История вопроса, геометрические основания и доказательство методом последовательной надстройки

2026

Аннотация

Квадрат принадлежит к числу самых известных и фундаментальных геометрических фигур. Его свойства изучаются на начальных этапах математического образования, широко используются в строительстве, архитектуре, технике и теоретической математике. Существование квадрата обычно воспринимается как очевидный факт, почти не требующий самостоятельного обоснования.

Между тем в основаниях геометрии вопрос о существовании квадрата имеет принципиальное значение. Его классическое построение связано с теорией параллельных прямых, а возможность существования прямоугольника, частным случаем которого является квадрат, в традиционной нейтральной геометрии логически связана с пятым постулатом Евклида.

Настоящая работа посвящена истории, теории и доказательству существования квадрата.

В первой части рассматриваются определения квадрата, его основные геометрические свойства и классические способы построения. Особое внимание уделяется предложению 46 первой книги «Начал» Евклида, в котором решается задача построения квадрата на заданном отрезке.

Далее исследуется историческая связь проблемы существования прямоугольных четырёхугольников с многовековыми попытками доказательства пятого постулата. Рассматриваются идеи античных и средневековых геометров, работы Джироламо Саккери и Иоганна Генриха Ламберта, а также современная постановка вопроса об аксиоматических основаниях геометрии.

В заключительной главе представлено авторское доказательство существования квадрата методом последовательной надстройки четырёхугольника.

В основу доказательства положено построение четырёх равных радиальных отрезков, образующих при общем центре четыре прямых угла, с последующим соединением их концов. Полученный равносторонний и равноугольный четырёхугольник включается в расширенную геометрическую конструкцию, позволяющую исследовать первоначально неопределённые углы через систему прямых центральных углов.

Особое внимание уделяется сохранению прямолинейности сторон, конгруэнтности составляющих фигур и преобразованию первоначального вершинного угла во внутренний элемент расширенного построения.

Работа адресована математикам, историкам науки, философам математики, преподавателям и всем читателям, интересующимся фундаментальными проблемами евклидовой геометрии.

*********

© В.К.
Петросян (Вадимир) © Lag.ru [Large Apeironic Gateway, Большой Апейронический
Портал (Шлюз), Суперпортал в Бесконечность].

При копировании данного материала и размещении его на другом сайте, ссылки
на соответствующие локации порталов Lag.ru и Proza.ru обязательны

Работа написана на основе концепции и разработок В.К. Петросяна при полноценном соавторстве (активном творческом и техническом участии) ChatGPT (OpenAI), GPT-5.6 Sol

******

Предисловие

Существование квадрата кажется одной из самых простых и бесспорных истин геометрии.

Едва ли найдётся человек, знакомый с начальными математическими понятиями, который усомнился бы в возможности построить квадрат. Мы видим квадратные формы в окружающем мире, пользуемся ими в практической деятельности, применяем их свойства при решении многочисленных геометрических задач.

Однако очевидность геометрического образа и его строгое математическое обоснование — далеко не одно и то же.

История науки знает немало примеров, когда самые привычные представления при внимательном исследовании обнаруживали глубокое теоретическое содержание. К их числу принадлежит и квадрат.

На первый взгляд вопрос о его существовании давно разрешён. Уже в первой книге «Начал» Евклида содержится специальное предложение о построении квадрата на заданном отрезке. Это предложение занимает своё определённое место в последовательной системе геометрических доказательств.

Но здесь возникает вопрос, который составляет предмет настоящей работы: насколько доказательство существования квадрата независимо от пятого постулата Евклида?

Задача заключается не в том, чтобы поставить под сомнение квадрат как общеизвестную фигуру. Напротив, речь идёт о поиске наиболее непосредственного и фундаментального обоснования его существования.

В течение многих столетий исследователи оснований геометрии стремились установить, какие геометрические положения действительно следуют из первоначальных определений и постулатов Евклида, а какие требуют дополнительных предпосылок.

Особенно напряжённая работа велась вокруг пятого постулата — знаменитого положения о параллельных прямых.

История этих исследований показывает, что четырёхугольники с равными сторонами, перпендикулярами и специально заданными углами неоднократно становились центральными объектами геометрического анализа.

На этом историческом фоне я предлагаю вновь обратиться к элементарному построению квадрата.

Основная идея моего подхода состоит в использовании системы четырёх равных отрезков, исходящих из одной точки и образующих четыре прямых угла. Соединение их концов позволяет получить четырёхугольник, обладающий целым комплексом доказуемых свойств.

Следующий этап состоит в последовательной надстройке первоначальной фигуры, при которой она остаётся неизменной, но включается в более крупную геометрическую конструкцию.

При этом первоначальная вершина четырёхугольника приобретает новую роль: становится центральной точкой расширенного построения.

Так возникает возможность рассмотреть величину её угла не изолированно, а в составе целостной системы взаимосвязанных геометрических фигур.

Мне представляется особенно важным, что данное направление исследования возвращает нас к исходным понятиям евклидовой геометрии: прямой линии, её продолжению, перпендикулярности, равенству фигур и свойствам полного угла вокруг точки.

Настоящая брошюра построена таким образом, чтобы читатель мог последовательно пройти путь от классических определений и исторических доказательств до предлагаемой авторской конструкции.

Я намеренно помещаю собственное доказательство в последнюю главу. Его необходимо рассматривать в контексте предшествующего развития геометрической мысли, а не как отдельную чертёжную задачу.

Цель настоящей работы — исследовать фундаментальные основания существования квадрата и показать возможности конструктивного подхода к одной из старейших проблем евклидовой геометрии.

Введение

Почему существование квадрата представляет фундаментальную геометрическую проблему

Квадрат — одна из простейших правильных геометрических фигур. Он имеет четыре равные стороны и четыре прямых угла.

В обыденном представлении эти свойства настолько тесно связаны между собой, что вопрос об их совместной геометрической осуществимости обычно вообще не возникает.

Однако математическая теория требует различать определение объекта и доказательство возможности его построения.

Определить квадрат — ещё не значит доказать его существование.

Мы можем задать геометрическую фигуру посредством некоторой совокупности свойств. Но затем необходимо установить, что такая совокупность свойств совместима и действительно реализуется в рассматриваемой системе геометрических построений.

Именно так поступает Евклид.

В первой книге «Начал» он сначала вводит определение квадрата как равносторонней и прямоугольной четырёхугольной фигуры, а позднее, в предложении 46, специально решает задачу построения квадрата на заданной прямой.

Это обстоятельство заслуживает особого внимания. Евклид не ограничивается определением. Он считает необходимым предъявить построение, сопровождаемое доказательством требуемых свойств.

1. Что именно необходимо доказать?

Чтобы установить существование квадрата, необходимо получить замкнутую четырёхстороннюю прямолинейную фигуру и обосновать два обстоятельства:

все четыре её стороны равны;
все четыре внутренних угла прямые.

Первое условие само по себе недостаточно. Четырёхугольник с четырьмя равными сторонами может быть ромбом, углы которого не являются прямыми.

Второе условие также требует отдельного рассмотрения: наличие прямых углов между некоторыми вспомогательными линиями ещё не означает автоматически, что прямыми окажутся углы внешнего контура.

Таким образом, задача существования квадрата представляет собой задачу установления необходимой связи между определёнными метрическими и угловыми свойствами геометрического построения.

2. Почему здесь возникает пятый постулат?

Классическое доказательство Евклида использует построение параллельных прямых и ранее установленные свойства параллелограмма.

При доказательстве прямоты углов построенного четырёхугольника Евклид обращается к предложению 29 первой книги «Начал», которое опирается на пятый постулат.

Следовательно, в классической последовательности евклидовых доказательств существование квадрата устанавливается уже после введения положения о параллельных прямых.

Возникает естественный исследовательский вопрос:

Можно ли получить существование квадрата другим способом, опираясь на первоначальные операции проведения и продолжения прямых, построения перпендикуляров и сравнения конгруэнтных фигур?

Этот вопрос и составляет центральную проблему настоящей работы.

3. Историческое значение вопроса

История пятого постулата показывает, насколько глубоким может оказаться исследование простых геометрических конструкций.

В частности, особое место заняли четырёхугольники, построенные с использованием равных перпендикуляров и прямых углов.

Уже средневековые исследователи, в том числе Омар Хайям, рассматривали специальные четырёхугольники в связи с проблемой параллельности.

Позднее Джироламо Саккери развил систематическое исследование равнобедренного четырёхугольника с двумя прямыми углами при основании и двумя равными углами при противоположной стороне.

Иоганн Генрих Ламберт исследовал другую характерную конструкцию — четырёхугольник с тремя прямыми углами, поставив вопрос о величине четвёртого.

Все эти исследования связаны одной фундаментальной проблемой: какие угловые свойства прямолинейных четырёхугольников можно установить независимо от постулата о параллельных?

В настоящей работе эта историческая проблема рассматривается в связи с задачей существования квадрата.

4. Основная идея предлагаемого подхода

В отличие от классического построения квадрата через параллельные стороны, авторский метод начинается с двух взаимно перпендикулярных прямых.

В точке их пересечения откладываются четыре равных радиальных отрезка.

Соединение концов этих отрезков образует четырёхугольник, для которого непосредственно устанавливаются равенство сторон, равенство углов, равенство диагоналей, их перпендикулярность и взаимное деление пополам.

Далее вводится метод последовательной надстройки.

Первоначальная фигура сохраняется, а вокруг неё строится увеличенный четырёхугольник по аналогичному принципу. Одна из исходных вершин становится центром нового построения.

В результате возникает система взаимосвязанных прямолинейных фигур, позволяющая исследовать первоначальные внешние углы в новом геометрическом отношении.

Принципиальное значение здесь приобретает сохранение всей совокупности свойств первоначальной конструкции.

Речь идёт не об отдельных произвольно выбранных отрезках и углах, а о единой системе конгруэнтных элементов, соединённых определёнными геометрическими отношениями.

5. Задача настоящей брошюры

Основной замысел работы состоит в последовательном рассмотрении трёх взаимосвязанных вопросов.

Первый — исторический: каким образом в геометрии формировались определения и доказательства существования квадрата?

Второй — теоретический: какое место занимает теорема о существовании квадрата в системе утверждений, связанных с пятым постулатом Евклида?

Третий — конструктивный: каким образом можно использовать систему равных радиальных отрезков, прямых центральных углов и последовательную надстройку для доказательства прямоты внешних углов первоначального четырёхугольника?

Ответам на эти вопросы посвящены последующие главы.

Предлагаемый подход исходит из убеждения, что самые фундаментальные свойства геометрии заслуживают самостоятельного конструктивного исследования, даже если соответствующие результаты давно стали привычными и общеизвестными.

****

*********

Глава 1. Квадрат как геометрический объект

1.1. Квадрат в практической и теоретической геометрии

Квадрат — одна из самых простых и вместе с тем наиболее замечательных фигур геометрии.

С ним человек знакомится задолго до того, как начинает изучать математическую теорию. Квадратные формы встречаются в архитектуре, строительстве, землемерии, художественном орнаменте, техническом черчении и многочисленных предметах повседневной жизни.

Особенно важное значение квадрат приобрёл в измерительной практике. Именно с ним связано историческое представление о квадратной единице площади: квадратном метре, квадратном сантиметре и других единицах, посредством которых измеряются поверхности.

Если сторона квадрата равна одному метру, то площадь заключённой внутри него поверхности принимается за один квадратный метр.

Это кажется настолько привычным, что мы почти никогда не задаёмся вопросом, почему именно такая фигура стала фундаментальным элементом измерения площади.

Ответ связан с её геометрическими свойствами.

Квадрат сочетает равенство всех четырёх сторон с прямотой всех четырёх углов. Благодаря этому он обладает высокой степенью симметрии и допускает удобное соединение с другими такими же фигурами.

Четыре равных квадрата можно расположить так, чтобы получить квадрат, сторона которого вдвое больше первоначальной. Девять равных квадратов можно объединить в квадрат с утроенной стороной. Продолжая этот процесс, можно строить квадратные области возрастающих размеров.

Именно эта возможность равномерного заполнения плоскости сделала квадрат одним из главных объектов практической геометрии.

Однако здесь необходимо сделать принципиальное замечание.

В практической деятельности мы обычно имеем дело не с идеальным математическим квадратом, а с его материальным приближением.

Строитель проверяет прямоту углов измерительными инструментами. Чертёжник использует линейку и угольник. Землемер определяет расстояния и направления с некоторой конечной точностью.

Во всех этих случаях результат зависит от точности измерений.

Математическая геометрия рассматривает другой объект — идеальный квадрат, стороны которого являются строго прямолинейными, равенство длин абсолютно точно, а каждый внутренний угол составляет ровно девяносто градусов.

Между физическим построением и математическим доказательством существует существенное различие.

Практика показывает, что квадратные конструкции можно создавать с высокой степенью точности. Но она не устанавливает сама по себе, из каких первоначальных геометрических положений следует возможность существования идеального квадрата.

В этом отношении вопрос о квадрате оказывается частью более общей проблемы: каким образом математическая теория обосновывает существование объектов, свойства которых она предварительно определила?

Для геометрии Евклида этот вопрос имеет особое значение.

Её исходные элементы — точка, прямая, угол, окружность и плоскость — принимаются в качестве первоначальных геометрических понятий. Их отношения исследуются посредством определений, постулатов и последовательно доказываемых предложений.

Поэтому даже такая привычная фигура, как квадрат, должна рассматриваться не только как геометрический образ, но и как результат определённого построения.

Именно с этой точки зрения мы приступаем к её исследованию.

1.2. Определение квадрата в «Началах» Евклида

В первой книге «Начал» Евклид последовательно вводит основные понятия плоской геометрии.

Сначала рассматриваются точка, линия, прямая линия, поверхность, угол и его разновидности. Затем вводятся определения прямолинейных фигур, ограниченных тремя, четырьмя или большим количеством сторон.

Квадрат появляется среди определений четырёхугольных фигур.

В определении 22 первой книги Евклид характеризует квадрат как четырёхугольник, который одновременно является равносторонним и прямоугольным.

Смысл определения совершенно ясен.

Квадрат — это четырёхугольная прямолинейная фигура, у которой все стороны равны и все внутренние углы прямые.

Обратим внимание на два обстоятельства.

Во-первых, Евклид определяет квадрат через совокупность двух различных свойств.

Равенство сторон характеризует размеры составляющих фигуру отрезков.

Прямота углов характеризует взаимное расположение этих отрезков при их соединении в замкнутый четырёхугольный контур.

Во-вторых, само определение не содержит указания на способ построения квадрата.

Оно сообщает, какую фигуру следует называть квадратом, но ещё не показывает, каким образом такую фигуру можно получить.

Для понимания этого различия полезно рассмотреть другие определения Евклида.

Наряду с квадратом он выделяет продолговатый прямоугольник, ромб и ромбоид.

Продолговатый прямоугольник имеет прямые углы, но не обладает равенством всех сторон.

Ромб имеет равные стороны, но, согласно евклидову историческому разграничению этих фигур, его углы не являются прямыми.

Ромбоид характеризуется равенством противоположных сторон и противоположных углов, но не относится ни к прямоугольным, ни к равносторонним фигурам.

В современной математической терминологии квадрат рассматривается одновременно как частный случай прямоугольника и ромба. Это несколько отличается от античного способа разграничения названий, но не изменяет сущности геометрических свойств.

Таким образом, уже в системе первоначальных определений Евклида квадрат занимает особое место.

Он объединяет два признака, которые в других четырёхугольниках могут существовать независимо друг от друга.

Особенно важно, что Евклид не ограничивается этим определением.

Позднее, в предложении 46 первой книги, он специально ставит задачу построить квадрат на заданной прямой.

Это предложение имеет самостоятельное доказательство.

Евклид начинает с данного отрезка, восстанавливает к нему перпендикуляр, откладывает равный отрезок и проводит параллельные прямые, завершающие построение.

Затем он отдельно доказывает, что полученный четырёхугольник имеет четыре равные стороны и четыре прямых угла.

Только после установления обоих свойств фигура признаётся квадратом.

Следовательно, уже в классической геометрии проводится различие между определением квадрата и доказательством возможности его построения.

Это различие имеет непосредственное отношение к предмету настоящей работы.

Наша задача состоит не в создании нового определения квадрата, а в исследовании геометрических оснований его существования.

1.3. Равенство сторон и прямота углов: два определяющих свойства

Рассмотрим подробнее два свойства, которыми определяется квадрат.

Первое свойство — равенство четырёх сторон.

Пусть замкнутая прямолинейная фигура имеет последовательно расположенные вершины A, B, C и D.

Если её стороны AB, BC, CD и DA равны между собой, то фигура является равносторонним четырёхугольником.

Но можем ли мы только на этом основании утверждать, что она представляет собой квадрат?

Нет.

Для этого достаточно обратиться к обычному ромбу, у которого все четыре стороны равны, но внутренние углы не обязательно прямые.

Следовательно, равенство сторон ещё не устанавливает квадратности фигуры.

Второе свойство — прямота всех четырёх внутренних углов.

Прямой угол определяется взаимной перпендикулярностью двух образующих его прямых.

В современной угловой мере величина такого угла составляет девяносто градусов.

Четырёхугольник, у которого все четыре угла прямые, называется прямоугольником.

При этом его соседние стороны могут иметь различную длину.

Таким образом, прямота углов сама по себе ещё не означает равенства всех сторон.

Только совместное выполнение обоих условий позволяет говорить о квадрате.

Сформулируем это положение ещё раз.

Чтобы доказать существование квадрата, необходимо построить один и тот же четырёхугольник и установить для него одновременно равенство четырёх сторон и прямоту четырёх внутренних углов.

В этих словах особое значение имеет выражение «один и тот же четырёхугольник».

Недостаточно показать, что в одной части геометрического построения имеются четыре равных отрезка, а в другой — четыре прямых угла.

Необходимо доказать, что именно равные отрезки образуют замкнутую фигуру с прямыми углами при всех её вершинах.

Это требование кажется элементарным, но оно играет существенную роль в исследовании геометрических оснований квадрата.

Рассмотрим простейший пример.

Пусть через точку O проведены две взаимно перпендикулярные прямые.

На каждой из четырёх образованных ими полупрямых отложены равные отрезки.

Их концы соединены последовательно.

В результате получается замкнутый четырёхугольник.

Мы сразу можем утверждать, что вокруг центральной точки O имеются четыре прямых угла.

Мы также можем доказать равенство четырёх внешних сторон построенного четырёхугольника.

Но здесь возникают две различные группы углов.

Первая группа — центральные углы при точке O.

Вторая группа — внутренние углы внешнего четырёхугольника, расположенные при его четырёх вершинах.

Прямота центральных углов установлена самим построением.

Прямота углов внешнего контура представляет собой отдельное утверждение.

В полной евклидовой геометрии оно истинно, и соответствующая фигура является квадратом.

Однако при исследовании независимости этого результата от пятого постулата необходимо указать конкретное основание для перехода от центральных прямых углов к прямым углам внешнего контура.

Именно поэтому в настоящей работе оба определяющих свойства квадрата рассматриваются раздельно.

Такой подход позволяет точнее установить, что непосредственно следует из первоначального построения, а что требует дальнейшего геометрического рассуждения.

1.4. Ромб, прямоугольник и квадрат

Для более глубокого понимания природы квадрата полезно сопоставить его с двумя близкими фигурами: ромбом и прямоугольником.

Эти три фигуры в обычной евклидовой геометрии принадлежат к семейству параллелограммов.

Параллелограмм характеризуется попарной параллельностью противоположных сторон.

Прямоугольник является параллелограммом с четырьмя прямыми углами.

Ромб является параллелограммом, все стороны которого равны.

Квадрат объединяет оба свойства.

Иначе говоря, квадрат представляет собой одновременно прямоугольник с равными сторонами и ромб с прямыми углами.

Рассмотрим сначала ромб.

Представим себе четырёхугольную рамку, составленную из четырёх одинаковых прямолинейных стержней, соединённых шарнирами.

Если рамка не имеет дополнительных закрепляющих элементов, её форму можно изменять.

Стороны при этом сохраняют свою длину, но углы между ними изменяются.

Рамка может принимать более вытянутую или более широкую форму.

При одном определённом взаимном расположении сторон она образует квадрат.

Этот пример показывает, что равенство сторон не означает неизменности углов.

Теперь рассмотрим прямоугольник.

Представим четыре прямолинейных отрезка, соединённых таким образом, что все внутренние углы полученной фигуры прямые.

Её противоположные стороны равны, но соседние могут различаться.

Если постепенно изменять длины соседних сторон, сохраняя прямоту углов, можно получить различные прямоугольники.

Квадрат возникает в том случае, когда соседние стороны становятся равными.

Следовательно, квадрат можно рассматривать как фигуру, в которой одновременно выполняются два условия геометрической симметрии.

Первое относится к длинам сторон.

Второе относится к угловым отношениям.

Это сопоставление позволяет уточнить содержание теоремы о существовании квадрата.

Речь идёт не просто о доказательстве возможности построить ромб или прямоугольник.

Необходимо установить возможность совместного осуществления равносторонности и прямоугольности в одной фигуре.

В рамках полной евклидовой геометрии такое осуществление не вызывает затруднений.

Но при аксиоматическом исследовании важен не только результат, но и путь его получения.

Если мы хотим установить, на какие именно исходные положения опирается существование квадрата, необходимо проследить логические связи между равенством сторон, равенством углов и их прямотой.

Особенно существенным оказывается вопрос о параллельности.

В классической теории квадрат и прямоугольник обладают попарно параллельными противоположными сторонами.

