© В.К. Петросян © Lag.ru [Large Apeironic Gateway, Большой Апейронический Портал (Шлюз), Суперпортал в Бесконечность].

При копировании данного материала и размещении его на другом сайте, ссылка на портал Lag.ru обязательна

          Петросян  В. К. П 30  Пролегомены к инновационной войне по основаниям           гармонической  математики. – М.: Издательский центр АПО,  2002. – 142 с.

ISBN 978-5-8309-0409-4                                                              ©   Петросян В. К., 2002

  Аннотация       

В работе, представляющей собой собрание основных докладов автора по основа­ниям разрабатываемой им гармонической математики, прочитанных и обсужденных на ежегодных конференциях философско-математического сообщества России в период 1995-2002 гг., ставится цель дать читателю целостное неформальное представление о зарождающейся гармонической парадигме логико-математического знания.

Гармоническая математика рассматривается автором как эффективная альтернатива традиционным  взглядам на основания математической науки, ее гносеологический статус и механизм развития.

Содержание работы предлагается рассматривать как фрагмент подготовки к первой «инновационной войне» по основаниям гармонической математики, по итогам которой планируется выпустить книгу, отражающую совокупное мнение философско-математического сообщества о зарождающейся новой парадигме логико-математического зна­ния.

Книга предназначена для философов, философов математики, метаматематиков, логиков, математиков, всех, интересующихся проблемами развития ментальных оснований логики и матема­тики.

Содержание:

Предисловие
1. Философские основания гармонической математики
1.1.   Инновационная война как способ оптимизации эволюции логико-математических систем
1.1.1. Понятие и сущность инновационной войны
1.1.2. Инновационная война как метааксиоматический метод
1.1.3. Организационный механизм инновационной войны
1.1.4. Инновационная война по теме: «Эволюция оснований логики и математики»
1.2.   Математика как техническая наука: воспоминание о будущем
2. Гармоническая арифметика
2.1.   Основные положения концепции оснований гармонической арифметики
2.1.1 О противоречивости канторовской теории множеств
2.1.2. Основные понятия гармонической арифметики
2.1.3. Аксиоматика числового класса ГАС первого экзистенциального уровня
2.1.4. Классификация  чисел в ГАС
2.2.   К основаниям гармонической теории чисел
2.2.1. Родо-видовое определение понятия число (аритмос)
2.2.2. Гармонические числовые системы
Заключение
Основные работы автора по проблемам гармонической математики и смежным вопросам, включая приложения

Предисловие

В настоящее время (как, впрочем, и на протяжении всего предшествующего исторического процесса) совокупное человеческое мышление устроено таким образом, что наиболее фундаментальные регуляторы ментальной деятельности людей являются, одновременно, и самыми консервативными, наименее подвижными компонентами их индивидуального и массового сознания.

Когда-то в древности это было, по-видимому, важнейшим условием выживания человеческого рода. Сейчас же подобное положение вещей совершенно недопустимо, поскольку абсолютно неоправданная в экзистенциальном смысле искусственная стагнация интерсубъективных оснований человеческого мышления уже несколько столетий является главным тормозом ментальной и социальной эволюции и поскольку многочисленные локальные достижения технического прогресса, осуществленные людьми в последние десятилетия, не сопровождаются необходимыми адекватными изменениями в базовых механизмах человеческого мышления и социальной организации.

Фактически мы, сами того не замечая, уже многие столетия развиваемся исключительно по эволюционной «горизонтали», занимаясь лишь ускоренным удовлетворением так называемых «актуальных» (самых очевидных и наиболее биологически детерминированных) своих потребностей, совершенно не заботясь о формировании принципиально новых базовых механизмов мышления и социальной эволюции,  то есть о «вертикальном» прогрессе человеческого сообщества, потребность в котором до сего времени, к сожалению, все еще пребывает в разряде «потенциальных», «латентных».

При этом, если в прошлые века указанный диспаритет между «горизонтальным» и «вертикальным» видами прогресса был минимальным и относительно безопасным (в силу низких темпов развития всех без исключения видов экзистенциальной активности человека), то сегодня он становится катастрофически большим и прямо угрожает существованию человеческого рода.

Сказанное касается всех сфер жизнедеятельности людей, но особенно удручающим является положение дел в религии и в дисциплинах логико-математического комплекса.

Дело в том, что в обеих указанных сферах основания человеческой ментальности не просто стагнированы на тысячелетия (по факту, так сказать). Они блокированы в своем развитии осознанно и целенаправленно. Каждая из названных влиятельнейших сфер ментальной и общественной жизни имеет мощную встроенную подсистему, направленную на недопущение каких-либо изменений (инноваций) стратегического характера в своей предметной области (включая жесткое подавление любого инакомыслия).

При этом речь идет даже не о печально известной католической инквизиции, физически лишившей жизни сотни тысяч людей в средние века, хотя для многих именно этот институт является символом религиозного догматизма и нетерпимости. В гораздо большей степени речь идет о хорошо организованном (в каждой из названных сфер в отдельности) институте «ортодоксов», предназначенном выполнять одну – единственную функцию: осуществлять тотальную ментальную анестезию, блокирующую способность отдельных людей и человеческого сообщества в целом чувствовать и осознавать самопротиворечивость и общую экзистенциальную неэффективность принятых тысячелетия назад стратегических ментальных решений (прежде всего – базовых представлений о бесконечности), полностью детерминирующих (осознаем ли мы это или нет – совершенно неважно) важнейшие контуры человеческой ментальности и истории в целом.

Можно было бы привести многочисленные примеры жесткой связи базовых религиозных и логико-математических представлений в произвольно взятой человеческой цивилизации, а также реконструировать основные механизмы их влияния на характер исторического процесса (и это будет сделано в свое время), однако главной задачей настоящей работы является экспликация общего положения дел в сфере логики и математики и осмысление возможных путей выхода из того всеобъемлющего кризиса оснований человеческой рациональности, в котором мы перманентно пребываем.

Как представляется, единственным решением проблемы тотального застоя в сфере оснований человеческого мышления и перехода к принципиально новым стратегиям ментальной и социальной эволюции является формирование и культивирование института ментальных (инновационных) войн, способного  в короткие сроки осуществлять революционные по своему значению сдвиги  в  базовых механизмах человеческой рациональности.

Назначение настоящей работы, как это вытекает из ее названия, – служить введением (пролегоменами) или, иначе, своего рода преамбулой к первой (экспериментальной) инновационной войне по основаниям гармонической математики, подготовка которой заняла более семи лет.

 Основное содержание работы.  Предлагаемая вниманию философско-математического сообщества работа представляет собой сборник основных докладов, прочитанных автором и обсужденных на семи общероссийских конференциях по философии математики, прошедших в период 1995-2002 гг.

Каждый из четырех докладов, представленных в сборнике, характеризует одну из важнейших (по мнению автора) сторон общего кризиса человеческой ментальности применительно к сфере оснований логики и математики. Взятые вместе, они составляют концептуальное ядро, общий замысел проекта «Метаапейрон» (определенная бесконечность), который  реализуется автором  с 1985 года – и по сей день.

Выбор материала (в сборник не включены многие важные идеи, рассматривавшиеся в других публикациях автора, не говоря уже о последних разработках) был обусловлен стремлением сосредоточить внимание членов философско-математического сообщества, готовых принять участие в предлагаемой инновационной войне, на тех (и только тех) проблемах и идеях, которые уже им в какой-то мере знакомы (обсуждались на указанных выше конференциях) и не вызывают в настоящее время априорного ментального отторжения.

Это обстоятельство, впрочем, не является ограничительным условием предлагаемой инновационной войны (ее участники безусловно вправе использовать в поддержку своих позиций произвольные аргументы и свободно критиковать любые другие идеи, лежащие в основе замысла гармонической математики) (см. Список основных работ автора в конце сборника). 

Сборник состоит из двух частей, первая из которых посвящена  философским основаниям гармонической математики, а вторая – вопросам построения гармонической арифметики как одной из важнейших компонент человеческой ментальности нового типа.

В каждую из названных частей в качестве самостоятельных глав входят доклады, о которых говорилось выше. Размещение материалов (докладов) в сборнике было осуществлено не в хронологическом порядке (в порядке их представления философско-математическому сообществу на конференциях), а исходя из внутренней структуры предметной области и логики  предстоящей инновационной войны.

Исходя из сказанного, содержание первой части «Пролегоменов …» составили доклады:

1.1. Инновационная война как способ оптимизации эволюции логико-математических систем и

1.2. Математика как техническая наука: воспоминание о будущем.

В названных докладах-главах рассматриваются общий механизм эволюции логико-математического знания, включая специальные высокоэффективные средства ускорения этого процесса – инновационные войны, и замысел становления математики в качестве технической науки нового типа, способной ускоренно переосмыслять и непрерывно реконструировать самые глубокие основания своего существования.

Содержание второй части «Пролегоменов …» составили доклады:

2.1. Основные положения концепции оснований гармонической арифметики и

2.2. К основаниям гармонической теории чисел.

Эту часть сборника можно рассматривать как попытку реализации общих идей, заложенных в докладах первой группы.

Глава 2.1. посвящена проблеме доказательства противоречивости классической арифметики, основанной на идеях канторовской теории множеств, и создания (проектирования) арифметики, базирующейся исключительно на абстракции актуальной бесконечности (гармонической арифметики). 

В главе 2.2. делается попытка демонстрации того факта, что даже относительно непротиворечивая часть классической арифметики (арифметика конечных чисел), является лишь чрезмерно догматизированным предельным частным случаем гармонической арифметики. В этих целях в тексте дается авторское родо-видовое определение понятия число (аритмос), а также намечаются контуры принципиально новых теоретико-числовых систем, не имеющих аналогов в классической арифметике. 

Общий замысел первой (экспериментальной) инновационной войны по основаниям гармонической математики

Причины первой инновационной войны. Кроме уже названных выше причин общего характера, можно указать три главные причины, побудившие автора инициировать инновационную войну по основаниям гармонической математики именно во второй половине 2002 года и в той конкретной (организационно упрощенной) форме, которая будет изложена ниже.

Первая причина – переход ряда уважаемых членов российского философско-математического сообщества от априорного немотивированного отрицания основных идей гармонической логико-математической парадигмы (фаза «этого не может быть») – к попыткам их критического осмысления и селекции «рациональных зерен» (фаза «в этом что-то есть»).

Для осуществления этого знаменательного «ментального сдвига», достаточно наглядно проявившегося на сентябрьской 2002 года Общероссийской конференции философско-математического сообщества по числу, потребовалось семь лет. И это свидетельствует о достаточно высоком инновационном духе российского философско-математического сообщества (автор не рассчитывал пройти этот этап ранее, чем лет за 20-30).

Новая аксио-гносеологическая ситуация породила и новые проблемы.

Первая проблема – отсутствие целостного восприятия членами сообщества предлагаемой автором гармонической математической парадигмы.

Многие исследователи воспринимают чрезвычайно семантически «плотную» — с точки зрения качества и количества внутренних связей между ее подсистемами — гармоническую логико-математическую парадигму как некую аморфную совокупность слабо связанных друг с другом исследовательских направлений.

Соответственно, для решения названной проблемы необходима некоторая комплексная когнитивная ситуация (инновационная война), которая продемонстрировала бы целостность предлагаемой логико-математической парадигмы, то есть тесную связь и взаимообусловленность всех ее относительно самостоятельных подсистем.

Вторая проблема – неполная адекватность восприятия и интерпретации основных идей гармонической логико-математической парадигмы членами философско-математического сообщества, связанная с подспудным (не осознаваемым в полной мере) негативным воздействием на их ментальность классических логико-математических теорий.

В качестве иллюстрации данного тезиса можно привести следующий свежий пример. В одной из своих последних работ (2002 г.) С.Н. Бычков – первый философ математики, который с самого начала (1995 г.) открыто высказал мнение о справедливости проведенной автором настоящей работы критики канторовской теории множеств и правомерности существования актуалистского подхода к логико-математическим системам и который знает гармоническую парадигму лучше подавляющего большинства других членов сообщества, —  написал, в частности: «Внешним отрицанием метасуждения «Суждение p истинно» (p – логическая переменная) является метасуждение «Суждение p не является истинным» или, эквивалентно, «Суждение p является неистинным». Последнее же в гармонической логике может быть заменено на следующую строгую дизъюнкцию: «Суждение p либо бессмысленно, либо является недостаточно определенным, либо ложно»» (процитировано по рукописи С.Н. Бычкова, подготовленной к печати).

В приведенной цитате, внешне корректной и – вроде бы – вполне отвечающей принятому в гармонической логике закону исключенного пятого (ЗИП): «из двух противоречащих суждений одно непременно истинно при условии осмысленности и достаточной определенности обоих суждений», невольно, как представляется (вследствие неконтролируемого, автоматического воздействия на процесс мышления традиционной логики), совершена довольно грубая логическая ошибка, совершенно искажающая основной смысл ЗИП.

Дело в том, что никакой корректной дизъюнкции между приведенными выше утверждениями на самом деле быть не может. В рамках гармонической логики в каждом конкретном случае должны рассматриваться три — следующие строго одна за другой в процессе рассуждения — дизъюнкции: (а) «Суждения p и не-p осмысленны (небессмысленны)» — «Суждения p и не-p бессмысленны (неосмысленны)»; (б) «Суждения p и не-p достаточно определенны”» — «Суждения p и не-p недостаточно определенны» и, наконец, (в) «Суждение p истинно» — «Суждение p – ложно (неистинно)».

Здесь важно подчеркнуть, что – в соответствии с требованиями ЗИП — произвольно взятые суждения p и не-p могут быть осмысленными или бессмысленными (неосмысленными), достаточно или недостаточно определенными только в паре (в составе целостной дизъюнкции). И лишь (вместе) пройдя тест (фильтр) на осмысленность и достаточную определенность, они (на завершающем этапе трехактного рассуждения) могут быть рассмотрены с точки зрения дихотомии истинное – ложное (неистинное).

Например, суждения «число девять – синее» и «число девять – не-си-нее» с точки зрения ЗИП оба бессмысленны. Аналогично, суждения «шахматная доска – белая» и  «шахматная доска – не-белая» — хотя и оба осмысленны, но оба недостаточно определенны. И лишь пара суждений вида: «шахматная доска – на 50 процентов белая» (И) и  «шахматная доска – не на 50 процентов белая» (Л), образовавшаяся после уточнения (квантитативного доопределения) предыдущей пары суждений, может быть предметом истинностной оценки.

В этом смысле сказать, как это предлагает С.Н. Бычков, что в гармонической логике корректно противопоставление (дизъюнкция): «суждение p истинно» — «суждение не-p или бессмысленно, или недостаточно определенно или ложно», — значит априори полностью отказать гармонической логике в какой бы то ни было осмысленности вообще, не говоря уже о достаточной определенности и гносеологической истинности (ситуация, когда, например, p истинно, а не-p бессмысленно или когда  p истинно, а не-p недостаточно определенно, абсолютно невозможна).

Указанную ошибку интерпретации ЗИП можно рационально объяснить только одним обстоятельством: в традиционной логике в принципе не суще­ствует жестко обусловливающих друг друга парных дихотомических триад (или, иначе, интегрированных трехуровневых дизъюнкций) и С.Н. Бычков — по вполне простительной ментальной инерции, обусловленной многолетней профессиональной практикой строгих рассуждений в рамках традиционной логики, — попытался построить классическую одноуровневую дизъюнкцию: «p истинно —  не-p или бессмысленно, или недостаточно определенно или ложно», не осознавая, по-видимому, что подобная трактовка ЗИП попросту неверна и, будучи приня­той (последовательно проведенной), полностью уничтожает (обессмысливает) гармоническую логику как ин­струмент гносеологически эффективного мышления.

Другими словами, в приведенном рассуждении С.Н. Бычкова была предпринята вполне понятная с психологической точки зрения попытка «при-ведения» гармонической логики к стандартной «системе ментальных координат» или, иначе, попытка «измерения» и интерпретации новой логики средствами старой.

Это, как представляется, невозможно, поскольку гармоническая логика много шире (универсальнее), глубже (в сущностном плане), строже и функционально богаче (одновременно) традиционной и, соответственно, во всех рассуждениях, предпринимаемых в ее рамках (о ней самой – в том числе), необходимо исходить из ее собственных требований и оснований.

Отсюда проблема: если уже С.Н. Бычков, который по праву может считаться человеком, практически не имеющим аксиологических предубеждений и психологических барьеров (фрустраций) в восприятии нового, то есть способным к мгновенному адекватному «схватыванию» и принятию самых радикальных ментальных инноваций (если они достаточно обоснованны), иногда оказывается столь подверженным (подсознательному) деструктивному влиянию классической логики и общепринятых ментальных штампов, то какой же ментальной реакции нужно ожидать от других членов философско-математического сообщества?

А ведь в гармонических логике и математике есть сотни достаточно тонких по своей семантике моментов, о которые можно достаточно легко «споткнуться», если подходить к их разрешению с традиционных точек зрения…

Вот почему крайне важно как можно быстрее снять все двусмысленности и неточности в восприятии философско-математическим сообществом гармонической логико-математической парадигмы. А это возможно только в ходе концентрированной во времени (2-3 месяца) – пусть и локальной по масштабу, то есть числу участников, — инновационной войны.

Вторая причина, тесно связанная с первой, состоит в том, что все основные идеи, выносимые в настоящее время на инновационную войну по основаниям гармонической математики, были разработаны автором до 1995 года. И поскольку даже эти разработки еще не нашли полного понимания и одобрения (или аргументированного опровержения) со стороны философско-математического сообщества, то представление (публикация) результатов 1995-2002 гг. (артеомика, теория ментальных объектов, общая теория ноотопоценозов, темпоральная гармоническая логика, гармоническая метаматематика, ряд специальных разделов гармонической математики), полученных на основе гармонической логико-математической парадигмы, лишается всякого смысла.

Действительно, совершенно контрпродуктивно (если не бессмысленно), например, говорить что-либо о рациональных, действительных, комплексных и т.п. производных числах человеку, который даже (базовые) натуральные числа не признает в качестве легитимных ментальных объектов.

Выход – форсирование принятия (или опровержения) гармонической логико-математической парадигмы философско-математическим сообществом путем проведения достаточно репрезентативной – пусть и не тотальной по масштабу — инновационной войны.

Третья причина – невозможность проведения в ближайшем будущем полномасштабной (тотальной)инновационной войны по основаниям математики, представляющей собой хорошо организованное развернутое очное ментальное противоборство множества взаимно альтернативных (открыто конкурирующих друг с другом) новых логико-математических парадигм, предполагающее участие в этом процессе всех наиболее дееспособных членов философского и логико-математического сообществ.

Это обусловлено, во-первых, отсутствием достаточного количества финансовых средств и организационных ресурсов, необходимых для крупномасшабной инновационной войны, и, во-вторых, крайней ограниченностью множества фундаментальных формальных ментальных систем – претендентов на статус новой логико-математической парадигмы, преодолевающей противоречия старой и включающей в себя последнюю (ее непротиворечивые подсистемы) в качестве предельного частного случая. 

Соответственно, на первых порах целесообразно ограничиться проведением локальной по масштабу и упрощенной по форме (экспериментальной) инновационной войны по основаниям одной (уже имеющейся в наличии) логико-математической парадигмы нового поколения – гармонической математики.

В дальнейшем, если этот опыт будет признан успешным, практику инновационных войн в логико-математической сфере можно будет существенно обогатить и расширить.

Основная проблема инновационной войны – углубляющееся в современных условиях противоречие между объективной общественной потребностью в эффективных непротиворечивых логико-математических парадигмахновых поколенийи отсутствием адекватных данному требованию инновационных фундаментальных формальных ментальных систем, обусловленным – прежде всего – имеющей место в логико-математическом сообществе порочной практикой табуизации и априорного аксиологического дезавуирования (маргинализации) предлагаемых отдельными исследователями и разработчиками радикальных нововведений. 

Предмет инновационной войны

(1) Процесс прогрессивной эволюции ментальных оснований наиболее фундаментальных логико-математических систем в целом;

(2) Гармоническая логико-математическая парадигма как возможная альтернатива традиционным дисгармоническим (самопротиворечивым) и неуниверсальным (частным, онтологически и гносеологически неадекватным) логико-математическим системам.

Общие цели инновационной войны

(1) Активизация усилий российского философско-математического сообщества в теоретическом осмыслении и ускорении процесса прогрессивной эволюции оснований логико-математического знания;

(2) Отработка на практике технологии инновационной войны как эффективного средства ускорения процесса прогрессивной смены поколений логико-математических систем;

(3) Осуществление российским философско-математическим сообществом многосторонней и многоуровневой экспертизы предлагаемой гармонической логико-математической парадигмы (в первую очередь – концепции гармонической арифметики).

Организационный механизм инновационной войны

1. Для проведения предлагаемой первой инновационной войны достаточно согласия на участие в ней 8-10 активных членов российского философско-математического сообщества в качестве ноокомбатантов и еще 2-3 авторитетных — для всех заинтересованных сторон — ученых в качестве арбитров.

2. Количество возможных фаз инновационной войны – с учетом ее экспериментального характера – целесообразно сократить до двух: (а) этапа разведывательных сражений (операций) и (б) этапа генерального сражения.

На этапе разведывательных сражений (операций) должен быть определен круг конкретных вопросов, по которым ноокомбатанты не согласны друг с другом, и, кроме того, должно произойти разделение участников инновационной войны на два противоборствующих лагеря: «за» и «против» гармонической логико-математической парадигмы.

Технически это может выглядеть следующим образом: через обусловленное время после начала (официального объявления) инновационной войны все участники должны представить свои письменные заключения (комментарии) по предмету инновационной войны (по предложенной автором настоящей работы гармонической логико-математической парадигме или, более узко, концепции гармонической арифметики), а также заполнить Анкеты участника инновационной войны.

В течение двух недель после получения заключений (комментариев) и Анкет участников каждый автор готовит развернутые ответы по существу всех поднятых вопросов и передает их арбитрам инновационной войны, которые знакомят с ними всех участников. При этом отвечать на вопросы и критические замечания противников гармонической логико-математической парадигмы могут также участники инновационной войны, позиционирующие себя как ее сторонники (факультативно).

Ознакомившись с ответами автора и позитивными комментариями сторонников гармонической логико-математической парадигмы (если таковые будут иметь место), ноокомбатанты письменно выражают и кратко мотивируют свое удовлетворение или неудовлетворение полученными разъяснениями.

Вопросы, по которым не было достигнуто согласие на этапе разведывательных сражений (операций),систематизируются, уточняются, формализуются и выносятся на этап генерального сражения.

В ходе генерального сражения противоборствующие стороны должны либо отстоять свои позиции, либо признать правоту оппонентов. Правомерен также немотивированный отказ от признания правоты оппонентов, который, однако, должен быть в явном виде зафиксирован в протоколе (хронике) инновационной войны.

Технически генеральное сражение должно выглядеть следующим образом: после утверждения списка вопросов (тем), образующих «театр (развернутый предмет) инновационной войны», каждый из ноокомбатантов письменно формулирует и мотивирует свою базовую позицию по всей предметной области или какой-то ее части. 

Затем ноокомбатанты однократно перекрестно комментируют друг друга, после чего всеми участниками инновационной войны заполняются итоговые анкеты. При этом по наиболее острым и важным вопросам возможны двух- или трех- итерационные взаимные экспресс-комментарии с однодневным шагом написания и представления.

Далее арбитры инновационной войны знакомятся со всеми материалами, предоставленными участниками (ноокомбатантами), и выносят объективное итоговое заключение о научных результатах полемики.

На этом инновационная война заканчивается (с возможностью ее возобновления – по согласию сторон — в будущем).

3. Все исходные (базовые) и оперативные материалы инновационной войны с лагом в 1-2 дня будут публиковаться на специально созданном для этой цели сайте в сети Интернет и храниться на нем не менее 3-х лет. 

При этом к проходящей инновационной войне в качестве полноправных участников (ноокомбатантов) могут присоединиться любые пользователи сети Интернет, проявившие в своих инициативных комментариях и репликах на досках объявлений профессиональное понимание предметной области. Это позволит привлечь к участию в инновационной войне специалистов в области философии математики и логики, проживающих в различных городах России или даже (факультативно) в других странах.

Для удобства коммуникации участников на указанном выше сайте будут открыты общая и специализированные доски объявлений («борды»), разнофункциональные почтовые ящики, «философский чат», многоуровневые системы автоматизированного голосования, лента новостей инновационной войны, а также (по их желанию) персональные странички ноокомбатантов и арбитров.

По итогам первой экспериментальной инновационной войны планируется выпустить книгу, подробно отражающую ее ход (хронику) и результаты.

Как представляется, подобная упрощенная форма проведения инновационной войны – компактная во времени и не требующая значительных финансовых затрат и организационных усилий – может оказаться весьма эффективной для разрешения серьезных межпарадигмальных споров во многих областях знания, что – в свою очередь – стимулирует (актуализирует) общественную потребность в проведении крупномасштабных (тотальных) инновационных войн как стратегических средств обеспечения «вертикального» ментального и социального прогресса.

1.    Философские основания гармонической математики

1.1. Инновационная война как способ оптимизации эволюции логико-математических систем

В настоящей статье в общем виде рассматривается  новая  технология  массового познания и творчества, способная (при ее адекватном систематическом использовании) существенно ускорить решение фундаментальных научных, технических и общесоциальных  проблем, стоящих перед человеческим сообществом на рубеже тысячелетий.

Речь идет об особом механизме организации массового гносеологического процесса в наиболее сложных междисциплинарных предметных областях, получившем название «инновационная война».

Данная технология многие годы разрабатывалась и шлифовалась автором в рамках Программы «Метаапейрон», реализуемой ФФИ «Апейрон». В частности, некоторые элементы технологии инновационных войн были в экспериментальном порядке успешно применены в ходе совместной инновационной игры ФФИ «Апейрон» и ЦСГО МГУ по теме: «Университетское образование в третьем тысячелетии», состоявшейся в 1991 году (около 200 участников).

Технология инновационных войн по состоянию на сегодняшний день крайне сложна и многоаспектна, что делает невозможной задачу сколь-нибудь подробного описания даже основных ее подсистем и компонентов в ограниченной по объему статье. 

Поэтому основные акценты в настоящей работе будут сделаны (с учетом специфики предполагаемой читательской аудитории) на общелогических и гносеологических особенностях  этого «нового органона» и на возможности его применения к задаче оптимизации эволюции логико-математических систем.

