фактически завершённой экспликации определённой совокупности.

Таким образом, авторское разграничение содержания, объёма и состава может служить методологическим основанием для разработки специализированных ноотехнических характеристик.

Однако конкретные математические выводы требуют самостоятельной формализации.

1.11. Качественные и количественные основания классификации

В исходной гармонической логике особое внимание уделяется соотношению качественных и количественных составляющих понятий.

Для дальнейшей разработки необходимо разграничить несколько типов классификации.

Качественная классификация основана на наличии определённых свойств или отношений.

Например, можно различать коммутативные и некоммутативные алгебраические структуры.

Количественная классификация использует математически определённые величины.

Например, конечные графы могут классифицироваться по количеству вершин.

Смешанная классификация использует сочетание качественных и количественных признаков.

Например, вычислительный алгоритм может определяться типом выполняемой операции и объёмом требуемых ресурсов.

Особое значение имеет необходимость различать количество и качество.

Увеличение количественного показателя не обязательно означает переход к более высокому качеству.

Например, представление числа с большим количеством десятичных позиций может содержать больше информации об исходном объекте.

Но оно не обязательно является предпочтительным для любой инженерной задачи.

Кроме того, количество позиций не гарантирует правильности записанных цифр.

Следовательно, в нооинженерной классификации необходимо раздельно определять количественную характеристику и критерий качества.

1.12. Классификация по способу задания математического объекта

Одним из важных направлений является классификация математических объектов по способу их задания.

В первоначальном варианте можно выделить несколько категорий.

Непосредственно заданные объекты представлены определённой конечной записью или конструкцией.

Символически определённые объекты задаются посредством формального выражения.

Аксиоматически характеризуемые объекты определяются системой свойств и отношений.

Алгоритмически задаваемые объекты характеризуются процедурами построения или вычисления.

Имплицитно определяемые объекты задаются посредством условий, из которых предполагается установить их свойства или существование.

Однако данная классификация не является строгим разбиением.

Один объект может обладать несколькими способами задания.

Например, рациональное число 1/2 имеет конечную дробную запись.

Оно также допускает точное десятичное представление и алгоритмическое определение.

Следовательно, способы задания могут рассматриваться как самостоятельные характеристики одного математического объекта.

Особое значение имеет различие между наличием алгоритма вычисления и наличием фактически полученного результата.

Алгоритм может предписывать получение чрезвычайно длинной конечной записи.

Однако её полная экспликация может ещё не быть осуществлена.

Таким образом, классификация должна учитывать форму определения и фактическую степень завершённости представления.

1.13. Классификация по эксплицируемости

Для дальнейшего развития нооинженерной математики особое значение имеет понятие экспликации.

В первоначальном приближении предлагается понимать под ней получение определённого явного представления математического объекта согласно установленным правилам.

При этом необходимо различать несколько случаев.

Полностью эксплицированный объект относительно заданного формата — объект, для которого фактически получено всё предусмотренное представление.

Алгоритмически эксплицируемый объект — объект, для которого определена процедура получения требуемого представления при выполнении её условий.

Частично эксплицированный объект — объект, для которого получена только часть предусмотренного результата.

Символически определённый объект без соответствующей полной экспликации — математическая конструкция, заданная определённым выражением или правилом, но не представленная полностью в выбранном формате.

Однако данные характеристики относятся к конкретной задаче экспликации.

Например, точное рациональное число 1/3 может быть полностью задано конечным символическим выражением.

Вместе с тем его бесконечная десятичная запись не является завершённым конечным текстом.

Следовательно, нельзя автоматически делать вывод о математической неопределённости числа на основании отсутствия завершённой десятичной экспликации.

Особенно важно различать логико-математическую определённость, алгоритмическую вычислимость и физическую реализованность вычисления.

Эти характеристики образуют самостоятельные направления классификации.

1.14. Формально конечные и технически труднодоступные объекты

Одной из специальных проблем является различие между математически конечной конструкцией и возможностью её полной физической реализации.

Например, можно установить требование получить десятичную запись, содержащую 10^12 позиций.

Такое количество является конечным натуральным числом.

Однако фактическое формирование, хранение и проверка соответствующего массива символов требуют значительных технических ресурсов.

Следовательно, необходимо различать формальную конечность и практическую осуществимость.

При этом следует избегать необоснованного отождествления технической труднодоступности с математической бесконечностью.

Чрезвычайно большое конечное число десятичных позиций не становится актуально бесконечным только вследствие недостаточности доступных вычислительных ресурсов.

В авторской исследовательской программе соответствующая проблематика связана с перспективой разработки Изольдионики.

Однако для её самостоятельного научного становления необходимо определить особую предметную область и критерии классификации формально конечных, но практически неэксплицированных объектов.

В настоящей части рассматривается прежде всего нормативная классификация конечных экспликаций.

Следовательно, понятия физической осуществимости и математической конечности должны сохранять самостоятельность.

1.15. Классификация по точности представления

Особое значение для последующих исследований имеет классификация математических представлений по количеству предусмотренных десятичных позиций.

В авторской системе для класса с номером n устанавливается:

d = 10^n,

где d — количество десятичных цифр после запятой.

Следовательно, первый класс предусматривает десять позиций.

Второй — сто.

Третий — тысячу.

Однако данная система классифицирует определённую характеристику конечного представления.

Она не определяет автоматически математическое значение исходного объекта.

Например, точное число 1/3 может иметь представления различных классов.

Но переход между ними не означает изменения исходного рационального числа.

Следовательно, необходимо различать:

объект исходной математической системы;

нормативный класс экспликации;

правило формирования конечного представления;

результат конкретной операции.

Особое значение имеет также возможность использования различных правил.

Усечение и округление могут давать разные результаты при одинаковом классе.

Следовательно, номер класса сам по себе не обеспечивает полного определения математического представления.

1.16. Классовая эквивалентность и математическое тождество

Одним из фундаментальных вопросов является различие между математическим равенством и совпадением конечных представлений.

Рассмотрим точные рациональные числа:

x = 1/3

и

y = 1/3 + 10^(−12).

Очевидно:

x ≠ y.

Однако при усечении до десяти десятичных позиций получаем:

T_10(x) = 0,3333333333;

T_10(y) = 0,3333333333.

Следовательно, два различных точных рациональных числа имеют одинаковое представление первого класса при указанном правиле усечения.

Для описания соответствующего отношения можно ввести специальную эквивалентность:

x ~(n,T) y ⇔ T(10^n)(x) = T_(10^n)(y).

В данном определении T обозначает установленную операцию усечения.

Однако необходимо подчеркнуть, что отношение ~_(n,T) не является обычным математическим равенством исходных рациональных чисел.

Оно характеризует совпадение результатов конкретной нормативной операции.

При этом можно установить рефлексивность, симметричность и транзитивность соответствующего отношения.

Следовательно, оно образует отношение эквивалентности на установленной предметной области.

Однако его использование должно сопровождаться указанием класса и правила формирования.

Таким образом, классовая эквивалентность представляет собой самостоятельное отношение, не заменяющее строгого математического тождества.

1.17. Классификация и принцип полисистемности

Различные математические системы могут использовать неодинаковые классификационные основания.

Следовательно, одна и та же математическая конструкция может получать разные типологические характеристики в различных нормативных контекстах.

Например, в системе точной рациональной арифметики главным может быть математическое значение числа.

В системе конечной десятичной экспликации — класс его представления.

В системе алгоритмического анализа — вычислительная сложность соответствующей процедуры.

В системе технической реализации — объём необходимых ресурсов.

Следовательно, необходимо учитывать множественность классификаций.

Однако такая множественность не означает произвольности.

Каждая система должна иметь установленное основание.

Особое значение приобретает возможность сопоставления классификаций.

Например, отображение из точной рациональной арифметики в систему конечных десятичных представлений может терять информацию.

Следовательно, оно не обязано сохранять все свойства исходных объектов.

Поэтому межсистемные классификационные соответствия требуют самостоятельного математического анализа.

Таким образом, принцип полисистемности предполагает возможность сосуществования различных классификационных систем при сохранении определённости каждой из них.

1.18. Ноовиды, классы и популяции математических объектов

В предшествующих частях монографии были разработаны понятия ноовида и ноопопуляции.

Применительно к математическим объектам возникает необходимость согласовать их с классификационными основаниями.

Однако необходимо различать несколько отношений.

Принадлежность математическому классу определяется конкретным классификационным признаком.

Принадлежность ноовиду предполагает соответствие установленным типообразующим конструктивным и нормативным характеристикам.

Принадлежность ноопопуляции характеризует участие определённых объектов в организованной совокупности.

Следовательно, одна ноопопуляция может включать объекты нескольких математических классов.

И наоборот, объекты одного математического класса могут участвовать в различных популяциях.

Например, конечные десятичные представления первого класса могут использоваться в разных вычислительных проектах.

При этом они обладают общей характеристикой количества десятичных позиций.

Однако их функциональные назначения и нормативные системы могут различаться.

Следовательно, нельзя автоматически отождествлять класс точности с ноовидом.

Для такого вывода необходимо определить соответствующие видообразующие признаки.

Таким образом, классификация математических объектов и теория нооинженерных популяций представляют собой взаимосвязанные, но самостоятельные направления исследования.

1.19. Ноотехнический паспорт классификации

Для практической организации предлагается разработать паспорт математической классификации.

Он должен содержать:

1. идентификатор классификационной системы;
2. нормативную редакцию;
3. предметную область;
4. исходные определения;
5. классификационные признаки;
6. множества допустимых значений;
7. правила установления принадлежности;
8. отношения между классами;
9. ограничения классификации;
10. методы проверки;
11. условия межсистемного сопоставления;
12. историю изменений.

Особое значение имеет возможность машинно-обрабатываемого представления.

Для этого необходимо определить типы классификационных признаков и правил.

Однако формальная регистрация признака не является доказательством его математической корректности.

Соответствующая проверка должна осуществляться отдельно.

Например, если предполагается, что классы образуют разбиение предметной области, необходимо установить полноту покрытия и отсутствие перекрытия.

Если же система допускает множественную принадлежность, это должно быть отражено в нормативной спецификации.

Следовательно, паспорт классификации должен обеспечивать документирование не только перечня классов, но и математических оснований их образования.

1.20. Основные результаты главы

В настоящей главе предложены теоретические основания классификации математических объектов как специального направления нооинженерии.

Рассмотрена историческая преемственность с авторской гармонической логикой и гармонической арифметикой.

Разграничены математический объект, имя, определение, модель, представление, алгоритм и техническая реализация.

Предложена первоначальная система уровней классификации.

Рассмотрены понятия рода, вида, класса, типа и классификационного признака.

Разработана исходная формальная схема классификационной системы.

Показано различие между разбиением, перекрытием и иерархией классов.

Особое внимание уделено содержанию, объёму и составу понятия как авторским основаниям анализа ментальных объектов.

Разграничены качественные, количественные и смешанные классификационные признаки.

Рассмотрены способы задания и экспликации математических объектов.

Показано различие между формальной конечностью, алгоритмической вычислимостью и технической осуществимостью.

Введено отношение классовой эквивалентности конечных представлений.

Установлено, что оно не должно отождествляться с математическим равенством исходных объектов.

Рассмотрены отношения классификации с принципом полисистемности, ноовидами и ноопопуляциями.

Предложены первоначальные требования к паспорту математической классификации.

Таким образом, классификация математических объектов рассматривается как нормативно организованная система выделения и сопоставления математических конструкций по установленным смысловым, структурным, количественным и функциональным характеристикам.

Для дальнейшего развития необходимо разработать специальную теорию математических шкал.

Именно эта задача составляет предмет следующей главы.

---

Глава 2. Шкалы математических характеристик: принципы построения и типология

2.1. Проблема шкал в нооинженерной математике

Классификация математических объектов предполагает наличие определённых признаков.

Однако для практического использования недостаточно просто указать перечень таких признаков.

Необходимо установить способы представления их значений, правила сравнения и условия перехода между различными категориями.

В традиционной математике соответствующие задачи решаются посредством различных шкал, отношений порядка, числовых характеристик и формальных отображений.

В метрологии также существуют специальные системы шкал измерений.

Однако применительно к математическим объектам необходимо учитывать предметную специфику.

Например, количество десятичных позиций представляет собой точную целочисленную характеристику представления.

Вычислительная сложность алгоритма требует отдельной математической модели.

А нормативный статус доказательства не обязательно допускает количественную оценку.

Следовательно, возникает необходимость построения общей системы шкал математических характеристик.

Такая система должна позволять классифицировать объекты по различным основаниям без необоснованного смешения числовых, логических и категориальных отношений.

Особое значение приобретает возможность использования нескольких шкал одновременно.

Математическая конструкция может характеризоваться определённостью исходных понятий, количеством элементов, глубиной структурной организации, классом представления и вычислительной сложностью.

При этом ни одна из перечисленных характеристик не обязательно является универсальной мерой качества объекта.

Следовательно, нооинженерная теория шкал должна обеспечивать многомерное, контекстуально определённое описание математических конструкций.

2.2. Предмет и определение математической шкалы

Предлагается следующее рабочее определение.

Определение 2.1. Шкала математической характеристики — нормативно определённая система значений и отношений, предназначенная для задания, классификации, сравнения или оценки определённого свойства математических объектов либо их представлений.

В данном определении необходимо выделить несколько компонентов.

Первый — характеристика, которая подлежит исследованию.

Второй — предметная область соответствующих объектов.

Третий — множество допустимых значений.

Четвёртый — правила присвоения или определения значений.

Пятый — отношения, допустимые между значениями.

Шестой — условия применения шкалы.

Особенно важно определить, какие операции допускаются над полученными значениями.

Например, номера категорий могут использоваться исключительно для идентификации.

В таком случае их арифметическое сложение не имеет содержательного смысла.

Для порядковой шкалы могут быть допустимы отношения больше и меньше.

Однако это не обязательно означает осмысленность вычисления разностей значений.

Следовательно, шкала должна определять не только допустимые значения, но и допустимую математическую структуру отношений между ними.

2.3. Формальная схема шкалы

Для первоначальной организации предлагается использовать модель:

M = ⟨S, U, h, V, R, P, N⟩,

где:

• M — определённая шкала;
• S — нормативная математическая система;
• U — область оцениваемых объектов;
• h — правило определения характеристики;
• V — множество допустимых значений;
• R — отношения и операции над значениями;
• P — процедуры проверки;
• N — нормативная редакция шкалы.

В простейшем случае характеристика может задаваться отображением:

h: U → V.

Однако не все характеристики определены для каждого объекта.

Например, количество десятичных позиций неприменимо к объекту, не имеющему соответствующего десятичного представления в рассматриваемом контексте.

В таком случае можно использовать частичное отображение:

h: D → V, где D ⊆ U.

При этом область D должна быть указана явно.

Особое значение имеет возможность использования неопределённых или недостаточно исследованных характеристик.

Однако статус «значение не установлено» не должен автоматически становиться дополнительным числовым значением самой шкалы.

Он относится к результату процедуры оценки.

Следовательно, необходимо различать математическую структуру шкалы и доказательственное состояние определения конкретного значения.

2.4. Классификационные и измерительные шкалы

Для дальнейшей разработки необходимо различать два основных назначения.

Классификационная шкала используется для распределения объектов по категориям.

Измерительная или количественная шкала применяется для представления математически определённой величины.

Однако между ними могут существовать переходные формы.

Например, количественная характеристика может использоваться как основание классификации.

Так, количество десятичных позиций представляет собой целочисленную величину.

Но определённые диапазоны значений могут быть объединены в нормативные классы.

Следовательно, классификационная категория не обязательно совпадает с исходной количественной величиной.

Особенно важно разграничивать номер класса и значение характеристики.

Например, в авторской системе первый класс предусматривает десять десятичных позиций.

Следовательно, номер класса равен единице, а количество позиций — десяти.

Эти числа имеют различный смысл.

Поэтому нельзя использовать номер класса как непосредственную меру количества позиций без соответствующего преобразования.

Таким образом, теория математических шкал должна обеспечивать разграничение классификационного индекса и количественного значения характеризуемого свойства.

2.5. Номинальные шкалы

Номинальная шкала предназначена для классификации объектов по определённым категориям.

Например, математические структуры могут различаться по типам используемых операций.

Числовые представления могут классифицироваться по системам счисления.

Алгоритмы — по типам входных данных.

При этом между категориями не обязательно существует отношение порядка.

Например, нельзя автоматически считать двоичную систему счисления математически выше десятичной.

Они обладают различными свойствами и областями применения.

Следовательно, номинальная шкала должна использоваться прежде всего для установления принадлежности.

Её значения могут иметь условные обозначения.

Однако числовой код категории не превращает саму категорию в количественную величину.

Например, если типам математических операций присвоены коды 1, 2 и 3, вычисление среднего арифметического этих кодов не обязательно обладает смыслом.

Таким образом, номинальные шкалы должны использоваться в пределах соответствующих классификационных правил.

2.6. Порядковые шкалы

Порядковая шкала устанавливает определённое отношение упорядоченности между значениями.

Например, можно разработать шкалу уровней завершённости ноотехнической документации.

В ней более высокий уровень может предусматривать выполнение требований предыдущего и добавление новых условий.

Однако для такой интерпретации необходимо доказать или нормативно установить соответствующее отношение.

Особенно важно различать строгий порядок и нестрогое упорядочение.

В некоторых случаях возможны равные или несравнимые значения.

Например, две математические системы могут отличаться по нескольким характеристикам.

Одна обладает большей формальной полнотой документации.

Другая — более развитой технической реализацией.

В таком случае не обязательно существует единый общий порядок.

Следовательно, для сложных объектов могут потребоваться частично упорядоченные системы.

При этом нельзя считать, что различие между уровнями 2 и 3 обязательно равно различию между уровнями 4 и 5.

Такое заключение требовало бы количественной интерпретации шкалы.

Следовательно, порядковая классификация не должна автоматически превращаться в интервальную числовую шкалу.

2.7. Количественные шкалы

Количественная шкала предназначена для представления математически определённой величины.

Например, для конечной записи можно определить количество десятичных символов.

Для конечного графа — число вершин.

Для алгоритма — количество выполненных элементарных операций в определённой вычислительной модели.

Однако необходимо учитывать, что такие величины могут иметь различные математические свойства.

Например, количество элементов конечного множества является неотрицательным целым числом.

А абсолютная погрешность математического приближения представляет собой неотрицательную действительную величину.

Следовательно, для каждой шкалы необходимо определить её допустимую область значений.

Особое значение имеет выбор единицы или нормировки.

Например, длина десятичного представления может выражаться количеством цифр.

Но объём технического хранения зависит от кодировки и формата данных.

Следовательно, количество символов и количество единиц памяти не являются автоматически одной и той же величиной.

Таким образом, количественная шкала должна иметь точное определение характеризуемого свойства и способа получения значения.

2.8. Дискретные и непрерывные шкалы

По характеру множества значений можно различать дискретные и непрерывные шкалы.

Дискретные шкалы используют отдельные значения, между которыми могут существовать определённые интервалы.

Например, количество десятичных позиций принимает целочисленные значения.

Непрерывные шкалы могут использовать действительные значения из определённого интервала.

Например, абсолютная погрешность приближения может задаваться неотрицательным действительным числом.

Однако математическая непрерывность шкалы не означает, что её значения могут быть получены с произвольной технической точностью.

Необходимо различать математическую область значений и способ их вычисления или измерения.

Особое значение имеет возможность использования дискретных классов для классификации непрерывных характеристик.

Например, можно разделить допустимые величины погрешности на нормативные диапазоны.

Однако границы таких диапазонов должны быть определены.

Следовательно, классификация по интервалам представляет собой дополнительную нормативную операцию.

2.9. Простые и составные шкалы

В некоторых случаях математический объект характеризуется одной величиной.

Например, длина определённой десятичной записи является простой количественной характеристикой.

Однако сложные нооинженерные объекты требуют многомерной оценки.

Для этого могут использоваться составные шкалы.

Например, вычислительная технология может характеризоваться:

• количеством десятичных позиций;
• абсолютной погрешностью;
• временем выполнения;
• потребностью в памяти;
• воспроизводимостью;
• нормативной совместимостью.

Однако перечисленные характеристики обладают различными математическими структурами.

Следовательно, нельзя автоматически объединять их посредством одного арифметического выражения.

Для построения интегрального показателя требуется специальное определение нормировки, весов и допустимых операций.

Особенно важно установить назначение такой оценки.

Различные инженерные задачи могут предполагать разные предпочтения.

Таким образом, составная шкала должна рассматриваться как самостоятельная нормативная конструкция, требующая обоснования.

2.10. Многокритериальное сравнение

Для сложных нооинженерных объектов может использоваться многокритериальное сравнение.

Пусть объект A обладает характеристиками:

H(A) = (h₁(A), h₂(A), …, hₘ(A)).

Аналогичным образом определяется вектор характеристик объекта B.

Однако наличие таких векторов не означает автоматической возможности определить, какой объект лучше.

Для этого необходимо установить направление предпочтения каждой характеристики.

Например, большее количество десятичных позиций может быть предпочтительным при требовании повышенной детализации представления.

Но меньший объём вычислений может быть предпочтительным при ограниченных ресурсах.

Следовательно, различные критерии могут конфликтовать.

В таком случае целесообразно использовать отношения частичного превосходства.

Например, один объект может быть не хуже другого по всем выбранным критериям и лучше хотя бы по одному.

Однако при наличии разнонаправленных преимуществ объекты могут оказаться несравнимыми относительно данного отношения.

Следовательно, ноометрология должна предусматривать возможность сохранения нескольких недоминируемых альтернатив.

Это соответствует принципу полисистемности и специальной задаче нооселекции.

2.11. Шкалы структурной сложности

Одним из возможных направлений является разработка шкал структурной сложности математических объектов.

Однако понятие сложности имеет несколько различных значений.

Например, можно исследовать:

количество компонентов;

глубину иерархии;

количество отношений;

размер формального описания;

длину доказательства;

алгоритмическую сложность вычисления;

объём технической реализации.

Перечисленные характеристики не являются тождественными.

Например, короткое математическое определение может задавать объект, для вычисления определённого представления которого требуется значительный объём ресурсов.

В другом случае длинная символическая запись может обозначать математически простой объект.

Следовательно, необходимо различать сложность определения и сложность вычисления.

Особое значение имеет выбор вычислительной модели.

Например, количество операций может зависеть от того, какие действия рассматриваются как элементарные.

Поэтому шкала вычислительной сложности должна иметь соответствующую математическую спецификацию.

Таким образом, нооинженерная теория шкал должна предотвращать необоснованное объединение различных видов сложности.

2.12. Шкалы семантической определённости

Для нооинженерии особое значение имеют шкалы, предназначенные для оценки смысловой организации математических объектов.

Однако количественная оценка соответствующих характеристик представляет значительные методологические трудности.

Например, можно определить количество терминов, имеющих формальные определения.

Можно подсчитать случаи использования различных обозначений для одного понятия.

Можно установить наличие типизированных отношений между понятиями.

Но подобные показатели не обязательно исчерпывают семантическую определённость теории.

Следовательно, необходимо различать формально наблюдаемые признаки и исследуемое смысловое свойство.

В первоначальном варианте могут использоваться категориальные характеристики.

Например:

«определение представлено»;

«область применения установлена»;

«отношения с исходными понятиями зафиксированы»;

«обнаружена неоднозначность»;

«проверка не завершена».

Однако такие категории не образуют автоматически количественную шкалу.

Особенно важно не приписывать математической теории произвольный процент осмысленности.

Для использования подобной оценки необходимо самостоятельное обоснование.

Таким образом, шкалы семантических характеристик должны развиваться на основе строгих определений и методологической осторожности.

2.13. Шкалы нормативной определённости

Другим направлением является разработка шкал нормативной определённости объектов.

Например, нооинженерная конструкция может находиться в различных состояниях разработки.

Она может существовать как предварительная гипотеза.

Затем получает формальную спецификацию.

После этого разрабатывается техническая реализация.

Далее проводятся испытания.

Однако указанные состояния не обязательно образуют одну универсальную шкалу качества.

Например, математическая теорема может быть строго доказана и не нуждаться в отдельной программной реализации.

Следовательно, необходимо различать:

степень нормативной специфицированности;

степень доказательственной подтверждённости;

степень технической реализованности;

степень репродуктивной обеспеченности;

степень конфигурационной определённости.

Каждая характеристика должна иметь самостоятельную систему значений.

В отдельных случаях возможно использование порядковых уровней.

Однако переход к единому количественному индексу требует специального обоснования.

Таким образом, нормативная определённость должна оцениваться относительно конкретного вида ментального объекта и инженерной задачи.

2.14. Шкалы точности и погрешности

Особое место среди математических шкал занимают системы характеристик точности.

Однако необходимо учитывать, что термин «точность» обладает несколькими специализированными значениями.

В системе конечной десятичной экспликации количество позиций характеризует нормативную детальность записи.

Абсолютная погрешность определяет различие между точным объектом и полученным приближением.

Относительная погрешность характеризует соответствующее отношение к модулю исходного значения при допустимости такой операции.

При этом необходимо различать перечисленные характеристики.

Например, две десятичные записи могут содержать одинаковое количество позиций и обладать различной абсолютной погрешностью.

В другом случае конечная запись может точно совпадать с исходным рациональным числом.

Следовательно, число десятичных позиций не является универсальной мерой фактической погрешности.

Особое значение имеет необходимость указания правила округления.

При одном и том же количестве позиций усечение и округление могут давать различные результаты.

Таким образом, шкалы точности должны сопровождаться нормативным определением операции формирования приближения и способа оценки его погрешности.

2.15. Абсолютная и относительная погрешность как характеристики

Пусть x — точное числовое значение, а y — его приближение.

Тогда абсолютная погрешность определяется как:

Δ = |x − y|.

При x ≠ 0 относительная погрешность может быть определена как:

δ = |x − y| / |x|.

Однако необходимо учитывать, что обе характеристики требуют определённого математического отношения между исходным объектом и его приближением.

Если точное значение неизвестно, непосредственное вычисление фактической погрешности может оказаться невозможным.

В таком случае можно использовать доказанную верхнюю границу или другую специально определённую оценку.

При этом необходимо различать фактическую величину погрешности и нормативный допуск.

Например, требование:

Δ ≤ ε

устанавливает допустимый предел.

Но оно не определяет автоматически фактическое значение Δ.

Следовательно, шкала погрешности и шкала нормативной допустимости выполняют разные функции.

Первая характеризует математическое различие.

Вторая устанавливает условия принятия результата.

Таким образом, ноометрологическая система должна разграничивать значение характеристики и критерий её оценки.

2.16. Шкала количества десятичных позиций

Рассмотрим простую количественную характеристику:

d — количество десятичных цифр после запятой в завершённом представлении.

Если рассматриваются конечные десятичные записи, d принимает неотрицательные целые значения.

Например:

0,5 — одна позиция;

0,50 — две позиции;

0,5000000000 — десять позиций.

При этом математическое значение указанных записей одинаково.

Следовательно, шкала количества десятичных позиций характеризует представление, а не математическое значение числа.

Для нооинженерной классификации может быть введена специальная последовательность нормативных классов.

В авторском варианте используется правило:

d(n) = 10^n.

Это означает, что не всякое допустимое значение количества позиций автоматически образует самостоятельный класс рассматриваемой шкалы.

Например, d = 37 является допустимой длиной конечной десятичной записи.

Однако при установленной последовательности 10^n оно не соответствует отдельному положительному целочисленному номеру класса.

Следовательно, необходимо различать общую шкалу количества позиций и специальную шкалу выделенных классов.

Именно последняя составляет предмет следующей главы.

2.17. Индексная и количественная структуры авторской шкалы

В системе классов точности присутствуют две взаимосвязанные характеристики.

Первая — номер класса:

n.

Вторая — количество десятичных позиций:

d = 10^n.

Следовательно, переход от одного класса к следующему сопровождается десятикратным увеличением количества позиций:

d(n + 1) = 10 · d(n).

При этом необходимо различать арифметическое увеличение номера класса и изменение количественной характеристики.

Если номер класса увеличивается на единицу, количество позиций возрастает в десять раз.

Однако такое отношение не означает автоматического десятикратного повышения всех показателей качества.

Например, вычислительная сложность алгоритма может изменяться по другому закону.

А фактическая погрешность представления зависит также от исходного объекта и правила округления.

Следовательно, последовательность d(n) = 10^n должна рассматриваться как специальная нелинейная шкала нормативной длины экспликации.

Её количественное содержание определяется соответствующей функцией.

Однако все дополнительные характеристики требуют самостоятельной спецификации.

2.18. Межшкальные преобразования

Сложные нооинженерные системы могут использовать различные шкалы.

Следовательно, возникает задача установления отношений между ними.

Например, номер класса точности может быть преобразован в количество позиций по формуле:

d = 10^n.

При этом обратное преобразование возможно только для значений d, принадлежащих установленной последовательности классов.

Если d = 100, соответствующий номер равен:

n = 2.

Но если d = 37, целочисленный номер класса рассматриваемой шкалы отсутствует.

Следовательно, обратное отображение является частичным относительно общей области возможных значений d.

Особое значение имеет различие между точным преобразованием характеристик и приближённым сопоставлением.

Например, количество десятичных позиций нельзя универсальным образом преобразовать в фактическую абсолютную погрешность без сведений об исходном объекте и правиле формирования представления.

Можно установить лишь определённые оценки при дополнительных предпосылках.

Следовательно, межшкальное преобразование должно содержать:

• исходную характеристику;
• целевую характеристику;
• область определения;
• правило преобразования;
• сохраняемые свойства;
• ограничения.

Таким образом, не всякие две математические шкалы являются взаимно преобразуемыми без потери информации.

2.19. Потенциально неограниченное расширение шкал

Одной из особенностей авторской системы классов является возможность продолжения последовательности номеров.

Если n принимает произвольно большие положительные целые значения, правило:

d(n) = 10^n

определяет всё большие конечные количества позиций.

При этом каждое фиксированное значение n задаёт конечное натуральное число d(n).

Однако потенциальная возможность продолжения последовательности классов не означает фактического завершения экспликаций всех соответствующих размеров.

Следовательно, необходимо различать три утверждения.

Первое: правило образования классов математически определено.

Второе: для конкретного класса может существовать алгоритм получения требуемого представления определённого объекта.

Третье: соответствующее представление фактически вычислено, записано и проверено.

Эти утверждения обладают различным доказательственным статусом.

Особенно важно учитывать ресурсные ограничения.

Например, для класса n = 12 требуется 10^12 десятичных позиций.

Такое количество является конечным, но его фактическая экспликация представляет самостоятельную техническую задачу.

Следовательно, потенциально неограниченное расширение шкалы не должно отождествляться с актуально завершённым выполнением всех предусмотренных вычислений.

2.20. Шкалы, стандарты и нормативные профили

Для практического использования математическая шкала должна сопровождаться нормативной документацией.

В первоначальном варианте необходимо определить:

1. наименование шкалы;
2. предметную область;
3. характеристику;
4. множество значений;
5. правила образования классов;
6. допустимые операции;
7. критерии сравнения;
8. методы проверки;
9. отношения с другими шкалами;
10. нормативную редакцию.

При этом одна общая шкала может иметь несколько специализированных профилей.

Например, система классов десятичной экспликации может использоваться совместно с различными правилами представления чисел.

В частности, возможны профили усечения и округления.

Однако их математические свойства могут различаться.

Поэтому общий стандарт классов должен отделяться от стандартов конкретных операций.

Особое значение имеет возможность применения одной шкалы в разных математических системах.

При этом необходимо проверять совместимость используемых определений.

Следовательно, ноостандартизация шкал должна обеспечивать как общую нормативную организацию, так и специализированную предметную конкретизацию.

2.21. Ноометрологический паспорт шкалы

Для практической регистрации предлагается разработать ноометрологический паспорт математической шкалы.

Он должен включать:

Раздел	Содержание
Идентификатор	Уникальное обозначение шкалы
Предмет	Оцениваемые математические объекты или представления
Характеристика	Нормативное определение свойства
Тип шкалы	Номинальная, порядковая, количественная или иная
Значения	Допустимая область
Правило	Способ определения значения
Отношения	Допустимые сравнения и операции
Проверка	Методы установления соответствия
Ограничения	Условия неприменимости
Интерфейсы	Межшкальные преобразования
Редакция	Нормативное состояние
История	Изменения и отношения наследования

Однако указанный паспорт не должен рассматриваться как доказательство корректности самой шкалы.

Для этого требуется отдельное исследование её математических свойств.

Например, если предполагается, что значения образуют линейно упорядоченную систему, необходимо установить соответствующее отношение порядка.

Если предполагается существование метрики, необходимо проверить выполнение её аксиом.

Следовательно, паспорт должен содержать ссылки на соответствующие математические обоснования.

Таким образом, шкала рассматривается как самостоятельный нооинженерный объект, обладающий нормативной спецификацией и историей развития.

2.22. Основные результаты главы

В настоящей главе предложено определение шкалы математической характеристики.

Разработана первоначальная формальная модель шкалы.

Разграничены классификационные и количественные шкалы.

Рассмотрены номинальные, порядковые, дискретные, непрерывные и составные шкалы.

Предложены принципы многокритериального сопоставления математических конструкций.

Особое внимание уделено шкалам структурной сложности, семантической и нормативной определённости.

Разграничены количество десятичных позиций, абсолютная погрешность, относительная погрешность и нормативный допуск.

Исследована авторская последовательность классов:

d(n) = 10^n.

Показано различие между номером класса и соответствующей количественной характеристикой.

Рассмотрены межшкальные преобразования и ограничения их обратимости.

Особое внимание уделено потенциально неограниченному расширению классов при конечности количества позиций каждого фиксированного класса.

Предложены первоначальные требования к нормативным профилям и ноометрологическим паспортам математических шкал.

Таким образом, теория шкал математических характеристик рассматривается как специальное направление ноометрологии, обеспечивающее формально определённую классификацию и сравнение математических объектов по различным количественным, качественным и нормативным основаниям.

На этой основе становится возможным перейти к подробному исследованию авторской шкалы классов точности конечной математической экспликации.

---

Глава 3. Шкала классов точности эксплицируемых математических объектов

3.1. Центральное значение классов точности для нооинженерной математики

Одной из основных задач настоящей монографии является разработка нормативно определённых технологий формирования, классификации и воспроизводства математических объектов.

В этом контексте особое значение приобретает авторская система классов точности эксплицируемых математических объектов.

Её исходная идея состоит в установлении специальной последовательности классов, определяющих количество десятичных позиций завершённого представления.

При этом требуется разграничить несколько математических и инженерных задач.

Первая — определение исходного математического объекта.

Вторая — установление нормативного класса экспликации.

Третья — выбор правила формирования представления.

Четвёртая — фактическое получение соответствующего результата.

Пятая — проверка его математической и нормативной корректности.

Шестая — регистрация результата и его отношения к исходному объекту.

Следовательно, класс точности не должен рассматриваться как изолированное числовое обозначение.

Он представляет собой элемент более широкой технологии математической экспликации.

Особенно важно различать класс представления и математический статус самого числа.

Например, точное рациональное число не перестаёт быть точным вследствие использования его приближённой записи.

Таким образом, шкала классов точности должна разрабатываться как самостоятельная нормативная система, регулирующая определённые способы конечного представления математических объектов.

3.2. Исходное определение шкалы

Предлагается следующее рабочее определение.

Определение 3.1. Шкала классов точности эксплицируемых математических объектов — нормативно определённая система классов конечных десятичных представлений, в которой каждому допустимому номеру класса n соответствует количество десятичных позиций 10^n.

Основное правило имеет вид:

d(n) = 10^n,

где:

• n — номер класса точности;
• d(n) — количество цифр после десятичного разделителя;
• 10 — основание десятичной системы счисления.

В первоначальной нормативной редакции предлагается использовать положительные целые номера классов:

n = 1, 2, 3, …

Следовательно, каждому такому номеру соответствует определённое конечное натуральное число позиций.

Однако необходимо учитывать, что формула определяет прежде всего длину нормативного десятичного представления.

Она не задаёт сама по себе математическое значение результата.

Для этого требуется дополнительно определить исходный объект и операцию формирования записи.

Следовательно, шкала классов точности должна функционировать совместно с соответствующими нормативными профилями вычисления и представления.

3.3. Основная таблица классов

В первоначальном варианте шкала имеет следующий вид.

Номер класса n	Количество десятичных позиций d = 10^n
1	10
2	100
3	1 000
4	10 000
5	100 000
6	1 000 000
7	10 000 000
8	100 000 000
9	1 000 000 000
10	10 000 000 000
11	100 000 000 000
12	1 000 000 000 000

Из таблицы следует, что переход к следующему классу сопровождается десятикратным увеличением количества десятичных позиций.