Но доказательства, связывающие свойства параллельных прямых с равенством соответствующих и внутренних накрест лежащих углов, занимают определённое место в евклидовой системе и не являются простым следствием одного лишь определения прямой.

Поэтому историческая проблема пятого постулата неизбежно затрагивает и теорию прямоугольных четырёхугольников.

Более подробно эта связь будет рассмотрена в четвёртой главе.

1.5. Диагонали квадрата и его центральная симметрия

Наряду со сторонами и углами квадрат обладает важными свойствами диагоналей.

Диагональю четырёхугольника называется отрезок, соединяющий две противоположные вершины.

У квадрата имеются две диагонали.

В обычной евклидовой геометрии они обладают следующими свойствами.

Прежде всего диагонали квадрата равны.

Кроме того, они пересекаются под прямым углом.

Точка их пересечения делит каждую диагональ на две равные части.

Следовательно, квадрат имеет общий центр симметрии.

Если повернуть квадрат вокруг этого центра на половину полного оборота, каждая его вершина займёт положение противоположной вершины, а вся фигура совпадёт сама с собой.

Квадрат обладает и более сильной вращательной симметрией.

При повороте на девяносто градусов он также совмещается со своим первоначальным положением.

Эти свойства имеют большое практическое и теоретическое значение.

Но для нашей задачи особенно важно другое обстоятельство.

Свойства диагоналей могут быть положены в основание построения четырёхугольника, а не только выводиться из уже существующего квадрата.

Поясним эту мысль.

Пусть на плоскости выбрана точка O.

Через неё проведём две взаимно перпендикулярные прямые.

На одной прямой отметим две точки, расположенные по разные стороны от O на равных расстояниях.

На другой прямой таким же образом отметим ещё две точки, причём все четыре расстояния от O будут равны между собой.

Теперь соединим полученные точки последовательно.

У образовавшегося четырёхугольника сразу установлены несколько свойств.

Его диагонали пересекаются в O.

Они взаимно перпендикулярны.

Каждая диагональ делится точкой O пополам.

Обе диагонали равны между собой.

Далее можно исследовать треугольники, образованные соседними радиальными отрезками и внешними сторонами четырёхугольника.

Эти треугольники прямоугольны, поскольку их радиальные стороны взаимно перпендикулярны.

Они равнобедренны, поскольку радиальные отрезки равны.

Наконец, все четыре центральных треугольника конгруэнтны друг другу по двум сторонам и заключённому между ними углу.

Отсюда следует равенство четырёх внешних сторон полученной фигуры.

Кроме того, равны и четыре угла при её вершинах.

Таким образом, мы устанавливаем значительную совокупность геометрических свойств, не обращаясь к пятому постулату.

В этом и состоит важное преимущество радиального построения: многие свойства исследуемого четырёхугольника оказываются непосредственными следствиями его внутренней организации.

Вместе с тем необходимо учитывать различие между привычной евклидовой классификацией фигур и задачей исследования её аксиоматических оснований.

В полной евклидовой геометрии равные взаимно перпендикулярные диагонали, делящие друг друга пополам, позволяют охарактеризовать квадрат.

Но если существование квадрата предполагается использовать для исследования самого пятого постулата, нельзя без отдельного анализа ссылаться на результаты, доказательство которых уже предполагает этот постулат.

Поэтому для нашей работы особенно важен порядок рассуждения.

Сначала устанавливаются свойства диагоналей и центральных треугольников.

Затем доказывается равенство внешних сторон и внешних углов.

И лишь после этого рассматривается вопрос о величине последних.

Так мы подходим к центральному различию, на котором будет основано всё дальнейшее исследование.

1.6. Прямые углы при центре и углы при вершинах: различие двух геометрических задач

Рассмотрим подробнее геометрическую конструкцию, которая впоследствии станет исходным пунктом авторского доказательства.

Поскольку брошюра предназначена также для публикации без иллюстраций, опишем построение так, чтобы его можно было мысленно воспроизвести.

Представим две взаимно перпендикулярные прямые, пересекающиеся в точке O.

Для удобства будем считать одну прямую горизонтальной, а другую вертикальной.

На горизонтальной прямой отметим точку D слева от O и точку B справа от O.

На вертикальной прямой отметим точку A над O и точку C под O.

Выберем все четыре точки так, чтобы расстояния от них до центра были равны:

OA = OB = OC = OD = a.

Теперь соединим точки в следующем порядке: D с A, A с B, B с C и C с D.

Получим замкнутый четырёхугольник DABC.

Его диагоналями являются отрезки AC и DB.

Они пересекаются в точке O под прямым углом.

При этом все четыре части диагоналей имеют одинаковую длину a.

Внутри четырёхугольника образованы четыре треугольника.

Первый — AOB, расположенный в верхней правой части фигуры.

Второй — BOC, расположенный в нижней правой части.

Третий — COD, расположенный в нижней левой части.

Четвёртый — DOA, расположенный в верхней левой части.

У каждого треугольника две стороны, сходящиеся в точке O, равны a.

Угол между ними прямой.

Следовательно, все четыре треугольника являются прямоугольными и равнобедренными.

Поскольку они построены по одинаковым сторонам и одинаковому углу между ними, они конгруэнтны.

Это позволяет получить несколько последовательных выводов.

Первый вывод. Равенство внешних сторон.

Стороны исходного четырёхугольника DA, AB, BC и CD являются основаниями четырёх конгруэнтных треугольников.

Поэтому они равны.

Второй вывод. Равенство углов при внешних вершинах.

Рассмотрим точку B.

В ней сходятся стороны BA и BC.

Диагональ BO проходит между ними и делит угол ABC на два угла: ABO и OBC.

Эти углы равны, поскольку принадлежат конгруэнтным прямоугольным равнобедренным треугольникам.

Аналогичное рассуждение справедливо для точек A, C и D.

Следовательно, все четыре внутренних угла внешнего четырёхугольника равны.

Третий вывод. Центральные углы прямые.

При точке O образованы четыре угла: AOB, BOC, COD и DOA.

Все они равны девяноста градусам.

Их сумма составляет полный угол вокруг точки O, то есть 360 градусов.

Для установления этого результата не требуется обращаться к пятому постулату.

Он следует непосредственно из взаимной перпендикулярности двух исходных прямых.

Теперь обратимся к вопросу, имеющему принципиальное значение для дальнейшего изложения.

Означает ли установленная прямота четырёх центральных углов, что четыре угла внешнего четырёхугольника также прямые?

В полной евклидовой геометрии ответ положителен.

Но в исследовании доказательных оснований необходимо различать сами геометрические объекты, о которых идёт речь.

Угол AOB имеет вершину в точке O и образован отрезками OA и OB.

Угол ABC имеет вершину в точке B и образован отрезками BA и BC.

Это разные углы, имеющие разные вершины и разные образующие их стороны.

Поэтому прямота первого угла не является буквально тем же самым утверждением, что прямота второго.

Введём дополнительное обозначение.

Пусть α — один из равных острых углов при основании центрального прямоугольного равнобедренного треугольника.

Тогда угол ABC состоит из двух равных углов величиной α.

Следовательно, его величина равна 2α.

То же справедливо для остальных трёх углов внешнего четырёхугольника.

Таким образом, весь вопрос о прямоте внешних углов сводится к установлению величины α.

В обычной евклидовой геометрии каждый из двух острых углов прямоугольного равнобедренного треугольника равен сорока пяти градусам.

Следовательно, угол при каждой внешней вершине составляет девяносто градусов.

Но при исследовании независимости этого вывода от пятого постулата необходимо помнить, что классическая теорема о сумме углов треугольника в сто восемьдесят градусов доказывается у Евклида с использованием теории параллельных.

В частности, соответствующее предложение 32 первой книги опирается на предложение 29, в доказательстве которого используется пятый постулат.

Поэтому простая ссылка на привычную сумму углов треугольника не решает задачу независимого доказательства.

Именно здесь обнаруживается фундаментальное различие двух геометрических задач.

Первая задача — построить четыре прямых угла вокруг общего центра.

В нашем случае она решена непосредственно.

Вторая задача — доказать прямоту четырёх равных углов внешнего контура.

Эта задача требует самостоятельного рассуждения.

Предлагаемый в настоящей работе метод последовательной надстройки направлен именно на вторую задачу.

Его исходная идея состоит в том, чтобы включить первоначальный четырёхугольник в более крупную геометрическую конструкцию, не изменяя ни одной из его сторон и ни одного из уже установленных свойств.

При этом одна из первоначальных внешних вершин становится центром нового построения.

Так создаётся возможность исследовать исходный угол в составе новой системы геометрических отношений.

Подробное построение и авторское доказательство будут изложены в пятой главе.

1.7. Почему наглядное существование фигуры не заменяет математического доказательства

Завершая первую главу, необходимо рассмотреть ещё один вопрос, который нередко остаётся незамеченным при изучении элементарной геометрии.

Почему вообще требуется доказывать существование квадрата, если каждый человек способен его нарисовать?

На первый взгляд такой вопрос может показаться излишним.

Возьмём лист бумаги, линейку и угольник. Проведём четыре отрезка, попарно соединяя их под прямыми углами. Установим равенство сторон. Получим изображение квадрата.

Что ещё требуется доказать?

Ответ заключается в различии между изображением и математическим объектом.

Любой физический чертёж имеет конечную точность.

Проведённая карандашом линия обладает некоторой толщиной. Её прямолинейность ограничена точностью инструмента. Измерение длины производится с определённой погрешностью.

Даже если все эти погрешности чрезвычайно малы, они не исчезают полностью.

Поэтому нарисованный квадрат представляет собой материальную модель идеальной фигуры, но не строгую реализацию всех её математических свойств.

Однако существует и более глубокая причина.

Математическое доказательство должно показывать не только то, что фигуру удалось изобразить, но и то, почему её требуемые свойства необходимо следуют из исходных условий.

В геометрии это означает установление последовательной связи между допустимыми построениями и получаемыми результатами.

Если мы строим прямую, необходимо знать, какие положения позволяют её провести.

Если продолжаем отрезок, следует понимать, что именно гарантирует сохранение его прямолинейности.

Если строим перпендикуляр, должны быть определены свойства возникающих прямых углов.

Если соединяем несколько фигур, требуется установить отношения их сторон, углов и границ.

Наконец, если утверждаем, что полученный четырёхугольник является квадратом, должны быть доказаны оба его определяющих свойства.

Эта последовательность составляет сущность геометрического доказательства.

Особое значение она приобретает в исследованиях оснований математики.

В обычном школьном курсе геометрии многие результаты используются как давно установленные истины.

Например, известно, что сумма внутренних углов треугольника составляет 180 градусов, а сумма внутренних углов четырёхугольника — 360 градусов.

Известно также, что у прямоугольника противоположные стороны параллельны, а у квадрата все стороны равны и все углы прямые.

Но когда предметом исследования становится пятый постулат Евклида, необходимо проследить, какие из этих результатов допускают доказательство до его использования, а какие связаны с ним.

В этом состоит принципиальное отличие обычной геометрической задачи от исследования оснований геометрии.

В первом случае мы пользуемся системой уже известных теорем.

Во втором — исследуем логическую последовательность возникновения самих этих теорем.

Поэтому нельзя подменять доказательство существования квадрата ссылкой на его привычный внешний вид.

Нельзя также ограничиваться перечислением свойств, которые квадрат действительно имеет в полной евклидовой геометрии.

Необходимо показать, каким образом из допустимых исходных построений получается фигура, удовлетворяющая определению квадрата.

Именно эту задачу Евклид решает в предложении 46 первой книги «Начал».

Именно к этой задаче, но уже с иной исследовательской целью, обращается настоящая работа.

Мы не ставим под сомнение существование квадрата в евклидовой геометрии.

Оно давно установлено.

Предмет нашего исследования иной: возможно ли построить доказательство существования квадрата, не опирающееся на пятый постулат и на теоремы, логически зависящие от него?

Для ответа на этот вопрос необходимо тщательно исследовать как классические доказательства, так и возможные альтернативные построения.

В настоящей главе мы рассмотрели квадрат как геометрический объект, его определение, основные свойства и различие между центральными прямыми углами и углами внешнего контура.

Мы установили, что равенство четырёх сторон и равенство четырёх внутренних углов могут быть получены непосредственно из конгруэнтности четырёх центральных прямоугольных равнобедренных треугольников.

Тем самым исходное геометрическое построение уже даёт значительную часть необходимых результатов.

Остаётся исследовать возможность самостоятельного установления прямоты внешних углов.

Прежде чем перейти к предлагаемому авторскому решению, необходимо обратиться к истории вопроса.

Она показывает, что задача построения прямоугольных четырёхугольников и проблема пятого постулата Евклида тесно связаны между собой.

********

Глава 2. Исторические способы построения и доказательства существования квадрата

2.1. Квадрат в древней геометрической практике

История квадрата значительно древнее истории геометрии как строго организованной математической науки.

Задолго до появления «Начал» Евклида люди умели измерять земельные участки, возводить прямоугольные сооружения, определять площади и выполнять геометрические построения, требующие высокой точности.

Квадрат и прямоугольник занимали в этой деятельности особое место.

Их практическое значение определялось прежде всего удобством измерения и разделения пространства.

Прямоугольный участок легко представить как совокупность одинаковых полос или клеток. Квадрат, благодаря равенству сторон, позволяет пользоваться одной и той же линейной мерой в двух взаимно перпендикулярных направлениях.

Но историческое знакомство с квадратом ещё не означало существования строгой теоремы о возможности его построения.

Для древнего землемера квадрат был прежде всего определённой формой земельного участка.

Для строителя — формой основания сооружения.

Для вычислителя — фигурой, площадь которой выражается произведением двух равных величин.

И только в теоретической геометрии квадрат становится объектом, существование и свойства которого должны быть установлены посредством доказательства.

Древний Египет

Древнеегипетская математика формировалась в тесной связи с землемерием, строительством, распределением продуктов, учётом земель и вычислением площадей.

Особенно важным историческим источником является математический папирус Ринда — древнеегипетский сборник задач, сохранившийся в копии середины второго тысячелетия до нашей эры.

Среди представленных в нём математических приёмов существенное место занимают вычисления площадей прямоугольных и других геометрических областей.

Египетские вычислители располагали практическими способами обращения с линейными размерами, площадями и объёмами.

Это свидетельствует о достаточно развитой измерительной геометрии.

Однако необходимо различать две исторические вещи.

Одна из них — способность вычислять площадь квадратного участка.

Другая — наличие формального доказательства того, что из определённых исходных геометрических положений следует существование четырёхугольника с четырьмя равными сторонами и четырьмя прямыми углами.

Сохранившиеся египетские математические источники дают богатый материал по первой проблеме, но не содержат доказательства существования квадрата в том аксиоматическом смысле, в котором этот вопрос рассматривается в настоящей работе.

Это не свидетельствует о недостаточности древнеегипетских математических знаний. Просто сама организация математической деятельности была иной.

Её главной задачей являлось получение правильного практического результата.

Древняя Месопотамия

Особенно интересное свидетельство древнего знания свойств квадрата сохранилось в вавилонской математике.

Речь идёт о знаменитой глиняной табличке YBC 7289, относящейся к старовавилонскому периоду, приблизительно первой половине второго тысячелетия до нашей эры.

На табличке изображён квадрат с диагоналями.

Рядом с изображением записаны числа в шестидесятеричной системе счисления.

Одно из них представляет собой исключительно точное для своего времени приближение к квадратному корню из двух.

В современной записи это число близко к 1,414213.

Почему данный факт имеет отношение к нашей теме?

Если сторона квадрата принята за единицу, его диагональ в обычной евклидовой геометрии имеет длину, равную квадратному корню из двух.

Следовательно, вавилонский вычислитель пользовался важным метрическим отношением между стороной квадрата и его диагональю.

Перед нами не просто декоративное изображение четырёхугольника.

Это геометрический объект, представленный вместе с точным числовым соотношением.

Но и здесь необходимо соблюдать историческую точность.

Табличка свидетельствует о знании определённого свойства квадрата. Она не содержит дошедшего до нас аксиоматического доказательства его существования.

Таким образом, древневавилонский материал позволяет увидеть высокий уровень геометрических вычислений, но ещё не тот тип систематического доказательства, который позднее получил классическое выражение у Евклида.

Древняя Индия

Ещё одно самостоятельное направление практической геометрии представлено древнеиндийскими «Шульба-сутрами» — текстами, посвящёнными правилам геометрических построений, прежде всего при сооружении ритуальных жертвенников.

Эти сочинения складывались в первом тысячелетии до нашей эры.

Особое значение в них имели построения с помощью шнура и колышков.

Рассматривались квадраты, прямоугольники, круги, а также преобразования одной геометрической формы в другую при сохранении площади.

В частности, исследовались задачи построения квадрата, равновеликого заданному прямоугольнику, и построения квадратов с определёнными отношениями площадей.

Эти задачи уже предполагают достаточно развитое представление о геометрической форме, длине, прямом угле и площади.

Для истории нашего вопроса особенно важно, что квадрат здесь выступает не только как готовая фигура, но и как результат специально предписанной последовательности построений.

И всё же древнеиндийские практические правила и евклидово дедуктивное доказательство принадлежат к различным способам организации математического знания.

В первом случае основное внимание сосредоточено на выполнении построения.

Во втором требуется последовательно установить, почему построенная фигура неизбежно обладает всеми заявленными свойствами.

Исторический итог

Итак, задолго до Евклида квадрат являлся общеизвестным геометрическим объектом.

Его применяли для измерения площадей, использовали в строительстве и изучали связанные с ним метрические соотношения.

Но из этого не следует, что проблема математического доказательства его существования уже была решена в аксиоматической форме.

Практическое построение, числовой расчёт и дедуктивное доказательство — три различных уровня математического исследования.

Переход между ними составляет одну из важнейших страниц истории геометрии.

2.2. Переход от измерения к геометрическому доказательству

В истории математической мысли особое значение имеет переход от вопроса «как выполнить построение?» к вопросу «почему результат построения необходимо обладает требуемыми свойствами?».

Этот переход нельзя свести к простому увеличению точности измерений.

Даже самое совершенное измерение остаётся измерением.

Если строитель изготовил квадратную раму, он может проверить равенство её сторон и прямоту углов с помощью инструментов.

Если обнаружится отклонение, раму можно исправить.

В результате будет получена конструкция, удовлетворяющая требованиям с определённой практической точностью.

Но математическая задача ставится иначе.

Предположим, нам дан произвольный отрезок AB.

Требуется построить на нём квадрат.

Мы должны указать последовательность допустимых геометрических операций, после которых возникнет четырёхугольник с четырьмя равными сторонами и четырьмя прямыми углами.

Затем необходимо доказать, что указанные свойства действительно имеют место.

В этом случае результат уже не зависит от точности чертёжного инструмента.

Он устанавливается логически.

Именно такой подход получил систематическое выражение в древнегреческой дедуктивной геометрии.

От геометрического правила к геометрическому предложению

Представим простое практическое правило:

«Чтобы получить квадрат, проведите две равные взаимно перпендикулярные стороны и достройте оставшиеся стороны».

Для опытного чертёжника это правило вполне понятно.

Но математик должен задать дополнительные вопросы.

Каким образом строятся взаимно перпендикулярные прямые?

На каком основании откладываются равные отрезки?

Как устанавливается положение двух оставшихся вершин?

Почему замыкающая линия образует прямые углы с уже проведёнными сторонами?

Почему все четыре стороны полученного четырёхугольника оказываются равными?

Каждый из этих вопросов требует ответа.

Особенность дедуктивной геометрии заключается в том, что ответы должны следовать из уже принятых исходных положений или ранее доказанных предложений.

В результате геометрическое построение превращается в строгое доказательное рассуждение.

Доказательство не является проверкой чертежа

Принципиально важно понять следующее обстоятельство.

Правильный чертёж и правильное доказательство не тождественны.

Чертёж может совершенно точно изображать требуемую фигуру в рамках принятой геометрической системы.

Но из самого изображения ещё не следует, что все его свойства доказаны из указанных предпосылок.

Например, мы можем нарисовать четырёхугольник, у которого все стороны выглядят равными, а все углы — прямыми.

Однако математическое доказательство должно установить эти равенства независимо от зрительного впечатления.

Точно так же можно нарисовать две параллельные прямые.

Но если мы исследуем основания теории параллельных, необходимо выяснить, из каких положений следует их параллельность и какие свойства она влечёт.

В этом состоит различие между наглядностью и доказательностью.

Наглядность помогает понять математическое рассуждение.

Доказательство устанавливает его необходимость.

Евклидов принцип последовательности

«Начала» Евклида представляют собой один из наиболее известных образцов такой организации математического знания.

Евклид начинает с определений, постулатов и общих понятий.

Затем последовательно доказывает предложения, каждое из которых опирается на ранее установленные результаты.

Важное значение имеет порядок следования предложений.

Так, прежде чем строить квадрат, Евклид рассматривает построения равностороннего треугольника, перенос заданной длины, свойства равнобедренного треугольника, построение перпендикуляров и отношения параллельных прямых.

Построение квадрата появляется лишь в предложении 46 первой книги.

Это обстоятельство показывает, что Евклид рассматривает квадрат не просто как известный геометрический образ.

Он считает необходимым показать, как такая фигура получается в системе ранее разработанных конструкций и теорем.

Таким образом, на смену практической инструкции приходит математически обоснованное построение.

Именно здесь начинается история доказательства существования квадрата в строгом смысле.

2.3. Евклид: построение квадрата на заданном отрезке

Предложение 46 первой книги «Начал» представляет собой классическое доказательство возможности построения квадрата.