1.1.1. Понятие и сущность инновационной войны

Для полного определения какого-либо достаточно простого объекта или явления, как правило, достаточно выявить его ближайший род, указать видовое отличие и проследить  эволюцию.

Применительно к сложным синтетическим объектам мышления такой подход часто оказывается недостаточным. Дело в том, что синтетический объект часто имеет не один, а несколько ближайших родов, одинаково важных для его правильного понимания и интерпретации. В таких случаях вначале дают частные дефиниции конструируемого идеального объекта — понятия, а потом объединяют их в некоторое интегральное определение, представляющее собой своего рода «семантический конфигуратор» предшествующих.

Именно к таким сложным синтетическим объектам мышления и относится понятие «инновационная война».

Выделим (из множества необходимых и возможных) лишь два родовых понятия, наиболее существенных, на наш взгляд, для определения понятия «инновационная война».

Эти родовые понятия суть следующие: война и логическая система.

Следующим шагом мы должны представить «инновационную войну» как  особый вид войн и логических систем.

Рассмотрим вначале «инновационную войну»  как войну особого рода.   

Определим войну вообще как способ насильственного разрешения противоречий произвольной природы между социальными субъектами.

Соответственно, множество войн наиболее существенным для нашего изложения способом можно разделить на классы по критерию  доминирующего типа применяемого в ходе боевых действий насилия. Существуют следующие наиболее «типологически чистые» виды насилия: физическое, экономическое, психологическое и интеллектуальное.

Это дает нам четыре основные категории войн: физические, экономические, психологические и интеллектуальные.

Физические войны — это войны, в которых доминирующим видом применяемого насилия является насилие физическое, направленное на уничтожение (или подавление дееспособности) живой силы противника.

Экономические войны — это войны, в которых доминирующим видом применяемого насилия является экономическое насилие, направленное на минимизацию материальных ресурсов существования противника или на контроль над ними.

Психологические войны — это войны, в которых доминирующим видом применяемого насилия является психологическое насилие, направленное на подавление психологической устойчивости, внутренней я-концепции противника и/или на дискредитацию последнего в глазах более широкого социального сообщества. К психологическим войнам можно отнести, кроме прочего, все виды недобросовестного идеологического противоборства, направленные на дезавуирование противника, как такового, а не его интеллектуальной позиции, софистические споры, «войны компроматов» и т.п.    

Особой разновидностью психологических войн, где психологическое насилие скрывается под маской мнимой объективности, является известная еще в античности логомахия (от греч. слова «логос» — слово и «махе» — спор) — такое интеллектуальное противостояние, когда стороны, не определив вначале  строго предмет спора и критерии истинности утверждений, полемизируют друг с другом по той лишь причине, что оперируют неточными терминами, преследуя при этом, по-видимому, весьма далекие от поиска истины цели.           

Общей чертой названных широко представленных в человеческой истории видов войн является то обстоятельство, что перечисленные основные виды насилия применяются, главным образом, непосредственно к противнику, силовое воздействие осуществляется «на игрока», а не «на мяч».

В этом смысле совершенно особым и редко  применяемым видом войн являются интеллектуальные (или, иначе, ментальные) войны — войны, в которых  единственно допустимым видом применяемого насилия является насилие интеллектуальное, направленное на доказательство истинности собственной интеллектуальной позиции, системы выдвигаемых тезисов по какому-либо вопросу и, соответственно, ложности позиции противника, а не на дискредитацию (или подавление) интеллекта, психологической устойчивости или каких-то еще  качеств  и интересов противника как такового.

Насилием здесь является акт принудительной замены в сознании противной стороны некоторой ложной позиции на противоположную ей истинную позицию под воздействием исчерпывающе достоверной и убедительной аргументации.

Прототипом интеллектуальных войн, о которых идет речь, в некотором смысле  можно считать древнегреческий  спор, диалог, очищенный от софистических технологий и логически некорректных уловок, нацеленных на достижение интеллектуальной победы «любой ценой» — независимо от истинности отстаиваемой позиции.    

С некоторой натяжкой к жанру интеллектуальных войн можно отнести также такую современную форму организации коллективного интеллектуального процесса с взаимно противоречивыми позициями и интересами сторон как научная дискуссия (если она нацелена не на простой обмен мнениями и простое уточнение позиций дискутантов, а на обязательное доказательство правоты одной из сторон или на непротиворечивый синтез исходных позиций противников).

Интеллектуальные войны, в свою очередь, могут быть поделены на два четко различимых класса: репродуктивные войны и инновационные войны.

Репродуктивные войны определим как интеллектуальные войны, направленные на доказательство каких-либо известных, но не в полной мере доказанных истин или истин новых, но несущественных для развития той или иной научной дисциплины, по которым у различных субъектов мышления могут быть противоположные взгляды. Универсальная цель репродуктивной войны — упорядочение, расширение и гармонизация существующего знания, накопление мелких полезных инноваций, снятие частных  интеллектуальных противоречий между комбатантами.

Соответственно, инновационные войны (с учетом произведенных выше делений понятия войны) единственно логически корректным образом могут быть определены как интеллектуальные войны, направленные на генерацию и доказательство каких-либо качественно новых истин, идей (их множеств), более адекватных действительности и более эффективных в том или ином существенном для человеческой эволюции отношении, чем старые.

Универсальная цель инновационной войны — максимизация общей человеческой способности к существованию в произвольной среде обитания, интеллектуальное развитие в широком смысле, осуществление фундаментальных прорывов в неопределенных, плохо структурированных полидисциплинарных предметных областях, имеющих стратегическое научное или общесоциальное значение, полная реконструкция оснований давно сложившихся, устойчивых научных дисциплин.

Другими словами, в общем случае инновационная война — это способ разрешения фундаментальных антагонистических гносеологических или аксиологических противоречий эволюционного характера между различными социальными субъектами в произвольной предметной области путем применения сторонами логически корректного интеллектуального насилия (принудительного установления истинности одних тезисов и ложности других).

Рассмотрим теперь определение инновационной войны как особой логической системы. Определим, вначале, понятие логической системы вообще.        

В данном вопросе мы исходим из следующих не вполне стандартных соображений.

Поскольку окружающий нас мир очевидно организован (по крайней мере — частично), то есть не абсолютно хаотичен, существует некоторый универсальный закон такого упорядочения, лежащий в основе всей совокупности частных законов бытия, изучаемых «естественными» науками, но не сводимый к ней, — абсолютный объективный логос. 

Человек эффективен в своей биологической и, шире, общекосмической борьбе за существование настолько, насколько адекватно он отражает этот универсальный закон упорядочения и развития мира (абсолютный объективный логос) по косвенным признакам (латентным следам) его проявления в реальности и умеет использовать свои знания в целях максимизации собственного экзистенциального потенциала.

На разных этапах эволюции человечества качество отражения абсолютного объективного логоса различно. Это необходимо свидетельствует, во-первых, о возможности (и реальности) существовании множества отличных друг от друга неравноистинных (в смысле адекватности, уровня соответствия абсолютному объективному логосу) субъективных логосов и, во-вторых, об их неравноценности как инструментов борьбы человека за существование.

Связь между экзистенциальной (эволюционной) эффективностью человека, его способностью к адаптации и преадаптации к  быстро изменяющимся условиям существования в широком смысле и степенью истинности его логического инструментария (уровнем соответствия абсолютному логосу) несомненна и  отражена уже в родовом определении человека как существа разумного. Вопрос состоит лишь в высоте способности человека к осознанному изменению наиболее фундаментальных параметров своей разумности, к ускоряющимся циклическим переходам ко все более высоким качественным  ступеням разума и соответствия абсолютному логосу.

Сделанные замечания позволяют в общем виде определить произвольную логическую систему (субъективный логос) как  некоторое относительно адекватное (ограниченно истинное), отчужденное от мыслящего социального субъекта (имеющее формальное языковое выражение) отражение абсолютного объективного логоса, являющееся, одновременно, средством (методом, технологией) эффективного мышления  и, шире, борьбы человека за существование.

В этой связи основную эволюционную проблему человечества можно определить как проблему выигрыша в экзистенциальной силе (способности к существованию в произвольно высокой степени неблагоприятной внешней среде и/или способности к максимально длительному существованию цивилизации) посредством создания и практического применения логических устройств и технологий новых поколений или, иначе, как проблему максимизации  человеческого существования  за счет осознанного «вертикального» прогресса в качестве разума вообще и в качестве его наиболее фундаментальной и продуктивной части — базовых логических систем — в особенности.

Данная трактовка позволяет говорить если не об актуальном существовании в общественном сознании нашей цивилизации, то о принципиальной возможности существования в одной духовной культуре иерархии взаимно субординированных логических систем (субъективных логосов), представляющих собой различные качественные уровни отражения абсолютного объективного логоса, а также об абсолютной истине особого рода — реально существующей, хотя и непознанной абсолютной логической истине.

Более того, становится возможным логически корректно рассуждать о различных степенях истинности (соответствия абсолютному объективному логосу) и сравнительной гносеологической эффективности несоизмеримых (или слабо соизмеримых) между собой логических систем, их поколениях и прогрессивной эволюции.

Это — ключевой момент конструируемого определения инновационной войны как специфической логической системы нового поколения с повышенными качественными характеристиками и, одновременно, центральная гносеологическая проблема, разрешаемая инновационной войной как универсальным метапарадигмальным инструментом  познания, как  метааксиоматическим методом.

В этом контексте уместно сделать несколько замечаний относительно соотношения  понятий «стиль» и «метод», весьма важных для понимания сущности инновационной войны.  Представляется, что «стиль» и «метод» — это однородные термины, имеющие ближайшим родом понятие «канон».

Понятие «канон», переводимое с древнегреческого просто как правило, предписание, сегодня, по нашему мнению, является предельно широким понятием, включающим в свой объем  любые (даже чрезвычайно общие) понятия, связанные с ограничивающей, аксиологической и прескриптивной (одновременно) функциями человеческого мышления — такие, как, например, мера, норма, образец, клише, формат, парадигма, алгоритм, фрейм и т.п.  

Необходимо подчеркнуть, что «канон» — это всегда осознанное искусственное ограничение предмета, средств и способов получения и представления результатов деятельности, осуществленное в каких-либо достаточно  существенных целях, а не некоторая  интрасубъективная особенность мышления или поведения того или иного субъекта.

Важно отметить, что совершенно неправомерны попытки отождествлять «стиль» или (тем более) «метод» какого-либо автора с индивидуальными особенностями его мышления или конструирования текстов. И «стиль», и «метод» всегда имеют вполне определенный интерсубъективный смысл.

Вместе с тем, «стиль» и «метод» — не просто независимые друг от друга однородные понятия, а понятия жестко субординированные, соответствующие (в каждом конкретном случае) различным степеням выраженности некоторых ключевых параметров мышления и, шире, деятельности человека, то есть отражающие разную количественную определенность некоторых общих качественных видовых признаков.

Речь идет, прежде всего, о таких общих свойствах любой человеческой деятельности, как уровень интерсубъективности (степень общепонятности, общедоступности и общезначимости), уровень прагматичности (степень телеологичности, практической полезности), уровень строгости (уровень точности и обоснованности применяемого понятийного аппарата и средств деятельности,  уровень однозначности получаемого результата).

В общем случае для любого общего предмета и субъекта деятельности, «стиль» всегда менее интерсубъективен, прагматичен и строг, чем «метод».

 В общем случае можно сказать также, что «стиль» первичен по отношению к «методу», то есть что «стиль» — это «недометод» (или, в лучшем случае, — «пра- метод») , а «метод» — это отшлифованный до максимальной интерсубъективности и полной семантической определенности и надежности (в пределе — алгоритмичности) «стиль» («метастиль»).  При этом важно подчеркнуть, что, хотя каждый «метод» имеет в своей основе некоторый первичный вполне субъективный (присущий его автору или группе авторов) «стиль», далеко не каждый (даже очень хороший) «стиль» способен дорасти до «метода». В этом смысле, в предположении тождественности предмета деятельности и качества результатов, самый плохой «метод» всегда на много порядков ценнее для общечеловеческой практики самого лучшего «стиля».

Если же говорить о таких жестко ориентированных на поиск истины сфер мышления как логика и математика, то преобладание значимости (ценности) «метода» над «стилем» здесь  просто абсолютно. Это вытекает хотя бы из того очевидного факта, что в  большинстве конкретных, хорошо формализованных областей логики и математики, в отдельных алгоритмах и процедурах «стилю» просто нет места (было бы абсурдно говорить о «стиле» построения категорического силлогизма или умножения чисел, например), а в более сложных и слабо формализованных областях «стиль» допускается к существованию только на ранних концептуальных стадиях — до тех пор, пока еще не найден какой-либо адекватный «метод» получения тех же или лучших (более сложных и/или глубоких) результатов. Последнее связано с тем фактом, что во многих важнейших случаях «стиль» вообще не в состоянии обеспечить требуемого уровня связности,  надежности  и качества (вообще говоря, — истинности) результатов. Речь идет, прежде всего, об изучении и проектировании больших и сверхбольших (по размерности и уровню связности) формальных и неформальных систем, где требуется  высокий уровень интеграции и координации усилий значительного числа субъектов деятельности, то есть априори высокая степень интерсубъектности и строгости общего знания, а также прагматичности, жесткой целенаправленности применяемых ментальных технологий.

  Говоря о понятии «инновационная война» применительно к логико-математической предметной области и в аспекте противопоставления понятий «стиль» и «метод», в некотором смысле можно сказать, что «инновационная война» — это  метаметод: (а) предназначенный для глубокой многоуровневой индустриальной переработки всех и всяческих «стилей» формального и неформального мышления с целью извлечения из них компонентов логически корректных и полезных общезначимых идей, массового производства полноценных «методов», применимых в ранее плохо формализованных сферах, и (б) направленный  на — в пределе — полное искоренение самого понятия «стиля» в логике и математике или, по крайней мере, резкое сокращение ареала его приемлемости и применимости (до «порога внутренней кухни» исследователя,  проектировщика и программиста). 

Обобщая сказанное, заключим: главное отличие «метода» от «стиля» в науке, аккумулирующее все прочие, состоит в том, что первый всегда позволяет реально, с максимально высоким уровнем надежности и строгости искать, фиксировать и доказывать истины, а второй лишь более или менее обоснованно на это претендует. 

Для адекватного определения инновационной войны как логической системы нового поколения в контексте сказанного нам необходимо сделать еще одно замечание.

Уже в античности наметилось жесткое противопоставление логических систем двух типов, которые мы условно назовем диалогическими и монологическими. 

Диалогические логические системы (ДЛС) предназначались для организации коллективного мышления двух субъектов (диалога), а монологические (МЛС) — для повышения продуктивности односубъектного мышления (монолога).

ДЛС, наиболее ранним и ярким представителем которых являлась древнегреческая эристика (единство диалектики и софистики), в силу вынужденного признания релятивности истины, ее зависимости от исповедуемых собеседниками способов идеализации действительности и избираемых критериев достоверности, изначально были крайне плохо формализованными и уязвимыми для всякого рода недобросовестных семантических и логических уловок, имевших целью добиться победы в споре «любой ценой». 

Иными словами, античным ДЛС, при всем их потенциально высочайшем гносеологическом и эвристическом потенциале, изначально в весьма скромной степени были присущи свойства интерсубъективности, прагматичности и строгости рассуждений и итоговых результатов. Отдельные блестящие образцы логической безупречности, убедительности и красоты в споре («Диалоги» Платона, например) лишь подчеркивали перманентную стилистичность ДЛС, невозможность эффективного применения ДЛС как надежного метода познания истины в общем случае.

Это обстоятельство было настолько существенным, что, в конечном счете, привело к полной деградации  искусства спора (диалога) и к абсолютному преобладанию монологических логических систем в научной и общечеловеческой практике.

Монологические логические системы (МЛС), самым показательным примером которых может служить логика Аристотеля, обладали существенно большими, чем диалогические, внутренними строгостью, прагматичностью и инструментальностью (технологичностью) и позволяли мыслящему субъекту (при достаточной точности определения исходных посылок) в конечное время приходить к принудительным выводам относительно истинности или ложности тех или иных утверждений.

МЛС обладали также тем преимуществом, что они позволяли единообразно мыслить и получать истинные утверждения относительно некоторого достаточно формализованного предмета мышления не одному лишь отдельно взятому субъекту мышления (человеческому индивиду), как это, казалось бы, следует из их названия, но неограниченному количеству субъектов, полностью отождествляющих свои наиболее общие гносеологические и аксиологические позиции по какой-либо предметной области с позициями своих предшественников и коллег, то есть как бы сливающихся в одного совокупного индивида с унифицированной системой мышления (свойство интерсубъективности МЛС).        

Названная совокупность свойств МЛС, обобщаемая понятием «методичность», способствовала тому, что МЛС явились ключевой предпосылкой существования науки в том виде, в котором мы ее имеем сегодня.

Вместе с тем, при всех своих преимуществах, МЛС оказались не в состоянии адекватно отображать и гармонизировать эволюционные процессы в науке,   синтезировать взаимно противоречащие интеллектуальные платформы (парадигмы) и крупные стилевые ориентации, сосуществующие в рамках одной предметной области, устанавливать сравнительную истинность и эффективность различных инструментов познания и предметных научных теорий и на этой основе своевременно и безболезненно проводить «плановую замену» устаревших или недостаточно общих стилей, методов, теорий и доктрин.

«Абсолютным мерилом» сравнительной истинности той или иной теории во все века было, по существу, количество ученых, являющихся ее приверженцами (членами соответствующей «научной школы») и имеющих доступ к средствам репрографии, а императивом отношения к инакомыслящим в науке до наших дней является средневековая пословица: «С еретиками не спорят — их сжигают».

Эти явления, приводящие к неоправданно длительному искусственному доминированию какого-либо одного научного стиля, неадекватно претендующего на истинность и общезначимость, и к несоизмеримости различных однопредметных научных теорий из-за их крайне деструктивной роли в развитии науки и человеческой эволюции в целом, со второй половины 20 века стали объектом пристального внимания общей гносеологии и теории науки (Кун, Лакатос, Фейерабенд и др.), однако эффективного общенаучного механизма ускоренного преодоления межпарадигмальных кризисов, установления точных значений сравнительной истинности и ценности различных взаимно противоречащих способов идеализации и интерпретации действительности  до сих пор выработано не было. Ниже, при анализе проблемы метаистинности и метаочевидности, будет показано — почему.

Долгое время считалось (особенно в странах «социалистической ориентации»), что механизм гармонизации и ускорения научной эволюции — равно как и любых других видов развития — существует и им является гегелевская диалектика, «обогащенная» марксизмом. Время показало, что это далеко не факт.

Попытка реанимации и дальнейшего развития древнегреческой диалектики, предпринятая  в 19 веке Г. Гегелем, кроме прочих, имела тот существенный недостаток, что это была, скорее, заявка на монологизацию диалектики (диалога), чем на диалектизацию (диалогизацию) монологической логики (монолога). Другими словами, Г. Гегель попытался научиться «в одиночку думать за двоих», волевым образом расставив воображаемых собеседников — соперников (стороны «диалектического противоречия») на контрарные и контрадикторные позиции и устранив при этом гармонизирующие весь процесс мышления традиционные формально-логические регулятивы и фильтры,  включая закон непротиворечия, — вместо того, чтобы задаться целью расширить формальную логику (монологику) с ее жесткими законами правильного мышления до уровня некоторой достаточно строгой металогической системы, эффективно регулирующей и организующей процесс полипарадигмального многосубъектного мышления.

Сказанное позволяет достаточно точно, хотя и предварительно, определить инновационную войну как синтетическую логическую систему, металогическую технологию нового типа, объединяющую в себе свойства формальной логики, монологики (прежде всего — методичность, способность к логическому насилию, принудительному доказательству тех или иных истин) и диалектики, диалогики (наличие двух и более сторон, полюсов антагонистической интеллектуальной коммуникации, преимущественная ориентация на анализ и интерпретацию «пограничных проблем», парадоксов, конфликтных ситуаций, процессов развития в широком смысле).

Важной особенностью инновационной войны как логической технологии нового поколения, — в отличие, скажем, от платоновской диалектики, — является то обстоятельство, что первая рассчитана на неограниченное число участников (полюсов) антагонистической интеллектуальной коммуникации.

Например, инновационные войны по наиболее принципиальным вопросам политического и социально-экономического развития той или иной страны могут насчитывать миллионы активных участников, объединенных в сотни взаимно антагонистичных общественно-политических группировок различной идеологических ориентации.

Поэтому инновационную войну, рассматриваемую как особую многополярную логическую систему, новую металогическую технологию упорядоченного массового мышления, позволяющую обеспечивать соизмеримость и строго устанавливать сравнительную истинность и ценность тех или иных взаимно противоречащих идеальных конструкций, назовем также «полилектикой» (или «полилогикой»), а собственно процесс многополюсной антагонистической интеллектуальной коммуникации, составляющий содержание инновационной войны, —  «полилогом»  (или «полиалогом» — на выбор).

Если говорить об аналогах или прототипах инновационной войны, то в качестве таковых не подходят в чистом виде ни классические формы интеллектуального противоборства (диалог, научная дискуссия), ни современные системы усиления коллективной интеллектуальности и креативности («мозговая атака», синектика, метод «Дельфи», организационно-деятельностные игры, инновационные игры в их стандартном варианте и т.д.). 

В мировой литературе существует (на уровне художественного замысла) единственная форма коллективного творчества и интеллектуального противоборства, соизмеримая, на наш взгляд, с инновационной войной по своему гносеологическому, методологическому и эстетическому потенциалам, — «игра в бисер» Г. Гессе.

Единственное существенное отличие между рассматриваемыми замыслами в аспекте целеполагания состоит в том, что главная цель «игры в бисер» — итерационное, эволюционное приближение к Абсолютно прекрасному, а «инновационной войны» — к  Абсолютно истинному. Если учесть, однако, что, возможно, Абсолютно истинное и есть Абсолютно прекрасное (и наоборот), то в своих целевых ориентациях оба замысла просто тождественны.

Что же касается отличий формы и способа реализации общей цели, то «игра в бисер» Гессе — это апология Стиля, а «инновационная война» — это апология Метода.  Это очень существенное отличие. Возможно, не случайно Г. Гессе не удалось достаточно четко сформулировать общий механизм и конкретные правила «игры в бисер». В романе при всем желании не найти и двадцати страниц описаний самой «игры в бисер» как коллективной формы интеллектуальной деятельности. Речь идет, в основном, о миро- и само-ощущениях главного героя — Магистра игры. Скорее всего, для замысла такого уровня глубины и универсальности в принципе невозможно  подобрать адекватную организационную форму, ориентированную на Стиль как высшую форму самореализации творческой личности (творческого коллектива). По-видимому, это связано с тем, что Стиль  таковой просто не является ни по определению, ни по существу. Для этого ему необходимо стать Методом. Но тогда «игра в бисер» перестает быть самотождественной. Она становится «инновационной войной».

Резюмируя сказанное, отметим, что, хотя мы подходили к определению инновационной войны с двух разных сторон, итоговые конструкты семантически довольно близки между собой и взаимно дополнительны.

Системообразующими признаками инновационной войны и как особой войны, и как специфической логической системы, полилектики являются:

— наличие многополюсного интеллектуального антагонизма среди потенциальных комбатантов в рамках некоторой точно очерченной предметной области;

— наличие по крайней мере одной принципиально новой идеальной конструкции фундаментального характера, претендующей на большую истинность и/или эффективность по сравнению со старыми;

— наличие специального логического инструментария, позволяющего обеспечивать соизмеримость и сравнимость предлагаемых комбатантами инноваций и гарантированно осуществлять акт интеллектуального насилия по отношению к менее истинным и менее эффективным идеальным конструкциям, то есть в полной мере доказывать их несостоятельность по отношению к более достойным претендентам;

— наличие специальных институтов и инструментов, позволяющих полностью блокировать применение недобросовестных логических и психологических уловок, направленных на достижение  победы «любой ценой».

1.1.2. Инновационная война как метааксиоматический метод

Приведенные  выше определения и параметры качества инновационной войны как интеллектуальной войны и логической системы особого рода, как метода  поиска и доказательства истин в условиях многополюсной антагонистической коммуникации могут быть квалифицированы лишь как абсурдная, внутренне противоречивая попытка конструирования «логического вечного двигателя», если они не подкреплены конкретными интеллектуальными и организационными механизмами, обеспечивающими реальность постулированных свойств.

Что же делает инновационную войну (по определению полисубъектную интеллектуальную систему) —  методом, инструментом познания и признания каких-либо интерсубъективных истин, если уже на уровне более простых диалогических систем, начиная с античности,  установление общезначимых истин в условиях антагонистической межсубъектной коммуникации считалось в каждом конкретном случае почти безнадежным делом, а в общем случае — ментальной пропастью без дна?

Для разъяснения ситуации нам необходимо обратиться к одному из наиболее загадочных и наименее исследованных интеллектуальных артефактов античности — «парадоксу бесконечного регресса» (regressus ad infinitam).

Данный парадокс, сформулированный в явном виде Секстом Эмпириком, но известный (на проблематическом уровне), по-видимому, на много веков раньше, сводится к следующему рассуждению: для доказательства истинности каких-либо посылок необходим некоторый критерий истины; последний также нуждается в верификации и требует нового  критерия истины и так далее — до бесконечности.

Древние греки по неведомым нам причинам сочли, что бесконечность эта дурная и отказались от каких-либо дальнейших исследований в данной области. Уже применение понятия «регресс» (от лат. regressus — обратное движение), которое однозначно истолковывается как деградация, упадок, тип развития, характеризуемый  понижением уровня организации, нисхождением от высшего к низшему, возвратом к изжившим себя формам и структурам к процессу поиска все более общих и совершенных критериев истинности знания свидетельствует, что либо античные ученые были в принципе не способны отличить «зерна от плевел», либо они разуверились в возможности получения интерсубъективных истин об истине и ее критериях средствами ДЛС, либо осознанно пошли на грандиозный аксиологический подлог и перевернули иерархию интеллектуальных ценностей на 180 градусов, чтобы оградить последующие поколения от «прелести»  (соблазна, ереси) метааксиоматизма. 

Так или иначе, поиск все более глубоких истин об истине, новых критериев истины и способов их обоснования (как самостоятельный род интеллектуальной деятельности)  получил в античной науке самый низший аксиологический ранг и, более того, стал своего рода «табу» для всех последующих поколений ученых.

Это обстоятельство, на наш взгляд, привело к двум результатам: (а) к созданию аксиоматического метода в его классической форме и (б) к деградации древнегреческой (а заодно и общечеловеческой) цивилизации.