В частности:

d(n + 1) = 10 · d(n).

При этом необходимо подчеркнуть, что номер класса не совпадает с количеством позиций.

Например, первый класс — не одна цифра после запятой, а десять.

Второй класс — не две цифры, а сто.

Шестой класс — один миллион позиций.

Двенадцатый класс — один триллион позиций.

Следовательно, класс n представляет собой нормативный индекс, значение которого преобразуется в количество десятичных позиций по установленному правилу.

Однако соответствующая последовательность не является сама по себе доказательством технической осуществимости экспликации любого класса.

Для каждого конкретного вычислительного проекта необходим самостоятельный анализ ресурсов.

3.4. Область применения шкалы

Для научной определённости необходимо установить предметную область шкалы.

В первоначальном варианте она предназначается для классификации конечных десятичных представлений математических числовых объектов.

При этом различные математические объекты могут иметь разные способы задания.

Например, рациональное число может быть точно представлено отношением целых чисел.

Некоторые действительные числа могут быть заданы математическими константами или алгоритмами вычисления.

Однако возможность формирования произвольного количества десятичных позиций не должна предполагаться без соответствующего основания.

Следовательно, необходимо различать:

математические объекты с точно заданным конечным десятичным представлением;

объекты, допускающие вычисление конечных десятичных приближений;

объекты, для которых установлен алгоритм порождения требуемых позиций;

объекты, для которых соответствующая вычислительная процедура отсутствует либо не обоснована.

При этом принадлежность к последней категории зависит от имеющихся математических сведений.

Отсутствие известного алгоритма не обязательно доказывает принципиальную невозможность его существования.

Следовательно, область применения шкалы должна определяться относительно конкретной математической системы и нормативной технологии.

3.5. Исходный математический объект

В качестве первого базового примера целесообразно рассмотреть рациональные числа.

Пусть:

x = p/q,

где p и q — целые числа, а q ≠ 0.

Для однозначной регистрации может использоваться сокращённая дробь с положительным знаменателем.

Однако такое требование относится к канонической форме представления рационального числа.

Само математическое значение не зависит от выбора конкретной эквивалентной дробной записи.

Например:

1/3 = 2/6.

При этом математический объект может использоваться в различных технологиях экспликации.

Для первого класса может быть сформирована запись с десятью десятичными позициями.

Для второго — со ста.

Однако исходный рациональный объект остаётся тем же.

Следовательно, система должна различать его идентификатор и идентификаторы конечных представлений.

Особенно важно сохранять возможность обращения к исходному точному значению.

Без этого переход между классами может сопровождаться невосстановимой потерей сведений.

Таким образом, нормативная технология должна включать отдельное задание исходного математического объекта.

3.6. Завершённое десятичное представление

Для определения класса необходимо установить, что считается завершённым представлением.

Предлагается следующее определение.

Определение 3.2. Завершённое десятичное представление класса n — фактически сформированная конечная десятичная запись, содержащая ровно 10^n цифр после десятичного разделителя и соответствующая установленному правилу представления исходного математического объекта.

В данном определении существенны два условия.

Первое — количественное.

Запись должна содержать предусмотренное количество позиций.

Второе — математико-нормативное.

Её числовое значение должно соответствовать объявленной операции.

Например, запись может содержать ровно десять цифр после запятой, но иметь неправильное числовое значение.

В таком случае количественное требование выполнено, однако математическая спецификация нарушена.

Следовательно, необходимо различать завершённость формы и корректность содержания.

Особое значение имеет использование завершающих нулей.

Например, конечное значение 0,5 в первом классе должно записываться с десятью позициями:

0,5000000000.

Такое представление отличается по форме от обычной краткой записи, хотя обозначает то же рациональное значение.

Следовательно, нормативная завершённость должна определяться относительно конкретного формата.

3.7. Математическое значение и нормативная запись

Для правильной интерпретации результата необходимо разграничить математическое значение конечного представления и его текстовую запись.

Например:

0,5;

0,50;

0,5000000000

обозначают одно и то же рациональное число.

Однако они различаются как последовательности символов.

Следовательно, можно рассматривать два объекта:

числовое значение результата;

нормативную запись результата.

В системе классов точности существенным является второе.

Поэтому необходимо определить правило формирования записи с установленным количеством позиций.

При этом целесообразно предусмотреть каноническое использование десятичного разделителя.

Особое значение имеет обработка нуля.

Например, для первого класса можно установить запись:

0,0000000000.

При этом отдельная отрицательная форма нуля должна использоваться только при наличии специального нормативного основания.

В первоначальном варианте целесообразно предусмотреть единую каноническую запись нулевого значения.

Следовательно, система классов должна включать самостоятельные правила форматирования.

3.8. Операция усечения как первый нормативный профиль

Для конкретизации шкалы предлагается первоначально использовать операцию усечения по направлению к нулю.

Пусть x — точное рациональное число, а d — установленное количество десятичных позиций.

Тогда определим:

T_d(x) = sgn(x) · floor(|x| · 10^d) / 10^d.

Здесь:

• sgn(x) — знак числа;
• floor — операция взятия целой части вниз;
• d — количество десятичных позиций.

В случае x = 0 значение результата принимается равным нулю.

Данная формула определяет математическое значение результата усечения.

Однако она не задаёт полностью его нормативную текстовую запись.

Для этого необходимо добавить правило формирования ровно d десятичных цифр.

Например, при:

x = 1/8

и

d = 10

получаем математическое значение:

T_10(x) = 1/8.

Однако нормативная запись имеет вид:

0,1250000000.

Следовательно, математическая операция и форматирование должны рассматриваться как различные компоненты единой технологии.

3.9. Усечение отрицательных чисел

Особого внимания требует обработка отрицательных исходных значений.

Необходимо различать усечение по направлению к нулю и округление вниз.

Например, при:

x = −1/6

и

d = 10

усечение по направлению к нулю даёт:

−0,1666666666.

Однако применение операции математического округления вниз к соответствующему масштабированному значению может дать другой результат.

Следовательно, нельзя заменять определение усечения простым указанием на функцию целой части без учёта знака.

Предложенная формула:

T_d(x) = sgn(x) · floor(|x| · 10^d) / 10^d

устраняет соответствующую неоднозначность.

Особое значение имеет необходимость использовать одно и то же правило при всех вычислениях определённой нормативной редакции.

Если часть системы выполняет усечение по направлению к нулю, а другая — округление вниз, возникает нарушение нормативного единства.

Следовательно, правило обработки отрицательных чисел является существенным компонентом спецификации.

3.10. Операция округления как альтернативный профиль

Наряду с усечением возможна разработка самостоятельного профиля округления.

Например, можно использовать округление к ближайшему представимому десятичному значению.

Однако необходимо определить порядок обработки точных промежуточных случаев.

В первоначальном варианте может использоваться правило выбора результата с чётным последним сохраняемым разрядом при точном равенстве расстояний до двух соседних значений.

Для математического описания введём операцию:

R_d(x) = round_even(x · 10^d) / 10^d,

где round_even обозначает округление до ближайшего целого числа с выбором чётного целого при точном равенстве расстояний.

В данном случае d по-прежнему определяет количество десятичных позиций.

Например, при первом классе:

d = 10.

Для числа:

x = 1/6

получаем:

R_10(x) = 0,1666666667.

При этом результат отличается от усечения:

T_10(x) = 0,1666666666.

Следовательно, при одинаковом классе точности возможны различные нормативные результаты.

Поэтому спецификация должна содержать не только номер класса, но и идентификатор операции.

3.11. Пример экспликации числа π

Рассмотрим математическую константу π.

Она является точно определённым математическим объектом в обычной действительной математической системе.

При этом её десятичная запись бесконечна и непериодична.

Для первого класса точности необходимо сформировать десять десятичных позиций.

Исходное десятичное развитие начинается следующим образом:

π = 3,141592653589793...

При усечении получаем:

T_10(π) = 3,1415926535.

При округлении до ближайшего значения получаем:

R_10(π) = 3,1415926536.

Однако необходимо учитывать математический статус соответствующих записей.

Они не являются точным значением π.

Они представляют собой конечные десятичные приближения.

Следовательно:

π ≠ 3,1415926535;

π ≠ 3,1415926536.

При этом оба результата могут быть корректными относительно разных нормативных профилей.

Особое значение имеет возможность получения соответствующих цифр посредством математически обоснованного вычисления.

Для полной инженерной проверки требуется установить правильность результата относительно выбранной операции.

Таким образом, данный пример показывает необходимость разграничения точного объекта, его конечной экспликации и нормативной технологии формирования представления.

3.12. Абсолютная погрешность усечения

Для исследования математических характеристик необходимо установить границу погрешности операции усечения.

Пусть x — произвольное действительное число, а d — положительное целое число.

Тогда согласно определению целой части:

floor(|x| · 10^d) ≤ |x| · 10^d < floor(|x| · 10^d) + 1.

После деления на 10^d получаем:

floor(|x| · 10^d) / 10^d ≤ |x| < floor(|x| · 10^d) / 10^d + 10^(−d).

Следовательно:

0 ≤ |x| − |T_d(x)| < 10^(−d).

Поскольку усечение осуществляется по направлению к нулю, имеем:

|x − T_d(x)| < 10^(−d).

Таким образом, для первого класса:

|x − T_10(x)| < 10^(−10).

Для второго класса:

|x − T_100(x)| < 10^(−100).

Однако необходимо подчеркнуть, что соответствующие формулы характеризуют математическую границу погрешности операции.

Они не означают, что фактическая погрешность всегда равна указанному пределу.

В отдельных случаях результат может быть точным.

Например, для рационального числа 1/8 усечение до десяти позиций не изменяет числового значения.

Следовательно, его фактическая погрешность равна нулю.

Таким образом, необходимо различать нормативный класс, общую границу погрешности и фактическую погрешность конкретного представления.

3.13. Погрешность округления

Для округления к ближайшему десятичному значению с d позициями можно установить другую общую границу погрешности.

Расстояние между соседними допустимыми значениями составляет:

10^(−d).

Следовательно, при математически точном округлении к ближайшему значению абсолютная погрешность не превышает половины этого расстояния:

|x − R_d(x)| ≤ 1 / (2 · 10^d).

Однако данная оценка предполагает точное выполнение соответствующей операции.

Если программа использует приближённые исходные данные, необходимо дополнительно учитывать их погрешности.

Особенно важно разграничивать математическое правило округления и техническую реализацию.

Например, программа может получить неправильный результат вследствие преждевременного округления промежуточного значения.

Следовательно, соответствующая граница не должна автоматически приписываться произвольной реализации.

Для такого заключения необходимо установить соблюдение математической спецификации.

Таким образом, использование округления способно обеспечивать более строгую общую границу абсолютной погрешности, чем усечение при том же количестве позиций.

Однако это не делает округление универсально предпочтительным во всех нормативных контекстах.

Выбор операции должен определяться назначением математической технологии.

3.14. Классовая завершённость и точность числового значения

Одной из принципиальных задач является разграничение завершённости представления и точности соответствующего значения.

Рассмотрим рациональное число:

1/8.

Его нормативная запись первого класса имеет вид:

0,1250000000.

Она содержит десять цифр после запятой.

При этом числовое значение записи точно совпадает с исходным числом.

Теперь рассмотрим:

1/3.

Его представление первого класса при усечении:

0,3333333333.

Оно также содержит десять цифр после запятой.

Однако математическое значение не совпадает с исходным рациональным числом.

Следовательно, обе записи являются завершёнными представлениями одного класса, но обладают разной фактической погрешностью.

Из этого следует принципиальный вывод.

Завершённость представления класса не означает обязательного существования ненулевой погрешности, а равенство классов не означает равенства фактических погрешностей.

Поэтому система ноометрологии должна использовать самостоятельные показатели.

Первый характеризует нормативную длину записи.

Второй — правильность применения операции.

Третий — отношение результата к исходному математическому объекту.

Таким образом, понятие класса точности требует специализированной интерпретации.

3.15. Межклассовая согласованность усечения

Для дальнейшего исследования необходимо определить отношения между представлениями разных классов.

Пусть:

D ≥ d.

Тогда для операции усечения по направлению к нулю выполняется:

T_d(T_D(x)) = T_d(x).

Данное соотношение можно рассматривать как свойство согласованности последовательных усечений.

Его смысл состоит в следующем.

Если сначала сформировать более длинное усечённое представление, а затем усечь его до меньшего количества позиций, полученное числовое значение совпадает с результатом непосредственного усечения исходного числа до меньшего количества позиций.

Однако это свойство относится именно к выбранной математической операции.

Оно не должно автоматически распространяться на все способы округления.

Например, при последовательном округлении возможны ситуации двойного округления.

В таком случае результат может отличаться от непосредственного округления исходного числа до меньшего количества позиций.

Следовательно, межклассовые преобразования требуют самостоятельной математической спецификации.

Особое значение имеет вопрос об обратимости.

Из короткого конечного представления в общем случае невозможно однозначно восстановить исходное число.

Следовательно, переход к более высокому классу не может осуществляться только посредством произвольного добавления цифр.

Для правильного довычисления требуется дополнительная информация об исходном объекте.

3.16. Двойное округление

Для демонстрации возможных различий рассмотрим простой числовой пример.

В данном случае используются одна и две десятичные позиции исключительно как вспомогательный пример правил округления, а не как номера классов авторской шкалы.

Пусть:

x = 1,251.

Непосредственное округление до одной десятичной позиции даёт:

1,3.

Теперь выполним две последовательные операции.

Сначала округлим число до двух десятичных позиций:

1,251 → 1,25.

Затем округлим полученный результат до одной позиции по правилу выбора чётной последней сохраняемой цифры при точном равенстве расстояний:

1,25 → 1,2.

Следовательно:

R_1(R_2(1,251)) = 1,2,

тогда как:

R_1(1,251) = 1,3.

Таким образом, последовательное округление не обязательно совпадает с непосредственным округлением исходного значения.

Однако необходимо подчеркнуть, что рассматриваемый пример относится к обычной шкале количества десятичных позиций.

Для авторской шкалы классов соответствующие количества определяются правилом 10^n.

При этом сама проблема двойного округления сохраняет принципиальное значение.

Следовательно, межклассовые интерфейсы должны учитывать конкретную операцию и условия её выполнения.

3.17. Классовая эквивалентность представлений

Для формального описания совпадения конечных представлений предлагается использовать специальное отношение.

Пусть n — номер класса, а T_d — операция усечения.

Тогда:

x ~n y ⇔ T(10^n)(x) = T_(10^n)(y).

Это отношение устанавливает, что исходные математические объекты имеют одинаковые значения усечённых представлений соответствующего класса.

В данном случае необходимо учитывать несколько свойств.

Отношение рефлексивно.

Оно симметрично.

Оно транзитивно.

Следовательно, на соответствующей предметной области оно определяет отношение эквивалентности.

Однако оно не совпадает с математическим равенством исходных объектов.

Например, два различных точных рациональных числа могут иметь одинаковое представление первого класса.

Следовательно, такая эквивалентность характеризует определённую нормативную неразличимость относительно выбранной операции.

Однако нельзя автоматически считать, что эквивалентные объекты допускают одинаковые результаты всех арифметических операций.

Для этого необходима дополнительная проверка.

Таким образом, отношение классовой эквивалентности должно рассматриваться как специальная математическая конструкция со своей областью применимости.

3.18. Классовая эквивалентность не всегда сохраняется при сложении

Рассмотрим первый класс точности.

В этом случае:

d = 10.

Пусть:

x = 0;

y = 3 · 10^(−11);

z = 8 · 10^(−11).

При усечении до десяти десятичных позиций получаем:

T_10(x) = 0;

T_10(y) = 0.

Следовательно:

x ~_1 y.

Однако после прибавления одного и того же числа z имеем:

T_10(x + z) = 0;

T_10(y + z) = 10^(−10).

Следовательно:

x + z не эквивалентно y + z относительно ~_1.

Таким образом, отношение совпадения усечённых представлений не сохраняется автоматически при сложении.

Это означает, что соответствующая эквивалентность не является конгруэнцией относительно обычного сложения рациональных чисел.

Данный результат имеет фундаментальное значение.

Он показывает, что совпадение конечных представлений не позволяет без дополнительных условий заменять один точный исходный объект другим внутри произвольных арифметических выражений.

Следовательно, классовая неразличимость не должна подменять математическое тождество в вычислительных процедурах.

Это положение необходимо учитывать при дальнейшем проектировании классовой арифметики.

3.19. Арифметические операции над конечными представлениями

Для дальнейшего развития математической системы необходимо определить правила выполнения арифметических операций над конечными представлениями.

Однако такая задача не решается автоматически введением классов точности.

Например, рассмотрим:

x = 1/6;

y = 1/6.

При усечении до десяти позиций:

T_10(x) = 0,1666666666;

T_10(y) = 0,1666666666.

Сложение конечных результатов даёт:

0,3333333332.

Но точная сумма исходных чисел равна:

x + y = 1/3.

Её усечённое представление первого класса:

T_10(x + y) = 0,3333333333.

Следовательно:

T_10(x) + T_10(y) ≠ T_10(x + y).

Таким образом, использование конечных представлений непосредственно влияет на результаты последующих вычислений.

Поэтому необходимо различать:

операцию над точными исходными числами с последующей экспликацией результата;

операцию над уже полученными конечными представлениями.

В общем случае эти процедуры могут давать разные значения.

Следовательно, разработка классовой арифметики требует самостоятельного определения правил операций, накопления погрешностей и допустимых преобразований.

Эта задача рассматривается в последующих главах настоящей части.

3.20. Полная конечная экспликация

Одним из центральных понятий является полная конечная экспликация относительно установленного класса.

Предлагается следующее рабочее определение.

Определение 3.3. Полная конечная экспликация класса n — фактически завершённое формирование предусмотренного нормативного представления математического объекта, содержащего ровно 10^n десятичных позиций и соответствующего объявленным правилам.

В данном определении необходимо подчеркнуть относительность понятия полноты.

Речь идёт о полноте представления определённого класса, а не об обязательном исчерпании всех математических характеристик исходного объекта.

Например, для рационального числа 1/3 можно сформировать полную конечную экспликацию первого класса.

Однако это не означает получения всей бесконечной десятичной последовательности числа.

Аналогичным образом можно сформировать представление второго класса.

Оно будет содержать сто позиций.

Но исходное число по-прежнему не исчерпывается соответствующей конечной десятичной записью.

Следовательно, необходимо различать:

полноту нормативного конечного результата;

точность исходного математического задания;

полноту всех возможных представлений объекта.

Последняя характеристика не должна автоматически предполагаться достижимой.

Таким образом, понятие полной конечной экспликации должно использоваться только с указанием класса и применённого нормативного профиля.

3.21. Обозначение, алгоритм и фактически полученный результат

Для научной определённости необходимо разграничить несколько способов представления математического объекта.

Символическое обозначение может точно задавать объект без выписывания его десятичной последовательности.

Например:

π.

Алгоритмическое представление может задавать процедуру вычисления необходимых значений.

Нормативная спецификация определяет требования к результату.

Фактически завершённая экспликация представляет собой уже полученную запись предусмотренной длины.

Эти формы не являются тождественными.

Например, наличие алгоритма вычисления десятичных цифр π не означает, что фактически получена запись, содержащая 10^12 позиций.

Следовательно, математическая система должна различать статус определения и статус выполненного вычисления.

Особое значение имеет воспроизводимость.

Если результат объявлен полностью эксплицированным, необходимо установить возможность проверки соответствия заявленному классу.

При этом степень проверки может различаться.

Формальная проверка длины записи устанавливает количество позиций.

Но она не доказывает автоматически правильность всех цифр.

Следовательно, необходимы дополнительные математические и технические процедуры.

Таким образом, наличие математического алгоритма не должно отождествляться с фактом завершённой экспликации соответствующего результата.

3.22. Потенциально неограниченное довычисление

Авторская шкала допускает продолжение последовательности классов посредством увеличения номера n.

Это создаёт возможность постановки задач последовательного довычисления представлений.

Однако необходимо различать несколько операций.

Первая — увеличение нормативного класса.

Вторая — получение дополнительных десятичных позиций.

Третья — проверка соответствия нового результата исходному математическому объекту.

Четвёртая — сохранение отношений с ранее полученными представлениями.

В случае усечения возможна согласованность последовательных классов.

Однако для формирования более длинного представления необходимо иметь доступ к исходному объекту или достаточной информации о нём.

Например, на основании десятизначного усечённого представления числа 1/3 нельзя универсальным образом восстановить все последующие цифры произвольного исходного числа.

Но если исходный объект точно задан как 1/3, дополнительные позиции могут быть вычислены посредством деления.

Следовательно, довычисление предполагает не просто увеличение количества символов, а выполнение математически определённой процедуры.

Особенно важно различать потенциальную неограниченность последовательности вычислений и актуально завершённый результат каждого отдельного класса.

Таким образом, довычисление может рассматриваться как последовательность конечных нормативно определённых операций без необходимости постулировать фактическое завершение всей бесконечной последовательности результатов.

3.23. Алгоритмическая и ресурсная осуществимость

При увеличении номера класса быстро возрастает объём требуемого представления.

Следовательно, необходимо исследовать возможности технической реализации.

Однако нельзя считать, что количество десятичных позиций полностью определяет вычислительную сложность.

Последняя зависит также от исходного математического объекта и используемого алгоритма.

Например, для рационального числа 1/8 запись произвольно большого конечного класса может формироваться посредством добавления завершающих нулей.

Однако для получения новых цифр π необходимо выполнять соответствующие математические вычисления.

Следовательно, различные объекты одного класса могут требовать существенно различающихся технических ресурсов.

Особое значение имеет раздельная оценка:

времени вычисления;

объёма памяти;

размера выходного представления;

возможности проверки результата;

условий повторного получения;

ограничений конкретной технической среды.

При этом ресурсная невозможность выполнить определённое вычисление в заданных условиях не является доказательством математической неопределённости исходного объекта.

Следовательно, класс точности должен сопровождаться самостоятельными ресурсными характеристиками.

В перспективе такая система может использоваться для разработки специализированных шкал технической эксплицируемости.

3.24. Ноотехнический паспорт результата экспликации

Для практической реализации предлагается разработать паспорт конечной математической экспликации.

В первоначальном варианте он должен включать:

1. идентификатор исходного математического объекта;
2. систему его определения;
3. класс экспликации;
4. количество десятичных позиций;
5. нормативное правило формирования;
6. нормативную редакцию;
7. математическое значение полученного результата;
8. фактическую десятичную запись;
9. сведения о математической погрешности;
10. используемый алгоритм;
11. сведения о технической реализации;
12. результаты проверок;
13. условия воспроизводства;
14. историю преобразований;
15. статус завершённости.

Особое значение имеет раздельное документирование точного объекта и результата его представления.

Например, паспорт записи:

0,3333333333

должен указывать, что она получена как представление исходного рационального числа 1/3 при определённом правиле.

Без таких сведений конечная запись может быть ошибочно интерпретирована как самостоятельное точное значение исходного объекта.

Следовательно, паспорт должен обеспечивать нормативную прослеживаемость математического происхождения результата.

При этом наличие паспорта не заменяет проверку правильности соответствующих вычислений.

3.25. Пример паспорта первого класса

Рассмотрим условную запись для числа:

x = 1/6.

Её основные характеристики могут быть представлены следующим образом.

Характеристика	Значение
Исходный математический объект	1/6
Предметная область	Рациональные числа
Система экспликации	Конечная десятичная
Номер класса	n = 1
Количество позиций	d = 10
Операция	Усечение по направлению к нулю
Математическое значение результата	0,1666666666
Нормативная запись	0,1666666666
Точное равенство исходному числу	Не выполняется
Абсолютная погрешность	1/15000000000
Общая граница погрешности	Меньше 10^(−10)
Нормативная редакция	Проект 1.0
Статус технической реализации	Подлежит отдельной регистрации

Данная запись иллюстрирует способ документирования результата.

При этом необходимо различать математические характеристики и результаты конкретных программных испытаний.

Например, абсолютная погрешность может быть вычислена точно посредством рациональной арифметики.

Но сведения о производительности конкретной программы требуют фактических измерений или испытаний.

Следовательно, паспорт не должен содержать неподтверждённых утверждений о технической осуществимости.

3.26. Контрольные примеры первого класса

Для первоначальной проверки предлагается использовать следующий набор математических объектов.

Исходное число	Усечение до 10 позиций	Округление до 10 позиций
1/3	0,3333333333	0,3333333333
1/6	0,1666666666	0,1666666667
−1/6	−0,1666666666	−0,1666666667
1/8	0,1250000000	0,1250000000
1/2	0,5000000000	0,5000000000
π	3,1415926535	3,1415926536

Данные примеры позволяют проверить несколько свойств.

Во-первых, правильность установленного количества позиций.

Во-вторых, различие усечения и округления.

В-третьих, обработку отрицательных чисел.

В-четвёртых, сохранение точных конечных десятичных значений.

В-пятых, формирование приближений математической константы.

Однако необходимо учитывать, что конечный набор примеров не доказывает универсальную корректность алгоритма.

Для такой задачи необходимы соответствующие математические обоснования.

Кроме того, профиль округления должен включать специальные граничные случаи.

Например, при точном равенстве расстояний до соседних десятичных значений необходимо использовать заранее установленное правило.

Следовательно, испытательная система должна включать не только обычные, но и специально подобранные контрольные объекты.

3.27. Нооиммунологический контроль экспликации

Для обеспечения нормативной определённости предлагается разработать специализированную процедуру нооиммунологической проверки.

Она должна включать несколько последовательных операций.

Первый этап — проверка исходного объекта.

Устанавливается допустимость его математического задания.

Второй этап — проверка класса.

Определяется соответствие номера n установленной области допустимых значений.

Третий этап — проверка количества позиций.

Устанавливается правильность применения формулы d = 10^n.

Четвёртый этап — проверка математической операции.

Исследуется соответствие результата установленному правилу усечения или округления.

Пятый этап — проверка нормативной записи.

Контролируется точное количество десятичных позиций.

Шестой этап — проверка происхождения.

Устанавливается связь результата с исходным объектом.

Седьмой этап — проверка нормативной редакции.

Исключается использование правил другой системы без специального указания.

Восьмой этап — регистрация заключения.

Фиксируются результат проверки и её ограничения.

Однако необходимо учитывать, что не все проверки обладают одинаковой математической природой.

Например, контроль длины записи представляет собой конечную формальную процедуру.

Но доказательство общего свойства математического алгоритма может требовать самостоятельного исследования.

Следовательно, результаты различных проверок должны документироваться раздельно.

3.28. Проект стандарта шкалы классов точности

Для дальнейшего развития предлагается разработать специализированный проект нооинженерного стандарта:

НСТ-НОО-01. «Шкала классов точности конечной десятичной экспликации математических объектов. Основные определения и нормативные требования».

В первоначальном варианте он должен устанавливать:

1. предметную область;
2. определение исходного математического объекта;
3. понятие конечной экспликации;
4. определение номера класса;
5. правило d = 10^n;
6. требования к нормативной записи;
7. допустимые профили операций;
8. математические критерии соответствия;
9. правила обработки отрицательных чисел и нуля;
10. условия межклассового преобразования;
11. требования к доказательственным материалам;
12. условия воспроизводства;
13. ограничения технической реализации;
14. структуру паспорта результата;
15. правила версионирования стандарта.

Однако данный документ представляет собой исследовательское предложение.

Он не является официально утверждённым стандартом.

Кроме того, его дальнейшее развитие должно учитывать возможность использования различных математических систем.

Например, аналогичные задачи могут рассматриваться для других оснований систем счисления.

Однако соответствующие шкалы должны иметь самостоятельные нормативные определения.

Следовательно, стандарт десятичной экспликации не должен автоматически распространяться на все возможные способы представления математических объектов.

3.29. Перспективы развития системы классов

Предложенная шкала открывает несколько направлений дальнейшего исследования.

Прежде всего необходимо разработать формальную теорию классовой определённости.

Она должна устанавливать условия принадлежности объектов и представлений соответствующим классам.

Затем требуется исследовать классовое тождество и классовую эквивалентность.

Особое значение имеет разграничение математического равенства исходных объектов и совпадения их конечных представлений.

Следующей задачей является разработка классовой арифметики.

Для этого необходимо определить операции над объектами различных классов, условия сохранения свойств и правила оценки погрешностей.

Далее потребуется исследовать межклассовые преобразования.

Они должны учитывать информационные ограничения и возможность восстановления исходных объектов.

Особое значение имеет построение нормативных математических координат, обеспечивающих одновременное использование различных классов.

Наконец, необходимо разработать специальную теорию потенциально неограниченного довычисления.

Она должна разграничивать математическую определённость алгоритма, фактически завершённую экспликацию и техническую осуществимость.

Таким образом, авторская шкала классов точности может рассматриваться как один из исходных компонентов более широкой системы математических ноотехнологий.

Однако научная ценность соответствующей программы должна подтверждаться конкретными определениями, теоремами, алгоритмами, испытаниями и воспроизводимыми результатами.

3.30. Основные результаты главы

В настоящей главе предложена первоначальная нормативная теория шкалы классов точности эксплицируемых математических объектов.

Установлено основное правило:

d = 10^n,

где n — номер класса, а d — количество десятичных цифр после запятой.

Показано, что первый класс предусматривает десять позиций, второй — сто, третий — тысячу, шестой — один миллион, двенадцатый — один триллион позиций.

Разграничены исходный математический объект, нормативный класс, операция экспликации и завершённая десятичная запись.

Предложено определение завершённого представления класса.

Рассмотрены операции усечения по направлению к нулю и округления до ближайшего значения.

Установлены соответствующие математические границы абсолютной погрешности.

На примерах рациональных чисел и π показано различие между точным объектом и его конечным приближением.

Исследована межклассовая согласованность усечения.

Показано, что последовательное округление не всегда совпадает с непосредственным округлением.

Введено отношение классовой эквивалентности.

Установлено, что совпадение конечных представлений не означает математического равенства исходных объектов.

На специальном примере показано, что соответствующая эквивалентность не обязательно сохраняется при сложении.

Рассмотрены ограничения арифметических операций над конечными представлениями.

Предложено определение полной конечной экспликации относительно установленного класса.

Разграничены обозначение объекта, алгоритмическое представление и фактически завершённый результат.

Рассмотрены потенциально неограниченное довычисление и ресурсные ограничения.

Предложены первоначальные требования к паспорту экспликации, системе контрольных примеров и нооиммунологическим процедурам.

Разработаны основные положения проекта ноостандарта НСТ-НОО-01.

Таким образом, шкала классов точности эксплицируемых математических объектов рассматривается как нормативно определённая система формирования и классификации конечных десятичных представлений, способная служить основанием для разработки специализированных методов классового сравнения, вычисления и межсистемного сопряжения математических объектов.

При этом необходимо сохранить фундаментальное разграничение:

точный математический объект не тождествен его конечному приближению; нормативная завершённость представления не означает завершённости всех возможных экспликаций; существование алгоритма не означает фактического выполнения предусмотренного вычисления.

Именно эти положения создают основу для дальнейшего исследования полной конечной экспликации, способов обозначения математических объектов, алгоритмического представления, классовой определённости и классового тождества.

Данные вопросы составляют предмет последующих глав настоящей части монографии.

*****

Глава 4. Полная конечная экспликация, обозначение объекта и алгоритмическое представление

4.1. Проблема экспликации математических объектов

В предыдущих главах настоящей части монографии были рассмотрены теоретические основания классификации математических объектов, общая типология математических шкал и авторская шкала классов точности конечной экспликации.

Особое внимание было уделено различию между математическим объектом, его определением, способом задания и конкретным представлением.

Однако для построения полноценной математической технологии необходимо исследовать, при каких условиях представление считается завершённым.

Например, точное рациональное число 1/3 может быть задано конечным символическим выражением.

В то же время его обычная десятичная запись является бесконечной периодической последовательностью.

Следовательно, точная математическая определённость числа не означает наличия завершённой конечной записи всех его десятичных цифр.

Обратная ситуация возникает при наличии определённого вычислительного алгоритма.

Можно задать процедуру формирования большого конечного количества десятичных позиций.

Однако само существование такой процедуры ещё не означает фактического получения предусмотренного результата.

Следовательно, необходимо различать математическое определение объекта, алгоритмическую возможность вычисления и завершённую экспликацию определённого класса.

Для решения этой задачи предлагается разработать специальную теорию полной конечной экспликации математических объектов.

Её предметом должны стать условия нормативного задания, получения, проверки и регистрации конечных представлений.

При этом понятие полноты необходимо использовать относительно конкретной системы требований.

Полная конечная экспликация первого класса не означает полного раскрытия всех математических свойств исходного объекта.

Она означает завершение определённой нормативной процедуры.

4.2. Историко-методологические основания

В авторской теории ментальных объектов, разработанной в 1990-х годах и представленной в «Пролегоменах к инновационной войне по основаниям гармонической математики» 2002 года, особое значение имеет различие между содержанием, объёмом и составом понятия.

В рамках этой теории проблема состава связывается с условиями актуализации или конструктивного порождения элементов соответствующей ментальной системы.

Такой подход создаёт методологическую предпосылку для исследования различных способов определения и представления математических объектов.

Однако необходимо разграничивать исходное гносеологическое понятие состава и специальную инженерную категорию полной конечной экспликации.

В настоящей главе последняя рассматривается применительно к нормативно заданному конечному результату.

Например, если требуется получить десятичную запись, содержащую сто позиций после запятой, необходимо определить, выполнено ли именно это требование.

При этом вопрос о математической природе исходного числа представляет самостоятельную задачу.

Аналогичным образом не следует автоматически отождествлять формальную возможность порождения последовательности с фактическим завершением конкретного вычисления.

Следовательно, теория полной конечной экспликации должна развиваться как специальный ноотехнический раздел, дополняющий исходную концепцию ментальных объектов операционными определениями.

Её научное содержание определяется не только философской интерпретацией математических конструкций, но и наличием проверяемых правил формирования результатов.

4.3. Основные понятия теории экспликации

Для дальнейшего исследования предлагается разграничить несколько фундаментальных понятий.

Математический объект — конструкция, определённая в установленной математической системе.

Обозначение объекта — символическая запись, используемая для его идентификации.

Определение объекта — система условий, устанавливающих его математическую предметность.

Алгоритмическое задание — определённая вычислительная процедура, предназначенная для получения необходимых характеристик или представлений.

Нормативная экспликация — формирование представления по установленным правилам.

Частичная экспликация — полученный фрагмент предусмотренного представления.

Полная конечная экспликация — фактически завершённое формирование конечного результата, отвечающего определённой нормативной спецификации.

Проверенная экспликация — результат, соответствие которого установленным требованиям подтверждено указанными методами.

При этом необходимо учитывать, что завершённость получения результата и его проверенность представляют собой разные характеристики.

Например, программа может сформировать файл из требуемого количества цифр.

Однако ещё необходимо установить, правильно ли вычислены эти цифры.

Следовательно, полнота записи не заменяет математической корректности.

И наоборот, наличие доказанного алгоритма не означает, что вычисление уже выполнено в необходимом объёме.

Таким образом, теория экспликации должна предусматривать несколько независимых статусов объекта и результата.

4.4. Шкала классов как нормативная основа экспликации

В авторской шкале классов точности количество десятичных позиций устанавливается посредством правила:

dₙ = 10^n,

где n — положительный целый номер класса.

Следовательно:

• класс 1 — 10 десятичных позиций;
• класс 2 — 100 позиций;
• класс 3 — 1 000 позиций;
• класс 6 — 1 000 000 позиций;
• класс 12 — 10^12 позиций.

Для дальнейшей математической работы удобно ввести дополнительные обозначения.

Пусть:

Bₙ = 10^(dₙ) = 10^(10^n)

и

hₙ = 1/Bₙ = 10^(−10^n).

Здесь Bₙ представляет собой масштабный множитель, а hₙ — шаг конечной десятичной сетки соответствующего класса.

Например, для первого класса:

d₁ = 10;

B₁ = 10^10;

h₁ = 10^(−10).

Следует подчеркнуть принципиальное различие между величинами 10^n и 10^(10^n).

Первая определяет количество десятичных позиций.

Вторая используется для масштабирования числового значения при математическом описании соответствующих представлений.

Смешение данных величин способно привести к серьёзной ошибке в формальной спецификации.

Следовательно, для дальнейших вычислений необходимо сохранять их разные обозначения.

4.5. Полная конечная экспликация: рабочее определение

Предлагается следующее определение.

Определение 4.1. Полная конечная экспликация математического объекта относительно класса n и нормативного профиля P — фактически завершённый результат формирования конечного представления данного объекта, соответствующий установленным требованиям к количеству позиций, математической операции и форме записи.