Его содержание можно передать следующими словами:

На данной прямой построить квадрат.

Под данной прямой в контексте задачи понимается заданный конечный прямолинейный отрезок.

Пусть таким отрезком является AB.

Требуется получить квадрат, одной из сторон которого будет именно этот отрезок.

Существенно, что длина AB заранее ничем не ограничена.

Евклид рассматривает произвольный заданный отрезок и предлагает общую процедуру построения.

Его решение основано на трёх последовательных действиях.

Сначала к исходному отрезку восстанавливается перпендикуляр.

Затем на нём откладывается отрезок, равный исходному.

После этого через полученные точки проводятся параллельные прямые, завершающие построение четырёхугольника.

Уже из этого краткого описания видна главная особенность евклидова метода.

Евклид строит квадрат посредством сочетания перпендикулярности и параллельности.

Эти два отношения выполняют различные функции.

Перпендикулярность позволяет непосредственно установить один прямой угол.

Параллельность используется для построения двух остальных сторон и последующего доказательства равенства и прямоты углов.

В результате возникает четырёхугольник, для которого необходимо установить оба определяющих свойства квадрата.

Не следует думать, что последнее доказательство является простой формальностью.

Проведение одной пары взаимно перпендикулярных сторон ещё не устанавливает автоматически свойства двух остальных сторон.

Именно поэтому Евклид обращается к ранее доказанным предложениям о параллелограммах и углах при параллельных прямых.

Другая важная особенность предложения 46 состоит в его месте среди остальных предложений первой книги.

Непосредственно за ним следует знаменитое предложение 47 — теорема, традиционно называемая теоремой Пифагора.

В доказательстве этого предложения Евклид строит квадраты на сторонах прямоугольного треугольника.

Следовательно, существование квадрата уже должно быть установлено до применения таких квадратов в доказательстве соотношения между площадями.

Это имеет принципиальное значение для логической последовательности геометрии.

В обычной школьной математике мы часто сначала знакомимся с теоремой Пифагора, а затем используем её для вычисления диагонали квадрата.

Но в последовательности первой книги «Начал» Евклида построение квадрата предшествует доказательству теоремы Пифагора.

Поэтому, исследуя первоначальные основания квадрата, нельзя просто заменить доказательство его существования ссылкой на формулу диагонали, полученную из более позднего предложения.

Необходимо соблюдать логический порядок используемых результатов.

Рассмотрим теперь евклидово построение во всех подробностях.

2.4. Предложение 46 первой книги «Начал»: полный разбор построения

Для понимания доказательства не потребуется рисунок.

Опишем расположение всех точек и каждое действие так, чтобы читатель мог самостоятельно восстановить построение.

Первый шаг. Заданный отрезок

Пусть дан горизонтальный отрезок AB.

Точка A находится слева, точка B — справа.

Необходимо построить квадрат, для которого AB будет нижней стороной.

Длина этого отрезка произвольна.

Второй шаг. Восстановление перпендикуляра

Из точки A проведём вверх луч, перпендикулярный прямой AB.

Евклид выполняет эту операцию на основании предложения 11 первой книги, позволяющего восстановить перпендикуляр к данной прямой из точки, расположенной на ней.

На новом луче выберем точку D так, чтобы длина AD была равна длине AB.

Таким образом, мы получили два отрезка, сходящихся в точке A.

Один из них, AB, расположен горизонтально.

Другой, AD, направлен вверх.

Они равны по длине и образуют прямой угол.

Итак:

AB = AD.

Угол BAD равен девяноста градусам.

Эти два свойства установлены непосредственно построением.

Третий шаг. Проведение первой параллельной прямой

Через точку D проведём прямую, параллельную AB.

Обозначим её DE, где E — будущая правая верхняя вершина фигуры.

Для проведения такой прямой Евклид пользуется предложением 31 первой книги.

В результате верхняя сторона будущего четырёхугольника имеет направление, согласованное с нижней стороной AB по условию параллельности.

Четвёртый шаг. Проведение второй параллельной прямой

Через точку B проведём прямую, параллельную AD.

Она встречается с ранее проведённой прямой DE в точке E.

В результате образуется замкнутый четырёхугольник A–D–E–B.

Его стороны последовательно расположены следующим образом:

AD — левая сторона.

DE — верхняя сторона.

EB — правая сторона.

BA — нижняя сторона.

При этом по построению противоположные стороны параллельны:

AB параллельна DE.

AD параллельна BE.

Следовательно, полученный четырёхугольник является параллелограммом.

Но является ли он квадратом?

Это и предстоит доказать.

Пятый шаг. Доказательство равенства четырёх сторон

Евклид обращается к предложению 34 первой книги.

Согласно этому предложению, противоположные стороны параллелограмма равны.

Поэтому:

AB = DE.

AD = BE.

Но ранее уже было установлено:

AB = AD.

Следовательно, все четыре стороны построенной фигуры равны:

AB = AD = DE = BE.

Таким образом, доказана равносторонность четырёхугольника.

Первое определяющее свойство квадрата установлено.

Шестой шаг. Доказательство второго прямого угла

Теперь необходимо доказать прямоту углов.

Мы уже знаем, что угол BAD при точке A прямой.

Рассмотрим угол ADE при точке D.

Он образован отрезками DA и DE.

Отрезок AD пересекает две параллельные прямые AB и DE.

По предложению 29 первой книги «Начал» внутренние односторонние углы, возникающие при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, в сумме равны двум прямым углам.

В нашем случае это углы BAD и ADE.

Следовательно, их сумма составляет 180 градусов.

Но угол BAD по построению равен девяноста градусам.

Значит, на долю угла ADE также приходится девяносто градусов.

Итак, угол при D прямой.

Обратим внимание на значение этого шага.

Евклид не просто объявляет угол при D прямым потому, что верхняя сторона изображена горизонтально.

Он доказывает его прямоту, используя определённую теорему о параллельных прямых.

Это существенный момент для последующего исследования связи квадрата с пятым постулатом.

Седьмой шаг. Доказательство прямоты оставшихся углов

Остаётся рассмотреть углы при B и E.

Для этого Евклид вновь обращается к предложению 34 первой книги.

В параллелограмме противоположные углы равны.

Следовательно, угол при B равен углу при D.

А угол при E равен углу при A.

Поскольку углы при A и D уже доказаны прямыми, прямыми будут и углы при B и E.

Таким образом, все четыре внутренних угла построенного четырёхугольника составляют по девяносто градусов.

Второе определяющее свойство квадрата установлено.

Восьмой шаг. Заключение Евклида

Теперь мы располагаем двумя доказанными результатами.

Во-первых, построенный четырёхугольник имеет четыре равные стороны.

Во-вторых, все четыре его внутренних угла прямые.

Согласно определению квадрата, этого достаточно для признания построенной фигуры квадратом.

Следовательно, на заданном отрезке AB построен квадрат.

Задача решена.

Что особенно важно в этом доказательстве?

В доказательстве Евклида можно ясно различить два этапа.

Первый — само построение геометрической фигуры.

Второй — установление её необходимых свойств.

Евклид не смешивает эти этапы.

Он сначала получает четырёхугольник посредством перпендикуляра и двух параллельных прямых.

Затем доказывает равенство сторон и прямоту углов.

При этом равенство сторон устанавливается посредством свойств параллелограмма.

Прямота второго угла выводится из угловых отношений параллельных прямых.

Прямота двух оставшихся углов получается из равенства противоположных углов параллелограмма.

Таким образом, предложение 46 представляет собой законченное классическое доказательство существования квадрата в системе геометрии Евклида.

Его логическая структура достаточно ясна, чтобы отдельно поставить вопрос о том, какие именно предшествующие результаты в нём использованы.

2.5. Какие ранее доказанные предложения использует Евклид

Для исследования оснований геометрии недостаточно знать, что предложение 46 доказывает существование квадрата.

Необходимо выяснить, на каких именно ранее установленных предложениях это доказательство основано.

Этот вопрос имеет непосредственное отношение к пятому постулату.

Рассмотрим основные звенья доказательной последовательности.

Предложение 11. Построение перпендикуляра

Предложение 11 первой книги решает задачу восстановления перпендикуляра к заданной прямой из точки, расположенной на этой прямой.

Именно с его помощью Евклид проводит из точки A перпендикуляр к AB.

Это построение использует ранее установленные отношения равных отрезков и конгруэнтных треугольников.

Для его доказательства пятый постулат не требуется.

Следовательно, начальный прямой угол квадрата Евклид действительно получает независимо от пятого постулата.

Предложение 3. Откладывание равного отрезка

Предложение 3 позволяет отложить на заданной прямой отрезок, равный другому заданному отрезку.

Оно связано с более ранними предложениями о переносе длины и построении окружностей.

В предложении 46 это используется для получения равенства AD и AB.

Данный этап также не требует обращения к пятому постулату.

Таким образом, две первые операции — построение прямого угла и откладывание равной стороны — выполняются на основании сравнительно ранних предложений первой книги.

Предложение 31. Проведение параллельной прямой

Предложение 31 ставит задачу провести через заданную точку прямую, параллельную данной прямой.

Здесь возникает особенно интересное обстоятельство.

Само предложение 31 Евклид доказывает без непосредственного обращения к пятому постулату.

Для этого используются построение угла заданной величины и предложение 27.

Последнее устанавливает, что если две прямые при пересечении третьей образуют равные накрест лежащие углы, то эти прямые не пересекаются и, следовательно, параллельны.

Этот результат не требует пятого постулата.

Поэтому необходимо различать два утверждения:

Первое: можно построить прямую, параллельную данной прямой.

Второе: любые две параллельные прямые обладают определёнными угловыми отношениями при пересечении их третьей прямой.

В системе «Начал» эти утверждения имеют различную доказательную историю.

Именно второе становится принципиальным при исследовании пятого постулата.

Предложение 29. Угловые свойства параллельных прямых

Предложение 29 первой книги утверждает, что при пересечении параллельных прямых третьей прямой возникают определённые равенства углов.

В частности, внутренние накрест лежащие углы равны, а внутренние односторонние углы в сумме составляют два прямых угла.

Именно последнее положение использует Евклид, когда доказывает прямоту угла ADE.

Но здесь имеется принципиальное обстоятельство.

Предложение 29 действительно опирается на пятый постулат Евклида.

Более того, именно в доказательстве предложения 29 пятый постулат впервые непосредственно используется в последовательности первой книги «Начал».

Следовательно, когда предложение 46 обращается к предложению 29, оно тем самым опирается на теорему, доказанную с использованием пятого постулата.

Это не предположение и не критическая оценка со стороны современного исследователя.

Это установленный факт внутренней логической организации самого евклидова текста.

Предложение 34. Свойства параллелограмма

Предложение 34 устанавливает равенство противоположных сторон и углов параллелограмма, а также равенство площадей двух треугольников, на которые его делит диагональ.

В предложении 46 этот результат используется дважды.

Сначала — для доказательства равенства четырёх сторон.

Затем — для доказательства прямоты оставшихся углов.

Однако и здесь имеется существенная логическая связь.

В доказательстве предложения 34 Евклид использует предложение 29, чтобы установить равенство соответствующих углов при параллельных прямых.

Следовательно, предложение 34 также зависит от пятого постулата через предшествующее предложение.

Таким образом, зависимость классического доказательства квадрата от пятого постулата оказывается не единственной и не случайной.

Она присутствует в системе использованных геометрических теорем.

Логическая последовательность доказательства

Теперь всю картину можно представить словами.

Построение перпендикуляра выполняется без пятого постулата.

Откладывание равного отрезка также выполняется без него.

Проведение параллельной прямой по предложению 31 непосредственно не требует пятого постулата.

Но для доказательства необходимых угловых отношений Евклид обращается к предложению 29.

А для доказательства равенства противоположных сторон и углов параллелограмма использует предложение 34, которое также опирается на предложение 29.

Следовательно, классическое доказательство существования квадрата в предложении 46 содержит вполне определённую логическую зависимость от пятого постулата.

Важно правильно понимать значение этого результата.

Он не ставит под сомнение правильность доказательства Евклида.

В системе геометрии, принимающей все пять постулатов, доказательство является корректным.

Но оно не является доказательством существования квадрата из одних только положений, предшествующих пятому постулату.

Для решения последней задачи необходим иной доказательный путь.

Именно поэтому вопрос об альтернативных конструкциях квадрата представляет самостоятельный исследовательский интерес.

2.6. Построения с перпендикулярами, окружностями и параллельными прямыми

Классическое построение Евклида не является единственным геометрическим способом получить изображение квадрата.

В обычной евклидовой геометрии возможны различные построения, использующие прямые, перпендикуляры, окружности, симметрию и равные отрезки.

Для понимания нашего вопроса полезно рассмотреть несколько основных конструктивных схем.

При этом будем различать исторически засвидетельствованные способы и их современные элементарные геометрические формулировки.

Построение с помощью двух перпендикуляров

Начнём с заданного отрезка AB.

Восстановим в точках A и B перпендикуляры к прямой AB, расположив их по одну сторону от неё.

На каждом перпендикуляре отложим отрезок длиной AB.

Пусть полученные концы будут обозначены соответственно D и C.

Теперь соединим точки D и C.

В обычной евклидовой геометрии получим квадрат ABCD.

Такое построение широко известно и чрезвычайно удобно для практического черчения.

Но если исследовать его аксиоматическое содержание, необходимо задать несколько вопросов.

Первый из них: что непосредственно установлено построением?

Мы знаем, что AD и BC перпендикулярны AB.

Мы также знаем, что AD и BC равны AB.

Следовательно, два угла при основании прямые, а две боковые стороны равны.

Но этого описания недостаточно для самостоятельного доказательства прямоты двух верхних углов без использования дополнительных теорем.

В частности, необходимо установить соответствующее положение соединяющего отрезка DC.

Именно такие вопросы о верхних углах четырёхугольников с равными перпендикулярными боковыми сторонами впоследствии приобрели особое значение в истории проблемы параллельных.

Здесь мы видим, как простое практическое построение превращается в задачу об основаниях геометрии.

Построение с помощью окружности

Рассмотрим другой способ.

Пусть две взаимно перпендикулярные прямые пересекаются в точке O.

Построим окружность с центром O и произвольным радиусом a.

Каждая из двух прямых пересечёт окружность в двух точках.

Всего получим четыре точки, расположенные на одинаковом расстоянии от центра.

Обозначим их последовательно A, B, C и D.

Соединим соседние точки прямолинейными отрезками.

В обычной евклидовой геометрии полученная фигура является квадратом, вписанным в окружность.

Что непосредственно следует из построения?

Все четыре радиальных отрезка равны, поскольку являются радиусами одной окружности.

Все четыре центральных угла прямые, поскольку исходные прямые взаимно перпендикулярны.

Четыре центральных треугольника конгруэнтны по двум сторонам и заключённому между ними углу.

Отсюда следует равенство четырёх сторон внешнего контура.

По той же причине устанавливается равенство четырёх углов при его вершинах.

Важное достоинство этой схемы заключается в том, что многие свойства четырёхугольника получаются непосредственно из симметрии и конгруэнтности.

Однако для строгого установления прямоты внешних углов необходимо дополнить указанные результаты соответствующим угловым рассуждением.

Поэтому построение с помощью окружности особенно удобно как исходная схема исследования существования квадрата.

Оно позволяет получить равенство сторон и равенство углов, не начиная с проведения параллельных прямых.

Построение с помощью взаимно перпендикулярных равных диагоналей

Ещё один вариант заключается в том, чтобы начать не со сторон квадрата, а с его диагоналей.

Проведём две взаимно перпендикулярные прямые через точку O.

На каждой прямой отметим по две точки, расположенные по разные стороны от центра на равных расстояниях.

При этом все четыре расстояния от O выберем одинаковыми.

Соединим полученные точки последовательно.

В результате образуется четырёхугольник с равными диагоналями, которые взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.

Кроме того, четыре образовавшихся центральных треугольника конгруэнтны.

Поэтому внешний четырёхугольник имеет четыре равные стороны и четыре равных угла.

По существу, это та же радиальная конструкция, что и в предыдущем случае, но выполненная без предварительного построения окружности.

С точки зрения элементарной геометрии такая схема особенно проста.

Она требует минимального числа исходных элементов.

Достаточно двух взаимно перпендикулярных прямых и четырёх равных отрезков.

Для настоящей работы эта конструкция представляет особый интерес, поскольку именно она будет положена в основание авторского доказательства.

Но здесь следует подчеркнуть ещё одно обстоятельство.

В рассматриваемом построении речь идёт не о четырёх произвольных отрезках, которые можно независимо перемещать или изменять.

Речь идёт о единой замкнутой фигуре, в которой равенство диагоналей, их перпендикулярность, равенство радиусов и конгруэнтность центральных треугольников существуют одновременно.

Именно совокупность этих свойств составляет исходный предмет исследования.

Построение путём соединения равных квадратов

Наконец, рассмотрим ещё один известный способ геометрической композиции.

Пусть имеется квадрат со стороной a.

Рядом с ним можно расположить второй такой же квадрат, совместив соответствующие стороны.

Затем к полученной фигуре присоединить ещё два таких же квадрата.

В результате четыре одинаковых квадрата образуют один квадрат, сторона которого равна 2a.

Площадь нового квадрата в четыре раза превышает площадь первоначального.

Эта операция является элементарной в обычной евклидовой геометрии.

Но в основании её лежит важное условие: четыре исходные фигуры должны соединяться без зазоров и наложений, а их соответствующие углы при общей вершине должны составлять полный угол.

В геометрии полного прямого угла вокруг точки такая композиция выглядит особенно естественно.

Она позволяет перейти от одного квадрата к системе нескольких конгруэнтных квадратов, сохраняющих свои размеры и форму.

Впоследствии мы вернёмся к этому принципу в связи с методом последовательной надстройки четырёхугольника.

Сравнение различных способов

Рассмотренные конструкции различаются прежде всего выбором исходных элементов.

В построении Евклида такими элементами служат сторона, перпендикуляр и параллельные прямые.

В построении через два перпендикуляра — основание и две равные боковые стороны.

В построении с окружностью — общий центр, равные радиусы и четыре прямых центральных угла.

В построении через диагонали — две взаимно перпендикулярные прямые и четыре равных радиальных отрезка.

В построении путём композиции — несколько конгруэнтных фигур, соединяемых в одну более крупную фигуру.

Все эти способы являются геометрически содержательными.

Но при исследовании независимости существования квадрата от пятого постулата необходимо установить не только возможность выполнить каждое построение, но и достаточность тех первоначальных утверждений, из которых выводятся свойства результата.

Поэтому различие между конструкциями приобретает принципиальное значение.

Оно касается не внешней формы чертежа, а логической организации доказательства.

2.7. Сильные стороны и аксиоматические предпосылки классических доказательств

Подведём итоги исторического и теоретического рассмотрения.

Классическое доказательство существования квадрата, содержащееся в предложении 46 первой книги «Начал», представляет собой выдающийся образец дедуктивной геометрии.

Его достоинство заключается в строгой последовательности построения и доказательства.

Евклид начинает с произвольного заданного отрезка.

На его основе последовательно строит перпендикуляр, равную сторону и параллельные прямые.

Затем доказывает равенство четырёх сторон и прямоту четырёх углов.

В результате получается фигура, удовлетворяющая определению квадрата.

Таким образом, предложение 46 полностью решает поставленную задачу в рамках принятой Евклидом системы постулатов.

Но историческое исследование показывает и другое.

В классическом доказательстве существования квадрата используется теория параллельных прямых, уже опирающаяся на пятый постулат.

Это обстоятельство не умаляет значения доказательства.

Оно лишь определяет его место в логической системе «Начал».

Перед нами доказательство, основанное на всей совокупности евклидовых геометрических предпосылок.

Однако если поставить более специальную задачу — установить возможность построения квадрата из положений, не использующих пятый постулат, — предложение 46 не может рассматриваться как непосредственное решение этой задачи.

Здесь возникает новое направление исследования.

Его содержание можно сформулировать следующим образом.

Можно ли получить четырёхугольник с четырьмя равными сторонами и четырьмя прямыми углами, начав не с параллельных прямых, а с более элементарных геометрических отношений?

В частности, можно ли положить в основание построения взаимную перпендикулярность прямых, равенство отрезков и конгруэнтность фигур?

Исторически эти отношения занимают важное место уже в первых предложениях «Начал».

Известно, что многие основные построения с перпендикулярами и конгруэнтными треугольниками выполняются до появления предложения 29, в котором используется пятый постулат.

Это обстоятельство позволяет сформулировать естественную программу исследования.

Сначала следует определить, какие свойства четырёхугольника могут быть получены непосредственно из равенства отрезков и прямоты центральных углов.

Затем необходимо установить отношения между углами при центре и углами внешнего контура.

Наконец, следует исследовать, можно ли дополнить первоначальное построение новой геометрической конструкцией, в которой свойства внешних углов станут определимыми через уже установленные прямые углы.

Именно этот путь представляет интерес для настоящей работы.

От классического построения к методу последовательной надстройки

Вернёмся к элементарной фигуре, образованной четырьмя равными радиальными отрезками.

Все четыре отрезка исходят из одной точки и образуют четыре прямых центральных угла.

Соединяя их концы, мы получаем замкнутый равносторонний и равноугольный четырёхугольник.

В полной евклидовой геометрии он является квадратом.

Но для нашей исследовательской задачи важно рассмотреть сам механизм установления этого свойства.

В частности, представляет интерес возможность расширения первоначальной конструкции без изменения её уже существующих элементов.