Рассмотрим вначале утверждение «а)» о зависимости между отказом древних греков от углубления в сферу «дурной бесконечности» метааксиоматизма и метаистинности и созданием ими аксиоматического метода.

Действительно, не имея жесткой методологической установки на абсолютную порочность углубления в сферу метаоснований языка и мышления, метаистинности (создания иерархии критериев истинности) сверх некоторого заранее заданного минимально необходимого уровня, именуемого «очевидностью», вряд ли древние греки решились бы на такой фундаментальный, ответственный и весьма логически уязвимый шаг, как принятие в некоторой предметной области каких-либо достаточно субъективно выбранных утверждений (аксиом) за очевидно истинные без доказательства и даже без аргументирования в их пользу. Ведь все выводимые из некоторой системы аксиом истины являются истинными только в данной конкретной ментальной системе. Малейшее изменение аксиоматики, любой мало-мальски обоснованный намек на самопротиворечивость сразу же ставит под сомнение устойчивость всего выстроенного здания научной теории. Все ранее конвенционально истинные суждения и выведенные из них утверждения одновременно перестают быть истинными.

Установка же на порочность «бесконечного регресса» в сферу метаочевидного, метаистинного, метааксиологического и метарационального принципиально отрицает соизмеримость различных взаимно противоречащих аксиоматических систем, сосуществующих  в рамках одной предметной области, поскольку это потребовало бы полной реконструкции понятия истины и создания осмысленной многоуровневой иерархии критериев истинности и рациональности вообще. Возникает логический тупик, свидетельствующий о невозможности интерсубъективного знания как такового, что полностью подтверждает позицию софистов.

На наш взгляд, только инстинктивной солидарностью с древнегреческой трактовкой парадокса бесконечного регресса, то есть поистине зоологической боязнью «дурной бесконечности» различных по глубине уровней мышления и бесконечности вообще, а также леностью ума человеческого можно объяснить тот парадоксальный факт, что по миру до сих пор еще не «гуляют» сотни тысяч и миллионы совершенно равномощных (в смысле охвата предметной области), взаимно противоречивых, равноправных и равноистинных (в силу несоизмеримости в рамках «аксиоматического метода» и «метода принципов») логик, арифметик, геометрий, физик и прочих «точных» наук (не говоря уже о теологиях, философиях, социологиях  и т.п. «ограниченно точных» дисциплинах).

Подобный «Суперпарад наук» существенно подорвал бы всеобщую веру в эффективность аксиоматического метода в его древнегреческой и современной трактовках и, очевидно, в условиях отсутствия подходящей «интеллектуальной вакцины», способствовал бы массовому ментальному расстройству.

Другими словами, классический аксиоматический метод — это метод  распутывания «гордиевого узла» метаочевидности и метаистинности путем его разрубания и отбрасывания всех возможных альтернатив решения какой-либо универсальной ментальной проблемы кроме одной единственной, возводимой в ранг Суперканона, не подлежащего критике и развитию. В этом смысле классический аксиоматический метод — идеальный способ псевдорационализации и суперканонизации всех и всяческих религий и любых других фантомных порождений человеческого ума. Не случайно, что средневековые монахи Европы так любили Аристотеля и Евклида.

Так или иначе, будучи созданным в качестве  узкой тропинки умеренно эффективного мышления, ведущей между «Сциллой» дурной, по мнению античных греков, бесконечности метаочевидности и метаистинности и «Харибдой» ничем не регулируемого эмпиризма, аксиоматический метод сослужил хорошую службу в качестве первого, самого примитивного варианта разрешения (путем аксиологического уклонения от реального разрешения) «парадокса бесконечного регресса» и, возможно, спас человечество от коллективного помешательства.

Попытаемся теперь поаргументировать в пользу утверждения «б)» о зависимости между отказом науки от попыток рационального разрешения «парадокса бесконечного регресса» и кризисами древнегреческой и современной (западной) цивилизаций.

 Что касается древнегреческой цивилизации, то, в силу отрицания возможности, ценности и целесообразности углубления в «дурную бесконечность» метаочевидности (метаистинности, метарациональности) и одновременного врожденного презрения к эмпиризму и натурфилософскому экспериментированию, она отрезала себе оба возможных пути дальнейшей интеллектуальной эволюции (метааксиоматический и эмпирический) и, тем самым, обрекла себя на деградацию, застой, полную некомпенсированную релятивизацию интеллектуальных ценностей и самоуничтожение, что выразилось в итоговой неспособности эффективно противостоять внешним врагам, более лояльно относившимся к эмпиризму (по крайней мере, — как к способу выживания).

Что же касается деградации современной (западной) цивилизации, то ее причины лежат, на наш взгляд, в несколько иной, хотя и близкой области. Будучи наследницей античности в части базовых интеллектуальных ценностей, западная цивилизация до самого последнего времени не слишком утруждала себя  самостоятельными изысканиями в области оснований мышления, вполне удовлетворяясь накопленным древними греками ментальным потенциалом и соответствующими ему христианскими этическими ценностями.

«Мотором» западной цивилизации стала установка на  абсолютный, ничем (кроме ограничений инструментальной базы) не сдерживаемый эмпиризм, периодически подкрашиваемый более или менее правдоподобными теоретическими обоснованиями.  Это привело к  непреодолимому доминированию в массовом научном мышлении рационализма низшего уровня (прометеевского, эмпирического), который сегодня стал реальной угрозой  для выживания человечества и генератором глобальных антропогенных катастроф.

Выиграв в малом (в объеме эмпирического познания и в уровне жизни), западная цивилизация проиграла в главном (в качестве интеллектуальной эволюции и в потенциальном бессмертии), все более ускоряя свой конец.

Следует отметить также, что, по нашему мнению, наметившаяся с начала 20 века тенденция к росту уровня саморефлективности западной науки, к уточнению оснований логики и математики ничего общего не имеет с осознанной целенаправленной работой по разрешению «парадокса бесконечного регресса», по созданию иерархии уровней рациональности, по познанию метаочевидного и метаистинного.

Получив  к концу 19 века и к началу 20-го по 2-3 конкурирующие теории на одну базовую предметную область (помимо своей воли и вопреки собственным ценностям), западная наука начала осознавать свое развитие как кризисное, избыточно плюралистическое, расшатывающее, релятивизирующее сложившуюся за тысячелетия общечеловеческую сферу очевидного, почувствовала угрозу своему существованию в статусе наследницы нетленных базовых интеллектуальных ценностей античной культуры. В науке начались бесплодные лихорадочные попытки поверхностного саморефлексирования, экспериментирования с различными отдельно взятыми критериями истинности  в целях сохранения достаточной устойчивости оснований научного знания при одновременном сверхжестком (вследствие изначальной высокой импринтированности) отказе от целенаправленного проникновения в сферу метаочевидного.

Наверное, если бы плотность взаимно противоречащих конкурирующих теорий и стилей мышления на одну предметную область составила величину не 2-3/1, a 20-30/1 или 200-300/1, такой отказ был бы уже просто невозможен.

Названная тенденция сильно напоминает   панику на тонущем корабле, когда все матросы и пассажиры, расталкивая друг друга, пытаются любой ценой выжить здесь и сейчас, то есть стремятся найти хотя бы одну лодку, способную к пусть непродолжительному, но плаванию (на поверхности воды).

Совершенно очевидно, что подобная ситуация ничего общего не имеет с последовательным метааксиоматизмом. Процессу метааксиоматизации, осознанного познания метаочевидного и метаистинного существенно больше соответствует образ спокойного и методичного строительства глубоководного батискафа  и  постепенного безопасного погружения в нем на глубины со все большим давлением водной среды в надежде достичь твердого дна — абсолютной логической истины.

Все существующие на сегодняшний день попытки преодоления периодически спонтанно возникающих «кризисов очевидного» в различных науках  обречены на неудачу в силу того, что нельзя найти что-то абсолютно онтологически и интерсубъективно очевидное и непротиворечивое в какой-либо абстрактной предметной области, если нет достаточно мощных метаинструментов мышления, способных помочь различным субъектам познания искусственным образом сконструировать некоторое репрезентативное множество соизмеримых между собой теоретических идеальных объектов с несовпадающими «ареалами интерсубъективности» и — путем их сравнения и взаимного совершенствования — синтезировать некий новый теоретический идеальный объект, всесторонне удовлетворяющий заранее заданным общим критериям оптимальности.

«Метод проб и ошибок», приведший за века полусознательной эволюции к созданию используемых по сей день первичных моделей рациональности (формальных логических систем и соответствующих им частных аксиоматик) здесь не годится, поскольку  для этого требуются тысячелетия, которых у современного человечества (в предположении необратимости сегодняшних эволюционных тенденций) нет.

 Единственным решением проблемы, на наш взгляд, является осознанное культивирование наукой отстаиваемого в настоящей статье метааксиоматического метода, обладающего реальным потенциалом последовательного разрешения «парадокса бесконечного регресса«.

Сущность предлагаемого метааксиоматического метода — в создании иерархии логико-математических аксиоматик, каждая следующая (нижестоящая, более фундаментальная) из которых соответствовала бы все более общим, универсальным, все менее (оче)(вид)ным и даже все менее человеческим (хотя качественно и более высоким) уровням истинности (метаистинности) и рациональности (метарациональности).      

Говоря языком метафор, можно сказать, что понятие «(оче)(вид)ность»  как обобщающий критерий истинности каждой из избираемых аксиом и их систем, как апелляция к некоторому достигнутому в ходе естественной интеллектуальной эволюции невыразимому интерсубъективному уровню и типу рациональности должно быть повсеместно дополнено, а в ряде новых метапредметных областей и заменено понятиями анти-, квази-, пара-, супер-, гипер-, суб- (оче)(вид)ности, (оче)(род)ности, (оче)воспринимаемости, (оче)из-бираемости, (оче)проницаемости, (оче) ин- и де- дуцируемости, (оче)синтези-руемости, (оче)проецируемости, (оче)структурируемости, (оче)-конденсиру-емости, (оче)измеримости, (оче)созерцаемости, (оче)отчуждаемости, (оче)от-страняемости, (оче)корректируемости, (оче)верифицируемости и т.п., которые сегодня могут рассматриваться лишь как странные неологизмы, не несущие в себе какой  бы то ни было семантики, но завтра будут терминами, характеризующими различные достаточно тонкие аспекты  метаочевидности и метаистинности.

Чтобы продолжать оставаться «мерой всех вещей» еще сколь-нибудь длительное историческое время, то есть попросту существовать в «этом мире», современный человек  должен выйти в  принципиально новое метаизмерение, стать «идеально гибкой масштабной ментальной линейкой» с гораздо более точными и, одновременно, широкими умственными делениями, чем сегодня, то есть перейти из сферы примитивно очевидного и эмпирически верифицируемого к сфере рационального (и все более рационализируемого) откровения.

Ответ на вопрос «как это сделать?» если и не (оче)(вид)ен, то (оче)роден,  (оче)воспринимаем, (оче)конденсируем и (оче)синтезируем и на примитивном уровне уже опробован в ходе человеческой эволюции.

Известно, что на ранних фазах истории первобытного общества ни один человеческий индивид не был полноценной личностью, человеком в современном понимании. Личностью, Человеком, самодостаточным миро — и само- сознанием был лишь человеческий коллектив (род, племя и т.п.) в целом. Постепенно, по мере развития языка и мышления, осознания предиката «быть личностью, человеком», то есть по мере обретения индивидуального самодостаточного миро- и само- сознания, личностью, человеком стал и каждый член племени. Интуитивно и эмпирически (оче)видное для (сотен глаз) племени как целого постепенно, в процессе конденсации и формализации универсального знания, латентных логико-математических архетипов становилось (оче)видным и для (двух глаз) отдельного индивида и осознавалось как таковое.

Подобным же образом и сегодня каждый отдельно взятый человек —  достаточно скромная «визуальная» и ментальная сила, даже если он — гений. Напротив, человеческое (более узко — научное) сообщество в целом  — несоизмеримо более высокая и мощная «визуальная» и ментальная сила, которая, если ее рассматривать в качестве целеустремленной самосознаваемой целостности, может на полном основании трактоваться как совокупный Сверхчеловек, Суперразум.  Будучи жестко канализированной специальными организационными формами коллективного познания и творчества (типа инновационных войн) на порождение иерархии все более и более универсальных аксиоматик и метааксиоматик мышления, концепций и критериев истинности (пусть и не имеющих сиюминутного предметного воплощения), сфокусированная ментальная активность совокупного Сверхчеловека с легкостью, на наш взгляд, способна  преодолеть поверхностность, одномерность, квазиинтерсубъективность существующей интеллектуальной практики, (оче)сконденсировать робкие ростки новой рациональности, метааксиоматизма и создать первые формальные образцы эффективно работающих метааксиоматических систем, новую метааксиоматическую логику.

Следующим шагом станет, как в первобытные времена, индивидуализация, интрасубъективизация накопленного сообществом в целом генерализированного, формализованного опыта полипарадигмального метааксиоматического мышления. Каждый ученый, используя новую логику, окажется способным генерировать многоуровневые иерархически сопряженные метааксиоматические системы, имитирующие мышление совокупного Сверхчеловека и «вертикальную интеллектуальную эволюцию» в целом.

Будучи осознанно зацикленным, этот процесс в очень скором времени (10-20 лет) может привести к такому скачку в качестве мышления и познания универсума, какого мы сегодня даже не в состоянии себе представить.

Говоря о том, что инновационная война — это метааксиоматический метод, я сегодня имею в виду лишь то, что это метааксиоматический метод  для совокупного индивида, научного сообщества в целом, Сверхчеловека, то есть метааксиоматический метод, так сказать, «первого рода», представляющий собой живую модель «вертикальной» интеллектуальной эволюции.   

Метааксиоматический метод «второго рода» (индивидуальный метааксиоматический метод)  в какой-либо достаточно устойчивой и логически корректной форме возможен лишь как конечный продукт некоторой достаточно представительной серии инновационных войн, как Суперлогика, логика откровения. Это не означает, однако, что хотя бы первые экспериментальные инновационные войны возможны без использования некоторых аппроксимированных моделей метааксиоматического метода «второго рода», обладающих  некоторыми довольно жестко задаваемыми свойствами. 

Можно с уверенностью сказать, что успех любой инновационной войны, направленной на развитие оснований человеческого мышления, невозможен без какого-либо первичного варианта общей теории метаистины, без достаточно эффективной синтетической концепции истины первого уровня, обобщающей  все сколь-нибудь значимые критерии истины, известные человечеству (соответствие знания реальности, его самонепротиворечивость, верифицируемость, полезность и т.п.) и без специальных логических инструментов, обеспечивающих соизмеримость представляемого комбатантами ограниченно интерсубъективного знания. В противном случае инновационная война ничем не будет отличаться от примитивной «логомахии», то есть, в конечном счете, от «психологической войны» (в чем, собственно, и убедились в полной мере еще древние греки).

Кроме того, должна быть коренным образом изменена (по крайней мере, на период проведения инновационной войны) базовая аксиологическая установка современной науки, некритически заимствованная ею из античности. «Высшее», «прогрессивное» (аксиоматическое, очевидное, конвенционально истинное и все, из этого дедуцируемое) и «низшее», «регрессивное» (метааксиоматическое, метаочевидное, метаистинное, устремленное в «дурную бесконечность» метарациональности) должны просто поменяться местами в смысле научной значимости и ценности. «Первые» должны стать «последними» (и наоборот). Без этого в сфере метааксиоматического нельзя сделать ни одного осмысленного и аксиологически значимого шага.

Не имея возможности останавливаться здесь на системообразующих логических характеристиках и базовых элементах разработанного мною к сегодняшнему дню сугубо интрасубъективного варианта метааксиоматического метода «второго рода» (общей теории метаистины), скажу лишь, что довольно длительная серия специальных мысленных экспериментов (в частности, по созданию новых, альтернативных классическим, аксиоматических систем в сфере логики и математики — «теории формальных объектов», «гармонической арифметики», «юниметрии») показала его достаточную (для первого случая) работоспособность и в интерсубъективном контексте, то есть в качестве методологической основы для подготовки первой экспериментальной инновационной войны в произвольной предметной области, что, впрочем, отнюдь не закрывает дорогу для всех, желающих поработать в том же направлении.

1.1.3. Организационный механизм  инновационной войны

Инновационная война как метааксиоматический метод «первого рода», как интеллектуальная борьба множества конкретных людей и их групп, наряду с  вышерассмотренной логической компонентой, требует еще и разработки множества дополнительных механизмов чисто организационного и коммуникативного характера.

Хотя ограничения, наложенные выше на понятие инновационной войны, и требования, предъявляемые к ней, кажутся довольно жесткими и, на первый взгляд, трудно выполнимыми, они, тем не менее, оставляют бесконечно широкое поле для конструирования и проектирования самых различных по сложности механизмов конкретной реализации данной полисубъектной интеллектуальной технологии.

После множества экспериментов с различными понятийными аппаратами и методологическими подходами я пришел к естественному, хотя и далеко не (оче)видному, выводу, что оптимальной идейной и методологической основой для описания и реального запуска сколь-нибудь значительной по своим масштабам инновационной войны являются идеология, терминология и технология, сформированные за несколько тысячелетий вооруженной борьбы в классической теории войн и военного искусства.

Ключевой идеей здесь является близкое к отождествлению семантическое сближение понятий: «театр войны» и  «предметная область».

Основным недостатками общенаучного понятия  «предметная область»  применительно к ситуации полисубъектных полипарадигмальных споров являются: (а) нетождественность и несоизмеримость применяемых сторонами понятийных   аппаратов, критериев истинности и способов ее верификации и (б) невозможность точного описания «боевой обстановки», то есть «соотношения сил» и  итогов «боевых действий» в каждый конкретный момент времени.

Как только стало интуитивно ясно, что предметную область произвольной науки или комплекса наук, являющуюся ареной полисубъектного межпарадигмального спора, можно и нужно рассматривать как «театр инновационной войны», проблема построения достаточно эффективного организационно-коммуникативного механизма инновационной войны оказалось вполне посильной задачей.

Была разработана синтетическая техника «инновационно-военной картографии» (ее далекие аналоги — техника военной картографии, техника «когнитивных карт» в психологии, техника контент-анализа и прикладных социологических исследований), позволяющая обеспечить высокую степень соизмеримости конкурирующих теоретических конструкций и с необходимой координатной точностью и в произвольном масштабе  описать все факторы и конкретные данные, характеризующие семантическое пространство и ход инновационной войны  в каждый конкретный момент времени (наличные и потенциальные «очаги интеллектуальной напряженности», силовое соотношение и расстановка группировок противоборствующих сил на каждом конкретном участке боевого противостояния, итоги инновационно-военных действий на всем театре инновационной войны).

 Формирование и четкое определение понятия: «театр инновационной войны (ТИВ)» (уже — «театр инновационно-военных действий (ТИВД)»)   сделало полностью  интуитивно и операционально ясными такие технологически значимые для организации и проведения инновационной войны термины, как «потенциал инновационной войны», «инновационно-военные силы (ИВС)», «роды и виды инновационно-военных сил», «инновационно-военная операция», «инновационное сражение (бой)», «наступление (атака)», «оборона», «встречный инновационный бой», «огневая поддержка», «боевая обстановка», «обеспечение инновационно-военных действий»  и т.д.

Ключевыми понятиями и нормативно-правовыми инструментами, определяющими механизм организации и управления инновационной войной в целом, являются: «конституция ИВ», «программа ИВ», «сценарий ИВ», «уставы ИВ», «регламент ИВ», «техническое задание на проведение ИВ», «ТЭО ИВ», «бюджет ИВ»  и т.д. В названных документах  с максимальной содержательной, аксиологической, логической, юридической и технологической точностью задается весь комплекс условий и ограничений, которые должны соблюдаться комбатантами и организаторами инновационной войны на всем   ее протяжении.

Аналогичные управленческие документы должны составляться и каждым из множества «ноокомбатантов», участвующих в инновационной войне, как на кампанию в целом, так и на отдельные «ИВ-операции», если данная инновационно-военная сила (научный институт, творческий коллектив, политическая партия, неформальная команда единомышленников и т.п.) всерьез претендует на победу в инновационной войне в целом или хотя бы в частном «сражении» на каком — то относительно узком участке ТИВД.

Важной особенностью рассматриваемого организационного механизма инновационной войны является наличие, наряду с традиционными (Административный Совет ИВ, Научный Совет ИВ, Экспертный Совет ИВ и т.п.), целого ряда новых управленческих и обеспечивающих институтов и подсистем, которые никогда ранее не использовались в практике научной полемики.

Речь идет о высокоспециализированных «группах логического, семантического и онтологического контроля», призванных выявлять и устранять попытки аксиологически, логически, семантически и онтологически недобросовестной аргументации, «инновационном арбитраже», предназначенном оперативно решать спорные вопросы относительно авторства на те или иные идеи, системы приоритетов  и т.п., «системе патентования инноваций», гарантирующей новизну, патентную чистоту и качество предлагаемых в данной инновационной войне идей и проектов.

Рассматриваемый механизм инновационной войны, несмотря на его кажущуюся технологическую тяжеловесность, крайне гибок и легко модифицируем в зависимости от сложности и неопределенности предметной области,  глубины интеллектуального антагонизма между участниками, количества «полюсов» и «точек» интеллектуального противостояния, объема финансирования и прочих факторов.

Не стоит, по-видимому, в современных условиях говорить о том, что  наиболее эффективным техническим средством для проведения инновационных войн является Интернет с его возможностями многосторонней интерактивной коммуникации и многоуровневого гипертекстового представления информации.  Попытка проведения достаточно масштабной инновационной войны другими коммуникационными средствами (через традиционные каналы научной коммуникации — журналы, серийные конференции и т.п.) была бы подобна замыслу многотомного издания  коллекции фотографий полотен Русского музея,  выраженных в кодах Ассемблера.

1.1.4. Инновационная война по теме: «Эволюция оснований логики и математики»

  Рассматриваемая технология инновационных войн имеет столько же возможных приложений, сколько имеется стратегически значимых для человеческого существования предметных областей, однако существуют сферы,  которые особенно нуждаются в подобных инструментах познания и наиболее готовы к их применению.

 Речь идет, прежде всего, как это следует из общей направленности настоящей статьи, о проблеме ускорения и гармонизации эволюции логико — математических систем и, особенно, их архетипических и метаархетипических оснований, лежащих в сфере метаочевидного, метаистинного и метарационального.

Данная проблема имеет три уровня общности.

Первый уровень (высший) соответствует предметной области, которая в настоящей статье названа сферой метаочевидного и метаистинного, сферой рационального откровения. Инновационная война по данной тематике  могла бы иметь целью разрешение «парадокса  бесконечного регресса», построение общей теории метаистины, развитие метааксиоматического метода, выход на актуально бесконечную иерархию уровней рациональности, которая венчается тем, что я называю абсолютной логической истиной, а другие авторы часто (всуе) именуют Богом. Иными словами, инновационная война этого уровня была бы инновационной войной по общей теории инновационных войн (или, иначе, по общей теории истины и творения).

Второй уровень общности — это сфера про(яв)ленных в ходе человеческой истории религиозно-мистических и логико-математических архетипов. Речь идет о наиболее глубоко импринтированных в человеческое сознание и почти не осознаваемых архаических семантиках, лежащих в основе таких мистико-логико-математических систем, как мировые религии, шаманские практики различных народов, эзотерические учения, гадательные системы (арканы Таро, Ба Гуа, Руны,  различного рода древние календари и астрологические системы) и т.д.

Древние и современные абстрактные логико-математические системы типа логики Аристотеля, геометрии Евклида, теории множеств Кантора и т.д. являются лишь одним (не самым значимым) элементом этого ряда. Сфера логико-математических архетипов является пограничной между сферами метарациональности и рациональности и могла бы послужить в качестве «стартовой площадки» для устойчивого перехода к вышеназванному первому уровню общности. Целью инновационной войны по данной проблематике мог бы стать Суперсинтез различных представленных в человеческой культуре взаимно потиворечащих архетипов, создание своего рода «общей теории логико-математического поля«, рассматриваемой как  плацдарм для последующего продвижения в сферу метарационального.

Третий (низший) уровень общности — это сфера аксиоматического, интуитивно очевидного, истинного. Целью инновационной войны по данной проблематике могло бы быть обобщение реального опыта эволюции аксиоматических систем разного рода, «снятие» множественной самопротиворечивости существующих аксиоматик и построение  универсальной непротиворечивой (гармонической) логико-математической системы, позволяющей эффективно  мысленно оперировать  актуально бесконечными объектами, без чего невозможно уверенно выйти на второй уровень общности (архетипический), не говоря уже о первом (метааксиоматическом).

Более низкие уровни познания, очевидно, бессмысленно делать предметом инновационных войн, так как все, что можно дедуцировать из некоторой самодостаточной непротиворечивой формальной системы аксиом, может быть выведено традиционными (моно)логическими средствами соответствующими специалистами или даже ЭВМ.

С учетом наличного уровня проработанности проекта экспериментальная международная инновационная война по теме: «Эволюция оснований логики и математики»  в сети Интернет (по каждому названному уровню общности отдельно или по всем трем уровням общности вместе) могла бы начаться  уже в ближайшее время. Никаких общелогических, организационных и технических проблем для этого не существует. Вопрос лишь в аксиологических ориентациях  философов логики и математики и логико-математического сообщества в целом.

Не повторяя сказанного выше, остановимся на некоторых особенностях организации предлагаемой инновационной войны, чтобы показать достаточную реалистичность этого замысла.

Учитывая тот очевидный факт, что технология инновационных войн и проблематика эволюции логико-математических систем пока не относятся к числу мировых бестселлеров и наиболее популярных супершоу, можно было бы первую стадию предлагаемой экспериментальной инновационной войны провести в порядке в русскоязычном пространстве сети Интернет силами отечественных ученых (с приглашением зарубежных участников, наблюдателей и спонсоров).

Систематически проводимые в России конференции по основаниям логики и математики показывают, что интерес к данной проблематике у российских ученых имеется.

Проблем с виртуальным информационным пространством и многосторонней коммуникацией в сети Интернет с учетом незначительности общего объема хранимых и передаваемых информационных ресурсов (до 10 Гбт)  не существует. Активные участники инновационной войны, не имеющие систематического доступа к сети Интернет, могли бы передавать и получать информацию на дискетных носителях.

С  учетом экспериментального характера предлагаемой инновационной войны до предела может быть упрощена и ее технология.