В данном определении существенны четыре элемента.

Первый — исходный математический объект.

Второй — установленный класс экспликации.

Третий — нормативный профиль, определяющий способ формирования результата.

Четвёртый — фактическое завершение предусмотренной процедуры.

Например, если требуется сформировать десятичное представление первого класса посредством усечения, необходимо получить ровно десять позиций после запятой.

При этом запись должна соответствовать математическому правилу усечения.

Однако необходимо различать полную экспликацию и универсальную математическую определённость.

Точное число может существовать в соответствующей математической системе независимо от наличия завершённого десятичного представления определённого класса.

Следовательно, полнота экспликации является относительной нормативной характеристикой результата, а не универсальным свойством математического бытия объекта.

4.6. Пять состояний экспликационного процесса

Для практической организации предлагается различать следующие состояния.

1. Математическая определённость.

Исходный объект задан в установленной математической системе.

2. Алгоритмическая обеспеченность.

Определена процедура получения требуемого представления.

3. Техническая реализованность.

Создано средство, предназначенное для выполнения данной процедуры.

4. Фактическая завершённость.

Получено представление предусмотренного класса.

5. Подтверждённая корректность.

Выполнены необходимые проверки результата в установленной области.

Однако перечисленные состояния не всегда образуют простую линейную последовательность.

Например, математическая корректность алгоритма может быть доказана до создания программной реализации.

А часть контрольных процедур может выполняться непосредственно в ходе вычисления.

Особое значение имеет разграничение положительного доказательственного заключения и факта завершения конкретного результата.

Например, доказательство корректности алгоритма вычисления рациональных дробей не означает, что автоматически сформированы все возможные десятичные представления.

Следовательно, состояние математической теории и состояние конкретной технической реализации должны регистрироваться раздельно.

4.7. Обозначение математического объекта

Обозначение предназначено для идентификации определённой математической конструкции.

Например:

1/3;

π;

√2;

10^(10^12).

Каждое из этих выражений может быть конечной символической записью.

Однако конечность обозначения не означает конечности любой формы экспликации обозначаемого объекта.

Например, запись π содержит один основной символ.

Но обычное десятичное развитие соответствующего числа бесконечно.

А выражение 10^(10^12) представляет собой конечное целое число, полная десятичная запись которого содержит чрезвычайно большое количество цифр.

Следовательно, необходимо различать длину обозначения и объём развёрнутого представления.

Особое значение имеет возможность точного символического задания без последующего вычисления всех цифр.

Такое задание может быть математически полным в отношении определения объекта, но не являться полной экспликацией его десятичной записи заданного класса.

Таким образом, обозначение и экспликация выполняют разные конструктивные функции.

4.8. Точная символическая запись и приближённое представление

Рассмотрим точное рациональное число:

x = 1/3.

Его запись в виде отношения целых чисел является конечной и математически точной.

При использовании первого класса и правила усечения получаем:

T₁(x) = 0,3333333333.

Однако:

1/3 ≠ 0,3333333333.

Следовательно, конечное представление является приближением исходного рационального числа.

В другом случае рассмотрим:

x = 1/8.

При использовании первого класса:

T₁(x) = 0,1250000000.

Здесь числовое значение представления точно совпадает с исходным рациональным числом.

Следовательно, один класс экспликации может содержать как точные, так и приближённые представления.

Из этого следует важное положение.

Количество предусмотренных десятичных позиций не является самостоятельным критерием точного равенства результата исходному математическому объекту.

Для такого заключения необходимо исследовать математическое отношение между объектом и его представлением.

4.9. Каноническая форма десятичной записи

Для обеспечения воспроизводимости необходимо установить правила формирования канонической записи.

В первоначальном варианте предлагается использовать следующие условия.

Числовое значение записывается в десятичной системе счисления.

Целая часть представляется обычной десятичной записью.

После неё устанавливается определённый десятичный разделитель.

Далее размещается ровно dₙ цифр.

Если математическое значение имеет меньшее количество ненулевых десятичных позиций, необходимые места заполняются нулями.

Знак отрицательного числа фиксируется отдельно.

Для нулевого значения устанавливается единая каноническая запись без отрицательного знака.

Например, для первого класса:

0,0000000000;

0,1250000000;

−0,1666666666.

При этом выбор запятой или точки в качестве десятичного разделителя представляет собой дополнительное форматное решение.

Оно должно быть зафиксировано в соответствующей спецификации.

Особое значение имеет различие между числовым значением и текстовым объектом.

Записи 0,5 и 0,5000000000 обозначают одно рациональное число, но не являются буквенно-символьно тождественными.

Следовательно, правила канонизации необходимы для проверки именно нормативной формы представления.

4.10. Алгоритмическая экспликация рациональных чисел

Для рациональных чисел возможно построение точного алгоритма конечной десятичной экспликации.

Пусть:

x = p/q,

где p и q — целые числа, q > 0.

Пусть:

d = dₙ = 10^n

и

B = 10^d.

Для операции усечения по направлению к нулю определим:

k = floor(|p| · B / q).

Тогда математическое значение результата равно:

Tₙ(x) = sgn(p) · k/B.

Для практической реализации можно использовать точное целочисленное деление.

Оно позволяет получить целое число k без предварительного преобразования исходного рационального объекта в приближённый машинный формат.

Однако полученное значение ещё необходимо представить в виде десятичной записи с ровно d позициями.

Следовательно, алгоритм должен включать две функционально различные процедуры.

Первая — точное вычисление целочисленного коэффициента.

Вторая — формирование нормативной записи результата.

Такое разграничение позволяет независимо проверять математическую и форматную корректность.

4.11. Деление с остатком как средство проверки

Для точного рационального числа можно использовать алгоритм деления с остатком.

Пусть:

|p| · B = qk + r,

где:

0 ≤ r < q.

Тогда:

k = floor(|p| · B/q).

Следовательно, результат усечения определяется однозначно.

При этом абсолютная погрешность имеет точное рациональное значение:

|x − Tₙ(x)| = r/(qB).

Из условия r < q следует:

|x − Tₙ(x)| < 1/B = 10^(−d).

Таким образом, корректность математического результата может проверяться посредством целочисленных соотношений.

Особое значение имеет возможность использования этих отношений в качестве проверочного свидетельства.

Например, система может сохранять значения p, q, k и r, необходимые для независимой проверки.

Однако такое свидетельство не заменяет контроль правильности нормативной записи.

Следовательно, проверка полной конечной экспликации должна включать как математические, так и форматные условия.

4.12. Условия точного конечного десятичного представления рационального числа

Не всякое рациональное число имеет точное конечное десятичное представление.

Пусть рациональное число записано в несократимом виде:

x = p/q,

где q > 0 и gcd(|p|, q) = 1.

Тогда оно имеет точную конечную десятичную запись тогда и только тогда, когда простой разложение знаменателя содержит только множители 2 и 5.

Иными словами:

q = 2^a · 5^b

для некоторых неотрицательных целых a и b.

Это следует из того, что десятичное число с d позициями может быть представлено рациональным числом со знаменателем 10^d.

Например:

1/8 = 0,125.

Поскольку:

8 = 2^3,

точное конечное десятичное представление существует.

Напротив:

1/3

не имеет точной конечной десятичной записи, поскольку знаменатель содержит простой множитель 3.

Следовательно, завершённая экспликация определённого класса может быть математически точной или приближённой.

При этом необходимость приближения зависит от исходного рационального объекта.

Таким образом, математическое свойство конечной десятичной представимости следует отличать от нормативной длины записи.

4.13. Алгоритмический генератор и готовый результат

Одной из принципиальных проблем является разграничение программы, способной породить представление, и самого представления.

Например, может существовать алгоритм вычисления миллиона десятичных цифр определённого числа.

Однако программа как конечный текст ещё не представляет собой фактически сформированный миллионозначный результат.

Следовательно, необходимо различать:

алгоритмический генератор;

задание параметров генерации;

процесс выполнения;

полученный результат;

проверенный результат.

Особое значение имеют технологии потокового вычисления.

В некоторых случаях цифры могут порождаться последовательно без сохранения всей записи в оперативной памяти.

Однако для признания экспликации завершённой необходимо установить, что предусмотренный объём действительно сформирован согласно требованиям.

Если нормативный результат должен существовать как целостный архивный файл, одного последовательного показа отдельных цифр может быть недостаточно.

Если стандарт допускает потоковую форму завершения, необходимо определить соответствующие условия.

Следовательно, способ технического существования завершённого представления является самостоятельным предметом нормативной спецификации.

4.14. Сжатое представление и полная экспликация

Некоторые математические конструкции допускают очень короткие алгоритмические или символические представления при огромном объёме развёрнутого результата.

Например, последовательность из триллиона нулей может быть задана коротким выражением, определяющим повторение символа.

Однако такое выражение не содержит триллион явным образом записанных цифр.

Следовательно, необходимо различать сжатое описание и развёрнутую экспликацию.

При этом нельзя считать сжатую форму математически некорректной.

Она может быть точным способом задания соответствующей последовательности.

Однако её нормативный статус зависит от поставленной задачи.

Если требуется получить именно полную развёрнутую запись, необходимо выполнить соответствующую процедуру.

Если же допускается математически эквивалентное сжатое представление, данное условие должно быть установлено заранее.

Особое значение имеет возможность проверки эквивалентности.

Например, программа распаковки должна обеспечивать получение предусмотренной последовательности.

Однако наличие такого алгоритма не означает фактического выполнения распаковки.

Таким образом, сжатое и развёрнутое представления могут быть связаны строго определённым преобразованием, но не должны автоматически отождествляться как технические результаты.

4.15. Экспликация иррациональных чисел

Особую задачу представляет формирование конечных представлений иррациональных чисел.

Например, число π является математически определённым объектом.

Однако его десятичная запись бесконечна и непериодична.

Для получения представления первого класса необходимо вычислить соответствующие цифры и выполнить выбранную операцию.

При усечении:

T₁(π) = 3,1415926535.

При округлении:

R₁(π) = 3,1415926536.

Однако корректность такого результата должна опираться на соответствующее математическое основание.

Например, можно использовать проверенные оценки, позволяющие однозначно определить необходимые десятичные позиции.

Следовательно, алгоритм приближённого вычисления должен сопровождаться контролем достаточности полученной информации.

Особенно важно учитывать граничные случаи округления.

Если вычисленное приближение не позволяет установить, по какую сторону от границы округления находится исходное число, процедура не должна произвольно выбирать результат.

В таком случае требуется дополнительное вычисление или специальное математическое обоснование.

Следовательно, для иррациональных объектов особое значение приобретает доказуемость правильности конечной экспликации.

4.16. Потенциально неограниченное довычисление

Авторская система классов допускает последовательное увеличение количества десятичных позиций.

Если номер класса увеличивается, возрастает длина предусмотренного представления.

В результате возникает возможность перехода:

класс 1 → класс 2 → класс 3 → …

Однако следует различать математическую определённость последовательности классов и фактическое выполнение соответствующих вычислений.

Для каждого фиксированного положительного целого n количество позиций:

dₙ = 10^n

является конечным.

Но из этого не следует, что все представления всех классов фактически сформированы.

Следовательно, потенциально неограниченное довычисление можно рассматривать как возможность последовательного выполнения новых конечных задач.

Особое значение имеет сохранение исходного математического объекта.

Например, десятизначного усечённого представления недостаточно для универсального восстановления всех последующих цифр.

Однако если исходное рациональное число задано точно, можно выполнить новые вычисления.

Следовательно, технология довычисления должна учитывать наличие исходного математического задания, а не только прежней конечной записи.

Таким образом, неограниченная продолжимость последовательности нормативных задач не означает актуально завершённого существования всех соответствующих технических результатов.

4.17. Формальная конечность и ресурсная осуществимость

В системе классов точности особенно важно различать математическую конечность и физическую осуществимость.

Например, для класса:

n = 12

количество десятичных позиций составляет:

d₁₂ = 10^12.

Такое количество является конечным натуральным числом.

Однако формирование соответствующей записи предполагает получение одного триллиона десятичных цифр.

При обычном несжатом символьном представлении это требует значительного объёма хранения или передачи информации.

Следовательно, необходимо учитывать технические ограничения.

Однако нельзя делать вывод о математической бесконечности объекта только вследствие высокой ресурсной стоимости его экспликации.

Необходимо различать:

математически конечный объём результата;

алгоритмическую осуществимость вычисления;

ресурсную доступность конкретной реализации;

фактически завершённый результат;

степень его проверенности.

Эти характеристики должны регистрироваться отдельно.

Особое значение имеет возможность использования различных технических архитектур.

Например, потоковые вычисления способны уменьшать требования к оперативной памяти, но не отменяют необходимости сформировать предусмотренное количество выходных символов, если именно они требуются стандартом.

Таким образом, ресурсная осуществимость является самостоятельным ноотехническим показателем.

4.18. Статусы результата экспликации

Для практической организации предлагается использовать несколько нормативных статусов.

Объект определён — исходная математическая конструкция задана.

Алгоритм определён — установлена процедура формирования представления.

Реализация разработана — создано техническое средство выполнения процедуры.

Экспликация начата — осуществляется формирование результата.

Экспликация завершена — предусмотренный результат фактически получен.

Формат проверен — подтверждено соответствие форме записи.

Математическая корректность подтверждена — выполнена предусмотренная проверка значения или доказательство соответствующего свойства.

Репродуктивность подтверждена — установлена возможность повторного получения результата в объявленных условиях.

При этом необходимо различать проверку конкретного результата и доказательство универсальных свойств алгоритма.

Например, успешное формирование одной записи не доказывает корректность программы для всех допустимых входных данных.

Следовательно, документирование должно включать указание области подтверждения.

Таким образом, система статусов обеспечивает разделение математической, вычислительной и нормативной завершённости.

4.19. Паспорт полной конечной экспликации

Для практического применения предлагается разработать специальный паспорт.

Он должен включать:

1. идентификатор исходного математического объекта;
2. систему его определения;
3. нормативный класс;
4. количество десятичных позиций;
5. правило формирования результата;
6. идентификатор алгоритма;
7. идентификатор технической реализации;
8. нормативную редакцию;
9. математическое значение конечного результата;
10. фактическую запись;
11. сведения о погрешности;
12. статус завершённости;
13. результаты форматной проверки;
14. результаты математической проверки;
15. условия воспроизводства;
16. известные ограничения;
17. историю изменений.

Однако наличие паспорта не заменяет фактического получения соответствующего результата.

Его назначение состоит в документировании определённого состояния.

Особенно важно разграничивать ожидаемые и полученные характеристики.

Например, в проектном задании может быть предусмотрено формирование миллиона десятичных позиций.

Однако до фактического завершения вычисления соответствующий результат должен иметь статус планируемого.

Следовательно, паспорт должен обеспечивать объективную регистрацию доказательственного и технического состояния.

4.20. Основные результаты главы

В настоящей главе предложено определение полной конечной экспликации математического объекта относительно заданного класса и нормативного профиля.

Разграничены математический объект, обозначение, определение, алгоритмическое задание, техническая реализация и фактически полученный результат.

Введены обозначения:

dₙ = 10^n;

Bₙ = 10^(10^n);

hₙ = 10^(−10^n).

Рассмотрены принципы канонического формирования десятичных записей.

Разработана точная схема усечения рациональных чисел на основе целочисленного деления.

Показана возможность математической проверки результата посредством деления с остатком.

Установлены условия точной конечной десятичной представимости рациональных чисел.

Разграничены алгоритмический генератор и завершённая экспликация.

Исследованы отношения между сжатыми и развёрнутыми представлениями.

Рассмотрены особенности экспликации иррациональных чисел.

Показано различие между потенциально неограниченным довычислением и фактически завершённым результатом.

Предложена система статусов и первоначальная структура паспорта экспликации.

Таким образом, полная конечная экспликация рассматривается как нормативно определённое и фактически завершённое формирование конечного представления математического объекта, отличное как от самого объекта, так и от алгоритма его вычисления.

Это создаёт основу для исследования классовой определённости, тождества и правил сравнения.

---

Глава 5. Классовая определённость, классовое тождество и правила сравнения

5.1. Проблема тождества математических объектов различных классов

В предыдущей главе были рассмотрены условия полной конечной экспликации математических объектов.

Показано, что одно точное число может иметь несколько нормативно различных представлений.

Следовательно, возникает необходимость определить правила их сравнения.

Особенно важно разграничить математическое равенство исходных объектов и совпадение результатов их конечной экспликации.

Например, два различных рациональных числа способны иметь одинаковые десятичные представления определённого класса.

В таком случае соответствующие результаты не позволяют различить исходные объекты.

Однако это не означает, что объекты становятся математически тождественными.

Следовательно, необходима специальная система отношений, учитывающая класс и нормативное правило представления.

Для её разработки предлагается использовать понятия классовой определённости, классового тождества и классовой эквивалентности.

При этом термин «тождество» должен применяться с обязательным уточнением его нормативного смысла.

Математическое равенство не должно подменяться отношением совпадения приближений.

Следовательно, требуется разработать формальную систему классово-относительного сравнения.

5.2. Классовая определённость

Предлагается следующее рабочее определение.

Определение 5.1. Классовая определённость математического представления — установленность его принадлежности конкретному нормативному классу на основании соответствия требованиям к количеству позиций, способу формирования и редакции правил.

В данном определении необходимо различать два вопроса.

Первый — относится ли представление к определённому классу по своей форме.

Второй — получено ли оно математически правильно по установленной операции.

Например, запись:

0,3333333333

содержит десять десятичных позиций.

Следовательно, по формату она соответствует первому классу.

Однако для признания её корректным представлением числа 1/3 необходимо дополнительно указать правило экспликации.

При усечении результат соответствует спецификации.

Но если заявлена другая операция, требуется самостоятельная проверка.

Следовательно, классовая определённость должна включать не только количественную характеристику, но и нормативный контекст.

Особое значение имеет идентификация исходного математического объекта.

Без неё конечная запись не обязательно позволяет установить, для какого числа она была сформирована.

Таким образом, классовая определённость является характеристикой нормативного представления и его происхождения.

5.3. Уровни математического тождества

Для дальнейшего исследования необходимо различать несколько отношений.

Точное математическое равенство устанавливает совпадение исходных числовых значений в определённой математической системе.

Равенство числовых значений представлений означает, что две конечные записи обозначают одно число.

Буквенное тождество записей означает совпадение последовательностей символов.

Классовая эквивалентность исходных объектов означает совпадение их представлений установленного класса при определённом нормативном правиле.

Нормативное тождество редакций связано с использованием одних и тех же обязательных определений и правил.

Эти отношения нельзя автоматически отождествлять.

Например:

1/2 = 0,5.

Оба обозначения могут представлять одно рациональное число.

Однако они не являются одинаковыми символьными записями.

А записи:

0,5

и

0,5000000000

имеют одинаковое числовое значение, но различаются по формату.

Следовательно, при сравнении необходимо указывать, какое именно отношение рассматривается.

Таким образом, тождество является нормативно и предметно определённым отношением, а не универсальной характеристикой совпадения любых способов записи.

5.4. Математическое равенство исходных объектов

Рассмотрим рациональные числа:

x = 1/3

и

y = 2/6.

В обычной рациональной арифметике:

x = y.

Следовательно, перед нами два обозначения одного математического значения.

Их конечные десятичные представления при одинаковом нормативном правиле также совпадают.

Однако обратное утверждение не обязательно выполняется.

Совпадение конечных представлений не гарантирует точного равенства исходных рациональных чисел.

Следовательно, необходимо различать прямое следствие:

x = y ⇒ Tₙ(x) = Tₙ(y)

и обратное утверждение:

Tₙ(x) = Tₙ(y) ⇒ x = y.

Первое верно для однозначно определённой операции Tₙ.

Второе в общем случае ложно.

Таким образом, классовая экспликация способна сохранять равенство, но не обязана сохранять различимость всех исходных объектов.

Это обстоятельство имеет фундаментальное значение для математической теории классовых представлений.

5.5. Определение классовой эквивалентности

Пусть:

dₙ = 10^n

и

Tₙ(x) = sgn(x) · floor(|x| · 10^(dₙ)) / 10^(dₙ).

Для соответствующей предметной области предлагается ввести отношение:

x ~ₙ y ⇔ Tₙ(x) = Tₙ(y).

Предлагается следующее определение.

Определение 5.2. Классовая эквивалентность объектов относительно класса n и операции усечения — отношение совпадения математических значений их усечённых представлений соответствующего класса.

В данном определении особенно важно указание операции.

Если вместо усечения используется округление, возникает другое отношение.

Следовательно, в общем случае необходимо обозначать нормативный профиль.

Например:

x ~ₙ,T y

или

x ~ₙ,R y.

Первое отношение устанавливает совпадение результатов усечения.

Второе — совпадение результатов округления.

При этом математические свойства соответствующих отношений требуют самостоятельного исследования.

Следовательно, термин «классовое тождество» целесообразно использовать только как сокращённое обозначение строго определённой классовой эквивалентности.

Он не должен заменять обычное математическое равенство.

5.6. Классовая эквивалентность как отношение эквивалентности

Для операции усечения рассмотрим отношение:

x ~ₙ y ⇔ Tₙ(x) = Tₙ(y).

Оно обладает тремя основными свойствами.

Рефлексивность.

Для любого допустимого x:

Tₙ(x) = Tₙ(x).

Следовательно:

x ~ₙ x.

Симметричность.

Если:

Tₙ(x) = Tₙ(y),

то:

Tₙ(y) = Tₙ(x).

Следовательно:

x ~ₙ y ⇒ y ~ₙ x.

Транзитивность.

Если:

Tₙ(x) = Tₙ(y)

и

Tₙ(y) = Tₙ(z),

то:

Tₙ(x) = Tₙ(z).

Следовательно:

x ~ₙ y и y ~ₙ z ⇒ x ~ₙ z.

Таким образом, отношение классовой эквивалентности является математическим отношением эквивалентности.

Однако из этого не следует, что оно сохраняется при всех арифметических операциях.

Соответствующий вопрос требует самостоятельного исследования.

5.7. Пример классовой эквивалентности различных рациональных чисел

Рассмотрим точные рациональные числа:

x = 1/3

и

y = 1/3 + 10^(−12).

Очевидно:

x ≠ y.

Однако при использовании первого класса точности:

d₁ = 10.

Применение операции усечения даёт:

T₁(x) = 0,3333333333;

T₁(y) = 0,3333333333.

Следовательно:

x ~₁ y.

Таким образом, два различных точных рациональных числа являются эквивалентными относительно выбранного класса.

Однако из этого не следует их математическое тождество.

Различие между ними сохраняется в исходной рациональной арифметике.

Следовательно, классовая эквивалентность характеризует ограниченную различающую способность конкретной технологии представления.

Такое отношение может использоваться в определённых инженерных задачах.

Однако его нельзя применять вместо точного равенства без специального нормативного основания.

5.8. Классы эквивалентности усечения

Для более глубокого исследования рассмотрим шаг:

hₙ = 10^(−10^n).

Математические значения завершённых представлений образуют сетку:

Dₙ = {k · hₙ : k ∈ Z}.

Для каждого значения этой сетки можно определить совокупность исходных чисел, которые при усечении дают соответствующий результат.

Однако необходимо учитывать знак.

Если k > 0, то:

Tₙ(x) = k · hₙ

тогда и только тогда, когда:

k · hₙ ≤ x < (k + 1) · hₙ.

Если k < 0, то:

Tₙ(x) = k · hₙ

тогда и только тогда, когда:

(k − 1) · hₙ < x ≤ k · hₙ.

Для нулевого результата:

Tₙ(x) = 0

тогда и только тогда, когда:

−hₙ < x < hₙ.

Следовательно, классы эквивалентности имеют интервальную структуру.

При этом нулевой класс охватывает значения обоих знаков.

Это обстоятельство необходимо учитывать при сравнении.

Например, два числа могут иметь одинаковое нулевое представление, но обладать противоположными знаками в исходной математической системе.

Таким образом, классовая эквивалентность не должна автоматически использоваться для установления знака исходного числа.

5.9. Различающая способность класса

Из интервального характера классовой эквивалентности следует, что конечное представление не всегда позволяет установить точное исходное значение.

Например, усечённый результат:

0,3333333333

соответствует целой области положительных действительных чисел.

Следовательно, он не определяет исходный объект единственным образом.

Однако при увеличении класса соответствующие интервалы становятся меньше.

Для класса n шаг составляет:

hₙ = 10^(−10^n).

Для следующего класса:

hₙ₊₁ = 10^(−10^(n+1)).

Следовательно, с увеличением n шаг уменьшается.

При этом необходимо различать более высокую различающую способность и фактическую завершённость вычисления.

Математически можно определить произвольно высокий класс.

Однако его техническое представление может ещё не быть получено.

Таким образом, различающая способность является нормативно-математической характеристикой класса, а не автоматическим свидетельством завершённого вычисления.

5.10. Межклассовое уточнение эквивалентности

Рассмотрим два класса:

n < m.

Тогда:

dₙ < dₘ.

Для операции усечения выполняется:

Tₙ(Tₘ(x)) = Tₙ(x).

Следовательно, если два исходных числа имеют одинаковые представления более высокого класса:

Tₘ(x) = Tₘ(y),

то их представления более низкого класса также совпадают:

Tₙ(x) = Tₙ(y).

Таким образом:

x ~ₘ y ⇒ x ~ₙ y.

Следовательно, классовая эквивалентность более высокого класса представляет собой уточнение эквивалентности более низкого класса.

Однако обратное утверждение в общем случае неверно.

Два числа могут быть неразличимыми в первом классе, но различимыми во втором.

Следовательно, последовательность классов допускает нормативно определённое повышение различающей способности.

При этом данное свойство относится к согласованной системе усечения.

Для других операций необходимо отдельно исследовать соответствующие отношения.

5.11. Различимость точных объектов при неограниченном повышении класса

Для математического исследования можно поставить следующий вопрос.

Если два действительных числа имеют одинаковые усечённые представления всех классов, обязательно ли они равны?

Пусть:

Tₙ(x) = Tₙ(y)

для каждого положительного целого n.

Для операции усечения выполняются оценки:

|x − Tₙ(x)| < hₙ

и

|y − Tₙ(y)| < hₙ.

Следовательно:

|x − y| ≤ |x − Tₙ(x)| + |Tₙ(y) − y| < 2hₙ.

Поскольку:

hₙ = 10^(−10^n) → 0

при неограниченном увеличении n, получаем:

|x − y| = 0.

Следовательно:

x = y.

Таким образом, математически выполняется соотношение:

x = y ⇔ x ~ₙ y для всех n ≥ 1.

Однако необходимо подчеркнуть, что данное положение относится к математической системе бесконечно продолжаемой последовательности классов.

Оно не предполагает фактического выполнения бесконечного числа вычислений.

Следовательно, математическая различимость в системе всех классов не должна отождествляться с технической возможностью завершить все соответствующие экспликации.

5.12. Классовое равенство и закон строгого тождества

В гармонической логике автора закон строгого тождества требует сохранения содержания, объёма и состава понятия в пределах соответствующего рассуждения.

Для теории классовой эквивалентности этот принцип приобретает существенное методологическое значение.

Если используется точное математическое равенство, оно не должно неявно заменяться совпадением приближённых представлений.

Например:

x ~₁ y

не означает:

x = y.

Следовательно, необходимо использовать разные обозначения.

Особое значение имеет фиксация нормативного контекста.

В одном вычислении может использоваться первый класс.

В другом — второй.

Если соответствующие результаты сравниваются без указания класса, возникает опасность смысловой подмены.

Однако классовая эквивалентность не противоречит самому принципу строгого тождества при условии, что она рассматривается как самостоятельное отношение.

Следовательно, необходимо разграничивать строгое математическое тождество и нормативно определённую классовую неразличимость.

Именно такое разграничение обеспечивает возможность разработки инженерных технологий конечного представления без подмены исходных математических объектов.

5.13. Классовый порядок

Для дальнейшего исследования необходимо определить возможность сравнения исходных чисел по их конечным представлениям.

Пусть используется операция усечения.

Она является монотонной:

x ≤ y ⇒ Tₙ(x) ≤ Tₙ(y).

Следовательно, если:

Tₙ(x) < Tₙ(y),

то обязательно:

x < y.

Однако обратное утверждение не выполняется в общем случае.

Возможно:

x < y,

но:

Tₙ(x) = Tₙ(y).

Следовательно, конечное представление может не различать близкие исходные значения.

Таким образом, предлагается различать:

подтверждённое классовое различие — когда представления различаются;

классовую неразличимость — когда представления совпадают.

При этом второе не означает математического равенства.

Особое значение имеет возможность использования интервалов неопределённости исходного значения.

Для каждой усечённой записи можно установить соответствующую область исходных чисел.

Следовательно, сравнение может опираться не только на сами записи, но и на математические ограничения исходных объектов.

5.14. Сравнение на основании интервалов допустимых значений

Если точные исходные числа неизвестны, но имеются их конечные представления, необходимо учитывать ограничения соответствующей информации.

Пусть для первого числа установлено:

x ∈ Iₓ.

Для второго:

y ∈ Iᵧ.

Тогда можно исследовать отношения между соответствующими интервалами.

Если верхняя граница области Iₓ меньше нижней границы области Iᵧ, то устанавливается:

x < y.

Если интервалы пересекаются, имеющейся информации может оказаться недостаточно для точного сравнения.

Однако пересечение интервалов не означает математического равенства чисел.

Следовательно, результат должен получать специальный статус.

Например:

«Строгий порядок подтверждён».

Или:

«Представленных данных недостаточно для установления порядка».

Особое значение имеет корректность интервалов.

Они должны содержать все возможные исходные значения, совместимые с полученным представлением и нормативной операцией.

Следовательно, интервальные методы могут выступать важным дополнением к системе классовой экспликации.

5.15. Классовая эквивалентность и сложение

Одной из фундаментальных задач является проверка сохранения классовой эквивалентности при арифметических операциях.

Рассмотрим первый класс.

Тогда:

h₁ = 10^(−10).

Пусть:

x = 0;

y = 3 · 10^(−11);

z = 8 · 10^(−11).

При усечении до десяти позиций:

T₁(x) = 0;

T₁(y) = 0.

Следовательно:

x ~₁ y.

Однако после прибавления одного и того же числа z получаем:

T₁(x + z) = 0;

T₁(y + z) = 10^(−10).

Следовательно:

x + z не эквивалентно y + z относительно первого класса.

Таким образом, отношение классовой эквивалентности не сохраняется автоматически при сложении.

Следовательно, оно не является конгруэнцией относительно обычной операции сложения рациональных чисел.

Это обстоятельство имеет фундаментальное значение.

Оно означает, что нельзя без дополнительных правил строить арифметику классов эквивалентности как обычную фактор-арифметику.

Для такой задачи необходимо разработать самостоятельную систему операций.

5.16. Классовая эквивалентность и умножение

Аналогичная проблема возникает при умножении.

Пусть:

x = 0

и

y = 3 · 10^(−11).

Для первого класса:

x ~₁ y.

Однако при умножении обоих чисел на 10 получаем:

10x = 0;

10y = 3 · 10^(−10).

Следовательно:

T₁(10x) = 0;

T₁(10y) = 3 · 10^(−10).

Таким образом, результаты различаются.

Следовательно, классовая эквивалентность не сохраняется автоматически при умножении на произвольное число.

Этот результат подтверждает необходимость разграничения обычного математического равенства и классовой неразличимости.

Особое значение имеет возможность использования дополнительных ограничений.

Например, в некоторых специальных случаях операции могут сохранять классовую эквивалентность.

Однако такие условия должны быть установлены самостоятельно.

Следовательно, нельзя утверждать универсальную совместимость классового тождества с арифметическими операциями без соответствующего доказательства.

5.17. Правила межклассового сравнения

При сравнении представлений различных классов необходимо учитывать несколько условий.

Прежде всего следует установить, принадлежат ли результаты одной нормативной системе.

Затем необходимо определить применённые операции.

Если обе записи получены посредством усечения, более длинное представление может быть преобразовано в более короткое.

Однако такое преобразование сопровождается потерей информации.

Следовательно, совпадение после преобразования не означает исходного математического равенства.

Если же используются различные способы округления, требуется специальная процедура согласования.

Особое значение имеет возможность двойного округления.

Поэтому нельзя автоматически предполагать, что последовательное округление через промежуточный класс даёт тот же результат, что и непосредственное округление исходного числа.

Таким образом, межклассовое сравнение должно включать явную спецификацию преобразования.

При этом необходимо фиксировать:

• исходные классы;
• нормативные операции;
• целевой класс;
• используемый алгоритм;
• сохраняемые свойства;
• возможную потерю информации.

Следовательно, система сравнения должна обладать самостоятельной нормативной определённостью.

5.18. Статусы результатов классового сравнения

Для практического применения предлагается использовать несколько статусов.

Точное равенство подтверждено — установлено математическое равенство исходных объектов.

Точное неравенство подтверждено — установлено их математическое различие.

Классовая эквивалентность установлена — совпадают представления определённого класса.

Классовое различие установлено — соответствующие представления не совпадают.

Строгий порядок подтверждён — имеются достаточные математические основания.

Сравнение не завершено — предусмотренная процедура не выполнена полностью.

Недостаточно данных — имеющиеся представления не позволяют установить требуемое отношение.

Сравнение недопустимо — отсутствует необходимая нормативная совместимость.

Однако перечисленные статусы не являются дополнительными истинностными значениями математических утверждений.

Они относятся к результатам инженерных процедур сравнения.

Особенно важно различать статус «Недостаточно данных» и математическое равенство.

В первом случае не получено необходимого заключения.

Во втором установлено определённое математическое свойство.

Следовательно, система статусов должна обеспечивать доказательственную определённость результатов.

5.19. Паспорт классового сравнения

Для организации практических вычислений предлагается разработать паспорт классового сравнения.

Он должен включать:

1. идентификаторы сравниваемых объектов;
2. исходные математические системы;
3. способы задания объектов;
4. нормативные классы;
5. правила формирования представлений;
6. результаты экспликации;
7. используемое отношение сравнения;
8. условия межклассового преобразования;
9. математическое заключение;
10. доказательственные основания;
11. нормативный статус результата;
12. сведения о выполненных проверках;
13. ограничения применения.

При этом необходимо учитывать возможность использования нескольких отношений сравнения.

Например, два объекта могут быть неравны в исходной математической системе, но эквивалентны относительно определённого класса.

Соответствующие заключения должны регистрироваться раздельно.

Особое значение имеет возможность автоматизированного анализа.

Однако программная проверка конечных представлений не должна автоматически считаться доказательством точного математического равенства исходных объектов.

Таким образом, паспорт должен обеспечивать разграничение математического и классового статуса результатов.

5.20. Основные результаты главы

В настоящей главе предложены определения классовой определённости и классовой эквивалентности математических объектов.

Разграничены точное математическое равенство, равенство числовых значений представлений и буквенное тождество записей.

Для операции усечения введено отношение:

x ~ₙ y ⇔ Tₙ(x) = Tₙ(y).

Установлено, что оно является отношением эквивалентности.

Рассмотрена интервальная структура соответствующих классов.

Показана возможность существования различных точных объектов с одинаковыми представлениями одного класса.

Исследована различающая способность классов.

Доказано, что эквивалентность более высокого класса усечения влечёт эквивалентность более низкого.

Показано, что совпадение представлений всех классов математически влечёт равенство исходных чисел.

При этом данный результат не предполагает фактического выполнения бесконечного количества вычислений.

Рассмотрены классовое сравнение и интервальные методы установления порядка.

На конкретных примерах показано, что классовая эквивалентность не сохраняется автоматически при сложении и умножении.

Следовательно, она не может без дополнительных определений использоваться для построения обычной фактор-арифметики.

Предложены нормативные правила межклассового сравнения, система статусов и структура паспорта.

Таким образом, классовое тождество рассматривается как специально определённая нормативная эквивалентность математических представлений, отличная от точного равенства исходных объектов и требующая самостоятельного исследования совместимости с арифметическими операциями.

На этой основе возникает возможность перейти к разработке классовой арифметики.

---

Глава 6. Классовая арифметика, округление и регламенты допустимых вычислений

6.1. Проблема арифметических операций в системе классов точности

В предыдущей главе было показано, что классовая эквивалентность не сохраняется автоматически при обычных арифметических операциях.

Следовательно, введение классов конечной экспликации само по себе ещё не определяет полноценную арифметическую систему.

Необходимо установить специальные правила вычислений.

Например, можно выполнить точную операцию над исходными рациональными числами, а затем сформировать конечное представление результата.

Однако возможен и другой подход.

Сначала исходные числа заменяются их конечными представлениями, после чего арифметические операции выполняются непосредственно над полученными значениями.