Такое расширение может быть выполнено посредством последовательной надстройки.

Смысл предлагаемого подхода заключается в том, что первоначальный четырёхугольник сохраняется, а вокруг него строится более крупная фигура, организованная по аналогичному принципу.

При этом одна из первоначальных внешних вершин становится центром новой геометрической структуры.

Тем самым создаётся возможность рассматривать исходный угол в составе расширенной системы взаимосвязанных прямолинейных фигур.

Особенность такого метода заключается не в изменении первоначальной фигуры, а в изменении геометрического контекста её рассмотрения.

Именно поэтому он может быть представлен как самостоятельное направление исследования теоремы о существовании квадрата.

Основной исторический вывод

История геометрии позволяет выделить три последовательные стадии отношения к квадрату.

На первой стадии квадрат выступает как практическая форма, необходимая для измерений, строительства и вычислений.

На второй стадии он становится предметом строгого геометрического построения и доказательства. Классическое выражение этого подхода мы находим у Евклида.

На третьей стадии возникает вопрос об аксиоматической зависимости самого доказательства: какие геометрические основания действительно необходимы для установления существования квадрата?

Последняя постановка вопроса особенно важна в связи с историей пятого постулата.

Она позволяет взглянуть на привычную элементарную фигуру как на объект фундаментального исследования.

Таким образом, проблема существования квадрата имеет не только практическое и историческое, но и глубокое теоретическое значение.

Для её дальнейшего рассмотрения необходимо обратиться к многовековой истории попыток доказательства пятого постулата и исследования специальных четырёхугольников.

Именно в этой истории обнаруживается, почему вопрос о четырёх прямых углах приобрёл столь важное значение для оснований евклидовой геометрии.

******

Глава 3. Проблема четырёх прямых углов в истории теоремы о параллельных

3.1. Пятый постулат Евклида и причины многовековых споров

В истории математики едва ли найдётся другое геометрическое положение, которое на протяжении более двух тысячелетий вызывало бы столь продолжительные и напряжённые дискуссии, как пятый постулат Евклида.

Причина этого обстоятельства заключается в его особом положении среди первоначальных оснований геометрии.

В первой книге «Начал» Евклид формулирует пять постулатов.

Первый допускает проведение прямой от любой точки к любой другой точке.

Второй разрешает непрерывное продолжение конечной прямой по прямой.

Третий устанавливает возможность построения окружности с произвольными центром и радиусом.

Четвёртый утверждает равенство всех прямых углов.

Пятый постулат имеет существенно более сложное содержание.

В современной передаче его формулировку можно изложить следующим образом:

Если прямая пересекает две другие прямые и образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых углов, то эти две прямые при неограниченном продолжении пересекутся с той стороны, где указанная сумма меньше двух прямых углов.

Попробуем понять это положение без обращения к чертежу.

Представим горизонтальный отрезок AB.

Через точку A проведём прямую, уходящую вверх. Через точку B проведём вторую прямую, также уходящую вверх, но имеющую несколько иное направление.

Горизонтальный отрезок AB будет пересекать обе эти прямые.

При этом выше отрезка образуются два внутренних угла.

Если сумма этих углов меньше 180 градусов, пятый постулат утверждает, что обе прямые при достаточном продолжении непременно встретятся выше AB.

Это утверждение кажется вполне естественным, особенно если представить себе прямые, заметно наклонённые одна к другой.

Но ситуация становится менее очевидной, когда их направления различаются чрезвычайно мало.

Предположим, что сумма внутренних односторонних углов отличается от 180 градусов на ничтожно малую величину.

В этом случае предполагаемая точка пересечения может оказаться сколь угодно далеко от исходного отрезка.

Здесь возникает принципиальный вопрос.

Можно ли на основании одних только первоначальных свойств прямой утверждать, что такое пересечение обязательно произойдёт?

Или для этого необходимо принять дополнительное положение о взаимном расположении прямых при их неограниченном продолжении?

Именно этот вопрос составляет историческое ядро проблемы пятого постулата.

Особенность пятого постулата

Первые три постулата Евклида непосредственно связаны с элементарными геометрическими действиями.

Провести прямую.

Продолжить прямую.

Описать окружность.

Четвёртый постулат устанавливает основное отношение равенства между прямыми углами.

Пятый же постулат утверждает нечто иное.

Он связывает величины углов, образованных несколькими прямыми, с обязательным существованием удалённой точки их пересечения.

Поэтому он воспринимался многими геометрами как теорема, которая должна следовать из более простых положений.

Особенно существенно, что речь идёт о прямых, которые могут продолжаться неограниченно.

Для практического чертежа достаточно исследовать некоторый конечный участок плоскости.

Но пятый постулат устанавливает отношение, которое должно сохранять силу независимо от того, насколько далеко придётся продолжать прямые.

В этом отношении он затрагивает не только локальные, но и глобальные свойства геометрического пространства.

Обратное утверждение и предложение 29

Уже в первой книге «Начал» обнаруживается важная асимметрия.

Евклид доказывает, что при определённых равенствах углов две прямые являются параллельными.

Например, если прямая пересекает две другие прямые и образует равные внутренние накрест лежащие углы, то пересечённые прямые не встречаются при продолжении.

Это содержание предложения 27 первой книги.

Доказательство не использует пятого постулата.

Однако обратное утверждение — что пересечение параллельных прямых третьей прямой приводит к соответствующим равенствам углов — Евклид доказывает уже в предложении 29.

И здесь используется пятый постулат.

На первый взгляд разница незначительна.

В действительности она имеет принципиальное значение.

Одно дело — доказать параллельность прямых из определённых угловых отношений.

Другое дело — установить обязательные угловые отношения исходя из того, что две прямые не пересекаются.

Именно второй переход оказался логически связан с пятым постулатом.

Эта особенность впоследствии породила многочисленные попытки пересмотреть основания теории параллельных.

Пятый постулат и сумма углов

В обычной евклидовой геометрии широко известна теорема о сумме внутренних углов треугольника.

Эта сумма составляет 180 градусов.

Для четырёхугольника соответствующая сумма равна 360 градусам.

Но исторически важно, что у Евклида теорема о сумме углов треугольника доказывается после введения теории параллельных прямых.

В предложении 32 первой книги она опирается на предложение 29, а следовательно, на пятый постулат.

Поэтому при исследовании возможности доказать пятый постулат из предшествующих положений нельзя просто ссылаться на сумму внутренних углов произвольного четырёхугольника, равную 360 градусам.

Нужно либо предварительно установить эту сумму независимым способом, либо воспользоваться иным доказательным приёмом.

Здесь возникает важное различие.

Полный угол вокруг одной точки составляет 360 градусов независимо от пятого постулата.

Но утверждение о сумме внутренних углов четырёхугольника относится к четырём различным вершинам и требует самостоятельного геометрического обоснования.

Для настоящего исследования это различие имеет фундаментальное значение.

Оно позволяет понять, почему задача о четырёх прямых углах стала одной из центральных в истории геометрии.

3.2. Посидоний и Прокл: прямолинейность, параллельность и равные расстояния

Одно из наиболее ранних направлений исследования пятого постулата связано с попытками уточнить само понятие параллельности.

В центре этих попыток находился вопрос о том, какое геометрическое свойство следует считать определяющим для двух параллельных прямых.

Евклид определял параллельные прямые как прямые, лежащие в одной плоскости и не встречающиеся между собой при неограниченном продолжении в обе стороны.

Это определение описывает параллельность через отсутствие пересечения.

Однако некоторым античным геометрам представлялось, что понятие параллельности можно выразить более непосредственно.

Для этого они обращались к идее постоянного расстояния между прямыми.

Посидоний и принцип эквидистантности

Посидоний, древнегреческий философ и учёный I века до нашей эры, предложил определение параллельных прямых через равенство перпендикулярных расстояний между ними.

В наиболее общем виде эта идея состоит в следующем.

Представим две прямые, расположенные в одной плоскости.

Из различных точек первой прямой проведём перпендикуляры ко второй.

Если все соответствующие перпендикулярные отрезки имеют одинаковую длину, прямые сохраняют постоянное взаимное расстояние.

Именно такие прямые Посидоний рассматривал как параллельные.

Это понятие получило название эквидистантности.

Слово означает равенство расстояний.

Особенность данного определения заключается в том, что оно обращается к измеримому геометрическому отношению.

Параллельность перестаёт характеризоваться только отсутствием пересечения в бесконечном продолжении.

Она связывается с определённой и одинаковой величиной перпендикулярного расстояния.

На первый взгляд такой подход обладает очевидным преимуществом.

Постоянство расстояния между двумя прямыми кажется более непосредственным и наглядным свойством, чем утверждение об их непересечении при бесконечном продолжении.

Но здесь возникает вопрос, который позднее неоднократно повторялся в истории теоремы о параллельных.

Действительно ли равенство перпендикулярных расстояний следует из одного только непересечения прямых?

Или мы принимаем его в качестве самостоятельной геометрической предпосылки?

Для полного евклидова пространства ответ известен: различные параллельные прямые имеют постоянное взаимное расстояние.

Однако если исследуется логическая независимость пятого постулата, необходимо установить основание этого результата.

Простое переименование параллельных прямых в равноудалённые ещё не является доказательством их равноудалённости.

Именно здесь определение Посидония превращается в самостоятельную геометрическую проблему.

Прокл и критика пятого постулата

Особое значение для истории вопроса имеет Прокл Диадох — философ и комментатор Евклида V века нашей эры.

Его комментарий к первой книге «Начал» сохранил сведения о более ранних попытках доказательства пятого постулата, включая идеи Посидония и Птолемея.

Прокл считал, что пятый постулат по своему содержанию больше похож на теорему, требующую доказательства.

Он обращал внимание на то, что не следует принимать геометрическое утверждение исключительно на основании его наглядной правдоподобности.

В этом отношении позиция Прокла представляет значительный методологический интерес.

Геометрическая очевидность должна быть преобразована в логически необходимое следствие.

Именно такое требование отличает строгую теорию от простого рассуждения по чертежу.

Но собственные попытки Прокла обосновать пятый постулат также столкнулись с трудностями.

Одна из них состояла в переходе от свойств двух расходящихся прямых к утверждению об их обязательном пересечении с другой прямой.

Для такого перехода требовалось установить дополнительное отношение между неограниченным продолжением прямых и расстояниями между ними.

Вопрос заключался в том, может ли это отношение быть получено из уже принятых геометрических оснований.

Прямолинейность и равное расстояние

Исторический подход Посидония интересен ещё в одном отношении.

Он обращает внимание на целостность прямой линии как геометрического объекта.

Прямая не рассматривается только как небольшой отрезок между двумя точками.

Она исследуется в своём непрерывном продолжении.

При этом выясняется, какие отношения сохраняются между двумя прямыми на всём протяжении их существования.

Но необходимо различать три положения.

Первое: каждая из двух рассматриваемых линий прямолинейна.

Второе: эти две линии не пересекаются.

Третье: расстояние между ними постоянно.

В полной евклидовой геометрии последние два свойства параллельных прямых взаимосвязаны.

Однако в аксиоматическом исследовании эта взаимосвязь должна быть установлена доказательством.

Непосредственно из первого свойства нельзя без дополнительного рассуждения получить третье.

Историческое значение подхода Посидония заключается именно в постановке вопроса о геометрической целостности и постоянстве взаимных отношений прямых.

Значение для теоремы о существовании квадрата

На первый взгляд рассуждения об эквидистантности относятся исключительно к параллельным прямым.

Но квадрат обладает двумя парами противоположных сторон, которые в обычной евклидовой геометрии параллельны и равноудалены.

Следовательно, построение квадрата связано не только с равенством его сторон, но и с определённой системой отношений между противоположными прямолинейными отрезками.

Отсюда возникает возможность исследовать существование квадрата через свойства прямой, перпендикулярность и равенство расстояний.

Такое направление оказывается близким по постановке вопроса к античной традиции Посидония.

Разумеется, историческое определение эквидистантности само по себе ещё не является доказательством существования квадрата.

Но оно показывает, что поиск более элементарного основания параллельности начался задолго до появления современных аксиоматических систем.

3.3. Омар Хайям и исследование четырёхугольников

Следующий крупный этап истории проблемы параллельных связан с математикой средневекового Востока.

Особое место здесь занимает Омар Хайям — выдающийся персидский математик, астроном, философ и поэт XI–XII веков.

В 1077 году Хайям завершил трактат, посвящённый трудностям некоторых положений «Начал» Евклида.

Первая часть этого сочинения рассматривает теорию параллельных прямых.

Хайям поставил перед собой задачу исследовать возможность обоснования пятого постулата с помощью более первоначальных геометрических положений.

Для этого он обратился к специальному четырёхугольнику.

Построение Хайяма

Опишем конструкцию.

Пусть дан горизонтальный отрезок AB.

Из точки A проведём вверх перпендикуляр к AB.

Из точки B также проведём вверх перпендикуляр к AB.

На первом перпендикуляре отметим точку C, а на втором — точку D.

Выберем точки так, чтобы отрезки AC и BD были равны.

Теперь соединим C и D прямолинейным отрезком.

Получим четырёхугольник A–B–D–C.

У него имеются следующие свойства.

Нижняя сторона AB является основанием.

Боковые стороны AC и BD равны.

Обе боковые стороны перпендикулярны основанию.

Поэтому два нижних угла при A и B прямые.

Верхняя сторона CD соединяет свободные концы равных перпендикуляров.

Вопрос заключается в величине двух верхних углов — при C и D.

Равенство верхних углов

Хайям исследовал свойства этой фигуры и установил равенство верхних углов.

Такой результат имеет самостоятельное значение.

В исходной конструкции непосредственно заданы лишь два прямых угла при основании.

Два других угла первоначально не объявляются прямыми.

Однако благодаря равенству боковых сторон и симметрии построения можно установить, что верхние углы равны друг другу.

Следовательно, возникает четырёхугольник, у которого два угла прямые, а два других равны.

Обозначим величину каждого верхнего угла буквой β.

Теперь возможны три случая.

Первый: β равно 90 градусам.

Второй: β меньше 90 градусов.

Третий: β больше 90 градусов.

Именно это разделение стало принципиально важным в дальнейшей истории проблемы параллельных.

Гипотеза прямого угла

Предположим, что оба верхних угла прямые.

Тогда четырёхугольник имеет четыре прямых угла.

В обычной евклидовой геометрии это прямоугольник.

Если дополнительно выбрать длину основания равной длине боковых сторон, получится квадрат.

Следовательно, доказательство прямоты верхних углов позволяло бы установить существование прямоугольника и тем самым получить результат, тесно связанный с пятым постулатом.

Именно поэтому проблема верхних углов приобретала особое значение.

Гипотеза острого угла

Теперь предположим, что оба верхних угла острые.

Тогда соединение двух равных перпендикуляров приводит к четырёхугольнику, у которого углы при основании прямые, а углы при противоположной стороне меньше прямого.

В этом случае возникает иное соотношение между основанием и верхней стороной.

В соответствующей геометрической гипотезе верхняя сторона оказывается длиннее основания.

Это обстоятельство Хайям исследовал как часть системы возможных геометрических следствий.

Гипотеза тупого угла

Наконец, предположим, что оба верхних угла тупые.

Тогда при сохранении равенства боковых перпендикуляров возникает третий вариант угловых отношений.

В этом случае верхняя сторона оказывается короче основания.

Таким образом, из одной исходной конструкции возникают три различные возможности.

Хайям стремился показать, что две последние несовместимы с природой рассматриваемых прямых и что допустимой остаётся гипотеза прямого угла.

Исторический результат

Исследования Хайяма заслуживают особого внимания по нескольким причинам.

Во-первых, он поставил проблему пятого постулата в непосредственную связь со свойствами специального четырёхугольника.

Во-вторых, он не ограничился произвольным чертежом, а построил фигуру с заранее установленными отношениями равенства и перпендикулярности.

В-третьих, он свёл исследование к сравнительно простому вопросу: какими могут быть два оставшихся равных угла?

В современной истории математики отмечается, что окончательный вывод Хайяма зависел от дополнительных геометрических предпосылок, не установленных им независимо от постулата о параллельных.

Поэтому его рассуждение не рассматривается как общепринятое независимое доказательство пятого постулата.

Но это не отменяет значения самой конструкции.

Главный исторический вклад Хайяма заключается в превращении проблемы параллельности в задачу о величине углов специально построенного четырёхугольника.

Впоследствии сходный подход получил дальнейшее развитие в трудах Джироламо Саккери.

Необходимо подчеркнуть, что четырёхугольник Хайяма отличается от исходной радиальной конструкции, которая будет использована в заключительной главе настоящей брошюры.

У Хайяма непосредственно построены два прямых угла при основании, а два верхних угла исследуются.

В нашем исходном построении четыре прямых угла возникают вокруг общего центра, тогда как все четыре угла внешнего контура первоначально установлены только как равные.

Но обе конструкции объединены одной исследовательской целью.

В обоих случаях геометрическая задача состоит в переходе от уже установленных свойств прямых, перпендикуляров и конгруэнтных элементов к определению величины углов замкнутого четырёхугольника.

3.4. Четырёхугольник Саккери: гипотезы прямого, острого и тупого углов

В XVIII веке проблема пятого постулата получила новую разработку в трудах итальянского математика и иезуитского учёного Джироламо Саккери.

В 1733 году, незадолго до своей смерти, он опубликовал сочинение под названием «Евклид, очищенный от всякого пятна».

Название отражало главную цель автора.

Саккери стремился устранить ту неопределённость, которая, по его мнению, сохранялась в основаниях геометрии из-за необходимости принимать пятый постулат без доказательства.

Для решения этой задачи он избрал метод доказательства от противного.

Смысл метода заключался в следующем.

Предположим, что пятый постулат не выполняется.

Затем последовательно исследуем геометрические следствия этого предположения.

Если удастся получить логическое противоречие с более первоначальными положениями, отрицание пятого постулата будет опровергнуто, а сам постулат доказан.

Центральным объектом исследования стал специальный четырёхугольник, который в современной математической литературе получил имя Саккери.

Построение четырёхугольника Саккери

Рассмотрим горизонтальный отрезок AB.

Из его концов A и B проведём вверх два перпендикуляра.

На первом отметим точку D.

На втором — точку C.

Выберем их таким образом, чтобы AD равнялось BC.

Теперь соединим D и C.

Получим четырёхугольник ABCD.

У него имеются два прямых угла при основании AB.

Боковые стороны AD и BC равны.

Верхняя сторона DC соединяет концы равных перпендикуляров.

Два верхних угла при D и C первоначально неизвестны.

Почему верхние углы равны?

Это свойство заслуживает отдельного рассмотрения.

Оно может быть установлено средствами геометрии, не использующими пятый постулат.

Проведём диагонали AC и BD.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: BAD и ABC.

Они имеют общую сторону AB.

Боковые стороны AD и BC равны по построению.

Углы BAD и ABC прямые.

Следовательно, эти треугольники конгруэнтны по двум сторонам и углу между ними.

Отсюда следует равенство диагоналей AC и BD.

Теперь рассмотрим треугольники ACD и BDC.

У них общая сторона CD.

Стороны AD и BC равны по построению.

Стороны AC и BD равны по только что доказанному результату.

Следовательно, эти треугольники конгруэнтны по трём сторонам.

Отсюда получаем равенство верхних углов четырёхугольника:

угол ADC равен углу BCD.

Итак, мы действительно имеем строго построенный четырёхугольник с двумя прямыми углами и двумя другими равными углами.

Три гипотезы Саккери

Обозначим величину каждого верхнего угла через β.

Теперь математически возможны три предположения.

Гипотеза прямого угла.

β = 90°.

В этом случае два верхних угла прямые.

Следовательно, все четыре угла четырёхугольника прямые, и он является прямоугольником.

Гипотеза острого угла.

β меньше 90°.

В этом случае оба верхних угла острые.

Гипотеза тупого угла.

β больше 90°.

В этом случае оба верхних угла тупые.

Вся дальнейшая исследовательская программа Саккери заключалась в последовательном изучении этих трёх гипотез.

Особенно важно, что он не пытался непосредственно измерить неизвестные углы.

Он исходил из уже доказанного их равенства, после чего исследовал логические последствия каждого возможного значения.

Исследование гипотезы тупого угла

Саккери получил ряд результатов, связанных с гипотезой тупого угла.

В принятой им системе предпосылок эта гипотеза приводила к противоречию с другими свойствами геометрии.

В современной нейтральной геометрии, при стандартных аксиомах прямой и плоскости, гипотеза тупого угла для такого четырёхугольника исключается.

Таким образом, существенная часть программы Саккери действительно приводила к строгим результатам.

Оставались две возможности.

Верхние углы могли быть прямыми или острыми.

Исследование гипотезы острого угла

Именно здесь Саккери столкнулся с наиболее серьёзными трудностями.

Предположив, что верхние углы острые, он вывел целую последовательность необычных геометрических следствий.

В частности, исследовал свойства прямых, перпендикуляров, расстояний и углов треугольников.

При гипотезе острого угла обнаруживались отношения, существенно отличающиеся от привычных свойств евклидовых параллельных прямых.

Однако сами по себе эти следствия не образовывали логического противоречия.

Саккери стремился исключить гипотезу острого угла, апеллируя в конечном счёте к тому, что она противоречит природе прямой линии.

Эта формулировка чрезвычайно показательна.

Она свидетельствует о том, что исследователь придавал принципиальное значение именно понятию прямолинейности.

Для него вопрос заключался не только в числовых величинах углов.