Сценарий проведения экспериментальной инновационной войны в русскоязычной части сети Интернет по названной проблематике может выглядеть следующим образом:

   Подготовительный этап.

— Создание Оргкомитета по подготовке ИВ;

— Разработка содержательной Программы ИВ и пакетов организационной и нормативной документации;

— Разработка документации по театру инновационной войны, включая ИВ-карты ТИВ, пакеты анкет и паспортов  по проблемам эволюции оснований логики и математики;

— Формирование органов управления и обеспечения ИВ;

— Подбор и информирование потенциальных участников ИВ об условиях участия в ИВ и ее правилах.

   1 этап.

— Сбор и первичная сравнительная экспертиза разработанных участниками ИВ общих  проектов оптимизации эволюции оснований логики и математики, выполненных в единой структуре и по единым формальным стандартам;

— Сбор и первичная сравнительная экспертиза разработанных участниками ИВ частных инновационных проектов 2-5 уровней общности, направленных на поддержку проектов 1 уровня;

— Регистрация и патентование проектов, претендующих на статус инноваций;

— Проведение комбатантами системы  предварительных «боевых операций» в сети Интернет, имеющих целью укрепление собственных научных позиций и ослабление позиций противников в режиме «тезис — критика — опровержение критики» с заранее обусловленным числом итераций (до 10);

— Подведение итогов  1 этапа ИВ.

2 этап.

— Уточнение «выжившими» в ходе 1 этапа ИВ комбатантами исходных позиций,  выявление и представление ими в явном виде точек непримиримых разногласий, разработка и заполнение итоговой анкеты с контрадикторными альтернативами по наиболее существенным вопросам;

— Проведение многоитерационного «генерального сражения», направленного на определение сравнительной истинности и эффективности наиболее сильных инновационных проектов, претендующих на окончательную победу в инновационной войне;

— Проведение итоговых экспертиз, анкетных опросов участников инновационной войны и наблюдателей, заполнение итоговых паспортов, обсчет итоговой суммы оценочных баллов, набранных комбатантами;

— Подведение  итогов и обобщение опыта экспериментальной инновационной войны.

В случае успеха начинания (по завершении инновационной войны в русскоязычной части сети Интернет) могла бы быть в качестве второй стадии проекта инициирована экспериментальная международная инновационная война по той же проблематике.

 Если на проведение каждой из двух названных стадий предлагаемой экспериментальной инновационной войны положить по одному году, то  за два года мировое логико-математическое сообщество получило бы такой задел инноваций и «ноу хау» в  построения иерархии метаоснований  логики и математики, а также такой опыт стимулирования, ускорения и углубления интеллектуальной эволюции в целом, какого, действуя традиционными методами, оно не имело бы и к 3000-му году.

 Остается лишь надеяться, что для созревшей еще столетия назад корректировки базовых интеллектуальных ценностей  и обращения к сфере метаочевидного научному сообществу в будущем понадобится меньше времени, чем 2000 лет, уже прошедших  со времен античности.

 

[Впервые опубликовано: Петросян В.К. Инновационная война как способ оптимизации эволюции логико-математических систем //Стили в математике: социокультурная философия математики. – СПб.: РХГИ, 1999. – с. 507-532]

 

1.2. Математика как техническая наука: воспоминание о будущем

Представляемая в настоящей работе трактовка математики как техниче­ской науки нового поколения (ментально-технической науки) является част­ной прогностической (футурологической – если угодно) интерпретацией  разрабатываемой автором теории ментальных объектов  (ТМО) — общефило­софской концепции,   рассматривающей  всю осознанную целенаправленную умственную деятельность человека как производство (генерацию, разработку, проектирование и т.д.), внедрение и обращение искусственных ментальных объектов (ментальных артефактов произвольного уровня сложности), оцени­ваемых и сравниваемых между собой по степени эффективности, осмыслен­ности и определенности, уровню общности и другим социально и гносеоло­гически значимым параметрам.

В рамках ТМО  любой продукт осознанной целенаправленной умствен­ной деятельности человека (ментальный артефакт) – будь то математическая теория или литературное произведение – осмысляется и определяется как нематериальный (информационный) технический объект, характеризуемый, прежде всего, с точки зрения соответствия своему общественному назначе­нию, то есть эффективности в смысле удовлетворения некоторой осознанной ментальной потребности человека (человеческого сообщества).

Это позволяет  рассматривать ТМО как отрицание отрицания (на но­вой аксиологической и теоретико-методологической основе) классической античной трактовки всех родов и видов человеческой деятельности (в первую очередь – всех разновидностей осознанной целенаправленной творческой умственной активности людей) как искусств, совершенно незаслуженно, на наш взгляд, отвергнутой  в Новое и Новейшее время.

Разумеется, речь не идет о восстановлении безнадежно гносеологиче­ски и морально устаревшего античного разделения основных видов челове­ческой деятельности на «механические» и «свободные» искусства, а послед­них – на «тривиум» (грамматика, диалектика и риторика) и «квадривиум» (арифметика, геометрия, астрономия и музыка), однако нетривиальный ла­тентный смысл и фантастические гносеологические возможности, заключен­ные в идее «универсального искусствоведения», заслуживают сегодня, на наш взгляд, самого пристального внимания.

В основе ТМО лежит  представление об историческом процессе как о перманентной борьбе людей за существование и развитие, осуществляемой путем создания и непрерывного совершенствования различных (прежде всего – ментальных, нематериальных) орудий и/или технологий осознанной целе­направленной деятельности, способствующих  выживанию и экзистенциаль­ному прогрессу человеческого сообщества. Эта трактовка отличается от про­чих определений исторического процесса (например, от марксистского) глав­ным образом тем, что в ней высшим общественным приоритетом наделяются средства (орудия, устройства, технологии, техники и т.д.) ментальной (умст­венной, нематериальной) деятельности, которые рассматриваются в качестве необходимого условия создания материальных технических объектов (мате­риальных артефактов).

Иначе говоря, все продукты осознанной целенаправленной человече­ской деятельности в ТМО представляются как искусственные объекты (ар­тефакты) и делятся на две группы: ментальные и материальные, первые из которых рассматриваются как базовые, первичные, имеющие высший аксио­логический приоритет, а вторые – как производные, эманативные, выпол­няющие второстепенные утилитарные функции по непосредственной под­держке жизнедеятельности общества.

Соответственно, все продукты научной деятельности человека (вклю­чая результаты так называемых «естественных наук», не говоря уже о науках собственно «технических») определяются в ТМО как ментальные техниче­ские объекты (ментальные артефакты), отличающиеся друг от друга обще­ственным назначением (интегральной технической функцией), формой, со­держанием и различного рода ограничениями (в первую очередь – аксиоло­гическими), накладываемыми на процесс их создания и обращения в обще­ственном сознании.

Несмотря на естественность приведенных выше посылок, последний тезис существенно противоречит классическому пониманию научной дея­тельности, сложившемуся в последние столетия человеческой истории.  Дей­ствительно, большинство философов, логиков, математиков, представителей различных «естественных наук» и т.д. в настоящее время отнюдь не склонны трактовать свою ментальную деятельность как техническую, изобретатель­скую и проективную  по своей природе, предпочитая создавать и закреплять в общественном сознании различные неадекватные реальности и самопротиво­речивые мифологемы типа: «истина превыше всего», «наука для науки» и т.п.

По нашему мнению, единственная реальная причина, руководящая (возможно – на подсознательном уровне) стремлением различных (в первую очередь – «естественных») наук, понимаемых как самостоятельные институ­ционализированные субъекты определенным образом формализованной мен­тальной деятельности, позиционироваться в общественном сознании в каче­стве «отдельно (в том числе – друг от друга) стоящих башен из слоновой кости», состоит в их желании обезопасить себя от внешнего ценностного и целеполагающего воздействия. На самом же деле, с упорством, достойным много лучшего применения, претендуя на априорную внеаксиологичность и внетелеологичность, стремясь любой ценой избежать «некомпетентного кон­троля» со стороны общества как целого, «естественные» и прочие «нетехни­ческие» науки  лишь во все возрастающей степени попадают в зависимость от внешних социальных факторов (в первую очередь – от политических ре­шений и источников финансирования), а также неуклонно утрачивают внут­ренние стратегические стимулы к прогрессивному развитию.

Если абстрагироваться от ложной и контрпродуктивной аксиофобии большинства современных ученых-естествоведов и образуемых ими частных научных сообществ, то никаких «объективных причин» целенаправленно са­моотчуждаться от своей технической природы  и сущности у науки, как од­ной из наиболее эффективных социальных форм познания, достаточно осоз­нанно и целенаправленно  (строго говоря,  искусственно) созданных челове­ком, не существует. Более того, отрицание своей имманентной аксиологич­ности и телеологичности объективно ведет науку к догматизации гносеоло­гических ценностей и целей  тысячелетней давности и к полной качественной стагнации (если не деградации).

Как представляется, ключ к пониманию и разрешению дихотомии ес­тественное — искусственное лежит в понятии истина и способах его опреде­ления и интерпретации. Существует множество самых различных трактовок данного понятия, из которых наука традиционно предпочитает две: истина как соответствие действительности  (корреспонтентская концепция) и ис­тина как самонепротиворечивость знания (когерентная концепция).

На наш взгляд, обе названные трактовки истины необходимы, но не­достаточны. Дело в том, что они применимы в процессе познания только по­сле того, как в той или иной мере определены базовые ценности, цели и предмет той или иной научной дисциплины, сформирован ее понятийный ап­парат, заданы аксиоматика, методология и т.д. Первичный же выбор назван­ных составляющих любой науки и ее общественный статус в целом регули­руются отнюдь не соображениями адекватности реальности и непротиворе­чивости продуцируемого знания (во всяком случае – не только и не столько ими).

Чтобы та или иная научная дисциплина обрела существование в каче­стве легитимного и поощряемого к развитию социального института, лица, принимающие соответствующие решения, должны заранее (априори) убе­диться тем или иным образом, что потенциальное знание, предлагаемое об­ществу будущей наукой (независимо от уровня его соответствия действи­тельности и степени самонепротиворечивости), в каком-то смысле экзистен­циально ценно (жизненные ресурсы человечества конечны и должны расхо­доваться максимально эффективно).

Сказанное справедливо и для уже существующих (легитимизированных в общественном сознании) наук и входящих в них научных дисциплин. Как только в рамках той или иной научной дисциплины совокупное мнение на­учного сообщества начинает склоняться в сторону табуизации (или маргина­лизации) различного рода аксиологических и/или телеологических изысканий и нововведений, можно однозначно прогнозировать, что эта отрасль челове­ческого знания вступает в стадию стагнации и догматизации своих менталь­ных оснований и, следовательно, начинает терять свои позиции в качестве источника прибавочной экзистенциальной (в первую очередь – ментальной) силы человеческого сообщества.

Другими словами, вкладывая дефицитные экзистенциальные ресурсы (человеческие мозги высокого качества, деньги, оборудование, ранее накоп­ленную информацию и т.д.) в тот или иной вид научного познания, общество не может не думать о максимизации своего экзистенциального потенциала (совокупной способности людей к адаптации и преадаптации к условиям су­ществования), о получении прибавочной экзистенциальной силы, даваемой эффективным знанием. А в этом смысле различные науки и отдельные на­правления научных исследований отнюдь не равноценны.

Поэтому  вопрос о степени истинности того или иного знания – это все­гда (кроме прочего) вопрос о его сравнительной экзистенциальной ценности для человеческого сообщества и стоимости приобретения.

Если мы принимаем изложенную выше точку зрения, что истинность – это, вообще говоря, преимущественно аксиологическая категория, то к при­знанию всех наук (включая «естественные» и «формальные») техническими  науками не остается никаких препятствий (кроме аксиологических же, разу­меется).

Итак, признавая аксиологический характер истины (необходимо пони­мать, кроме прочего, что адекватность знания — реальности, его непротиворе­чивость и т.п. критерии истинности – не более, чем ментальные ценности определенного рода),  высокую степень ее детерминированности некоторыми заранее (априорно) заданными ценностями, мы можем любую отрасль науч­ного знания с полным основанием рассматривать как техническую науку.

Эта посылка влечет множество важнейших общегносеологических и социальных следствий, некоторые из которых и будут рассмотрены ниже на примере математики.

1. Признание математики технической наукой позволяет, в частности, достаточно гармонично, на наш взгляд,  разрешить давний спор о соотноше­нии эмпиризма (апостериоризма) и априоризма (не- или анти- эмпиризма) в процессе математических исследований и разработок.

Здесь необходимо пояснить, что, когда ниже пойдет речь о синтезе эм­пиризма и априоризма в процессе математического творчества, в понятие ап­риоризм (априорное знание или понимание) мы будем вкладывать совер­шенно иной смысл, нежели тот, на котором настаивал  И. Кант   (безусловная независимость от опыта, необходимость и строгая всеобщность  как кри­терии чистого априорного знания).

На наш взгляд, ни одно из известных че­ловеческих понятий не может удовлетворить названным признакам — ни всем одновременно, ни даже каждому по отдельности. Кантовская же отсылка ко «всем положениям математики», как представляется, совершенно несостоя­тельна, поскольку:

(а) практически все основные математические понятия и положения, как известно из истории, были получены в результате осуществ­ления операций абстрагирования и идеализации над вполне эмпирическими по своей природе ментальными объектами и, следовательно, имеют четко выраженные «родовые пятна» эмпиризма;

(б) ни одно из них не необходимо (каждое математическое понятие вполне может быть заменено на отличный по определению и свойствам, но сходный по назначению ментальный объект) и

(в) ни одно из них не всеобще (всегда может быть найдено исключение или построен альтернативный математический аппарат, не использующий любое конкретное математическое понятие на выбор или включающий в себя дан­ное понятие в существенно модифицированном виде). 

С учетом сказанного, под априоризмом (или, что тождественно, гармоническим априоризмом)далее будет пониматься  некоторый более или менее обоснованный (аксиологически или как-то иначе – неважно) или даже произ­вольный (включая совершенно случайный) внеэмпирический выбор субъек­том математического творчества некоторого конкретного математического объекта (понятия, утверждения или ценностной нормы) из множества воз­можных альтернатив при разработке какой-либо математической теории или ее составной части. При этом никаких трансцендентных «нагрузок» (мен­тальных сверхзадач типа безусловной необходимости, всеобщности, тоталь­ной интерсубъективности и т.д.) избранное математиком-разработчиком по­нятие (положение) нести не обязано и может быть в любой момент заменено на более функционально эффективное при создании некоторой новой мате­матической теории (субтеории).

Суть вышеаннотированного решения спора эмпиризма и априоризма состоит в осмыслении математического творчества как свободного изобре­тательского процесса, направленного на создание искусственных (техниче­ских) все более экзистенциально эффективных математических устройств (теорий, метатеорий, аксиоматик, теорем  и т.д.) и технологий (алгоритмов, сложных исследовательских и вычислительных методик и т.п.) определен­ного функционального назначения с заранее заданными потребительскими свойствами.

В более широком (историческом) смысле совокупное математическое творчество можно определить как целенаправленный эволюционный про­цесс, представляющий собой прогрессивную смену качественно различных поколений математических артефактов (формальных ментальных устройств произвольного назначения, теорий, метатеорий, технологий, понятий, алго­ритмов  и т.д.).

 Искусственность (техногенность) происхождения математических объ­ектов произвольного назначения и уровня общности не означает, разумеется, их несоответствия действительности (хотя в рассматриваемом контексте вполне правомерно вести речь о разработке – кроме прочего — специальных математических аппаратов для описания и анализа актуально несуществую­щих или даже невозможных миров); речь идет  лишь о том, что соотношение эмпирического и априорного начал в той или иной математической теории – это всегда вопрос более или менее свободного осознанного аксиологического и семантического выбора ее автора (авторов).

Каждое математическое изобретение может быть с исчерпывающей полнотой охарактеризовано как нетривиальный (в смысле новизны и общест­венной полезности) синтез некоторого множества известных из уровня ма­тематики (а также вновь эмпирически найденных или просто выдуманных – без оглядки на действительность) математических объектов и/или законо­мерностей и фиксированного набора выполняющих различные функции мен­тальных (в первую очередь – аксиологических) регуляторов. Это полностью снимает проблему соотношения эмпирического и априорного начал в мате­матике.

Другими словами, математик-творец (шире – математическое сообще­ство в целом как совокупный субъект творчества), в достаточно полной мере осознающий техническую природу своей науки, совершенно свободен  в том, какие математические объекты (теории, аксиоматики, принципы, поня­тия, алгоритмы и т.д.), созданные предшественниками, выбирать в качестве прототипов своих математических изобретений, а также в том, какие гносео­логи-ческие эффекты (известные,  вновь найденные эмпирическим путем или придуманные формальные и количественные зависимости между произволь­ными объектами) и аксиологические нормы (в том числе – системообразую­щие критерии функциональности, истинности, строгости и т.д.) ему исполь­зовать в своей инновационной деятельности и в каком соотношении. 

Вопрос лишь — в уровне новизны и экзистенциальной эффективности (реальной общественной потребительской и ментальной стоимости) создаваемого им ко­нечного продукта (нового инструмента математического мышления).

2. Осознание математики в качестве технической науки резко повы­шает гносеологический статус такой отрасли знания как философия мате­матики. 

Это связано как с необходимостью создания в будущем специальных ментально-технических научных дисциплин, изучающих аксиологию (явно заданную или латентную) различных математических теорий, так и с гряду­щим появлением в математике таких новых сфер исследований как метаон­тологизация (схематизация и семантическая унификация математических объектов различной природы в целях использования их в качестве элементов и «узлов» более крупных математических объектов – теоретических и вычис­лительных устройств различного назначения), метаабстрагирование (абст­рагирование от некоторых конкретных свойств математических объектов — понятий, вычислительных процедур, норм и т.д., рассматриваемых в качестве компонентов различных математических теорий, вычислительных техник и т.д.)и метаидеализация (присвоение математическим объектам искусственно усиленных или модифицированных теоретических свойств, которыми они в принципе не могут обладать как элементы конкретных математических тео­рий, алгоритмов и т.д.).

Дело в том, что осознание математических теорий и вычислительных систем (алгоритмов, методик и т.д.) различного назначения и уровня общно­сти в качестве ментальных артефактов (технических ментальных объектов) резко повышает аксиологичность, вариативность и комбинаторный потен­циал математического знания, позволяет осуществлять серийную модифика­цию и модернизацию исходных математических теорий и любых других формальных объектов, а также синтезировать принципиально новые матема­тические аппараты с заранее заданными теоретическими и потребительскими свойствами.

В качестве примера может быть приведена следующая аналогия. В пер­вобытном обществе все жизненно важные операции производились одним или несколькими инструментами (палкой, оббитыми кусками кремня и т.д.). Проблем с их классификацией, типологизацией, таксономизацией и т.д. у на­ших пращуров, естественно, не возникало на протяжении тысячелетий. С развитием  материальной техники в последние столетия исторического про­цесса люди получили в свое распоряжение сотни тысяч и миллионы матери­альных артефактов различного назначения и устройства, в совокупности су­щественно повысивших качество человеческого существования, но, одновре­менно, потребовавших специальных  усилий человека по их классификации и взаимной гармонизации.

 Потребность в осмыслении, упорядочении и развитии накопленного многообразия технических устройств различного назначения с необходимо­стью привела к появлению таких понятий, как принципиальная схема инже­нерного объекта, абстрактный (материально-)технический объект, идеаль­ное (материально-)техническое устройство и т.д., которые в настоящее время стали базовыми для многих  (материально-)технических наук, эффек­тивно универсализируя разнородное (материально-)техническое знание и экспоненциально ускоряя  его расширенное воспроизводство и качественную эволюцию.

Нечто подобное ждет и математику по мере ее самоидентификации в качестве (ментально-)технической науки. Пока  математика состояла из «че­тырех сосен»: арифметики, геометрии, алгебры и анализа (не считая мелких «кустарников»), особых проблем с (само)идентификацией и классификацией математических теорий не было. Но как только начнется процесс осознанной всесторонней аксиологизации математики и тотальной пантеоретической и пантехнологической комбинаторики различных математических устройств и технологий, потребность в понятиях типа: принципиальная инженерная схема математического объекта (теории, субтеории, метатеории и т.д.), абст­рактная математическая теория (субтеория, метатеория), идеальная ма­тематическая теория (субтеория, метатеория)и т.д.  резко возрастет. 

Вопрос даже не в том, что число различных по своим аксиологии и се­мантике математических теорий  (или каких-либо других крупных единиц математического знания) будет измеряться миллионами и их нужно будет как-то сравнивать (в том числе – по уровню гносеологической и экзистенци­альной эффективности) и классифицировать. 

Основной смысл метаонтологизации, метаабстрагирования и метаидеализации в математике состоит в возможности появления полноценной инженерии математического знания, а также формализованных технологий частично или полностью автоматизированной разработки новых все более эффективных в различных (заранее заданных) отношениях универсальных и глубоко специализированных инструментов математического мышления (ин­тегрированных единиц математического знания).

Как следствие прогрессирующей технизации математики с необходи­мостью возникнет и такое (кажущееся сегодня полной экзотикой – если не тавтологией) направление философско- и инженерно-математических иссле­дований как математизация математики.

Заранее оговоримся, что речь здесь не идет о том вырождающемся направлении математической мысли, которое сегодня называется метаматематикой и которое с исчерпывающей полнотой и строгостью можно определить как «искусство доказательства недоказуемого – непротиворечивости противоречивого».

Под математиза­цией математики в рамках излагаемой концепции понимается вполне ра­циональный процесс разработки математических моделей и формального проектирования математических теорий, пакетов вычислительных алгорит­мов и других таксономических единиц математического знания, становя­щихся все более разнофункциональными, сложными и многоуровневыми ис­кусственными ментальными устройствами.

Другими словами, технизация и обусловленная ею математизация ма­тематики позволят математическому сообществу в обозримом будущем пе­рейти от дедуцирования отдельных теорем к метадедуцированию (формали­зованному или полностью формальному выводу) нетривиальных и эффектив­ных математических теорий, их разветвленных семейств, прикладных мате­матических аппаратов недостижимого сегодня уровня сложности и эффек­тивности. А это – магистральный путь к искусственному интеллекту в самом высоком смысле данного понятия.

3. Технизация математики создает объективную возможность  появле­ния и ускоренного развития еще одной колоссальной по своему научному и общесоциальному значению сферы деятельности – сферы патентования ма­тематических изобретений любой природы и специфики.

В настоящее время экономика математического знания напоминает те­атр абсурда: математики-творцы практически бесплатно или за мизерную академическую зарплату (включая унизительные «благотворительные» гранты) делают фундаментальные математические открытия, изобретают все новые теории и вычислительные алгоритмы, а математики-ремесленники без особого напряжения и лишних угрызений совести используют все это в своих прикладных программных продуктах, часто забывая даже упомянуть имена разработчиков, не говоря уже о материальных компенсациях, и получают  со­вершенно незаслуженные сверхприбыли.  

Если провести аналогию с нормальной экономикой, то это выглядело бы следующим образом: заводы, занимающиеся производством средств про­изводства (станков, оснастки, базовых технологий, сырья, полуфабрикатов и т.д.),  поставляют все это на рынок совершенно бесплатно, а предприятия, вырабатывающие предметы широкого потребления, забыв даже сказать «спа­сибо», включают все это в  себестоимость продукции и продают собственные товары втридорога. Совершенно очевидно, что подобная экономика долго не просуществовала бы в силу быстрого полного свертывания производства средств производства. 

В математике же подобная ситуация – норма (благо математические теории не подлежат физическому износу, хотя достаточно быстро устаревают морально). Легко видеть, что эта вопиющая несправедливость и иррацио­нальность – главная причина многовековой идейной стагнации оснований математики.

Создание эффективной международной системы патентования матема­тических изобретений в рамках общего процесса технизации математики в корне поменяло бы ситуацию. Появилась бы реальная моральная и матери­альная заинтересованность (мотивация) ученых-фундаменталистов разрабатывать прин­ципиально новые отрасли математики и разнообразные математические уст­ройства качественно более высоких поколений, чтобы, эффективно контро­лируя использование созданного ими знания в прикладных целях и получая адекватное денежное вознаграждение, инвестировать затем заработанные средства в еще более перспективные исследования и разработки по своему (а не начальственному и спонсорскому) разумению.

Другими словами, создание системы патентования математических изобретений могло бы стать реальным шагом на пути к индустриализации и непосредственной самоокупаемости фундаментальных исследований и разработок в математике и к экспоненциальному росту их качества. А это – ос­новное условие  необходимого для «вертикального прогресса» математиче­ской науки опережающего развития фундаментальной математики по отно­шению к прикладным  математическим исследованиям и разработкам.

4. Грядущая технизация математики, с неизбежностью порождая взрывной рост количества взаимно альтернативных  (как в аксиологическом, так и в семантическом смыслах) фундаментальных математических парадигм и метапарадигм, объективно будет нуждаться и в принципиально новых сверхмощных инструментах верификации истинности (экзистенциальной эффективности) вновь генерируемого экстремально разнообразного матема­тического знания, не сводимых к традиционной дедукции и обычным мате­матическим экспериментам. 

Это означает,  что в обозримом будущем важным инструментом уско­ренного развития математики с высокой степенью вероятности станет разра­батываемый в рамках ТМО метааксиоматический метод (метод менталь­ных войн), позволяющий сравнивать и всесторонне оценивать различные (в том числе — актуально несоизмеримые) аксиоматики и метааксиоматики (включая аксиологические системы), лежащие в основаниях конкурирующих математических теорий.

Основу метааксиоматического метода составляет идея, альтернативная ключевой интенции известного «парадокса бесконечного регресса», направ­ленного на дезавуирование целесообразности метаизысканий в области обос­нования критериев истинности знания в произвольной предметной области. Эта идея, условно называемая «принципом (потенциально) бесконечного про­гресса» (или, иначе, «принципом метапрогресса»), сводится к тезису о чрез­вычайной гносеологической и – шире – экзистенциальной эффективности  многоуровневых и многоитерационных обоснований все более общих крите­риев и метакритериев истинности (в первую очередь – аксиологической адек­ватности) знания вообще и математического знания – в особенности.

На наш взгляд, именно специальным образом организованные полисубъектные будущие споры (ментальные войны) о наиболее экзистенциально эффективных критериях и метакритериях истинности  математического зна­ния, освобожденные от «дамоклова меча» парадокса бесконечного регресса, и станут  переломной  точкой, отделяющей затянувшуюся на тысячелетия фазу «младенчества» математики от фазы ее цветущей «юности», в которой уста­новится даже не представимый сегодня уровень творческой свободы.