Эти процедуры могут давать различные результаты.

Следовательно, необходимо различать несколько вычислительных режимов.

Особое значение приобретает проблема накопления погрешностей.

Одна операция усечения может иметь строго определённую границу погрешности.

Однако многократное использование приближённых значений способно приводить к более сложным ошибкам.

Следовательно, для классовой арифметики необходимо разработать систему определений, доказательств и нормативных ограничений.

При этом не следует заранее предполагать, что обычные алгебраические законы сохраняются после введения всех операций округления.

Соответствующие свойства необходимо проверять самостоятельно.

6.2. Предмет и определение классовой арифметики

Предлагается следующее рабочее определение.

Определение 6.1. Классовая арифметика — нормативно определённая система операций над математическими объектами и их конечными представлениями, устанавливающая правила вычислений, округления, межклассового преобразования и контроля результатов относительно заданных классов точности.

В данном определении особое значение имеют несколько задач.

Первая — установление предметной области.

Вторая — определение доступных операций.

Третья — разграничение точных объектов и их конечных представлений.

Четвёртая — разработка правил получения результатов.

Пятая — исследование алгебраических свойств соответствующих операций.

Шестая — оценка погрешностей.

Седьмая — определение допустимых межклассовых преобразований.

Восьмая — создание процедур проверки и воспроизводства.

Однако необходимо подчеркнуть, что классовая арифметика не обязана автоматически образовывать поле, кольцо или другую привычную алгебраическую структуру.

Её свойства зависят от конкретных операций.

Следовательно, для каждой предлагаемой системы необходимо отдельно устанавливать соответствующие математические законы.

Таким образом, развитие классовой арифметики предполагает переход от общего нормативного замысла к строгой формальной теории.

6.3. Множество значений конечных представлений

Пусть:

dₙ = 10^n

и

Bₙ = 10^(dₙ).

Тогда математические значения конечных десятичных представлений класса n могут рассматриваться как элементы множества:

Dₙ = {k/Bₙ : k ∈ Z}.

Здесь Z обозначает множество целых чисел.

При этом необходимо разграничивать числовые значения и нормативные записи.

Например, значение:

1/2

принадлежит D₁, поскольку:

1/2 = 5000000000/10^10.

Однако его каноническая запись первого класса должна иметь вид:

0,5000000000.

Следовательно, каждый элемент Dₙ может быть представлен специальной записью с ровно dₙ десятичными позициями.

При этом математическое множество Dₙ не ограничено заранее по величине целой части.

Оно содержит значения с произвольно большими целыми компонентами.

Однако конкретные технические реализации могут вводить ресурсные ограничения.

Следовательно, математическая область значений и техническая область фактически поддерживаемых вычислений должны регистрироваться раздельно.

6.4. Операция усечения на выбранном классе

Для дальнейшей работы определим:

Tₙ(x) = sgn(x) · floor(|x| · Bₙ) / Bₙ.

Это операция усечения по направлению к нулю.

Её результат принадлежит Dₙ.

При этом для любого:

a ∈ Dₙ

выполняется:

Tₙ(a) = a.

Следовательно, операция усечения является идемпотентной:

Tₙ(Tₙ(x)) = Tₙ(x).

Однако необходимо учитывать, что она не является тождественным отображением всей исходной числовой области.

Для произвольного точного числа:

Tₙ(x)

может отличаться от x.

При этом математическая погрешность ограничена:

|x − Tₙ(x)| < hₙ.

Особое значение имеет выбор правила.

Если используется округление до ближайшего значения, возникает другая операция.

Следовательно, классовая арифметика должна иметь явный нормативный профиль.

6.5. Два основных режима классовых вычислений

Для построения арифметики предлагается разграничить два основных режима.

Первый режим — точная операция с последующей экспликацией результата.

Исходные математические объекты сохраняются в точной форме.

Выполняется предусмотренная арифметическая операция.

Затем результат переводится в выбранный класс.

Второй режим — операция над конечными представлениями.

Исходные объекты предварительно заменяются конечными значениями соответствующего класса.

Далее вычисления выполняются над этими значениями.

При необходимости результат снова приводится к выбранному классу.

Однако соответствующие режимы не всегда эквивалентны.

Особое значение имеет момент применения округления.

Если промежуточные результаты неоднократно подвергаются округлению, итоговое значение может отличаться от результата непосредственной экспликации точного вычисления.

Следовательно, нормативный регламент должен устанавливать последовательность операций.

Таким образом, порядок округления является существенной частью определения классовой вычислительной технологии.

6.6. Арифметика точного результата

Пусть:

x и y — точные рациональные числа.

Для сложения можно определить:

x ⊕ₙ y = Tₙ(x + y).

Для умножения:

x ⊗ₙ y = Tₙ(xy).

Однако необходимо учитывать, что правые части определяются посредством обычных точных операций.

Следовательно, здесь используется режим точного вычисления с последующей экспликацией.

При этом исходные значения должны быть доступны в точной форме.

Например, если заданы рациональные дроби:

1/6

и

1/6,

можно сначала вычислить:

1/6 + 1/6 = 1/3.

Затем получить представление первого класса:

T₁(1/3) = 0,3333333333.

Такой результат не обязательно совпадает со сложением уже усечённых представлений.

Следовательно, спецификация должна фиксировать, на какой стадии применяется операция Tₙ.

Особенно важно, что полученные значения не следует автоматически считать объектами той же исходной точной арифметики без учёта изменённого режима вычисления.

6.7. Арифметика конечных представлений

Во втором режиме исходными данными выступают элементы:

a, b ∈ Dₙ.

Для сложения определим:

a ⊞ₙ b = Tₙ(a + b).

Поскольку сумма двух элементов Dₙ также принадлежит Dₙ, имеем:

a ⊞ₙ b = a + b.

Следовательно, сложение математических значений конечных представлений данного класса не требует дополнительного усечения.

Оно остаётся точным относительно самих значений a и b, если отсутствуют технические ограничения реализации.

Однако это не означает точного восстановления суммы исходных объектов.

Если a и b являются приближениями других чисел, соответствующие ошибки сохраняются.

Таким образом, необходимо различать:

точность сложения представленных значений

и

точность результата относительно исходных чисел.

Первое свойство может выполняться.

Второе требует анализа накопленной погрешности.

6.8. Пример различия двух режимов сложения

Рассмотрим:

x = 1/6

и

y = 1/6.

Для первого класса:

d₁ = 10.

Сначала выполним точное сложение:

x + y = 1/3.

После усечения:

T₁(x + y) = 0,3333333333.

Теперь выполним другую процедуру.

Сначала получим конечные представления:

T₁(x) = 0,1666666666;

T₁(y) = 0,1666666666.

Затем сложим их:

0,1666666666 + 0,1666666666 = 0,3333333332.

Следовательно:

T₁(x) + T₁(y) ≠ T₁(x + y).

Данное различие имеет математическое основание.

Оно возникает вследствие замены исходных точных чисел их приближениями до выполнения операции сложения.

Однако обе процедуры могут быть нормативно допустимыми в разных вычислительных режимах.

Следовательно, необходимо указывать, какой именно результат требуется получить.

Таким образом, классовая арифметика не должна скрывать различие между точным вычислением с последующим усечением и вычислением по уже усечённым данным.

6.9. Вычитание и потеря различимости

Для конечных представлений вычитание также сохраняет принадлежность множеству Dₙ.

Однако при использовании приближённых исходных данных возможно возникновение существенных проблем.

Рассмотрим точные числа:

x = 1/3

и

y = 1/3 + 10^(−12).

Очевидно:

y − x = 10^(−12).

Однако в первом классе:

T₁(x) = T₁(y) = 0,3333333333.

Следовательно, вычитание конечных представлений даёт:

T₁(y) − T₁(x) = 0.

При этом точная разность исходных чисел не равна нулю.

Следовательно, нулевой результат вычитания классовых представлений не является достаточным основанием для заключения о математическом равенстве исходных объектов.

Особое значение имеет возможность катастрофической потери относительной точности при вычитании близких приближённых значений.

Поэтому в соответствующих задачах необходимо сохранять дополнительную информацию о погрешностях.

В частности, может применяться интервальная арифметика либо выполнение вычислений с более высоким классом и последующей проверкой результата.

Однако выбор метода должен определяться конкретной нормативной задачей.

6.10. Умножение конечных представлений

Для умножения элементов Dₙ предлагается определить:

a ⊠ₙ b = Tₙ(ab).

В отличие от сложения, произведение двух элементов Dₙ не обязательно принадлежит тому же множеству.

Например, если:

a = k/Bₙ

и

b = l/Bₙ,

то:

ab = kl/Bₙ².

Следовательно, для получения результата класса n требуется дополнительное правило.

В рассматриваемом профиле используется усечение.

Однако такая операция может не сохранять все обычные алгебраические законы.

В частности, необходимо отдельно исследовать ассоциативность и дистрибутивность.

Особое значение имеет возможность появления нулевого результата при умножении ненулевых значений.

Например, если произведение по абсолютному значению меньше шага hₙ, усечение даёт нуль.

Следовательно, операция может существенно отличаться от обычного умножения рациональных чисел.

Таким образом, её математические свойства требуют самостоятельного доказательства.

6.11. Нарушение ассоциативности классового умножения

Рассмотрим первый класс:

h = h₁ = 10^(−10).

Пусть:

a = h;

b = 0,9;

c = 2.

Все три числа принадлежат D₁.

Сначала вычислим:

a ⊠₁ b = T₁(0,9h) = 0.

Следовательно:

(a ⊠₁ b) ⊠₁ c = 0.

Теперь рассмотрим другую группировку.

Сначала:

b ⊠₁ c = T₁(1,8) = 1,8.

Затем:

a ⊠₁ (b ⊠₁ c) = T₁(1,8h) = h.

Таким образом:

(a ⊠₁ b) ⊠₁ c ≠ a ⊠₁ (b ⊠₁ c).

Следовательно, операция классового умножения с промежуточным усечением не является ассоциативной в общем случае.

Это обстоятельство имеет фундаментальное значение.

Оно означает, что изменение порядка группировки операций может приводить к изменению результата.

Следовательно, вычислительная спецификация должна устанавливать допустимую последовательность действий.

Таким образом, ассоциативность обычного умножения не должна автоматически переноситься на арифметику с промежуточным усечением.

6.12. Нарушение дистрибутивности

Рассмотрим тот же первый класс.

Пусть:

a = h₁;

b = 0,5;

c = 0,5.

Тогда:

b + c = 1.

Следовательно:

a ⊠₁ (b + c) = T₁(h₁) = h₁.

Теперь выполним операции отдельно:

a ⊠₁ b = T₁(0,5h₁) = 0;

a ⊠₁ c = T₁(0,5h₁) = 0.

Следовательно:

(a ⊠₁ b) + (a ⊠₁ c) = 0.

Таким образом:

a ⊠₁ (b + c) ≠ (a ⊠₁ b) + (a ⊠₁ c).

Следовательно, предложенная операция классового умножения не является дистрибутивной относительно обычного сложения элементов конечной десятичной сетки.

Это означает, что соответствующая структура не может без дополнительных изменений рассматриваться как обычное кольцо.

Следовательно, в нормативной документации необходимо фиксировать ограничения применимости алгебраических преобразований.

Особое значение имеет запрет на неявное использование привычных тождеств без проверки их сохранения.

Таким образом, классовая арифметика требует специальной теории допустимых преобразований выражений.

6.13. Деление конечных представлений

Для деления можно предложить операцию:

a ⊘ₙ b = Tₙ(a/b),

где:

a, b ∈ Dₙ

и

b ≠ 0.

Однако необходимо учитывать, что предварительное усечение исходных значений способно существенно изменить условия допустимости операции.

Например, пусть точный знаменатель равен:

y = h₁/2 = 5 · 10^(−11).

Это ненулевое рациональное число.

Однако:

T₁(y) = 0.

Следовательно, после перехода к первому классу знаменатель становится нулевым представлением.

В такой ситуации деление конечных представлений оказывается недопустимым.

Но это не означает, что точное отношение исходных рациональных чисел математически не определено.

Например:

1/y = 2 · 10^10.

Следовательно, необходимо разграничивать допустимость точного деления и допустимость деления предварительно усечённых представлений.

Особое значение имеет необходимость контроля малых знаменателей.

Приближение знаменателя к нулю может существенно увеличивать погрешность результата.

Поэтому классовое деление требует специального регламента.

6.14. Нормативное округление

Для развития классовой арифметики необходимо определить не только усечение, но и округление.

В первоначальном варианте предлагается использовать округление к ближайшему значению сетки Dₙ.

При точном равенстве расстояний может применяться правило выбора значения с чётным последним сохраняемым разрядом.

Математически:

Rₙ(x) = round_even(Bₙx)/Bₙ.

Однако данная операция должна сопровождаться точным определением round_even.

Особенно важно установить поведение на граничных случаях.

В частности, для отрицательных чисел правило должно применяться симметрично относительно нуля.

В отличие от усечения, округление к ближайшему значению обычно обеспечивает более строгую общую границу абсолютной погрешности:

|x − Rₙ(x)| ≤ hₙ/2.

Однако данная оценка относится к математически точному выполнению операции.

Она не гарантирует корректность произвольной программной реализации.

Следовательно, необходимо предусмотреть отдельную проверку алгоритма округления.

При этом нельзя считать, что округление всегда предпочтительнее усечения.

Выбор операции определяется конкретным назначением нормативной системы.

6.15. Двойное округление между классами

Особую проблему представляет последовательное округление через промежуточный класс.

Необходимо установить, совпадает ли оно с непосредственным округлением исходного объекта до целевого класса.

В общем случае такое совпадение не гарантируется.

Рассмотрим первый и второй классы авторской шкалы.

Для первого класса:

d₁ = 10.

Для второго:

d₂ = 100.

Пусть точное рациональное число задано выражением:

x = 1 + 5 · 10^(−11) + 10^(−101).

Сначала округлим его до ста десятичных позиций.

Добавка 10^(−101) меньше половины шага второго класса.

Следовательно:

R₂(x) = 1 + 5 · 10^(−11).

Теперь полученное значение находится точно посередине между двумя соседними представлениями первого класса:

1,0000000000

и

1,0000000001.

При использовании правила выбора чётного последнего разряда получаем:

R₁(R₂(x)) = 1,0000000000.

Однако исходное число x немного больше указанной середины.

Следовательно, при непосредственном округлении до десяти позиций:

R₁(x) = 1,0000000001.

Таким образом:

R₁(R₂(x)) ≠ R₁(x).

Данный пример показывает, что проблема двойного округления возникает и между настоящими классами авторской шкалы.

Следовательно, при проектировании межклассовых интерфейсов необходимо определять допустимые последовательности округления.

6.16. Погрешность сложения

Для инженерного применения необходимо исследовать накопление погрешностей.

Пусть точные числа x и y заменены приближениями:

x̂ = x + eₓ;

ŷ = y + eᵧ,

где eₓ и eᵧ — ошибки представления.

Тогда:

x̂ + ŷ − (x + y) = eₓ + eᵧ.

Следовательно:

|x̂ + ŷ − (x + y)| ≤ |eₓ| + |eᵧ|.

Если оба исходных числа усечены до одного класса n, то:

|eₓ| < hₙ;

|eᵧ| < hₙ.

Следовательно:

|x̂ + ŷ − (x + y)| < 2hₙ.

Однако необходимо учитывать, что данная оценка относится к сложению уже полученных представлений без дополнительной технической ошибки.

При использовании машинной арифметики могут возникать дополнительные ограничения.

Следовательно, итоговая оценка должна учитывать конкретный вычислительный режим.

Особенно важно различать абсолютную и относительную погрешность.

При вычитании близких значений относительная погрешность результата может оказаться большой даже при небольших абсолютных ошибках исходных данных.

6.17. Погрешность умножения

Пусть:

x̂ = x + eₓ;

ŷ = y + eᵧ.

Тогда:

x̂ŷ = xy + xeᵧ + yeₓ + eₓeᵧ.

Следовательно:

|xy − x̂ŷ| ≤ |x|·|eᵧ| + |y|·|eₓ| + |eₓ|·|eᵧ|.

Если установлены оценки:

|eₓ| ≤ εₓ;

|eᵧ| ≤ εᵧ,

то:

|xy − x̂ŷ| ≤ |x|εᵧ + |y|εₓ + εₓεᵧ.

Если после умножения дополнительно выполняется усечение, появляется ещё одна составляющая погрешности, по модулю меньшая hₙ.

Следовательно, общая оценка должна учитывать как ошибки исходных представлений, так и результат последующей классовой операции.

При этом величины |x| и |y| также должны быть известны или надёжно ограничены.

Следовательно, невозможно получить универсальную оценку накопленной погрешности умножения исключительно по номеру класса без дополнительных сведений об операндах.

Таким образом, система классовой арифметики должна предусматривать самостоятельные регламенты распространения погрешностей.

6.18. Погрешность деления

Особенно сложной задачей является оценка деления.

Пусть:

x̂ = x + eₓ;

ŷ = y + eᵧ.

Предположим, что:

y ≠ 0

и

ŷ ≠ 0.

Тогда:

|x/y − x̂/ŷ| = |xŷ − x̂y| / (|y|·|ŷ|).

После преобразования получаем:

|x/y − x̂/ŷ| ≤ (|x|·|eᵧ| + |y|·|eₓ|) / (|y|·|ŷ|).

Если известно:

|eᵧ| ≤ εᵧ < |y|,

то:

|ŷ| ≥ |y| − εᵧ > 0.

Следовательно, можно использовать оценку:

|x/y − x̂/ŷ| ≤ (|x|εᵧ + |y|εₓ) / (|y|(|y| − εᵧ)).

Однако при малом знаменателе соответствующая оценка способна существенно возрастать.

Следовательно, деление требует отдельного контроля знаменателя.

Если после получения отношения выполняется дополнительное усечение, необходимо учитывать ещё одну составляющую ошибки.

Таким образом, регламент классового деления должен включать условия ненулевого знаменателя, допустимости приближения и контроля итоговой погрешности.

6.19. Интервальная арифметика как дополнительная технология

Для многих задач точное исходное число может быть неизвестно, однако возможно установить интервал его допустимых значений.

В таком случае может использоваться интервальная арифметика.

Например:

x ∈ [a, b].

Данная запись означает, что исходное значение находится в установленном интервале.

При сложении двух интервалов можно использовать известные правила получения интервала результата.

Однако при умножении и делении необходимо учитывать знаки и возможное включение нуля.

Особое значение имеет обеспечение гарантированного охвата результата.

Если границы интервала вычисляются с округлением, необходимо использовать соответствующие направленные правила, исключающие необоснованное сужение оценки.

Следовательно, интервальные методы требуют самостоятельной математической спецификации.

Они могут использоваться совместно со шкалой классов точности.

Однако не должны автоматически отождествляться с обычной арифметикой конечных десятичных представлений.

Например, одна десятичная запись может характеризовать приближённое значение.

А интервал дополнительно фиксирует область возможных исходных значений.

Таким образом, интервальная арифметика способна выступать средством сохранения информации о неопределённости результатов классовых вычислений.

6.20. Межклассовые арифметические операции

В сложных нооинженерных системах возможно одновременное использование представлений различных классов.

Например, один операнд может иметь первый класс, а другой — второй.

В таком случае необходимо установить нормативный порядок вычисления.

Возможны различные подходы.

Первый подход — обращение к исходным точным объектам, выполнение точной операции и последующая экспликация результата заданного класса.

Второй подход — преобразование представлений к общему классу с последующим выполнением операции.

Третий подход — использование специальных алгоритмов, сохраняющих информацию о погрешностях.

Однако необходимо учитывать ограничения второго подхода.

Если короткое представление просто дополняется нулями до более высокого класса, это не восстанавливает отсутствующие сведения об исходном числе.

Например, запись:

0,3333333333

может быть дополнена нулями до ста позиций.

Однако результат не станет правильным усечённым представлением числа 1/3 второго класса.

Следовательно, необходимо различать повышение формальной длины записи и реальное повышение точности приближения к исходному объекту.

Таким образом, межклассовые операции должны сопровождаться правилами информационной и математической прослеживаемости.

6.21. Регламенты допустимых вычислений

Для практической реализации предлагается разработать регламент допустимых классовых вычислений.

Он должен устанавливать:

1. исходную математическую систему;
2. допустимые типы операндов;
3. нормативные классы;
4. правила экспликации;
5. порядок выполнения операций;
6. правила промежуточного округления;
7. допустимые межклассовые преобразования;
8. ограничения на использование приближённых значений;
9. условия деления и других потенциально проблемных операций;
10. способы контроля погрешностей;
11. технические ресурсные ограничения;
12. процедуры проверки результатов;
13. правила регистрации нормативных редакций;
14. условия воспроизводства.

Особенно важно разграничить обязательные и рекомендуемые требования.

Например, запрет деления на нулевой знаменатель может являться обязательным математическим условием.

А выбор конкретного программного алгоритма может оставаться предметом инженерной альтернативы.

Следовательно, регламент должен обеспечивать нормативную определённость без необоснованного ограничения всех возможных реализаций.

6.22. Нооиммунологическая проверка классовой арифметики

Для контроля допустимости классовых вычислений предлагается использовать специальную процедуру.

Первый этап — смысловая проверка.

Устанавливаются значения используемых терминов и обозначений.

Второй этап — нормативная проверка.

Определяются математическая система, класс и профиль операций.

Третий этап — проверка исходных данных.

Исследуется допустимость математических объектов и их представлений.

Четвёртый этап — контроль операции.

Проверяется соответствие выполняемого действия спецификации.

Пятый этап — контроль промежуточных результатов.

Устанавливаются последствия округления и возможной потери информации.

Шестой этап — проверка погрешности.

Исследуются математические оценки результата.

Седьмой этап — проверка алгебраических преобразований.

Устанавливается допустимость использованных тождеств и правил изменения порядка действий.

Восьмой этап — итоговое заключение.

Фиксируется соответствие требованиям и область подтверждения.

При этом необходимо учитывать, что отдельные проверки могут требовать математических доказательств.

Следовательно, конечный набор испытаний не должен автоматически заменять формальное исследование универсальных свойств операций.

Таким образом, нооиммунологический контроль классовой арифметики должен соединять нормативные процедуры с конкретными математическими основаниями.

6.23. Контрольные примеры классовой арифметики

Для первоначальной программы испытаний предлагается использовать несколько групп объектов.

Проверяемое свойство	Исходный пример	Ожидаемый результат
Усечение первого класса	1/3	0,3333333333
Округление первого класса	1/6	0,1666666667
Обработка отрицательного числа	−1/6 при усечении	−0,1666666666
Точное конечное представление	1/8	0,1250000000
Сложение исходных точных чисел	1/6 + 1/6 с последующим усечением	0,3333333333
Сложение уже усечённых значений	0,1666666666 + 0,1666666666	0,3333333332
Потеря различимости	1/3 и 1/3 + 10^(−12)	Одинаковое усечение первого класса
Усечение малого знаменателя	5 · 10^(−11)	Нулевое представление первого класса
Проверка ассоциативности умножения	h₁, 0,9, 2	Результат зависит от группировки
Проверка дистрибутивности	h₁, 0,5, 0,5	Дистрибутивность не выполняется
Двойное округление	1 + 5·10^(−11) + 10^(−101)	Через класс 2 получается иной результат, чем при непосредственном округлении к классу 1

Однако данные примеры представляют собой лишь часть проверочной системы.

Необходимо также исследовать различные знаки операндов, нулевые значения, большие числа и граничные случаи округления.

Особое значение имеют ресурсные испытания.

При увеличении класса необходимо устанавливать фактическую способность технической реализации выполнить предусмотренные вычисления.

Таким образом, программа испытаний должна учитывать математические и технические характеристики системы.

6.24. Ноотехнический паспорт классового вычисления

Для обеспечения воспроизводимости предлагается разработать паспорт классового вычисления.

В первоначальном варианте он должен включать:

1. идентификатор вычислительной задачи;
2. исходную математическую систему;
3. точные исходные объекты, если они доступны;
4. использованные конечные представления;
5. нормативные классы операндов;
6. целевой класс результата;
7. последовательность операций;
8. правила промежуточного округления;
9. нормативную редакцию;
10. математическое значение полученного результата;
11. его каноническую запись;
12. сведения о погрешности;
13. ограничения применённого алгоритма;
14. результаты проверок;
15. условия воспроизводства;
16. конфигурационную историю.

При этом особое значение имеет фиксация режима вычисления.

Например, необходимо указать, выполнялась ли точная арифметика с последующей экспликацией либо использовались предварительно усечённые операнды.

Без таких сведений невозможно правильно интерпретировать различие итоговых результатов.

Следовательно, паспорт должен обеспечивать математическую и нормативную прослеживаемость.

Особое значение приобретает возможность автоматизированной проверки.

Однако она требует создания формальных спецификаций операций и соответствующих программных средств.

Таким образом, паспортизация может выступать одним из основных элементов практической классовой арифметики.

6.25. Проект стандарта классовых вычислений

Для дальнейшего развития предлагается подготовить специализированный проект нооинженерного стандарта:

НСТ-НОО-02. «Классовая арифметика. Операции, округление, межклассовые преобразования и контроль допустимости».

В первоначальном варианте он должен устанавливать следующие разделы.

Раздел 1. Область применения.

Определяются математические системы и классы объектов.

Раздел 2. Термины и определения.

Устанавливаются понятия классовой операции, экспликации, округления и погрешности.

Раздел 3. Математические основания.

Фиксируются множества допустимых значений.

Раздел 4. Точные вычисления с последующей экспликацией.

Устанавливаются соответствующие процедуры.

Раздел 5. Операции над конечными представлениями.

Определяются специальные классовые действия.

Раздел 6. Округление и усечение.

Фиксируются математические правила.

Раздел 7. Алгебраические свойства.

Устанавливаются доказанные законы и известные ограничения.

Раздел 8. Межклассовые операции.

Определяются правила преобразования и совместимости.

Раздел 9. Контроль погрешностей.

Устанавливаются применимые методы оценки.

Раздел 10. Нооиммунологическая проверка.

Определяются процедуры контроля допустимости.

Раздел 11. Паспортизация.

Фиксируются требования к документированию результатов.

Раздел 12. Управление редакциями.

Регламентируются нормативные изменения.

Однако данный документ имеет статус исследовательского проекта.

Для его практического принятия необходимо дополнительно разработать формальные определения, доказательства, программные реализации и процедуры испытаний.

6.26. Место классовой арифметики в гармонической математике

Предлагаемая система классовой арифметики имеет определённую методологическую преемственность с авторской концепцией математики как технической науки.

Она предполагает возможность проектирования математических операций в соответствии с определёнными целями и требованиями.

Однако необходимо разграничивать гармоническую арифметику как исходную авторскую исследовательскую программу и конкретные нормативные системы конечных вычислений.

Последние могут разрабатываться на основе обычной рациональной или действительной арифметики.

Их математические свойства должны исследоваться строго относительно выбранных определений.

Например, введение классовой эквивалентности не приводит автоматически к созданию нового поля чисел.

Более того, приведённые примеры показывают, что обычные алгебраические законы могут не сохраняться после промежуточного усечения.

Следовательно, научное обоснование классовой арифметики предполагает не отрицание известных математических результатов, а точное определение новой системы операций и исследование её отличительных свойств.

Особое значение приобретает возможность одновременного существования разных вычислительных режимов.

Один может быть ориентирован на точные исходные объекты.

Другой — на конечные представления.

Третий — на интервальные оценки.

Следовательно, принцип полисистемности получает конкретное математико-инженерное содержание.

6.27. Основные результаты главы

В настоящей главе предложено определение классовой арифметики как нормативно определённой системы операций над математическими объектами и их конечными представлениями.

Введено множество значений класса:

Dₙ = {k/10^(10^n) : k ∈ Z}.

Разграничены два основных режима вычислений:

точная операция с последующей экспликацией;

операция над уже полученными конечными представлениями.

На конкретных примерах показано, что данные режимы могут приводить к различным результатам.

Рассмотрены особенности сложения, вычитания, умножения и деления.

Установлено, что сложение математических значений одной конечной десятичной сетки сохраняет её замкнутость.

Однако при использовании приближённых исходных данных сохраняется необходимость контроля погрешностей.

Для классового умножения с промежуточным усечением приведены примеры нарушения ассоциативности и дистрибутивности.

Следовательно, соответствующая система не должна автоматически рассматриваться как обычное кольцо.

Рассмотрены особенности деления при возможном усечении ненулевого знаменателя до нуля.

Предложены нормативные правила усечения и округления.

На примере перехода между первым и вторым классами показана возможность двойного округления.

Разработаны математические оценки погрешностей сложения, умножения и деления.

Рассмотрена возможность использования интервальной арифметики.

Особое внимание уделено межклассовым операциям и недопустимости искусственного повышения точности посредством простого добавления нулей.

Предложены первоначальные регламенты допустимых вычислений, процедуры нооиммунологического контроля и контрольные примеры.

Разработана структура паспорта классового вычисления.

Предложены основные положения проекта стандарта НСТ-НОО-02.

Таким образом, классовая арифметика рассматривается как особое направление нооинженерной математики, предназначенное для нормативно определённого выполнения операций с конечными представлениями и строгого контроля возникающих математических и технических ограничений.

Её дальнейшее развитие предполагает самостоятельное исследование различных вычислительных режимов, межклассовых соответствий и систем математических координат.

---

Промежуточные результаты глав 4–6 части VII

В трёх главах последовательно рассмотрены фундаментальные проблемы экспликации, сравнения и арифметического использования математических объектов различных классов.

Установлено, что исходный математический объект, его обозначение, алгоритм получения представления и фактически завершённый результат должны иметь самостоятельные нормативные статусы.

Предложено строгое понятие полной конечной экспликации относительно заданного класса.

Разработаны методы представления рациональных чисел, позволяющие использовать точные целочисленные операции и математически проверять полученные результаты.

Особое внимание уделено различию между формальной конечностью, алгоритмической осуществимостью и фактической технической завершённостью вычисления.

Следующим результатом стала формализация классовой эквивалентности.

Установлено, что совпадение конечных представлений не означает математического равенства исходных объектов.

Показано, что классовая эквивалентность уточняется при повышении класса усечения, но не сохраняется автоматически при арифметических операциях.

На этой основе предложена первоначальная теория классовой арифметики.

Разграничены вычисления с точными исходными объектами и операции над уже полученными конечными представлениями.

Приведены конкретные примеры изменения результатов вследствие промежуточного усечения.

Показано, что соответствующие операции могут нарушать обычные алгебраические законы.

Следовательно, классовая арифметика требует самостоятельной спецификации, а не механического переноса свойств точной рациональной арифметики.

Особое значение имеют процедуры контроля математических погрешностей, проверка допустимости межклассовых преобразований и нормативное документирование результатов.

Центральным выводом глав 4–6 является необходимость строгого разграничения трёх отношений:

1. Математическое тождество исходных объектов.

2. Совпадение их конечных представлений в установленном классе.

3. Допустимость арифметических операций над соответствующими представлениями.

Первое отношение определяется исходной математической системой.

Второе — нормативным классом и правилом экспликации.

Третье — специальной системой классовых операций и ограничений.

Эти отношения не должны автоматически отождествляться.

Именно их разграничение создаёт теоретическую основу для дальнейшего построения полисистемной нооинженерной математики, обеспечивающей одновременное функционирование нескольких классов точности, контролируемые межклассовые преобразования и нормативно определённое довычисление математических объектов.

Последующие главы настоящей части должны быть посвящены системам различной точности, межклассовым соответствиям, потенциально неограниченному довычислению и расширению номенклатуры математических шкал.

****

Глава 7. Одновременное существование математических систем различной точности

7.1. Проблема одновременного существования математических систем

В предшествующих главах настоящей части монографии были разработаны первоначальные основания классификации математических объектов, система шкал математических характеристик и авторская шкала классов точности конечной десятичной экспликации.

Особое внимание было уделено разграничению точного математического объекта, его конечного представления, правил вычисления и нормативного статуса результата.

Было также показано, что операции над конечными представлениями могут обладать свойствами, отличающимися от свойств исходной точной арифметики.

Следовательно, возникает необходимость определить условия совместного существования и использования нескольких математических систем различной точности.

В традиционной вычислительной практике широко используются форматы и режимы вычислений, отличающиеся количеством разрядов и правилами округления.

Однако рассматриваемая авторская программа предполагает более широкую задачу.

Необходимо исследовать возможность нормативно организованного одновременного существования математических систем с различными классами конечной экспликации, правилами операций, механизмами контроля и условиями воспроизводства.

При этом различие классов не должно автоматически означать, что одна система является временно устаревшей формой другой.

Системы могут иметь самостоятельные назначения и функционировать параллельно.

Например, для одной инженерной задачи достаточно представления первого класса.

Другая задача может требовать второго или третьего класса.

Третья может предполагать использование точной рациональной арифметики без предварительной десятичной экспликации операндов.

Следовательно, необходимо разработать теорию полисистемного сосуществования математических систем различной точности.

7.2. Принцип полисистемности применительно к математике

Принцип полисистемности занимает существенное место в предлагаемой нооинженерной программе.

Его содержание не сводится к последовательной замене одной математической теории другой.

Полисистемность предполагает возможность одновременного существования нескольких нормативно самостоятельных систем, каждая из которых обладает собственными правилами построения и использования объектов.

Применительно к классам точности это означает, что системы первого, второго и последующих классов могут сосуществовать.

Однако следует различать два обстоятельства.

Во-первых, системы могут иметь общее исходное математическое основание.

Во-вторых, они могут использовать разные нормативные операции над конечными представлениями.

Например, рациональное число 1/3 является одним и тем же точным объектом обычной рациональной арифметики.

Однако его десятичные представления первого и второго классов различаются по количеству позиций.

При этом использование разных классов не требует изменения математического определения исходного числа.

Следовательно, полисистемность не должна отождествляться с произвольным умножением математических объектов.

Она предполагает разграничение объектов, систем их представления и нормативных правил операций.

Таким образом, центральным условием полисистемности выступает сохранение самостоятельной определённости каждой системы при установлении допустимых отношений между ними.

7.3. Класс точности как основание самостоятельной системы

Для формального исследования введём обозначения:

dₙ = 10^n;

Bₙ = 10^(dₙ);

hₙ = 1/Bₙ = 10^(−dₙ),

где n — положительный целый номер класса.

Тогда математические значения конечных десятичных представлений класса n образуют множество:

Dₙ = {k/Bₙ : k ∈ Z}.

Однако само множество Dₙ ещё не определяет полноценную математическую систему.

Необходимо дополнительно установить правила формирования представлений и выполнения операций.

Поэтому предлагается следующее рабочее определение.

Определение 7.1. Математическая система класса точности n — нормативно организованная совокупность исходных математических объектов, допустимых конечных представлений, операций, правил преобразования, процедур проверки и условий использования, связанных с установленным классом экспликации.

Таким образом, класс точности представляет собой один из системообразующих параметров.

Однако система может включать и другие параметры.

Например, две системы одного класса могут различаться по правилу округления.

Следовательно, необходимо разграничивать класс точности и полную нормативную конфигурацию математической системы.

7.4. Первоначальная формальная модель системы класса

Для дальнейшего исследования предлагается использовать вспомогательную модель:

Mₙ,P = ⟨X, Dₙ, Eₙ,P, Aₙ,P, Fₙ, Vₙ,P⟩,

где:

• Mₙ,P — математическая система класса n и профиля P;
• X — исходная математическая предметная область;
• Dₙ — множество значений конечных представлений;
• Eₙ,P — правило экспликации;
• Aₙ,P — система допустимых арифметических операций;
• Fₙ — правила канонического формирования записей;
• Vₙ,P — нормативные требования и процедуры проверки.

В первоначальном варианте в качестве X может использоваться множество рациональных чисел.

Для профиля усечения:

Eₙ,T(x) = Tₙ(x).

Для профиля округления:

Eₙ,R(x) = Rₙ(x).

Однако сами арифметические операции должны задаваться отдельно.

Например, сложение математических значений из Dₙ сохраняет принадлежность этому множеству.

Вместе с тем умножение двух произвольных элементов Dₙ не обязательно даёт элемент того же множества.

Следовательно, для замкнутого классового умножения требуется специальное правило.

Таким образом, математическая система класса определяется не только множеством допустимых значений, но и нормативной организацией операций.

7.5. Система класса и нормативная редакция

Особенно важно различать номер класса и номер редакции стандарта.

Например, первый класс точности определяется количеством десятичных позиций:

d₁ = 10.

Однако правила обработки соответствующих представлений могут изменяться.

В одной редакции может использоваться усечение по направлению к нулю.

В другой — округление до ближайшего значения.

В третьей могут быть предусмотрены оба профиля.