Он стремился установить, совместимы ли обнаруженные отношения с первоначальным геометрическим содержанием прямой.

Но исторический результат оказался сложнее первоначального замысла.

Впоследствии выяснилось, что исключение гипотезы острого угла в доказательстве Саккери не является логически завершённым.

В решающем месте использовалось дополнительное представление о природе прямой, которое само нуждалось в обосновании.

Значение труда Саккери

Несмотря на неудачу первоначальной программы, историческое значение исследования Саккери чрезвычайно велико.

Он последовательно применил метод доказательства от противного к проблеме параллельных прямых.

Он подробно исследовал три гипотезы о величине верхних углов.

Он получил множество геометрических следствий, часть которых позднее оказалась связана с развитием неевклидовой геометрии.

Но для нашей темы важнее всего сам объект исследования.

Саккери превратил вопрос о существовании прямоугольника в исследование специально построенного четырёхугольника, у которого уже доказаны некоторые свойства, но прямота двух оставшихся углов требует дополнительного обоснования.

Эта постановка очень близка к центральной проблеме настоящей брошюры.

Однако между четырёхугольником Саккери и нашей радиальной конструкцией существует существенное различие.

В конструкции Саккери непосредственно заданы два прямых угла при основании.

В радиальной конструкции четыре прямых угла заданы в общем центре.

В конструкции Саккери неизвестными остаются два равных верхних угла.

В радиальной конструкции равными установлены все четыре угла внешнего контура.

Это различие позволяет рассматривать два подхода как самостоятельные способы исследования одной фундаментальной проблемы.

3.5. Четырёхугольник Ламберта: три прямых угла и проблема четвёртого

Следующий значительный шаг был сделан Иоганном Генрихом Ламбертом — математиком, физиком и философом XVIII века.

В 1766 году он написал исследование «Теория параллельных линий».

Сочинение было опубликовано посмертно, в 1786 году.

В отличие от Саккери, Ламберт сосредоточил внимание на четырёхугольнике, у которого три угла уже являются прямыми.

Четвёртый угол оставался предметом исследования.

Постановка задачи

Представим четырёхугольник ABCD.

Пусть угол при A прямой.

Угол при B также прямой.

Наконец, угол при C тоже прямой.

Три прямых угла уже установлены.

Теперь возникает вопрос: каким может быть четвёртый угол, расположенный при D?

В обычной евклидовой геометрии ответ кажется очевидным.

Если сумма четырёх внутренних углов составляет 360 градусов, а три из них равны по 90 градусов, то четвёртый также должен составлять 90 градусов.

Но именно здесь обнаруживается аксиоматическая проблема.

Утверждение о сумме внутренних углов произвольного четырёхугольника, равной 360 градусам, связано с пятым постулатом.

Поэтому использовать его для независимого доказательства самого пятого постулата нельзя.

Ламберт исследовал четвёртый угол без предварительного принятия указанного результата.

Три возможных случая

Как и в построении Саккери, возникают три гипотезы.

Первая: четвёртый угол прямой.

Вторая: четвёртый угол острый.

Третья: четвёртый угол тупой.

Если четвёртый угол прямой, получаем прямоугольник.

Если четвёртый угол острый, возникает четырёхугольник с тремя прямыми и одним острым углом.

Если четвёртый угол тупой, получаем третий вариант.

Задача состоит в установлении того, какие из этих вариантов совместимы с исходными геометрическими предпосылками.

В стандартной нейтральной геометрии вариант тупого угла исключается.

Но случай острого угла не устраняется одним только существованием первых трёх прямых углов.

Именно это обстоятельство сделало исследования Ламберта исторически значимыми.

Углы и площадь

Ламберт обратил внимание на глубокую связь между величиной суммы углов треугольника и его площадью.

В обычной евклидовой геометрии сумма внутренних углов любого треугольника равна 180 градусам.

Но при исследовании альтернативных угловых отношений возникает возможность рассматривать треугольники, у которых эта сумма меньше 180 градусов.

Разность между 180 градусами и фактической суммой углов получила название углового дефекта.

Ламберт исследовал связь такого дефекта с площадью.

Это было существенным расширением первоначальной постановки вопроса.

Проблема пятого постулата переставала касаться только отдельных пересечений прямых.

Она приобретала характер исследования общих метрических и угловых отношений геометрических фигур.

Позднее эти идеи получили дальнейшее развитие в дифференциальной геометрии и теории пространств различной кривизны.

Сравнение Саккери и Ламберта

Теперь сопоставим два построения.

У Саккери имеются два прямых угла при основании и два равных неизвестных угла при противоположной стороне.

У Ламберта имеются три прямых угла и только один неизвестный угол.

Таким образом, Ламберт ещё сильнее ограничивает возможную угловую структуру исследуемого четырёхугольника.

Кажется, что если уже установлены три прямых угла, доказательство прямоты четвёртого должно быть совершенно простым.

Но исторически именно этот последний переход и оказался связан с проблемой пятого постулата.

Здесь мы встречаем чрезвычайно важный для настоящей работы результат.

Даже наличие трёх прямых углов в одном четырёхугольнике не устраняет автоматически вопрос об аксиоматическом основании прямоты четвёртого угла.

В полной евклидовой геометрии такой вывод, разумеется, справедлив.

Но при исследовании пятого постулата необходимо установить, на какие именно положения он опирается.

Значение для теоремы о существовании квадрата

Прямоугольник Ламберта с четырьмя прямыми углами позволяет непосредственно перейти к вопросу о квадрате.

Если четыре угла прямые, а соседние стороны равны, возникает квадрат.

Следовательно, задача существования квадрата логически включает задачу существования прямоугольника.

Но квадрат обладает дополнительной особенностью: его стороны должны быть равны.

В этом отношении изучение квадрата объединяет угловую проблему Ламберта с метрическими отношениями равносторонней фигуры.

Именно такая совокупность условий будет положена в основание нашего дальнейшего исследования.

3.6. Развитие вопроса в XIX веке

К началу XIX века история пятого постулата насчитывала уже множество попыток доказательства.

Некоторые исследователи стремились вывести постулат из первоначальных свойств прямой.

Другие вводили дополнительные определения параллельности.

Третьи рассматривали специальные четырёхугольники и пытались исключить все угловые конфигурации, кроме евклидовой.

При этом основные трудности постоянно возвращались.

Необходимо было доказать глобальное свойство прямолинейного пространства, не опираясь на предположение, которое по своему содержанию уже выражало это свойство.

Попытки замены пятого постулата

Важную роль в истории проблемы сыграли исследования Джона Валлиса, жившего в XVII веке.

Он предложил подход, основанный на существовании подобных, но не равных по размерам геометрических фигур.

В обычной евклидовой геометрии возможность строить фигуры одной формы в различных масштабах кажется совершенно естественной.

Например, можно построить два треугольника с равными соответствующими углами, но различными длинами сторон.

Однако в аксиоматическом исследовании утверждение о существовании таких фигур само требует доказательства.

В стандартной нейтральной геометрии возможность существования подобных, но неконгруэнтных треугольников является условием, связанным с пятым постулатом.

Поэтому замена постулата таким утверждением не обязательно означает его независимое доказательство.

Этот исторический пример заслуживает внимания потому, что он связывает проблему параллельных с изменением масштаба геометрических построений.

Исследования Лежандра

На рубеже XVIII и XIX веков значительный вклад в изучение проблемы внёс французский математик Адриен-Мари Лежандр.

Он неоднократно возвращался к вопросу о пятом постулате в своих трудах по элементарной геометрии.

Особое внимание Лежандр уделял сумме углов треугольника.

В рамках соответствующей системы предпосылок можно установить, что сумма углов треугольника не превышает 180 градусов.

Но доказательство того, что эта сумма обязательно равна именно 180 градусам, оказалось существенно более трудной задачей.

Многочисленные попытки Лежандра не привели к общепринятому независимому доказательству пятого постулата.

Вместе с тем они способствовали более ясному пониманию различия между утверждениями, которые можно установить без него, и утверждениями, связанными с ним логически.

Карл Фридрих Гаусс

Особое место в истории геометрии занимает Карл Фридрих Гаусс.

В течение многих лет он исследовал проблему параллельных и возможность построения геометрической теории, в которой привычные евклидовы угловые отношения не являются обязательными.

Значительная часть этих исследований осталась неопубликованной при его жизни.

Из сохранившейся переписки известно, что Гаусс серьёзно рассматривал возможность внутренне непротиворечивой геометрии, отличающейся от евклидовой.

Его позиция имела важное методологическое значение.

Исследование пятого постулата постепенно переставало ограничиваться попытками доказать заранее ожидаемый результат.

Возникал вопрос о том, что произойдёт, если исходную систему геометрических предпосылок изменить.

Николай Иванович Лобачевский

Решающий поворот связан с трудами Николая Ивановича Лобачевского.

В 1826 году в Казанском университете он представил исследование, посвящённое основаниям новой геометрии.

В 1829–1830 годах появились его первые печатные работы по этому направлению.

В дальнейшем Лобачевский последовательно развивал систему геометрических утверждений, в которой положение о параллельных отличается от евклидова.

Для истории науки принципиально важно, что Лобачевский не ограничился отдельным возражением против пятого постулата.

Он построил целую математическую теорию, исследуя её собственные определения, теоремы и метрические соотношения.

В частности, в такой системе сумма внутренних углов треугольника оказывается меньше 180 градусов.

Вопрос о прямоугольных четырёхугольниках также получает иное решение.

При соответствующих предпосылках четырёхугольник с тремя прямыми углами имеет четвёртый угол острым.

Следовательно, прямоугольник с четырьмя прямыми углами в этой геометрической системе не существует.

Здесь важно правильно понимать содержание исторического результата.

Речь идёт об исследовании иной математической системы, а не об экспериментальном опровержении существования квадратов в привычной евклидовой геометрии.

Последняя сохраняет свою внутреннюю математическую определённость.

Янош Бойяи

Независимо от Лобачевского сходное направление разрабатывал венгерский математик Янош Бойяи.

Его основное сочинение по новой геометрии было опубликовано в виде приложения к труду его отца Фаркаша Бойяи в начале 1830-х годов; традиционно оно датируется 1832 годом.

Бойяи исследовал геометрические свойства, которые можно устанавливать без предварительного принятия евклидова постулата о параллельных.

Для обозначения общей части такой теории употреблялось понятие абсолютной геометрии.

Важнейшая идея состояла в отделении результатов, не зависящих от спорного постулата, от результатов, получаемых после выбора определённого положения о параллельных.

Этот подход сыграл большую роль в последующем развитии аксиоматической математики.

Значение работ Бельтрами

Новая геометрия долгое время оставалась предметом ожесточённых дискуссий.

Вопрос заключался в том, можно ли считать её внутренне непротиворечивой математической системой.

В 1868 году итальянский математик Эудженио Бельтрами предложил математическую интерпретацию неевклидовой геометрии средствами дифференциальной геометрии.

Его исследования показали, каким образом определённые геометрические отношения можно реализовать в математических моделях, описываемых с использованием уже известных аналитических средств.

Впоследствии важную роль сыграли также работы Феликса Клейна и Анри Пуанкаре.

Они способствовали созданию и развитию моделей, позволяющих исследовать непротиворечивость геометрических теорий и логическую независимость аксиом.

Здесь произошёл фундаментальный поворот в понимании пятого постулата.

Вопрос о том, можно ли доказать его из остальных положений, стал исследоваться средствами математической логики и теории моделей.

В современной аксиоматике установлена независимость постулата о параллельных от стандартной системы нейтральной геометрии.

Это означает, что в пределах такой системы принятие пятого постулата является самостоятельным выбором дополнительного геометрического положения.

Историческое значение XIX века

Итак, XIX век завершил длительный этап истории проблемы параллельных и одновременно открыл новый.

До этого исследователи преимущественно стремились найти недостающее доказательство пятого постулата.

После работ Лобачевского, Бойяи и развития математических моделей стало возможным исследовать различные геометрические системы как самостоятельные предметы математической теории.

Вместе с тем данное развитие не отменило интереса к первоначальным основаниям евклидовой геометрии.

Напротив, оно сделало особенно важным точное исследование того, какие свойства прямых, углов и фигур предполагаются в каждой конкретной системе.

Для настоящей работы именно эта сторона истории представляет наибольший интерес.

Мы исследуем существование квадрата в евклидовой геометрии и предлагаем определённый конструктивный способ его обоснования.

Поэтому нам необходимо различать свойства, непосредственно установленные исходным построением, и свойства, которые должны быть выведены в дальнейшем рассуждении.

3.7. Исторический итог: почему прямоугольные четырёхугольники оказались в центре проблемы параллельности

Теперь мы можем подвести общий итог рассмотренной истории.

На протяжении более двух тысячелетий исследователи неоднократно возвращались к одной и той же фундаментальной проблеме.

Как установить необходимые угловые отношения между прямыми, не принимая заранее пятого постулата Евклида?

Для решения этой задачи использовались различные способы.

Одни геометры обращались к понятию постоянного расстояния между прямыми.

Другие исследовали прямолинейность и неограниченное продолжение прямых.

Третьи строили специальные четырёхугольники, в которых часть углов была непосредственно задана как прямая, а величина остальных подлежала определению.

Именно последнее направление оказалось особенно плодотворным для истории геометрии.

Почему именно четырёхугольник?

Причина заключается в сочетании простоты построения и сложности возникающих угловых отношений.

Треугольник является простейшей замкнутой прямолинейной фигурой.

Но если мы непосредственно построим в нём прямой угол, величины двух других углов останутся предметом дальнейшего исследования.

Четырёхугольник предоставляет более широкие возможности.

В нём можно непосредственно задать два прямых угла и исследовать два оставшихся.

Можно построить три прямых угла и поставить вопрос о четвёртом.

Можно построить систему четырёх прямых углов вокруг общего центра и затем исследовать углы образованного внешнего контура.

Таким образом, четырёхугольник позволяет различными способами сопоставлять непосредственно построенные прямые углы с углами, величина которых должна быть установлена.

Именно поэтому специальные четырёхугольники заняли столь важное место в истории теоремы о параллельных.

Три исторические конструкции

В рассматриваемой истории можно выделить три особенно характерных подхода.

Первый — конструкция Хайяма.

Из концов основания восстанавливаются два равных перпендикуляра.

Их свободные концы соединяются прямолинейным отрезком.

Два угла при основании прямые.

Два верхних угла равны, но их величина требует исследования.

Второй — конструкция Саккери.

Исходная геометрическая схема близка к конструкции Хайяма.

Однако исследование приобретает более систематический характер.

Последовательно рассматриваются гипотезы прямого, острого и тупого верхних углов.

Главная задача заключается в исключении двух последних возможностей.

Третий — конструкция Ламберта.

В четырёхугольнике непосредственно задаются три прямых угла.

Исследуется величина четвёртого.

В этом случае неизвестной остаётся только одна угловая величина.

Каждая из трёх конструкций приводит к проблеме, тесно связанной с существованием прямоугольника.

Квадрат как особый объект исследования

Но квадрат обладает дополнительным свойством.

Он должен быть не только прямоугольным, но и равносторонним.

Следовательно, задача существования квадрата объединяет два рода геометрических отношений.

Первый относится к равенству длин.

Второй относится к взаимной перпендикулярности сторон.

При построении квадрата необходимо доказать совместное осуществление этих отношений.

В обычной евклидовой геометрии эта задача давно решена.

Однако историческая связь существования прямоугольника с пятым постулатом показывает, почему вопрос о доказательных основаниях квадрата заслуживает самостоятельного рассмотрения.

Особенность предлагаемого авторского построения

Обратимся теперь к исходной конструкции настоящей работы.

Она отличается от рассмотренных исторических построений.

Мы начинаем не с четырёхугольника с двумя или тремя непосредственно заданными прямыми углами при вершинах.

Мы начинаем с двух взаимно перпендикулярных прямых, пересекающихся в общей точке O.

На четырёх лучах откладываются равные отрезки.

Соединение их концов образует четырёхугольник.

При этом непосредственно установлены четыре прямых центральных угла.

Из конгруэнтности четырёх центральных прямоугольных равнобедренных треугольников следуют равенство четырёх сторон внешнего четырёхугольника и равенство четырёх его внутренних углов.

Следовательно, мы получаем фигуру, для которой уже доказана значительная система геометрических свойств.

Вопрос заключается в определении величины четырёх равных внешних углов.

В дальнейшем для решения этой задачи будет предложен метод последовательной надстройки.

Его основная идея состоит в построении более крупного четырёхугольника вокруг первоначального с сохранением всех элементов исходной конструкции.

При этом одна из первоначальных вершин становится центром нового построения.

Возникает возможность исследовать первоначальный вершинный угол в составе системы прямых центральных углов расширенной фигуры.

Таким образом, вместо непосредственного вычисления неизвестного угла предлагается исследовать его положение в новой геометрической структуре.

Заключительный исторический вывод

История теоремы о параллельных показывает, что проблема прямых углов четырёхугольника имеет глубокие математические основания.

Она не сводится к элементарному вопросу о том, как нарисовать квадрат или прямоугольник.

Речь идёт о логической связи между прямолинейностью, перпендикулярностью, равенством отрезков, конгруэнтностью фигур и глобальными свойствами плоскости.

Исследования Посидония и Прокла поставили вопрос о постоянстве расстояний между прямыми и об основаниях их параллельности.

Хайям связал проблему с двумя равными неизвестными углами специального четырёхугольника.

Саккери развил этот подход посредством систематического исследования трёх угловых гипотез.

Ламберт свёл проблему к определению одного оставшегося угла при трёх непосредственно заданных прямых углах.

Исследования XIX века придали проблеме новый аксиоматический и логический смысл.

На этом историческом фоне задача существования квадрата предстаёт как самостоятельный и содержательный предмет исследования оснований евклидовой геометрии.

Для дальнейшего анализа необходимо более подробно рассмотреть логическую связь между существованием прямоугольника, существованием квадрата и пятым постулатом Евклида.

*******

Глава 4. Теорема о существовании квадрата и пятый постулат Евклида

4.1. Что означает доказать существование геометрической фигуры

В математике существует принципиальное различие между определением геометрического объекта и доказательством его существования.

Это различие особенно важно для исследования оснований геометрии.

Когда мы определяем квадрат как четырёхугольник с четырьмя равными сторонами и четырьмя прямыми углами, мы устанавливаем совокупность свойств, которыми должна обладать соответствующая фигура.

Но само по себе определение ещё не доказывает, что фигура с указанными свойствами может быть построена.

Чтобы установить её существование, необходимо предъявить допустимое геометрическое построение и показать, что полученный объект действительно удовлетворяет всем условиям определения.

Именно так поступает Евклид.

В определении 22 первой книги «Начал» он характеризует квадрат как равностороннюю и прямоугольную четырёхугольную фигуру.

Однако этим Евклид не ограничивается.

В предложении 46 той же книги он специально решает задачу построения квадрата на заданном отрезке.

Следовательно, определение и существование выступают у него как два самостоятельных этапа математического рассуждения.

Геометрическое существование и возможность построения

Рассмотрим простейший пример.

Пусть даны две точки A и B.

Первый постулат Евклида допускает проведение прямой от одной точки к другой.

Тем самым устанавливается возможность построить прямолинейный отрезок AB.

Предположим теперь, что требуется построить равносторонний треугольник на этом отрезке.

Для этого необходимо найти третью точку C, равноудалённую от A и B.

Евклид решает данную задачу уже в первом предложении первой книги «Начал».

Он описывает две окружности: одну с центром A и радиусом AB, другую с центром B и тем же радиусом.

Выбирая точку их пересечения C, получает два равных отрезка AC и BC.

Поскольку оба они равны AB, построенный треугольник является равносторонним.

В этом рассуждении важно не только то, что мы способны представить себе равносторонний треугольник.

Важно, что его существование устанавливается посредством определённой последовательности допустимых геометрических операций.

Аналогичная задача возникает и в отношении квадрата.

Мы можем заранее определить его свойства, но затем должны показать, каким образом соответствующая фигура получается из первоначальных геометрических элементов.

Два вида утверждений о существовании

Здесь полезно различать два положения.

Первое: существует хотя бы один квадрат.

Второе: на любом заданном ненулевом прямолинейном отрезке можно построить квадрат, имеющий этот отрезок своей стороной.

Второе утверждение сильнее по своей формулировке.

Оно требует существования квадрата не какого-либо определённого размера, а произвольного размера, заданного исходным отрезком.

Именно такую задачу решает Евклид в предложении 46.

Это обстоятельство имеет важное значение.

Если мы исследуем геометрическую конструкцию лишь одного определённого масштаба, то доказательство существования одного квадрата ещё не обязательно содержит непосредственное описание построения квадратов всех возможных размеров.

Однако в обычной евклидовой геометрии соответствующие построения могут выполняться для произвольных положительных длин.

В дальнейшем мы будем учитывать различие между существованием хотя бы одной фигуры и существованием целого семейства подобных фигур.

Определение, построение и доказательство

Таким образом, полноценное доказательство существования квадрата включает три логических элемента.

Первый элемент — определение.

Мы должны точно знать, какая фигура называется квадратом.

Второй элемент — построение.

Мы должны указать последовательность действий, посредством которых получаем исследуемый четырёхугольник.

Третий элемент — доказательство.

Мы должны показать, что построенный четырёхугольник имеет четыре равные стороны и четыре прямых угла.

Недостаточно установить только равенство сторон.

Недостаточно также построить четыре прямых угла, если ещё не показано, что именно они являются внутренними углами полученного четырёхугольника.

Необходимо доказать совместное осуществление всех определяющих свойств в одной и той же фигуре.