В заключение важно отметить, что вышеизложенная в предельно об­щих чертах идея технизации математики отнюдь не исчерпывает  концепцию «универсального искусствоведения», лежащую в основе ТМО. Параллельное развертывание контурно обрисованных выше на примере математики про­цессов осознанной технизации ментальной деятельности в различных науках и искусствах может дать кумулятивный гносеологический и экзистенциаль­ный эффект такой силы, что впору будет говорить о полной смене «менталь­ных миров» в голове каждого человека.

    

      2. Гармоническая арифметика

2.1. Основные положения концепции оснований гармонической арифметики

В настоящей работе в обобщенном виде представляются результаты предпринятой автором попытки разработки арифметической системы, построенной исключительно на абстракции счетной актуальной бесконечности и не содержащей противоречий канторовской теории множеств, равно как и логических ограничений интуиционизма и конструктивизма (гармонической арифметики).

2.1.1. О противоречивости канторовской теории множеств

Любая попытка изменения базовой парадигмы некоторой устоявшейся предметной области, а тем более такой консервативной научной дисциплины, как арифметика, предполагает наличие у инициатора нововведений достаточных причин для подобного шага.

Хотя мы располагаем многочисленными содержательными и формальными аргументами для обоснования предлагаемых ниже инноваций, из-за ограниченности места приведем лишь один из них, как наиболее убедительный для современных математиков.

Речь идет о полученном автором доказательстве противоречивости канторовской “диагональной процедуры” и вытекающей из нее противоречивости понятия “несчетности континуума”.

Напомним, что Г. Кантор доказывает теорему о несчетности континуума следующим образом.

Вначале он предполагает существование некоторой счетной (перечислимой) последовательности действительных чисел А. Далее он начинает строить некоторое новое число К (назовем его “канторовским”), заменяя по диагонали десятичные значения чисел, входящих в А, на любые значения, отличные от тех, которые свойственны соответствующим числам из А.

Получаемое подобным образом число К квалифицируется им как отличное от всех других чисел, входящих в А.

Отсюда делается вывод, что получено противоречие с предположением о счетности последовательности А, и, далее, делается заключение о ее “несчетности”.

На наш взгляд, данное рассуждение ошибочно.

1. Начнем с того, что из канторовского рассуждения нельзя точно понять, о какой счетной последовательности идет речь: о потенциальной (незавершенной) или актуальной (завершенной), хотя он неоднократно призывал своих последователей к их четкому различению.

В частности, Г. Кантор писал в работе “О различных точках зрения на актуально бесконечное”: “Несмотря на существенное различие понятий потенциальной и актуальной бесконечности, — притом первая означает переменную конечную величину, растущую сверх всяких конечных границ, а последняя — некоторое замкнутое в себе, постоянное, но лежащее по ту сторону всех конечных величин количество, — к сожалению, слишком часто встречаются случаи смешения этих понятий” [Кантор Г. Труды по теории множеств. – М.: Наука, 1985. — с. 265].

2. Не пытаясь доподлинно установить, какую из двух видов счетных бесконечных последовательностей имел ввиду Г. Кантор в своем “доказательстве” (это, по-видимому, невозможно), рассмотрим поочередно обе логические возможности.

2.1. Предположим вначале, что речь идет о потенциальной счетной бесконечной последовательности.

Тогда канторовское рассуждение неверно, поскольку потенциально бесконечная последовательность всегда пополнима и, следовательно, любое новое число рассматриваемой последовательности может быть “канторовским”. То есть в этом случае отсутствует отличный от потенциально возможных элемент (новое число), который бы нарушал “счетность” потенциальной последовательности.

2.2. Предположим, далее, что речь идет об актуальной счетной бесконечной последовательности.

Тогда канторовское рассуждение также неверно, поскольку актуальная бесконечная последовательность (неважно, конструктивно перечислимая или нет) всегда завершена по определению и элемент, принадлежащий по своим свойствам данной последовательности, не может существовать вне ее, не нарушая свойства завершенности исходной последовательности.

Следовательно, из факта наличия элемента, не входящего в исходную актуальную (по предположению) последовательность, необходимо делать вывод, что данная последовательность к моменту своего формирования была не актуальна (не завершена в полном объеме), а не “несчетна”. То есть мы приходим к тому, что либо процедура канторовского доказательства логически некорректна (факт “неполноты”, “незавершенности” некоторой последовательности не есть доказательство ее “несчетности”), либо исходная последовательность потенциальна, а не актуальна.

Причем вывод Г. Кантора о “несчетности” рассматриваемой последо-вательности оказывается неправомерным в обоих случаях, поскольку обнаружение логической ошибки есть недостаток доказательства, достаточный для его опровержения, а сведение последовательности А к потенциальной ничего не доказывает (см. п.2.1).

2.3. Предположим, наконец, что Г. Кантор, вопреки собственному определению, неявно ввел некоторый новый математический объект (назовем его “незавершенное актуально бесконечное множество”).

Тогда возражения по пп.2.1 и 2.2 снимаются, но появляется новое: насколько правомерно существование объекта, обладающего некоторым свойством и, одновременно (и в том же отношении), его отрицанием? Ведь “незавершенное актуально бесконечное множество” есть не что иное, как “незавершенное завершенное бесконечное множество” (мы просто подставили вместо предиката “актуальный” его смысловой заменитель — предикат “завершенный”).

Таким образом, ни в одном из трех рассмотренных случаев канторовское рассуждение не может быть признано логически корректным.

В чем же исходная логическая ошибка Г. Кантора? На наш взгляд, она состоит в том, что он попытался обосновать несчетность (неперечислимость) некоторого объекта, доказав (продемонстрировав) лишь его незавершенность к моменту формирования, то есть налицо факт неправомерной идентификации двух разных понятий.

Легко показать и ошибочность канторовского “доказательства несчетности” множества всех подмножеств натуральных чисел.

Обычно в целях “доказательства несчетности” множества всех подмножеств множества натуральных чисел осуществляется следующая последовательность умственных действий.

Предположим, что существует счетная бесконечная последовательность подмножеств множества натуральных чисел (S(i), S(2), … , S(n)).

Предлагается определить некоторое множество натуральных чисел вида D(L) следующим образом: произвольное натуральное число 1 входит в множество D(L) тогда и только тогда, когда i не содержится в S(i).

Тогда для каждого натурального числа можно установить, принадлежит оно множеству D(L) или нет.

Например, если множество S(3) представляет собой множество всех четных чисел, то число 3 не входит в S(3), а потому входит в D(L).

Далее делается предположение, что S(m) = D(L) для некоторого натурального m.

Тогда получается, что m входит в D(L) тогда и только тогда, когда m не входит в S(m) = D(L).

Это обстоятельство трактуется как противоречие, из которого вытекает, что множество D(L) = S(m) не содержится в списке S(1), …, S(n). Отсюда делается вывод о “несчетности” множества всех подмножеств множества натуральных чисел.

На самом деле все обстоит несколько иначе.

Как и в рассмотренном выше случае, у нас есть две логические альтернативы.

a) Мы понимаем множество всех подмножеств множества натуральных чисел как множество потенциальное (незавершенное).

Тогда мы не имеем искомого отождествления S(m) = D(L) и т может никогда не войти в D(L), так как формирование последовательностей S(1, 2, …, К) и D(L) никогда не будет завершено. То есть о “несчетности” потенциального (незавершенного) множества нельзя говорить в принципе.

b) Мы понимаем множество всех подмножеств множества натуральных чисел как множество актуальное (завершенное).

Тогда к моменту начала формирования множества D(L) множество всех подмножеств множества натуральных чисел уже должно было быть сформировано в актуальном (завершенном) виде (иначе неосуществима процедура выбора элементов для D(L)).

Следовательно, все натуральные числа к этому моменту уже должны были быть поставлены во взаимно однозначное соответствие с подмножествами множества натуральных чисел. Но тогда число m не может быть натуральным числом.

Мы имеем дело либо с неполным множеством (на сей раз с множеством натуральных чисел), либо с ненатуральным числом.

Если первое предположение корректно, но ничего не доказывает в смысле “несчетности”, переводя исходное натуральное множество в разряд потенциальных множеств, то второе также корректно, но доказывает нечто противоположное тому, что хотел доказать Г. Кантор.

Действительно, если число m существует, но не является натуральным, оно может быть только трансфинитным, то есть существовать в более “мощ-ном числовом классе”, чем класс натуральных чисел.

В этом случае оно не обязано входить в множество D(L), которое включает в себя только натуральные числа.

Но тогда мы получаем одно интересное заключение: существуют актуально бесконечные счетные множества (“несчетные” множества, как мы выяснили, не существуют), превышающие по своей мощности множество натуральных чисел.

Отсюда непосредственно следует и опровержение принципа взаимно однозначного соответствия (равномощности) различных по способу формирования счетных множеств.

Действительно, если существуют актуально бесконечные счетные множества, превышающие по своей мощности множество натуральных чисел, то нет никаких оснований считать, что равномощны и различные бесконечные последовательности натуральных чисел (например, множество натуральных чисел и множество четных чисел).

Эти заключения (вывод о противоречивости понятия “несчетность” и опровержение принципа “взаимно однозначного соответствия” счетных множеств) и являются краеугольными камнями построения “гармонической арифметики”, концепция оснований которой и излагается ниже.

Подведем предварительный итог. Из вышесказанного следует, что канторовская теория множеств и его арифметика бесконечных множеств неверны в самой сути. Противоречивым оказывается ключевое понятие, на котором держится вся теоретическая конструкция — понятие “несчетности”. Отсюда следует, что противоречивыми являются и все современные аксиоматические системы типа “Principia Mathematica”, содержащие в своем теоретическом арсенале понятие “несчетность” и признающие “диагональную процедуру” как метод доказательства “несчетности континуума”.

Действительно, абсолютно надуманной и не имеющей корректных логических оснований оказывается такая фундаментальная проблема, как “кон-тинуум-гипотеза”, рассматриваемая всеми аксиоматическими теориями как логически правомерная.

Рушится вся канторовская иерархия “кардинальных чисел”, построенная исключительно на противопоставлении “счетных” и “несчетных” чисел и полностью продублированная аксиоматическими теориями.

Дезавуируется также идея равномощности (взаимно однозначного соответствия) всех счетных бесконечных множеств (выше мы показали, что множество всех подмножеств натуральных чисел имеет большую мощность, чем множество натуральных множеств, не теряя счетности).

Другими словами, с устранением из теории множеств и арифметики понятия “несчетности”, на месте канторовской теории множеств и современных аксиоматических теорий в части, касающейся актуально бесконечных множеств, не остается ничего (не то чтобы “ничего стоящего”, а “вообще ничего”).

Тем более странно слышать заявления оппонентов, утверждающих, что, может быть, сказанное и затрагивает некоторым образом канторовскую “наивную” теорию множеств, но у аксиоматических теорий все по-прежнему благополучно, они остаются непротиворечивыми.

На самом деле они не просто не остаются непротиворечивыми, а автоматически перестают существовать (слишком многое в них сразу рушится). Можно, конечно, делать вид, что ничего не случилось, но ведь в математике истина доказуема. Рано или поздно придется признать факт нового кризиса оснований.

Таким образом, разработка новой арифметики актуально бесконечных множеств, принципиально отличной от канторовской и проканторовской, сегодня актуальна как никогда.

Ниже мы предлагаем некоторые положения концепции оснований новой “гармонической арифметики”, удовлетворяющей, на наш взгляд, задаче преодоления нового кризиса оснований математики, возникшего в связи с вышеприведенным опровержением понятия “несчетности”.

2.1.2. Основные понятия гармонической арифметики

Логико-методологической основой гармонической арифметики является построенная автором теория формальных объектов (ТФО), представляющая собой гармонизированное обобщение формальной логики и канторовской теории множеств.

ТФО (в отличие от канторовской теории множеств) рассматривает такие объекты, как системы, множества, единицы (монады) и пустые объекты (меоны), как объекты одного уровня логической общности и различает их между собой (то есть “множество” перестает быть универсальным и предельно общим объектом теории).

ТФО оперирует только конечными и актуально бесконечными объектами и не рассматривает потенциально бесконечные объекты как логически корректные и имеющие статус существования.

ТФО содержит универсальный механизм оперирования формальными объектами, не требующий различения конечных и актуально бесконечных множеств.

ТФО признает только существование счетных (перечислимых) множеств и не признает существования различных по свойствам и способам формирования, но неразличимых по мощности счетных множеств.

Названные свойства ТФО делают ее интеллектуальным инструментом, необходимым и достаточным для построения математики (в частности арифметики), основанной на абстракции счетной актуальной бесконечности.

Примечание. За время, прошедшее с момента первой публикации настоящего доклада (более семи лет), теория формальных объектов (ТФО) была существенно модифицирована автором и переименована в теорию формальных ментальных объектов (ТФМО), став специализированной составной частью теории ментальных объектов (ТМО).

Гармоническая арифметика — это новый раздел математики, трактующий о конечных и счетных актуально бесконечных числах (их совокупностях), условиях их существования, отношениях и операциях над ними.

Предикат «гармоническая» применяется в названии новой  арифметики на том основании,  что, по мнению автора,  она, во-первых, не содержит противоречий, присущих канторовской арифметике бесконечных множеств, во-вторых, основана на принципиально новом логическом механизме согласования и соизмеримости контрадикторных предикатов применительно к одному и тому же объекту (числу, множеству чисел) и, в-третьих, обладает встроенным механизмом саморазвития, гарантирующим преодоление возможных противоречий в случае их появления.

Конкретной аксиоматической  реализацией общих принципов гармонической арифметики  и  ее  частной  подсистемой,  справедливой только в определенных «экзистенциальных» границах,  является «гармоническая арифметическая система» (ГАС) —  непротиворечивая,  циклически развиваемая арифметическая  система,  элементами  которой являются исключительно актуальные (завершенные) числа (конечные и бесконечные) и их совокупности.

Все ГАС, входящие в гармоническую арифметику, различаются по уровню общности (уровню существования, «экзистенциальности»).  Будучи построенной  всецело на абстракции счетной актуальной бесконечности, иерархия ГАС не рассматривает потенциальные (незавершенные)  числа  (их множества) в качестве своих элементов, что  позволяет  устранить амбивалентность и  противоречия  канторовской теории множеств и ее интерпретаций.

С учетом потребности в парадигмальном развитии иерархия ГАС устроена как гносеологически расширяемая система, диалектически, то есть в ней предусмотрен  логически  непротиворечивый  механизм сосуществования абсолютных  и  относительных (производных от первых) понятий в рамках одной теории.

Существенной особенностью иерархии ГАС является универсальность ее операционной системы, независимость (инвариантность) результатов  арифметической  операции от экстенсиональных свойств предметов операции, то есть отсутствие различий между конечными и   бесконечными элементами ГАС (числами и их множествами) в процессе   оперирования ими. С точки зрения своей структуры каждая ГАС может быть определена как саморазвивающаяся формализованная и упорядоченная иерархия  актуальных  числовых классов (систем),  отличающихся друг от  друга свойствами и составом элементов (видом чисел),  построенная на некотором непрерывно уточняемом  комплексе представлений об абсолютной числовой системе. Все числовые классы (системы) любой ГАС обладают однотипными  базовыми свойствами, что позволяет дать общее (родовое) определение понятию «числовой класс ГАС».

Числовой класс гармонической арифметической системы

Числовой класс гармонической арифметической системы (счетный  актуальный числовой класс) — подсистема ГАС,  включающая  в  себя актуальное (завершенное конечное или бесконечное) множество чисел  того или иного вида,  систему правил генерации (порождения) чисел  и их множеств,  условий их существования и законов взаимного упорядочения, а также систему операций над элементами ГАС  (операционную систему ГАС).

Основными свойствами  каждого  числового  класса  (локальной числовой подсистемы ГАС) являются следующие:

1. Свойство гармоничности.

Свойство гармоничности  означает,  что  все  контрадикторные объекты и операции ГАС согласованы и соизмеримы между собой, а также, что контрадикторными свойствами может обладать один и тот же объект, рассматриваемый в разных отношениях или (и) в разное время.

2. Свойства актуальности (полноты, завершенности) и счетности (перечислимости) числового класса и его элементов.

Свойство актуальности означает, что все элементы некоторого числового класса (числа и подмножества чисел данного  вида),  а  также  числовой класс в целом рассматриваются как одновременно существующие в завершенном виде объекты сразу после формулирования  условий их существования или определения закона их генерации. Если закон генерации некоторого множества не установлен,  то  оно считается  существующим  только в том случае,  если доказано,    что данное множество является подмножеством другого  множества,  для  которого   таковой имеется. Например, множество простых чисел не имеет явного (позитивного) закона генерации (он пока не установлен), однако оно является подмножеством множества натуральных чисел (у которого таковой имеется), а посему корректно с позиций ТФО и существует в ГАС.

С другой стороны, множество всех множеств не имеет ни закона генерации,  ни упорядоченного объемлющего множества,  а потому не существует в ТФО и в ГАС.

3. Свойство ограниченности (внешней завершенности) числового класса. Данное свойство,  являющееся следствием свойства 2., означает,  что в каждом числовом  классе, принадлежащем ГАС, имеются минимальное (а) и максимальное (А) числа,  отделяющие данный числовой класс от прочих.

4. Свойство существования единичного элемента и обратимости   числового класса. Данное свойство означает,  что в каждом числовом классе  ГАС существует единичный элемент — «1», общий для всех числовых классов   ГАС,  такой,  что выполняются соотношения:  а*А=1; а=1/А; А=1/а. То есть числа а и А являются взаимно обратными элементами.

(Здесь и далее «*» — символ операции умножения, «/» — символ операции деления,  «+» — символ операции сложения и «-» —  символ  операции вычитания).

5. Свойство существования нейтрального (нулевого) элемента.

Данное свойство  означает,  что в ГАС существует нейтральный   элемент «0»,  не  имеющий  величины и не относящийся ни к положительным, ни к отрицательным числам.

6. Свойство упорядоченности числового класса.

Данное свойство означает, что для любых двух (и более) элементов некоторого числового класса ГАС выполняется в точности одно из соотношений «больше», «меньше», «равно» (свойство линейности) и что справедливы стандартные соотношения, связанные с понятиями «больше» и «меньше» (например, из m > n для любого k, принадлежащего к рассматриваемому числовому классу, следует m+k > n+k).

7. Свойство операбельности.

Данное свойство означает, что каждый элемент некоторого числового класса  ГАС  может   быть предметом любого из ниженазванных  основных арифметических действий : «сложение», «вычитание», «умножение», «деление»,  а также действий,  производных от названных.

Упомянутые арифметические операции тождественны арифметическим операциям,  применяемым в конечной арифметике и рассматриваются ниже.

8. Свойство существования и определенности результата операции.

Данное свойство означает, что каждая арифметическая операция, осуществленная  над  элементами некоторого числового класса, за исключением случаев, рассматриваемых ниже, имеет определенный в ГАС результат и смысл, хотя получаемый результат —  не всегда элемент данного числового класса. Например, число 1 + А ( результат сложения единицы (1) и максимального числа класса (А)) представляет собой элемент более высокого,  чем рассматриваемый, класса.

Другими словами, в ГАС выполнимы все стандартные арифметические операции, но они не всегда выполнимы в рамках одного отдельно взятого  числового класса.

9. Свойство определенности веса числового класса.

Данное свойство  означает,  что  каждый числовой класс имеет в рамках ГАС строго определенный  актуально  бесконечный  вес, количественный показатель, являющийся основанием для сравнения данного бесконечного  числового  класса  с   другими.

Операционная система ГАС

1. 1. Для всех чисел ГАС (независимо от их конечности или бесконечности, принадлежности к различным по величине числовым классам) определены операции сложения и умножения, противоположные им операции вычитания и деления, а также все производные от них операции:  возведение в степень, извлечение корней произвольных степеней, логарифмирование и т.п.
2. 2. В ГАС определена операция сложения, представляющая собою закон, сопоставляющий каждой паре чисел а, b из ГАС некоторое третье число c, называемое их суммой и обозначаемое:  с  =  а + b.
3. Операция сложения обладает свойствами коммутативности и ассоциативности в стандартной трактовке.

3. В ГАС определена операция умножения, представляющая собою закон, сопоставляющий каждой паре чисел а, b из ГАС некоторое третье число  c, называемое их произведением и обозначаемое:  с  =  а* b.

Операция умножения обладает свойствами коммутативности и ассоциативности и дистрибутивности в стандартной трактовке.

4. В ГАС определена операция вычитания (обратная по отношению к сложению операция), представляющая собою закон, сопоставляющий каждой паре чисел а, b из ГАС некоторое третье число c, называемое их разностью  и обозначаемое  с  =  а — b.

5. В ГАС определена операция деления (обратная по отношению к умножению операция), представляющая собою закон, сопоставляющий каждой паре чисел а, b из ГАС некоторое третье число c, называемое частным от деления  и обозначаемое  с  =  а : b или с = а / b.

6. 6.1. Результаты всех операций, определенных в пп. 1-5 однозначныи определены в произвольном числовом классе ГАС, если они не представляют собой числа, меньшие или большие по модулю, соответственно, чем минимальное и максимальное числа данного числового класса ГАС.

6.2. Результаты всех операций, определенных в пп. 1-5, однозначныи определены  для  ГАС в целом, если  они не представляют собой числа, меньшие или большие по модулю, соответственно, чем минимальное и максимальное числа конвенциально абсолютного (максимального) числового класса ГАС.

2.1.3. Аксиоматика числового класса ГАС первого экзистенциального уровня

1. Существуют  универсальные  для  всех числовых классов ГАС числа «0» (нуль, универсальный нейтральный элемент) и «1» (единица, универсальный положительный элемент, такой, что для всякого числа b из ГАС 1*b = b).

2. Существуют предельные для данного числового класса  положительные числа:  «а» (минимальное число класса), не следующее ни за каким числом данного класса,  и «А» (максимальное число  класса), не предшествующее никакому числу данного класса.

3. Каждое  число  данного  числового класса ( за исключением    чисел «а» и «А»,  имеющих только  по  одному  из  рассматриваемых свойств) имеет  одно  предшествующее  ему и одно следующее за ним  числа.

4. Число «1» (универсальная единица ГАС), связано с предельными числами «а» и «А» следующими соотношениями:

4.1.   а*А=1;   а=1/А;   А=1/а;   

4.2.  а + а + …. + а = 1      1 + 1 + … + 1 = А;

            А раз                          А раз

4.3.  а + а + … + а = А.

        А 2  раз

Соотношения 4.1. — 4.3. означают, что вес (мощность) множества единиц,  входящих в «А» (и «а», входящих в 1) не ограничен аддитивно, но ограничен мультипликативно; это позволяет непротиворечиво сочетать требование бесконечности (неограниченности) класса с требованием его завершенности (наличия первого и  последнего элементов).

Аналогичными отношениями,  совпадающими с определениями операций в классической арифметике конечных чисел, число 1 связано и с прочими (не предельными) числами числового класса.

5. Число «0» (нуль), будучи универсальным нейтральным (ни положительным, ни отрицательным) элементом ГАС, не является элементом  какого-либо отдельного числового класса и связано со всеми числами произвольного числового класса следующими соотношениями:

5.1. 0*d = d*0 = 0;

5.2. из bd = 0 следует, что или b = 0 или d = 0 (если числа b, d не  являются делителями нуля);

5.3. деление на 0 невозможно;

5.4. с + 0 = 0 + с = с, где b, c, d — элементы числового класса, включая предельные.

6. Аксиома супердедукции.

6.1. Если утверждение доказано для некоторого числа с и из его справедливости для числа с/b следует справедливость  для числа с/bd  (с, b, d — числа одного числового класса), то утверждение справедливо для любого  неотрицательного числа числового класса, включая числа «а» и  «А».

6.2. Если утверждение доказано для некоторого числа с и из его справедливости для числа с*b следует справедливость  для числа с*b*d  (с, b, d — числа одного числового класса), то утверждение справедливо для любого  неотрицательного числа числового класса, включая числа «а» и  «А».

7. Аксиома супериндукции.

7.1. Если  утверждение доказано для «0» и из его справедливости для следующего за «0» неотрицательного числа «а» данного класса, следует справедливость для непосредственно следующего за  ним числа «2а»,  то утверждение справедливо для любого неотрицательного числа числового класса, включая число «А».

7.2. Если утверждение доказано для «А» и из  его  справедливости  для предшествующего числу «А» неотрицательного числа «А-а» данного класса,  следует справедливость для непосредственно предшествующего ему числа «А-2а», то утверждение справедливо для любого неотрицательного числа числового класса.

Соотношения в пп. 1-7 приведены здесь для положительных чисел числового класса;  для отрицательных и комплексных чисел числового  класса мы их выписывать здесь и ниже не будем из-за их очевидности.

В целом структура произвольного числового класса в ГАС  (с учетом подкласса отрицательных чисел)  будет выглядеть следующим образом:         

              -А … -1 …-a  0  a … 1 …A.

Базис числового класса

С учетом сказанного,  для генерации произвольного  числового класса ГАС необходимо лишь установить его базис (состав).

Базис числового класса  ГАС  — это актуально бесконечное счетное множество элементов (чисел), принадлежащих данному классу, размерность класса. Базисы всех числовых классов создаются в ГАС с помощью изложенного выше гармонического (аддитивно-мультипликативного или супердедуктивно-супериндуктивного) способа генерации.

Числовое значение базиса числового класса мы будем называть весом числового  класса. Стандартные веса числовых классов в иерархии ГАС играют роль единиц (мер) актуальной бесконечности, в которых могут быть измерены и определены различные актуально бесконечные множества.

Функции единиц бесконечности в ГАС идентичны функциям единиц измерения в любой конечной физической предметной области (например, граммов, килограммов, тонн и т.д.). Для того, чтобы оценить количественную определенность (относительный вес) слитка металла, совсем не обязательно знать количество атомов, находящихся в нем. Достаточно сказать, что его вес равен, к примеру, 2.5 килограмма.

Единицы измерения различных по величине видов актуальной бесконечности (а в пределе — абсолюта) в ГАС жестко субординированы и представляют собой идеальную актуально бесконечную «узловую линию мер» в сходной (хотя и не совпадающей) с гегелевской трактовке.

Важнейшей особенностью ГАС, вытекающей из сказанного, является то обстоятельство, что с весами  актуально бесконечных  множеств в ГАС можно работать также, как с весами конечных множеств в классической  арифметике. Ради этой особенности, собственно,  и разработана ГАС.