Следовательно, обозначение «система первого класса» является недостаточным для полного определения всех операций.

Необходимо указать нормативный профиль и редакцию.

В первоначальном варианте целесообразно использовать составное обозначение:

M[n, P, v],

где:

• n — класс точности;
• P — нормативный профиль;
• v — редакция правил.

Например:

M[1, T, 1.0]

обозначает систему первого класса, использующую профиль усечения в редакции 1.0.

Однако данное обозначение является проектным.

Для практической стандартизации необходимо установить правила его регистрации.

Таким образом, класс точности и нормативная версия представляют собой независимые координаты математической системы.

7.6. Одновременное существование как отношение, а не последовательность замены

Предлагается следующее определение.

Определение 7.2. Одновременное существование математических систем различной точности — нормативно обеспеченная возможность параллельного функционирования двух или более математических систем, отличающихся классами конечной экспликации, при сохранении определённости их объектов, операций и интерфейсов.

В данном определении необходимо выделить несколько условий.

Первое — каждая система должна иметь самостоятельную спецификацию.

Второе — необходимо исключить неявное смешение правил.

Третье — должны быть установлены способы идентификации результатов.

Четвёртое — межсистемные преобразования должны осуществляться посредством определённых интерфейсов.

Пятое — математические свойства преобразований должны исследоваться отдельно.

Особенно важно, что более высокий класс не обязательно заменяет более низкий.

Например, система первого класса может использоваться для задач, не требующих дополнительных десятичных позиций.

Одновременно система второго класса может предназначаться для более детальных вычислений.

При этом обе системы могут сохранять самостоятельную нормативную актуальность.

Следовательно, полисистемность предполагает сосуществование специализированных математических режимов, а не обязательное движение к одной окончательной системе.

7.7. Общая точная предметная область и различные системы представления

Для первоначального исследования целесообразно рассмотреть несколько систем, использующих общее множество точных рациональных чисел.

Пусть:

X = Q,

где Q — множество рациональных чисел.

Тогда для каждого класса определяется отображение:

Tₙ: Q → Dₙ.

Следовательно, одно рациональное число может иметь несколько конечных представлений.

Например:

x = 1/3.

Для первого класса:

T₁(x) = 0,3333333333.

Для второго класса предусмотрено сто десятичных позиций.

При усечении все они равны цифре 3.

Однако данные представления относятся к одному исходному рациональному объекту.

Следовательно, целесообразно сохранять общий идентификатор точного числа.

При этом каждое нормативное представление должно иметь собственные координатные характеристики.

Таким образом, общность исходной предметной области не устраняет различий между системами экспликации.

7.8. Самостоятельность арифметических режимов

В предыдущей главе были разграничены вычисления над точными объектами с последующей экспликацией и операции над уже полученными конечными представлениями.

В полисистемной архитектуре соответствующие режимы могут существовать одновременно.

Например, один вычислительный модуль может сохранять точные рациональные значения.

Другой — выполнять операции с представлениями первого класса.

Третий — использовать представления второго класса.

Однако результаты соответствующих модулей не должны автоматически считаться взаимозаменяемыми.

Например:

T₁(1/6 + 1/6) = 0,3333333333.

Но:

T₁(1/6) + T₁(1/6) = 0,3333333332.

Следовательно, различие вычислительных режимов способно приводить к различным результатам даже при одинаковом классе.

Тем более необходимо учитывать такие различия при межклассовом взаимодействии.

Таким образом, полисистемность охватывает не только множество классов, но и множество нормативно определённых вычислительных технологий.

7.9. Алгебраическая структура конечных десятичных сеток

Для каждого класса:

Dₙ = {k/Bₙ : k ∈ Z}.

При обычном сложении это множество замкнуто.

Действительно, если:

a = k/Bₙ

и

b = l/Bₙ,

то:

a + b = (k + l)/Bₙ ∈ Dₙ.

Аналогичным образом сохраняется замкнутость относительно вычитания.

Следовательно, Dₙ образует аддитивную абелеву группу.

Однако при обычном умножении замкнутость не гарантируется.

Например:

(1/Bₙ) · (1/Bₙ) = 1/Bₙ².

В общем случае данное значение не принадлежит Dₙ.

Следовательно, Dₙ не является кольцом относительно обычных сложения и умножения.

Для создания замкнутого классового умножения можно использовать дополнительную операцию усечения.

Однако такая операция, как было показано ранее, способна нарушать ассоциативность и дистрибутивность.

Следовательно, каждая классовая математическая система должна иметь самостоятельно исследованную алгебраическую структуру.

Таким образом, общее название «арифметика» не освобождает от необходимости доказывать свойства конкретных операций.

7.10. Вложенность множеств значений различных классов

Одним из существенных математических свойств рассматриваемой шкалы является вложенность множеств допустимых числовых значений.

Пусть:

m > n.

Тогда:

dₘ > dₙ.

При этом:

Bₘ/Bₙ = 10^(dₘ − dₙ)

является положительным целым числом.

Следовательно, любое значение:

a = k/Bₙ

может быть записано в виде:

a = (k · 10^(dₘ − dₙ))/Bₘ.

Таким образом:

Dₙ ⊂ Dₘ.

Однако данное включение относится к математическим значениям конечных десятичных представлений.

Оно не означает, что любая запись класса n автоматически является завершённой нормативной записью класса m.

Для изменения её формата необходимо добавить соответствующее количество завершающих нулей.

Кроме того, такая операция не повышает точность приближения к первоначальному математическому объекту.

Следовательно, необходимо различать вложение числовых сеток и повышение информативности представления исходного объекта.

7.11. Повышение класса и повышение точности результата

Особую проблему представляет термин «повышение точности».

Если увеличивается количество десятичных позиций, возрастает потенциальная различающая способность представления.

Однако для фактического получения дополнительных правильных цифр необходима соответствующая математическая операция.

Например, представление первого класса числа 1/3 имеет вид:

0,3333333333.

Можно добавить девяносто нулей и получить запись длиной сто десятичных позиций.

Однако полученное значение останется:

0,3333333333.

Оно не станет правильной экспликацией второго класса исходного числа 1/3 по правилу усечения.

Для получения такой экспликации необходимо заново вычислить сто десятичных цифр исходного числа либо воспользоваться дополнительной точной информацией.

Следовательно, необходимо различать:

формальное увеличение длины записи;

перевод числового значения в представление другого класса;

получение более точного приближения исходного объекта.

Эти процедуры имеют различные нормативные значения.

Таким образом, повышение класса представления не должно отождествляться с автоматическим улучшением математического результата.

7.12. Нооинженерные интерфейсы между классами

Для обеспечения взаимодействия систем необходимы специальные интерфейсы.

Предлагается следующее определение.

Определение 7.3. Межклассовый нооинженерный интерфейс — нормативно определённый комплекс правил и процедур, обеспечивающий допустимую передачу, преобразование и интерпретацию математических объектов или их представлений между системами различных классов.

В первоначальном варианте интерфейс должен определять:

1. исходную систему;
2. целевую систему;
3. тип передаваемого объекта;
4. исходный и целевой классы;
5. нормативные профили операций;
6. используемое преобразование;
7. сохраняемые характеристики;
8. возможную потерю информации;
9. методы проверки;
10. статус полученного результата.

Особое значение имеет возможность частичного интерфейса.

Например, преобразование между двумя классами может сохранять значение уже полученного конечного представления.

Но оно не обязательно обеспечивает восстановление исходного точного объекта.

Следовательно, каждый интерфейс должен иметь определённую область применения.

Таким образом, межклассовая совместимость должна рассматриваться как специальное математико-инженерное отношение, а не как универсальное следствие вложенности числовых сеток.

7.13. Три основных режима межклассового взаимодействия

Для первоначальной классификации предлагается выделить три режима.

Первый режим — понижение класса.

Более длинное представление преобразуется в представление меньшего класса по установленному правилу.

Второй режим — сохранение числового значения при увеличении длины записи.

Исходное конечное значение включается в более детальную десятичную сетку с добавлением завершающих нулей.

Третий режим — повторная экспликация исходного математического объекта.

Используя точный исходный объект, система формирует новое представление требуемого класса.

При этом необходимо подчеркнуть, что второй и третий режимы не являются тождественными.

Например, добавление нулей к усечённому представлению 1/3 не восстанавливает отсутствующие цифры исходного рационального числа.

Следовательно, интерфейсы должны содержать самостоятельные идентификаторы операций.

Особое значение имеет возможность сохранения происхождения результата.

Если исходный математический объект известен, его идентификатор должен передаваться независимо от текущей конечной записи.

Таким образом, межклассовое взаимодействие должно быть ориентировано на сохранение математического и нормативного контекста.

7.14. Нооиммунная совместимость полисистемного вычисления

Одновременное функционирование нескольких систем создаёт необходимость специального контроля.

В частности, требуется исключить неявную передачу результатов между несовместимыми нормативными режимами.

Например, одна система может использовать усечение.

Другая — округление к ближайшему значению.

Если результат первой системы поступает во вторую без указания происхождения, может возникнуть неправильная интерпретация.

Следовательно, нооиммунная проверка должна определять:

• идентификатор исходной системы;
• математический статус объекта;
• класс экспликации;
• правило формирования;
• нормативную редакцию;
• допустимые операции;
• ограничения межсистемного использования.

Однако положительное заключение об интерфейсной совместимости не означает автоматического сохранения всех математических свойств.

Необходимо установить конкретные инварианты.

Таким образом, нооиммунология может обеспечивать нормативную допустимость полисистемных взаимодействий, но не заменяет математических доказательств их свойств.

7.15. Ноотопоценоз систем различной точности

Совокупность взаимосвязанных математических систем может рассматриваться как специализированный ноотопоценоз.

В его состав входят:

исходные математические объекты;

системы классов конечной экспликации;

нормативные профили операций;

алгоритмы вычисления;

технические реализации;

межклассовые интерфейсы;

процедуры проверки;

регистрационные системы;

стандарты и паспорта результатов.

Однако наличие перечисленных компонентов ещё не означает полноценного формирования нооинженерной экосистемы.

Для этого необходимо определить отношения взаимодействия, требования к устойчивости и механизмы управления нормативными состояниями.

Особое значение имеет возможность изменения отдельных подсистем без разрушения всей архитектуры.

Например, улучшение алгоритма вычисления второго класса не должно автоматически изменять математические правила первого класса.

Следовательно, экосистема должна поддерживать автономность нормативных модулей.

Таким образом, полисистемный математический ноотопоценоз представляет собой организованную среду сосуществования различных классов и технологий.

7.16. Функциональная специализация классов

Одним из преимуществ полисистемного подхода является возможность функциональной специализации.

Например, системы младших классов могут использоваться для вычислений, не требующих большого количества десятичных позиций.

Системы старших классов могут предназначаться для задач повышенной детальности представления.

Однако необходимо учитывать, что практическое назначение определяется не только классом.

В отдельных случаях требуется точная рациональная арифметика.

В других — доказанные интервальные оценки.

В третьих — выполнение операций в конкретном формате машинных чисел.

Следовательно, выбор системы должен осуществляться относительно математической задачи.

Особое значение имеют ресурсные характеристики.

Например, высокий класс требует большего объёма выходного представления.

Но это не означает, что все вычисления в старшем классе обязательно обладают пропорционально большей вычислительной сложностью.

Она зависит от исходного объекта и алгоритма.

Таким образом, функциональная специализация должна определяться совокупностью математических требований, нормативных ограничений и технических ресурсов.

7.17. Развитие классов и нормативное ветвление

Возможность одновременного существования систем различных классов связана также с процессами нооэволюции.

Например, исходная система может использовать только первый класс.

Затем создаётся система второго класса.

Позднее разрабатывается новый профиль округления.

При этом могут возникать параллельные направления развития.

Одно сохраняет исходное правило усечения.

Другое использует округление.

Третье вводит интервальные оценки.

Следовательно, развитие математического ноотопоценоза не обязательно имеет линейный характер.

Особое значение приобретает различие между повышением класса и изменением нормативной редакции.

Первое относится к количеству десятичных позиций.

Второе может затрагивать правила математических операций.

Следовательно, необходимо сохранять самостоятельную историю каждой нормативной линии.

Таким образом, полисистемность предполагает возможность управляемого ветвления математических технологий.

7.18. Паспорт математической системы класса точности

Для практического применения предлагается разработать паспорт математической системы класса точности.

В первоначальном варианте он должен включать:

1. идентификатор системы;
2. нормативную редакцию;
3. исходную математическую предметную область;
4. номер класса;
5. количество десятичных позиций;
6. правила экспликации;
7. допустимые арифметические операции;
8. доказанные алгебраические свойства;
9. правила сравнения;
10. межклассовые интерфейсы;
11. ограничения использования;
12. методы проверки;
13. показатели технической реализации;
14. условия воспроизводства;
15. историю изменений.

При этом необходимо разграничивать математическую спецификацию и программную реализацию.

Один математический профиль может иметь несколько независимых технических воплощений.

Следовательно, паспорт должен допускать связь одной системы с несколькими реализациями.

Особое значение имеет возможность регистрации одновременно действующих классов.

Таким образом, паспортизация должна обеспечивать нормативную определённость полисистемной архитектуры.

7.19. Основные результаты главы

В настоящей главе предложено определение математической системы класса точности и рассмотрены основания одновременного существования систем различных классов.

Показано, что принцип полисистемности не сводится к последовательной замене менее точных систем более точными.

Введена первоначальная формальная модель системы, включающая исходную предметную область, множество конечных значений, правила экспликации, операции и нормативные требования.

Разграничены класс точности, профиль вычислений и нормативная редакция.

Исследована вложенность множеств значений:

Dₙ ⊂ Dₘ при n < m.

Показано, что данная вложенность не означает автоматического повышения точности приближения исходного объекта.

Предложены основные режимы межклассового взаимодействия.

Рассмотрены требования к интерфейсам, проверкам и паспортам.

Показаны возможности функциональной специализации и нормативного ветвления систем.

Таким образом, одновременное существование математических систем различной точности рассматривается как нормативно организованная форма полисистемной математической инженерии, обеспечивающая самостоятельность классов и контролируемость отношений между ними.

Однако для практической реализации необходимо разработать строгие математические правила межклассовых преобразований и координатных соответствий.

Эта задача составляет предмет следующей главы.

---

Глава 8. Межклассовые соответствия, преобразования и системы математических координат

8.1. Проблема межклассового взаимодействия

В предыдущей главе была обоснована возможность одновременного существования математических систем различных классов точности.

Однако для их совместного использования необходимо определить правила сопоставления объектов и результатов.

Особую проблему составляет то обстоятельство, что классы различаются не только количеством десятичных позиций, но и потенциальной различающей способностью.

При переходе к младшему классу может теряться информация.

При переходе к старшему классу необходимо различать сохранение прежнего конечного значения и получение нового, более точного приближения исходного объекта.

Следовательно, возникает необходимость разработки специальной теории межклассовых отображений.

В её рамках должны исследоваться области определения, математические свойства, обратимость и условия допустимости преобразований.

Особое значение имеет возможность построения систем математических координат.

Такие системы должны позволять устанавливать положение математического объекта и его представлений относительно определённых классов и нормативных профилей.

При этом необходимо учитывать, что координаты в данном случае не обязательно имеют геометрическую природу.

Они могут представлять собой совокупность математических, конструктивных и нормативных характеристик.

Таким образом, требуется разработать теорию межклассовых соответствий и координатных преобразований как специальное направление полисистемной нооинженерной математики.

8.2. Математические координаты и нормативный контекст

Предлагается следующее рабочее определение.

Определение 8.1. Математические координаты нооинженерного объекта — нормативно определённая система характеристик и отношений, позволяющая идентифицировать его положение в конкретной математической системе, системе представлений или совокупности связанных классов.

В первоначальном варианте координатное описание может включать:

исходный математический объект;

математическую систему;

тип объекта;

класс точности;

правило экспликации;

нормативную редакцию;

конечное представление;

сведения о погрешности;

доказательственный статус результата.

Однако необходимо различать идентификатор объекта и его координаты.

Один математический объект может иметь несколько координатных описаний.

Например, рациональное число 1/3 может быть представлено в различных классах конечной экспликации.

При этом исходный объект сохраняет математическое тождество.

Следовательно, координатная система должна поддерживать множественность представлений.

Особое значение имеет возможность различать математическое значение результата и его каноническую запись.

Таким образом, координатизация должна обеспечивать нормативную определённость без неявного отождествления разных уровней представления.

8.3. Первоначальная формальная модель координатного паспорта

Для практической организации предлагается использовать вспомогательную модель:

C(x; n, P, v) = ⟨Iₓ, S, n, dₙ, P, v, a, e, q⟩,

где:

• Iₓ — идентификатор исходного математического объекта;
• S — математическая система;
• n — класс экспликации;
• dₙ — количество десятичных позиций;
• P — нормативный профиль;
• v — редакция;
• a — математическое значение конечного представления;
• e — характеристика погрешности;
• q — доказательственный и технический статус.

При этом каноническая текстовая запись может фиксироваться дополнительным полем.

Данная модель является проектной.

Она не предполагает, что все математические объекты допускают один универсальный набор координат.

Для рациональных чисел возможен профиль точного дробного задания.

Для иррациональных чисел — иной профиль математического определения и вычисления.

Следовательно, общая координатная модель должна иметь специализированные расширения.

Особенно важно, что одинаковое конечное значение a может происходить от различных исходных объектов.

Поэтому идентификатор исходного объекта является существенной частью полного координатного описания.

8.4. Математическое основание межклассовых преобразований

Введём обозначения:

dₙ = 10^n;

Bₙ = 10^(dₙ);

hₙ = 1/Bₙ.

Тогда:

Dₙ = {k/Bₙ : k ∈ Z}.

Для любых положительных целых:

m > n

выполняется:

Dₙ ⊂ Dₘ.

Следовательно, между соответствующими множествами можно определить несколько математически различных отображений.

Первое сохраняет числовое значение и переводит его в более детальную сетку.

Второе преобразует значение старшего класса в младший посредством усечения.

Третье заново вычисляет представление исходного точного объекта.

Однако только первые два отображения могут определяться исключительно по уже имеющемуся конечному значению при соответствующих условиях.

Третье требует доступа к исходному математическому объекту либо достаточной дополнительной информации.

Следовательно, теория межклассовых соответствий должна разграничивать эти операции.

8.5. Каноническое вложение в старший класс

Пусть:

m > n.

Определим отображение:

jₙ→ₘ: Dₙ → Dₘ

по правилу:

jₙ→ₘ(a) = a.

На уровне математических значений это обычное включение.

Однако на уровне канонических десятичных записей оно соответствует добавлению завершающих нулей.

Например, значение первого класса:

0,5000000000

может быть представлено во втором классе записью со ста позициями, из которых после цифры 5 следуют девяносто девять нулей.

При этом математическое значение остаётся равным 1/2.

Следовательно, такое преобразование сохраняет числовое значение.

Однако оно не гарантирует улучшения приближения другого исходного объекта.

Например, если значение первого класса получено посредством усечения числа 1/3, добавление нулей не восстанавливает недостающие цифры.

Таким образом, каноническое вложение является преобразованием формы представления, а не универсальной операцией довычисления исходного числа.

8.6. Проекция из старшего класса в младший

Для перехода в противоположном направлении определим отображение:

pₘ→ₙ: Dₘ → Dₙ,

где m > n.

При использовании профиля усечения положим:

pₘ→ₙ(a) = Tₙ(a).

Данная операция преобразует значение старшего класса в соответствующее усечённое значение младшего класса.

Например, если представление второго класса числа 1/3 содержит сто цифр 3 после запятой, его проекция в первый класс даёт:

0,3333333333.

Однако необходимо учитывать, что проекция является преобразованием уже полученного конечного значения.

Она не обязательно обладает обратным отображением.

Различные значения старшего класса могут иметь одинаковую проекцию в младший.

Следовательно, при понижении класса может происходить потеря информации.

Таким образом, межклассовая проекция представляет собой нормативно определённую операцию уменьшения детализации конечного представления.

8.7. Отношение вложения и проекции

Рассмотрим композицию:

pₘ→ₙ(jₙ→ₘ(a))

для:

a ∈ Dₙ.

Поскольку a уже принадлежит младшей десятичной сетке, его усечение до того же класса не изменяет математического значения.

Следовательно:

pₘ→ₙ ∘ jₙ→ₘ = id_Dₙ.

Здесь id_Dₙ обозначает тождественное отображение множества Dₙ.

Однако обратная композиция в общем случае не является тождественной:

jₙ→ₘ ∘ pₘ→ₙ ≠ id_Dₘ.

Например, значение старшего класса может содержать ненулевые цифры после первых десяти десятичных позиций.

Проекция удаляет соответствующую информацию.

Последующее вложение добавляет нули, но не восстанавливает исходные цифры.

Следовательно, jₙ→ₘ является правым обратным для проекции на младшей сетке, но не обеспечивает полного восстановления любого исходного значения старшей сетки.

Таким образом, математические отношения между вложением и проекцией должны описываться точными формулами, а не общим выражением «повышение и понижение точности».

8.8. Согласованность последовательных проекций

Рассмотрим три класса:

l < m < n.

Для операции усечения можно определить преобразования:

pₙ→ₘ;

pₘ→ₗ;

pₙ→ₗ.

Тогда выполняется:

pₘ→ₗ ∘ pₙ→ₘ = pₙ→ₗ.

Это следует из согласованности последовательных усечений.

Следовательно, понижение класса через промежуточный уровень даёт то же числовое значение, что и непосредственное усечение в целевой класс.

Однако данное свойство относится к выбранному профилю усечения.

Для округления к ближайшему значению соответствующая композиция в общем случае может давать другой результат вследствие двойного округления.

Следовательно, нельзя автоматически распространять свойство согласованности на все нормативные профили.

Таким образом, межклассовые координатные преобразования должны исследоваться относительно конкретной математической операции.

8.9. Проекция не является универсальным арифметическим гомоморфизмом

Особое значение имеет вопрос о сохранении арифметических операций.

Пусть:

m > n.

Рассмотрим два числа старшей сетки:

a = 6hₙ/10;

b = 6hₙ/10.

Поскольку шаг старшего класса значительно меньше hₙ/10, оба значения принадлежат Dₘ.

При проекции в младший класс:

pₘ→ₙ(a) = 0;

pₘ→ₙ(b) = 0.

Следовательно:

pₘ→ₙ(a) + pₘ→ₙ(b) = 0.

Однако:

a + b = 1,2hₙ.

Поэтому:

pₘ→ₙ(a + b) = hₙ.

Следовательно:

pₘ→ₙ(a + b) ≠ pₘ→ₙ(a) + pₘ→ₙ(b).

Таким образом, проекция усечения в общем случае не сохраняет сложение.

Следовательно, она не является гомоморфизмом аддитивных групп для всех значений соответствующих сеток.

Это обстоятельство имеет принципиальное значение для построения межклассовой арифметики.

Нельзя считать, что любое арифметическое выражение допускает произвольное перемещение операции проекции без изменения результата.

8.10. Потеря информации при понижении класса

Для более точного исследования необходимо определить характер информационной потери.

Пусть:

a ∈ Dₘ

и:

b = pₘ→ₙ(a).

Тогда известно:

b = Tₙ(a).

Однако по одному значению b невозможно в общем случае однозначно восстановить a.

Например, несколько различных значений старшего класса могут иметь одинаковые первые десять десятичных позиций при усечении.

Следовательно, проекция является отображением типа «многие к одному».

Однако необходимо различать потерю информации о конечном значении старшего класса и потерю сведений об исходном точном математическом объекте.

Если исходный объект зарегистрирован отдельно, его математическое определение может сохраняться.

Например, точное число 1/3 может быть повторно эксплицировано в любом классе, для которого предусмотрена соответствующая процедура.

Следовательно, информационная потеря при преобразовании конечных записей не обязательно означает утрату математического определения исходного объекта.

Таким образом, межклассовая система должна обеспечивать раздельное хранение точных исходных данных и производных конечных представлений.

8.11. Повторная экспликация как самостоятельное преобразование

Для перехода от младшего представления к более детальному результату необходимо использовать понятие повторной экспликации.

Предлагается следующее определение.

Определение 8.2. Повторная межклассовая экспликация — процедура формирования представления нового класса непосредственно из исходного математического объекта либо из другого источника, содержащего достаточную информацию для правильного выполнения соответствующей операции.

В случае рационального числа:

x = p/q

такая процедура может использовать точное деление.

Для перехода от первого класса ко второму вычисляется:

T₂(x).

При этом не обязательно использовать ранее полученное значение:

T₁(x)

как исходное числовое значение.

Например, для числа 1/3 представление второго класса содержит сто цифр 3.

Однако простое добавление нулей к десятизначной записи не даёт такого результата.

Следовательно, повторная экспликация принципиально отличается от канонического вложения.

Таким образом, корректное повышение точности приближения предполагает восстановление или сохранение связи с исходным математическим объектом.

8.12. Межклассовые преобразования при округлении

Если используется округление к ближайшему значению, необходимо учитывать возможность двойного округления.

Пусть:

Rₙ(x)

обозначает округление исходного числа до класса n с выбором чётного последнего сохраняемого разряда при точном равенстве расстояний.

В общем случае:

Rₙ(Rₘ(x)) ≠ Rₙ(x)

при m > n.

Рассмотрим пример:

x = 1 + 5·10^(−11) + 10^(−101).

Для второго класса:

d₂ = 100.

Сначала округление до ста позиций даёт:

R₂(x) = 1 + 5·10^(−11).

Полученное значение находится точно посередине между:

1,0000000000

и

1,0000000001.

При повторном округлении до первого класса с выбором чётного последнего разряда получаем:

R₁(R₂(x)) = 1,0000000000.

Но исходное число несколько больше середины.

Следовательно:

R₁(x) = 1,0000000001.

Таким образом, результаты не совпадают.

Этот пример показывает необходимость самостоятельного исследования межклассовых преобразований для каждого нормативного профиля.

8.13. Межклассовые соответствия и математическое равенство

При использовании различных классов необходимо различать несколько отношений.

Первое — точное математическое равенство исходных объектов.

Второе — совпадение конечных представлений одного класса.

Третье — соответствие представлений разных классов по установленному преобразованию.

Четвёртое — отношение происхождения от одного исходного объекта.

Например, десятизначное и стозначное представления числа 1/3 происходят от одного рационального числа.

Однако их математические значения при усечении различаются.

Следовательно, они не являются равными как конечные рациональные приближения.

При этом их можно признать нормативно согласованными относительно операции понижения класса.

Таким образом, возникает необходимость специального понятия межклассовой согласованности.

Предлагается следующее определение.

Определение 8.3. Межклассовая согласованность представлений — выполнение установленного отношения между результатами разных классов относительно конкретного исходного объекта, нормативного профиля и правила преобразования.

При этом согласованность не должна отождествляться с числовым равенством представлений.

8.14. Интервальная интерпретация координат

Для проверки межклассовых соответствий могут использоваться интервальные представления.

Пусть:

a = Tₙ(x).

Тогда можно установить область возможных значений исходного x.

Если a > 0, то:

a ≤ x < a + hₙ.

Если a < 0, то:

a − hₙ < x ≤ a.

Если a = 0, то:

−hₙ < x < hₙ.

Следовательно, одно конечное значение определяет определённую область возможных исходных чисел.

Для более высокого класса соответствующая область может быть существенно уже.

Однако необходимо учитывать, что интервал характеризует информацию, содержащуюся в результате усечения, а не полное математическое определение исходного объекта.

Если исходное число известно точно, его положение в соответствующем интервале устанавливается дополнительно.

Таким образом, интервальная интерпретация может использоваться как средство анализа информации, сохраняемой при межклассовых преобразованиях.

8.15. Согласованные последовательности и их пределы

Особую математическую задачу представляет исследование последовательностей представлений различных классов.

Пусть:

aₙ ∈ Dₙ

для каждого положительного целого n.

Назовём такую последовательность согласованной относительно усечения, если для любых m > n выполняется:

Tₙ(aₘ) = aₙ.

В этом случае:

|aₘ − aₙ| < hₙ.

Поскольку:

hₙ → 0,

соответствующая последовательность является фундаментальной.

Следовательно, в обычной системе действительных чисел она имеет предел.

Однако необходимо учитывать важную особенность.

Одна лишь межклассовая согласованность не гарантирует, что каждый член последовательности является усечением её предела.

Это связано с граничными особенностями десятичного представления.

Следовательно, наличие согласованной последовательности ещё не заменяет полного нормативного определения её происхождения.

Таким образом, связь согласованных классовых последовательностей с точными математическими объектами требует дополнительного исследования.

8.16. Пример неоднозначности согласованного представления

Рассмотрим точное число:

x = 1.

Одна согласованная последовательность имеет вид:

aₙ = 1

для каждого класса.

Очевидно:

Tₙ(1) = 1.

Теперь рассмотрим другую последовательность:

bₙ = 1 − hₙ.

Например, её первый член имеет вид:

0,9999999999.

Каждый следующий член содержит большее количество девяток после запятой.

При этом для любых m > n выполняется:

Tₙ(bₘ) = bₙ.

Следовательно, последовательность bₙ также согласована относительно межклассовых проекций.

Однако:

bₙ → 1.

При этом:

Tₙ(1) = 1 ≠ bₙ.

Таким образом, две различные согласованные последовательности имеют один и тот же предел.

Следовательно, согласованность межклассовых представлений и совпадение их пределов не обеспечивают автоматического тождества всех нормативных координатных записей.

Для устранения соответствующей неоднозначности необходимо дополнительно фиксировать исходный объект и правило выбора представления.

Этот результат особенно важен для проектирования машинно-обрабатываемых межклассовых реестров.

8.17. Координатный паспорт межклассового преобразования

Для практической организации предлагается разработать специальный паспорт.

Он должен включать:

1. идентификатор исходного математического объекта;
2. исходную математическую систему;
3. исходный класс;
4. целевой класс;
5. нормативные профили;
6. исходную редакцию;
7. целевую редакцию;
8. вид преобразования;
9. исходное представление;
10. результат;
11. сохраняемые характеристики;
12. возможную потерю информации;
13. условия обратимости;
14. математические доказательства;
15. результаты технических испытаний;
16. ограничения использования.

Особое значение имеет различие между вложением, проекцией и повторной экспликацией.

Они не должны регистрироваться под одним общим кодом без уточнения.

Например, добавление нулей к конечному значению и вычисление дополнительных правильных десятичных цифр исходного числа являются разными операциями.

Следовательно, паспорт должен обеспечивать их самостоятельную идентификацию.

Таким образом, документирование межклассовых преобразований становится одним из основных средств нормативной прослеживаемости.

8.18. Граф межклассовых связей

Совокупность математических систем различных классов может быть представлена посредством типизированного графа.

Его вершинами выступают нормативно идентифицированные математические системы.

Рёбрами — допустимые преобразования и отношения.

При этом необходимо различать несколько типов рёбер:

вложение;

проекция;

повторная экспликация;

нормативная совместимость;

историческое наследование;

преобразование вычислительного профиля.

Однако эти отношения не должны автоматически объединяться.

Например, наличие проекции из второго класса в первый не означает существования обратного преобразования, восстанавливающего исходное стозначное значение.

А историческое происхождение одной системы от другой не гарантирует математической совместимости всех операций.

Следовательно, межклассовый граф должен быть типизированным.

Особое значение имеет возможность построения формальных композиционных правил.

Однако такая композиция должна сохранять нормативную определённость каждого преобразования.

Таким образом, граф межклассовых связей может рассматриваться как элемент ноокартографии математического ноотопоценоза.

8.19. Ноогеодезия математических классов

Межклассовые преобразования создают основу для специального направления математической ноогеодезии.

Его предметом выступают способы определения положения объектов относительно различных классов и нормативных систем.

При этом координаты должны включать не только числовую характеристику точности.

Необходимо учитывать исходную математическую предметность.

Например, одно рациональное число может иметь множество конечных представлений.

Но оно не становится множеством различных точных чисел только вследствие их существования.

Следовательно, математическая ноогеодезия должна поддерживать связь различных координатных описаний с одним исходным объектом.

Особое значение имеет возможность построения частичных координатных преобразований.

Например, некоторые системы могут поддерживать только определённые классы или операции.

Следовательно, универсальное преобразование не должно предполагаться без специального доказательства.

Таким образом, ноогеодезия математических классов может обеспечивать нормативную локализацию объектов внутри полисистемного ноотопоценоза.

8.20. Стандартизация межклассовых интерфейсов

Для практического использования предлагается разработать специализированный проект стандарта:

НСТ-НОО-03. «Межклассовые преобразования математических представлений. Интерфейсы, координаты и контроль согласованности».

В первоначальном варианте он должен устанавливать:

1. определения исходных и целевых классов;
2. правила идентификации объектов;
3. форматы координатных паспортов;
4. виды межклассовых преобразований;
5. правила вложения;
6. правила проекции;
7. условия повторной экспликации;
8. требования к сохранению исходных данных;
9. способы регистрации информационных потерь;
10. математические критерии согласованности;
11. ограничения преобразований округления;
12. процедуры проверки;
13. правила управления нормативными редакциями.

Однако данный документ имеет статус исследовательского проекта.

Для его практического принятия необходимы самостоятельные доказательства и технические испытания соответствующих преобразований.

Особенно важно учитывать, что математическая корректность интерфейса определяется не только форматом данных.

Она зависит от сохранения установленного смыслового и операционного содержания.

8.21. Основные результаты главы

В настоящей главе предложены первоначальные основания теории межклассовых соответствий и математических координат.

Разработана модель координатного паспорта математического объекта.

Исследована вложенность множеств значений различных классов.

Определены операции канонического вложения и межклассовой проекции.

Установлено соотношение:

pₘ→ₙ ∘ jₙ→ₘ = id_Dₙ.

Показано, что обратная композиция в общем случае не восстанавливает исходное значение старшего класса.

Доказана согласованность последовательных проекций усечения.

На конкретном примере установлено, что проекция не является универсальным гомоморфизмом относительно сложения.

Разграничены вложение конечного значения и повторная экспликация исходного математического объекта.

Рассмотрены особенности межклассового округления и проблема двойного округления.

Предложено определение межклассовой согласованности.

Исследована интервальная интерпретация конечных представлений.

Показано, что согласованные последовательности различных классов могут иметь один предел, не являясь тождественными системами усечений этого предела.

Предложены структура координатного паспорта, типизированный граф межклассовых связей и первоначальный проект соответствующего ноостандарта.

Таким образом, межклассовые соответствия и преобразования рассматриваются как система математически и нормативно определённых отображений, обеспечивающих взаимодействие различных классов при явном контроле сохраняемых свойств и возможной потери информации.

Однако последовательное повышение классов вызывает самостоятельную проблему.

Необходимо исследовать, при каких условиях довычисление может продолжаться и чем потенциальная неограниченность такого процесса отличается от фактического завершения экспликации.

Эта задача составляет предмет следующей главы.

---

Глава 9. Потенциально неограниченное довычисление и его отличие от завершённой экспликации

9.1. Проблема неограниченного продолжения вычислений

В предшествующих главах была разработана система классов конечной десятичной экспликации математических объектов.

Её основное правило имеет вид:

dₙ = 10^n.

При увеличении номера класса возрастает количество предусмотренных десятичных позиций.

Следовательно, возникает возможность последовательного формирования всё более длинных представлений.

Однако необходимо различать математическую определённость соответствующей последовательности и фактическое выполнение всех предусмотренных вычислений.

Например, можно определить правило получения представлений первого, второго, третьего и последующих классов.

Однако из этого не следует, что все такие представления уже вычислены.

Следовательно, возникает необходимость специального исследования потенциально неограниченного довычисления.

В данном контексте речь идёт о нормативно организованной последовательности конечных вычислительных задач.

При этом термин «потенциально неограниченное» должен использоваться в операционном, а не произвольно расширенном философском значении.

Необходимо особенно тщательно разграничивать конечность каждой задачи, отсутствие заранее установленного верхнего номера класса и фактически завершённый объём вычисления.

Таким образом, настоящая глава посвящена формальной и инженерной определённости процессов последовательного довычисления.

9.2. Историко-методологическое разграничение

В авторской гармонической математике вопрос о природе конечного и бесконечного имеет самостоятельное философско-математическое значение.

В «Пролегоменах» 2002 года изложена особая концепция гармонической арифметики, связанная с использованием абстракции актуальной бесконечности и критическим отношением к стандартной трактовке потенциальной бесконечности.

Следовательно, необходимо избежать ошибочного отождествления исходной авторской философской концепции с современным техническим термином «потенциально неограниченное довычисление».

В настоящей главе данное выражение имеет специальное операционное содержание.

Оно означает, что для любого заранее выбранного допустимого номера класса можно поставить определённую конечную задачу экспликации.