Для обычной евклидовой геометрии эта задача давно решена.

Но настоящая работа посвящена более специальному вопросу.

Можно ли построить доказательство существования квадрата таким образом, чтобы оно не использовало пятый постулат Евклида в качестве исходного положения?

Этот вопрос требует исследования логических связей между квадратом, прямоугольником и теорией параллельных прямых.

4.2. Квадрат и прямоугольник: соотношение понятий

В современной элементарной геометрии квадрат рассматривается как частный случай прямоугольника.

Это означает, что всякий квадрат является прямоугольником, но не всякий прямоугольник является квадратом.

Прямоугольником называется четырёхугольник, у которого все четыре внутренних угла прямые.

Равенство соседних сторон в его определение не входит.

Поэтому прямоугольник может иметь различные длины и ширину.

Если же его соседние стороны равны, прямоугольник становится квадратом.

Итак, квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника, но дополнительно удовлетворяет условию равенства всех четырёх сторон.

Почему существование прямоугольника имеет первостепенное значение?

Предположим, что мы хотим доказать существование квадрата.

Если нам удалось построить квадрат, мы тем самым доказали существование прямоугольника.

Ведь четыре прямых угла квадрата уже обеспечивают выполнение определения прямоугольника.

Следовательно, всякое доказательство существования квадрата одновременно является доказательством существования хотя бы одного прямоугольника.

Но обратный переход требует дополнительного рассуждения.

Из факта существования некоторого прямоугольника с неравными соседними сторонами непосредственно ещё не следует, что этот же прямоугольник является квадратом.

Для построения квадрата потребуется изменить размеры сторон или выполнить другое построение.

В полной евклидовой геометрии это не представляет трудности.

Но при исследовании оснований геометрии важно соблюдать логическую последовательность.

Прямоугольность как самостоятельная геометрическая проблема

Рассмотрим фигуру с четырьмя сторонами.

Пусть мы непосредственно построили один прямой угол.

Это ещё не означает, что остальные три угла также прямые.

Предположим теперь, что непосредственно построены два прямых угла.

И этого самого по себе недостаточно для установления прямоты двух оставшихся.

Даже если непосредственно построены три прямых угла, вопрос о четвёртом требует соответствующего геометрического основания.

В полной евклидовой геометрии мы можем воспользоваться теоремой о сумме внутренних углов четырёхугольника.

Но если предметом исследования является независимость соответствующего вывода от пятого постулата, такая ссылка не решает задачу.

Именно поэтому прямоугольник занимает особое место в истории теоремы о параллельных.

Квадрат и ромб

С другой стороны, квадрат является частным случаем ромба.

Все четыре его стороны равны.

Но ромб с равными сторонами может иметь острые и тупые углы.

Следовательно, равносторонность сама по себе не обеспечивает прямоугольности.

Здесь мы обнаруживаем две различные линии геометрического исследования.

Первая начинается с прямых углов и стремится установить равенство сторон.

Вторая начинается с равных сторон и стремится установить прямоту углов.

Классическое построение Евклида использует оба направления.

Сначала строятся две равные взаимно перпендикулярные стороны.

Затем посредством параллельных прямых достраивается фигура, для которой доказываются остальные свойства.

В предлагаемом нами подходе последовательность иная.

Мы начинаем с четырёх равных радиальных отрезков, образующих четыре прямых центральных угла.

После соединения их концов устанавливаем равенство сторон и равенство углов внешнего четырёхугольника.

Таким образом, ещё до определения величины внешних углов получаем фигуру с развитой системой метрических и симметрических свойств.

Именно эти свойства будут использованы в дальнейшем исследовании.

4.3. Существование прямоугольника как эквивалентная формулировка постулата о параллельных

Теперь мы подходим к одному из важнейших положений всей брошюры.

В стандартной нейтральной геометрии, то есть в геометрии, построенной на обычных аксиомах прямых, порядка, расстояния, углов и конгруэнтности без принятия постулата о параллельных, существует известный результат:

Существование хотя бы одного прямоугольника эквивалентно евклидову постулату о параллельных.

Под эквивалентностью здесь понимается возможность вывести каждое из двух утверждений из другого в пределах одной и той же принятой аксиоматической системы.

Это необходимо подчеркнуть.

Эквивалентность не означает тождественности словесных формулировок.

Она означает их одинаковую доказательную силу относительно остальных принятых положений.

Рассмотрим обе стороны этого отношения.

Первый переход: от пятого постулата к существованию прямоугольника

Предположим, что пятый постулат Евклида принят.

Тогда в нашей системе доступны обычные теоремы об углах при параллельных прямых.

В частности, если две параллельные прямые пересекаются третьей, соответствующие углы удовлетворяют отношениям, установленным предложением 29 первой книги «Начал».

Это позволяет выполнять классические построения прямоугольников.

Более того, предложение 46 Евклида показывает, что на заданном отрезке можно построить квадрат.

Но всякий квадрат является прямоугольником.

Следовательно, из пятого постулата вместе с остальными основаниями евклидовой геометрии выводится существование прямоугольника.

Этот переход совершенно ясен.

Второй переход: от существования прямоугольника к пятому постулату

Обратное направление имеет более глубокое содержание.

Предположим теперь, что пятый постулат не принят в качестве исходного положения.

Но нам каким-либо независимым способом удалось построить хотя бы один четырёхугольник с четырьмя прямыми углами.

Что из этого следует?

Рассмотрим полученный прямоугольник ABCD.

Проведём одну его диагональ, например AC.

Она разделит прямоугольник на два треугольника.

У каждого из двух треугольников имеется по три внутренних угла.

Вместе эти шесть углов составляют четыре прямых угла первоначального четырёхугольника.

Следовательно, общая сумма углов двух треугольников равна 360 градусам.

Теперь воспользуемся важным результатом нейтральной геометрии — теоремой Саккери — Лежандра.

Согласно этой теореме, при стандартных предпосылках нейтральной геометрии сумма внутренних углов любого треугольника не превышает 180 градусов.

Но наши два треугольника вместе имеют сумму углов, равную 360 градусам.

Следовательно, ни у одного из них угловая сумма не может быть меньше 180 градусов.

В противном случае общая сумма оказалась бы меньше 360 градусов.

Значит, каждый из двух треугольников имеет сумму внутренних углов ровно 180 градусов.

Мы получили треугольник с нулевым угловым дефектом.

В стандартной нейтральной геометрии существование такого треугольника связано с общим результатом: тогда все треугольники имеют сумму углов 180 градусов.

А это, в свою очередь, эквивалентно евклидову постулату о параллельных.

Таким образом, существование хотя бы одного прямоугольника приводит к установлению пятого постулата.

Здесь мы изложили общий смысл доказательной последовательности, не воспроизводя всех вспомогательных теорем современной аксиоматической геометрии.

Но принципиальное значение результата уже видно.

Доказать существование прямоугольника без использования пятого постулата означает получить основание для вывода самого пятого постулата.

Следствие для квадрата

Теперь вернёмся к квадрату.

Поскольку всякий квадрат является прямоугольником, независимое доказательство существования квадрата сразу повлекло бы существование прямоугольника.

Следовательно, в указанной аксиоматической системе оно позволило бы вывести и пятый постулат.

Обратное направление также известно.

При принятии пятого постулата квадрат строится по предложению 46 первой книги «Начал».

Поэтому в стандартной нейтральной геометрии существование квадрата и евклидов постулат о параллельных также имеют эквивалентную доказательную силу.

Что означает этот результат для настоящей работы?

Здесь необходимо сделать важное методологическое замечание.

Эквивалентность двух утверждений не означает, что одно из них нельзя использовать для доказательства другого.

Напротив, она как раз допускает такую возможность.

Если мы независимо установим существование квадрата, то сможем использовать этот результат как основание для вывода пятого постулата.

Но решающее значение будет иметь именно независимость доказательства существования квадрата.

Это обстоятельство определяет центральную задачу заключительной главы.

Нам необходимо исследовать, можно ли получить прямоту четырёх углов первоначального равностороннего четырёхугольника посредством построений, не использующих заранее теорему о параллельных.

Именно поэтому рассматриваемая проблема имеет значение, далеко выходящее за пределы обычной задачи о квадрате.

4.4. Почему четыре центральных прямых угла ещё не определяют углы внешнего контура

Рассмотрим теперь исходное построение, которое будет использовано в авторском доказательстве.

Важное достоинство этой конструкции заключается в её предельной простоте.

Нам потребуются только две взаимно перпендикулярные прямые и четыре равных отрезка.

Исходная система точек

Пусть две прямые пересекаются в точке O под прямым углом.

Для удобства будем считать одну из них горизонтальной, другую вертикальной.

На горизонтальной прямой отметим точку D слева от O и точку B справа от O.

На вертикальной прямой отметим точку A выше O и точку C ниже O.

Выберем эти точки так, чтобы все четыре расстояния от центра были равны:

OA = OB = OC = OD = a.

Теперь соединим последовательно точки D, A, B и C.

Получим четырёхугольник DABC.

Внешний контур образован сторонами DA, AB, BC и CD.

Его диагоналями являются отрезки AC и DB.

Свойства диагоналей

Обе диагонали проходят через O.

Они взаимно перпендикулярны.

Каждая из них делится точкой O пополам.

Кроме того, диагонали равны.

Действительно, диагональ AC состоит из двух равных радиальных отрезков OA и OC.

Диагональ DB состоит из двух равных радиальных отрезков DO и OB.

Поэтому:

AC = DB = 2a.

Все эти свойства установлены непосредственно построением.

Для их доказательства не требуется использовать пятый постулат.

Четыре центральных треугольника

Теперь рассмотрим треугольники AOB, BOC, COD и DOA.

Все они прямоугольны.

Прямой угол каждого расположен в точке O.

Две стороны каждого треугольника, сходящиеся в O, равны a.

Следовательно, все четыре треугольника являются прямоугольными равнобедренными.

Более того, они конгруэнтны по двум сторонам и углу между ними.

Отсюда непосредственно следует равенство их оснований:

DA = AB = BC = CD.

Таким образом, внешний четырёхугольник равносторонний.

Равенство внешних углов

Конгруэнтность центральных треугольников позволяет установить ещё одно важное свойство.

Рассмотрим угол ABC.

Он расположен при правой вершине B первоначального четырёхугольника.

Его образуют стороны BA и BC.

Радиальный отрезок BO проходит внутри этого угла и разделяет его на два угла: ABO и OBC.

Эти углы равны, поскольку принадлежат конгруэнтным прямоугольным равнобедренным треугольникам.

То же рассуждение справедливо для трёх остальных вершин.

Следовательно, все четыре угла внешнего четырёхугольника равны.

Обозначим величину каждого через β.

Итак, имеем:

DA = AB = BC = CD.

Углы при A, B, C и D равны β.

Но чему равна сама величина β?

Центральный угол и угол при вершине

Введём ещё одно обозначение.

Пусть α означает величину каждого из двух равных углов при основании одного центрального прямоугольного равнобедренного треугольника.

Тогда угол ABC состоит из двух таких углов.

Следовательно:

β = 2α.

То же равенство справедливо для остальных внешних углов.

Теперь рассмотрим полный угол вокруг O.

Он образован четырьмя прямыми углами.

Следовательно, его величина равна 360 градусам.

Этот результат не вызывает никаких вопросов.

Однако необходимо учитывать, что углы при A, B, C и D имеют другие вершины и образованы другими сторонами.

Поэтому равенство суммы центральных углов 360 градусам ещё не является непосредственным доказательством такой же суммы четырёх внешних углов.

Для получения последнего результата необходимо установить соответствующее геометрическое отношение.

В обычной евклидовой геометрии величина α равна 45 градусам.

Поэтому β равна 90 градусам.

Но если мы исследуем возможность независимого доказательства пятого постулата, не следует заранее использовать теорему о сумме углов треугольника, которая в классической последовательности Евклида зависит от постулата о параллельных.

Центральная задача исследования

Таким образом, исходная конструкция уже обладает целой системой доказанных свойств.

Все четыре радиальных отрезка равны.

Все четыре центральных угла прямые.

Все четыре центральных треугольника конгруэнтны.

Все четыре стороны внешнего четырёхугольника равны.

Все четыре внешних угла равны.

Диагонали равны, перпендикулярны и делятся пополам.

Остаётся установить только одно:

β = 90°.

Именно этот результат должен превратить построенный равносторонний и равноугольный четырёхугольник в квадрат.

Поэтому дальнейшее исследование сосредоточивается не на повторном доказательстве уже известных свойств, а на определении величины внешних углов.

4.5. Прямолинейность, равенство сторон и конгруэнтность

До сих пор мы рассматривали главным образом метрические и угловые свойства исходной конструкции.

Теперь необходимо обратиться к одному из её наиболее фундаментальных признаков — прямолинейности сторон.

В настоящей работе речь идёт не о произвольных кривых, соединяющих соседние вершины четырёхугольника.

Все четыре стороны строятся как прямолинейные отрезки.

Поэтому прямолинейность входит в условия построения изначально.

Прямая как целостный геометрический объект

Прямая линия является одним из первоначальных понятий геометрии Евклида.

Её существование предполагается первыми постулатами.

Прямая, проведённая между двумя точками, не должна менять своё направление посредством излома.

При её продолжении сохраняется прямолинейность первоначального соединения.

Это обстоятельство имеет принципиальное значение для любого доказательства, использующего продолжение сторон геометрической фигуры.

Если мы продолжаем сторону AB за точку B, то новая часть прямой образует с первоначальным отрезком единое прямолинейное соединение.

Следовательно, первоначальная сторона сохраняется как часть той же прямой.

Мы не заменяем её другой линией.

Мы не меняем её длину.

Мы не поворачиваем её относительно первоначального положения.

Мы лишь рассматриваем более протяжённую часть той же прямой.

Прямолинейность и кратчайшее соединение

С прямолинейностью тесно связано понятие кратчайшего расстояния между двумя точками.

В обычной евклидовой геометрии прямой отрезок представляет собой кратчайшее соединение своих концов.

Если же вместо прямого отрезка провести ломаную линию через некоторую третью точку, не лежащую между исходными концами на одной прямой, длина полученного пути будет больше длины непосредственного соединения.

Пусть, например, точки P и D соединены прямолинейным отрезком PD.

Выберем точку K, не лежащую на этом отрезке.

Соединим P с K, а K с D.

Получим треугольник PKD.

Согласно неравенству треугольника:

PK + KD > PD.

Следовательно, замена прямого соединения ломаным приводит к увеличению длины соединяющего пути при сохранении его концов.

Это свойство не требует обращения к пятому постулату.

Оно выражает фундаментальное различие между прямолинейным соединением и соединением, содержащим излом.

Значение для исходного четырёхугольника

В нашей исходной конструкции все четыре стороны являются прямолинейными отрезками.

Их равенство уже доказано.

Следовательно, мы имеем четыре равных прямолинейных соединения, образующих замкнутый контур.

Равенство этих сторон не устанавливается посредством механического измерения.

Оно является следствием конгруэнтности четырёх центральных треугольников.

Таким образом, свойства фигуры взаимосвязаны.

Равенство радиусов обеспечивает конгруэнтность центральных треугольников.

Конгруэнтность треугольников обеспечивает равенство внешних сторон.

Симметрия расположения тех же треугольников обеспечивает равенство внешних углов.

Все эти свойства принадлежат одной конкретной фигуре.

Именно поэтому нельзя рассматривать её стороны и углы как произвольные независимые элементы, не учитывая их взаимное геометрическое положение.

Конгруэнтность и совпадение геометрических свойств

Особенно важное место в дальнейших построениях будет занимать конгруэнтность.

Под конгруэнтными фигурами понимаются фигуры, совпадающие по форме и размерам.

Соответствующие стороны таких фигур равны.

Соответствующие углы также равны.

При этом необходимо различать конгруэнтность и подобие.

Конгруэнтные фигуры имеют одинаковые размеры.

Подобные фигуры могут различаться масштабом, сохраняя соответствующую форму.

В нашей исходной конструкции четыре центральных треугольника именно конгруэнтны.

Они имеют одинаковые радиальные стороны и одинаковые прямые углы между ними.

Это позволяет использовать их равенство без обращения к теории подобных треугольников разных размеров.

Целостность конструкции

Итак, исходный четырёхугольник обладает целостной системой свойств.

Его нельзя исследовать только как набор четырёх равных чисел, выражающих длины сторон.

Нельзя также ограничиваться рассмотрением четырёх изолированных углов.

Необходимо учитывать их совместное происхождение из одной системы взаимно перпендикулярных прямых и равных радиальных отрезков.

Именно такой целостный подход будет положен в основание метода последовательной надстройки.

В нём первоначальная фигура должна сохранять все свои свойства, даже когда становится частью более крупного геометрического построения.

4.6. Продолжение прямой по второму постулату Евклида

Второй постулат Евклида играет особую роль в предлагаемом методе исследования.

Его содержание состоит в возможности непрерывно продолжать конечную прямую по прямой.

В современной формулировке это можно выразить следующим образом:

Любой прямолинейный отрезок допускает продолжение за свои концы без нарушения прямолинейности.

Для обычных геометрических построений это положение кажется совершенно естественным.

Но при исследовании оснований геометрии необходимо учитывать, что именно оно позволяет переходить от конечного отрезка к более протяжённой прямой.

Что означает продолжить сторону?

Рассмотрим отрезок AB.

Предположим, что A и B являются двумя вершинами первоначального четырёхугольника.

Теперь требуется продолжить AB за точку B.

По второму постулату мы можем провести прямую дальше в том же прямолинейном направлении.

Обозначим новую точку на продолжении через F.

Тогда точки A, B и F лежат на одной прямой.

Причём B находится между A и F.

Это расположение не требует какого-либо перемещения первоначального отрезка AB.

Он остаётся на своём месте.

Просто к нему добавляется продолжение BF.

В результате мы получаем единую прямолинейную последовательность точек A, B и F.

Продолжение двух сторон исходного четырёхугольника

Теперь вернёмся к исходной конструкции DABC.

Особое значение для нас имеет вершина B.

В этой точке сходятся две стороны первоначального четырёхугольника:

BA и BC.

Продолжим обе стороны за B.

Продолжение стороны AB обозначим лучом BF.

Продолжение стороны CB обозначим лучом BE.

Тогда получим две прямые:

A–B–F;

C–B–E.

Они пересекаются в точке B.

Их направления определяются первоначальными сторонами четырёхугольника.

Построение не предполагает произвольного изменения этих направлений.

Следовательно, исходный угол ABC сохраняет свою величину.

Вертикальные и смежные углы

Пересечение двух прямых позволяет получить четыре угла вокруг общей точки.

В нашем случае это углы ABC, ABE, EBF и FBC.

Расположены они последовательно вокруг точки B.

Углы ABC и EBF являются вертикальными.

Поэтому они равны.

Углы ABE и FBC также вертикальные и равны между собой.

Кроме того, смежные углы в сумме составляют 180 градусов.

Если величина первоначального угла ABC равна β, то величина противоположного ему угла EBF также равна β.

Два оставшихся угла имеют величину 180 градусов минус β.

В сумме четыре угла составляют полный угол 360 градусов.

Это устанавливается непосредственно из свойств пересекающихся прямых.

Пятый постулат здесь не требуется.

Однако для установления равенства всех четырёх углов необходимо дополнительное геометрическое отношение.

Именно его предполагается исследовать посредством расширенной конструкции.

Продолжение и надстройка

Следует подчеркнуть ещё одно обстоятельство.

Продолжение прямой само по себе не является изменением первоначальной фигуры.

В этом состоит принципиальное отличие предлагаемого метода от механической деформации.

При деформации изменяется взаимное положение составляющих элементов.

При последовательной надстройке первоначальные элементы сохраняются, но включаются в более протяжённую систему прямых и новых геометрических фигур.

Именно второй постулат обеспечивает допустимость операции прямолинейного продолжения.

В дальнейшем мы будем использовать его для построения дополнительных соединений между первоначальным и увеличенным четырёхугольниками.

При этом необходимо сохранять различие между точкой, полученной продолжением данной прямой, и точкой, определённой другими условиями построения.

Совпадение таких точек, когда оно требуется, представляет собой определённое геометрическое утверждение.

Оно должно следовать из отношений между соответствующими элементами конструкции.

Таким образом, второй постулат обеспечивает фундаментальную операцию нашего метода, а остальные отношения между элементами надстройки должны исследоваться в рамках самой конструкции.

4.7. Геометрическая надстройка как метод исследования

Теперь мы располагаем необходимыми исходными понятиями для рассмотрения метода последовательной надстройки.

Его основная идея заключается в следующем.

Вместо того чтобы непосредственно определять неизвестный угол первоначального четырёхугольника, мы включаем эту фигуру в более крупное построение, сохраняющее её исходные элементы и обладающее собственной системой прямых центральных углов.

Тем самым первоначальная вершина получает новую геометрическую роль.

Она становится центром расширенной конструкции.

Первоначальная фигура

Напомним её расположение.

Точка O является центром первоначального четырёхугольника.

Точка D находится слева от O.

Точка B — справа.

Точка A — выше.

Точка C — ниже.

Все четыре расстояния от O равны a.

Соединение точек D, A, B и C образует внешний контур.

Мы уже установили равенство четырёх сторон и четырёх углов этой фигуры.

Теперь выберем одну из её вершин — точку B.

Именно она станет центром нового построения.

Выбор нового центра

Обратим внимание на важное обстоятельство.

Точку B не требуется перемещать.

Она уже существует в исходной конструкции.

Мы лишь используем её для нового геометрического действия.