Конкретные  ГАС,  формируемые  на основе различных  конечных и актуально бесконечных базисов,  являются моделями  или интерпретациями рассматриваемой общей ГАС.

Вес подкласса положительных чисел каждого числового класса в ГАС равен А2 , а вес числового класса в целом  (с учетом веса подкласса отрицательных чисел) равен 2*А2, что вытекает из приведенной выше аксиоматики.

Действительно, поскольку в подклассе положительных чисел имеют место соотношения:   а + а + …. + а  = 1     и     1 + 1 + … + 1  = А,  справедливо также соотношение а + а + … + а = А; следовательно, с учетом равновесности подклассов отрицательных и положительных чисел, рассматриваемый произвольный числовой класс имеет в точности 2*А 2  элементов (входящих в данный класс чисел).

2.1.4. Классификация  чисел в ГАС

Классификация чисел, существующих в ГАС, не вполне совпадает с подобной классификацией в классической арифметике, хотя автор и стремился к сохранению преемственности.

В ГАС сохранено классическое деление чисел на  положительные  и отрицательные,  целые и дробные, комплексные, однако прочие основания деления и связанные с ними наименования существенно изменены.

Главным в  ГАС является подразделение чисел и их множеств на конечные и  бесконечные  (и  те  и  другие являются актуальными и   счетными; потенциальных чисел и множеств в  ГАС  не  существует).

Все  последующие деления относятся равным образом как к конечным, так и к бесконечным числам.

Классические «рациональные» числа в ГАС именуются «периодическими». Причем «периодическими» в ГАС могут быть не только дробные,  но и целые числа, поскольку число разрядов в системах счисления, используемых в ГАС, равно как «до», так и «после» запятой.

Например, «периодическим» является число вида: (9),0 = 999…9,0 (девять в периоде, запятая, ноль). Кроме того, периодические числа в ГАС,  в свою очередь, делятся на классы по количеству допустимых периодов. Так, строго различаются двух -,  трех-, …, n — периодические числа. Это обусловлено возможностью оперирования в ГАС актуально бесконечными числами и  множествами.

Классические «иррациональные» числа именуются в ГАС «непериодическими» (в качестве которых могут, также как и в предшествующем случае, выступать целые числа) и делятся на два дополнительных класса: «упорядоченные» и «неупорядоченные» числа.

«Упорядоченными» числами считаются такие непериодические числа,  которые имеют в своем строении последовательность цифр, задаваемую алгоритмически с помощью некоторой рекуррентной зависимости. Способ задания рекуррентной зависимости применительно к последовательности десятичных значений «упорядоченного числа» ничем не отличается от способов, используемых при генерации последовательностей чисел, и  состоит в указании операций и (или) вычислений, которые необходимо произвести над s независимо заданными непосредственно предшествующими членами последовательности десятичных значений «упорядоченного числа», чтобы получить очередной член последовательности десятичных значений.

Например, к «упорядоченным» непериодическим (рекуррентным) числам относятся числа вида: 1121231234…,0 и 0,101100111000… Существенным  признаком «упорядоченных непериодических чисел» является предсказуемость значений этих чисел до произвольно большого знака до или после запятой.

К «упорядоченным» относятся также непериодические числа, сформированные на основе некоторой рекуррентной зависимости первоначально в какой — либо d — ичной (d — произвольно большое — необязательно конечное — число)  системе счисления и апостериори переведенные в десятичную систему счисления. В такой трактовке большинство иррациональных чисел можно отнести к множеству «упорядоченных», хотя, разумеется, и в меньшей степени, чем те числа, при генерации которых использованы хорошо распознаваемые и достаточно простые математические зависимости.

Исходя из этого, упорядоченные непериодические числа, в свою  очередь,  делятся  на «вполне упорядоченные» и «частично упорядоченные» числа и т.д.  — в зависимости от типа и уровня сложности используемой рекуррентной зависимости.

«Неупорядоченными» числами считаются такие непериодические   числа (как целые,  так и дробные),  относительно которых не доказан факт наличия в их основе какой-либо рекуррентной (или иной логически упорядоченной) зависимости. Например, к «неупорядоченным» непериодическим  числам  (до момента доказательства обратного) относятся числа, в классической  арифметике именуемые «алгебраическими» и «трансцендентными».

Кстати говоря, проблема соотношения множеств в разной степени упорядоченных  непериодических чисел в бесконечных числовых множествах со временем может стать одной из наиболее интересных задач теории чисел, имеющих бесконечную область применения в философии (хаос как нераспознанный порядок), в физике (соотношение порядка и хаоса в материальных системах), в искусственном интеллекте (распознавание бесконечных, плохо структуризированных образов и сжатие сверхбольших массивов информации) и т.п.

Названные виды чисел входят в структуру всех числовых классов, принадлежащих ГАС, то есть являются универсальными для любых   типов актуально бесконечных чисел.

Классификация основных видов конечных и бесконечных чисел, входящих в структуру произвольного числового класса ГАС

	Периодические числа	Непериодические числа
Целые числа	Целые 2,3,…,n периодические числа	Целые упорядоченные числа	Целые неупорядоченные числа
Дробные числа	Дробные 2,3,…, n периодические числа	Дробные упорядоченные числа	Дробные неупорядоченные числа

Иерархия числовых классов в ГАС

ГАС представляет собой систему актуально существующих встроенных один — в другой и порождающих друг друга числовых классов.

При формировании структуры числовых  классов той или иной версии ГАС равноправными считаются два подхода: статический и динамический. 

Статический подход предполагает завершенность (актуальность) системы  числовых классов,  то есть существование некоторого конвенциально определяемого Суперкласса, объемлющего все прочие числовые классы  и  не подлежащего расширению в рамках данной версии  ГАС. В статической версии ГАС числа и множества, имеющие вес, превышающий конвенционально допустимый для Суперкласса, рассматриваются как неопределенные (внесистемные) и не могут конституироваться как предметы или результаты арифметических операций в ГАС.

Статический подход  имеет то преимущество, что доводит «до логического конца» принцип актуальной бесконечности, устанавливая условный Абсолют, моделирующий Абсолют реальный (умопостигаемый Универсум), без существенных   потерь в размерности (общем весе) системы.

Динамический подход предполагает незавершенность (потенциальность) иерархии числовых классов, то есть возможность неограниченного «восхождения» к Абсолюту путем порождения все новых, более широких числовых классов на базе первого актуально бесконечного числового класса.

Следует особо отметить, что потенциальный характер расширяемой последовательности числовых классов в динамической версии ГАС  в рассматриваемом контексте не противоречит тезису о счетности и об актуальности всех элементов и подсистем ГАС, а также ГАС в целом.

Дело в том,  что в данном случае потенциальность процесса расширения  ГАС  обусловлена  общей ограниченностью, конечностью гносеологических возможностей науки, объективной невозможностью актуального познания Абсолюта (который, возможно, и сам не статичен, не завершен в классическом смысле этого слова), а не непоследовательностью в формировании теоретической модели.

И в динамическом  подходе к формированию ГАС сохраняется главный принцип: в каждый конкретный момент времени все элементы  ГАС (как ранее существующие, так и вновь созданные) актуальны (конечны  или бесконечны).

В динамической версии ГАС числа и множества, имеющие вес, превышающий вес последнего класса, сформированного к данному моменту,  рассматриваются как определенные (легитимные) только при условии реализации операции порождения (генерации) нового, более широкого актуального числового класса, включающего их в качестве элементов или подмножеств, и не могут конституироваться как предметы или результаты арифметических операций в  ГАС  до   этого события.

Динамический подход позволяет непротиворечиво развивать ГАС  как систему мышления, направленную на «исчерпание», последовательное отображение количественных отношений Абсолюта.

В этом смысле Динамическая ГАС представляет собой  расширяемую систему Статических ГАС, всесторонне удовлетворяющих требованию единственности абстракции счетной актуальной бесконечности  в качестве системообразующего принципа новой арифметики.

Если говорить о качественной структуре ГАС, то последняя делится на две составные части: «класс материальных чисел» и «класс ментальных чисел».  Такое деление связано с тем, что окружающий нас материальный мир вполне конечен по своей размерности. В частности, количество атомов  в нашей галактике выражается весьма скромными с точки зрения бесконечности числами.

Поэтому, «заложив» некоторый минимальный актуально бесконечный базис в основу первого числового класса, мы обеспечиваем (удовлетворяем) полный объем потребностей в счете и в арифметических действиях на материальном уровне.

При этом, говоря о «минимальности» актуально бесконечного базиса первого числового класса, мы имеем в виду его минимальность лишь по отношению к базисам объемлющих классов. Это не означает, что максимальное число первого числового класса — первое актуально бесконечное число, как в канторовской теории множеств. Напротив, уже в рамках первого числового класса существует актуально бесконечное множество различных по весу бесконечных чисел. В частности, корни любых конечных степеней из максимального числа первого числового класса — актуально бесконечные числа. То есть в ГАС, в отличие от канторовской теории трансфинитных чисел, нет явно выраженной паралогичной границы между конечными и бесконечными числами. Это — одно из наиболее фундаментальных отличий ГАС от канторовской теории множеств. Другими словами, максимальное число первого числового класса — лишь первая единица измерения актуальной бесконечности, но никак не первое актуально бесконечное число.

Другое дело — «ментальная реальность», в которой какие-либо ограничения на количество и характеристики объектов отсутствуют. Вполне правомерно выделить числовые классы, описывающие свойства этой реальности в класс «ментальных чисел», то есть чисел, описывающих не воспринимаемые органами чувств, осознаваемые только на ментальном уровне объекты.

Первый числовой класс. Материальные числа.

Первый числовой класс (класс материальных чисел),  как и все  прочие классы ГАС, формируется на основе аксиом, изложенных выше.

Введем следующие обозначения:   1а — минимальное число класса, 1А — максимальное число класса.

Тогда, в соответствии с аксиоматикой ГАС, вес подкласса положительных материальных чисел  равен  1А 2 .  Вес класса материальных чисел в целом  (с учетом подкласса отрицательных чисел) равен 2*1А2.

Положительные числа в диапазоне от  1  —  до   1А  называются «правыми» числами  класса, в классической арифметике. Положительные целые числа в диапазоне от 1 — до  1А примерно соответствуют понятию натуральных чисел в классической арифметике (если абстрагироваться от факта потенциальности, незавершенности классического натурального ряда).

Числа в диапазоне от  1а — до 1 примерно соответствуют понятию действительных чисел (меньших единицы) в классической арифметике, и называются «левыми» числами класса.

Единица представляет собой — одновременно — максимальное число множества левых чисел и минимальное число множества правых.

Если говорить о десятичном представлении чисел  1а и 1А,  то это выглядит в ГАС следующим образом:

1а = 0,(0]1  и   1А = 1[0),0.

  Ментальные числа.

Расширением первого  числового  класса  в ГАС является класс ментальных чисел,  состоящий из бесконечного числа вложенных друг  в друга подклассов.

Класс ментальных чисел (в случае статических ГАС) завершается  числами: «{A}» — конвенциально абсолютно большим положительным числом,  не имеющим осмысленных расширений (последующих чисел) и «{а}» —  конвенциально абсолютно малым положительным числом, не имеющим предыдущих положительных чисел.

Как и все прочие предельные положительные числа ГАС, они связаны между собой отношением: {A}*{а} = 1.

В динамических ГАС  класс ментальных чисел может быть преодолен и расширен до супраментального и т.п., что, очевидно, может иметь смысл только в теологических исследованиях. Подобное расширение называется в ГАС интенсивным. Процедура  интенсивного расширения ГАС (перехода к новой суперединице бесконечности) всегда дедуктивна и состоит в выборе нового максимального числа, например, конвенциально абсолютного супраментального числа и в последовательном актуально бесконечном делении его до обычных единиц, фиксируемом на аксиоматическом уровне. После этого осуществляется актуально бесконечный цикл экстенсивных (индуктивных) расширений старых (уже существующих) числовых классов до нового числового класса, также фиксируемый аксиоматически.

Процедура экстенсивного (индуктивного) расширения предшествующего класса всегда однотипна и состоит  в  конструировании  минимального и максимального числа  нового класса путем возведения в  квадрат соответствующих  чисел предшествующего класса. 

В случае второго числового класса ГАС  (первого  ментального класса) это выглядит следующим образом:  2а  =  1а *  1а =  1а2 — минимальное число 2 класса;  2А =  1А *   1А =  1А2 — максимальное число 2-го класса. Число в верхнем левом углу над рассматриваемым числом означает номер числового класса.

Поскольку вышеизложенные аксиомы справедливы для всех числовых классов ГАС,  универсальны,  специальной разработки  дополнительного аппарата  для  оперирования числами и множествами нового числового класса не требуется.

Последовательное применение процедуры расширения числовых  классов приводит к иерархии бесконечно малых и бесконечно больших   чисел и соответствующих им классов.

Здесь уместно привести также системообразующую для ГАС «аксиому  иерархии».

«Аксиома  иерархии» устанавливает зависимость  между максимальными и  минимальными  числами  различных  классов, между конечными и бесконечными числами, между бесконечными числами (мерами бесконечности) различных порядков.

Для статистической ГАС первого экзистенциального уровня «Аксиома иерархии»  сводится к двум соотношениям:

1) Аксиома иерархии для класса материальных чисел:

1А^1/s > cd  и  1a^1/s < 1/cd ,  где s, с и d — произвольно большие конечные положительные целые материальные числа;

1А : с = V; 1А ^1/s = R , где с и s — произвольно большие конечные положительные материальные числа, а V и R — бесконечные материальные числа.

 2) Аксиома иерархии для класса ментальных чисел:

 {А}^1/s > cd  и {a}^1/s < 1/cd ,  где s, с и d — произвольно большие бесконечные положительные целые ментальные числа.

 {А} : с = V; {А} ^1/s = R , где с и s — произвольно большие бесконечные положительные числа, а V и R — конвенциально абсолютно бесконечные ментальные числа.

 В ГАС существенно понятие «Большой числовой класс».

 Большой числовой класс — это класс,  включающий в себя аддитивно неограниченное количество числовых классов,  начиная с первого. Большие числовые классы имеют собственную иерархию и образуют Суперкласс, в который входит аддитивно неограниченное количество Больших числовых классов.

Числа Большого числового класса обозначаются следующим образом (на примере предельных чисел):                                                                                   

1) минимальное число k-го числового класса n- го БЧК — n.k а;

2) максимальное число k-го числового класса n- го БЧК — n.k А.                       

Суперкласс представляет  собой последнюю структурную единицу статической ГАС первого экзистенциального уровня, то есть завершает класс ментальных чисел.

Все числовые классы,  большие числовые классы и суперкласс в рамках статических ГАС любых уровней актуальны и счетны изначально, то есть считаются заданными единовременно в момент формулирования процедуры их генерации.

Максимальное и минимальное числа Суперкласса рассматриваются  в статической ГАС первого уровня в качестве конвенциональных Абсолютных чисел. Такая размерность ГАС более чем достаточна для  решения любых гносеологических  задач, имеющихся  в  наличии,  и  большинства перспективных.

Вместе с тем,  возможно деление ГАС на иерархизированные  по весу единицы метасчисления: числовые классы, большие числовые классы и суперклассы различной размерности (вкупе с механизмом их генерации). То есть в рамках гармонической арифметики возможна супердинамизация динамических арифметических систем. Это позволяет неограниченно расширять ГАС в направлении к истинному Абсолюту (к границам умопостигаемого Универсума) путем последовательного введения все более широких единиц метасчисления без потери универсальности (общности) аксиоматики и операционной системы.

В ГАС легко доказываются все важнейшие теоремы классической арифметики,  использующие закон исключенного третьего (в ТФО – закон исключенного пятого), а также обеспечиваются необходимые условия для глубоких интеллектуальных «прорывов» в познании природы и законов абсолютного.

Кроме того, ГАС является полноценным инструментом для создания принципиально новых версий геометрии и математического анализа, в которых  понятия бесконечно малой и бесконечно большой величин будут употребляться в точно определенном непротиворечивом смысле.

Таким образом, ГАС представляет собой инструмент математического мышления, отвечающий продекларированным выше интенциям, и автору остается надеяться, что эту уверенность с ним разделят члены математического сообщества, уставшие от противоречий «наивной» и аксиоматических теорий множеств и логических ограничений интуиционизма и конструктивизма.

[Впервые опубликовано: Петросян В.К. Основные положения концепции оснований гармонической арифметики //Бесконечность в математике: философские и исторические аспекты. — М.: Янус — К, 1997. —  с. 48-66]

 

 2.2. К основаниям гармонической теории чисел

Гармоническая теория чисел – это неотъемлемая составная часть (раз­дел) гармонической арифметики:арифметической системы нового поколе­ния, основанной на абстракции актуальной бесконечности и лишенной про­тиворечий канторовской теории множеств.

Последовательное использование и значительное обогащение абстракции актуальной бесконечности (при одновре­менном полном отрицании логической и математической адекватности абст­ракции потенциальной бесконечности в ее стандартной – атемпоральной — трактовке) – весьма существенное, но далеко не единственное отличие гар­монической теории чисел от классических числовых (шире — арифметиче­ских) систем.

В названных взаимно альтернативных ментальных устройствах весьма различно также понимание природы и сущности числа вообще, не говоря уже о множественных взаимных несоответствиях в структуре и функциях число­вых классов всех уровней общности, механизмах (алгоритмах) вычислений и способах представления их результатов.

Поскольку указанные различия касаются (кроме прочего) класса конеч­ных чисел, легко показать, что даже в этой своей относительно непротиворе­чивой части, индифферентной — в какой-то мере — к понятию бесконечности, классическая арифметика во многих отношениях – лишь чрезвычайно бедный по своим гносеологическим, логическим и вычислительным возможностям предельный частный случай арифметики гармонической.

Экспликации  этого факта и посвящена настоящая статья.

2.2.1. Родо-видовое определение понятия число (аритмос)

Как известно, в классической арифметике (несмотря на весьма почтен­ный возраст этого фундаментального ментального устройства) не существует сколь-нибудь адекватного и общепризнанного родо-видового определения понятия число, аритмос (arithmos). В распоряжении профессиональных ма­тематиков и пользователей других категорий имеются лишь поверхностные (мягко говоря) — более или менее удачные в смысле точности и доходчивости — остенсивные и номиналистские квазидефиниции, описания и иллюстрации этого базового понятия, апеллирующие к уже сложившейся неформальной математической интуиции каждого нормального человека.

Это объясняется многими причинами — как субъективными (аксиологи­ческими), на которых мы не будем здесь останавливаться, дабы не вступать в очередной раз в полемику с современными представителями ортодоксального априоризма, так и объективными (гносеологическими), связанными с изна­чально индукционистским (от частного – к общему), сугубо эмпирическим характером процесса формирования корпуса основных понятий арифметики в процессе математического познания.

Соответственно, любая серьезная попытка последовательно дедуктив­ного (от общего – к частному) подхода к разработке общей теории чисел и определению понятия число требует тотального пересмотра всей системы ба­зовых интуиций и ментальных архетипов, лежащих в основе классической арифметики.

Прежде всего, как представляется, должен быть устранен один из наи­более фундаментальных (и, одновременно, наименее адекватных) метаприн­ципов традиционного человеческого мышления и, в частности, формирова­ния иерархии числовых систем в арифметике (принцип недопустимости «дурной бесконечности», введенный в явном виде С. Эмпириком), совер­шен-но паралогичным образом постулирующий запрет на увеличение числа метауровней базовых ментальных систем и, соответственно, правомерность меньшей степени определенности, формализованности и обоснованности общего по сравнению с особенным и частным (в пределе —  единичным).

Это означает, что произвольно взятая математическая или любая другая — претендующая на логическую строгость — ментальная система не может быть признана состоятельной, если ее базовые термины не имеют достаточно точных родо-видовых определений, а также то, что сколь совершенными ни были бы уже сформулированные дефиниции произвольно взятой теории, они нуждаются в многократном циклическом уточнении и переосмыслении.

Очевидно, что выполнение приведенного выше требования для пре­дельно общих ментальных объектов возможно только в случае формирования и непрерывного последующего развития актуальной иерархии гносеологиче­ских (когнитивных) метауровней, каждый из которых выступал бы логиче­ским родом по отношению к предшествующему (нижестоящему) по степени общности (видовому) ментальному объекту (пусть даже предельному в ка­ком-то смысле с точки зрения классической теории познания).

Поскольку ментальный объект число относится именно к таким пре­дельно общим инструментам мышления, ближайший род для него по необхо­димости должен лежать в сфере формальной логики, являющейся для мате­матики естественной гносеологической метасистемой. По нашему мнению, в сфере формальной логики единственным ментальным объектом, достаточ­ным по уровню общности, чтобы включить в себя число в качестве логиче­ского вида,  является понятие.

Представление числа как понятия (искусственного ментального арте­факта) с некоторыми особыми (видовыми) свойствами сразу же вызывает множество вопросов, самые очевидные из которых можно сформулировать следующим образом. Если числа  – это некоторый частный класс понятий, то что собой представляет автоматически возникающий в качестве логической альтернативы числам класс понятий-не-чисел? Как соотносятся между собой числа и не-числа? Какова общая родо-видовая структура класса чисел?

К сожалению, наличный инструментарий стандартной (дисгармониче­ской) формальной логики не позволяет сколь-нибудь вразумительно ответить на поставленные выше вопросы. Поэтому обратимся к понятийному аппарату разрабатываемой автором гармонической логики.

Определим вначале понятие как ментальный артефакт (искусственно созданную модель некоторого денотата, достаточно точно выделенного фрагмента материального или ментального универсума), представляющий собой единство гносеологических содержания, объема и состава (см. Схему 1).

Схема 1. Соотношение понятия и его денотата

	Содержание	Объем	Состав
Понятие (модель денотата)	Гносеологиче­ское содержание понятия	Гносеологиче­ский объем понятия	Гносеологиче­ский состав понятия
Денотат понятия (фрагмент универсума)	Онтологическое содержание понятия	Онтологический объем  понятия	Онтологический состав понятия

В Схеме 1. гносеологические содержание, объем и состав понятия же­стко противопоставлены онтологическим (денотативным) содержанию, объему и составу понятия. Это связано с тем, например, что множество свойств произвольно взятого экзистенциального объекта (фрагмента матери­ального или ментального универсума, денотата), моделируемые в понятии (гносеологическое содержание понятия), очевидно не совпадают с множест­вом свойств (онтологическое содержание понятия, содержание денотата понятия), которыми де факто обладает сам представляемый в мышлении объект (денотат).

Каждый индивид из класса реальных  (материальных или ментальных – неважно) предметов, ограниченного некоторым понятием, может входить в данное понятие лишь в качестве особого ментального объекта-представи-теля, подпонятия, ментальной модели реального единичного предмета (со­ставной части денотата), то есть быть элементом гносеологического объема понятия.

К сожалению, в стандартной формальной логике эти вполне, на наш взгляд, очевидные вещи различаются достаточно смутно (если вообще разли­чаются). Сделав эти предварительные замечания, дадим определения указан­ных в Схеме 1 понятий.

Гносеологическое содержание понятия – (1) система свойств (призна­ков) и отношений, приписываемых какому-либо понятию как ментальной модели некоторого онтологического объекта (денотата), взятого в фиксиро­ванный момент времени; (2) система свойств (признаков) и отношений, яв­ляющихся основой конструирования достаточно точной (с точки зрения пре­следуемых когнитивных целей) ментальной модели произвольно взятого фрагмента универсума.

Онтологическое содержание понятия (содержание денотата поня­тия) – система свойств (признаков) и отношений, присущих отдельно взя­тому (выделенному из универсума) онтологическому объекту (классу объек­тов) в произвольный момент времени.

Гносеологическое и онтологическое содержания понятия не могут быть тождественными. Как правило, гносеологическое содержание понятия – ничтожно малая составная часть его онтологического содержания (содержа­ния денотата), фиксируемая и удерживаемая нашим сознанием. В отдель­ных случаях, когда, свойства денотата искусственно изменяются в понятии, — идеализируются, например, гносеологическое и онтологическое содержания понятия становятся пересекающимися множествами свойств.

Гносеологический объем понятия – множество индивидных понятий-представителей класса онтологических объектов (денотативного класса), ог­раничиваемого данным понятием, удовлетворяющих гносеологическому со­держанию понятия (реально прошедших процедуру верификации факта своей принадлежности понятию и/или способных пройти такую процедуру потенциально).

Здесь важно подчеркнуть, что для определения гносеологического объ­ема понятия достаточно иметь точный операционализированный критерий принадлежности произвольно взятых субпонятий – представителей индивид­ных онтологических объектов определенного класса (элементов денотата) рассматриваемому понятию. Совершенно необязательно при этом распола­гать всеми элементами (подпонятиями) данного класса в явном виде (даже если рассматриваемое множество конечно) или самодостаточной процедурой генерации их всех без исключения.

Онтологический объем  понятия – множество индивидных онтологиче­ских объектов (элементов денотата), удовлетворяющих – каждый —гносеоло­гическому содержанию понятия.

Гносеологический состав понятия – заданное в явном виде или гаран­тированно генерируемое с помощью некоторой точной процедуры (алго­ритма) конечное или актуально бесконечное множество индивидных поня­тий-представителей (моделей) класса онтологических объектов, ограничи­ваемого данным понятием.

Системообразующим для идеи состава понятия – в отличие от идеи объема понятия – является признак одновременности существования эле­ментов понятия и их вхождения в ограничиваемый данным понятием класс предметов (или наличия точного алгоритма генерации всех – без исключения – элементов рассматриваемого множества).

Онтологический состав понятия -заданное в явном виде или гаранти­рованно генерируемое с помощью некоторой точной процедуры определен­ное конечное или актуально бесконечное множество онтологических объек­тов, охватываемых данным понятием.

Сравнивая приведенные выше определения гносеологических объема и состава понятия, легко убедиться, что эти термины выполняют в гармониче­ской логике совершенно различные функции. Для определения объема поня­тия достаточно иметь процедуру установления факта принадлежности од­ного произвольно взятого индивидного объекта (подпонятия) – понятию, а для определения состава понятия необходима процедура актуализации множества подпонятий, гарантирующая, что все элементы понятия или уже даны в явном виде (актуальны), или могут быть каким-либо однозначно по­нимаемым способом приведены к одновременному существованию (путем порождающего пересчета с прибавлением единицы на каждом шаге, напри­мер).

То есть определение состава понятия – априори (операционально, процедурно) гораздо более сложная гносеологическая и технологическая (ал­горитмическая) задача, чем определение его объема.