Однако из этого не следует утверждение о философской природе бесконечности.

Также не предполагается, что фактически завершено бесконечное число вычислений.

Таким образом, понятие довычисления вводится как ноотехническая характеристика вычислительного процесса.

Его математические свойства исследуются относительно конкретных алгоритмов и систем представления.

При этом вопросы о статусе актуальной бесконечности и основаниях гармонической арифметики сохраняют самостоятельное теоретическое значение.

Их нельзя считать автоматически решёнными посредством разработки конечных вычислительных технологий.

9.3. Определение потенциально неограниченного довычисления

Предлагается следующее рабочее определение.

Определение 9.1. Потенциально неограниченное довычисление — нормативно организованный процесс последовательного получения конечных представлений математического объекта, для которого правило формирования допускает продолжение к новым классам без заранее установленного максимального номера, при сохранении определённости каждой отдельной вычислительной задачи.

В данном определении существенны несколько обстоятельств.

Во-первых, исходный математический объект должен быть установлен.

Во-вторых, необходимо определить систему классов.

В-третьих, должны существовать правила вычисления соответствующих представлений.

В-четвёртых, каждый конкретный этап предполагает конечный результат.

В-пятых, требуется различать постановку задачи и её фактическое выполнение.

В-шестых, необходимо сохранять нормативную преемственность между результатами.

При этом не следует автоматически предполагать, что довычисление каждого объекта является технически осуществимым в любой среде.

Например, один математический объект может иметь эффективный алгоритм вычисления цифр.

Другой может требовать значительно больших ресурсов.

Третий может быть задан способом, не обеспечивающим универсальной процедуры правильного округления для всех рассматриваемых классов.

Следовательно, определение довычисления должно сопровождаться условиями алгоритмической применимости.

9.4. Конечность каждого класса

Пусть:

n ∈ N, n ≥ 1.

Тогда:

dₙ = 10^n.

Для каждого фиксированного n величина dₙ представляет собой конечное натуральное число.

Следовательно, запись соответствующего класса должна содержать конечное количество десятичных позиций.

Однако при увеличении n количество позиций не ограничено одной постоянной величиной.

Для любого заранее выбранного положительного целого M существует номер класса n, для которого:

10^n > M.

Таким образом, последовательность длин классов не имеет конечной верхней границы.

Однако данное математическое свойство не означает фактического существования единого завершённого текста, содержащего все цифры всех возможных классов.

Следовательно, необходимо различать:

неограниченность последовательности заданий;

конечность каждого отдельного задания;

фактическую завершённость отдельного результата.

Это различие является фундаментальным для дальнейшей ноотехнической интерпретации.

9.5. Математическая определённость алгоритма и завершённость вычисления

Одной из распространённых ошибок является неявное отождествление наличия алгоритма с фактическим выполнением всех предусмотренных операций.

Например, существует простой алгоритм десятичного деления рациональных чисел.

Он может использоваться для получения произвольно заданного конечного количества цифр рационального числа 1/3.

Однако математическое существование такого алгоритма не означает, что фактически уже выписаны все возможные конечные представления.

Следовательно, необходимо различать:

алгоритмическую определённость — наличие установленной вычислительной процедуры;

параметрическую определённость — возможность задания конкретного класса;

техническую осуществимость — способность выбранной реализации выполнить соответствующую задачу;

фактическую завершённость — получение предусмотренного результата;

подтверждённую корректность — наличие необходимых доказательств или проверок.

Указанные характеристики могут существовать независимо.

Например, алгоритм может быть математически обоснован, но его реализация не поддерживать определённый высокий класс.

Следовательно, ноотехническая оценка должна фиксировать отдельные статусы.

Таким образом, неограниченная математическая применимость правила не должна отождествляться с неограниченными ресурсными возможностями конкретной технической системы.

9.6. Формальная модель процесса довычисления

Для первоначальной организации предлагается использовать модель:

Gₓ,P(n) = Eₙ,P(x),

где:

• x — исходный математический объект;
• P — нормативный профиль;
• n — номер класса;
• Eₙ,P — операция экспликации;
• Gₓ,P(n) — результат соответствующего класса.

Однако данная запись описывает математическое правило.

Она не означает, что все значения Gₓ,P(n) фактически вычислены.

Для технического процесса необходимо дополнительно определить множество завершённых заданий.

Например:

C ⊆ N₊,

где C содержит номера классов, экспликации которых фактически получены.

При этом в определённый момент C может быть конечным.

Например:

C = {1, 2, 3}.

Это означает, что завершены вычисления первых трёх классов.

Однако математическое правило может сохранять применимость к следующим классам.

Следовательно, необходимо различать область определения математического генератора и множество фактически завершённых вычислительных заданий.

9.7. Пример довычисления рационального числа

Рассмотрим точное рациональное число:

x = 1/7.

Его десятичное развитие имеет период:

142857.

Следовательно, для любого конечного количества десятичных позиций можно сформировать соответствующий префикс.

Для первого класса:

d₁ = 10.

При усечении получаем:

T₁(1/7) = 0,1428571428.

При округлении к ближайшему значению:

R₁(1/7) = 0,1428571429.

Для второго класса необходимо сформировать сто цифр после запятой.

Они определяются периодическим правилом.

Однако само указание периода не должно автоматически считаться фактически завершённой стозначной записью, если нормативное задание требует именно явного развёрнутого представления.

Для его получения необходимо выполнить соответствующую процедуру.

Таким образом, рациональные числа демонстрируют различие между компактным точным правилом генерации и фактически сформированным результатом определённого класса.

9.8. Пример довычисления числа π

Число π является точно определённым математическим объектом.

Однако его десятичная запись бесконечна и непериодична.

Для получения конечных приближений могут использоваться математические алгоритмы, сопровождаемые соответствующими оценками.

Для первого класса при усечении получаем:

T₁(π) = 3,1415926535.

Для второго класса требуется сто десятичных позиций.

При этом необходимо не просто получить некоторую последовательность цифр, но и установить соответствие результата точному математическому объекту.

Особое значение приобретает контроль погрешности вычислений.

Если алгоритм выдаёт приближённое значение π, необходимо удостовериться, что точное число находится в достаточно узком интервале, позволяющем определить требуемые цифры.

В противном случае полученный результат может быть недостаточно обоснован.

Следовательно, довычисление иррациональных чисел требует соединения алгоритмических процедур с математическими сертификатами корректности.

Однако даже наличие такого метода не означает фактического завершения вычислений произвольно высокого класса.

9.9. Последовательность классов и нормативная согласованность

Для операции усечения можно рассматривать последовательность:

T₁(x), T₂(x), T₃(x), …

При этом выполняется:

Tₙ(Tₘ(x)) = Tₙ(x)

для:

m > n.

Следовательно, последовательность обладает межклассовой согласованностью.

Каждое более длинное усечённое представление содержит информацию, позволяющую получить результат меньшего класса.

Однако необходимо учитывать, что указанное свойство относится именно к операции усечения.

Для округления к ближайшему значению последовательное преобразование может приводить к другому результату вследствие двойного округления.

Следовательно, нормативный профиль должен определять правила довычисления.

Особое значение имеет возможность независимого вычисления каждого класса из исходного математического объекта.

Такой подход позволяет избегать ошибок, возникающих вследствие неоднократного округления промежуточных результатов.

Таким образом, согласованность довычисления должна определяться относительно математических свойств конкретного профиля.

9.10. Приближение к исходному объекту

Для операции усечения справедлива оценка:

|x − Tₙ(x)| < hₙ,

где:

hₙ = 10^(−10^n).

При увеличении n величина hₙ стремится к нулю.

Следовательно:

Tₙ(x) → x

в обычном математическом смысле.

Однако необходимо различать математическое утверждение о пределе и фактически завершённые результаты вычислений.

Доказательство сходимости не предполагает, что бесконечное количество конечных представлений уже получено.

Оно устанавливает определённое свойство математически заданной последовательности.

Следовательно, необходимо разграничивать:

теорему о сходимости;

алгоритм получения отдельного члена;

фактическое вычисление конечного набора членов.

Данные положения могут быть связаны, но не являются тождественными.

Таким образом, предельные свойства последовательности классов могут исследоваться строго математически без утверждения о фактическом завершении бесконечного вычислительного процесса.

9.11. Согласованная последовательность не заменяет исходный объект

В предыдущей главе было показано, что последовательность конечных представлений может быть согласованной относительно проекций и иметь определённый предел.

Однако не всякая такая последовательность обязательно совпадает с каноническими усечениями своего предела.

Например, рассмотрим:

aₙ = 1 − hₙ.

Каждое значение принадлежит соответствующему множеству Dₙ.

При этом:

Tₙ(aₘ) = aₙ

для:

m > n.

Следовательно, последовательность согласована.

Однако:

aₙ → 1.

При этом:

Tₙ(1) = 1 ≠ aₙ.

Следовательно, межклассовая согласованность сама по себе не гарантирует, что соответствующие значения были сформированы непосредственным усечением исходного точного объекта.

Особое значение приобретает проблема происхождения.

Необходимо знать, какая математическая конструкция была исходной и какое правило использовалось для формирования каждого результата.

Таким образом, сохранение нормативной преемственности последовательности не должно заменять документирование её точного математического основания.

9.12. Вычислимость и корректное округление

Одной из наиболее важных математических проблем является различие между возможностью вычислять всё более точные приближения числа и возможностью завершить правильно округлённое представление установленного класса.

Пусть число задано алгоритмом, который для любого положительного рационального ε позволяет получить рациональное приближение с погрешностью меньше ε.

Такая возможность обеспечивает математическую вычислимость числа в обычном конструктивном смысле.

Однако для правильного округления до конкретной десятичной сетки необходимо установить положение числа относительно границ округления.

Если исходное число находится строго внутри одной области округления, достаточно узкая доказанная оценка позволяет определить результат.

Но если число расположено точно на границе между соседними представлениями, необходимо применить специальное правило.

При этом одни лишь последовательно уточняемые приближения не всегда позволяют за конечное время доказать точное равенство граничному значению.

Следовательно, возможность получать приближения произвольной точности не означает автоматически существования универсальной завершающей процедуры правильного округления по одной лишь приближённой информации во всех граничных случаях.

Для рациональных чисел с точным дробным заданием такая проблема решается посредством целочисленных операций.

Для других математических объектов могут потребоваться специальные доказательства или дополнительные сведения.

Таким образом, корректное довычисление должно сопровождаться анализом алгоритмической разрешимости конкретной задачи экспликации.

9.13. Граничные случаи усечения

Аналогичная проблема возникает при усечении.

Операция:

Tₙ(x) = sgn(x) · floor(|x|Bₙ)/Bₙ

имеет разрывы на ненулевых границах десятичной сетки.

Следовательно, если число известно только посредством последовательности приближений, необходимо установить, находится ли оно по одну или другую сторону соответствующей границы.

Например, пусть неизвестное точно значение близко к:

1,0000000000.

При усечении до десяти позиций результаты для значений непосредственно ниже и непосредственно выше указанной границы могут различаться.

Поэтому необходимо иметь достаточно сильное математическое основание для выбора результата.

В отдельных случаях такое основание может быть получено посредством интервальных оценок.

В других может потребоваться точное символическое исследование.

Следовательно, сам факт существования вычислительного алгоритма приближений ещё не гарантирует автоматически завершения любой процедуры усечения в любом нормативном контексте.

Таким образом, для полноценной системы довычисления необходимо исследовать не только требуемое количество позиций, но и математические условия однозначного определения конечного результата.

9.14. Сертифицированная интервальная экспликация

Одним из возможных решений является использование доказанных интервалов.

Пусть:

x ∈ [L, U].

Если оба конца интервала находятся в одной области, которой нормативная операция сопоставляет одно и то же конечное представление, результат можно считать определённым.

Например, при усечении достаточно установить, что весь интервал принадлежит одному классу прообразов соответствующего конечного значения.

Для округления необходимо учитывать границы между соседними представлениями.

Если интервал пересекает такую границу, может потребоваться дополнительное уточнение.

Однако необходимо учитывать возможность точного совпадения исходного числа с границей.

В таком случае простое уменьшение интервала не всегда обеспечивает завершённое решение без дополнительного математического знания.

Следовательно, сертифицированная экспликация должна включать правила обработки неразрешённых граничных ситуаций.

Например, система может иметь статус:

«Требуется дополнительное доказательство».

Или:

«Правильное округление не установлено имеющимися данными».

Такой статус не означает математической неопределённости исходного объекта.

Он отражает ограничение применённой процедуры.

Таким образом, интервальные методы могут служить важным инструментом довычисления, но также требуют нормативного контроля.

9.15. Довычисление и сохранение исходного объекта

Одним из основных условий корректного довычисления является сохранение математической связи между последовательными представлениями и исходным объектом.

Например, если известно только усечённое представление первого класса:

0,3333333333,

невозможно однозначно определить, какие цифры должны следовать далее для произвольного исходного числа.

Однако если исходный объект зарегистрирован как:

x = 1/3,

можно продолжить вычисление.

Следовательно, повторная экспликация предполагает наличие достаточных данных об исходном объекте.

Особое значение приобретает ноокадастровая регистрация.

Она должна связывать отдельные представления с определённой математической сущностью.

При этом необходимо сохранять различие между идентификатором исходного числа и идентификаторами конечных результатов.

Следовательно, система довычисления должна поддерживать нормативную прослеживаемость происхождения каждой последовательности цифр.

Таким образом, непрерывность технического вычислительного процесса не заменяет математической определённости исходного задания.

9.16. Потенциальная и фактическая области завершённости

Для практической организации предлагается разграничивать две области.

Область математической предусмотренности содержит номера классов, для которых определено нормативное вычислительное задание.

Область фактической завершённости содержит номера классов, представления которых реально получены.

Например, математическая спецификация может предусматривать все положительные целые номера классов.

Однако техническая реализация может иметь подтверждённые результаты только для первых трёх классов.

В таком случае необходимо указать:

математическая область: n ≥ 1;

подтверждённые завершённые классы: n = 1, 2, 3.

Однако данная запись не должна считаться универсальной характеристикой программы без соответствующих испытаний.

Например, программа может поддерживать одни исходные числа и иметь ограничения для других.

Следовательно, необходимо фиксировать предметную область и ресурсные условия.

Особое значение имеет возможность частичного завершения.

Например, вычисление четвёртого класса может быть начато, но не закончено.

Следовательно, необходимо отдельно регистрировать количество фактически полученных позиций.

Таким образом, математическая предусмотренность, техническая поддержка и фактическая завершённость являются независимыми характеристиками системы довычисления.

9.17. Ресурсные ограничения

При увеличении класса быстро возрастает объём предусмотренного представления.

Например:

d₆ = 10^6;

d₉ = 10^9;

d₁₂ = 10^12.

Следовательно, даже при математически простом исходном объекте формирование полной несжатой записи высокого класса может требовать значительных ресурсов.

При этом необходимо учитывать несколько характеристик.

Время вычисления зависит от алгоритма и технической реализации.

Объём хранения зависит от количества выходных символов и используемого формата.

Возможность передачи зависит от характеристик соответствующей инфраструктуры.

Стоимость проверки зависит от метода подтверждения правильности результата.

Возможность повторного получения зависит от сохранения исходных данных и вычислительных средств.

Особое значение имеет различие между вычислением и записью результата.

Например, математическое значение может быть получено в компактной форме, но его полная развёрнутая экспликация требует отдельной процедуры.

Если стандарт требует явной записи N символов, то в обычной модели последовательного вывода необходимо выполнить по меньшей мере количество операций записи, пропорциональное N.

Однако конкретные технические методы могут использовать параллельную обработку, сжатие и другие способы организации данных.

Следовательно, ресурсные оценки должны формулироваться относительно определённой технической модели.

Таким образом, высокая стоимость экспликации не означает математической бесконечности результата.

9.18. Сжатое представление и нормативная завершённость

Особую задачу представляет использование сжатых и алгоритмических представлений.

Например, число 1/3 может быть задано конечной дробной записью.

Его десятичные цифры можно получать посредством простой процедуры.

Однако запись алгоритма не содержит явно всех цифр любого заданного высокого класса.

Следовательно, необходимо разграничить:

точное математическое обозначение;

алгоритмическое представление;

сжатую запись конечной последовательности;

полную развёрнутую экспликацию.

При этом сжатая форма не должна считаться неполноценной в любой математической задаче.

Она может обладать высокой конструктивной эффективностью.

Однако её нормативный статус зависит от предъявленного требования.

Если требуется именно развёрнутая запись с установленным количеством позиций, необходимо фактически получить соответствующий результат либо изменить сам нормативный формат.

Следовательно, нельзя автоматически объявлять алгоритмический генератор эквивалентом завершённой экспликации в инженерном смысле.

Таким образом, полнота математического определения и полнота развёрнутого технического представления должны регламентироваться раздельно.

9.19. Проверка длинных результатов

Одной из центральных задач становится проверка правильности результатов высокого класса.

Например, можно сформировать запись, содержащую миллион десятичных позиций.

Однако необходимо установить, соответствуют ли они исходному математическому объекту.

Простая проверка длины файла недостаточна.

Она подтверждает количественную характеристику записи, но не правильность всех цифр.

Для полноценной проверки могут использоваться разные методы.

Независимое вычисление предполагает получение результата другим алгоритмом.

Математическое свидетельство может обеспечивать проверку определённых свойств результата.

Контрольные суммы предназначены для обнаружения изменений данных при хранении или передаче.

Блочные проверки позволяют исследовать отдельные части представления.

Формальные доказательства устанавливают свойства алгоритма или вычислительной процедуры.

Однако необходимо учитывать доказательственные ограничения каждого метода.

Например, контрольная сумма подтверждает определённые свойства целостности данных, но не доказывает, что файл первоначально содержал правильные цифры π.

А совпадение результатов двух программ не исключает возможность общей ошибки в их математической спецификации.

Следовательно, необходимо использовать различные уровни контроля.

Таким образом, верификация длинной экспликации должна сочетать математические и технические способы проверки, не подменяя один вид доказательств другим.

9.20. Блочное довычисление

Для практической организации больших вычислений предлагается использовать понятие блочного довычисления.

Оно предполагает разделение предусмотренного конечного представления на последовательность частей.

Например, стозначная экспликация может быть сформирована посредством десяти блоков по десять цифр.

Однако такой способ организации не должен изменять нормативный математический результат.

Следовательно, необходимо определить:

порядок формирования блоков;

их нумерацию;

правила объединения;

условия сохранения промежуточных состояний;

способы проверки границ;

механизмы обнаружения пропусков и повторов.

Особое значение имеет возможность возобновления прерванного процесса.

Например, если вычисление остановлено после формирования нескольких блоков, необходимо определить, какие данные должны сохраняться для корректного продолжения.

При этом нельзя просто предполагать, что любой прерванный алгоритм допускает возобновление без дополнительной информации.

Для этого требуется специальная конструктивная организация.

Таким образом, блочное довычисление может рассматриваться как самостоятельная ноотехническая технология.

9.21. Репродуктивность процесса довычисления

Одним из основных требований является воспроизводимость полученных результатов.

Для этого необходимо фиксировать исходные математические данные.

Затем — нормативный класс и правило экспликации.

Далее — используемый алгоритм.

Также требуется сохранять сведения о технической реализации.

Особое значение имеют версии программных компонентов.

Изменение алгоритма может затронуть производительность или порядок вычислений.

В отдельных случаях оно может привести к ошибкам.

Следовательно, необходимо управлять конфигурацией.

При этом следует различать математическую воспроизводимость и техническую повторяемость.

Математическая воспроизводимость означает возможность повторного получения определённого математического результата по установленным правилам.

Техническая повторяемость относится к фактическому выполнению процедуры в определённых условиях.

Следовательно, система паспортизации должна регистрировать оба аспекта.

Таким образом, довычисление должно сопровождаться репродуктивным пакетом, позволяющим восстановить не только исходные данные, но и нормативный смысл результата.

9.22. Паспорт процесса довычисления

Для практического применения предлагается разработать паспорт потенциально неограниченного довычисления.

Он должен включать:

1. идентификатор исходного математического объекта;
2. систему его определения;
3. нормативный профиль;
4. правило образования классов;
5. алгоритм вычисления;
6. математическую область применимости;
7. технически поддерживаемые классы;
8. фактически завершённые классы;
9. текущее состояние незавершённых вычислений;
10. сведения о промежуточных результатах;
11. процедуры математической проверки;
12. методы контроля целостности;
13. ресурсные характеристики;
14. условия возобновления;
15. нормативную редакцию;
16. историю изменений;
17. ограничения и риски;
18. итоговый доказательственный статус.

При этом необходимо разграничивать проектируемые и фактически подтверждённые возможности.

Например, наличие задания на вычисление класса 12 не означает завершения триллионозначной записи.

Следовательно, паспорт должен сохранять объективную информацию о выполненной работе.

Особое значение имеет возможность регистрации отдельных блоков.

Таким образом, паспортизация должна обеспечивать прослеживаемость продолжительных вычислительных процессов.

9.23. Довычисление и нормативная эволюция математического объекта

При последовательном увеличении класса возникает возможность рассматривать совокупность представлений как развивающуюся нормативную систему.

Однако необходимо различать изменение самого математического объекта и изменение его экспликации.

Например, число 1/3 сохраняет точное рациональное значение.

При переходе от первого класса ко второму изменяется количество цифр его конечного представления.

Следовательно, происходит развитие системы репрезентации, а не обязательное преобразование исходного числа.

Особое значение имеет возможность параллельного существования нескольких результатов.

Первый класс может сохраняться как завершённый нормативный объект.

Второй класс образует самостоятельный результат.

Третий может находиться в процессе вычисления.

Следовательно, различные состояния не обязательно заменяют друг друга.

Они могут образовывать систему взаимосвязанных конечных представлений.

Таким образом, довычисление представляет собой одну из форм развития нооинженерного математического топоценоза.

Однако такое развитие должно сопровождаться нормативным контролем происхождения и совместимости результатов.

9.24. Потенциально неограниченное довычисление и Изольдионика

В авторской исследовательской программе особое место занимает перспективная проблематика Изольдионики.

Её предмет предполагается связывать с особыми вопросами математической и физической эксплицируемости конструкций, которые могут быть формально конечными, но практически чрезвычайно труднодоступными для полного представления.

Однако необходимо разграничить данную перспективную дисциплину и разработанную здесь технологию довычисления.

В настоящей главе исследуются прежде всего нормативные последовательности конечных задач и условия их фактического выполнения.

При этом не предполагается, что чрезвычайно большое конечное число позиций автоматически является математически бесконечным.

Также не утверждается, что отсутствие доступной технической реализации доказывает принципиальную математическую невозможность соответствующей операции.

Следовательно, переход к Изольдионике требует дополнительной теоретической разработки.

Необходимо определить её самостоятельный предмет, основные понятия, математические основания и критерии проверки.

Особое значение имеет разграничение формальной конечности, алгоритмической вычислимости и ресурсной неосуществимости в определённых условиях.

Таким образом, технология довычисления может служить одним из исследовательских оснований будущей Изольдионики, но не исчерпывает её предполагаемого содержания.

9.25. Проект стандарта довычисления

Для дальнейшего развития предлагается подготовить специализированный проект нооинженерного стандарта:

НСТ-НОО-04. «Довычисление математических объектов. Классы завершённости, алгоритмическая определённость и контроль результатов».

В первоначальном варианте он должен устанавливать:

Раздел 1. Область применения.

Определяются классы математических объектов и представлений.

Раздел 2. Термины и определения.

Разграничиваются математическое задание, экспликация, довычисление и завершённость.

Раздел 3. Нормативная последовательность классов.

Устанавливается правило dₙ = 10^n.

Раздел 4. Алгоритмические основания.

Определяются требования к генераторам представлений.

Раздел 5. Параметрическая постановка задач.

Фиксируются правила выбора класса.

Раздел 6. Техническая реализация.

Устанавливаются требования к выполнению вычислений.

Раздел 7. Блочное формирование результатов.

Определяются правила разделения, объединения и возобновления.

Раздел 8. Математическая верификация.

Устанавливаются способы доказательственного контроля.

Раздел 9. Статусы завершённости.

Разграничиваются проектные, выполняемые и завершённые задания.

Раздел 10. Репродуктивность.

Определяются требования к повторному получению результатов.

Раздел 11. Ресурсные ограничения.

Фиксируются условия технической осуществимости.

Раздел 12. Паспортизация.

Устанавливаются требования к регистрации вычислительных процессов.

Раздел 13. Управление редакциями.

Регламентируются изменения математических и технических правил.

Однако данный проект не является утверждённым официальным стандартом.

Его содержание должно уточняться посредством математических исследований, опытных разработок и испытаний.

9.26. Основные результаты главы

В настоящей главе предложено определение потенциально неограниченного довычисления как нормативно организованной последовательности конечных вычислительных задач.

Разграничено операционное содержание этого понятия и философские трактовки бесконечности, рассматриваемые в исходной авторской гармонической математике.

Установлено, что для каждого фиксированного номера класса:

dₙ = 10^n

является конечным натуральным числом.

При этом последовательность допустимых номеров классов может не иметь заранее установленной конечной верхней границы.

Разграничены математическая определённость алгоритма, параметрическая постановка задачи, техническая осуществимость и фактическая завершённость.

Предложена формальная модель процесса довычисления.

На примерах рациональных чисел и π рассмотрены особенности алгоритмического формирования представлений.

Показана необходимость математического контроля правильности округления и усечения.

Особое внимание уделено граничным случаям, когда приближённой информации недостаточно для завершённого нормативного решения.

Рассмотрены методы сертифицированной интервальной экспликации.

Исследованы межклассовая согласованность и математическая сходимость последовательностей.

Показано, что согласованная последовательность конечных представлений не обязательно совпадает с каноническими усечениями своего предела.

Разработаны первоначальные положения о ресурсных ограничениях, сжатых представлениях и проверке длинных результатов.

Предложено понятие блочного довычисления.

Разработаны требования к репродуктивности и паспортизации процессов.

Установлено разграничение между довычислением и перспективной проблематикой Изольдионики.

Предложены основные положения проекта стандарта НСТ-НОО-04.

Таким образом, потенциально неограниченное довычисление рассматривается как математически и нормативно определённая возможность последовательного решения новых конечных вычислительных задач без отождествления такой возможности с фактическим завершением всех предусмотренных результатов.

---

Промежуточные результаты глав 7–9 части VII

В трёх главах последовательно рассмотрены фундаментальные основания полисистемного существования математических систем различной точности, межклассовых преобразований и потенциально неограниченного довычисления.

Первым результатом является разработка принципа одновременного существования математических систем различных классов.

Показано, что более высокий класс не обязательно заменяет более низкий.

Различные системы могут использоваться параллельно и выполнять самостоятельные функции.

При этом необходимо сохранять их нормативную определённость.

Вторым результатом стала разработка начальной теории межклассовых преобразований.

Разграничены вложение конечного значения в более детальную десятичную сетку, проекция в младший класс и повторная экспликация исходного точного объекта.

Доказано, что вложение и проекция обладают определёнными композиционными свойствами.

Однако соответствующие преобразования не являются универсальными арифметическими гомоморфизмами.

Показана возможность информационных потерь.

Особое значение имеет разграничение математического равенства исходных объектов и согласованности их конечных представлений.

Третьим результатом является постановка и формализация задачи потенциально неограниченного довычисления.

Установлено, что каждое фиксированное значение номера класса предусматривает конечное количество десятичных позиций.

Однако математическая определённость последовательности классов не означает фактического выполнения всех соответствующих вычислений.

Разработаны первоначальные методы регистрации статусов, контроля результатов и документирования технических ограничений.

Особое значение имеет различие между алгоритмом, сжатым представлением и полной развёрнутой экспликацией.

Таким образом, главы 7–9 формируют систему понятий и математических отношений, позволяющих рассматривать конечные представления различных классов как взаимосвязанные, но нормативно самостоятельные нооинженерные объекты.

Основными положениями данной системы являются:

1. Полисистемность. Математические системы разных классов могут существовать одновременно.

2. Нормативная определённость. Каждое представление должно иметь установленный класс, профиль и редакцию.

3. Типизация преобразований. Вложение, проекция и повторная экспликация являются различными операциями.

4. Контроль информационных потерь. Понижение класса может уничтожать сведения, необходимые для восстановления исходного представления.

5. Сохранение точного математического основания. Конечное приближение не должно автоматически заменять исходный математический объект.

6. Относительность завершённости. Полная конечная экспликация определяется относительно конкретного класса.

7. Разграничение алгоритма и результата. Наличие процедуры не означает фактического выполнения предусмотренного вычисления.

8. Доказательственная прослеживаемость. Математические свойства и техническая корректность должны подтверждаться соответствующими методами.

9. Контролируемое довычисление. Повышение класса требует самостоятельной нормативной и вычислительной процедуры.

10. Полисистемная совместимость. Межклассовое взаимодействие возможно при наличии явно определённых и проверенных интерфейсов.

На этой основе становится возможным перейти к исследованию других систем математических шкал, расширяющих классификацию объектов за пределы количества десятичных позиций.

Особое значение должны приобрести шкалы структурной сложности, семантической определённости, совместимости и воспроизводимости.

Затем необходимо рассмотреть расчётные примеры и ноотехнические регламенты построения математических объектов.

Именно эти вопросы составляют предмет завершающих глав настоящей части монографии.

*****

Глава 10. Другие системы шкал: структурная сложность, семантическая определённость, совместимость и воспроизводимость

10.1. От шкалы десятичной экспликации к многомерной классификации математических объектов

В предыдущих главах настоящей части монографии была разработана первоначальная теория классов точности конечной десятичной экспликации математических объектов.

Её основное положение состоит в нормативном определении количества десятичных позиций:

dₙ = 10^n,

где n — положительный целый номер класса.

На этой основе были рассмотрены способы задания математических объектов, условия полной конечной экспликации, классовая эквивалентность, правила арифметических операций, межклассовые преобразования и потенциально неограниченное довычисление.

Однако количество десятичных позиций представляет собой лишь одну из возможных характеристик математического объекта или его представления.

Например, две математические системы могут использовать один класс точности, но существенно различаться по конструктивной сложности.

Два алгоритма могут формировать одинаковые результаты, но иметь различные требования к вычислительным ресурсам.

Несколько понятийных систем могут обладать сходной структурой, но различаться по определённости исходных терминов.

Наконец, математические объекты могут быть корректно построены внутри собственных систем, но не допускать непосредственного использования в другой нормативной среде.

Следовательно, полноценная нооинженерная оценка предполагает разработку нескольких самостоятельных шкал.

При этом необходимо избежать необоснованного сведения всех математических характеристик к одному числовому показателю.

Основная задача настоящей главы состоит в разработке многомерной системы ноометрологического описания математических объектов, включающей структурную сложность, семантическую определённость, совместимость и воспроизводимость.

Каждая из этих характеристик обладает собственной предметной областью, методами исследования и нормативными ограничениями.

10.2. Методологическое значение качественных и количественных характеристик

В авторской гармонической логике существенное место занимает разграничение квалитативных и квантитативных характеристик ментальных объектов.

В первоначальной авторской терминологии качественная подсистема понятия обозначается как ритмос, а количественная — как аритмос.

При этом содержание, объём и состав понятия рассматриваются в соответствии с исходными гносеологическими определениями.

Для ноометрологии это разграничение имеет важное методологическое значение.

Математический объект может характеризоваться как количественными, так и качественными свойствами.

Например, количество элементов конечной структуры выражается целым числом.

Однако принадлежность соответствующей структуры определённому математическому типу характеризуется системой качественно определённых признаков.

При этом наличие числовой характеристики не означает, что она исчерпывает математическое содержание объекта.

Например, две формальные теории могут содержать одинаковое количество аксиом, но иметь существенно различные свойства.

А две программы одинаковой длины могут выполнять разные математические функции.

Следовательно, количественное совпадение отдельных характеристик не должно автоматически рассматриваться как свидетельство семантического или конструктивного тождества.

Таким образом, для развития ноометрологии необходимо поддерживать раздельное исследование качественных и количественных оснований классификации.

Особое значение имеет предупреждение ложной количественной определённости.

Если смысловая характеристика не обладает обоснованной числовой шкалой, недопустимо произвольно присваивать ей числовые значения под видом точного измерения.

10.3. Разграничение математического объекта и предмета оценки

Перед построением шкалы необходимо определить, к какому именно объекту она применяется.

Например, понятие структурной сложности может относиться к математическому выражению, формальной теории, алгоритму или программной реализации.

Однако соответствующие объекты имеют различные способы организации.

Математическая формула обладает синтаксической структурой.

Формальная теория включает язык, аксиомы и правила вывода.

Алгоритм содержит определённые вычислительные процедуры.

Программная реализация характеризуется конкретной архитектурой.

Следовательно, структурная сложность каждого из названных объектов требует самостоятельного определения.

Аналогичным образом необходимо различать семантическую определённость понятия и полноту его технической документации.

Паспорт понятия может содержать все обязательные поля.

Однако это не гарантирует правильности самого определения.

Следовательно, объект оценки должен устанавливаться раньше, чем способ оценки.

Для первоначальной систематизации предлагается различать следующие уровни:

математический объект;

его формальное определение;

символическое представление;

алгоритм формирования;

техническая реализация;

нормативная документация;

экосистемные отношения.

При этом один объект может оцениваться на нескольких уровнях.

Однако результаты таких оценок необходимо регистрировать раздельно.

10.4. Понятие ноометрологического профиля математического объекта

Для многокритериальной оценки предлагается использовать понятие ноометрологического профиля.

Определение 10.1. Ноометрологический профиль математического объекта — нормативно определённая совокупность характеристик, шкал, методов оценки и доказательственных сведений, предназначенная для описания существенных свойств объекта относительно конкретной инженерной задачи.

В первоначальном варианте такой профиль может включать:

структурные характеристики;

семантические характеристики;

математические свойства;

характеристики экспликации;

интерфейсную совместимость;

репродуктивные характеристики;

ресурсные показатели;

нормативные статусы.

Для формального описания можно использовать схему:

H(O; C, v) = ⟨h₁(O), h₂(O), …, hₘ(O)⟩,

где:

• O — объект оценки;
• C — нормативный контекст;
• v — редакция;
• hᵢ — определённая характеристика.

Однако данная схема не означает, что все значения hᵢ(O) являются числами.

Некоторые характеристики могут иметь категориальную природу.

Другие — представляться отношениями или формальными структурами.

Третьи — требовать отдельного математического доказательства.

Следовательно, каждое значение должно сопровождаться типом шкалы.

Кроме того, необходимо регистрировать его доказательственный статус.

Таким образом, ноометрологический профиль должен представлять собой типизированную систему характеристик, а не произвольный числовой рейтинг.

10.5. Принципы построения дополнительных шкал

Для разработки каждой математической шкалы предлагается использовать несколько основных требований.

Принцип предметной определённости. Необходимо установить, какое свойство оценивается и к каким объектам применяется соответствующая шкала.

Принцип типизации значений. Должны быть определены допустимые значения и отношения между ними.

Принцип проверяемости. Необходимо указать способ установления значения характеристики.

Принцип независимости от обозначения. Если характеристика должна сохраняться при замене символической записи, требуется установить соответствующий инвариант.

Принцип контекстуальности. Значение характеристики должно интерпретироваться относительно определённой математической системы.

Принцип нормативной прослеживаемости. Необходимо сохранять сведения о редакции используемых правил.

Принцип ограниченности заключений. Результаты оценки не должны распространяться за пределы установленной области применения.

При этом особенно важно различать формально заданный показатель и его практическую информативность.

Например, можно подсчитать количество букв в записи теоремы.

Однако такая характеристика не обязательно отражает её доказательственную сложность.

Следовательно, математическая определённость показателя является необходимым, но не достаточным условием его содержательной полезности.

10.6. Структурная сложность как ноометрологическая характеристика

Одним из направлений предлагается выделить нооструктурную метрологию математических объектов.

Её предметом становится исследование количества и организации компонентов соответствующих конструкций.

Предлагается следующее рабочее определение.

Определение 10.2. Нооструктурная сложность — совокупность формально определённых характеристик состава и организации нооинженерного объекта в выбранной конструктивной модели.

Однако такая сложность не должна автоматически отождествляться с одной числовой величиной.

Например, математическая теория может характеризоваться количеством исходных понятий, аксиом и производных утверждений.

Алгоритм — количеством операций и структурой управления.

Нормативная система — количеством требований и отношений зависимости.

Особое значение имеет необходимость выбора модели.

Например, конструкцию можно представить типизированным графом.

Но отдельные отношения могут иметь многоместную природу и требовать иной формальной структуры.

Следовательно, графовое представление следует рассматривать как одну из возможных моделей.