Через B уже проходит прямая DB.

Эта прямая является одной из диагоналей первоначального четырёхугольника.

Поскольку D, O и B лежат на одной прямой, расстояние DB составляет 2a.

Теперь продолжим прямую DB за B вправо.

На продолжении отметим точку W так, чтобы:

BW = BD = 2a.

Через точку B проведём перпендикуляр к прямой DW.

На нём отметим две точки: U над B и V под B.

Выберем их так, чтобы:

BU = BV = 2a.

В результате получим четыре равных отрезка, исходящих из B:

BD = BU = BW = BV = 2a.

Они образуют четыре прямых центральных угла.

Таким образом, вокруг точки B построена новая система, аналогичная первоначальной системе вокруг O.

Получение большого четырёхугольника

Соединим точки D, U, W и V последовательно.

Получим новый четырёхугольник DUWV.

В его центре находится точка B.

Диагоналями являются отрезки DW и UV.

Они взаимно перпендикулярны.

Точка B делит каждую из них пополам.

Все четыре центральных радиальных отрезка равны.

Следовательно, четыре центральных треугольника нового построения конгруэнтны.

Как и в первоначальном случае, отсюда следует равенство сторон большого четырёхугольника.

Особенно важно, что для установления четырёх прямых центральных углов при B не требуется предварительно доказывать прямоту внешних углов первоначального четырёхугольника.

Эти центральные углы возникают непосредственно из новой системы взаимно перпендикулярных прямых.

Связь двух четырёхугольников

Теперь рассмотрим взаимное расположение первоначальной и увеличенной фигур.

Первоначальный четырёхугольник DABC остаётся на своём месте.

Его левая вершина D одновременно принадлежит большому четырёхугольнику.

Его правая вершина B становится центром большого четырёхугольника.

При этом первоначальная диагональ DB составляет левую половину горизонтальной диагонали большого построения.

Таким образом, две фигуры имеют общие геометрические элементы.

Они не являются произвольно расположенными независимыми объектами.

Между ними существует определённая конструктивная связь.

Именно она представляет главный интерес для дальнейшего исследования.

Продолжение первоначальных сторон

Выполним теперь уже рассмотренную операцию.

Продолжим сторону CB первоначального четырёхугольника за точку B.

Обозначим через E предполагаемую точку её пересечения с верхней правой стороной UW увеличенного четырёхугольника.

Аналогично продолжим сторону AB за B.

Обозначим через F предполагаемую точку пересечения полученной прямой с нижней правой стороной WV.

В результате получим две прямые:

C–B–E;

A–B–F.

Они являются продолжениями первоначальных сторон.

Следовательно, сохраняют их направления.

Теперь исходный угол ABC включён в систему четырёх углов вокруг точки B.

Принцип четырёхчастной композиции

Здесь возникает центральная идея предлагаемого метода.

Большой четырёхугольник рассматривается как фигура, которую предполагается составить из четырёх конгруэнтных копий первоначального четырёхугольника.

Одна из них — сам исходный четырёхугольник DABC.

Три остальные должны занять соответствующие области вокруг точки B.

При этом все четыре фигуры должны полностью сохранять свои стороны и углы.

Ни одна из них не подвергается деформации.

Если такая четырёхчастная композиция заполняет весь большой четырёхугольник без промежутков и наложений, получаем особенно важное следствие.

В точке B сходятся четыре конгруэнтные фигуры.

Каждая обращена к общей точке одним и тем же соответствующим углом β.

Следовательно, полный угол вокруг B состоит из четырёх равных углов.

Их сумма составляет 360 градусов.

Поэтому:

4β = 360°.

Откуда:

β = 90°.

Таким образом, первоначальный угол ABC оказывается прямым.

А поскольку все четыре угла первоначального четырёхугольника равны, прямыми оказываются и остальные три.

Следовательно, первоначальный четырёхугольник является квадратом.

Принципиальное значение четырёхчастной леммы

Вся эта доказательная схема имеет определённое центральное положение.

Его можно сформулировать следующим образом.

Лемма о четырёхчастной надстройке.

Пусть четырёхугольник построен соединением концов четырёх равных радиальных отрезков, образующих четыре прямых угла вокруг общего центра.

Требуется установить, что при последовательной надстройке по аналогичному принципу полученный больший четырёхугольник допускает точное разбиение на четыре конгруэнтных четырёхугольника, один из которых совпадает с первоначальным, причём все четыре соответствующих вершинных угла сходятся в новом центре.

Именно эта лемма составляет центральную конструктивную задачу метода.

Если она установлена независимо от пятого постулата, последующий вывод о прямоте четырёх исходных углов получается непосредственно из величины полного угла вокруг одной точки.

Важность такой постановки заключается в том, что она позволяет заменить исследование суммы углов произвольного четырёхугольника исследованием конкретной составной конструкции.

Причём исходная фигура остаётся неизменной, а все дополнительные отношения возникают посредством геометрического построения.

Два направления проверки

Предложенный метод допускает два взаимосвязанных способа исследования.

Первый состоит в составлении большого четырёхугольника из четырёх конгруэнтных копий первоначальной фигуры.

Главный вопрос здесь — точное заполнение большого контура.

Второй состоит в непосредственном построении большого четырёхугольника с центром B посредством четырёх равных радиальных отрезков и четырёх прямых центральных углов.

Затем исследуются продолжения сторон первоначальной фигуры и их совпадения с соответствующими элементами разбиения.

Оба направления обращены к одной задаче.

Необходимо установить геометрическую связь между внешним углом первоначальной фигуры и прямыми центральными углами расширенного построения.

В пятой главе мы подробно рассмотрим авторское решение этой задачи.

4.8. Постановка задачи самостоятельного доказательства существования квадрата

Теперь можно сформулировать главную задачу настоящей брошюры в её окончательном теоретическом виде.

Мы рассматриваем геометрию Евклида.

Нас интересует не изменение её определений и не построение иной геометрической системы.

Мы хотим исследовать возможность доказательства определённого евклидова результата из более ранних геометрических оснований.

Таким результатом является существование квадрата.

Что известно заранее?

Прежде всего, мы знаем определение квадрата.

Это четырёхугольная прямолинейная фигура с четырьмя равными сторонами и четырьмя прямыми углами.

Мы также знаем классическое доказательство Евклида.

Оно содержится в предложении 46 первой книги «Начал».

Однако данное доказательство использует ранее установленные положения о параллельных прямых, связанные с пятым постулатом.

Поэтому оно не отвечает нашей специальной исследовательской задаче.

Что мы хотим получить?

Мы хотим построить четырёхугольник, удовлетворяющий определению квадрата, посредством исходных геометрических операций, не предполагающих пятый постулат.

Для этого мы используем проведение прямых, их продолжение, построение перпендикуляров, откладывание равных отрезков и конгруэнтность фигур.

В результате первоначального радиального построения получаем четырёхугольник с четырьмя равными сторонами и четырьмя равными углами.

Равенство сторон доказано.

Равенство углов также доказано.

Остаётся установить прямоту этих углов.

Почему требуется самостоятельное доказательство?

Здесь важно ещё раз подчеркнуть исходный смысл задачи.

В полной евклидовой геометрии прямота рассматриваемых углов не вызывает сомнений.

Но мы хотим определить, можно ли установить этот результат без предварительного использования пятого постулата.

Поэтому ссылка на известное свойство квадрата не является решением.

Нельзя доказывать существование квадрата, исходя из того, что рассматриваемая фигура уже является квадратом.

Необходимо получить её определяющие свойства из первоначального построения.

Именно это требование определяет порядок дальнейшего рассуждения.

Задача о переходе от центра к контуру

Первоначальное построение даёт нам четыре прямых угла при центре O.

Но искомые углы находятся при вершинах внешнего четырёхугольника.

Следовательно, необходимо установить определённую геометрическую связь между центральной и внешней угловыми структурами.

В классической геометрии такая связь может быть получена через теорию углов треугольника.

Но наш исследовательский замысел состоит в использовании другого пути.

Мы предлагаем превратить одну из первоначальных внешних вершин в центр новой конструкции.

В этой конструкции непосредственно возникают четыре прямых центральных угла.

Таким образом, неизвестный первоначальный угол рассматривается уже не изолированно, а в составе расширенного геометрического построения.

Задача о сохранении первоначальной фигуры

Второе принципиальное требование заключается в неизменности исходного четырёхугольника.

Его стороны должны оставаться прямолинейными.

Их длины должны сохраняться.

Ранее доказанные отношения между диагоналями и центральными треугольниками также должны оставаться неизменными.

Следовательно, надстройка не является преобразованием первоначального четырёхугольника в другую фигуру.

Она представляет собой построение новой геометрической структуры вокруг уже существующего объекта.

В этом заключается одна из главных особенностей предлагаемого метода.

Задача о конгруэнтном заполнении

Третье требование связано с четырёхчастной композицией.

Предполагается, что большой четырёхугольник может быть представлен системой четырёх конгруэнтных составляющих фигур.

Для доказательного использования такого представления необходимо установить одновременно три обстоятельства.

Во-первых, все четыре составляющие фигуры действительно конгруэнтны первоначальному четырёхугольнику.

Во-вторых, они имеют общую вершину в центре B расширенного построения.

В-третьих, их объединение образует полный большой четырёхугольник без промежутков и наложений.

Именно при совместном выполнении этих условий четыре угла первоначальной величины β составляют полный угол вокруг B.

Тогда их сумма равна 360 градусам.

Следовательно, каждый из них составляет 90 градусов.

Таким образом, четырёхчастная композиция является не вспомогательным украшением чертежа, а существенным содержанием предполагаемого доказательства.

Основная формулировка исследовательской задачи

Теперь мы можем сформулировать её предельно точно.

Требуется доказать, что четырёхугольник, полученный соединением концов четырёх равных отрезков, образующих четыре прямых угла вокруг общего центра, имеет четыре прямых внутренних угла при внешних вершинах, причём доказательство должно опираться на положения, не использующие пятый постулат Евклида.

Предлагаемый метод решения заключается в последовательной надстройке исходной фигуры.

При этом её первоначальная вершина становится центром увеличенного четырёхугольника, а исходные стороны продолжаются согласно второму постулату Евклида.

Решающая конструктивная лемма должна связать две системы геометрических элементов посредством четырёхчастного конгруэнтного заполнения.

После установления этого результата искомая величина внешнего угла определяется непосредственно.

Теоретическое значение предполагаемого результата

Если такое построение будет обосновано без использования пятого постулата, его значение не ограничится доказательством существования квадрата.

Как было показано ранее, существование квадрата связано с существованием прямоугольника.

А в стандартной нейтральной геометрии существование прямоугольника эквивалентно евклидову постулату о параллельных.

Следовательно, успешное решение поставленной задачи будет иметь непосредственное отношение к основаниям геометрии Евклида.

Именно этим определяется фундаментальный характер рассматриваемого исследования.

Переход к авторскому доказательству

Итак, предыдущие главы позволили установить исторический и теоретический контекст проблемы.

Мы рассмотрели определение квадрата и классические способы его построения.

Показали, каким образом доказательство Евклида опирается на теорию параллельных прямых.

Исследовали историю попыток доказательства пятого постулата посредством специальных четырёхугольников.

Наконец, установили логическую связь между существованием квадрата, прямоугольника и постулатом о параллельных.

Теперь можно перейти к авторскому построению.

В следующей главе исходный четырёхугольник будет построен непосредственно из четырёх равных радиальных отрезков и четырёх прямых центральных углов.

Затем будет исследован метод его последовательной надстройки.

Особое внимание будет уделено неизменности первоначальной фигуры, прямолинейному продолжению её сторон, конгруэнтности составляющих четырёхугольников и определению величины четырёх углов вокруг нового центра.

Таким образом, последняя глава перейдёт от общей теоретической постановки вопроса к конкретному геометрическому доказательному рассуждению.

********

Глава 5. Авторское доказательство теоремы о существовании квадрата

5.1. Исходные определения и условия построения

В предыдущих главах мы рассмотрели историю доказательства существования квадрата, его основные геометрические свойства и связь соответствующей теоремы с пятым постулатом Евклида.

Теперь обратимся к предлагаемому мной способу решения этой задачи.

Основная идея заключается в использовании двух последовательно построенных четырёхугольников, имеющих определённую систему общих геометрических элементов.

Первоначальный четырёхугольник строится посредством четырёх равных отрезков, расположенных вокруг общего центра под прямыми углами.

Второй четырёхугольник строится по аналогичному принципу, но в увеличенном масштабе, причём одна из вершин первоначальной фигуры становится центром нового построения.

Особенность метода заключается в том, что первоначальная фигура при этом сохраняется совершенно неизменной.

Ни одна её сторона не переносится.

Ни один угол не изменяется.

Ни одна прямая не искривляется.

Мы лишь продолжаем уже существующие прямые и вводим дополнительные геометрические элементы.

Именно благодаря этому первоначальный четырёхугольник оказывается включённым в новую систему отношений, позволяющую исследовать величину его углов.

Постановка задачи

Требуется построить квадрат, исходя из элементарных геометрических операций.

Напомним определение.

Квадратом называется четырёхугольная прямолинейная фигура, имеющая четыре равные стороны и четыре прямых внутренних угла.

Следовательно, нам необходимо доказать два свойства.

Первое — равенство четырёх сторон.

Второе — прямоту четырёх внутренних углов.

При этом мы будем различать свойства, непосредственно следующие из первоначального построения, и свойства, устанавливаемые посредством последующей надстройки.

Такой порядок исследования позволяет избежать предварительного предположения, что построенная фигура уже является квадратом.

Исходные геометрические средства

Для построения используются следующие положения геометрии Евклида:

Первое. Между двумя заданными точками можно провести прямую.

Второе. Конечную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.

Третье. Можно строить окружности с заданными центром и радиусом и откладывать равные отрезки посредством обычных геометрических конструкций.

Четвёртое. Все прямые углы равны между собой.

Кроме того, используются ранее установленные элементарные свойства конгруэнтных треугольников, смежных и вертикальных углов.

Особенно важную роль играет положение о неизменности направления прямолинейного отрезка при его продолжении.

Второй постулат Евклида допускает именно продолжение прямой по прямой, а не замену её ломаной или криволинейным соединением.

На этом основании можно переходить от первоначальных отрезков к их продолжениям, сохраняя уже существующие геометрические отношения между соответствующими точками.

Перейдём к построению.

5.2. Построение четырёх равных радиальных отрезков

Выберем на плоскости произвольную точку O.

Проведём через неё прямую.

Для удобства изложения будем считать эту прямую горизонтальной.

На ней отметим две точки: D слева от O и B справа от O.

Расстояния от O до обеих точек выберем одинаковыми.

Обозначим их общую длину буквой a.

Следовательно:

OD = OB = a.

Теперь через точку O проведём вторую прямую, перпендикулярную первой.

Для удобства будем считать её вертикальной.

На этой прямой отметим ещё две точки.

Точку A расположим выше O.

Точку C — ниже O.

Выберем их так, чтобы:

OA = OC = a.

Таким образом, мы получили четыре точки, равноудалённые от общего центра O.

Имеем:

OA = OB = OC = OD = a.

Важно подчеркнуть, что величина a может быть выбрана произвольно, при условии, что она положительна.

Построение не связано с каким-либо заранее установленным числовым размером.

Мы можем взять отрезки длиной один сантиметр, один метр или любой другой заданной длины.

Для доказательства имеют значение не абсолютные размеры, а геометрические отношения между построенными элементами.

Образование внешнего контура

Соединим соседние точки прямолинейными отрезками.

Сначала соединим D с A.

Затем A с B.

После этого B с C.

Наконец, соединим C с D.

Получим замкнутую четырёхугольную фигуру DABC.

Её сторонами являются отрезки DA, AB, BC и CD.

Её диагоналями служат отрезки DB и AC.

Обе диагонали проходят через точку O.

Именно эта точка является центром первоначального построения.

Свойства диагоналей

Обратим внимание на свойства, установленные непосредственно.

Диагональ DB состоит из двух равных отрезков DO и OB.

Поэтому её длина равна 2a.

Диагональ AC состоит из двух равных отрезков AO и OC.

Поэтому её длина также равна 2a.

Следовательно:

DB = AC = 2a.

Кроме того, диагонали взаимно перпендикулярны.

Точка O делит каждую из них пополам.

Таким образом, полученный четырёхугольник имеет две равные взаимно перпендикулярные диагонали с общей серединой.

Все эти свойства установлены самим построением.

Но мы пока не называем фигуру квадратом.

Сначала исследуем её центральные углы и образованные ими треугольники.

5.3. Четыре центральных прямых угла

Поскольку диагонали AC и DB взаимно перпендикулярны, при точке O образованы четыре прямых угла.

Это углы AOB, BOC, COD и DOA.

Каждый из них равен 90 градусам.

Следовательно:

∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠DOA = 90°.

Сумма этих углов составляет полный угол вокруг точки O.

Иначе говоря:

90° + 90° + 90° + 90° = 360°.

Для получения данного результата не требуется обращаться к пятому постулату Евклида.

Мы непосредственно построили две взаимно перпендикулярные прямые.

Их пересечение уже обеспечивает четыре прямых угла.

Значение центральной конструкции

Принципиально важно, что прямота центральных углов не устанавливается посредством измерения внешнего четырёхугольника.

Она задана независимо от него.

Сначала существуют две взаимно перпендикулярные прямые.

Затем на них откладываются четыре равных отрезка.

И лишь после этого соединяются их концы.

Поэтому никакое последующее исследование внешнего контура не может изменить первоначальный факт взаимной перпендикулярности диагоналей.

Четыре прямых центральных угла принадлежат самой основе построения.

Это обстоятельство будет особенно важно при последовательной надстройке.

В увеличенной фигуре мы вновь построим четыре равных радиальных отрезка и четыре прямых центральных угла.

Однако центром новой конструкции станет уже не O, а одна из вершин первоначального четырёхугольника.

Тем самым возникнет возможность сопоставить две различные системы углов.

5.4. Конгруэнтность четырёх прямоугольных равнобедренных треугольников

Рассмотрим теперь четыре треугольника, образованные радиальными отрезками и сторонами внешнего четырёхугольника.

Это треугольники AOB, BOC, COD и DOA.

Каждый из них имеет две стороны длиной a.

Угол между этими сторонами прямой.

Следовательно, каждый из четырёх треугольников является прямоугольным равнобедренным.

Но этим их свойства не исчерпываются.

Все четыре треугольника конгруэнтны.

Докажем это.

Сравнение первых двух треугольников

Рассмотрим треугольники AOB и BOC.

Они имеют общую сторону OB.

Кроме того:

OA = OC = a.

Углы AOB и BOC прямые.

Следовательно, два треугольника имеют по две равные соответствующие стороны и равные углы между ними.

По первому признаку конгруэнтности треугольников они совпадают по форме и размерам.

Итак, треугольники AOB и BOC конгруэнтны.

Сравнение остальных треугольников

Аналогичное рассуждение применимо к треугольникам BOC и COD.

У них равны соответствующие радиальные стороны.

Углы при O прямые.

Следовательно, эти треугольники также конгруэнтны.

То же относится к треугольникам COD и DOA, а также DOA и AOB.

Таким образом, все четыре центральных треугольника образуют единую систему конгруэнтных фигур.

Следствия конгруэнтности

Конгруэнтность означает равенство соответствующих сторон и углов.

В частности, основания всех четырёх треугольников равны.

Но эти основания и являются сторонами первоначального четырёхугольника.

Следовательно:

DA = AB = BC = CD.

Кроме того, равны все соответствующие острые углы центральных треугольников.

Обозначим величину каждого такого угла буквой α.

В каждом из четырёх треугольников оба угла при основании равны α.

Именно это позволит установить равенство всех внутренних углов внешнего четырёхугольника.

5.5. Доказательство равенства сторон и углов исходного четырёхугольника

Начнём с равенства сторон.

Как только что было установлено, стороны DA, AB, BC и CD являются основаниями четырёх конгруэнтных прямоугольных равнобедренных треугольников.

Поэтому все четыре стороны равны.

Таким образом, первоначальный четырёхугольник равносторонний.

Это первый доказанный результат.

Теперь рассмотрим его углы.

Угол при вершине B

В точке B сходятся две стороны внешнего контура: BA и BC.

Они образуют внутренний угол ABC.

Внутри этого угла проходит радиальный отрезок BO.

Он разделяет угол ABC на два меньших угла.

Первый — ABO.

Второй — OBC.

Каждый из них является углом при основании одного из двух конгруэнтных центральных треугольников.

Следовательно, оба равны α.

Поэтому полный угол ABC равен 2α.

Обозначим его величину через β.

Получим:

β = 2α.

Угол при вершине A

Теперь рассмотрим угол DAB.

Он образован сторонами AD и AB.

Радиальный отрезок AO разделяет его на два угла: DAO и OAB.

Оба принадлежат нашим конгруэнтным центральным треугольникам.

Следовательно, оба равны α.

Поэтому угол DAB также равен 2α, то есть β.

Углы при вершинах C и D

Аналогичным образом рассматриваются оставшиеся вершины.

При C угол BCD разделяется радиусом CO на два равных угла величиной α.

При D угол CDA разделяется радиусом DO на два таких же угла.

Следовательно, оба внешних угла равны 2α, то есть β.

Итак, установлено:

∠DAB = ∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = β.

Таким образом, первоначальный четырёхугольник не только равносторонний, но и равноугольный.

Совокупность установленных свойств

Подведём промежуточный итог.

Мы построили конкретный четырёхугольник DABC, у которого доказаны следующие свойства.