Неразличение функций названных логических подсистем понятия в традиционных логике и математике (точнее — полное игнорирование логико-математическим сообществом всех времен идеи состава понятия) – основ­ная, на наш взгляд, причина тотальной самопротиворечивости канторовской теории множеств и аналогичных по уровню общности ментальных устройств.

Именно с изложенными обстоятельствами и связано принятие в гармо­нической логике основных законов формального мышления в существенно более строгой версии, чем классическая:

1. Закон строго тождества (ЗСТ). Некоторое понятие логически пра­вомерно (может быть элементом содержательной или формальной менталь­ной системы), если (и только если) оно на протяжении сколь угодно длинного рассуждения сохраняет в неизменном виде свои содержание, объем и состав (или иначе: на протяжении сколь угодно длинного рассуждения необходимо сохранять в неизменном виде содержание, объем и состав рассматриваемого понятия).

2. Закон исключенного пятого (ЗИП). Из двух противоречащих сужде­ний одно непременно истинно при условии достаточной осмысленности и определенности обоих суждений.

3. Закон  гармонии (ЗГ).  3.1. Из двух достаточно осмысленных и опре­деленных контрадикторных суждений об одном объекте, высказанных в одно и то же время и в том же отношении, одно только истинное. 3.2.Достаточно осмысленные и определенные контрадикторные и контрарные суждения об одном объекте могут быть одновременно и равно истинными, если они сде­ланы относительно разных моментов (этапов, стадий, фаз) существования объекта и (или) в разном смысле (отношении).

Сказанное безусловно справедливо и для онтологических объема и со­става понятия. Далее, однако, чтобы избежать контекстуально неоправдан­ного удвоения числа определений, мы будем вести речь только о гносеологи­ческих  содержании, объеме и составе понятия.

Рассмотрим теперь соотношение квалитативных (качественных)и квантитативных (количественных) составляющих в обозначенных выше структурных компонентах (подсистемах) понятия (см. Схему 2).

Схема 2.  Соотношение квалитативной (качественной) и квантита­тивной (количественной) подсистем понятия

	Содержание	Объем	Состав
Квалитативная под­система понятия (ритмос понятия)	Квалитативное содержание понятия	Квалитативный объем понятия	Квалитативный состав понятия
Квантитативная по­дсистема понятия (число, аритмос по­нятия)	Квантитатив­ное содержание понятия	Квантитативный объем  понятия	Квантитативный состав понятия

Квалитативная (качественная) подсистема полного понятия (сино­нимы: квалисистема, квалитет, ритмос полного понятия)– функционально зависимая составная часть полного понятия, включающая в себя его квалита­тивные (качественные) содержание, объем и состав. 

Здесь необходимо оговориться, что понятия ритмос (rithmos) – не-число (зависимая или самостоятельная квалисистема) и аритмос (аrithmos) – число (зависимая или самостоятельная квантисистема)  в гармонических ло­гике и арифметике используются в значениях, этимологически и семантиче­ски не совпадающих (лишь частично пересекающихся) со значениями их древнегреческих лингвистических прототипов. В частности, буква «а» в слове аритмос (аrithmos)в гармонической логике рассматривается как отрицательная частица, чего не было в древнегреческой лингвистической традиции.

Кроме того, аритмос (аrithmos), число, количественное понятие в нашей версии, контрадикторным образом противопоставляется ритмосу (rithmos), качественному понятию, а не апейрону (неопределенному и бесформенному беспредельному), как у древних греков. На наш взгляд, описанная ситуация вполне нормальна. Как известно, количество имен меньше, чем количество объектов, требующих именования, и существенно меньше, чем количество возможных смыслов. Поэтому в подобных инновационных гносеологических ситуациях мы вправе придавать новые смыслы известным именам и обозначать ими новые объекты – особенно, когда при этом возрастает качество и точность познания.  

Квалитативное содержание (квалисодержание) понятия – (1) составная часть гносеологического содержания понятия, система качественных свойств (признаков) и отношений, приписываемых какому-либо понятию как ментальной модели некоторого онтологического объекта, взятого в фиксированный момент времени; (2) система качественных свойств (признаков) и отношений, являющихся основой конструирования достаточно точной ментальной модели произвольно взятого фрагмента универсума.

Квалитативный объем (квалиобъем) понятия – множество индивидных объектов-подпонятий (ментальных представителей соответствующих онтологических объектов), удовлетворяющих квалитативной составляющей гносеологического содержания понятия.

Квалитативный состав (квалисостав) понятия -заданное в явном виде или гарантированно генерируемое с помощью некоторой точной процедуры (алгоритма) конечное или актуально бесконечное множество индивидных понятий-представителей класса онтологических объектов, ограничиваемого квалитативным содержанием данного понятия.

Квантитативная подсистема полного понятия (синонимы:квантисистема, квантитет, число, аритмос полного понятия)– функционально зависимая  составная часть полного понятия, включающая в себя его квантитативные (количественные) содержание, объем и состав.

Квантитативное содержание (квантисодержание) понятия – (1) составная часть гносеологического содержания понятия, система количественных свойств (признаков) и отношений, приписываемых какому-либо понятию как ментальной модели некоторого онтологического объекта, взятого в фиксированный момент времени; (2) система количественных свойств (признаков) и отношений, являющихся основой конструирования достаточно точной ментальной модели произвольно взятого фрагмента универсума.

Квантитативный объем (квантиобъем)  понятия  –  множество индивидных объектов-подпонятий (представителей соответствующих онтологических объектов), удовлетворяющих – каждый — квантитативной составляющей гносеологического содержания понятия (имеющих сходные в каком-либо строго заданном смысле количественные признаки).

Квантитативный состав (квантисостав) понятия –имеющееся в явном виде или гарантированно генерируемое с помощью некоторой точной процедуры (алгоритма) конечное или актуально бесконечное множество индивидных понятий-представителей класса онтологических объектов, ограничиваемого квантитативным содержанием данного понятия.

Аналогов термина квантитативный состав (квантисостав) понятия в стандартных логике и математике нет. Если рассматриваются небольшие по элементной базе (легко обозримые) и хорошо определенные (в том числе –формализованные) множества (знаки Зодиака, например), значения терминов квантитативный объем (квантиобъем) понятия и квантитативный состав (квантисостав) понятия в стандартной логике просто совпадают.

В случае  же бесконечных множеств в классической логике и канторовской теории множеств идея квантитативного состава (квантисостава) понятия просто элиминируется, устраняется(в противном случае понятие несчетность, например, даже не могло бы возникнуть). То есть в последнем случае требование гармонической логики об обязательности определения и обеспечения полной самотождественности квантитативного состава любого понятия (в том числе — множества)просто находится вне поля восприятия адептов традиционных формальных ментальных систем.

Схема 3.  Общая структура класса понятий

	Понятия
	Полные понятия	Неполные (частные) понятия		Нуль-понятия (меональные понятия)
		Не-числа (ритмосы)	Числа (аритмосы)
Квалисистема (квалитет, ритмос) понятия	Квали-система конкретна	Квали-система конкретна	Квали-система абстрактна	Квали-система абстрактна
Квантисистема (квантитет, аритмос) понятия	Кванти-система конкретна	Кванти- система абстрактна	Кванти- система конкретна	Кванти- система абстрактна

Рассмотрим общую структуру класса понятий, непосредственно следующую из приведенного выше определения понятия (см. Схему 3).

В гармонической логике все понятия делятся на три больших класса: нуль-понятия (меональные понятия, пустые понятия),  полные понятия и неполные (частные, дробные, специальные) понятия.

Нуль-понятия (меональные понятия, пустые понятия)– это первичные (системообразующие) понятия с абстрактными квалитативной (ритмос) и квантитативной (аритмос) подсистемами, детерминирующие характер ментальной деятельности субъекта познания в рамках произвольно взятой ментальной системы. Нуль-понятия – это понятия высшего (для каждой отдельно взятой ментальной системы) уровня абстрактности, основа (система «минимальных ментальных кирпичиков») всей гармонической логики и, шире, теории ментальных объектов.

Основная функция нуль-понятий в сложных ментальных устройствах и технологиях новых поколений – служить своего рода «гносеологическими пустографками» («ментальными сосудами», «футлярами сознания», способными вмещать некоторую строго обусловленную конкретику), заполняемыми необходимыми смыслом и содержанием исследователями и разработчиками, и, одновременно, регуляторами (фильтрами, форматами и т.д.) осмысленно-сти и определенности, призванными детерминировать максимальный уровень абстрактности, допустимый в той или иной ментальной системе, задавать разнообразные системы аксиологических семантических, логических и иных координат (ценностей, норм, требований, условий осмысленности и определенности и т.д.).

Необходимо пояснить, что абсолютной абстрактности ни один объект человеческой ментальности достичь не может. Поэтому нуль-понятия фиксируют и предопределяют (нормируют) максимально возможную в тех или иных ментальных системах меру абстрактности используемых понятий(выраженную как качественно, так и количественно – с помощью специальных логико-семантических и математических шкал, например).

Нуль-понятия позволяют конструировать сколь угодно точные в качественном и количественном отношениях ментальные объекты (в том числе — научные теории и метатеории, их комплексы и т.п.) универсальной природы и произвольного уровня сложности (вложенности, связанности и т.д.), обладающие заранее заданными свойствами.

В гармонической логике существует метааксиома: то, что постулировано (или доказано) относительно нуль-понятия(й) той или иной ментальной системы, постулировано (или доказано) для всех понятий этой системы.

Прямых аналогов нуль-понятий в современных гносеологии, логике и математике нет (как, впрочем, и в стандартно понимаемом «реальном мире»).

Если говорить о месте и статусе нуль-понятий в сверхсложных ментальных системах (в том числе – о полной системе человеческого знания об универсуме и всех его составных частях и элементах), то различные по своим гносеологическим свойствам и функциям нуль-понятия (и их семейства) могут образовывать многоуровневые актуальные иерархии (своего рода «узловые линии» ментальных мер), призванные упорядочивать (регулировать, нормировать) мыслительную человека в произвольно выбранной предметной области. Очевидно, что в такого рода иерархиях нуль-понятия высшего уровня общности будут существенно более абстрактными, чем нуль-понятия, относящиеся к более специальным (конкретным) областям. 

Важно отметить, что использование нуль-понятий при построении каких-либо ментальных систем – если требуемый уровень семантической и логической строгости и абстрактности может быть достигнут другими средствами — достаточно факультативно (как известно, человечество многие тысячелетия успешно познавало окружающий мир и самое себя, даже не подозревая о существовании нуль-понятий и не испытывая в них осознанных потребностей). Другое дело, что ментальные системы высших уровней строгости и сложности без нуль-понятий (и их актуальных иерархий) построены, скорее всего, быть не могут (или будут неадекватными своему назначению, то есть недостаточно эффективными).

Сказанное относится, прежде всего, к «картинам» (ментальным картам, моделям) крупных областей универсума и человеческой деятельности, системам искусственного интеллекта, автоматизированным гносеологическим и креативным устройствам, логико-математическим системам новых поколений и т.п. ментальным объектам высшего уровня фундаментальности.

Особенное же значение нуль-понятия приобретают в ментальных войнах, когда в рамках единого ментального пространства начинают жестко противоборствовать друг другу актуально несоизмеримые во всех своих базовых компонентах научные или любые другие ментальные устройства. Функция нуль-понятий в подобных гносеологических ситуациях – обеспечение соизмеримости разнородных ментальных систем, приведение их к единому роду более высокого уровня (метароду).

Ограничения объема и специфика предмета статьи не позволяют охарактеризовать нуль-понятия более подробно.

Полные (целостные, единичные) понятия —  это понятия с конкретными квалитативной (ритмос, не-число, квалитет, квалисистема) и квантитативной (аритмос, число, квантитет, квантисистема) подсистемами.

Под конкретностью здесь понимается любая степень абстрактности, кроме максимальной, то есть состояния полного отвлечения от каких-либо свойств (последнее – прерогатива нуль-понятий).  Примерами полного понятия могут служить, скажем, корзина с яблоками, латинский алфавит, музыкальный ряд и т.д.

Неполные (частные, дробные, специальные) понятия – это самостоятельные понятия с попеременно абстрактными и конкретными квалитативной и квантитативной подсистемами. Неполные понятия делятся на два фундаментальных в гносеологическом отношении класса логически взаимно альтернативных (контрадикторных друг другу) ментальных объектов – не-числа (ритмосы, квалитеты, квалисистемы) и числа (аритмосы, квантитеты, квантисистемы).

Не-числа (ритмосы, квалитеты, квалисистемы) — это гносеологически самостоятельные частные (неполные) понятия с конкретной квалитативной и абстрактной квантитативной подсистемами, то есть качественно определенные ментальные объекты, условно отвлеченные от количественного содержания, объема и состава. Классический пример — «облако в штанах», шире, — большинство художественных, магических и т.п. «правополушарных» ментальных образов. Для своего адекватного использования в нормальной ментальной практике ритмосы, понимаемые как функционально самостоятельные  объекты (не как подсистемы полных понятий), не нуждаются в квантитативных свойствах и дефинициях.

Числа (аритмосы, квантитеты, квантисистемы) — это (1) гносеологически самостоятельные частные (неполные) понятия с абстрактной квалитативной и конкретной квантитативной подсистемами или, иначе, строго определенные ментальные объекты, имеющие точно фиксированные конкретные квантитативные содержание, объем и состав и, одновременно, абстрактные (условно несуществующие) качественное содержание, объем и состав; (2) результаты разнообразных операций с (и над) объектами, определенными в п.1).

Если из приведенного определения класса чисел убрать слово состав, оно вполне могло бы претендовать на статус родо-видового определения понятия число в традиционной математике. Поскольку, однако, это ведет к многочисленным самопротиворечиям классической арифметики и теории множеств, мы этого делать не будем из принципа.

Отметим еще одно важнейшее различие понятия число в изложенной выше и классической трактовках. В приведенном определении число как специфический вид понятия функционально ответственно за все без исключения действительные и возможные квантитативные (количественные) характеристики произвольно взятого понятия. Это позволяет в гармонической теории чисел «нагружать» понятие число совершенно произвольными квантитативными свойствами и их комбинациями (смыслами), многократно превышающими по уровню разнообразия классические аналоги.

Математик в гармонической арифметике является творцом, изобретателем, инженером математических устройств с какими угодно априори заданными или апостериори зафиксированными свойствами (в том числе — абсолютно экзотическими, совершенно невозможными в «нашем» мире).

Не так в традиционной теории чисел. В основе классических арифметических представлений лежит весьма специфический, чрезвычайно бедный по своим квантитативным характеристикам и плохо формализованный ментальный объект, именуемый натуральным числом. Все прочие числовые классы (рациональные, иррациональные, отрицательные, мнимые и прочие числа) выводятся (дедуцируются) из натуральных. Это до крайней степени примитивизирует математику, ставшую заложницей убогих эмпирико-индукционистских представлений (интуиций) о числе, сформировавшихся у людей еще в первобытном обществе (даже не в античности).

Ситуация усугубляется тем, что традиционные теоретико-числовые представления чрезмерно догматизированы математическим сообществом. Любые отклонения от принятых ценностей и канонов уничтожаются на корню, а новые идеи (и их носители) безжалостно высмеиваются (в лучшем случае). Словом, как и во времена инквизиции, в современной математике «с еретиками не спорят, их сжигают».

К экспликации соотношения гармонической и дисгармонической (классической, традиционной) теоретико-числовых (арифметических) систем мы еще вернемся ниже, а пока сделаем еще одно важное замечание о двойственной гносеологической и логической роли ритмосов (не-чисел) и аритмосов (чисел)в понятийном мышлении.

Выше было показано, что любое полное понятие есть единство ритмоса (квалисистемы, квалитета, нечисла) и аритмоса (квантисистемы, квантитета, числа).  В этом смысле ритмос (квалисистема, нечисло) и аритмос (квантисистема, число) могут быть – с одной стороны — определены как (логически) разнофункциональные подчиненные (зависимые) составные части (подсистемы) произвольно взятого полного понятия (Схема 2).

С другой стороны, и ритмосы (не-числа), и аритмосы (числа) могут выступать в мыслительном процессе как самостоятельные – пусть и частные, специальные – понятия (Схема 3).

То есть (в зависимости от характера конкретного мыслительного процесса, рассуждения) и аритмосы (квантисистемы, числа), и ритмосы (квали-системы, нечисла) могут существовать и как самостоятельные ментальные объекты, и как составные части полных понятий (но не одновременно в обеих указанных ипостасях).

Например, полное понятие о множестве из пяти конкретных яблок содержит в себе число (квантисистему, аритмос) 5. Напротив, исключительно качественное понятие (квалисистема, ритмос) «куча яблок» совсем не обязательно должно иметь конкретную квантитативную подсистему (последняя вполне может быть сугубо абстрактной, то есть условно не существующей).

Такое жесткое функциональное разграничение ритмосов и аритмосов, рассматриваемых (в зависимости от характера ментального процесса и контекста) то как зависимые подсистемы в структуре полного понятия, то как самостоятельные ментальные объекты, неполные понятия, — позволяет (кроме прочего) легко разрешить все известные со времен античности парадоксы типа куча, лысый и т.п.

В гармонической логике и куча, и лысина могут рассматриваться с двух логически различных точек зрения: как ритмосы (функционально самостоятельные исключительно качественные понятия) и как полные понятия.

В первом случае к указанным объектам по определению нельзя предъявлять никаких квантитативных требований (в том числе — требования иметь количественно определенный критерий различения кучи и не-кучи, лысины и не-лысины). Понятия куча, и лысина и им подобные ментальные объекты, понимаемые как ритмосы, должны использоваться в речевой и мыслительной практике исключительно в квантитативно неопределенном смысле и распознаваться только на основе качественных признаков.

Во втором случае ни куча, ни лысина не могут считаться полными понятиями, если не существует точного квантитативно определенного критерия их отнесения к тому или иному классу объектов, поскольку неотъемлемая составная часть любого полного понятия – число, аритмос.

Стало быть, если куча контекстуально (в рамках одного отдельно взятого рассуждения) рассматривается как полное понятие, в обязательном порядке должна быть введена квантитативная норма, что куча, например,  – это объект, включающий в свой состав n и более предметов, или что куча – это m-слойное скопление произвольно взятых объектов (n и m – произвольные натуральные числа больше 1).

Таким образом, в парадоксах типа куча, лысый и им подобных имеет место факт неправомерного смешения (подмены) логических свойств и функций качественных понятий, ритмосов и полных понятий в рамках одного отдельно взятого рассуждения.

В гармонической логике подобное смешение логически разнофункциональных ментальных объектов строго запрещено (считается грубой логической ошибкой). Если какой-либо объект изначально рассматривается как ритмос, например, он должен оставаться таковым на протяжении всего рассуждения, не превращаясь («незаметно») в полное понятие.

Сказанное не означает, что между ритмосами и полными понятиями лежит ментальная пропасть. Все человеческое познание – это процесс непрерывного порождения ритмосов, исключительно качественных понятий, и последующего перехода от ритмосов – к квантитативно определенным полным понятиям. Последняя из названных фаз познания обычно называется математизацией той или иной предметной области. Возможен и обратный процесс, когда развитые квантитативные системы (аритмосы), будучи примененными в нетрадиционных областях, порождают неизвестные до этого момента полные понятия, то есть выступают в качестве метагенераторов новых ритмосов.

2.2.2. Гармонические числовые системы

Рассмотрим теперь общую родо-видовую структуру класса чисел, непосредственно вытекающую из сформулированного выше определения понятия числа (квантисистемы, аритмоса) (см. Схему 4).

Дадим вначале определения основных понятий, использованных при составлении Схемы 4.

Схема 4. Общая родо-видовая структура класса чисел

Базовые дихотомические связки	Гармоническая теория чисел
	Рутинная (классическая) теория чисел	Инновационная (неклассическая) теория чисел
Монадическое – Множественное	Монадические числа	Множественные числа
Одноаспектное – Многоаспектное (сериативное)	Одноаспектные числа	Многоаспектные (сериативные) числа
Однородное – Неоднородное	Однородные числа	Неоднородные числа
Внешне детерминированное – Внутренне детерминированное	Внешне детерминированные числа	Внутренне детерминированные числа

Система теоретических разделов гармонической арифметики и соответствующих им числовых классов делится на две взаимосвязанные, но существенно отличающиеся друг от друга основные части — рутинную (классическую)и инновационную (неклассическую) теории чисел.

Рутинная (классическая) теория чисел– относительно непротиворечивая составная часть традиционной арифметики, исследующая, в основном, свойства конечных чисел и их классов. В гармоническую арифметику рутинная теория чисел входит как дисциплина, изучающая как конечные, так и актуально бесконечные числа и их классы с помощью операций и методов, признанных и принятых математическим сообществом в качестве корректных до конца ХХ века. Однако Схема 4 предназначена, кроме прочего, для сравнения логических объемов и составов традиционной (дисгармонической, самопротиворечивой) и гармонической арифметических парадигм. Поэтому в Схему 4 включена только часть традиционной арифметики, изучающая конечные числа.

Предметом исследований в рутинной теории чисел являются исключительно монадические, одноаспектные, однородные и внешне детерминированные числа (и их классы), определения которых (в традиционной арифметике отсутствующие) будут даны ниже.

Инновационная (неклассическая) теория чисел– составная часть гармонической теории чисел, предназначенная для разработки и исследования новых — нетрадиционных по своим свойствам — чисел, включающих их числовых классов (родов и видов) и систем операций над ними.

Основным предметом исследований в инновационной теории чисел являются множественные, многоаспектные (сериативные), неоднородные,  внутренне детерминированные и иные нестандартные числа, а также всевозможные их комбинации между собой и с монадическими, одноаспектными, однородными, внешне детерминированными и прочими традиционными числами.

Базовые дихотомические связки гармонической теории чисел

В основе гармонической теории чисел, понимаемой как бесконечно вариативный логико-математический конструктор (интегрированная система арифметического проектирования), в настоящее время лежат несколько десятков базовых дихотомических связок, четыре из которых являются если и не доминирующими (все используемые контрадикторные категориальные пары вполне равноправны), то наиболее близкими, на наш взгляд, к ментальности современного математического сообщества (наиболее приемлемыми, имеющими наибольшие шансы на признание и принятие).

Эти четыре связки суть следующие (см. Схему 4):(1) Монадическое – Множественное, (2) Одноаспектное – Многоаспектное (сериативное), (3) Однородное – Неоднородное, (4) Внешне детерминированное – Внутренне детерминированное.

Эксплицируем каждую из названных четырех смысловых связок в отдельности в объеме, достаточном для понимания базовых свойств названных числовых классов и механизма классообразования в гармонической теории чисел.

(1) Монадическое – Множественное. Известно, что в классической арифметике – по неясным причинам (скорее всего, по «нерушимой» традиции) — числами называются только объекты, имеющие однозначное (монадическое) цифровое представление. Например, 5; 117; 0,(632)  и т.д.

Никому никогда не приходило в голову называть числами, например, множественные (диапазонные) объекты вида  d<>p, включающие в себя все числа от d до p или вида d<(c<>n)>p, включающие в себя числа от d до p за вычетом множества чисел диапазона c-n (d, p, c, n — произвольные числа).

Указанная «избирательность» классической арифметики, проистекающая от неадекватного (традиционно чрезмерно узкого) представления о собственном предмете, прямо противоречит приведенному выше определению числа (квантисистемы, аритмоса), которое является понятием, ответственным за квантитативные содержание, объем и состав любого мыслимого или реально существующего объекта.

Условимся, что в гармонической арифметике в числовых выражениях вида а<>b (а, b – произвольные положительные, отрицательные, комплексные и иные числа) последовательность представления границ диапазона не имеет значения: в “левой” части может стоять как минимальное, так и максимальное число диапазона (то же касается и “правой” части выражений рассматриваемого типа); знак «<>» в гармонической арифметике обозначает – в «снятом виде» — все без исключения числа избранного диапазона, отличные от минимального и максимального; в круглых скобках внутри знака «<>» могут записываться разнообразные единичные и/или множественные вычеты из избранного диапазона или иные дополнительные условия. 

В гармонической арифметике произвольно взятые множественные математические объекты диапазонного типа: 1<>27; 13<>64; 13<(8<> 10)>64; 256<(294<>299, 445, 777, 1113<>1111111)>2345432; -8<>-4; -4<>-8  и т.п. – вполне легитимные числа, с которыми, кроме прочего, можно производить (в несколько модифицированном виде) те же самые арифметические операции, что и с «обычными» — монадическими – числами, а также многие другие, пока неизвестные классической арифметике.

Другими словами, при выполнении арифметических операций с множественными числами диапазонного типа важно следить только, чтобы в результате выполнения каждой операции появлялся некоторый новый диапазон (диапазонное число), имеющий точно вычисленные числовые максимум и минимум, а также все необходимые диапазонные или иные вычеты. Порядок же записи минимаксных числовых значений вновь образуемого диапазона (слева-направо или справа-налево) не имеет значения.

Еще проще правила арифметических действий, в которых участвуют как «диапазонные», так и обычные числа. Например, (a<>b)+с = (a+с)<>(b+c) =  (b+с)<>(а+c) и т.д.

Весьма интересным подклассом множественных чисел являются числа вида: 1a234df17; 0,4ads601; 0,(1abc) и т.д., где латинские буквы (переменные) обозначают одну или несколько цифр (десятичных или каких-либо еще значений) или более сложные (в том числе – алгебраические или вышеупомянутые диапазонные) математические объекты.

Такие множественные числа в гармонической арифметике называются формульными. Легко видеть, что каждое из них – особый класс обычных чисел, удовлетворяющих некоторым исходным условиям, и, одновременно, — вполне определенное целостное (множественное) число нового типа, с которым можно оперировать стандартными (и совершенно новыми) арифметическими и алгебраическими методами (в частности, формульные числа могут быть элементами – как постоянными, так и переменными, – обычных алгебраических формул).

Подклассов множественных чисел, подобных двум приведенным выше (диапазонному и формульному) по своим свойствам, но отличных от них по форме и механизму формирования, в гармонической теории чисел может быть неограниченное количество (в частности, уже имеется несколько десятков интересных числовых объектов множественного типа, весьма существенно расширяющих традиционные философские и арифметические представления о многом).

Более того, все названные виды множественных чисел могут дополнять друг друга и образовывать множественные объекты с совершенно уникальными и невообразимыми сегодня логико-математическими свойствами.