Его использование не означает, что всякая ментальная конструкция по своей математической природе является графом.

Таким образом, структурная сложность должна определяться относительно явно выбранной модели и уровня детализации.

10.7. Графовая модель структурной сложности

Для определённых нооинженерных конструкций можно использовать модель:

G(O) = ⟨V, E, τ, ρ⟩,

где:

• V — множество компонентов;
• E — множество связей;
• τ — правила типизации компонентов;
• ρ — правила интерпретации отношений.

На этой основе можно определить несколько характеристик.

Количество компонентов:

Nᵥ = |V|.

Количество связей:

Nₑ = |E|.

Максимальная степень зависимости характеризует наибольшее количество установленных связей определённого типа.

Глубина зависимости может определяться длиной максимального направленного пути, если соответствующая структура ациклична и конечна.

Однако необходимо учитывать, что в графе с циклами понятие максимальной длины пути требует специального определения.

Например, можно рассматривать только простые пути либо использовать иную характеристику.

Следовательно, формула структурного показателя должна сопровождаться условиями применимости.

Особое значение имеет зависимость результатов от детализации модели.

Если один компонент разделить на несколько подкомпонентов, количество вершин возрастёт.

Однако это не означает автоматического изменения математического содержания объекта.

Таким образом, структурные показатели должны использоваться с фиксацией правил декомпозиции.

10.8. Расчётный пример структурной модели

Рассмотрим условную архитектуру системы конечной десятичной экспликации рациональных чисел.

Выделим семь компонентов:

1. исходный рациональный объект;
2. нормативный класс;
3. правило экспликации;
4. вычислительный модуль;
5. модуль формирования записи;
6. проверочный модуль;
7. паспорт результата.

Предположим, что установлены восемь направленных связей:

• исходный объект → вычислительный модуль;
• класс → вычислительный модуль;
• правило → вычислительный модуль;
• вычислительный модуль → модуль формирования записи;
• класс → модуль формирования записи;
• правило → проверочный модуль;
• модуль формирования записи → проверочный модуль;
• проверочный модуль → паспорт результата.

Тогда:

Nᵥ = 7;

Nₑ = 8.

Наибольшее число входящих связей имеет вычислительный модуль — три.

Следовательно, в данной модели:

deg⁻max = 3.

Один из наиболее длинных направленных путей имеет вид:

исходный объект → вычислительный модуль → формирование записи → проверка → паспорт.

Его длина составляет четыре ребра.

Таким образом, можно зарегистрировать профиль:

H_struct = ⟨7, 8, 3, 4⟩.

Однако этот результат характеризует только установленную архитектурную модель.

Он не является универсальной оценкой сложности математической экспликации и не доказывает качества соответствующего алгоритма.

10.9. Структурная сложность и математическая содержательность

Необходимо особенно подчеркнуть, что структурная сложность не обязательно является показателем математической ценности.

Например, короткая формула может выражать сложную математическую закономерность.

Длинный текст может содержать простое утверждение, записанное неэкономным способом.

А большое количество зависимостей может отражать как содержательную развитость теории, так и недостаточную архитектурную организацию.

Следовательно, увеличение числа компонентов не должно автоматически интерпретироваться как повышение уровня научной сложности.

Особое значение имеет различие между структурой представления и структурой самого математического объекта.

Например, рациональное число 1/2 может быть записано в различных системах счисления.

Количество символов в таких записях будет различным.

Однако математическое значение останется прежним.

Следовательно, для сравнения структурных характеристик необходимо устанавливать общую форму представления либо исследовать показатели, сохраняющиеся при допустимых преобразованиях.

Таким образом, ноометрология должна включать анализ инвариантности выбранных структурных характеристик.

Без этого их межсистемное сопоставление может оказаться методологически некорректным.

10.10. Алгоритмическая и вычислительная сложность

Самостоятельную группу образуют характеристики вычислительной сложности.

Они относятся к ресурсам, необходимым для выполнения определённого алгоритма в заданной вычислительной модели.

При этом необходимо различать:

время выполнения;

количество элементарных операций;

объём оперативной памяти;

размер выходных данных;

затраты на проверку результата;

затраты на повторное вычисление.

Например, для класса n количество десятичных позиций составляет:

dₙ = 10^n.

Если нормативное задание требует фактического формирования всех цифр результата в обычном несжатом виде, необходимо вывести не менее dₙ десятичных символов после разделителя.

Следовательно, в модели последовательной выдачи отдельных символов существует нижняя оценка количества операций вывода, пропорциональная dₙ.

Однако это обстоятельство не определяет полной вычислительной сложности.

Она зависит от исходного математического объекта и используемого алгоритма.

Например, вычисление завершающих нулей для рационального числа 1/8 принципиально отличается от получения новых десятичных цифр π.

Следовательно, нельзя оценивать все алгоритмы одного класса только по количеству позиций.

Таким образом, вычислительная сложность должна иметь самостоятельную спецификацию относительно алгоритма и технической модели.

10.11. Сложность математического доказательства

Возможна также разработка шкал сложности доказательств.

Однако подобные шкалы должны учитывать особенности конкретного формального языка и исчисления.

Например, длина доказательства может определяться количеством символов или шагов вывода.

Но соответствующая величина зависит от выбранной системы записи и допустимых правил.

Одна и та же математическая теорема может иметь различные доказательства.

Их длины могут существенно различаться.

Следовательно, необходимо разграничить:

длину конкретного доказательства;

минимальную длину доказательства относительно определённого исчисления;

вычислительную стоимость проверки представленного доказательства;

сложность поиска доказательства.

Перечисленные характеристики не являются тождественными.

Например, наличие короткого проверяемого доказательства не означает, что его поиск был простым.

Кроме того, нельзя считать длину доказательства универсальной мерой математической истинности.

Истинность или доказуемость соответствующего положения определяется в установленной системе.

Следовательно, шкалы доказательственной сложности должны разрабатываться как специальные математические характеристики, а не как произвольные рейтинги теорем.

10.12. Семантическая определённость как предмет специальной оценки

Одной из фундаментальных задач нооинженерии является обеспечение смысловой определённости математических объектов.

В гармонической логике автора особое значение придаётся сохранению содержания, объёма и состава понятия.

Однако для практической инженерии необходимо разработать процедуры обнаружения конкретных нарушений смысловой организации.

Предлагается следующее рабочее определение.

Определение 10.3. Ноосемантическая определённость математического объекта — установленность его смысловой интерпретации, предметной области, существенных отношений и условий использования в определённой нормативной системе.

При этом необходимо различать семантическую определённость понятия и наличие текстового определения.

Например, определение может быть приведено формально, но содержать неоднозначные обозначения.

Другой документ может использовать термин без указания предметной области.

Третий может содержать несколько несовместимых определений одного обозначения.

Следовательно, наличие отдельного раздела «Термины и определения» не гарантирует содержательной строгости.

Особое значение приобретает возможность проверки отношений между понятиями.

В математической системе одно понятие может зависеть от нескольких исходных конструкций.

При изменении соответствующих оснований требуется установить, какие определения затронуты.

Таким образом, семантическая определённость должна исследоваться посредством специализированных логико-нормативных процедур.

10.13. Показатели документационной полноты и смысловая определённость

Для практического контроля можно использовать формальные показатели полноты нормативного описания.

Например, пусть паспорт математического понятия предусматривает восемь обязательных полей.

Предположим, что шесть из них заполнены.

Тогда можно вычислить:

C_doc = 6/8 = 0,75.

Это означает, что заполнено 75 процентов предусмотренных полей.

Однако данный показатель характеризует документационную полноту, а не степень математической истинности или смысловой определённости самого понятия.

Например, все восемь полей могут быть заполнены неправильными или противоречивыми сведениями.

Тогда:

C_doc = 1,

но содержательная корректность документа не подтверждена.

Следовательно, необходимы самостоятельные проверки.

В частности, могут исследоваться:

наличие определения;

установленность предметной области;

определённость используемых обозначений;

отсутствие неразрешённых терминологических конфликтов;

корректность ссылок на исходные понятия;

согласованность нормативных редакций;

доказательственный статус математических утверждений.

При этом отдельные проверки могут требовать экспертного анализа или формального доказательства.

Таким образом, количественный показатель заполненности не должен подменять семантическую экспертизу.

10.14. Семантические статусы и закон исключённого пятого

Для организации семантического контроля могут использоваться специальные процедурные статусы.

Однако необходимо разграничивать эти статусы и истинностные значения.

В исходной авторской гармонической логике закон исключённого пятого связан с предварительными условиями осмысленности и достаточной определённости противоречащих суждений.

Следовательно, проверка математического положения должна учитывать несколько последовательных вопросов.

Первый — обладает ли высказывание установленным смыслом.

Второй — достаточно ли определены его предмет и условия.

Третий — какие математические основания позволяют исследовать его истинность или доказуемость.

Однако такая последовательность не означает введения пяти логических значений.

Она представляет собой методологическую схему предварительного контроля.

В инженерной документации могут использоваться статусы:

«Смысловой контекст не установлен»;

«Определение требует уточнения»;

«Нормативная определённость подтверждена»;

«Математическая проверка не выполнена»;

«Свойство доказано»;

«Обнаружен контрпример».

При этом данные статусы относятся к различным этапам процедуры.

Они не должны автоматически рассматриваться как элементы одной порядковой шкалы истинности.

Таким образом, семантический контроль должен отделять условия осмысленности от собственно математической оценки.

10.15. Совместимость как относительная характеристика

Другим важнейшим направлением является разработка шкал совместимости математических объектов и систем.

Однако совместимость не обязательно представляет собой собственное свойство одного из объектов.

Она определяется отношением между двумя или более системами.

Предлагается следующее определение.

Определение 10.4. Ноотехническая совместимость — установленная относительно конкретного взаимодействия возможность использования, передачи или преобразования объектов и результатов нескольких нормативных систем с сохранением предусмотренных требований.

В данном определении необходимо указать предмет совместимости.

Например, две математические системы могут использовать одинаковые обозначения.

Однако это не гарантирует совпадения их операций.

В другом случае два формата могут быть различными, но между ними существует точное преобразование.

Следовательно, необходимо различать:

синтаксическую совместимость;

семантическую совместимость;

структурную совместимость;

математическую совместимость;

операционную совместимость;

репродуктивную совместимость;

конфигурационную совместимость.

При этом соответствующие отношения не обязательно являются симметричными.

Например, преобразование из старшего класса в младший может быть определено, тогда как восстановление исходного старшего представления по одному младшему результату невозможно.

Следовательно, совместимость должна исследоваться относительно направленного интерфейса.

10.16. Математическая модель совместимости

Для первоначального описания предлагается использовать отношение:

Comp(A, B; F, R),

где:

• A — исходная математическая система;
• B — целевая система;
• F — предполагаемое преобразование;
• R — требования к сохраняемым характеристикам.

Например, между множествами конечных десятичных значений различных классов существуют операции вложения и проекции.

Пусть:

m > n.

Тогда:

jₙ→ₘ: Dₙ → Dₘ

сохраняет числовое значение.

А проекция:

pₘ→ₙ: Dₘ → Dₙ

осуществляет усечение.

При этом:

pₘ→ₙ ∘ jₙ→ₘ = id_Dₙ.

Однако обратная композиция в общем случае не является тождественной.

Следовательно, существуют конкретные математические основания для утверждения о различии прямой и обратной совместимости.

Особенно важно, что проекция не сохраняет все арифметические операции.

Поэтому нельзя объявлять системы полностью арифметически совместимыми только вследствие наличия преобразования значений.

Таким образом, совместимость должна иметь специальную карту сохраняемых и несохраняемых свойств.

10.17. Шкалы совместимости и их ограничения

Для практического применения можно ввести несколько категориальных статусов.

Совместимость подтверждена — установлены требуемые свойства конкретного взаимодействия.

Совместимость ограничена — взаимодействие допустимо только при выполнении дополнительных условий.

Несовместимость установлена — обнаружено конкретное нарушение обязательного требования.

Совместимость не исследована — необходимые процедуры не выполнены.

Преобразование неприменимо — соответствующий интерфейс не определён для рассматриваемого объекта.

Однако эти статусы не образуют автоматически числовую шкалу.

Например, нельзя без дополнительного обоснования считать, что ограниченная совместимость соответствует ровно 50 процентам полной совместимости.

Такой показатель потребовал бы самостоятельного определения количественной меры.

Особое значение имеет возможность использования нескольких независимых критериев.

Например, система может быть совместима по формату данных, но несовместима по правилам арифметических операций.

Следовательно, общий статус должен сопровождаться перечнем проверенных свойств.

Таким образом, ноометрология совместимости должна поддерживать многопризнаковую оценку, исключающую необоснованное объединение разных отношений.

10.18. Воспроизводимость математических объектов и результатов

Одной из центральных задач нооинженерии является воспроизводимость математических конструкций.

Предлагается следующее определение.

Определение 10.5. Ноорепродуктивная воспроизводимость — возможность повторного получения определённого нооинженерного объекта или результата по установленным исходным данным, правилам и процедурам в пределах объявленных условий.

При этом необходимо различать несколько уровней.

Математическая воспроизводимость связана с возможностью повторного получения предусмотренного математического значения.

Алгоритмическая воспроизводимость характеризует возможность повторного исполнения определённой процедуры.

Техническая воспроизводимость относится к фактическому выполнению вычислений в установленной среде.

Нормативная воспроизводимость предполагает сохранение исходного смысла и правил.

Документационная воспроизводимость связана с возможностью восстановить необходимые исходные сведения.

Например, рациональное число 1/6 может быть точно задано посредством дроби.

Для получения его десятизначного представления необходимо дополнительно определить класс и операцию.

Следовательно, одного указания исходного числа недостаточно для воспроизводства конкретного нормативного результата.

Таким образом, воспроизводимость должна обеспечиваться совокупностью математических, алгоритмических и нормативных условий.

10.19. Модель репродуктивного пакета

Для практической реализации предлагается использовать репродуктивный пакет математического объекта.

В первоначальном варианте он должен включать:

1. исходный математический объект;
2. нормативную систему;
3. класс экспликации;
4. профиль операции;
5. редакцию спецификации;
6. алгоритм;
7. описание технической реализации;
8. условия выполнения;
9. ожидаемый математический результат;
10. каноническую запись;
11. способы проверки;
12. доказательственные материалы;
13. сведения о фактически проведённых повторениях.

Например, для числа 1/6 первого класса необходимо указать, используется ли усечение или округление.

При усечении результат равен:

0,1666666666.

При округлении:

0,1666666667.

Следовательно, оба результата могут быть воспроизводимыми относительно собственных нормативных профилей.

Однако они не являются взаимозаменяемыми внутри одной фиксированной спецификации.

Особое значение приобретает возможность независимого повторения.

Для этого желательно, чтобы проверочная процедура не использовала исключительно ту же техническую реализацию, что и основной алгоритм.

Таким образом, репродуктивный пакет должен обеспечивать не только повторение процесса, но и возможность самостоятельного подтверждения его математического содержания.

10.20. Повторяемость, воспроизводимость и доказательство

При оценке результатов необходимо различать успешность повторных запусков и доказательство универсальной корректности.

Например, предположим, что программа десять раз сформировала один и тот же результат для определённого исходного числа.

Можно зарегистрировать:

10 успешных повторений из 10 проведённых.

Однако это не означает, что универсальная математическая корректность программы доказана.

Тем более нельзя автоматически считать вероятность ошибки равной нулю.

Для статистической оценки надёжности необходимо определить модель испытаний, выборку, критерии независимости и другие условия.

В математике же универсальное утверждение требует соответствующего доказательства.

Следовательно, необходимо разграничивать:

наблюдаемую повторяемость;

подтверждённую воспроизводимость в установленных условиях;

формальную корректность алгоритма;

математическую истинность результата.

Особое значение имеет проверка целостности файлов.

Например, контрольные суммы могут использоваться для обнаружения изменений данных.

Однако совпадение контрольных сумм не является доказательством правильности исходных цифр математической константы.

Следовательно, технологии контроля целостности должны дополняться математическими процедурами проверки.

10.21. Комплексная оценка и недопустимость произвольного интегрального балла

Математический объект может иметь несколько существенных характеристик.

Например:

H(O) = ⟨S, M, C, R, F⟩,

где:

• S — структурный профиль;
• M — характеристики семантической определённости;
• C — совместимость;
• R — воспроизводимость;
• F — функциональная пригодность.

Однако такие характеристики могут обладать различными типами значений.

Структурный профиль может содержать количественные показатели.

Семантическая определённость может иметь категориальный доказательственный статус.

Совместимость может определяться отношениями между системами.

Воспроизводимость может характеризоваться нормативными и техническими данными.

Следовательно, нельзя без специального обоснования складывать эти характеристики.

Например, формула вида:

Q = 0,25S + 0,25M + 0,25C + 0,25R

не имеет определённого научного смысла до установления шкал, нормировок и интерпретации весов.

Кроме того, обязательные математические требования не должны компенсироваться высокими значениями второстепенных технических показателей.

Следовательно, необходимо прежде всего различать:

критерии обязательного допуска;

критерии сравнительного предпочтения;

информационные характеристики.

Таким образом, многокритериальная ноометрология должна использовать процедуры, соответствующие природе каждого показателя.

10.22. Парето-сравнение математических технологий

Для сопоставления нескольких допустимых решений может использоваться отношение Парето-доминирования.

Пусть две технологии обладают количественными характеристиками, для каждой из которых определено направление предпочтения.

Технология A доминирует технологию B, если она не хуже B по всем выбранным критериям и строго лучше хотя бы по одному.

Однако необходимо учитывать несколько условий.

Во-первых, сравниваемые технологии должны удовлетворять обязательным требованиям.

Во-вторых, критерии должны иметь определённую математическую интерпретацию.

В-третьих, необходимо установить направление предпочтения.

Например, для одной задачи меньший объём памяти является преимуществом.

Но для другой задачи использование дополнительной памяти может обеспечивать необходимые контрольные функции.

Следовательно, не следует считать все возможные критерии универсально монотонными.

Особое значение имеет возможность несравнимости альтернатив.

Например, одна система может обеспечивать более высокую точность представления, но требовать больше ресурсов.

Другая может быть технически эффективнее при меньшем количестве позиций.

В таком случае выбор зависит от конкретного назначения.

Следовательно, полисистемность допускает сохранение нескольких недоминируемых технологий.

10.23. Пример многокритериального сравнения систем первого и второго классов

Рассмотрим две нормативные технологии усечения рациональных чисел.

Первая использует первый класс.

Вторая — второй.

Обе основаны на одной точной рациональной арифметике.

Для первой системы:

d₁ = 10;

h₁ = 10^(−10).

Для второй:

d₂ = 100;

h₂ = 10^(−100).

Следовательно, вторая система предусматривает более детальную десятичную сетку.

При математически правильном усечении общая граница абсолютной погрешности во второй системе меньше.

Однако из этого не следует, что она универсально превосходит первую по всем показателям.

Объём записи второго класса больше.

Ресурсные затраты могут различаться.

А для числа 1/8 оба класса позволяют получить точное числовое значение.

Следовательно, практическая полезность дополнительной детализации зависит от задачи.

Кроме того, классы не определяют автоматически качество программных реализаций.

Одна программа может иметь проверенную корректность первого класса.

Другая может предусматривать второй класс, но ещё не пройти необходимых испытаний.

Следовательно, нельзя отождествлять нормативную характеристику класса и фактически подтверждённую техническую зрелость.

Таким образом, многокритериальная оценка должна сохранять самостоятельность математических и технических характеристик.

10.24. Ноометрологическая карта дополнительных шкал

Для практического применения предлагается создать карту дополнительных математических шкал.

Её первоначальная структура может иметь следующий вид.

Характеристика	Тип значения	Основной метод	Существенное ограничение
Количество структурных компонентов	Целое неотрицательное число	Подсчёт в заданной модели	Зависит от правил декомпозиции
Количество отношений	Целое неотрицательное число	Анализ типизированной структуры	Зависит от набора типов связей
Глубина зависимости	Целое число	Исследование графа	Требует определения понятия пути
Вычислительная сложность	Функция или оценка	Анализ алгоритма	Зависит от вычислительной модели
Документационная полнота	Доля либо категориальное значение	Проверка полей	Не определяет смысловую корректность
Семантическая определённость	Нормативный статус	Логико-семантическая экспертиза	Не сводится автоматически к проценту
Совместимость	Типизированное отношение	Проверка интерфейсов	Может быть частичной и направленной
Воспроизводимость	Нормативные и технические данные	Повторное выполнение и контроль	Не заменяет математическое доказательство
Класс экспликации	Положительное целое число	Нормативная классификация	Не равен фактической погрешности
Абсолютная погрешность	Неотрицательное числовое значение или оценка	Математическое вычисление	Требует определённого исходного значения

Однако такая карта представляет собой первоначальную типологию.

Для каждого показателя требуется отдельная спецификация.

Особое значение имеет возможность расширения системы шкал без изменения уже определённых характеристик.

Таким образом, ноометрологическая карта должна поддерживать контролируемое развитие многомерной классификации.

10.25. Проект стандарта дополнительных математических шкал

Для дальнейшей разработки предлагается подготовить специализированный проект нооинженерного стандарта:

НСТ-НОО-05. «Дополнительные математические шкалы. Структурная сложность, семантическая определённость, совместимость и воспроизводимость».

В первоначальном варианте он должен включать:

Раздел 1. Область применения.

Раздел 2. Термины и определения.

Раздел 3. Типы математических характеристик.

Раздел 4. Структурные шкалы.

Раздел 5. Алгоритмические и ресурсные показатели.

Раздел 6. Семантические характеристики.

Раздел 7. Нормативные статусы определённости.

Раздел 8. Шкалы совместимости.

Раздел 9. Репродуктивные характеристики.

Раздел 10. Принципы многокритериального сопоставления.

Раздел 11. Доказательственные материалы.

Раздел 12. Паспорт ноометрологического профиля.

Раздел 13. Управление нормативными редакциями.

Однако такой документ пока имеет статус исследовательского проекта.

Для его практического применения необходимо уточнить конкретные показатели, методы проверки и ограничения интерпретации.

Особенно важно установить, какие характеристики могут быть количественными, а какие требуют категориального представления.

10.26. Основные результаты главы

В настоящей главе предложены первоначальные основания многомерной классификации математических объектов.

Показано, что шкала количества десятичных позиций не исчерпывает их существенных характеристик.

Разработано определение ноометрологического профиля.

Предложены основные принципы построения дополнительных шкал.

Рассмотрены структурная, алгоритмическая и доказательственная сложность.

Для определённых конструкций предложена графовая модель структурной оценки.

На конкретном примере рассчитаны количество компонентов, связей и глубина зависимостей.

Показана необходимость разграничения структурной сложности и математической содержательности.

Предложено определение ноосемантической определённости.

Установлено, что документационная полнота не должна отождествляться с истинностью или осмысленностью математического содержания.

Рассмотрены специальные нормативные статусы семантических проверок.

Предложено определение ноотехнической совместимости.

Показана её относительная и потенциально направленная природа.

Исследованы математические основания межклассовой совместимости.

Предложено определение ноорепродуктивной воспроизводимости.

Разграничены повторяемость результатов, техническая надёжность и доказанная математическая корректность.

Рассмотрены многокритериальная оценка и Парето-сравнение.

На примере систем первого и второго классов показано, что повышение класса не означает универсального превосходства по всем инженерным характеристикам.

Предложена карта дополнительных математических шкал и структура проекта стандарта НСТ-НОО-05.

Таким образом, дополнительные математические шкалы рассматриваются как взаимосвязанные, но самостоятельные средства классификации и оценки математических объектов, обеспечивающие переход от одномерной шкалы экспликации к многокритериальной ноометрологии.

Однако теоретическая разработка шкал должна сопровождаться конкретными расчётными примерами и воспроизводимыми нормативными процедурами.

Именно эта задача составляет предмет заключительной главы настоящей части.

---

Глава 11. Расчётные примеры и ноотехнические регламенты построения математических объектов

11.1. От теории математических классов к инженерным процедурам

В предыдущих главах настоящей части монографии были разработаны основные определения и математические отношения, необходимые для построения систем классов конечной экспликации.

Однако полноценная нооинженерная технология предполагает не только теоретическое описание объектов, но и разработку конкретных регламентов их формирования, проверки и воспроизводства.

Следовательно, необходимо установить, каким образом исходные математические определения могут преобразовываться в технически исполнимые процедуры.

Особое значение имеет возможность независимой проверки соответствующих результатов.

Например, простое предъявление десятизначного приближения числа не является достаточным основанием для заключения о правильности алгоритма.

Необходимо указать исходный объект, класс, математическое правило, результат и доказательственные основания.

Поэтому настоящая глава включает несколько взаимосвязанных групп материалов.

Первая группа — расчётные примеры конечной экспликации рациональных чисел и отдельных математических констант.

Вторая — примеры классового сравнения и арифметических операций.

Третья — контрпримеры, показывающие ограничения привычных алгебраических преобразований.

Четвёртая — образцы инженерных требований и процедур проверки.

Пятая — проекты ноотехнических регламентов.

При этом все предлагаемые документы имеют первоначальный исследовательский статус.

Они не должны рассматриваться как уже принятые официальные стандарты.

Цель главы состоит в демонстрации перехода от нормативного определения математического объекта к воспроизводимому результату, сопровождаемому необходимыми доказательственными и техническими сведениями.

11.2. Исходная нормативная система расчётных примеров

Для обеспечения единства примеров зафиксируем первоначальную математическую систему.

В качестве исходных объектов используются рациональные числа:

x = p/q,

где p и q — целые числа, а q > 0.

При необходимости рациональная дробь приводится к несократимому виду.

Номер класса обозначается:

n ∈ {1, 2, 3, …}.

Количество десятичных позиций определяется:

dₙ = 10^n.

Масштабный множитель:

Bₙ = 10^(dₙ).

Шаг конечной десятичной сетки:

hₙ = 1/Bₙ.

Множество допустимых числовых значений представлений:

Dₙ = {k/Bₙ : k ∈ Z}.

Для первого нормативного профиля используется усечение по направлению к нулю.

Для второго — округление к ближайшему значению с выбором чётного последнего сохраняемого разряда при точном равенстве расстояний.

При этом результаты должны записываться с ровно dₙ цифрами после десятичного разделителя.

Таким образом, все дальнейшие расчёты выполняются относительно одной явно установленной математической и нормативной системы.

11.3. Алгоритм точного усечения рационального числа

Для построения представления рационального числа можно использовать точное целочисленное деление.

Пусть:

x = p/q, q > 0.

Для выбранного класса определим:

B = 10^(10^n).

Затем вычислим:

u = |p| · B.

Посредством деления с остатком определим целые числа k и r:

u = qk + r,

где:

0 ≤ r < q.

Тогда математическое значение усечённого результата равно:

Tₙ(x) = sgn(p) · k/B.

Для получения нормативной записи необходимо разделить целое число k на целую и дробную части относительно основания B.

Дробная часть должна содержать ровно dₙ десятичных цифр.

При недостаточном количестве цифр слева добавляются нули.

При нулевом результате отрицательный знак не используется.

Таким образом, вычислительная процедура должна включать два самостоятельных этапа.

Первый — точное математическое усечение.

Второй — формирование канонической десятичной записи.

Особое значение имеет отсутствие необходимости предварительно переводить исходную рациональную дробь в приближённый машинный формат.

Это позволяет избежать определённых ошибок двойного округления.

11.4. Математическое свидетельство правильности усечения

Для проверки результата можно использовать сведения о частном и остатке.

Если:

|p| · B = qk + r

и:

0 ≤ r < q,

то:

k = floor(|p|B/q).

Следовательно, математическое значение усечения определено однозначно.

Кроме того:

|x − Tₙ(x)| = r/(qB).

Из условия r < q следует:

|x − Tₙ(x)| < 1/B = 10^(−dₙ).

Таким образом, для рационального числа можно получить точную величину абсолютной погрешности.

Однако необходимо учитывать, что данное доказательство относится к корректно выполненным целочисленным операциям.

Конкретная программная реализация должна обеспечивать их правильность.

Следовательно, проверка может использовать независимое повторное вычисление либо другой обоснованный метод.

Особое значение имеет возможность документирования пары (k, r).

Она позволяет создать математически проверяемое свидетельство соответствия результата операции усечения.

При этом дополнительно необходимо проверить формат конечной записи.

Следовательно, математическая и нормативно-форматная проверки остаются самостоятельными процедурами.

11.5. Расчётный пример № 1. Число 1/3 первого класса

Рассмотрим точное рациональное число:

x = 1/3.

Номер класса:

n = 1.

Следовательно:

d₁ = 10;

B₁ = 10^10.

Выполним деление с остатком:

10^10 = 3 · 3333333333 + 1.

Отсюда:

k = 3333333333;

r = 1.

Следовательно:

T₁(1/3) = 3333333333/10^10.

Нормативная запись:

0,3333333333.

Точная абсолютная погрешность:

Δ = 1/(3 · 10^10).

Следовательно:

Δ = 1/30000000000.

При этом:

0 < Δ < 10^(−10).

Таким образом, результат соответствует математическому правилу усечения первого класса.

Однако он не является точным значением исходного рационального числа.

Следовательно:

1/3 ≠ 0,3333333333.

Этот пример демонстрирует необходимость разграничения математической определённости исходного объекта и завершённости его конечной экспликации.

11.6. Расчётный пример № 2. Число 1/6 первого класса

Рассмотрим рациональное число:

x = 1/6.

Для первого класса:

B₁ = 10^10.

Выполним деление:

10^10 = 6 · 1666666666 + 4.

Следовательно:

k = 1666666666;

r = 4.

Математическое значение усечения:

T₁(1/6) = 1666666666/10^10.

Нормативная запись:

0,1666666666.

Абсолютная погрешность:

Δ = 4/(6 · 10^10).

После сокращения:

Δ = 1/15000000000.

Следовательно:

Δ < 10^(−10).

Теперь рассмотрим округление к ближайшему значению.

Поскольку остаток r = 4 больше половины знаменателя q = 6, следует увеличить коэффициент k на единицу.

Получаем:

R₁(1/6) = 0,1666666667.

Таким образом, для одного исходного числа и одного класса получены два различных нормативных результата.

Следовательно, указание номера класса недостаточно для полной спецификации экспликации.

Необходимо также указать применённый математический профиль.

11.7. Расчётный пример № 3. Число 1/7 первого класса

Рассмотрим:

x = 1/7.

Для первого класса:

B₁ = 10^10.

Выполним деление с остатком:

10^10 = 7 · 1428571428 + 4.

Следовательно:

k = 1428571428;

r = 4.

При усечении получаем:

T₁(1/7) = 0,1428571428.

Точная абсолютная погрешность:

Δ = 4/(7 · 10^10).

Следовательно:

Δ = 1/17500000000.

При округлении к ближайшему значению необходимо увеличить последнюю цифру, поскольку:

2r = 8 > 7.

Поэтому:

R₁(1/7) = 0,1428571429.

Данный пример важен по двум причинам.

Во-первых, он демонстрирует использование точного остатка для выбора операции округления.

Во-вторых, число 1/7 имеет периодическое десятичное развитие, что позволяет исследовать способы алгоритмического довычисления.

Однако сам факт существования периодического правила ещё не означает фактического получения всех представлений произвольно высокого класса.

11.8. Расчётный пример № 4. Полная экспликация 1/7 второго класса

Для второго класса:

n = 2.

Следовательно:

d₂ = 100;

B₂ = 10^100.

Для числа 1/7 необходимо выполнить деление:

10^100 = 7k + r.

Поскольку:

10^100 mod 7 = 4,

получаем:

r = 4.

Следовательно:

k = (10^100 − 4)/7.

Полная нормативная запись усечения второго класса имеет вид:

0,1428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428

После запятой здесь содержится ровно сто десятичных цифр.

Их можно проверить посредством периодического правила: шестизначный блок 142857 повторяется шестнадцать раз, после чего следуют четыре цифры 1428.

Однако в нормативной записи пробелы между блоками отсутствуют.

Абсолютная погрешность результата:

Δ₂ = 4/(7 · 10^100).

Следовательно:

Δ₂ < 10^(−100).

При переходе к первому классу посредством усечения получаем:

T₁(T₂(1/7)) = 0,1428571428.

Таким образом, на конкретном примере подтверждается математическая согласованность межклассового усечения.

Однако этот результат не означает, что любая операция округления обладает тем же композиционным свойством.

11.9. Расчётный пример № 5. Число 1/8 и нулевая погрешность

Рассмотрим:

x = 1/8.

Для первого класса:

B₁ = 10^10.

Выполним вычисление:

10^10 = 8 · 1250000000 + 0.

Следовательно:

k = 1250000000;

r = 0.

Нормативная запись:

0,1250000000.

Абсолютная погрешность:

Δ = 0.

Следовательно, математическое значение конечного представления точно совпадает с исходным рациональным числом.

Однако сама запись содержит десять цифр после запятой.

Таким образом, необходимо различать:

нулевую фактическую погрешность;

нормативный класс представления;

каноническую форму записи.

Этот пример показывает, что увеличение класса не всегда изменяет числовое значение результата.

Например, представление второго класса числа 1/8 будет содержать сто позиций после запятой, но по-прежнему обозначать точное рациональное значение 1/8.

Следовательно, увеличение количества цифр не обязательно сопровождается уменьшением ненулевой погрешности: она уже может быть равна нулю.

11.10. Расчётный пример № 6. Отрицательное рациональное число

Рассмотрим:

x = −1/6.

Для первого класса применяется усечение по направлению к нулю.

Следовательно:

T₁(−1/6) = −0,1666666666.

Абсолютная погрешность:

Δ = 1/15000000000.

При округлении к ближайшему значению:

R₁(−1/6) = −0,1666666667.

Необходимо учитывать, что усечение по направлению к нулю не совпадает с округлением вниз.

Для отрицательных чисел это различие имеет существенное значение.

Например, правило математической целой части вниз могло бы привести к выбору более отрицательного значения.

Следовательно, в нормативном регламенте необходимо явно указать способ обработки отрицательных операндов.

Особое значение имеет использование одной и той же операции во всей системе.

Если отдельные компоненты применяют разные правила, возникает возможность конфигурационного нарушения.

Таким образом, проверка отрицательных значений должна являться обязательной частью программы испытаний.

11.11. Расчётный пример № 7. Точные граничные случаи округления

Рассмотрим округление к ближайшему представимому значению с выбором чётного последнего сохраняемого разряда.

Для первого класса:

h₁ = 10^(−10).

Пусть:

x = h₁/2.

Это число расположено точно посередине между:

0

и

h₁.

При использовании правила выбора чётного коэффициента получаем:

R₁(h₁/2) = 0.

Каноническая запись результата:

0,0000000000.

Теперь рассмотрим:

y = 3h₁/2.

Это число расположено точно посередине между:

h₁

и

2h₁.

Первый коэффициент равен единице и является нечётным.

Второй равен двум и является чётным.

Следовательно:

R₁(3h₁/2) = 2h₁.

Нормативная запись:

0,0000000002.

Таким образом, правило обработки граничных случаев является существенной частью математической операции округления.

Без него спецификация оказывается недостаточной для однозначного определения всех результатов.

11.12. Расчётный пример № 8. Экспликация числа π

Рассмотрим математическую константу:

π.

Она является точно определённым математическим объектом обычной действительной арифметики.

Однако её десятичная запись бесконечна.

Для первого класса:

d₁ = 10.

Начало десятичного развития имеет вид:

3,141592653589793...

При усечении получаем:

T₁(π) = 3,1415926535.

При округлении к ближайшему значению:

R₁(π) = 3,1415926536.

Однако необходимо подчеркнуть, что обе записи являются конечными приближениями.

Следовательно:

π ≠ T₁(π)

и

π ≠ R₁(π).

Для математически обоснованного получения таких результатов требуется установить достаточные сведения о точном значении константы.

Например, могут использоваться доказанные интервальные оценки.

Особенно важно, что наличие алгоритма получения десятичных цифр не заменяет фактическую проверку конкретного результата.

Таким образом, экспликация математической константы должна сопровождаться документированием вычислительного метода и доказательственного основания.

11.13. Расчётный пример № 9. Классовая эквивалентность различных чисел

Рассмотрим точные рациональные числа:

x = 1/3;

y = 1/3 + 10^(−12).

Очевидно:

x ≠ y.

Однако при усечении до первого класса:

T₁(x) = 0,3333333333;

T₁(y) = 0,3333333333.

Следовательно:

x ~₁ y.

Таким образом, числа эквивалентны относительно первого класса усечения.

Теперь рассмотрим второй класс.

Поскольку разность исходных чисел равна 10^(−12), а шаг второго класса составляет 10^(−100), она представляет собой целое число шагов старшей сетки.