Все четыре стороны равны.

Все четыре внутренних угла равны.

Диагонали равны.

Диагонали взаимно перпендикулярны.

Точка их пересечения делит каждую пополам.

Все четыре центральных треугольника конгруэнтны.

Все четыре центральных угла прямые.

Таким образом, речь идёт не о произвольном четырёхугольнике и не о четырёх произвольно выбранных отрезках.

Перед нами единая геометрическая конструкция с целой системой строго определённых отношений.

Именно эту конструкцию мы будем исследовать дальше.

5.6. Постановка вопроса о величине внешних углов

Теперь необходимо определить величину β.

Мы уже доказали, что все четыре внутренних угла внешнего четырёхугольника равны.

Следовательно, достаточно установить величину хотя бы одного из них.

Если окажется, что угол ABC прямой, то прямыми будут и три остальных угла.

Поэтому дальнейшее исследование можно сосредоточить на одной вершине — B.

В обычной евклидовой геометрии известно, что β равна 90 градусам.

Следовательно, построенная фигура является квадратом.

Однако наша задача заключается в исследовании возможности самостоятельного обоснования этого результата.

Мы не хотим просто сослаться на известную теорему о сумме углов треугольника.

Мы намерены использовать новую геометрическую конструкцию.

Главный вопрос

Исходный четырёхугольник имеет четыре равных внешних угла.

При этом вокруг его центра O находятся четыре прямых угла.

Можно ли связать эти две угловые системы посредством такого построения, при котором один из первоначальных внешних углов окажется включённым в новую систему центральных углов?

Именно этот вопрос составляет основу предлагаемого метода.

Его решение я связываю с последовательной надстройкой четырёхугольника.

5.7. Метод последовательной надстройки

Сущность метода состоит в построении новой, более крупной фигуры вокруг уже существующей.

При этом первоначальный четырёхугольник остаётся неизменным.

Ни одна его вершина не перемещается.

Ни одна сторона не изменяет своей длины.

Ни одна прямая не меняет направления.

Вместо изменения первоначальной конструкции мы вводим дополнительную конструкцию, связанную с ней определёнными геометрическими отношениями.

Почему именно надстройка?

Представим обычный квадрат.

Если рядом с ним расположить ещё три таких же квадрата, получим большой квадрат, состоящий из четырёх равных частей.

При этом каждая первоначальная фигура сохраняет свою форму и размеры.

Четыре малых квадрата соединяются в один большой.

Его площадь в четыре раза превышает площадь каждого из них.

Этот хорошо известный способ композиции подсказывает возможность исследовать квадрат через включение одной фигуры в другую.

Однако в нашей задаче исходный четырёхугольник пока не объявляется квадратом.

Поэтому четырёхчастное заполнение должно быть рассмотрено как самостоятельное геометрическое утверждение, относящееся именно к нашему построению.

Смысл метода заключается в том, чтобы установить соответствие между первоначальной фигурой и остальными частями увеличенного четырёхугольника.

Центральная идея

В исходной конструкции центром является точка O.

Мы предлагаем построить новую фигуру, центром которой станет точка B — прежняя правая вершина исходного четырёхугольника.

Таким образом, одна и та же точка будет иметь две различные геометрические роли.

В первоначальном четырёхугольнике она является вершиной с внутренним углом β.

В новом построении она становится центром системы четырёх прямых углов.

Именно это изменение геометрического контекста составляет главную идею надстройки.

5.8. Построение увеличенного четырёхугольника вокруг первоначального

Опишем новое построение с максимальной точностью.

Напомним, что в первоначальной фигуре точки D, O и B лежат на одной горизонтальной прямой.

Причём O расположена между D и B.

Отрезки DO и OB равны a.

Поэтому длина DB равна 2a.

Первый шаг. Продолжение горизонтальной диагонали

Продолжим прямую DB вправо за точку B.

Для этого используем второй постулат Евклида.

На продолжении отметим новую точку W.

Выберем её так, чтобы:

BW = BD = 2a.

Таким образом, точки D, O, B и W расположены на одной прямой.

Точка B является серединой отрезка DW.

Второй шаг. Новый перпендикуляр

Теперь через B проведём прямую, перпендикулярную DW.

Для удобства будем считать её вертикальной.

Эта прямая проходит через B и пересекает DW под прямым углом.

Следовательно, вокруг B образованы четыре прямых центральных угла.

Третий шаг. Построение вертикальных радиусов

На новом перпендикуляре отметим точку U выше B и точку V ниже B.

Выберем их так, чтобы:

BU = BV = 2a.

Теперь вокруг точки B расположены четыре равных радиальных отрезка:

BD = BU = BW = BV = 2a.

Они образуют четыре прямых угла.

Это построение полностью аналогично первоначальному построению вокруг O, но имеет другой центр и вдвое большие радиальные отрезки.

Четвёртый шаг. Замыкание внешнего контура

Соединим последовательно точки D, U, W и V.

Получим большой четырёхугольник DUWV.

Его диагоналями являются DW и UV.

Они равны между собой.

Они взаимно перпендикулярны.

Точка B делит каждую из них пополам.

Четыре центральных треугольника нового четырёхугольника конгруэнтны.

Поэтому все четыре стороны большого четырёхугольника равны.

Здесь мы вновь используем тот же признак конгруэнтности, который применялся при первоначальном построении.

Таким образом, большой четырёхугольник воспроизводит всю систему доказанных центральных свойств исходной фигуры.

Особенность взаимного расположения

Большой и малый четырёхугольники имеют общую точку D.

Кроме того, точка B, которая была вершиной первоначального четырёхугольника, является центром нового.

Первоначальная диагональ DB становится половиной горизонтальной диагонали DW увеличенной конструкции.

Это обстоятельство особенно важно.

Обе фигуры не являются независимыми.

Они имеют определённые общие геометрические элементы.

Именно благодаря этому мы можем исследовать их взаимное положение без перемещения первоначального четырёхугольника.

5.9. Продолжение сторон без изменения направления

Теперь обратимся к первоначальному углу ABC.

Его образуют стороны BA и BC.

Эти стороны уже существуют.

Никакого нового направления для них выбирать не требуется.

Мы воспользуемся вторым постулатом Евклида и продолжим каждую сторону за точку B.

Продолжение стороны CB

Рассмотрим сторону CB.

Она соединяет нижнюю вершину C с правой вершиной B первоначальной фигуры.

Продолжим прямую CB за точку B.

Обозначим через E точку её предполагаемого пересечения с верхней правой стороной UW большого четырёхугольника.

Таким образом, при наличии указанного пересечения точки C, B и E находятся на одной прямой.

Причём B расположена между C и E.

Продолжение стороны AB

Теперь рассмотрим сторону AB.

Она соединяет верхнюю вершину A с правой вершиной B первоначального четырёхугольника.

Продолжим её за точку B.

Обозначим через F точку предполагаемого пересечения полученной прямой с нижней правой стороной WV увеличенного четырёхугольника.

Тогда точки A, B и F находятся на одной прямой.

Точка B расположена между A и F.

Геометрическое значение продолжения

Здесь необходимо подчеркнуть одно обстоятельство.

При продолжении сторон не производится никакого изменения первоначальных углов.

Мы не поворачиваем сторону AB.

Не поворачиваем сторону BC.

Не заменяем их другими прямыми.

Продолжения BE и BF принадлежат тем же прямым, что и исходные стороны.

Поэтому угол ABC сохраняет свою первоначальную величину β.

Вместе с тем вокруг B теперь можно рассматривать четыре последовательных угла.

Первый — ABC.

Второй — ABE.

Третий — EBF.

Четвёртый — FBC.

Эти четыре угла образуют полный оборот вокруг точки B.

Вертикальные углы

Поскольку A, B и F лежат на одной прямой, а C, B и E — на другой, углы ABC и EBF являются вертикальными.

Следовательно:

∠ABC = ∠EBF.

Аналогично:

∠ABE = ∠FBC.

Таким образом, продолжение исходных сторон уже позволяет установить равенство двух пар противоположных углов.

Но наша конструкция предусматривает ещё одно отношение: сопоставление четырёх областей большого четырёхугольника как конгруэнтных частей.

Именно к этому мы теперь переходим.

5.10. Разбиение большой фигуры на четыре конгруэнтных четырёхугольника

Рассмотрим первоначальную фигуру DABC и построенный вокруг неё больший четырёхугольник DUWV.

В обычной евклидовой конфигурации их взаимное расположение позволяет выделить четыре равных малых квадрата.

Однако наш исследовательский замысел состоит именно в том, чтобы установить такое отношение непосредственно из описанного построения.

Поэтому сформулируем центральное утверждение метода как отдельную геометрическую лемму.

Лемма о четырёхчастной надстройке

Пусть дан четырёхугольник DABC, полученный соединением концов четырёх равных радиальных отрезков, образующих при центре O четыре прямых угла.

Построим увеличенный четырёхугольник DUWV по тому же радиальному принципу, приняв прежнюю вершину B за новый центр и удвоив длины радиальных отрезков.

Утверждается, что соответствующая надстройка допускает такое согласование прямолинейных сторон и их продолжений, при котором большой четырёхугольник разбивается на четыре конгруэнтные части, одна из которых совпадает с первоначальной фигурой.

В таком разбиении четыре соответствующих угла сходятся в общей точке B.

Это утверждение является центральной геометрической леммой предлагаемого метода.

Четыре составляющие фигуры

Опишем предполагаемое разбиение без обращения к чертежу.

Первая фигура — DABC.

Это первоначальный четырёхугольник.

Он расположен слева от точки B.

Его вершины последовательно соединены сторонами DA, AB, BC и CD.

Вторая фигура — AUEB.

Она располагается выше точки B.

Её границами служат отрезки AU, UE, EB и BA.

В этой фигуре сторона BA совпадает со стороной первоначального четырёхугольника.

Третья фигура — BEWF.

Она расположена справа от точки B.

Её стороны — BE, EW, WF и FB.

Четвёртая фигура — CBFV.

Она располагается ниже точки B.

Её стороны — CB, BF, FV и VC.

Таким образом, все четыре области имеют общую точку B.

Каждая обращена к ней одним из своих внутренних углов.

Условия точного заполнения

Для получения именно такого разбиения необходимо согласование внутренних границ с внешним контуром большого четырёхугольника.

В частности, точки D, A и U должны принадлежать одной прямой.

Точки D, C и V также должны принадлежать одной прямой.

Точки C, B и E располагаются на продолжении первоначальной стороны CB.

Точки A, B и F располагаются на продолжении первоначальной стороны AB.

При выполнении этих условий фигуры соединяются по соответствующим сторонам, не изменяя их направления.

Но этим геометрическое содержание леммы не исчерпывается.

Необходимо также равенство всех четырёх составляющих фигур по форме и размерам.

Иными словами, они должны быть не просто четырьмя областями большого контура, а четырьмя конгруэнтными копиями первоначального четырёхугольника.

Принцип конгруэнтного заполнения

В предполагаемой композиции каждая фигура имеет те же размеры и углы, что и исходная DABC.

Следовательно, их площади равны.

Если большой четырёхугольник целиком заполнен этими четырьмя фигурами без зазоров и наложений, его площадь равна сумме четырёх одинаковых площадей.

Поэтому:

S большого четырёхугольника = 4S первоначального.

Но для доказательства прямоты углов особое значение имеет не арифметическое увеличение площади.

Главное состоит в том, что четыре конгруэнтные фигуры сходятся своими соответствующими углами в одной точке B и вместе занимают полный угол вокруг неё.

Именно это отношение позволяет определить величину β.

Следовательно, задача о четырёхчастном заполнении имеет самостоятельное доказательное значение.

При её установлении дальнейшее рассуждение становится непосредственным следствием свойств полного угла.

5.11. Вершина исходной фигуры как центр расширенного построения

Теперь рассмотрим точку B с двух различных сторон.

В первоначальном четырёхугольнике она является одной из четырёх внешних вершин.

При ней расположен угол ABC.

Его величину мы обозначили β.

Но после надстройки та же точка B становится центром большого четырёхугольника.

Через неё проходят две взаимно перпендикулярные диагонали DW и UV.

Поэтому при B возникают четыре прямых центральных угла.

Две системы углов при одной точке

Итак, вокруг B находятся две группы геометрических отношений.

Первая группа связана с диагоналями большого четырёхугольника.

Вторая — с продолженными сторонами первоначального четырёхугольника.

Первая группа непосредственно содержит четыре прямых угла.

Вторая группа образует четыре угла ABC, ABE, EBF и FBC.

Каждая из этих групп имеет общий центр B.

Но их лучи первоначально определены разными построениями.

Поэтому главным предметом исследования становится взаимное расположение этих лучей и составляющих ими областей.

В чём состоит особенность авторского метода?

Обычно, желая установить величину угла, мы исследуем образующие его стороны и непосредственно применяем теоремы об углах.

Здесь предлагается другой путь.

Мы сохраняем исходный угол, но включаем его в новую геометрическую структуру.

В этой структуре уже непосредственно существуют четыре прямых центральных угла.

При установлении четырёхчастного конгруэнтного заполнения первоначальный угол становится одним из четырёх равных углов, совместно занимающих полный оборот вокруг B.

Следовательно, вопрос о величине отдельного угла превращается в вопрос об отношении четырёх конгруэнтных частей одной геометрической конструкции.

В этом заключается главный методологический смысл последовательной надстройки.

5.12. Четыре угла вокруг общего центра

Рассмотрим теперь углы ABC, ABE, EBF и FBC.

Все они имеют общую вершину B.

Их стороны последовательно расположены вокруг этой точки.

Следовательно, вместе они составляют полный угол.

Полный угол равен 360 градусам.

Это свойство не зависит от пятого постулата Евклида.

Оно относится непосредственно к угловому пространству вокруг одной точки.

Условие равенства четырёх углов

В предыдущем разделе мы сформулировали лемму о четырёхчастной надстройке.

Её содержание предполагает, что четыре составляющие фигуры конгруэнтны и обращены к точке B соответствующими углами.

Если это установлено, то каждый из четырёх углов при B равен внутреннему углу первоначального четырёхугольника, величину которого мы обозначили β.

Следовательно:

∠ABC = ∠ABE = ∠EBF = ∠FBC = β.

Но все четыре угла вместе составляют полный угол вокруг B.

Поэтому:

β + β + β + β = 360°.

Или:

4β = 360°.

Теперь разделим обе части равенства на четыре.

Получим:

β = 90°.

Таким образом, при выполнении леммы о четырёхчастном заполнении величина исходного угла ABC определяется непосредственно.

Значение полученного результата

Здесь не используется заранее известная сумма внутренних углов произвольного четырёхугольника.

Мы рассматриваем четыре угла, расположенные вокруг одной точки.

Их суммарная величина действительно равна 360 градусам независимо от пятого постулата.

Поэтому заключительная арифметическая часть доказательства не вызывает дополнительных вопросов.

Решающим геометрическим условием является равенство четырёх составляющих углов, устанавливаемое через конгруэнтность четырёх частей надстройки.

Именно в этом состоит содержание центральной леммы.

5.13. Вывод о прямоте углов исходного четырёхугольника

Теперь вернёмся к первоначальному четырёхугольнику DABC.

Ещё на первом этапе построения мы доказали, что все четыре его внутренних угла равны.

Следовательно:

∠DAB = ∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = β.

Рассмотрение четырёхчастной надстройки приводит, при выполнении установленного условия конгруэнтного заполнения, к результату:

β = 90°.

Значит:

∠ABC = 90°.

Но поскольку остальные три угла первоначального четырёхугольника равны углу ABC, каждый из них также составляет 90 градусов.

Следовательно:

∠DAB = ∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = 90°.

Теперь мы имеем оба определяющих свойства квадрата.

Первое свойство — равенство четырёх сторон:

DA = AB = BC = CD.

Второе свойство — прямота четырёх внутренних углов.

Следовательно, первоначальный четырёхугольник DABC является квадратом.

Логическая последовательность результата

Весь вывод можно представить как единую доказательную цепь.

Сначала строятся четыре равных радиальных отрезка.

Затем устанавливаются четыре прямых центральных угла.

Далее доказывается конгруэнтность четырёх центральных треугольников.

Из неё следуют равенство четырёх сторон и равенство четырёх внутренних углов первоначального четырёхугольника.

После этого выполняется надстройка с новым центром B.

Исходные стороны продолжаются без изменения направления.

Центральная лемма связывает первоначальный четырёхугольник с четырьмя конгруэнтными частями увеличенной фигуры.

Четыре соответствующих угла составляют полный оборот вокруг точки B.

Следовательно, каждый из них равен 90 градусам.

А поскольку все четыре внешних угла исходной фигуры равны между собой, прямота одного из них устанавливает прямоту остальных.

Таков общий замысел предлагаемого метода.

5.14. Формулировка теоремы и заключение автора

Теперь сформулируем исследуемый результат.

Теорема о существовании квадрата

В евклидовой плоскости существует четырёхугольная прямолинейная фигура, обладающая четырьмя равными сторонами и четырьмя прямыми внутренними углами.

Такой фигурой является квадрат.

Конструктивная формулировка

Пусть через произвольную точку O проведены две взаимно перпендикулярные прямые.

На четырёх образованных ими лучах отложены равные ненулевые отрезки.

Их свободные концы соединены последовательно прямолинейными отрезками.

Полученный четырёхугольник имеет четыре равные стороны и четыре равных внутренних угла.

Для установления прямоты этих углов предлагается использовать последовательную надстройку.

Одна из вершин первоначального четырёхугольника принимается за центр второго построения.

Вокруг неё по аналогичному радиальному принципу строится увеличенный четырёхугольник.

При согласовании первоначальных сторон с границами четырёх конгруэнтных частей увеличенной фигуры первоначальный угол оказывается одним из четырёх равных углов вокруг нового центра.

Поскольку полный угол равен 360 градусам, каждый из четырёх равных углов составляет 90 градусов.

Следовательно, первоначальный четырёхугольник является квадратом.

О доказательном значении центральной леммы

Предлагаемый метод имеет ясно выраженную логическую структуру.

Первоначальное построение и конгруэнтность четырёх центральных треугольников устанавливаются непосредственно.

Из них следуют равенство сторон и равенство внешних углов.

Надстройка также выполняется посредством определённых геометрических операций.

Но переход от надстройки к четырём конгруэнтным частям большого четырёхугольника заключён в самостоятельной геометрической лемме.

Именно доказательство этой леммы без обращения к пятому постулату определяет возможность рассматривать весь метод как независимое доказательство теоремы о существовании квадрата.

Если лемма установлена, заключительный вывод следует с необходимостью.

Это позволяет точно определить предмет авторского исследования и отделить непосредственно доказанные свойства конструкции от центрального утверждения, посредством которого предполагается завершить доказательство.

Заключение автора

В истории геометрии существование квадрата обычно рассматривается как давно установленная математическая истина.

И действительно, в полной геометрии Евклида построение квадрата не вызывает никаких затруднений.

Но если обратиться к первоначальным основаниям геометрии и поставить вопрос о логической зависимости соответствующей теоремы от пятого постулата, проблема приобретает значительно более глубокий характер.

Именно поэтому я предлагаю рассматривать существование квадрата не только как элементарный факт, но и как самостоятельную задачу исследования оснований геометрии.

Мой подход начинается с наиболее простых геометрических элементов.

Две взаимно перпендикулярные прямые.

Четыре равных радиальных отрезка.

Четыре прямых центральных угла.

Четыре конгруэнтных прямоугольных равнобедренных треугольника.

Четыре равные стороны и четыре равных угла внешнего четырёхугольника.

Вся эта совокупность свойств возникает непосредственно из первоначального построения.

Затем вводится новая операция — последовательная надстройка.

Первоначальная фигура сохраняется и включается в более крупную геометрическую систему.

Её бывшая вершина становится центром нового построения.

При этом исходные стороны продолжаются по прямой, не изменяя своего направления.

Так возникает возможность сопоставить первоначальный угол с угловыми отношениями четырёх составляющих фигур вокруг нового центра.

На мой взгляд, именно этот переход представляет наибольший исследовательский интерес.

Он позволяет искать доказательство не посредством повторного использования уже известных теорем о параллельных прямых, а через внутреннюю организацию самой геометрической конструкции.

Важным достоинством предлагаемого подхода является его наглядность.

Каждая операция может быть выполнена последовательно.

Каждый геометрический элемент имеет определённое происхождение.

Ни одна из первоначальных сторон не заменяется другой.

Ни одна из установленных длин не изменяется.

Исходная фигура сохраняет свою целостность на всех этапах построения.

При этом решающий вопрос сводится к одному конкретному утверждению — о возможности четырёхчастного конгруэнтного заполнения увеличенного четырёхугольника.

Именно здесь сосредоточено главное содержание предлагаемого доказательного направления.

Таким образом, задача существования квадрата получает новую конструктивную постановку.

Исследуется не произвольный четырёхугольник, а вполне определённая фигура с целой системой ранее установленных свойств.

Искомая прямота её углов рассматривается через расширение первоначального построения и включение его в более крупную систему конгруэнтных элементов.

Мне представляется, что такой подход заслуживает самостоятельного внимания в исследовании оснований евклидовой геометрии.

Его значение состоит прежде всего в постановке конкретной геометрической задачи, допускающей точное описание и последовательный математический анализ.

Теорема о существовании квадрата оказывается связанной с фундаментальным вопросом: каким образом свойства прямой, перпендикулярности, равенства отрезков и конгруэнтности фигур обеспечивают целостность геометрического построения при его последовательном расширении?

Именно этот вопрос составляет центральное содержание предложенного мной метода.