Например, диапазонные числа могут быть легко объединены с формульными. В этом случае образуются диапазонные объекты вида: 1s44b <> 6r2g, которые представляют собой целые семейства (роды и виды) диапазонных чисел, или формульные числа вида: 0,3(1<>25)s3d, использующие диапазонные числа в качестве переменных с заданным кругом значений. 

В совокупности всех своих возможных подклассов класс множественных чисел представляет собой многопорядковое расширение и углубление гносеологических, логических и вычислительных возможностей классических арифметики и алгебры.

Оговоримся, что и формульные, и диапазонные числа в гармонической арифметике могут иметь самые различные смысловые конфигурации и образовывать соответствующие им виды и роды. В частности, названные виды чисел относятся не только к классу множественных чисел, но и ко всем другим нестандартным числовым классам, о которых речь пойдет ниже.

В связи с вышеизложенным может возникнуть резонный вопрос: а как же в гармонических логике и математике (коль скоро в них  вводятся множественные числа) дело обстоит с множествами «в канторовском смысле»?

Ответ на этот вопрос состоит в следующем. Никаких множеств «в канторовском смысле» в гармонических гносеологии (теории ментальных объектов), логике и математике не существует. Существуют или полные понятия множественного типа (понятия с конкретными квалитативной и квантитативной подсистемами, имеющие в своем составе более одного объекта), или функционально самостоятельные множественные числа. Множества в канторовском смысле, будучи совершенно паралогичными ментальными объектами, ни к одному из названных двух классов понятий не относятся. Исходя из сделанных выше определений, традиционное понятие множество оказывается в гармонических логике и математике совершенно бессмысленным и, как следствие, нелегитимным ментальным объектом.

Обобщая сказанное, дадим родо-видовые определения монадических и множественных чисел.

Монадические числа – это числа (аритмосы, квантисистемы, квантитативные понятия), имеющие однозначное цифровое представление и содержащие в своем квантитативном составе только один объект (число) – самих себя. Монадические числа являются единственным легитимным классом чисел в традиционной арифметике и числовым подклассом (видом чисел) в арифметике гармонической. В гармонической арифметике к монадическим числам относятся (кроме обычных чисел) различные формульные, диапазонные, функциональные и другие (нестандартные) числа, имеющие одно и только одно (выраженное в цифрах) значение (математическое решение).

Множественные числа  – это числа (аритмосы, квантисистемы, квантитативные понятия), имеющие многозначное  цифровое представление, то есть содержащие в своем квантитативном составе более двух объектов (представляющие собой некоторое точно определенное множество монадических чисел). Множественные числа впервые введены в гармонической арифметике (в классических арифметике и алгебре объекты математические подобного типа отсутствуют).

Арифметика множественных чисел многократно превышает традиционную теорию множеств по всем качественным параметрам и особенно – в смысле видового богатства объектной базы и разнообразия допустимых операций над объектами.

(2) Одноаспектное – Многоаспектное (сериативное). В реальной жизни мы повсеместно сталкиваемся с ситуацией, когда какой-либо объект (чтобы быть адекватно осмысленным или оцененным с какой-то точки зрения) должен характеризоваться сразу несколькими количественными параметрами одновременно (в нескольких аспектах). Примерами могут служить объем комнаты (единство длины, ширины и высоты), «вайтлс», IQ и т.п. взаимно независимые или каким-то образом сопряженные комплексы параметров.

При этом иногда важна интегральная числовая оценка объекта по многим параметрам (сторонам, аспектам, точкам зрения и т.д.), а иногда – неиндексированная совокупность значений по каждому из значимых параметров в отдельности (то есть рассматриваемые параметры могут быть как зависимыми, так и независимыми друг от друга).

Разумеется, математики давно научились оперировать такого рода числовыми сериями (или системами), однако, как и в случае с множествами, они делают это совершенно логически неадекватно (не осознавая, что такие серии – числа определенного рода). Фактически, каждый раз, когда нужно обсчитать какую-либо серию параметров (независимо измеряемых аспектов) произвольно взятого объекта, математик вынужден выходить за пределы математики: вначале он обязан осмыслить исследуемый объект как полное понятие (то есть принять во внимание особенности обеих его подсистем: квалитативной и квантитативной), потом построить его математическую (квантитативную) модель и лишь затем приступать к вычислениям.

На самом же деле все может быть сделано много проще, логичнее и гармоничнее. Достаточно допустить существование многоаспектных (сериативных) чисел, то есть чисел, имеющих произвольно большое количество самостоятельных (сопряженных как-либо друг с другом или нет – неважно) частных числовых значений, и сразу становится возможной непротиворечивая арифметическая теория, позволяющая полностью устранить ненужную квалитативную семантику из математического познания и вычислительного процесса произвольного уровня сложности, многократно более общая, строгая и содержательная (в квантитативном смысле), нежели стандартная теория чисел.

С этой точки зрения произвольно взятая математическая модель любой сложности и вложенности (в единстве всех ее количественных параметров, их связей и значений, подсистем и элементов) легко может быть осмыслена как (многоаспектное или, иначе, сериативное) число. Во всяком случае, это непосредственно вытекает из приведенного выше родо-видового определения числа.

Как и множественные числа, многоаспектные (сериативные) числа представляют собой совокупность существенно отличающихся друг от друга как по существу, так и по форме записи числовые классов, способных комбинироваться между собой и порождать все новые и новые (многократно более сложные, чем первичные) классы многоаспектных чисел.

Одной из наиболее существенных характеристик многоаспектных (сериативных) чисел является количество одновременно рассматриваемых аспектов или длина серии. По этому основанию все многоаспектные (сериативные) числа делятся на классы с различным количеством одновременно рассматриваемых параметров (аспектов, элементов серии). При этом серия числовых значений, образующих некоторое многоаспектное (сериативное) число,  может быть как конечной, так и актуально бесконечной.

К кругу наиболее простых и, одновременно, перспективных в плане практического использования подклассов класса многоаспектных чисел относятся так называемые функциональные числа.

Функциональные числа (основная форма записи — S( ) и S(f(x))) представляют собой строго детерминированные конечные или актуально бесконечные серии чисел, которые могут быть интерпретированы как частные значения стандартных математических функций (f(x)) или произвольные наборы  чисел, рассматриваемые как многоаспектные (многопараметрические) целостности. Очевидно, что над функциональными числами в целом (и их элементами) могут осуществляться все возможные в арифметике виды операций (например, S(4; 5; 12)/ 6 = S(4/6; 5/6; 12/6) = S(0,66…; 0,83…; 2). 

В случаях, когда имеется взаимно-однозначное соответствие между элементами серий, могут производиться поместные (поэлементные) операции. Например, имеем два четырехместных (четырехэлементных) сериативных числа: a = S(3; 7; 12; 45) и b = S(4; 3; 6; 14). Нам необходимо поделить первое из них на второе (a/b).

Получаем: a/b = S(3; 7; 12; 45) /S(4; 3; 6; 14) = S(3/4; 7/3; 12/6; 45/14).

Если количество «мест» в сериативных числах не совпадает (квантитативно неэквивалентно), то подобные (поэлементные) операции, естественно, невозможны.

В определенных случаях могут осуществляться операции аппроксимации серий, когда число мест (аспектов, элементов) некоторого функционального числа искусственно приводится в соответствие с числом мест другого  сериативного числа. Тогда поместные (поэлементные) операции между многоаспектными числами с различной длиной серий становятся возможными.

Класс функциональных чисел в гармонической арифметике включает в себя все традиционные виды функциональных зависимостей, изучаемых в стандартной математике, а также многие совершенно новые виды функциональных отношений, отсутствующие в последней. Кроме того, в гармонической арифметике существенно расширен диапазон возможных операций на стандартными функциями и функциональными числами. Подобно формульным и диапазонным числам, функциональные числа разных типов существуют во всех родовых числовых классах гармонической арифметики.

Еще одной интересной разновидностью класса многоаспектных чисел являются многомерные числа.

Многомерные числа – это  многоаспектные (сериативные) числа, значения элементов которых распределяются по различным квантитативно осмысленным измерениям или каким-либо пространственно организованным ментальным формам. К числу многомерных чисел относятся, например, матричные, кубические и иные числа, смысл которых состоит в том, что в этом случае операции над однородными сериативными числами могут осуществляться по множеству самых различных «срезов», «ракурсов» и т.п. метааспектов. Например, операции над матричными числами можно осуществлять по «горизонталям», «вертикалям», «диагоналям» и т.д.

Многомерные числа могут нести в себе и самый нетривиальный дополнительный квантитативный смысл. Например, всевозможные «магические квадраты» с их изумительными теоретико-числовыми свойствами – это лишь один из бесконечного множества способов насыщения многомерных чисел дополнительным квантитативным содержанием (привнесения в числа дополнительных квантитативных «измерений»). В качестве других примеров многомерных чисел можно назвать игровые доски, топологические карты (со всеми их обозначениями, «слоями» и т.д.), эзотерические системы древности (Ба Гуа, Руны, Арканы Таро и т.д.), всевозможные орнаменты, музыкальные ряды и т.д., не говоря уже о всех видах объектов геометрии и топологии.

Речь идет, разумеется, исключительно о многомерности квантитативного смысла названных ментальных систем.

Уже функциональные и многомерные числа способны совершенно революционизировать традиционные арифметику, алгебру и анализ. Если же учесть, что многоаспектные числа включают в себя совершенно различные по своей квантитативной семантике и форме представления числовые классы, способные, к тому же, комбинаторным путем порождать все новые числовые классы и метаклассы, потенциальные возможности многоаспектной (сериативной) арифметики кажутся просто невероятными.

Достаточно сказать, что в произвольной степени точная математическая модель любого объекта универсума (человека, например) есть многоаспектное (сериативное) число, точнее, сведенная в одно многоаспектное число многоуровневая система (иерархия) многоаспектных чисел, с той или иной степенью аппроксимации отражающая квантитативные свойства и отношения исследуемого объекта и его составных частей. Многоаспектным числом является и модель всего универсума произвольной степени сложности.

Итак, класс чисел в гармонической арифметике по основанию одноаспектное – многоаспектное делится на два числовых подкласса: одноаспектные числа и многоаспектные (сериативные) числа.

Одноаспектные числа – это числа (аритмосы, квантисистемы, квантитативные понятия), представляющие собой (способные дать) квантитативную (цифровую) характеристику одного и только одного параметра (аспекта, стороны, признака и т.д.) произвольно взятого объекта. Одноаспектные числа являются единственным легитимным видом чисел в классической арифметике и числовым подклассом в арифметике гармонической.

Многоаспектные (сериативные) числа – это числа (аритмосы, квантисистемы, квантитативные понятия), представляющие собой (способные дать) интегральную, кластерную или множественную квантитативную (цифровую) характеристику  более чем одного параметра (аспекта) произвольно взятого объекта. Многоаспектные (сериативные) числа могут иметь сложную внутреннюю структуру и систему квантитативных условий, обусловливающих различные зависимости между сосуществующими в их рамках аспектами (местами, элементами серий).

Теоретическую и практическую ценность представляют собой как арифметические системы, исследующие многоаспектные числа с фиксированным конечным числом параметров (например, теория двухаспектных чисел), так и универсальные n-аспектные числовые устройства, которые могут быть и недоступными к разработке в полном объеме при современном уровне математических знаний и гносеологии вообще.

(3) Однородное – Неоднородное. Математики давно подозревали, что в классической арифметике что-то неладно в смысле отражения и нормирования условий эквивалентности различных квантитативно неоднородных единичных объектов. Об этом свидетельствуют многочисленные фольклорные примеры, часто приводимые любителями математической экзотики, типа: «1 капля + 1 капля = 1 большая капля, а не 2 капли».

К сожалению, дальше смутных подозрений дело по прояснению указанного предмета в традиционной арифметике за последние несколько тысяч лет не продвинулось. В гармонической же арифметике этот вопрос решается достаточно просто.

Рассмотрим два вполне логически корректных случая: (1) полное понятие включает в себя однородные как в квалитативном, так и в квантитативном отношениях объекты (однородные ритмос и аритмос) и (2) полное понятие включает в себя однородные в квалитативном, но разнородные в квантитативном отношениях объекты (однородный ритмос и разнородный аритмос).

Случаи, когда полное понятие включает в себя разнородные в квалитативном, но однородные в квантитативном отношениях (разнородный ритмос и однородный аритмос) и разнородные в обоих отношениях объекты (разнородный ритмос и разнородный аритмос), мы здесь рассматривать не будем, поскольку это потребовало бы введения и определения дополнительных понятий и существенно увеличило допустимый объем настоящей статьи, хотя названные случаи также входят в прерогативу гармонической математики и разрабатываются наряду с остальными.

Случай (1) полностью соответствует теоретико-числовой парадигме, принятой в классической арифметике. Действительно, в наш век стандартизации и унификации во многих ситуациях мы имеем дело с объектами, однородными как в квалитативном, так и в квантитативном отношениях (два компьютера одной модели, сошедшие с конвейера одного завода, например). Тут классическая арифметика безупречна.

Вместе с тем, в жизни существует гораздо больше ситуаций (Случай (2)), когда квалитативная однородность произвольно взятых объектов совершенно не означает автоматически их квантитативной однородности.

Например, сумма двух отдельно взятых яблок, понимаемых как целостные неделимые объекты (самодостаточные в био-геометрическом смысле единицы измерения), безусловно, 2. Но что такое два с половиной яблока? Идет ли здесь речь о половине яблока как разделенной надвое био-геометрической целостности или о некотором количестве «яблочной массы (мякоти)»? От подобных вопросов классическая арифметика совершенно неправомерно (поскольку речь идет о квантитативных свойствах, о квантисодержании объектов) абстрагируется, то есть по совершенно непонятным причинам многократно сужает свою предметную область.

На самом же деле, если в рассматриваемом случае речь идет о «яблочной мякоти», весьма существенным параметром расчетов становится, например, вес каждого единичного «яблока», принимающего участие в операции суммирования (и любой другой арифметической операции).

Тогда, если мы складываем два «яблока», из которых одно весит 100 грамм, а второе – 150 грамм, то с суммой у нас могут происходить достаточно странные вещи. С одной стороны, в сумме мы имеем 250 грамм «яблочной массы (мякоти)». С другой стороны, если за эталон веса одного «яблока» взять первое «яблоко», мы имеем в сумме 2,5 «яблока». С третьей стороны, если за эталон веса одного «яблока» взять второе «яблоко», в сумме мы имеем 1,66 «яблока». С четвертой стороны, если, к примеру, существует какой-то внешний (международный, скажем) эталон веса одного «яблока», равный 250 граммам, сумма двух исходных «яблок» у нас будет равна  одному (нормативному) «яблоку».

Словом, в зависимости от избранной квантитативной нормы (квантинормы) единичного объекта, мы  всякий раз, складывая два квантитативно неоднородных объекта, получаем совершенно разную сумму. Более того, мы можем сравнивать исходные «яблоки» по множеству других квантитативно значимых параметров, существенно увеличивая разброс возможных числовых значений сумм двух «яблок» выраженных как в «яблоках», так и в иных единицах, каким-либо особым образом (с точки зрения химического состава, например) характеризующих «яблочную мякоть».

С точки зрения классической арифметики все это – полный абсурд. С точки зрения же гармонической арифметики – совершенно нормальная ситуация. Просто во втором случае мы имеем дело с (квантитативно) неоднородными числами, для операций над которыми (всякий раз) требуется четкое определение избранной квантитативной нормы единичного объекта (числового значения, характеризующего рассматриваемый объект в каком-либо одном квантитативном отношении).

В стандартной арифметике квантитативная норма (квантинорма) единичного объекта – в противоречие как логике, так и реальности, – всегда равна 1. В гармонической арифметике квантитативная норма (квантинорма) единичного объекта может принимать любые формульные и числовые значения — от нуля до бесконечности (в том числе — 1) .

В гармонической арифметике вполне допустимы и комбинированные квантитативные нормы (квантинормы), когда за основу берутся всевозможные средние значения квантитативно разнородных объектов. Более того, у одного и того же единичного объекта может быть неограниченное количество как независимых друг от друга, так и взаимно сопряженных квантитативных норм, характеризующих его в различных, разумеется, отношениях.

Естественно, что сказанное предполагает некоторое усложнение осуществляемых в арифметике операций (алгоритмов), но это неудобство многократно компенсируется повышением гносеологической силы, универсальности (общности), интерсубъективности и гармоничности математического аппарата в целом.

Итак, однородные числа – это числа (аритмосы, квантитативные понятия), квантитативная норма которых (для единичного объекта, элемента квантитативного состава) строго равна 1.

Неоднородные (разнородные) числа – это числа (аритмосы, квантитативные понятия), квантитативная норма которых (для единичного объекта, элемента квантитативного состава) может принимать произвольные числовые и формульные значения.

Соответственно, арифметика квантитативно однородных чисел – предельный частный случай арифметики квантитативно неоднородных чисел.

(4) Внешне детерминированное – Внутренне (проективно) детерминированное. Все известные в современной арифметике числа могут быть охарактеризованы как детерминированные исключительно внешним образом.

Это означает, что все легитимные сегодня числовые классы (классы натуральных, рациональных, иррациональных, отрицательных, мнимых и т.п. чисел) образованы путем осуществления некоторых математических операций над ранее сформировавшимися числами и числовыми классами.

Ни один числовой класс в классической арифметике еще не появился сам по себе (в результате внутренней детерминации, свободного арифметического проектирования), независимо от возможности получения элементов этого класса  путем арифметических действий над числами других классов. Это наглядно показывает меру зависимости классической математики от ограничивающей ее семантически узкой и часто паралогичной первобытной ментальной «традиции».

Исключение может составить лишь так называемое «канторовское число», которое формируется путем произвольного выбора каждого десятичного значения, включая последнее (иначе выбор оказывается незавершенным и создаваемое число не может получить статус существующего в силу недетерминированности последних десятичных значений). Если учесть, однако, что такой тотальный выбор в классической теории множеств является самопротиворечивым (позволяет получить минимальное десятичное число 0,(0]1, гарантирующее, вопреки сложившимся представлениям, «счетность» множества действительных чисел), можно считать, что идея внутренней (проективной) детерминации чисел современной арифметике чужда абсолютно.

В гармонической арифметике ситуация иная. Хотя в ней вполне легитимными остаются и внешним (стандартным) образом детерминированные числа (числовые классы), основой гармонических теоретико-числовых систем является идея внутренней (проективной) детерминации процесса числообразования, как наиболее адекватная представлению о математике как технической науке и многократно более эффективная, чем идея внешней детерминации, в гносеологическом отношении.

В соответствии с идеей внутренней (проективной) детерминации формирования чисел и числовых классов, любое число может быть сконструировано совершенно произвольным способом – независимо от возможности его получения путем осуществления стандартных арифметических и алгебраических операций.

Показательным примером класса внутренне детерминированных (проективных) чисел в гармонической арифметике могут служить рекуррентные (упорядоченные непериодические) числа вида 0,101100111000…, 0,123456… и т.д. 

Рекуррентные числа — это числа, имеющие в своем строении последовательность цифр, задаваемую алгоритмически с помощью некоторой рекуррентной зависимости. Очевидно, что получение таких чисел путем стандартных арифметических операций над рациональными или алгебраическими числами весьма проблематично (если вообще возможно).

Выразительные и вычислительные возможности рекуррентных чисел совершенно невероятны. Достаточно сказать, что все известные (и неизвестные) современному человечеству виды знаковых систем (способов цифровых кодировок произвольно взятого смысла) – частный случай рекуррентных отношений и, соответственно, все возможные комбинации произвольно взятых знаков (включая все осмысленные высказывания и их множества, тексты) – не что иное, как рекуррентные числа.

В гармонической арифметике вполне непротиворечивым и легитимным (в силу априорной счетности всех числовых классов) является и совершенно ничем не ограниченный (произвольный) «канторовский» выбор. Это позволяет в рамках гармонической арифметики рассматривать и исследовать числовые классы, еще более широкие, чем класс рекуррентных чисел.

Таким образом, внешне детерминированные числа – это числа (аритмосы, квантитативные понятия), образованные путем осуществления стандартных арифметических операций над ранее известными числами, начиная с натуральных.

Внутренне (проективно) детерминированные числа —  это числа (аритмосы, квантитативные понятия), образованные средствами арифметической инженерии (путем прямого конструирования, произвольного выбора или осуществления каких-либо комбинаций стандартных и нестандартных арифметических операций).

Как внешне, так и внутренне (проективно) детерминированные числа являются вполне легитимными числовыми классами гармонической арифметики. Существуют также производные числовые классы, представляющие собой результат комплексной детерминации (как внутренней, проективной, так и внешней одновременно).

Соотношение классической (дисгармонической) и  гармонической теоретико-числовых систем

Выше было показано, что во всех рассмотренных случаях классическая теория чисел (если абстрагироваться от факта ее самопротиворечивости на уровне бесконечных множеств) представляет собой предельный частный случай гармонической арифметики, крайне жестко привязанный к истории своего формирования и к совершенно неадекватным первобытным ментальным догмам и ценностям.

В настоящее время, по нашему мнению, классическая арифметика является безнадежно устаревшим (чрезмерно узким в понимании природы и свойств чисел и, одновременно, паралогичным в понимании проблематики бесконечного) ментальным устройством, борющимся (в лице ее наиболее ортодоксальных представителей) за свое существование (самосохранение любой ценой) путем экспоненциального усиления всякого рода аксиологических табу и уклонения от рассмотрения и преодоления всякого рода самопротиворечий и самоограниченностей.

Напротив, гармоническая арифметика, уже сегодня предлагая эффективные пути преодоления выявленных в классических арифметике и теории множеств противоречий и гигантское расширение предмета и возможностей математики,  представляет собой по определению инновационную систему, включающую в себя такой мощный инструмент самопроектирования и саморазвития, как ментальные войны.

К сожалению, в этой весьма скромной по объему работе не было возможности хотя бы бегло осветить (и даже перечислить) основные направления развития гармонической теории чисел. Отметим лишь, что все кратко охарактеризованные выше гармонические субсистемы (и многие даже не упомянутые в настоящей статье высокоэффективные числовые устройства и технологии) представляют собой не изолированные ментальные объекты, а элементы гармонической метаматематики — универсального математического конструктора, включающего в себя несколько вложенных друг в друга метауровней, а также комплекс способов (метаалгоритмов) комбинирования базовых элементов и получения потенциально бесконечного (в темпоральном смысле) множества различных совершенно новых числовых классов, открывающих принципиально новые горизонты математического познания и проектирования.

Если к сказанному добавить, что – наряду с рассмотренными выше нестандартными родами и видами чисел – в гармонической арифметике существуют и новые — совершенно необыкновенные по своим гносеологическим и вычислительным возможностям — типы операций над числами произвольной природы, то станет очевидным, что, оставаясь на прежних архаических позициях, математика потеряет многократно больше, чем когда-либо имела.

Возможно, время, когда математика осознает себя абсолютно свободной в творческом плане технической наукой и перейдет на гармоническую метапарадигму развития, совсем не так далеко, как сегодня кажется многим.

Заключение

В работах, подобных настоящей, нацеленных не на передачу читателям каких-либо вечных и неопровержимых Истин, а на детонацию «ментального взрыва», принципиальной и бескомпромиссной «метапарадигмальной схватки» между компетентными и заинтересованными исследователями, заключение представляет собой пустую формальность, поскольку настоящее Заключение по существу поднимаемых инициаторами парадигмальных сдвигов фундаментальных проблем может быть написано только совокупным разумом  соответствующего научного сообщества.

Поэтому единственно корректным заключением к настоящей работе может быть лишь выражение ее автором надежды, что российское философско-математическое сообщество — в лице его лучших представителей — сочтет для себя целесообразным принять участие в предложенной первой (экспериментальной) инновационной войне по основаниям гармонической математики и составит истинное Заключение о перспективах, оптимальных направлениях и механизмах эволюции логико-математического знания.

Основные работы автора по проблемам гармонической математики и смежным вопросам, включая приложения

1. Петросян В.К. Инновационная война как способ оптимизации эволюции логико-математических систем //Стили в математике: социокультурная философия математики. – СПб.: РХГИ, 1999. – с. 507-532.
2. Петросян В.К. Критика аристотелевской теории отрицания. – М.: ИРПО, 2001. – 70 с.
3. Петросян В.К. Критика канторовской «диагональной процедуры». – М.: ИРПО, 2001. – 117 с.
4. Петросян В.К. Личность индивида и Суперличность общества: механизм и перспективы коэволюции  //Личность. Культура. Общество. 2000. Т. 2. Спец. Вып. — с. 257-260.
5. Петросян В.К. Метагосударство: общая теоретическая модель // Философские исследования. – 2001. — N1. — с. 153-171.
6. Петросян В.К. Ноополитология: генетическое введение. – М.: Издательский центр АПО, 2001. – 259 с.
7. Петросян В.К. Ноополитология: политическая метатеория и политическая технология нового поколения //Философские исследования. – 2000. – N4. — с. 51-67.
8. Петросян В.К. О разрешимости логико-математических парадоксов самореференции с отрицанием. — М.: Книжник, 1995. – 37 с.
9. Петросян В.К. Общий кризис теоретико-множественной математики и пути его преодоления. – М.: Янус-К, 1997. – 143 с.
10.  Петросян В.К. Человек и общество: механизм и перспективы коэволюции базовых типов личностной определенности //Личность. Культура. Общество. 2000. Т. 2.  Вып.  4 (6). — с. 80-98.
11. Петросян В.К. Новая настольная игра «Суперчесс». – М.: Изд. Апейрон, 1991. – 24 с.
12. Петросян В.К. Основные положения концепции оснований гармонической арифметики //Бесконечность в математике: философские и исторические аспекты. — М.: Янус — К, 1997. —  с. 48-66 с.
13. Петросян В.К. Тест-тренинг комплекс «Интеллект». В 2-х кн. – М.:  Изд. Апейрон, 1989.
14. Петросян В.К., Петросян-Мкервали Д.В. Метаигра «Умесс» как   модель эволюции разума. – М.: Издательский центр АПО, 2002. – 224 с.

Научное издание

Вадим Кармленович Петросян

ПРОЛЕГОМЕНЫ к инновационной войне по основаниям гармонической математики

Отпечатано в типографии Издательского центра

Академии профессионального образования

125319, г. Москва, ул. Черняховского, д.9

Институт развития профессионального образования

Лицензия на издательскую деятельность

ЛР N 071531 от 31 октября 1997 г.

Объем 5.8 а. л.

Принято к печати 26.09.2002 г.

Бумага офсетная. Заказ N 138. Тираж 500 экз.