Для рассматриваемых положительных чисел выполняется:

T₂(y) − T₂(x) = 10^(−12).

Следовательно:

T₂(x) ≠ T₂(y).

Таким образом, объекты, неразличимые в первом классе, становятся различимыми во втором.

Однако это не означает изменения самих чисел.

Изменяется различающая способность нормативной технологии.

Следовательно, классовая эквивалентность должна использоваться только с указанием конкретного класса.

11.14. Расчётный пример № 10. Переход из второго класса в первый

Рассмотрим завершённое представление второго класса числа 1/7.

Оно содержит сто десятичных позиций.

Для перехода в первый класс используется операция усечения до десяти позиций.

В результате получаем:

0,1428571428.

Таким образом:

p₂→₁(T₂(1/7)) = T₁(1/7).

Однако необходимо различать обратное преобразование.

Если к десятизначной записи:

0,1428571428

добавить девяносто нулей, получится запись второго класса по формату.

Но она сохранит исходное числовое значение десятизначного приближения.

Следовательно, она не будет правильной стозначной экспликацией исходного числа 1/7.

Таким образом, на конкретном примере различаются:

понижение класса;

вложение конечного значения в более детальную сетку;

повторная экспликация точного исходного объекта.

Эти процедуры имеют разные математические и информационные характеристики.

Следовательно, регламент должен устанавливать самостоятельные идентификаторы соответствующих преобразований.

11.15. Расчётный пример № 11. Точное сложение и сложение приближений

Рассмотрим:

x = 1/6;

y = 1/6.

В режиме точной рациональной арифметики:

x + y = 1/3.

При последующем усечении до первого класса:

T₁(x + y) = 0,3333333333.

Теперь рассмотрим предварительную экспликацию операндов.

Получаем:

T₁(x) = 0,1666666666;

T₁(y) = 0,1666666666.

Их сумма:

T₁(x) + T₁(y) = 0,3333333332.

Следовательно:

T₁(x) + T₁(y) ≠ T₁(x + y).

Различие составляет один шаг первого класса:

10^(−10).

Однако необходимо учитывать, что сама ошибка результата относительно точной суммы больше одного шага.

Действительно:

1/3 − 0,3333333332 = 1/7500000000.

Следовательно, абсолютная погрешность суммы приближений составляет примерно:

1,333333333… · 10^(−10).

Она меньше общей верхней границы:

2 · 10^(−10).

Таким образом, пример подтверждает необходимость контроля распространения погрешностей при вычислениях по конечным представлениям.

11.16. Расчётный пример № 12. Потеря различимости при вычитании

Рассмотрим:

x = 1/3;

y = 1/3 + 10^(−12).

Точная разность:

y − x = 10^(−12).

Однако представления первого класса совпадают:

T₁(x) = T₁(y).

Следовательно:

T₁(y) − T₁(x) = 0.

Таким образом, вычисление по конечным представлениям приводит к потере различимости двух исходных чисел.

При этом нулевой результат является точной разностью самих конечных значений.

Однако он не является точной разностью исходных математических объектов.

Следовательно, необходимо разграничивать:

правильность арифметической операции над конечными представлениями

и

правильность результата относительно исходной математической задачи.

Особое значение имеет возможность использования более высоких классов или точной рациональной арифметики.

В данном случае второй класс позволяет различить соответствующие объекты.

Однако такая возможность должна подтверждаться математической спецификацией.

Таким образом, регламент вычислений должен предусматривать особую проверку вычитания близких приближённых значений.

11.17. Расчётный пример № 13. Классовое умножение

Для первого класса положим:

h = 10^(−10).

Определим операцию:

a ⊠₁ b = T₁(ab)

для:

a, b ∈ D₁.

Рассмотрим:

a = h;

b = 0,9;

c = 2.

Тогда:

a ⊠₁ b = T₁(0,9h) = 0.

Следовательно:

(a ⊠₁ b) ⊠₁ c = 0.

Однако:

b ⊠₁ c = 1,8.

Отсюда:

a ⊠₁ (b ⊠₁ c) = T₁(1,8h) = h.

Таким образом:

(a ⊠₁ b) ⊠₁ c ≠ a ⊠₁ (b ⊠₁ c).

Следовательно, классовое умножение с промежуточным усечением не является ассоциативным в общем случае.

Это означает, что порядок группировки операций может существенно влиять на математический результат.

Следовательно, регламент должен фиксировать допустимый порядок вычислений.

Особенно важно исключить автоматическое использование обычных алгебраических преобразований без проверки сохранения их свойств.

11.18. Расчётный пример № 14. Нарушение дистрибутивности

Рассмотрим тот же первый класс.

Пусть:

a = h;

b = 0,5;

c = 0,5.

Тогда:

b + c = 1.

Следовательно:

a ⊠₁ (b + c) = T₁(h) = h.

Теперь выполним операции отдельно:

a ⊠₁ b = T₁(0,5h) = 0;

a ⊠₁ c = T₁(0,5h) = 0.

Следовательно:

(a ⊠₁ b) + (a ⊠₁ c) = 0.

Таким образом:

a ⊠₁ (b + c) ≠ (a ⊠₁ b) + (a ⊠₁ c).

Следовательно, операция классового умножения не сохраняет дистрибутивность относительно обычного сложения конечных значений.

Этот пример имеет принципиальное методологическое значение.

Он показывает, что новая нормативная система арифметических операций требует самостоятельного исследования математических свойств.

Нельзя считать её обычным кольцом только вследствие использования знакомых обозначений сложения и умножения.

Таким образом, классовая арифметика должна сопровождаться реестром доказанных законов и обнаруженных ограничений.

11.19. Расчётный пример № 15. Деление и нулевое представление ненулевого знаменателя

Рассмотрим первый класс:

h = 10^(−10).

Пусть точный знаменатель:

y = h/2 = 5 · 10^(−11).

Очевидно:

y ≠ 0.

Следовательно, точное деление:

1/y

математически допустимо.

Его результат равен:

1/y = 2 · 10^10.

Однако при усечении знаменателя до первого класса:

T₁(y) = 0.

Следовательно, выражение:

1/T₁(y)

не определено в обычной рациональной арифметике.

Таким образом, предварительная экспликация операнда способна изменить условия допустимости последующего деления.

Особое значение имеет необходимость сохранять исходный математический объект.

Если точный знаменатель доступен, деление может быть выполнено без обращения к его нулевому приближению.

Следовательно, регламент должен запрещать неявную замену точного ненулевого знаменателя его нулевым конечным представлением при выполнении операции деления.

Таким образом, классовая допустимость операции не должна отождествляться с допустимостью той же операции над исходными точными объектами.

11.20. Расчётный пример № 16. Погрешность произведения приближений

Рассмотрим:

x = 1/3.

Для первого класса:

a = T₁(x) = 0,3333333333.

Теперь вычислим квадрат конечного представления:

a² = 0,11111111108888888889.

При усечении до первого класса получаем:

T₁(a²) = 0,1111111110.

Однако точный квадрат исходного числа:

x² = 1/9.

Его представление первого класса:

T₁(1/9) = 0,1111111111.

Следовательно:

T₁(T₁(x)²) ≠ T₁(x²).

Различие составляет:

10^(−10).

Таким образом, даже при использовании одного класса результат зависит от того, выполняется ли операция над точным исходным объектом или над его конечным приближением.

Следовательно, необходимо фиксировать нормативный вычислительный режим.

Особое значение имеет возможность оценки накопленной погрешности.

Для этого должны использоваться математически обоснованные правила её распространения.

11.21. Расчётный пример № 17. Интервальная интерпретация представления

Рассмотрим усечённое представление первого класса:

a = 0,3333333333.

Поскольку a > 0, все положительные исходные значения x, для которых:

T₁(x) = a,

принадлежат интервалу:

a ≤ x < a + h₁.

Следовательно:

0,3333333333 ≤ x < 0,3333333334.

В этот интервал входят:

1/3

и

1/3 + 10^(−12).

Следовательно, одна конечная запись не позволяет различить соответствующие точные объекты.

Теперь рассмотрим отрицательное представление:

b = −0,1666666666.

Для него область исходных значений определяется неравенствами:

−0,1666666667 < x ≤ −0,1666666666.

Таким образом, правило усечения по направлению к нулю требует раздельной обработки положительных и отрицательных значений.

Особое значение имеет нулевое представление.

Если:

T₁(x) = 0,

то:

−h₁ < x < h₁.

Следовательно, нулевое представление не гарантирует нулевого исходного значения.

Это обстоятельство должно учитываться при сравнении, вычитании и делении.

11.22. Расчётный пример № 18. Двойное округление между первым и вторым классами

Рассмотрим точное рациональное число:

x = 1 + 5·10^(−11) + 10^(−101).

Для второго класса:

d₂ = 100.

При округлении к ближайшему представимому значению добавка 10^(−101) оказывается меньше половины шага второго класса.

Следовательно:

R₂(x) = 1 + 5·10^(−11).

Теперь округлим полученное значение до первого класса.

Оно находится точно посередине между:

1,0000000000

и

1,0000000001.

Согласно правилу выбора чётного последнего сохраняемого разряда:

R₁(R₂(x)) = 1,0000000000.

Однако исходное число x немного больше указанной середины.

Следовательно, непосредственное округление до первого класса даёт:

R₁(x) = 1,0000000001.

Таким образом:

R₁(R₂(x)) ≠ R₁(x).

Это прямой контрпример универсальной согласованности последовательного округления.

Следовательно, нормативный регламент должен устанавливать, допускается ли округление через промежуточные классы.

Если требуется правильно округлённый результат относительно точного исходного числа, может понадобиться непосредственное вычисление целевого представления либо специальный алгоритм с доказанными гарантиями.

11.23. Расчётный пример № 19. Структурная сложность вычислительной технологии

Для демонстрации дополнительных шкал рассмотрим условную конструкцию системы экспликации.

Выделим семь компонентов:

исходный объект;

класс;

нормативное правило;

вычислительный модуль;

модуль записи;

проверочный модуль;

паспорт результата.

Пусть между ними установлено восемь направленных зависимостей, описанных в предыдущей главе.

Тогда:

Nᵥ = 7;

Nₑ = 8.

Максимальная входящая степень равна трём.

Максимальная длина направленного пути зависимости составляет четыре ребра.

Следовательно, структурный профиль имеет вид:

H_struct = ⟨7, 8, 3, 4⟩.

Однако необходимо подчеркнуть, что данный профиль зависит от выбранной архитектуры.

Например, объединение двух компонентов уменьшит число вершин.

Но это не обязательно улучшит математическую корректность системы.

Следовательно, структурные показатели должны использоваться как характеристики архитектуры, а не как универсальная мера истинности или качества.

Таким образом, расчётный пример подтверждает необходимость контекстуального использования дополнительных ноометрологических шкал.

11.24. Расчётный пример № 20. Документационная полнота и семантическая проверка

Предположим, что паспорт понятия предусматривает восемь обязательных полей.

В конкретном документе заполнены шесть.

Тогда формальный показатель заполненности:

C_doc = 6/8 = 0,75.

Следовательно, заполнено 75 процентов обязательных полей.

Однако это не означает, что понятие обладает 75-процентной смысловой определённостью.

Для такого заключения отсутствует соответствующая математически обоснованная шкала.

Допустим, что среди заполненных полей присутствуют два несовместимых определения одной операции.

В таком случае даже полное заполнение всех восьми полей не устраняет соответствующего нарушения.

Следовательно, необходима отдельная семантическая проверка.

Она должна установить:

предметную область;

содержание определения;

используемые исходные понятия;

нормативную редакцию;

отношения с другими объектами;

условия допустимого применения.

Таким образом, документационная полнота представляет собой формально вычисляемую характеристику.

Семантическая определённость требует самостоятельного содержательного исследования.

Следовательно, их показатели должны фиксироваться раздельно.

11.25. Общий алгоритм формирования нормативного результата

Для практической организации предлагается следующий проект процедуры.

Процедура НР-ЭКС-01. Формирование конечного десятичного представления рационального числа.

Входные данные:

• точные целые числа p и q;
• условие q > 0;
• номер класса n;
• нормативный профиль P;
• редакция спецификации.

Основные действия:

1. Проверить допустимость исходной рациональной дроби.
2. Определить количество позиций d = 10^n.
3. Вычислить масштабный множитель B = 10^d.
4. Найти точные частное и остаток от деления |p|B на q.
5. Применить установленное правило усечения или округления.
6. Восстановить знак результата.
7. Сформировать каноническую запись с ровно d цифрами после десятичного разделителя.
8. Зафиксировать математическое значение результата.
9. Определить погрешность или доказанную границу.
10. Сформировать паспорт.
11. Провести предусмотренные проверки.
12. Зарегистрировать нормативный статус результата.

При этом необходимо различать исполнение процедуры и её нормативное описание.

Например, наличие приведённого алгоритма в монографии ещё не означает, что конкретная программная реализация разработана и испытана.

Таким образом, техническая реализация должна рассматриваться как самостоятельный результат ОКР.

11.26. Точный алгоритм усечения и округления рациональных чисел

Для математической конкретизации представим процедуру следующим образом.

Пусть:

u = |p| · B.

Выполним целочисленное деление:

u = qk + r, 0 ≤ r < q.

При усечении используется коэффициент:

K_T = k.

При округлении к ближайшему значению с выбором чётного коэффициента при точной середине:

K_R = k, если 2r < q;

K_R = k + 1, если 2r > q;

при 2r = q выбирается чётное из чисел k и k + 1.

Следовательно:

K_R = k, если 2r = q и k чётное;

K_R = k + 1, если 2r = q и k нечётное.

После этого математическое значение результата определяется как:

sgn(p) · K/B,

где K соответствует выбранному профилю.

Данный алгоритм использует точную целочисленную арифметику.

Следовательно, он не требует предварительного приближённого вычисления дроби.

Однако необходимо учитывать ресурсные ограничения для больших значений B.

При этом вычислительная система может использовать более эффективные способы получения десятичных цифр.

Но они должны сохранять математические требования спецификации.

Таким образом, приведённый алгоритм может служить базовой проверочной моделью для опытных реализаций.

11.27. Независимая проверка результата

Для обеспечения доказательственной надёжности необходимо предусмотреть независимую проверку существенных условий.

В первоначальном варианте она может включать следующие действия.

Проверка исходного объекта.

Устанавливается корректность рациональной дроби.

Проверка частного и остатка.

Контролируется равенство:

|p|B = qk + r.

Дополнительно проверяется:

0 ≤ r < q.

Проверка округления.

Исследуется отношение величин 2r и q.

Проверка формата.

Устанавливается наличие ровно d десятичных позиций.

Проверка знака.

Подтверждается правильность обработки отрицательных чисел и нуля.

Проверка математического значения.

Устанавливается соответствие записи полученному коэффициенту.

Проверка нормативной редакции.

Контролируется использование выбранного профиля.

Особое значение имеет возможность выполнения проверок независимо от исходной программы.

Однако необходимо учитывать, что проверка одного конкретного результата не доказывает универсальную корректность реализации.

Следовательно, необходимы также общие математические доказательства и программы испытаний.

11.28. Матрица прослеживаемости требований

Для организации ноотехнических НИОКР предлагается использовать матрицу связи требований и проверок.

Код требования	Содержание	Метод проверки
НР-01	Исходный объект — допустимая рациональная дробь	Проверка q > 0
НР-02	Класс принадлежит установленной области	Проверка n ≥ 1, n целое
НР-03	Количество позиций равно 10^n	Формальный расчёт
НР-04	Усечение соответствует целочисленному делению	Проверка частного и остатка
НР-05	Округление выполняется по утверждённому правилу	Проверка 2r относительно q
НР-06	Запись содержит ровно d позиций	Форматный контроль
НР-07	Обработка отрицательных чисел соответствует спецификации	Различающие испытания
НР-08	Погрешность соответствует математическому профилю	Формальное доказательство и расчёт
НР-09	Нормативная редакция идентифицирована	Проверка паспорта
НР-10	Результат связан с исходным объектом	Проверка регистрационных отношений
НР-11	Межклассовое преобразование имеет определённый тип	Интерфейсная проверка
НР-12	Данные для воспроизводства сохранены	Репродуктивный контроль

Однако такая таблица содержит требования и методы проверки.

Она не является протоколом их фактического выполнения.

Для оформления итогового заключения необходимо добавить результаты, доказательственные материалы и соответствующие статусы.

Следовательно, матрица прослеживаемости должна рассматриваться как проектно-нормативный инструмент.

11.29. Проект регламента первого класса

Предлагается следующий первоначальный регламент:

НР-МАТ-01. «Конечная десятичная экспликация рациональных чисел первого класса».

Область применения.

Рациональные числа, заданные точными дробями p/q, где q > 0.

Нормативный класс.

n = 1.

Количество позиций.

d = 10.

Основной профиль.

Усечение по направлению к нулю.

Альтернативный профиль.

Округление к ближайшему значению с выбором чётного последнего сохраняемого разряда при точном равенстве расстояний.

Обязательные требования.

Необходимо сохранять исходный точный объект и идентификатор применённого профиля.

Результат должен иметь ровно десять цифр после десятичного разделителя.

Необходимо обеспечивать правильную обработку отрицательных чисел.

Должны быть определены методы проверки математического значения.

Нельзя объявлять конечное приближение тождественным исходному числу без доказательства равенства.

Критерии приёмки.

Предусмотренные контрольные примеры должны соответствовать математической спецификации.

Результаты должны быть зарегистрированы в соответствующих протоколах.

Однако настоящий регламент имеет статус проекта.

Для его принятия требуется формальное оформление и проверка технических реализаций.

11.30. Проект регламента второго класса

Предлагается разработать самостоятельный профиль:

НР-МАТ-02. «Конечная десятичная экспликация рациональных чисел второго класса».

Его основное количественное требование:

d = 100.

Следовательно, завершённая нормативная запись должна содержать ровно сто цифр после запятой.

При этом математические правила усечения и округления могут наследоваться из общей системы.

Однако необходимо отдельно проверить, что техническая реализация правильно обрабатывает увеличенное количество позиций.

В частности, следует исследовать:

вычисление масштабного множителя 10^100;

правильность целочисленного деления;

формирование завершающих нулей;

корректность обработки длинных записей;

правильность контрольных результатов;

сохранение нормативного происхождения;

возможность повторного вычисления.

Особое значение имеют межклассовые преобразования.

Например, результат второго класса может быть приведён к первому посредством усечения.

Однако обратное преобразование с простым добавлением нулей не должно объявляться повторной экспликацией точного исходного числа.

Таким образом, регламент второго класса должен определять как собственные требования, так и отношения с системой первого класса.

11.31. Регламент межклассового преобразования

Для взаимодействия нескольких классов предлагается разработать специальную процедуру:

НР-МАТ-03. «Межклассовое преобразование конечных математических представлений».

В первоначальном варианте должны различаться три типа операций.

Тип A. Вложение числового значения.

Осуществляется перевод представления младшего класса в форму записи старшего при сохранении самого конечного числового значения.

Тип B. Проекция.

Осуществляется преобразование представления старшего класса в младший по установленному правилу.

Тип C. Повторная экспликация.

Из исходного точного объекта формируется новое представление требуемого класса.

Для каждого типа необходимо определить входные данные и математические свойства.

Особое значение имеет различие между обратимостью и наличием одной направленной процедуры.

Например, проекция из второго класса в первый в общем случае теряет информацию.

Следовательно, она не допускает универсального точного восстановления исходного стозначного значения.

Таким образом, регламент должен запрещать неявное отождествление различных типов межклассовых преобразований.

11.32. Регламент допустимых арифметических операций

Для практических вычислений предлагается разработать:

НР-МАТ-04. «Арифметические операции над объектами и представлениями различных классов».

Его основная задача состоит в разграничении вычислительных режимов.

Режим A. Точное вычисление.

Исходные математические объекты сохраняются в точной форме.

После выполнения операции формируется представление установленного класса.

Режим B. Вычисление по конечным представлениям.

Операции выполняются над уже полученными приближёнными значениями.

При необходимости применяется дополнительное усечение или округление.

Режим C. Вычисление с контролем погрешностей.

Вместе с числовыми значениями передаются математически обоснованные оценки их отклонений.

При этом необходимо отдельно установить правила сложения, вычитания, умножения и деления.

Особое значение имеют ограничения ассоциативности и дистрибутивности классового умножения.

Следовательно, регламент должен запрещать использование недоказанных алгебраических преобразований.

При делении необходимо дополнительно контролировать нулевые и близкие к нулю знаменатели.

Таким образом, система допустимых операций должна иметь строгую математическую спецификацию.

11.33. Регламент репродуктивного обеспечения

Для обеспечения воспроизводимости предлагается разработать:

НР-МАТ-05. «Репродуктивное обеспечение конечных математических вычислений».

В первоначальном варианте репродуктивный пакет должен содержать:

1. исходные математические данные;
2. нормативный класс;
3. правило экспликации;
4. версию спецификации;
5. описание алгоритма;
6. технические условия выполнения;
7. каноническую запись результата;
8. математические контрольные сведения;
9. результаты проведённых испытаний;
10. историю изменений.

Особое значение имеет возможность независимой проверки.

Например, для рационального числа можно сохранить частное и остаток, необходимые для подтверждения операции усечения.

Для длинных результатов дополнительно могут использоваться контрольные механизмы целостности файлов.

Однако необходимо различать математическую правильность и техническую неизменность данных.

Например, контрольная сумма может помочь обнаружить изменение файла.

Но она не доказывает правильность математического вычисления, посредством которого файл был сформирован.

Следовательно, репродуктивный пакет должен включать разные виды доказательственных материалов.

11.34. Протокол испытания опытной реализации

Для технической реализации необходимо создать протокол ноотехнического испытания.

В первоначальном варианте он должен включать:

Объект испытания.

Конкретная реализация алгоритма.

Нормативная редакция.

Идентификатор действующей спецификации.

Проверяемое требование.

Например, правильность усечения первого класса.

Исходные данные.

Точная рациональная дробь.

Ожидаемый результат.

Нормативная запись.

Фактический результат.

Запись, полученная при выполнении программы.

Метод проверки.

Например, независимое точное целочисленное вычисление.

Заключение.

Соответствие, несоответствие либо другой установленный процедурный статус.

Однако необходимо подчеркнуть, что примеры настоящей главы представляют собой математически рассчитанные результаты.

Они не являются доказательством того, что конкретная программная реализация уже прошла необходимые испытания.

Следовательно, формальный расчёт и протокол технического испытания должны иметь самостоятельный статус.

11.35. Пример обнаружения нормативного несоответствия

Предположим, что техническая реализация заявлена как система усечения первого класса.

В качестве исходного числа используется:

x = 1/6.

Согласно спецификации ожидается:

0,1666666666.

Однако программа возвращает:

0,1666666667.

Полученный результат является математически корректным округлением до ближайшего значения.

Но он не соответствует заявленному правилу усечения.

Следовательно, возникает нормативное несоответствие.

При этом нельзя объявлять само число 0,1666666667 математически неправильным в абсолютном смысле.

Оно представляет собой допустимое конечное рациональное значение.

Ошибка заключается в несоответствии выбранной операции.

Следовательно, протокол должен фиксировать:

исходную спецификацию;

предусмотренную операцию;

фактический результат;

характер нарушения;

необходимое корректирующее действие.

Таким образом, данный пример показывает значение нормативного контекста для оценки математических вычислений.

11.36. Пример различия исправления ошибки и нормативной инновации

Рассмотрим тот же случай.

В исходной редакции системы используется усечение.

Разработчик предлагает перейти к округлению до ближайшего значения.

Такое изменение может иметь определённые математические преимущества.

Например, оно обеспечивает меньшую общую верхнюю границу абсолютной погрешности.

Однако это не означает, что новая операция автоматически является исправлением ошибки прежней системы.

Если усечение было сознательно установлено нормативным правилом, замена операции представляет собой изменение математической конструкции.

Следовательно, требуется новая редакция либо самостоятельный профиль.

При этом прежняя система может продолжать существовать.

Таким образом, необходимо разграничивать:

устранение несоответствия реализации действующему стандарту

и

разработку нового стандарта или нормативного профиля.

Это различие имеет существенное значение для нооинноватики и управления конфигурацией.

Следовательно, изменение математических операций должно сопровождаться самостоятельной процедурой ноотехнического проектирования.

11.37. Расчётные результаты и карта ноотехнического качества

Полученные математические примеры могут использоваться для формирования карты ноотехнического уровня и качества соответствующей системы.

Например, для системы усечения первого класса можно зарегистрировать следующие характеристики.

Показатель	Математическое или нормативное содержание
Номер класса	n = 1
Количество позиций	d = 10
Исходная предметная область	Рациональные числа
Правило формирования	Усечение к нулю
Общая граница абсолютной погрешности	Меньше 10^(−10)
Представление 1/3	0,3333333333
Представление 1/6	0,1666666666
Представление 1/8	0,1250000000
Правило отрицательных чисел	Усечение по направлению к нулю
Нормативный формат	Ровно десять позиций
Межклассовая согласованность	Подлежит применению доказанного свойства усечения
Техническая надёжность реализации	Требует отдельного испытания
Репродуктивность реализации	Требует подтверждения в установленных условиях

Однако необходимо учитывать, что часть таблицы содержит математически обоснованные свойства, а другая часть — требования к будущей технической проверке.

Следовательно, они должны обладать разными доказательственными статусами.

Таким образом, карта качества должна обеспечивать разграничение нормативной спецификации и фактически подтверждённых эксплуатационных характеристик.

11.38. Комплексная организация ноотехнических НИОКР

Для дальнейшего развития предлагается сформировать комплексную программу ноотехнических НИОКР по системе классов точности.

Научно-исследовательское направление должно включать разработку математических определений, доказательств и теории погрешностей.

Опытно-конструкторское направление предполагает создание технических реализаций соответствующих операций.

Ноометрологическое направление предназначено для разработки системы характеристик и критериев оценки.

Нооиммунологическое направление обеспечивает контроль нормативной допустимости.

Ноорепродуктивное направление разрабатывает средства воспроизводства результатов.

Ноостандартизационное направление предназначено для формирования проектов нормативных документов.

Экосистемное направление обеспечивает взаимодействие различных классов и профилей.

Однако необходимо учитывать, что все названные направления могут развиваться с различной степенью готовности.

Например, математическая теория может быть разработана раньше определённой программной реализации.

Следовательно, необходимо регистрировать фактический статус каждого компонента.

Таким образом, развитие классовой математики должно осуществляться посредством согласованной системы научных и инженерных работ.

11.39. Первоначальная система проектов ноотехнических стандартов

В настоящей части монографии были последовательно предложены несколько исследовательских проектов стандартов.

Обозначение	Предмет предполагаемого стандарта
НСТ-НОО-01	Шкала классов конечной десятичной экспликации
НСТ-НОО-02	Классовая арифметика и допустимые вычисления
НСТ-НОО-03	Межклассовые преобразования и математические координаты
НСТ-НОО-04	Потенциально неограниченное довычисление и завершённость
НСТ-НОО-05	Дополнительные математические шкалы

При этом данная система обозначений является проектной.

Она не означает существования официально принятых документов.

Особое значение имеет необходимость согласования соответствующих нормативных оснований.

Например, стандарт классовой арифметики должен ссылаться на действующее определение класса точности.

А стандарт межклассовых преобразований должен учитывать правила арифметических операций.

Следовательно, изменение исходного стандарта может требовать пересмотра связанных документов.

Таким образом, система проектов стандартов должна иметь собственный ноокадастр, нормативные паспорта и историю версий.

11.40. Основные результаты главы

В настоящей главе предложена система расчётных примеров и первоначальных ноотехнических регламентов построения математических объектов.

Рассмотрены методы точной конечной десятичной экспликации рациональных чисел.

Разработана математическая схема усечения и округления на основе целочисленного деления.

Предложены правила независимой проверки результатов.

Приведены полные вычисления для чисел 1/3, 1/6, 1/7, 1/8 и −1/6 первого класса.

Показана полная стозначная экспликация числа 1/7 второго класса.

Рассмотрены граничные случаи округления.

Приведены конечные представления числа π.

На конкретных примерах исследована классовая эквивалентность различных точных чисел.

Показаны различия между вложением, проекцией и повторной экспликацией.

Рассмотрено накопление погрешностей при сложении и умножении.

Приведены примеры нарушения ассоциативности и дистрибутивности классового умножения.

Показано, что предварительное усечение ненулевого знаменателя может сделать последующее деление недопустимым.

Разработаны примеры интервальной интерпретации конечных представлений.

Приведён контрпример согласованности последовательного округления между первым и вторым классами.

На расчётных примерах показано применение дополнительных шкал структурной сложности и документационной полноты.

Предложены проекты алгоритмов, матриц требований, протоколов испытаний и репродуктивных пакетов.

Разработаны первоначальные регламенты первого и второго классов, межклассовых преобразований, допустимых арифметических операций и воспроизводства.

Показано различие между технической ошибкой и нормативной инновацией.

Сформирована первоначальная система проектов ноотехнических стандартов НСТ-НОО-01 — НСТ-НОО-05.

Таким образом, расчётные примеры и ноотехнические регламенты демонстрируют возможность перехода от общей теории классов математических объектов к формально проверяемым процедурам их построения, сравнения, вычисления, документирования и воспроизводства.

Однако полученные результаты необходимо рассматривать в пределах установленных математических и нормативных оснований.

В частности, создание системы конечных представлений не означает изменения математического определения исходных рациональных и действительных чисел.

А разработка новых операций требует самостоятельного доказательства их свойств.

Именно эти разграничения позволяют придать дальнейшему развитию нооинженерной математики характер строгой технической дисциплины.

---

Итоги части VII

В одиннадцати главах настоящей части монографии разработаны первоначальные основания системы шкал и классов математических объектов.

Первым основным результатом стало построение общей классификационной модели, разграничивающей математические объекты, их определения, способы задания, представления, алгоритмы и технические реализации.

Показано, что математический объект может обладать несколькими различными классификационными характеристиками.

При этом классификация по классу конечной десятичной экспликации не должна автоматически отождествляться с родо-видовой классификацией чисел в традиционной математике или в исходной авторской гармонической арифметике.

Вторым результатом является разработка первоначальной теории математических шкал.

Разграничены номинальные, порядковые, количественные и многокритериальные системы оценки.

Показано, что каждая шкала должна обладать определённым предметом, множеством значений, отношениями и способами проверки.

Особое значение имеет отказ от произвольного количественного оценивания характеристик, не обладающих обоснованной математической мерой.

Третьим результатом стало построение авторской шкалы классов точности конечной десятичной экспликации.

Её исходное правило имеет вид:

dₙ = 10^n.

Здесь номер класса n определяет количество десятичных цифр после запятой.

При этом математическое значение конечного представления зависит не только от класса, но и от исходного объекта и применённой операции.

Следовательно, необходимо разграничивать точное числовое значение и его нормативную запись.

Четвёртым результатом является разработка понятия полной конечной экспликации.

Показано, что она представляет собой завершённое формирование результата относительно установленного класса и нормативного профиля.

Однако такая завершённость не означает полного исчерпания всех математических характеристик исходного объекта.

Особое значение имеет различие между конечным символическим обозначением, алгоритмом получения результата и фактически сформированной десятичной записью.

Пятым результатом стало исследование классовой определённости и классовой эквивалентности.

Для усечения определено отношение:

x ~ₙ y ⇔ Tₙ(x) = Tₙ(y).

Показано, что оно является отношением эквивалентности.

Однако оно не совпадает с математическим равенством исходных объектов.

Два различных числа могут иметь одинаковые представления младшего класса.

При этом повышение класса позволяет в определённых случаях различить соответствующие объекты.

Особое значение имеет доказательство того, что классовая эквивалентность не сохраняется автоматически при арифметических операциях.

Шестым результатом стала разработка первоначальных оснований классовой арифметики.

Разграничены вычисления над точными исходными числами с последующей экспликацией и операции над уже полученными конечными представлениями.

На конкретных примерах показано, что данные режимы могут давать разные результаты.

Установлено, что классовое умножение с промежуточным усечением может нарушать ассоциативность и дистрибутивность.

Следовательно, соответствующие операции должны исследоваться как самостоятельные математические конструкции.

Седьмым результатом стало обоснование принципа одновременного существования математических систем различных классов.

Показано, что более высокий класс не обязательно заменяет более низкий.

Различные системы могут обладать самостоятельным функциональным назначением и использоваться параллельно.

При этом необходимо сохранять их нормативную определённость.

Особое значение имеет различие между классом точности, профилем операций и редакцией стандарта.

Восьмым результатом стала разработка первоначальной теории межклассовых соответствий.

Исследованы вложение, проекция и повторная экспликация.

Показано, что эти преобразования имеют различные математические свойства.

В частности, вложение конечного значения в старший класс не означает автоматического получения дополнительных правильных цифр исходного объекта.

А проекция в младший класс может сопровождаться потерей информации.

Следовательно, межклассовые преобразования должны иметь самостоятельные нормативные паспорта.

Девятым результатом является исследование потенциально неограниченного довычисления.

Разграничены математическая определённость алгоритма, возможность постановки конечной вычислительной задачи, техническая осуществимость и фактическая завершённость результата.

Показано, что последовательность классов может быть неограниченно продолжимой по своему математическому правилу.

Однако это не означает завершения всех соответствующих вычислений.

При этом понятие довычисления используется в специальном операционно-инженерном смысле и не должно автоматически подменять исходные философско-математические положения авторской гармонической арифметики.

Десятым результатом стало расширение системы шкал за пределы десятичной точности.

Предложены первоначальные подходы к оценке структурной сложности, семантической определённости, совместимости и воспроизводимости.

Показано, что соответствующие характеристики могут обладать различными типами значений.

Следовательно, они должны регистрироваться раздельно, без произвольного сведения к одному количественному показателю.

Особое значение имеет возможность многокритериального сравнения и сохранения нескольких специализированных решений.

Одиннадцатым результатом стала разработка конкретных расчётных примеров и первоначальных ноотехнических регламентов.

Показаны математические процедуры усечения, округления, классового сравнения, выполнения арифметических операций и проверки результатов.

Сформированы исходные требования к паспортам, контрольным примерам, испытательным протоколам и репродуктивным пакетам.

Предложена система исследовательских проектов стандартов НСТ-НОО-01 — НСТ-НОО-05.

При этом необходимо подчеркнуть, что данные документы пока имеют статус проектируемых ноотехнических стандартов.

Для их практического принятия требуются дальнейшая формализация, разработка опытных реализаций и соответствующие процедуры проверки.

Общетеоретическое значение полученных результатов

Проведённое исследование показывает возможность построения математических технологий, в которых существенные характеристики объектов и операций становятся самостоятельным предметом инженерного проектирования.

В частности, можно нормативно устанавливать количество десятичных позиций, способы получения конечных представлений, допустимые арифметические операции, правила сравнения и процедуры проверки.

Однако это не означает, что каждая новая нормативная технология автоматически создаёт новую фундаментальную математическую онтологию.

Необходимо различать изменение исходных математических объектов и изменение способов их представления или обработки.

Особенно важно, что математическая корректность предлагаемой конструкции определяется конкретными доказательствами.

Инженерная полезность характеризуется соответствием практическому назначению.

Техническая реализованность определяется наличием проверенных средств выполнения предусмотренных функций.

Нормативная допустимость устанавливается относительно определённой системы требований.

Следовательно, перечисленные характеристики не должны подменять друг друга.

Перспективы дальнейшего развития

Разработанные положения создают основу для перехода к систематическому исследованию гармонической математики как ноотехнической дисциплины.

На этом этапе необходимо будет рассмотреть математическую систему не только как объект теоретического описания, но и как предмет целенаправленного проектирования.

Особое значение приобретут закон строгого тождества, закон исключённого пятого и соответствующие нооиммунологические процедуры.

Необходимо также исследовать способы репродукции математических объектов, операций и теорий.

Далее возникает задача разработки нормативно организованных математических инноваций.

При этом необходимо обеспечить возможность создания альтернативных систем без неявной подмены их исходных оснований.

Наконец, потребуется более строго разграничить пределы конечной экспликации и самостоятельную перспективную предметную область Изольдионики.

Таким образом, седьмая часть монографии формирует математико-технические основания классификации, экспликации, сравнения и вычисления математических объектов в различных нормативных системах.

Её центральным результатом является переход от общего положения о конструируемости ментальных объектов к конкретным математически определённым технологиям, допускающим разработку спецификаций, доказательств, алгоритмов, средств проверки и ноотехнических стандартов.

На этой основе гармоническая математика может быть далее исследована как особая программа математической инженерии, в которой нормативно организованное построение ментальных объектов становится самостоятельным предметом научного и технического исследования.

*****